Относительная и абсолютная погрешность примеры задач: Задачи с решениями

Содержание

Задачи с решениями

Все темы Абсолютная погрешность и ее граница Граница абсолютной погрешности Действия над приближенными значениями чисел Запись приближенного значения числа Как записать показательную форму комплексного числа Как записать тригонометрическую форму комплексного числа Как найти значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса с помощью единичной окружности Как представить (обратить) десятичную периодическую дробь в обыкновенную? Как решать примеры с комплексными числами Комбинаторные уравнения Комплексные числа, определение, алгебраическая форма комплексного числа, примеры Контроль «Погрешности, действия над приближенными числами» Математический анализ.

Понятие производной. Правила вычисления производных Математический анализ. Последовательности, способы задания, свойства Математический анализ. Предел последовательности Математический анализ. Применение определенного интеграла при решении прикладных задач Математический анализ. Применение производной при решении прикладных задач Относительная погрешность. Верные цифры числа Погрешности (определения, примеры) Простейшие тригонометрические уравнения Sin x = m Рациональные и иррациональные неравенства Решение квадратных тригонометрических уравнений Решение показательных неравенств Сечения цилиндра Умножение приближенных значений чисел Числовые множества

Решение неравенств

Сборник задач по математике Башмаков М. И.

Вычислительная математика. Приближенные вычисления

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике №17

Округлите до первого справа верного разряда приближенные значения данных чисел:

0,3281 ± 0,05

Граница абсолютной погрешности ∆а = 0,05 (разряд – сотые) цифры справа налево:1 – сомнительная, 8 – сомнительная,

2 – сомнительная, 3 – верная цифра

Погрешность округления:

|0,3281 – 0,3| = 0,0281

0,05 + 0,0281 = 0,0781

Ответ: 0,3 ± 0,08

2,0637 ± 0,0025

Граница абсолютной погрешности ∆а = 0,0025 (разряд – тысячные) цифры справа налево:7 – сомнительная, 3 – сомнительная,

6 – верная, 0 – верная, 2 — верная цифра

Погрешность округления:

|2,0637 – 2,06| = 0,0037

0,0025 + 0,0037 = 0,0062

Ответ: 2,06 ± 0,006

14,0367 ± 0,8

Граница абсолютной погрешности ∆а = 0,8 (разряд – десятые) цифры справа налево:7 – сомнительная, 6 – сомнительная,

3 – сомнительная, 0 – сомнительная, 4 – верная, 1 — верная цифра

Погрешность округления:

|14,0367 – 14| = 0,0367

0,8 + 0,0367 = 0,8367

Ответ: 14 ± 1

24,734 ± 0,06

Граница абсолютной погрешности ∆а = 0,06 (разряд – сотые) цифры справа налево: 4 – сомнительная, 3 – сомнительная,

7 – верная, 4 – верная, 2 — верная цифра

Погрешность округления:

|24,734 – 24,7| = 0,034

0,06 + 0,034 = 0,094

Ответ: 24,7 ± 0,1

Вычислительная математика.

Граница абсолютной погрешности

Абсолютная погрешность приближенного значения числа, граница абсолютной погрешности, верные и значащие цифры числа

Верные и значащие цифры числа. Округление чисел.

Наша система счета или счисления называется десятичной системой счисления, а 10 – основанием этой системы:

разряд единиц, разряд десятков, разряд сотен и т.д. Аналогично, разряды десятичных дробей: десятые, сотые, тысячные и т.д.

Дробь	Целая часть					Дробная часть
разряды	тысячи	сотни	десятки	единицы	,	десятые	сотые	тысячные
258,034	—	2	5	8	,	0	3	4

В приближенном числе различают верные и сомнительные цифры. Цифра какого-либо разряда приближенного числа а считается верной в широком смысле

, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит единицы того разряда, в котором записана эта цифра.

