Этот инструмент вычисляет предел функция при определенном значении x.
Можно заставить x 0 стремиться к :
— число (например 0),
— константа (pi, e),
— выражение, основанное на числах и константах,
— положительная бесконечность (введите +inf) или минус бесконечность (введите -inf).
Вы также можете указать направление для расчета левого или правого предела. Чтобы х стремился к х 0 справа (выберите + в поле направления). Для левостороннего ограничения (выберите -).
Принимаются обычные функции: синус, косинус, тангенс, логарифм, экспонента, корень и т.д.
Как пользоваться этим калькулятором?
Переменные | Функция может иметь одну или несколько переменных, но только одну основную переменную. Переменная представляет собой одну строчную или прописную букву. Примеры: Функция f с одной основной переменной: f(x) = 4*x 9 Для оператора умножения введите a*b, а не a. ![]() |
---|---|
Константы | Вы можете использовать следующие константы: pi (прибл. 3,14), e (прибл. 2,72) Примеры: f(x) = pi * x или f(x) = e * (x+ 1+2*д) 2 |
Общие функции | Вы можете использовать эти функции в выражении f(x) sqrt(x) (квадратный корень), exp(x) (экспоненциальная функция), log(x) или ln (натуральный логарифм), |
Тригонометрические функции | Вы можете использовать эти функции в выражении f(x) sin (синус), cos (косинус), tan (тангенс), cot (котангенс), сек. секанс), csc (косеканс), |
Обратные тригонометрические функции | Вы можете использовать эти функции в выражении f(x) arcsin (арксинус), arccos (арккосинус), arctan (арктангенс), arccot (аркотангенс), 5. ![]() arccsc (арккосеканс), |
Гиперболические функции | Вы можете использовать эти функции в выражении f(x) sinh (гиперболический синус), cosh (гиперболический косинус), tanh (гиперболический тангенс), coth (гиперболический котангенс), sech (гиперболический секанс), csch 50 90 cosecante (гиперболический секанс |
Обратные гиперболические функции | Вы можете использовать эти функции в выражении f(x) acosh (обратный гиперболический косинус), atanh (обратный гиперболический тангенс), acoth (арктический гиперболический котангенс), asech (арктический гиперболический секанс), acsch (арктический гиперболический косеканс) |
Что такое предел функции?
Предел функции в данной точке говорит нам о поведении этой функции, когда x приближается к этой точке, не достигая ее.
Обозначение
Если предел f(x) равен L, когда x стремится к a, где a и L — действительные числа, то мы можем записать это как,
`lim_(x -> a) f(x) = L`
Это означает, что когда x становится очень близким к ‘a’, значение функции f становится очень близким к L.
Приведенное выше определение и обозначения остаются в силе, если «a» и/или «L» заменены положительной бесконечностью или отрицательной бесконечностью. Например,
`lim_(x -> +oo) f(x) = L` означает, что когда x становится очень большим (стремится к бесконечности), значение функции становится очень близким к L (случай горизонтального асимптота).
Так же,
`lim_(x -> a) f(x) = +oo` означает, что когда x становится ближе к ‘a’, значение функции становится больше (стремится к положительной бесконечности, это случай вертикальной асимптота).
Левый и правый ограничители
В приведенном выше определении мы можем различать два способа, которыми значения x стремятся к «a»:
— x стремится к «a» справа, т. е. приближается к «a», оставаясь при этом больше, чем «a», отметим это. `х -> а+`. Полученный в этом случае предел называется правым пределом.
— Точно так же x может стремиться к ‘a’ слева, т.е. становится ‘близким’ к ‘a’, оставаясь при этом меньше а, мы отмечаем это ‘x ->
Это различие необходимо, поскольку для некоторых функций «правый предел» может отличаться от «левого предела» при определенном значении x. Пример:
`lim_(x -> 0+) 1/x = +oo`, но `lim_(x -> 0-) 1/x = -oo`
Итак, `lim_(x -> 0) 1/ х` не определен. Мы можем обобщить это следующим образом:
`(lim_(x -> a) f(x) = L)` тогда и только тогда, когда `(lim_(x -> a+) f(x) = L)` и `(lim_(x -> a-) f(x) = L)`
Поэтому важно проверить предел с обеих сторон.
Как вычислить предел функции?
