Онлайн решение системы неравенств с двумя переменными: Решение системы неравенств · Калькулятор Онлайн – Решение систем неравенств | Онлайн калькулятор

Решение неравенств любого вида. Онлайн калькулятор с примерами

Решение неравенств онлайн

Перед тем как решать неравенства, необходимо хорошо усвоить как решаются уравнения.

Не важно каким является неравенство – строгим () или нестрогим (≤, ≥), первым делом приступают к решению уравнения, заменив знак неравенства на равенство (=).

Поясним что означает решить неравенство?

После изучения уравнений в голове у школьника складывается следующая картина: нужно найти такие значения переменной, при которых обе части уравнения принимают одинаковые значения. Другими словами, найти все точки, в которых выполняется равенство. Всё правильно!

Когда говорят о неравенствах, имеют в виду нахождение интервалов (отрезков), на которых выполняется неравенство. Если в неравенстве две переменные, то решением будут уже не интервалы, а какие-то площади на плоскости. Догадайтесь сами, что будет решением неравенства от трех переменных?

Как решать неравенства?

Универсальным способом решения неравенств считают метод интервалов (он же метод промежутков), который заключается в определении всех интервалов, в границах которых будет выполняться заданное неравенство.

Не вдаваясь в тип неравенства, в данном случае это не суть, требуется решить соответствующее уравнение и определить его корни с последующим обозначением этих решений на числовой оси.

Можно сказать на этом полдела сделано. Далее, взяв любую точку на каждом интервале, осталось определить выполняется ли само неравенство? Если выполняется, то он входит в решение неравенства. Ели нет, то пропускаем его.

Как правильно записывать решение неравенства?

Когда вы определили интервалы решений неравенства, нужно грамотно выписать само решение. Есть важный нюанс – входят ли границы интервалов в решение?

Тут всё просто. Если решение уравнения удовлетворяет ОДЗ и неравенство является нестрогим, то граница интервала входит в решение неравенства. В противном случае – нет.

Рассматривая каждый интервал, решением неравенства может оказаться сам интервал, либо полуинтервал (когда одна из его границ удовлетворяет неравенству), либо отрезок – интервал вместе с его границами.

Важный момент

Не думайте, что решением неравенства могут быть только интервалы, полуинтервалы и отрезки. Нет, в решение могут входить и отдельно взятые точки.

Например, у неравенства |x|≤0 всего одно решение – это точка 0.

А у неравенства |x|

Для чего нужен калькулятор неравенств?

Калькулятор неравенств выдает правильный итоговый ответ. При этом в большинстве случаев приводится иллюстрация числовой оси или плоскости. Видно, входят ли границы интервалов в решение или нет – точки отображаются закрашенными или проколотыми.

Благодаря онлайн калькулятору неравенств можно проверить правильно ли вы нашли корни уравнения, отметили их на числовой оси и проверили на интервалах (и границах) выполнение условия неравенства?

Если ваш ответ расходится с ответом калькулятора, то однозначно нужно перепроверить свое решение и выявить допущенную ошибку.

калькулятор системы неравенств онлайн

Вы искали калькулятор системы неравенств онлайн? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и решить графически систему неравенств онлайн, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «калькулятор системы неравенств онлайн».

калькулятор системы неравенств онлайн

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как калькулятор системы неравенств онлайн,решить графически систему неравенств онлайн,решить систему неравенств графически онлайн,решить систему неравенств онлайн графически. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и калькулятор системы неравенств онлайн. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, решить систему неравенств графически онлайн).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же калькулятор системы неравенств онлайн Онлайн?

Решить задачу калькулятор системы неравенств онлайн вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Решение неравенств онлайн

Неравенства - это выражения вида:

f(x) ≥ 0

где вместо знака ≥, может стоять знак ≤ или знаки < и >.

Решить, приведённое выше неравенство, означает найти совокупность всех значений переменной x при которых выражение f(x) больше или равно 0.

Рассмотрим график произвольной функции f(x):

график произвольной функции f(x)

Из графика мы может сразу же записать интервалы значений х при которых функция f(x) ≥ 0 (закрашены светло-зелёным цветом):

f (x) ≥ 0 <=> { x є (−∞; x1] U [x2; x3] U [x4; +∞) }

Из графика видно, что функция меняет знак в точках пересечения оси х. Следовательно, для решения любых неравенств, сначала нужно определить такие значения x, при которых функция f(x) равна нулю, т.е. решить уравнение f(x) = 0.

Полученный набор значений xi (т.е. корни уравнения f(x)=0) разбивает координатную ось на интервалы в каждом из которых значение функции сохраняет свой знак (либо больше, либо меньше нуля).