Если же граница абсолютной погрешности больше единицы какого-либо разряда, то цифра этого разряда и все цифры, расположенные справа от нее считаются сомнительными. Граница абсолютной погрешности ∆а находится непосредственно по записи приближенного значения а числа х.

Например:

24,5 ± 0,3 (| х – а | ≤ ∆а )

Приближенное значение 24,5

Граница абсолютной погрешности 0,3

0,3 < 1, значит верные цифры (в широком смысле) – это 2 и 4, а цифра 5 – сомнительная.

375 ± 20

Приближенное значение 375

Граница абсолютной погрешности 20

20 < 100, значит верная цифра 3, а цифры 7 и 5 сомнительные.

Когда рассматриваем верные цифры в широком смысле, то достаточно посмотреть на границу абсолютной погрешности и взять цифры приближенного числа, которые на разряд больше, чем граница абсолютной погрешности.

Цифра какого-либо разряда приближенного числа а считается верной в строгом смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит половины единицы того разряда, в котором записана эта цифра. Если же граница абсолютной погрешности больше половины единицы какого-либо разряда, то цифра этого разряда и все цифры, расположенные справа от нее считаются сомнительными.

В числах, полученных в результате измерений или вычислений и используемых при расчётах в качестве исходных данных, а также в десятичной записи приближенного значения числа, все цифры должны быть верными.

Значащими цифрами приближенного числа, выраженного десятичной дробью считаются все верные цифры этой дроби, кроме нулей, стоящих перед первой цифрой (слева направо), отличной от нуля.

Например:

Приближенное число 10,408 имеет 5 значащих цифр, так как крайняя слева цифра числа отлична от нуля (она равна 1)

Приближенное число 0,01104 имеет 4 значащие цифры:1, 1, 0, 4. Два нуля, стоящие слева от 1 не считаются значащими цифрами

Приближенное число 0,030 имеет 2 значащие цифры: 3 и 0 справа, по правилу два нуля, стоящие слева от цифры 3, не относятся к значащим.

Значащими цифрами приближенного целого числа считаются все его цифры, кроме нулей, поставленных взамен отброшенных или

неизвестных цифр.

Например: Частное

Число 6000 имеет 3 значащие цифры, так как один последний нуль поставлен вместо отброшенной цифры (единицы).

Округление чисел. При округлении числа а его заменяют числом

а₁ с меньшим количеством значащих цифр. Абсолютная величина разности

| а – а₁ | называется погрешностью округления.

При округлении числа до m значащих цифр отбрасываются все цифры, стоящие правее m-й значащей цифры, или при сохранении разрядов заменят их нулями. При этом, если первая слева от отброшенных цифр больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1.

При применении этого правила погрешность округления не превосходит половины единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.

Округление приближенных значений чисел с сохранением в записи только верных цифр производится до разряда, в котором записана первая справа верная цифра.

Например:

Округлите до первого справа верного разряда приближенные значения данных чисел:

0,3281 ± 0,05

Граница абсолютной погрешности 0,05 (разряд – сотые) цифры справа налево:1 – сомнительная, 8 – сомнительная, 2 – сомнительная, 3 – верная цифра 3

Погрешность округления:

|0,3281 – 0,3| = 0,0281

0,05 + 0,0281 = 0,0781

Ответ 0,3 ± 0,08

Вычислительная математика. Умножение приближенных значений чисел

Задача №25 (Сборник задач по математике Н.В. Богомолов)

Вычислительная математика.

Абсолютная погрешность

АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.

ЗАПИСЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИСЛА.

ВЕРНЫЕ И ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА

х – точное число

а – приближенное число

Разность х – а между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.

Модуль погрешности называется абсолютной погрешностью и обозначается ∆:

| х – а | = ∆

Погрешность и абсолютная погрешность имеют ту же размерность, что и рассматриваемая величина

Граница абсолютной погрешности ∆а – положительное число, которое больше или равно абсолютной погрешности или:

| х – а | ≤ ∆а

Если задана граница абсолютной погрешности ∆а, то число а есть приближенное значение числа х с точностью до ∆а и записывают

х = а ± ∆а, например: 94,5 ± 0,3

В отличие от абсолютной погрешности, граница абсолютной погрешности не определяется однозначно, поэтому на практике выбирается такое значение границы абсолютной погрешности, которое удобно для вычислений и обеспечивает максимальную точность.