Вычисление прямой замены (случай `x -> a`)
Прямая подстановка — это первый метод, который нужно попробовать, то есть заменить x на «a», чтобы увидеть, как функция ведет себя в окрестности «a». Прямая замена может привести либо к определенная форма (или определенная форма) или неопределенная форма (или неопределенная форма). В последнем случае неопределенность должна быть устранена путем применения таких методов, как упрощение, сопряженное умножение и т. д.
n (как n отрицательное) ненулевое отрицательное вещественное число,
q (ненулевое число с неопределенным знаком),
`+oo`, положительная бесконечность,
`-oo`, отрицательная бесконечность,
`oo`, бесконечность (с неопределенным знаком).
Определенные формы: сложение и вычитание
`+oo+oo = +oo` | `-оо-оо = -оо` |
`q + (+oo) = +oo` | `q + (-oo) = -oo` |
Детерминированные формы: умножение и деление
`+oo. +оо = +оо` | `-оо. -оо = +оо` |
`стр.![]() | `н. (+оо) = -оо` |
`стр. (-оо) = -оо` | `н. (-оо) = +оо` |
`(+oo)/p = +oo` | `(+oo)/n = -oo` |
`(-oo)/p = -oo` | `(-oo)/n = +oo` |
`q/oo = 0` | `0/оо = 0` |
Детерминированные формы с силовым оператором
Вот наиболее часто используемые методы снятия неопределенности:
— Факторизация члена высшей степени полинома (случай отношения двух полиномов)
— Факторизация полиномов
— Применение замечательного тождества
— Применение правила больницы, которое может быть формулируется следующим образом:
`lim_(x -> a) f(x) /g(x) = lim_(x ->
Вычисление a предел, когда `x -> oo`
В этом случае мы заменяем x на бесконечность (именно большие положительные числа для `+oo` и большие отрицательные числа для `-oo`), чтобы увидеть поведение функции. Вот несколько примеров: 92` становится больше и стремится к `+oo`.
Пример 3: случай определенной формы (`1/(+oo) `)
`lim_(x -> +oo) 1/(x+1) = 0`,
Когда `x` становится больше, `1/(x+1) `становится меньше и ближе к 0.
Примеры расчета предела с неопределенной формой
Пример A: неопределенная форма `0/0`
Вычислить `lim_(x -> 1) (x-1)/(sqrt(x) -1) `
Область определения – множество положительных действительных чисел , 1 исключается. 92 -1)/(sqrt(x) — 1) = (((sqrt(x) -1) * (sqrt(x) +1))/(sqrt(x) — 1)) = sqrt(x) + 1`
Сделав прямую замену, легко вывести, что
`lim_(x -> 1) (x-1)/(sqrt(x)-1) = 2`
См. также
Примитивный калькулятор
Расширение ряда Тейлора
Значение функции
Определенный интеграл
Руководство по вычислению предельных функций с помощью онлайн-калькуляторов
Предельные функции связаны с вычислениями и анализом. Это значение, к которому функция приближается по мере того, как входные данные этой функции становятся все ближе и ближе к некоторому другому числу. Производные и определенные интегралы определяются на основе предельных функций. Математически
Предел f(x) при приближении x к x 0 равен L, т.е.
ОбъяснениеОграничения говорят нам, куда движется конкретная функция.
Рассмотрим функцию
F(x) = 3x 2 -1
По этой функции мы сначала увидим, к какому значению она приближается. Давайте используем значение x, близкое к числу 4. Давайте посмотрим, используя некоторые входные данные.
X | F(X) |
3.9 | 46.63 |
3.99 | 46.7603 |
3.999 | 46.976003 |
For the above-written values, we will скажем, что функция приближается к 47. Таким образом, вы можете сказать, что предел функции, когда x приближается к 4, равен 47. Есть одна вещь, которую следует помнить, что мы можем измениться до без разбора близкого к числу 47, просто нужно выбрать значения, которые достаточно близко к 4, чтобы сделать это. но тут возникает новый вопрос, а нельзя ли было найти предел, подставив в функцию 4? Разве это не даст вам 47? Да, в этом случае фокус с пределом должен быть на значении, которое он пытается достичь, и есть некоторые функции, в которых вы не можете указать число, чтобы найти предел. Другими словами, они не обязательно одинаковы.
Рассмотрим другой сценарий
F(x) = x 2 -4/x-2
Нас, как и ранее, интересует, какое значение пытается достичь функция. We use the value of x close to 3.
x | F(X) |
2.9 | 4.9 |
2.99 | 4.99 |
2.999 | 4.999 |
Итак, мы снова говорим, что предел функции, когда x приближается к 3, равен 5. Если вы попытаетесь найти это значение, вместо этого подставив 3, произойдет нечто странное. Когда вы подставите 3 в функцию, вы получите результат 00. Это показывает, что функция на самом деле никогда не достигает 5. На самом деле, беглый взгляд на график показывает дыру прямо в 5. Несмотря на дыру, поведение функции, ведущей к нему, такое же. Поскольку поведение остается прежним, мы продолжаем утверждать, что максимум функции при приближении x к 3 равен 5, даже если он никогда не достигает его.