Для решения соответствующего неравенства, нужно определить знак функции в каждом из полученных интервалов и выбрать те из них, которые удовлетворяют условию неравенства. Для того, чтобы определить знак функции на некотором интервале (xi; xj), нужно подставить вместо значения x в выражение f(x) любое значение xk є (xi; xj).

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha LLC, способен решить очень большое количество разнообразных неравеств с описанием пошаговых действий.

Решение систем неравенств с двумя переменными

Вопросы занятия:

·  повторить алгоритм решения неравенств с двумя переменными;

·  повторить алгоритм решения систем неравенств с двумя переменными.

Материал урока

Рассмотрим неравенство:

При х = -3 и у = 0 это неравенство обращается в верное числовое неравенство 19 > 8.

А при x = 2 и y = 10, это неравенство обращается в числовое неравенство -41 > 8. Очевидно, что это неверное числовое неравенство.

То есть мы можем сказать, что пара чисел (-3; 0) является решением данного неравенства, а пара чисел (2; 10) не является решением этого неравенства.

Повторим определение.

Определение.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство.

Возвращаясь к нашему примеру, мы можем сказать, что пара чисел (-3; 0) является решением данного неравенства.

Очевидно, что это не единственное решение.

Теперь давайте вспомним алгоритм решения неравенств с двумя переменными:

1. Заменить знак неравенства на знак равенства.

2. Выразить переменную у через х.

3. Построить график полученного уравнения.

4. Выделить часть плоскости, соответствующую знаку неравенства.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Прежде чем перейти к решению систем неравенств с двумя переменными, давайте вспомним определения.

Определение.

Говорят, что задана система двух неравенств с двумя переменными, если требуется найти все значения переменных, при которых оба неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.

Определение.

Решением системы неравенств называют такое значение переменной, при котором неравенства системы преобразуются в верные числовые неравенства.

Определение.

Решить систему неравенств это значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Алгоритм решения систем неравенств с двумя переменными практически такой же, как и алгоритм решения системы неравенств с одной переменной:

1. Решить каждое из неравенств системы отдельно.

2. Изобразить полученные решения в координатной плоскости.

3. Найти пересечение этих решений.

4. Общая часть этих решений и является решением данной системы неравенств.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Решим ещё одну систему неравенств.

Пример.

Итоги урока

Сегодня на уроке мы повторили алгоритмы решения неравенств и систем неравенств с двумя переменными. Решили несколько задач.

Решение показательных неравенств онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Решим показательное неравенство 5^x + (1/5)^x > 5 с помощью онлайн сервиса, который находится по ссылке

>>решение неравенств онлайн <<

Введём указанное неравенство в данный калькулятор:

Решение показательных неравенств онлайн

Вы получите следующее подробное решение для неравенства:

Дано неравенство: $$5^{x} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x} > 5$$ Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние: $$5^{x} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x} = 5$$ Решаем:
Дано уравнение: $$5^{x} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x} = 5$$ или $$5^{x} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x} - 5 = 0$$ Сделаем замену $$v = \left(\frac{1}{5}\right)^{x}$$ получим $$v - 5 + \frac{1}{v} = 0$$ или $$v - 5 + \frac{1}{v} = 0$$ делаем обратную замену $$\left(\frac{1}{5}\right)^{x} = v$$ или $$x = - \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (5 \right )}}$$ $$x_{1} = \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(- \log{\left (2 \right )} + \log{\left (\sqrt{21} + 5 \right )}\right)$$ $$x_{2} = \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(\log{\left (- \sqrt{21} + 5 \right )} - \log{\left (2 \right )}\right)$$ $$x_{1} = \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(- \log{\left (2 \right )} + \log{\left (\sqrt{21} + 5 \right )}\right)$$ $$x_{2} = \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(\log{\left (- \sqrt{21} + 5 \right )} - \log{\left (2 \right )}\right)$$ Данные корни $$x_{2} = \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(\log{\left (- \sqrt{21} + 5 \right )} - \log{\left (2 \right )}\right)$$ $$x_{1} = \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(- \log{\left (2 \right )} + \log{\left (\sqrt{21} + 5 \right )}\right)$$ являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки: $$x_{0} < x_{2}$$ Возьмём например точку $$x_{0} = x_{2} - 1$$ =


             /      ____\    
-log(2) + log\5 - \/ 21 /    
------------------------- - 1
            1                
         log (5)             

= $$-1 + \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(\log{\left (- \sqrt{21} + 5 \right )} - \log{\left (2 \right )}\right)$$ подставляем в выражение $$5^{x} + \left(\frac{1}{5}\right)^{x} > 5$$


              /      ____\                       /      ____\        
 -log(2) + log\5 - \/ 21 /          -log(2) + log\5 - \/ 21 /        
 ------------------------- - 1    - ------------------------- + 1    
             1                                  1                    
          log (5)                            log (5)                 
5                              + 5                                > 5