Цифра приближенного числа а, записанного в виде десятичной дроби, называется верной (точной), если граница абсолютной погрешности числа не превышает (меньше или равно) единицы того разряда, в котором стоит эта цифра. В противном случае она называется сомнительной, например:

25,63 ± 0,2

Граница погрешности 0,2 , поэтому рассмотрим

цифру 5, разряд единицы, единица разряда 1 и 0,2 < 1 (граница погрешности не превышает единицу разряда), значит цифра 5 – верная, тогда цифра десятков – 2 данного числа тоже верная.

Цифра 6, разряд десятые, единица разряда 0,1 и 0,2 > 0,1 (граница погрешности превышает единицу разряда), значит цифра 6 – сомнительная. Значит и цифра 3 (сотые) будет также сомнительной

2 и 5 – верные цифры, 6 и 3 – сомнительные цифры числа

Запись чисел с сохранением только верных цифр широко используется во всех математических таблицах, в справочниках (физика, астрономия, техника). При этом, по записи приближенного числа можно оценить погрешность приближения, например:

табличные данные: температура кипения золота – 2700 ºС, значит граница абсолютной погрешности 1 ºС, температура кипения йода – 182,8 ºС, значит граница абсолютной погрешности 0,1 ºС.

Записи приближенных чисел 0,3; 0,30; 0,300 – неравносильны, т.к. приближенное число 0,3 имеет погрешность не более 0,1;

приближенное число 0,30 имеет погрешность не более 0,01;

приближенное число 0,300 имеет погрешность не более 0,001.

Если целое число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то их заменяют множителем 10^р, где р – число таких нулей.

В записи приближенных чисел принято соблюдать следующие правила:

Оставлять в записи приближенного числа только верные цифры;
Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то их надо выписать;
Если число содержит в конце нули, не являющиеся верными цифрами, то они должны быть заменены на 10^р , где р – число нулей, которые надо заменить

Например,

Записать правильно следующие приближенные числа:

а = 0,075 ± 0,000005 – здесь погрешность меньше, чем 0,00001 (0,000005<0,00001), значит а = 0,07500 (последние верные цифры нули и их надо выписать, см. правило)
а = 746000000 ± 5000 здесь погрешность меньше, чем 10000 (5000<10000), значит последние четыре нуля не являются верными цифрами и их надо заменить на 10^р а = 74600·10⁴
а = 0,35 ∆а = 0,00005 – здесь погрешность меньше, чем 0,0001 значит

а = 0,3500 (последние верные цифры нули)

а = 765000 ∆а = 5 – здесь погрешность 5<10 значит а = 76500·10, т.к. последний нуль не является верной цифрой
а = 0,3700 ∆а = 0,05 – здесь погрешность 0,05<0,1 и цифра 7 не является верной, она отбрасывается, значит а = 0,4

В некоторых заданиях необходимо наоборот определить абсолютную погрешность по записи приближенного числа, например,

Указать абсолютную погрешность приближенных чисел:

а = 14,5 ·10, значит ∆а = 10
а = 34,20 т.к. последний нуль является верной цифрой, то ∆а = 0,01
а = 263·10⁴, значит ∆а = 10000

Число в стандартном виде записывают так:

а = а_0,а₁а₂… а_k·10^m , где 1 ≤ а₀ ≤ 10,

а_0,а₁а₂… а_k – все верные цифры числа,

показатель m – называется порядком числа.

Если число, записанное в виде десятичной дроби содержит все верные цифры, то все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, называют значащими, например:

7,03 – три значащие цифры

4400 – четыре значащие цифры

0,000270 – три значащие цифры (нули, расположенные левее первой, отличной от нуля цифры, не считаются значащими ~~0,000~~270).