Существует множество методов расчета лимитов. Некоторые из них перечислены ниже.
- Путем подстановки значения «x».
- С помощью калькулятора.
- Рационализация числителя.
- Нахождение наименьшего подобного знаменателя.
- По факторингу.
- С помощью онлайн-калькулятора лимитов.
Пример 1
Допустим, нам дали следующую предельную функцию для работы.
x-6x+8/x-4
Сначала подставим в функцию 4, в результате вы получите ноль в числителе и знаменателе. Квадратное выражение в числителе подскажет вам разложить его на множители по среднесрочному разбиению. Уравнение составит следующий коэффициент (x-2)(x-4). Поскольку (x-4) присутствует в числителе и знаменателе, они компенсируют друг друга.
Остается: F(x) = x – 2
Но когда x = 4, у него есть дыра, потому что исходная функция там все еще не определена (поскольку она создает 0 в знаменателе). Однако, если член в знаменателе не сократился и значение по-прежнему не определено, предел функции при значении x не существует
Теперь рассмотрим другой пример
F(x) = x 2 -3x-28/x 2 -6x-7
= (x-7)(x+4)/(x-7)(X+1)
Теперь, если вы спросите предел функции как x приближается к 7, вы можете соединить 7 с сортировкой отмены и получить 11/8 .
Пример 2 (методом плагина)Предположим, что у нас есть следующий предел: )-3/(4) 2 -9
=5/7
Таким образом, простой метод заключается в том, что сначала вам нужно увидеть, куда приближается x. В данном примере x приближается к 4. Таким образом, вы должны поставить или подставить 4 везде, где вы найдете x. который дал вам приблизительный результат предельных функций. Но настоящая проблема возникает, когда вы оставили с нулем в знаменателе.
Итак, предположим, что нам дана следующая функция ограничения останется с нулем в знаменателе. Вы получите ноль не только в знаменателе, но и в числителе, который является совершенно неопределенной формой. Итак, это выражение умоляет вас разложить его на множители.
(х-3)(х+1)/(х+3)(х-3)
=х+1/х+3
=3+1/3+3
=2/3
Суть факторинга в том, что он избавился от этих проблемных терминов ( x -3)/(x -3) того члена, который создавал 0/0 форма. Теперь, когда они выпали, вы можете подключиться и просто получить фактическое число, которому равен лимит.
Предел не существует (DNE)-условие:
Предположим, нам дали следующую задачу для работы.
x 2 +2x-8/x 2 +5x+4
Посмотрите на это. Вы снова подключаете в конце, и вы все еще получаете ноль в знаменателе. Что не определено. Это означает, что ваша функция увеличивается без ограничений до бесконечности или отрицательной бесконечности. Он безграничен, и вы можете написать его как DNE (не существует).
По общему знаменателю:
Посмотрите на следующий пример. Здесь нельзя ни факторизовать, ни вставлять. Так что вам просто нужно сделать знаменатель таким же, чтобы получить требуемый результат.
Открывающая скобка(x+2) 2 -4x
Вот еще один распространенный пример. Это также очень полезно. Во-первых, вы должны попробовать плагин. После решения он останется в неопределенной форме. Вы не можете ни разложить на множители, ни привести к общему знаменателю, как показывает текущее состояние. Вот четвертый подход, посмотрите, сможете ли вы все расширить, умножить, распределить, а затем упростить. Будем надеяться, что что-то отменит и вы сможете с плагином, в конце концов, и найти нужный лимит. Написанное выше выражение можно записать и после упрощения.
(x+4)
= 0+4=4
Нахождение предела с помощью онлайн-калькулятора пределов:
Существует несколько онлайн-калькуляторов для нахождения предельных функций. Онлайн-калькулятор лимита может помочь вам оценить конкретный лимит.
Вы увидите следующий экран.
Вот просто демонстрация, вы и заполните свою функцию и ваше значение, чтобы подойти. Теперь вам просто нужно нажать «Рассчитать». И ответ будет показан ровно внизу. Вы также можете посмотреть пошаговый метод, если не можете понять, как пришел ответ. Вы также можете иметь доступ, чтобы указать переменную, указать направление и в том числе второй предел.
Примечание: значение непрерывной функции в данном месте является ее пределом
Приложения- Измерение температуры является пределом.