Неравенства с квадратом: Квадратные неравенства, решение, примеры, графический метод, тесты

Квадратное неравенство вида

у > а Икс 2 + б Икс + с

(или заменить < , ≥ или же ≤ за > ) представляет собой область плоскости, ограниченную парабола .

Чтобы построить квадратное неравенство, начните с построения параболы. Затем закрасьте область либо над ней, либо под ней, в зависимости от неравенства.

Если символ неравенства ≤ или же ≥ , то область включает в себя параболу, поэтому ее следует изобразить сплошной линией.

В противном случае, если символ неравенства < или же > , парабола должна быть нарисована пунктирной линией, чтобы указать, что область не включает свою границу.

Пример:

Нарисуйте квадратное неравенство.

у ≤ Икс 2 − Икс − 12

Соответствующее уравнение:

у знак равно Икс 2 − Икс − 12

Сначала мы замечаем, что а , коэффициент Икс 2 срок, равен 1 . С а положительно, парабола направлена ​​вверх.

Правую часть можно представить как:

у знак равно ( Икс + 3 ) ( Икс − 4 )

Итак, парабола имеет Икс -перехватывает в − 3 а также 4 . вершина должно лежать посередине между ними, поэтому Икс -координата вершины 0,5 .

Подключение к этому Икс -значение, получаем:

у знак равно ( 0,5 + 3 ) ( 0,5 − 4 ) у знак равно ( 3,5 ) ( − 3,5 ) у знак равно − 12.25

Итак, вершина находится в ( 0,5 , − 12.25 ) .

Теперь у нас достаточно информации, чтобы нарисовать параболу. Не забудьте изобразить его сплошной линией, поскольку неравенство «меньше или равно».

Должны ли вы заштриховать область внутри или снаружи параболы? Лучший способ сказать это подключить точку выборки. ( 0 , 0 ) обычно проще всего:

0 ≤ ? 0 2 − 0 − 12 0 ≤ − 12

Итак, заштрихуйте область, которая нет включить точку ( 0 , 0 ) .

Квадратные неравенства. Определение, выражение, графики, примеры решения

Квадратные неравенства можно вывести из квадратных уравнений. Слово «квадратный» происходит от слова «quadrature», что в переводе с латинского означает «квадрат». Исходя из этого, мы можем определить квадратных неравенств как неравенство второй степени. Здесь мы сначала определяем квадратное уравнение. Общая форма квадратного уравнения: ax ² + bx + c = 0. Далее, если квадратный многочлен ax ² + bx + c не равен нулю, то они либо ax ² + bx + c > 0 или ось ² + bx + c < 0 и называются квадратными неравенствами.

В этом мини-уроке мы познакомимся с квадратным неравенством, решением квадратных неравенств, квадратными неравенствами с одной переменной, формулой квадратных неравенств и графиком квадратного неравенства, с помощью примеров, часто задаваемых вопросов.

Что вы подразумеваете под квадратичными неравенствами?

Квадратное неравенство является выражением второй степени по x и имеет неравенство больше (>

Определение

Если квадратичный многочлен от одной переменной меньше или больше некоторого числа или любого другого многочлена (со степенью меньше или равной 2), то такое неравенство называется квадратичным. Разница между квадратным уравнением и квадратным неравенством заключается в том, что квадратное уравнение равно некоторому числу, а квадратное неравенство либо меньше, либо больше некоторого числа. Некоторые примеры квадратного неравенства с одной переменной:

• х ² + х — 1 > 0
• 2x ² — 5x — 2 > 0
• x ² + 2x — 1 < 0

Стандартная форма

Стандартная форма квадратного неравенства с одной переменной почти такая же, как стандартная форма квадратного уравнения. Единственное отличие состоит в том, что в квадратном уравнении стоит знак «равно», а в квадратном неравенстве — знак «больше» или «меньше» (> или <). Стандартную форму квадратного неравенства можно представить в виде:

Пример квадратного неравенства

Теперь рассмотрим сценарий, в котором вы хотите построить прямоугольный дом, длина которого на две единицы больше его ширины более чем в два раза. Если вы не хотите, чтобы площадь дома превышала 1500 футов ² , какую длину и ширину вы можете рассмотреть?

Вы знаете, что площадь прямоугольника равна длине, умноженной на его ширину. Следовательно, площадь дома равна (2 + 2x)x = 2x ² + 2x, где x — ширина прямоугольного дома. Теперь мы знаем, что площадь не может превышать 1500 футов ² . Таким образом, квадратное неравенство для приведенного выше сценария выглядит следующим образом.

2x

Как решать квадратные неравенства?

Решить квадратное неравенство означает найти значения x, которые удовлетворяют заданному условию вопроса. Квадратное уравнение второй степени ax

Теперь рассмотрим квадратное выражение ax ² + bx + c. Мы можем записать квадратное выражение в виде (x — α)(x — β) и α < β. Используя метод числовых прямых, решение квадратного неравенства можно выразить следующим образом.

Это означает, что если ax ² + bx + c > 0, то x может принимать значения от -∞ до α и от β до +∞.

Если x ² + bx + c >

Если x ² + bx + c < 0, то x может принимать значения между α и β.

Если x ² + bx + c < 0, то x ∈ (α, β)

Возьмем квадратное неравенство x ² — 1 > 0. Здесь выражение x ² — 1 > 0 может факторизуется как (x — 1)(x + 1) > 0. Это дает значения α = -1 и β = 1. Следовательно, мы получаем диапазон x как x ∈ (-∞ , -1) U ( 1, +∞)

Если квадратное неравенство равно x ² — 1 < 0. Выражение x ² — 1 < 0 можно разложить на множители как (x - 1)(x + 1) < 0. Это дает α = -1 и β = 1. Следовательно, диапазон x равен x ∈ (-1, 1)

. Если квадратное неравенство равно x ² — 1 > 0 (где оно показывает, больше или равно нулю). Выражение x ² — 1 > 0 можно разложить на множители как (x — 1)(x + 1) > 0. Здесь мы получаем α = -1 и β = 1, а диапазон x равен x ∈ {-∞ , -1] U [+1, + ∞}

Если квадратное неравенство равно x ² — 1 < 0 (где это показывает, что квадратное неравенство меньше или равно нулю). Выражение x ² — 1 < 0 факторизуется как (x — 1)(x + 1) < 0. Здесь корни выражения равны α = -1 и β = 1, а диапазон x есть x ∈ [-1, +1]

Обозначения, используемые в квадратных неравенствах

Обозначение больше (>) и меньше. чем (< ) часто используется в квадратных уравнениях. Квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0 записывается в виде квадратного уравнения путем замены равенства на символ (=) на большее или меньшее неравенство. Общий формат квадратного неравенства: ax ² + bx + c > 0 или ax ² + bx + c < 0. Далее, давайте проверим некоторые другие важные обозначения, используемые в квадратных неравенствах.

• ( ) → Открытые скобки
• [ ] → Закрытые скобки
• o → Open Value(x не может принимать это значение)
• • → Закрытое значение(x может принимать это значение)
• (-1, 1) → x не может принимать значения -1 и 1.
• [-1, 1) → x может принимать значение -1, но не 1.
• (-1, 1] → x не может принимать значение -1, но может принимать значение 1.
• [-1, 1] → x может принимать значения -1 и 1

☛ Похожие темы

• Функция кубического корня
• Кусочная функция
• Нелинейная функция
• Функция вероятности массы
• Целевая функция

Решенные примеры квадратных неравенств

1. Пример 1: Найдите диапазон значений x, удовлетворяющих квадратному неравенству x ² — 7x + 10 < 0.

   Решение:

   Сначала разложим на множители квадратное выражение x ² — 7x + 10.

   x ² — 7x + 10 < 0
   х ² — 5х — 2х + 10 < 0
   х(х — 5) — 2(х — 5) < 0
   (x — 2)(x — 5) < 0

   Следовательно, значения x, удовлетворяющие квадратному неравенству, равны x ∈ (2, 5)

   Следовательно, x ∈ (2, 5).

2. Пример 2: Помогите Мэтью найти диапазон таких значений m, что квадратное неравенство x ² — mx + m > 0 верно для всех значений x.

   Решения:

   Для квадратного выражения x ² — mx + m коэффициент при x ² положителен, и это выражение всегда положительно и равно нулю. Следовательно, дискриминант квадратного уравнения всегда отрицателен и равен нулю. Дискриминант уравнения равен (-m) 92 — 4 м < 0
   m(m — 4) < 0

   Таким образом, значения m, удовлетворяющие условиям квадратного неравенства, равны m ∈ [0, 4]

   Следовательно, решение квадратного неравенства есть m ∈ [0, 4].

перейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по квадратичным неравенствам

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о квадратных неравенствах

Как вы объясните решение квадратных неравенств?

Квадратные неравенства можно решить, сначала разложив квадратное выражение на множители, а затем найдя диапазон значений x, удовлетворяющих квадратному неравенству. Вы можете следовать этому разделу для получения более подробной информации о решении квадратных неравенств.

Как решать квадратные неравенства с двумя переменными?

Квадратное неравенство с двумя переменными можно решить, нарисовав график квадратного неравенства выражения. Например, решения неравенства y — x ² + 1 > 0 можно решить, нарисовав график квадратного неравенства y = x ² — 1.

Из графика ясно видно, что диапазон x равен x ∈ (-∞, +∞), а диапазон y равен y ∈ (-1, +∞)

Как решать квадратные неравенства, равные нулю?

Если квадратное неравенство, скажем, х ² -5х — 6 > 0 решается путем приравнивания к нулю, значит, теперь надо решить квадратное уравнение х ² -5х — 6 = 0. Квадратное уравнение x ² -5x + 6 = 0 может иметь максимум два корня. Два значения x, которые удовлетворяют приведенным выше квадратным уравнениям, это x = 2 и x = 3.

Какие условия не влияют на направление квадратного неравенства?

Добавление и вычитание любого числа с обеих сторон неравенства не влияет на направление неравенства. Умножение или деление обеих частей неравенства на отрицательное число изменяет направление неравенства. Умножение или деление обеих частей неравенства на положительное число не влияет на направление неравенства.

Как решаются квадратные уравнения методом факторизации?

Чтобы решить квадратное уравнение с помощью метода факторизации, разделим средний член (член с x) уравнения так, что при умножении двух полученных чисел получится постоянный член. Например, корни квадратного уравнения x ² -3x + 2 = 0 методом факторизации можно получить следующим образом:

x ² — 3x + 2 = 0
х ² — 2х — х + 2 = 0
х(х — 2) -1(х — 2) = 0
(x — 1)(x — 2) = 0

Следовательно, x = 1 и x = 2 являются двумя корнями квадратного уравнения.

Какой первый шаг в решении квадратного неравенства?

Первым шагом при решении квадратного неравенства является разложение квадратного выражения на множители.

Как вы решаете задачи с квадратным неравенством?

Чтобы решить задачу с квадратным неравенством, сначала выведите квадратное неравенство из задачи со словами, а затем решите ее в соответствии с условиями, указанными в вопросе.