Округление числа – это замена его числом с меньшим количеством значащих цифр. При округлении числа до m значащих цифр отбрасывают все цифры, стоящие правее m-ой значащей цифры, заменяя их на нули (при сохранении разряда). При этом, если первая из отбрасываемых цифр ≥ 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу,

например:

Округлить число с заданной точностью:

с точностью до 10^-3 (10^-3 = 0,001)

1,5783

Значащие цифры – 1, 5, 7 и 8, цифра 3 – сомнительная, т.к. 0,001 > 0,0001 (единицы разряда)

1,5783 ≈ 1,578 (последняя из отбрасываемых цифр 3<5, значит предыдущую оставляем без изменений)

23,4997

Значащие цифры – 2, 3, 4, 9 и 9, цифра 7 – сомнительная

7>5, значит предыдущую увеличиваем на 1, получим

23,4997 ≈ 23,500

с точностью до 10^-2 (10^-2 = 0,01)

4,761 ≈ 4,76

31,009 ≈ 31,01

с точностью до 10³ (10³ = 1000)

159734 ≈ 160000 = 160·10³

28,34 ≈ 0 – ни одна из цифр не является значащей 1000 > 10, т. к. задана точность 1000, а заданное число меньше, чем погрешность.

Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов (учебное пособие)

Вычислительная математика. Погрешности. Решение задач

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ И ЕЕ ГРАНИЦА.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

х – точное число

а – приближенное число

Разность х – а между точным числом х и приближенным числом а называется погрешностью приближения.

| х – а | = ∆ – абсолютная погрешность

Отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного числа, называется относительной погрешностью

– относительная погрешность является показателем качества данного приближения, и ее часто выражают в процентах %

Граница относительной погрешности больше или равна относительной погрешности:

Если дана граница относительной погрешности, то говорят, что приближение дано с относительной точностью до Ꜫ % и записывают:

х = а (± Ꜫ) или х = а (± Ꜫ %)

В ряде задач границу абсолютной погрешности находят по данной относительной погрешности и модулю приближенного значения величины:

∆а = δ ∙ |а|

Задачи:

Скорость света в вакууме 299792,5 ± 0,4 км/ч

Скорость звука в воздухе 331,63 ± 0,04 м/с

Какое измерение точнее?

– значит скорость света точнее

Найдите границы значений грузоподъемности автомобиля, если она равна 2,5 ± (15%)

Дана граница относительной погрешности и необходимо найти границу абсолютной погрешности, используем

∆а = δ ∙ |а|

0,15*2,5 = 0,375 ≈ 0,4

Значит границы значений грузоподъемности автомобиля 2,5 ± 0,4 или 2,1 ≤ 2,5 ≤ 2,9

Какие из равенств точнее: ?

, значит точнее

Найдите относительную погрешность в % с точностью до десятых

А = 240 ± 1

Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле

Найдите относительную погрешность в % с точностью до сотых

Радиус Земли (в км): R = 6380 ± 1

Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле

Найдите относительную погрешность в % с точностью до сотых

Скорость света в вакууме (в км/с):

Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия <100, значит ∆а=100, далее по формуле

Диаметр Луны (в км): d = 3476 ± 1

Решение: границу абсолютной погрешности находим из условия ± 1, значит ∆а=1, далее по формуле

Осевое сечение цилиндра квадрат

Решение задачи на нахождение площади полной поверхности цилиндра. Осевое сечение цилиндра квадрат, площадь основания

Математический анализ

Искомая величина (путь, давление, сила, работа и т.д.) соответствует некоторому промежутку изменения переменной величины, которая является переменной интегрирования. Эту переменную интегрирования обозначают через Х, а промежуток ее изменения через [a; b]

Математический анализ

Задача

Тело, выпущенное вертикально вверх, движется по закону

, где s(t) измеряется в метрах, а время t в секундах.

Найти:

а) Скорость тела в начальный момент;

б) Скорость тела в момент соприкосновения с землей;

в) Наибольшую высоту подъема тела.

