Онлайн решение дифференциальные уравнения: Дифференциальные уравнения онлайн

Содержание

Уравнения, допускающие понижение порядка

Мы умеем решать уравнения первого порядка. Поэтому возникает естественное желание свести уравнение порядка выше первого к уравнению более низкого порядка. В некоторых случаях это удаётся сделать. Рассмотрим их.

1. Уравнения вида y⁽ⁿ⁾=f(x) решаются последовательным интегрированием n раз
, ,… .
Пример №1. Решить уравнение xy''=1. Можем записать , следовательно, y’=ln|x| + C₁и, интегрируя ещё раз, окончательно получаем y=∫ln|x| + C₁x + C₂

2. В уравнениях вида F(x,y⁽^k⁾,y⁽^k⁺¹⁾,..,y⁽ⁿ⁾)=0 (то есть не содержащих в явном виде неизвестной функции и некоторых её производных) порядок понижается с помощью замены переменной y⁽^k⁾ = z(x). Тогда y⁽^k⁺¹⁾=z'(x),…,y⁽ⁿ

) = z⁽ⁿ^—^k⁾(x) и мы получаем уравнение F(x,z,z’,.

.,z⁽ⁿ^—^k⁾) порядка n-k. Его решением является функция z = φ(x,C₁,C₂,…,C_n) или, вспоминая, что такое z, получаем уравнение y⁽^n-^k) = φ(x,C₁,C₂,…,C_n_—_k) рассмотренного в случае 1 типа.

Пример №2. Решить уравнение x²y'' = (y')². Делаем замену y'=z(x). Тогда y''=z'(x). Подставляя в исходное уравнение, получаем x²z’=z². Разделяя переменные, получаем . Интегрируя, имеем , или, что тоже самое, . Последнее соотношение записывается в виде , откуда . Интегрируя, окончательно получаем

Пример №3. Решить уравнение x³y'' +x²y'=1 .Делаем замену переменных: y’=z; y»=z’

x³z’+x²z=1. Делаем замену переменных: z=u/x; z’=(u’x-u)/x²
x³(u’x-u)/x²+x²u/x=1 или u’x²-xu+xu=1 или u’x^2=1.

Откуда: u’=1/x² или du/dx=1/x² или u = int(dx/x²) = -1/x+c₁
Поскольку z=u/x, то z = -1/x²+c₁/x. Поскольку y’=z, то dy/dx=-1/x²+c₁/x
y = int(c₁dx/x-dx/x²) =c₁ln(x) + 1/x + c₂. Ответ: y = c₁ln(x) + 1/x + c₂

3. Следующим уравнением, допускающим понижение порядка, является уравнение вида F(y,y',y'',…,y⁽ⁿ⁾)=0, не содержащее в явном виде независимой переменной. Порядок уравнения понижается с помощью замены переменной y’=p(y), где p — новая искомая функция, зависящая от y. Тогда
= и так далее. По индукции имеем y⁽ⁿ⁾=φ(p,p’,..,p⁽^n-1)). Подставляя в исходное уравнение, понижаем его порядок на единицу.

Пример №4. Решить уравнение (y')²+2yy''=0. Делаем стандартную замену y’=p(y), тогда y″=p′·p. Подставляя в уравнение, получаем Разделяя переменные, при p≠0, имеем Интегрируя, получаем или, что то же самое, . Тогда или . Интегрируя последнее равенство, окончательно получаем При разделении переменных мы могли потерять решение y=C, которое получается при p=0, или, что то же самое, при y’=0, но оно содержится в полученном выше.

4. Иногда удаётся подметить особенность, позволяющую понизить порядок уравнения отличными от рассмотренных выше способами. Покажем это на примерах.

Замечания.
1. Если обе части уравнения yy'''=y′y″ разделить на yy″, то получим уравнение , которое можно переписать в виде (lny″)′=(lny)′. Из последнего соотношения следует, что lny″=lny+lnC, или, что то же самое, y″=Cy. Получилось уравнение на порядок ниже и рассмотренного ранее типа.
2. Аналогично для уравнения yy″=y′(y′+1) имеем , или (ln(y’+1))’ = (lny)’. Из последнего соотношения следует, что ln(y’+1) = lny + lnC₁, или y’=C₁y-1. Разделяя переменные и интегрируя, получаем, ln(C₁y-1) = C₁x+C₂

Решить уравнения, допускающие понижение порядка можно с помощью специального сервиса Дифференциальные уравнения онлайн.

учебный сервис для студентов, получить консультацию по учебе

Как мы работаем?

Вы описываете задачу

Менеджер ищет эксперта по вашей проблеме и связывается с вами

После внесения предоплаты 25% эксперт приступает к выполнению задания

После оплаты 100% услуга оказывается полностью

Смотрите наше видео и вы узнаете, как мы помогаем студентам на самом деле

2 минуты — четко и по делу!

Вас проконсультируют

Личный помощник (менеджер)

01.

Подберет лучшего эксперта по вашей задаче
Проконтролирует выполнение услуги
Ответит головой за сроки
Сделает всё, чтобы решить вашу проблему

Универсальный солдат (сотрудник колл-центра)

02.