                   /      ____\                     /      ____\    
      -log(2) + log\5 - \/ 21 /        -log(2) + log\5 - \/ 21 /    
 -1 + -------------------------    1 - ------------------------- > 5
                log(5)                           log(5)             
5                               + 5                                 

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(\log{\left (- \sqrt{21} + 5 \right )} - \log{\left (2 \right )}\right)$$


 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ: $$x < \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(\log{\left (- \sqrt{21} + 5 \right )} - \log{\left (2 \right )}\right)$$ $$x > \frac{1}{\log{\left (5 \right )}} \left(- \log{\left (2 \right )} + \log{\left (\sqrt{21} + 5 \right )}\right)$$

Также вы будете иметь графическое решение показательного неравенства:

Показательные неравенства онлайн

Графическое решение систем неравенств

Здесь мы рассмотрим графические решения нескольких систем неравенств. Умение решать такие задачи очень помогает впоследствии, при освоении задач с параметрами.

Задача 1.  Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы неравенств:

    \[\begin{Bmatrix}{ x+3y-3\geqslant 0}\\{ 2x+3y-12\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2}\end{matrix}\]

Перепишем иначе:

    \[\begin{Bmatrix}{ y\geqslant 1-\frac{x}{3}}\\{ y\leqslant 4-\frac{2x}{3}}\\{ x\geqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2}\end{matrix}\]

Графическое решение системы неравенств

Рисунок 1

Нас интересует только правая полуплоскость (x\geqslant 0), область, лежащая выше оси x (y \geqslant 0), но ниже прямой y=2 (y \leqslant 2) – проведена серым цветом.

Теперь построим графики первых двух функций. Возьмем в решения область ниже зеленой прямой y=4-\frac{2x}{3}, но выше синей y=1-\frac{x}{3}.

Определим площадь полученной фигуры (залита бежевым) по формуле Пика:

    \[S=4+\frac{9}{2}-1=7,5\]

Ответ: 7,5

Задача 2.  Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы неравенств:

    \[\begin{Bmatrix}{ x-y+1\leqslant 0}\\{ 5x-3y+15\geqslant 0}\\{ x\leqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2,5}\end{matrix}\]

Перепишем иначе:

    \[\begin{Bmatrix}{ y\geqslant x+1}\\{ y\leqslant \frac{5x}{3}+5}\\{ x\leqslant 0}\\{0\leqslant y \leqslant 2,5}\end{matrix}\]

Графическое решение системы неравенств

Рисунок 2

Нас интересует только левая полуплоскость (x\leqslant 0), область, лежащая выше оси x (y \geqslant 0), но ниже прямой y=2,5 (y \leqslant 2,5) – проведена серым цветом.

Теперь построим графики первых двух функций. Возьмем в решения область выше рыжей прямой y=x+1, но ниже синей y=\frac{5x}{3}+5.

Определим площадь данной фигуры путем разбиения ее на простейшие геометрические фигуры: две трапеции. У левой трапеции основания 0,5 и 2, высота 2,5, площадь ее равна

    \[S=\frac{0,5+2}{2}\cdot2,5=3,125\]

У правой основания 2,5 и 1,5 (она на боку лежит), а высота  равна 1. Ее площадь

    \[S=\frac{2,5+1,5}{2}\cdot1=2\]

Общая площадь фигуры равна 5, 125.

Ответ: 5, 125.

Задача 3.  Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. Найти площадь замкнутой части получившейся фигуры:

    \[\begin{Bmatrix}{ (y-x-2)(x+y-3)\geqslant 0}\\{ x-2y\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}\]

Вместо исходной системы можем записать совокупность из двух:

    \[\begin{Bmatrix}{ y-x-2\geqslant 0}\\{ x+y-3)\geqslant 0}\\{ x-2y\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}\]

и

    \[\begin{Bmatrix}{ y-x-2\leqslant 0}\\{ x+y-3\leqslant 0}\\{ x-2y\leqslant 0}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}\]

Первая система имеет решения, но область решений не замкнута.

Графическое решение системы неравенств

Рисунок 3

Вторая дает нам искомую замкнутую область:

Графическое решение системы неравенств

Рисунок 4

    \[\begin{Bmatrix}{ y\leqslant x+2}\\{ y\leqslant 3-x}\\{ y\geqslant \frac{x}{2}}\\{ x\geqslant 0}\end{matrix}\]

Определим площадь данной фигуры путем разбиения ее на простейшие геометрические фигуры: два треугольника и  трапецию. У  трапеции основания 1,5 и 2, высота 1, площадь ее равна

    \[S=\frac{1,5+2}{2}\cdot 1=1,75\]

У верхнего малого треугольника основание 1, а высота  равна 0,5. Его площадь

    \[S=\frac{1}{2}\cdot0,5=0,25\]

У правого треугольника основание 1,5, высота – 1, его площадь

    \[S=\frac{1,5}{2}\cdot 1=0,75\]

Общая площадь фигуры равна 2, 75.