Решение:

Тело движется по параболе, это очевидно, т. к. уравнение, которое описывает движение тела – уравнение параболы (уравнение движения).

а) Скорость тела в начальный момент момент равна первой производной от пути, который описывается уравнением

В момент t=0,

б) В момент соприкосновения с землей

т.е. решаем уравнение

получаем: , второй корень нам не подходит по смыслу, т.к. время t не может быть отрицательным в классической физике.

Значит, скорость в момент

м/с

(минус указывает на то, что скорость тела в момент времени

противоположна направлению начальной скорости.

в) Наибольшая высота подъема будет в момент, когда скорость тела равна нулю (в точке максимума функции) и происходит переход от подъема тела к спуску

(переход от возрастания функции к ее убыванию, критическая точка, в которой производная функции равна 0)

, t = 0,8 с.

Подставляем в уравнение движения

Значит, наибольшая высота подъема равна 8,2 м.

1.3. Примеры решения задач

Задача 1. Определить абсолютную и относительную погрешность косвенного метода измерения мощности при следующих данных приборов и их показаниях:

Решение:

значение мощности по показаниям приборов Вт;

б) предельные абсолютные погрешности измерительных приборов:

амперметра А;

вольтметра В;

в) абсолютная погрешность косвенного измерения мощности

д) действительное значение мощности Вт.

Задача 2. Для определения напряжения смещения нуля исследуется схема измерительного усилителя, представленного на рис. 1.10. Известны математическое ожидание и средние квадратические отклонения источников тока и ЭДС, определяющих дрейф:m_I = 1 мкА,m_E = 1 мВ,мкА,мВ. Определить математическое ожиданиеmи среднее квадратическое отклонениенапряжения смещения нуляU_вых(при отсутствии входного напряжения), считая операционный усилитель идеальным, причемR1 = 1 кОм,R2 = 10 кОм.

Решение. Напряжение на выходе выражается зависимостью

. (1.14)

Искомые величины можно рассчитать по формулам:

; (1.15)

21мВ;

; (1.16)

; (1.17)

= 7 мВ.

1.4. Лабораторная работа 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕТРОЛОГИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕКТРОИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ

Цель работы: изучение и определение погрешностей измерительных

приборов и их технических характеристик.

1.4.1. Основные теоретические положения

Погрешность измерений – это отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины. Различают абсолютную, относительную и приведенную погрешность измерительных приборов.

Абсолютная погрешность прибора – это разность между показанием прибора X и истинным значениемX₀измеряемой величины:

. (1.18)

Относительная погрешность прибора – это отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины, выраженное в процентах:

%. (1.19)

Для практических расчетов в знаменателе формулы (1.19) истинное значение X₀заменяется результатом измеренияX.

Отношение абсолютной погрешности к нормирующему значению X_N, выраженное в процентах, называется приведенной погрешностью:

%. (1.20)

Для приборов с нулевой отметкой на краю шкалы нормирующее значение X_Nравно конечному значению диапазона измерений.

Основная наибольшая допустимая приведенная погрешность характеризует цифру класса точности прибора:

, (1.21)

где _max– наибольшая допустимая абсолютная погрешность;

К_п– цифра класса точности средства измерения.

Постоянной прибора С (ценой деления) называется количество единиц измеряемой величины, приходящееся на одно деление шкалы:

для амперметра, А/дел., ;

для вольтметра, В/дел., ; (1.22)

для ваттметра, Вт/дел., ,

где I_ном,U_ном– номинальные значения тока и напряжения приборов;

_max– максимальное число делений шкалы прибора.

Величина S, обратная постоянной прибора, называется чувствительностью прибора:

. (1. 23)

1.4.2. Порядок выполнения работы

1) Собрать электрическую цепь по схеме, представленной на рис. 1.11.

Рис. 1.11. Схема проведения эксперимента

2) Снять показания амперметра, вольтметра и ваттметра при двух значениях нагрузки, указанных преподавателем.

3) Используя обозначения на шкалах измерительных приборов, для каждого из них вычислить постоянную С, чувствительность S, наибольшую допустимую абсолютную погрешность _max.

4) По результатам измерений вычислить относительную погрешность по (1.16) в числителе, в качестве выбрать_max, Х₀принять равным измеренному значениюХ,предполагая, что показания приборов являются достоверными.

5) По результатам измерений и вычислений заполнить табл. 1.4 и 1.5.

6) Провести анализ относительной погрешности в зависимости от измеряемой величиныX. Сделать вывод о подборе предела измерения.

Абсолютная и относительная погрешность — понятие, формула и примеры решения

Измерение является основной частью научных расчетов. Полностью точные результаты измерений встречаются абсолютно редко. При измерении различных параметров возможны небольшие ошибки. Существуют различные типы ошибок, которые вызывают различия в измерениях. Все ошибки могут быть выражены математическими уравнениями. Зная ошибки, мы можем правильно рассчитать и найти способы исправить ошибки. В основном различают два типа ошибок – абсолютные и относительные ошибки. В этой статье мы собираемся определить абсолютную ошибку и относительную ошибку. Здесь мы даем объяснения, формулы и примеры абсолютной ошибки и относительной ошибки вместе с определением. Концепция расчета погрешности имеет важное значение в измерении.

Определить абсолютную ошибку

Абсолютная ошибка определяется как разница между фактическим значением и измеренным значением величины. Важность абсолютной ошибки зависит от величины, которую мы измеряем. Если количество большое, например, расстояние до дороги, небольшая ошибка в сантиметрах незначительна. При измерении длины детали машины погрешность в сантиметрах значительна. Хотя ошибки в обоих случаях выражены в сантиметрах, ошибка во втором случае более существенна.

Формула абсолютной ошибки

Абсолютная ошибка рассчитывается путем вычитания фактического значения и измеренного значения величины. Если фактическое значение равно x₀, а измеренное значение равно x, абсолютная ошибка выражается следующим образом:

∆x = x₀- x

Здесь ∆x — абсолютная ошибка.

Пример абсолютной ошибки

Здесь мы приводим пример абсолютной ошибки в реальной жизни. Предположим, мы измеряем длину ластика. Фактическая длина 35 мм, измеренная длина 34,13 мм.

Таким образом, абсолютная ошибка = фактическая длина — измеренная длина

= (35 — 34,13) мм

= 0,87 мм

Классификация абсолютной ошибки

Ошибка абсолютной точности

Абсолютная точная ошибка точная точная ошибка. имя абсолютной ошибки. Формула для абсолютной ошибки точности записывается как E = E exp – E true, где E – абсолютная ошибка точности, E exp – экспериментальное значение, а E true – фактическое значение.

Абсолютная ошибка точности

Это стандартное отклонение группы чисел. Стандартное отклонение помогает узнать, насколько разбросаны данные.

Относительная ошибка Определение

Отношение абсолютной ошибки измерения к фактическому значению называется относительной ошибкой. Рассчитав относительную ошибку, мы можем получить представление о том, насколько точно измерение соответствует фактическому размеру. Из относительной ошибки мы можем определить величину абсолютной ошибки. Если фактическое значение недоступно, относительная ошибка может быть рассчитана с точки зрения измеренного значения количества. Относительная ошибка безразмерна и не имеет единицы измерения. Записывается в процентах путем умножения на 100.

Формула относительной ошибки

Относительная ошибка рассчитывается как отношение абсолютной ошибки к фактическому значению величины. Если абсолютная ошибка измерения равен ∆x, фактическое значение составляет x0, измеренное значение равно x, относительная ошибка выражается как

xᵣ = (x₀ — x)/ x₀ = ∆x/ x₀

Здесь xr — относительная ошибка.

Пример относительной ошибки

Здесь мы приводим пример относительной ошибки в реальной жизни. Предположим, реальная длина ластика 35 мм. Теперь абсолютная ошибка = (35-34,13) мм = 0,87 мм.