Поможет описать вашу задачу
Обучит работе с личным кабинетом
Просто послушает, как у вас дела

Персональный «Пушкин» (Эксперт)

03.

Откликнется на вашу проблему

Проанализирует пути решения
Объяснит материал
Убедится, что вы все поняли

Шерлок Холмс (сотрудник отдела Контроля Качества)

04.

Придирчивый и внимательный: не даст расслабиться экспертам
Проверит текст на уникальность сотней специальных программ
Просканирует каждый миллиметр оформления на соответствие нормам и ГОСТу

Отзывы студентов

Рейтинг 4,89 из 5 (24 253 голосов)

Александр 14.

11.2022

Очень интересная работа. Спасибо автору за качественную работу.

Алена 14.11.2022

Все устраивает, работа выполнена отлично

Оксана 14.11.2022

Если честно, не ожидала, что можно такой объем выполнить за такой короткий срок. Была приятно удивлена!

Мария Йолтуховская 13.11.2022

Спасибо большое за работу! Она была выполнена очень качественно и за супер быстрый срок! Вы очень помогли мне! Ещё раз …

Оля 13.

11.2022

Красота и наполненность работы на высшем уровне! Спасибо!

Любовь 13.11.2022

Здравствуйте,выражаю огромную благодарность за своевременную выполненную работу,которая как всегда выполнена безупречно…

Анастасия Рамазанова 13.11.2022

Хорошо написанная работа, сроки соблюдены.

Татьяна 13.11.2022

Спасибо большое! Работа выполнена в полном объеме, преподаватель все принял, без замечаний!

Сергей 13. 11.2022

хорошая работа, мне понравилось, даже несмотря на небольшое увеличение срока исполнения

Ольга 12.11.2022

Здравствуйте. Спасибо большое за работу. В решение «всё разложено по полочкам». Не ожидала, что так быстро будет выпо…

Все отзывы

Сделаем вовремя

Знаем, как для тебя важно вовремя получить работу. Твой личный менеджер проследит, чтобы работу выполнили в срок качественно.

Предоставим гарантию

Мы будем сопровождать тебя на всех этапах выполнения работы. Если понадобится, бесплатно внесем правки и поможем во время подготовки к экзамену.

Всегда на связи

Мы будем на связи 24/7, так что если возникнут вопросы, не стесняйся — задавай!

Сделаем качественно

Наш отдел контроля качества проверит твою работу от и до, чтобы каждая запятая была на своём месте, каждый расчёт соответствовал ТЗ и каждая таблица была оформлена по ГОСТу.

Zaochnik — онлайн-сервис помощи студентам. Команда экспертов поможет решить любые учебные проблемы, причем сделает это оперативно и качественно.

Сервис помощи студентам

Образовательный сервис Zaochnik работает по простой схеме:

Вы подаете заявку с учебным заданием.
Менеджер выбирает самого компетентного эксперта-консультанта.
Эксперт выполняет заказ и после оплаты передает вам работу.

Важно, что Zaochnik предоставляет помощь в учебе с гарантиями: работы проходят контроль качества, а корректировки вносятся бесплатно.

Еще одно преимущество Заочника — личный менеджер и круглосуточная онлайн-поддержка. Ваш персональный помощник всегда будет на связи и расскажет, как продвигается выполнение работы.

Помощь студентам в написании учебных работ

Наш сервис работает официально и с каждым клиентом заключает договор. Никаких недоразумений и невыполненных поручений: мы следим за качеством наших услуг и хотим, чтобы каждый заказ работы для студента успешно выполнялся, а клиент оставался доволен сотрудничеством.

Помощь студентам в написании работ оказывают настоящие профессионалы: опытные педагоги, кандидаты и доктора наук. Они выполняют любые виды учебных и научно-исследовательских работ:

контрольные и самостоятельные;
лабораторные и практические;
рефераты и презентации;
эссе и научные статьи;
отчеты по практике и курсовые;
дипломные и диссертации.

Команда сайта помощи студентам — это сообщество единомышленников. И эксперты, и менеджеры стремятся сделать сервис для студентов по-настоящему удобным.

Показатель нашей эффективности — работа на рынке образовательных услуг с 2001 года. За это время мы помогли сотням тысяч студентов подготовиться к сдаче экзаменв и защитам курсовых, дипломных и даже магистерских диссертаций.

Нужна помощь в учебе? Zaochnik готов сделать всё, чтобы вы сдали на «отлично».

Калькулятор дифференциальных уравнений — примеры, факты

Калькулятор дифференциальных уравнений вычисляет решение данного дифференциального уравнения первого порядка, когда мы знаем начальное условие. Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее производную функции.

Что такое калькулятор дифференциальных уравнений?

Калькулятор дифференциальных уравнений — это онлайн-инструмент, который помогает вычислить решение дифференциального уравнения первого порядка при заданных начальных условиях. Дифференциальное уравнение, имеющее степень, равную 1, называется дифференциальным уравнением первого порядка. Чтобы использовать это Калькулятор дифференциальных уравнений , введите значения в соответствующие поля ввода.