Ответ: 2,75.

Задача 4.  Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. При каком значении r площадь получившейся фигуры S=18\pi?

    \[\begin{Bmatrix}{r^2\leqslant x^2+y^2\leqslant 9r^2}\\{ y-3x \leqslant 0}\\{ 3y+x\geqslant 0}\end{matrix}\]

Первое двойное неравенство задает две окружности и область между ними. Две прямые вырезают сектор, показанный на рисунке фиолетовым цветом. Для рисунка был выбран радиус r=1, на самом деле он может быть любым – собственно, его и нужно определить.

Графическое решение системы неравенств

Рисунок 5

Так как прямые перпендикулярны (это понятно по их коэффициентам наклона, их произведение – (-1)), то необходимо определить четверть площади кольца.

    \[S=\frac{9\pi r^2-r^2}{4}\]

По условию, эта площадь равна S=18\pi:

    \[\frac{9\pi r^2-r^2}{4}=18\pi\]

    \[2\pi r^2=18\pi\]

    \[r^2=9\]

    \[r=3\]

Ответ: r=3.

Задача 5.  Изобразить на плоскости множество решений системы неравенств. При каком значении r площадь получившейся фигуры S=8(4-\pi)?

    \[\begin{Bmatrix}{(x-r)^2+(y-r)^2\geqslant r^2}\\{x-y\geqslant 0}\\{ y\geqslant 0}\\{ x\leqslant r}\end{matrix}\]

Снова имеем окружность, центр ее лежит на прямой y=x, поэтому она вписана в первый координатный угол (квадрант). Причем по условию, нас интересует внешняя часть этой окружности.

Графическое решение системы неравенств

Рисунок 6

Из этой внешней части мы возьмем в решения область над осью x (y\geqslant 0), а по оси x нас интересует полоса от 0 до центра окружности.

Нас интересует маленький, закрашенный зеленым, уголок. Его площадь можно найти как разность площади треугольника ABC и сектора круга. Этот сектор  – \frac{1}{8} часть круга. Поэтому

    \[S=\frac{AB\cdot OB}{2}-\frac{1}{8}\pi r^2=\frac{r^2}{2}-\frac{1}{8}\pi r^2\]

По условию, эта площадь равна S=8(4-\pi).

Определим r:

    \[\frac{r^2}{2}-\frac{1}{8}\pi r^2=8(4-\pi)\]

    \[r^2=64\]

    \[r=8\]

Ответ: r=8.

определение, неравенства и их системы

Статья раскрывает тему неравенств, разбираются определения систем и их решения. Будут рассмотрены часто встречающиеся  примеры решения систем уравнений в школе на алгебре.

Определение системы неравенств

Системы неравенств определяют по определениям систем уравнений, значит, что особое внимание уделяется записям и смыслу самого уравнения.

Определение 1

Системой неравенств называют запись уравнений, объединенных фигурной скобкой с множеством решений одновременно для всех неравенств, входящих в систему.

Ниже приведены примеры неравенств. Даны два неравенства 2·x−3>0 и 5−x≥4·x−11. Необходимо записать одно уравнение под другим, после чего объединим при помощи фигурной скобки:

2·x-3>0,5-x≥4·x-11

Таким же образом определение систем неравенств представлены в школьных учебниках как для использования одной переменной, так и двух.

Основные виды системы неравенств

Имеет место составление бесконечного множества систем неравенств. Их классифицируют по группам, отличающихся по определенным признакам. Неравенства подразделяют по критериям:

  • количество неравенств системы;
  • количество переменных записи;
  • вид неравенств.

Количество входящих неравенств может насчитывать от двух и более. В предыдущем пункте рассматривался пример решения системы с двумя неравенствами.

2·x-3>0,5-x≥4·x-11

Рассмотрим решение системы с четырьмя неравенствами.

x≥-2,y≤5,x+y+z≥3,z≤1-x2-4·y2

Решение неравенства отдельно не говорит о решение системы в целом. Для решения системы необходимо задействовать все имеющиеся неравенства.

Такие системы неравенств могут иметь одну, две, три и более переменных. В последней изображенной системе это отчетливо видно, там имеем три переменные: x, y, z. Уравнения могут содержать по одной переменной, как в примере, либо по несколько. Исходя из примеров, неравенство x+0·y+0·z≥−2 и 0·x+y+0·z≤5 не считают равнозначными. Школьным программам уделяют внимание решению неравенств с одной переменной.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *