Онлайн решение матричный метод: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Матричный метод. Метод обратной матрицы.

Читать онлайн «NP=P? Алгоритмы решения NP-задач матричным методом в программе Scilab. Математическое эссе», Людмила Наумова – ЛитРес

© Людмила Наумова, 2018

ISBN 978-5-4493-7193-5

Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero

Введение

Из курса школьной математики нам все известны задачи комбинаторики, такие как задачи на перестановки, сочетания, размещения, представленные соответствующими формулами. Но эти формулы дают нам только количество решений, а не сами решения. Общих типовых алгоритмов самих решений на эти типы задач не было. Эти типы задач с большими числами можно отнести к NP задачам. Но с помощью программы Scilab раскрываются типовые алгоритмы таких задач и выдаются сами решения, и не только количество решений. Суть алгоритмов состоит в оперировании с элементами натурального ряда в строках и столбцах матрицы, а также в оперировании со строками и столбцами матрицы с помощью команд Scilab. NP- задачи, в принципе, представляют все те же задачи комбинаторики, но в больших числах. Так в одной NP- задаче могут присутствовать сразу как перестановки, так и сочетания и размещения, могут быть эти операции (сочетания, размещения, перестановки) последовательно повторяться, но уже с другими, полученными в ходе решения задачи, данными, могут быть заданы дополнительные еще какие либо условия или вычисления. Суть в том, что зная типовые алгоритмы перестановок, размещения, сочетания, эти алгоритмы можно использовать сколько угодно в одной задаче и таким образом решать NP задачи. Подчеркнем еще раз, что приведенные ниже алгоритмы дают сами решения, а не только ответы о количестве решений, хотя и их тоже дают. В больших числах решение этих задач требует большой разрешительной мощности компьютера, но алгоритмы остаются все те же. В данной книге приводятся примеры с малыми числами, но суть дела остается та же. Тем самым, автор хочет показать, что часто решение задачи лежит на поверхности, но мы иногда не можем увидеть решение под таким углом. Автор уверен, что все больше NP-задач будет переходить в разряд P- задач. Этот процесс неизбежен с развитием программ и ростом мощности компьютеров.

Глава 1. Сущность метода, команды и типовые алгоритмы в программе Scilab 6.0.1

– Сущность метода

Любое множество можно записать в виде матрицы с элементами этого множества. Сущность применяемого метода состоит из оперирования над натуральными числами (элементами множеств), применяя матричный подход, то есть оперированием элементами матриц, их столбцов и строками, а также во взаимодействиями между матрицами (множествами).

Общие типовые алгоритмы для задач комбинаторики, таких как задач на перестановки, сочетания, размещения, которые приведены ниже, применимы для NP- задач. Эти типы задач (на перестановки, сочетания, размещения) с большими числами можно отнести к NP- задачам. NP- задачи, по сути своей, представляют все те же задачи комбинаторики, но в усложненном варианте, в одной задаче могут присутствовать сразу как перестановки, так и сочетания и размещения, могут быть эти операции (сочетания, размещения, перестановки) последовательно повторяться, но уже с другими полученными в ходе решения задачи данными, могут быть заданы дополнительные еще какие либо условия или вычисления. Но с помощью программы Scilab раскрываются типовые алгоритмы таких задач и выдаются сами решения, а не только количество решений. Суть в том, что зная типовые алгоритмы перестановок, размещения, сочетания, их можно использовать сколько угодно как типовые алгоритмы в одной задаче и таким образом решать NP- задачи.

– NP-задачи и их модели в малых числах, общие алгоритмы

Приведем примеры NP-задач:

Задача №1.

Предположим, что вы организуете размещение группы из четырехсот студентов университета. Количество мест ограничено, и только сто студентов получат места в общежитии. Ситуация усложняется тем, что декан предоставил вам список пар студентов, которые не могут жить вместе, и просил, чтобы ни одна пара из этого списка не попала в окончательный вариант.

Задача №2.

Верно ли, что среди чисел {—2, —3, 15, 14, 7, —10, …} есть такие, что их сумма равна 0?

Или еще, например, примерно такая же задача: 50, 2, 47, 5, 21, 4, 78, 1. Задача: можно ли подобрать среди этих чисел такие, что их сумма даст 100?

Задача №3.

Требуется найти кратчайший путь, проходящий точно по одному разу через каждый из шести городов А, B. C. D.I. F₆. Задана матрица расстояний между любыми парами городов,

Задачи, подобные по приведенным выше 3-м примерам кажутся неразрешимыми (до сих пор никто не смог доказать, что какая-то из них на самом деле так сложна, как кажется, т.е. что действительно нет возможности получить ответ с помощью компьютера).

Составим модели этих задач в малых числах для нахождения алгоритма и решения этих задач:

Задача-модель №1

Предположим, что вы организуете размещение группы из 5 студентов университета. Количество мест ограничено, и только 3 студента получат места в общежитии. Ситуация усложняется тем, что декан предоставил вам список студентов, которые не могут жить вместе, и просил, чтобы никто из этого списка не попал в окончательный вариант.

Задача-модель №1—1

Предположим, что вы организуете размещение группы из 9 студентов университета. Количество мест ограничено 4 – это 2 комнаты по 2 человека, и только 4 студента получат места в общежитии.

Найти эти решения.

Задача-модель №3.

Требуется найти кратчайший путь, проходящий точно по одному разу через каждый из четырех городов А, B. C. D.₆. Задана матрица расстояний между любыми парами городов,

Решения NP-задач и их задач-моделей аналогичны и имеют одни и те же алгоритмы, решения задач-моделей приведены ниже.

Что такое матрица решений? Pugh, Проблема или Таблица выбора

• Дом /
• Качественные ресурсы /
• Матрица решений

Глоссарий качества Определение: матрица решений

Также называется: матрица Пью, сетка решений, матрица выбора или сетка, матрица проблем, матрица выбора проблем, анализ возможностей, матрица решений, форма оценки критериев, матрица на основе критериев

Матрица решений оценивает и расставляет приоритеты в списке вариантов и является инструментом принятия решений. Сначала команда составляет список взвешенных критериев, а затем оценивает каждый вариант по этим критериям. Это разновидность Г-образной матрицы.

Когда использовать матрицу решений

• Когда список вариантов должен быть сужен до одного варианта
• Когда решение должно быть принято на основе нескольких критериев
• После того, как список опций был сокращен до управляемого числа путем сокращения списка

Типичные ситуации:

• Когда необходимо выбрать одну возможность улучшения или проблему для работы над
• Когда может быть реализовано только одно решение или подход к решению проблемы
• Когда можно разработать только один новый продукт

Процедура матрицы решений

1. Обсудите критерии оценки, соответствующие ситуации. По возможности вовлекайте в этот процесс клиентов.
2. Обсудите и уточните список критериев. Определите любые критерии, которые должны быть включены, и те, которые не должны быть включены. Сократите список критериев до тех, которые команда считает наиболее важными. Могут быть полезны такие инструменты, как сокращение списка и множественное голосование.
3. Присвойте относительный вес каждому критерию в зависимости от того, насколько этот критерий важен для ситуации. Это можно сделать двумя способами:
   1. Распределив 10 баллов по критериям на основе обсуждения в команде и консенсуса.
   2. Каждому участнику присваиваются весовые коэффициенты, а затем числа для каждого критерия для взвешивания составной команды.
4. Нарисуйте L-образную матрицу. Запишите критерии и их веса в виде меток вдоль одного края и список вариантов вдоль другого края. Как правило, группа с меньшим количеством элементов занимает вертикальный край.
5. Оцените каждый выбор по критериям. Это можно сделать тремя способами:

   Способ 1: Установите рейтинговую шкалу для каждого критерия. Некоторые варианты:

   1. 1, 2, 3 (1 = небольшая протяженность, 2 = некоторая протяженность, 3 = значительная протяженность)
   2. 1, 2, 3 (1 = низкий, 2 = средний, 3 = высокий)
   3. 1, 2, 3, 4, 5 (от 1 = мало до 5 = отлично)
   4. 1, 4, 9 (1 = низкий, 4 = умеренный, 9 = высокий)
   
   Важно, чтобы ваши рейтинговые шкалы были последовательными. Сформулируйте свои критерии и установите шкалы так, чтобы верхняя часть шкалы (5 или 3) всегда была оценкой, которая склоняла бы вас к выбору этого варианта: наибольшее влияние на клиентов, наибольшая важность, наименьшая сложность, наибольшая вероятность успеха.

   Метод 2: Для каждого критерия ранжируйте все варианты в соответствии с тем, насколько хорошо каждый соответствует критерию. Пронумеруйте их, где 1 означает вариант, наименее желательный в соответствии с этим критерием.

   Метод 3 (матрица Пью):

   Установите базовый уровень, которым может быть одна из альтернатив или текущий продукт или услуга. По каждому критерию оцените альтернативные варианты по сравнению с исходным уровнем, используя баллы хуже (-1), так же (0) или лучше (+1). Можно использовать более тонкие оценочные шкалы, такие как 2, 1, 0, -1, -2 для пятибалльной шкалы или 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3 для семибалльной шкалы. Опять же, убедитесь, что положительные числа отражают желаемые рейтинги.

6. Умножьте рейтинг каждого варианта на вес. Добавьте баллы за каждый вариант. Вариант с наивысшим баллом не обязательно будет выбран, но относительные баллы могут вызвать содержательное обсуждение и привести команду к консенсусу

Пример матрицы решений

На рис. 1 показана матрица решений, используемая командой обслуживания клиентов в ресторане Parisian Experience, чтобы решить, какой аспект общей проблемы «долгого времени ожидания» решать в первую очередь. Проблемы, которые они выявили, — это клиенты, ожидающие хозяина, официанта, еду и чек.

Критерии, которые они определили: «Болезненность клиента» (насколько это негативно влияет на клиента?), «Простота решения», «Влияние на другие системы» и «Скорость решения». Первоначально критерий «Легкость решения» был записан как «Сложно решить», но эта формулировка перевернула шкалу оценок. В текущей формулировке высокая оценка по каждому критерию определяет состояние, которое будет способствовать выбору проблемы: высокая болезненность для клиента, очень простое решение, высокое влияние на другие системы и быстрое решение.

Рисунок 1: Пример матрицы решений

«Неудобство клиента» было оценено в 5 баллов, что свидетельствует о том, что команда считает этот критерий наиболее важным по сравнению с 1 или 2 баллами для других критериев.

Команда выбрала шкалу оценки: высокая = 3, средняя = 2 и низкая = 1, и использовала ее для решения задачи. «Клиенты ждут еды». В этом примере боль клиента средняя (2), потому что атмосфера в ресторане приятная. Эту проблему будет нелегко решить (низкая простота = 1), так как в ней участвуют как официанты, так и работники кухни. Влияние на другие системы среднее (2), т.к. официантам приходится совершать несколько походов на кухню. Решение проблемы займет некоторое время (низкая скорость = 1), так как кухня тесная и негибкая.

Каждый рейтинг умножается на вес этого критерия. Например, «Болезнь клиента» (вес 5) для «Клиенты ждут хоста» оценивается как высокая (3) для оценки 15. Баллы суммируются по строкам, чтобы получить общее количество для каждой проблемы. «Клиенты ждут хоста» имеет самый высокий балл — 28. Поскольку следующий наивысший балл — 18, вероятно, сначала следует решить проблему с хостом.

Рассмотрение матрицы решений

Дополнительные соображения

• Хотя матрицу решений можно использовать для сравнения мнений, ее лучше использовать для обобщения данных, собранных по различным критериям, когда это возможно.
• Подгруппы могут быть сформированы для сбора данных по различным критериям.
• Несколько критериев для выбора проблемы или возможности улучшения требуют предположений об окончательном решении. Например: оценка требуемых ресурсов, окупаемость, сложность решения и время, необходимое для решения. Следовательно, ваша оценка вариантов будет настолько хороша, насколько хороши ваши предположения о решениях.
• Крайне важно, чтобы верхний предел шкалы критериев (5 или 3) всегда был тем концом, который вы хотели бы выбрать. Такие критерии, как стоимость, использование ресурсов и сложность, могут вызвать путаницу (например, очень желательна низкая стоимость). Избегайте этого, переформулировав критерии: скажите «низкая стоимость» вместо «стоимость»; «легкость» вместо «трудность». Или в заголовках столбцов матрицы напишите, что вызывает низкие и высокие оценки. Например:
   

  Важность	Стоимость	Сложность
  низкий = 1 высокий = 5	высокий = 1 низкий = 5	высокий = 1 низкий = 5

• Если отдельные члены команды присваивают разные оценки одному и тому же критерию, обсуждайте это до тех пор, пока команда не придет к консенсусу.
  Не усредняйте рейтинги и не голосуйте за самый популярный.
• В некоторых версиях этого инструмента также рассчитывается сумма невзвешенных оценок, и обе суммы изучаются для принятия решения.
• Когда этот инструмент используется для выбора плана, решения или нового продукта, результаты можно использовать для улучшения вариантов. Вариант с высоким общим рейтингом, но с низкими баллами по критериям A и B, можно модифицировать с помощью идей из вариантов с высокими баллами по A и B. Это объединение и улучшение можно выполнить для каждого варианта, а затем снова использовать матрицу решений для оценки. новые опции.

Взято из The Quality Toolbox, Second Edition, ASQ Quality Press.

Избранные рекламодатели

---

Как использовать матрицу решений, чтобы сделать трудный выбор

Как бизнес-аналитик, вы должны принимать множество важных решений. От стратегического планирования до оценки политик и моделирования процессов ваш выбор часто бывает сложным и оказывает непосредственное влияние на бизнес.

Когда так много поставлено на карту (и так много факторов, которые нужно учитывать), как вы можете знать, делаете ли вы лучший выбор?

Матрица решений может помочь.

Что такое матрица решений?

Матрица решений — это инструмент, который помогает бизнес-аналитикам и другим заинтересованным сторонам оценивать свои варианты с большей ясностью и объективностью. Матрица решений (или сетка) может:

• Уменьшить усталость от принятия решений.
• Уменьшить субъективность в принятии решений.
• Уточнить и расставить приоритеты вариантов.

Таблицы принятия решений определяют критерии принятия решения и ранжируют их на основе наиболее важных факторов. Эти сетки предоставляют аналитикам измеримый метод для систематической оценки их вариантов.

Матрица решений также известна под другими именами, в том числе:

• Матрица Пью
• Сетка решений
• Анализ возможностей
• Многоатрибутная теория полезности
• Анализ сетки
• Матрица выбора задач
• Форма рейтинга критериев
• Матрица выбора задач

Другим типом матрицы принятия решений является матрица Эйзенхауэра, но она фокусируется на определении и ранжировании личных приоритетов, а не на основных бизнес-решениях.

Несмотря на то, что требуются некоторые базовые расчеты, концепция и применение довольно просты и понятны.

Когда использовать матрицу решений

Матрица решений хороша тем, что ее можно применять ко многим различным типам решений. Тем не менее, это наиболее эффективно, когда вы или ваша команда сравниваете несколько вариантов или критериев, которые необходимо сузить до одного окончательного выбора.

Это обычное решение для бизнес-аналитиков, а также руководителей проектов, бизнес-лидеров, дизайнеров и других заинтересованных сторон, которым приходится совмещать множество возможностей со сложными критериями и требованиями.

Как составить матрицу решений

Красота матрицы решений заключается в том, насколько просто ее создать. Вы можете создать матрицу решений вручную на листе бумаги, доске или в электронной таблице. Также доступны онлайн-шаблоны.

Готовый шаблон матрицы решений Lucidchart поможет вам сразу приступить к работе. Благодаря богатым функциям, таким как связывание данных и условное форматирование, вы можете настраивать свои шаблоны, чтобы быстрее находить лучшее решение.

Матрица решений организована в виде таблицы строк и столбцов. В строках перечислены потенциальные варианты, а в столбцах указаны различные факторы или критерии принятия решений, которые следует учитывать.

Проведение пошагового анализа принятия решений

Мы будем использовать простое решение, чтобы проиллюстрировать, как работает базовая матрица решений. Допустим, вы хотите пригласить свою команду в ресторан, чтобы отпраздновать победу. Матрица решений может помочь вам выбрать, куда идти.

1. Создайте матричную таблицу

Первый шаг — создать матрицу. Как отмечалось ранее, таблица будет организована в виде строк параметров и столбцов критериев. Заполните строки различными вариантами, которые вы рассматриваете. В этом примере ваши варианты могут быть:

• Fancy New York Steakhouse
• Элегантная итальянская кухня
• Веселая мексиканская закусочная
• Интерактивный японский ресторан

Далее вы определите критерии, которые будете использовать для их оценки.

2. Критерии мозгового штурма

Теперь, когда у вас есть таблица и варианты, вы можете провести мозговой штурм, какие факторы или критерии вы будете использовать. Общие критерии для бизнес-решений включают:

• Стоимость
• Возврат инвестиций
• Бай-ин (от команды или клиентов)
• Воздействие на другие системы
• Необходимые ресурсы (время, деньги, люди)
• Простота реализации
• Ценность для клиента
• Возможные проблемы или негативные последствия
• Актуальность проблемы

Если применимо, привлеките клиентов или других заинтересованных лиц, чтобы помочь вам сузить список критериев оценки до наиболее важных.

Обдумывая, определите, какими атрибутами должно обладать окончательное решение. Это поможет вам заранее исключить варианты, которые не соответствуют вашим требованиям.

В нашем примере вы можете рассмотреть следующие критерии или требования:

• Приспособления для пищевой аллергии
• Стоимость
• Развлечения
• Настройки команды
• Расстояние от офиса

3.

Оцените и ранжируйте критерии

Теперь вы сравните критерии принятия решений с вариантами. Другими словами, вы будете оценивать, насколько хорошо соответствует каждому критерию каждый вариант. Есть несколько способов сделать это:

Метод 1: Оцените критерии по шкале (обычно 1-3 или 1-5). Чем выше число, тем лучше этот критерий соответствует варианту.

Способ 2: Ранжируйте варианты по критериям. По каждому критерию ранжируйте свои варианты в зависимости от того, насколько хорошо каждый из них соответствует требованию (1 — низкий или наименее желательный).

Метод 3: Используйте матричный метод Пью и сравните свои варианты с базовым уровнем. Ваш базовый план может быть либо одним из рассматриваемых вариантов, либо существующим решением, которое ваша команда или компания использует и планирует заменить. По каждому критерию оцените вариант по сравнению с базовым уровнем как хуже (-1), так же (0) или лучше (+1).

Чтобы применить метод матрицы Пью к примеру с рестораном, предположим, что ранжирование выглядит следующим образом:

тот же уровень приоритета. Например, если у вас есть строгие бюджетные ограничения, стоимость может быть важнее других критериев в таблице.

Чтобы измерить эту разницу в приоритете, вам нужно взвесить требования от наименее важных к наиболее важным. Проще всего использовать ту же шкалу, что и вы, для ранжирования вариантов.

5. Оцените свои варианты

Наконец, пришло время оценить ваши варианты, чтобы определить, какое решение принять.

Чтобы рассчитать окончательную оценку каждого варианта, просто умножьте рейтинг каждого варианта на вес каждого критерия. Например, если вы указали стоимость в качестве критерия с весом 5, а вариант А имел ранг 2 для этого критерия, вы должны умножить 5 на 2, чтобы получить 10.

Вы повторяете этот процесс для каждого варианта по каждому критерию.

No related posts.