Калькулятор дифференциальных уравнений

Как пользоваться калькулятором дифференциальных уравнений?

Чтобы найти решение дифференциального уравнения первого порядка с помощью онлайн-калькулятора дифференциальных уравнений, выполните следующие шаги:

Шаг 1: Перейдите к онлайн-калькулятору дифференциальных уравнений Cuemath.
Шаг 2: Введите значения в поля ввода.
Шаг 3: Нажмите кнопку «Решить» , чтобы найти решение.
Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как работает калькулятор дифференциальных уравнений?

Дифференциальное уравнение определяется как уравнение, состоящее из производной зависимой переменной по независимой переменной. Скорость изменения количества представлена производными. Таким образом, дифференциальное уравнение представляет собой связь между изменяющейся величиной и изменением другой величины . Дифференциальное уравнение можно разделить на разные типы в зависимости от степени. У нас могут быть дифференциальные уравнения первого порядка (степень = 1), второго порядка (степень = 2), n ^-го-го порядка (степень = n). В дифференциальном уравнении первого порядка все линейные уравнения, выраженные в виде производных, имеют первый порядок. Такое уравнение задается как y’ = dy/dx = f(x, y). Чтобы найти решение дифференциального уравнения первого порядка, когда известно начальное условие y(0), необходимо выполнить следующие шаги:

Выразите данное уравнение в виде dy/dx = f(x).
Теперь запишите уравнение в виде dy = f(x)dx.
Интегрировать обе части функции.
Получаем результат как y = F(x) + C.
Чтобы определить значение C, подставьте значения начального условия y(0). Таким образом, y(0) = F(0) + C или C = y(0) — F(0).
Теперь снова подставьте значение C в уравнение, данное в шаге 4. Это будет решением дифференциального уравнения.

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Записаться на бесплатный пробный урок

Решенные примеры дифференциальных уравнений

Пример 1: Найдите решение дифференциального уравнения первого порядка y’ = x ² и y(0) = 2 и проверьте его с помощью калькулятор дифференциальных уравнений.

Решение :

Дано: y’ = x ² и y(0) = 2

dy/dx = x ²

dy = x 2 d.

Интегрируем данное дифференциальное уравнение первого порядка y(x) = x ³ / 3 + C

y(0) = 2

y(0) = F(0) + C

2 = (0) ³ / 3 + C

C = 2

y(x) = x ³ / 3 + 2

Пример 2: Найдите решение дифференциального уравнения первого порядка y’ = sinx ^{и y(0) = 3 и проверьте это с помощью калькулятора дифференциальных уравнений.}

Решение :

Дано: y’ = sinx и y(0) = 3

dy/dx = sinx

dy = sinx dx.

Интегрируем данное дифференциальное уравнение первого порядка y(x) = -cosx + C

y(0) = 3

y(0) = F(0) + C

3 = -cos (0) + C

3 + 1 = C

C = 4.

y(x) = -cosx + 4

Теперь попробуйте калькулятор дифференциальных уравнений и найдите решения для:

y’ = 3x ² и y(0) = 5
y’ = secx и y(0) = 7

☛ Математические калькуляторы:

Рабочие листы по математике и визуальные учебные программы

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Активировать высокую контрастность К основному содержанию

Дифференциальное уравнение – это математическое уравнение, связывающее некоторую функцию с ее производными. Эти видеоролики охватывают темы, важные для понимания и решения дифференциальных уравнений первого и второго порядка.

Предварительный просмотр дифференциации

В этом предварительном выпуске для университетов обсуждается понятие дифференциального уравнения: уравнения, которое выражает связь между неизвестной функцией и ее производными. На примере остывающей кофейной чашки находится дифференциальное уравнение и решается с помощью дифференцирования.

Поле направления

Что такое поле направления? Поле направлений поможет вам получить представление о решениях дифференциального уравнения. В этом видео вы научитесь рисовать поле направления.

Поиск решений

Как найти решение дифференциального уравнения? Иногда можно угадать решение. В этом видео вы узнаете, как это сделать.

Интегрирующий фактор

В этом видео вы узнаете форму линейного дифференциального уравнения первого порядка и научитесь решать эти линейные дифференциальные уравнения с использованием интегрирующего множителя.

Разделимые дифференциальные уравнения

Что такое разделимые дифференциальные уравнения? В этом видео вы узнаете, что это такое и как их решить.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Некоторые линейные дифференциальные уравнения решить легче, чем другие. В этом видео объясняется коэффициент интегрирования, который может помочь при решении линейных дифференциальных уравнений..

Маятник

Для вывода дифференциального уравнения качающегося маятника используется закон Ньютона. Полученное дифференциальное уравнение второго порядка является нелинейным. Для ее решения можно использовать линеаризацию.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Как решить дифференциальное уравнение, связанное с массой на конце колеблющейся пружины? Это дифференциальное уравнение второго порядка.

Решение неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка

Как решить неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами? Приведен пример груза на конце вибрирующей струны с учетом силы пружины, демпфирующей силы и внешней силы.