Таким образом, относительная ошибка = абсолютная ошибка/фактическая длина

= 0,87/35

= 0,02485

(изображение будет загружено в ближайшее время)

Относительная ошибка как мера точности

Во многих случаях относительная ошибка мера точности. В то же время его можно использовать и как меру точности. Точность — это степень знания того, насколько точно значение по сравнению с фактическим или истинным значением. Студенты могут найти точность RE, только если они знают истинное значение или измерение. Для простоты у нас есть формула для расчета точности RE, которая дается как

RE\[_{точность}\] = Фактическая ошибка/истинное значение * 100%

Абсолютная ошибка и относительная ошибка в численном анализе

Численный анализ расчета ошибки является жизненно важной частью измерения. Этот анализ находит фактическое значение и количество ошибок. Абсолютная ошибка определяет, насколько хорошим или плохим является измерение. В численном расчете ошибки вызваны ошибкой округления или ошибкой усечения.

Абсолютная и относительная

Расчет погрешности — Примеры

1. Найдите абсолютную и относительную погрешности. Фактическое значение равно 125,68 мм, а измеренное значение равно 119,66 мм.

Решение:

Абсолютная ошибка = |125,68 – 119,66| мм

= 6,02 мм

Относительная ошибка = |125,68 – 119,66| / 125,68

= 0,0478

2. Найти абсолютную и относительную погрешности, где фактическое и измеренное значения равны 252,14 мм и 249,02 мм.

Решение:

Абсолютная ошибка = |252,14 – 249.02| мм

= 3,12 мм

Ошибка родственников = 3,12/252,14

= 0,0123

Знаете ли вы?

При различных измерениях количество измеряется более одного раза, чтобы получить среднее значение количества. Средняя абсолютная ошибка является одним из наиболее важных терминов в такого рода измерениях. Среднее значение всех абсолютных ошибок собранных данных называется MAE (Mean Absolute Error). Он рассчитывается путем деления суммы абсолютных ошибок на количество ошибок. Формула МАЭ – 9n \mid x_{0}-x \mid }{n}\]

Здесь

n — количество ошибок,

x₀ — фактическое значение,

x — измеренное значение и

| х₀-х| является абсолютной ошибкой.

Абсолютная и относительная погрешность | Формула, примеры, как использовать?

Введение

Совершение Ошибка неизбежна. Не существует идеальных измерений значений, особенно при сравнении их с фактическими размерами. Зная это, мы не должны бояться ошибок, потому что использование разных значений не обязательно означает, что вы ошибаетесь. Это просто вопрос точности.

Зная ошибки, мы можем найти способы их исправить. В этой статье вы узнаете, как бороться с ошибками в математическом смысле.

Что такое абсолютная ошибка?

Определение

Абсолютная погрешность – это отклонение между фактическим значением величины и измеренным значением. Он измеряет, насколько далеко измерение от заданного истинного значения.

Как рассчитать абсолютную погрешность?

Для расчета значения абсолютной погрешности необходимо вычесть измеренное значение из фактического значения.

Вот формула, которая поможет вам рассчитать абсолютную ошибку:

Формула абсолютной ошибки

AE = AV – MV

где;

AE = абсолютная ошибка
AV = фактическое значение
MV = измеренное значение

Каковы классификации абсолютной ошибки?

Абсолютная ошибка может быть разделена на абсолютную ошибку точности и среднюю абсолютную ошибку. Абсолютная ошибка точности — это другой термин для обозначения абсолютной ошибки. Он имеет ту же формулу, что и Абсолютная ошибка, которая представляет собой фактическое значение, вычтенное из измеренного значения. С другой стороны, средняя абсолютная ошибка — это среднее или среднее значение всех измеренных абсолютных ошибок. Чтобы вычислить среднюю абсолютную ошибку, вы должны сначала вычислить все абсолютные ошибки. После этого вы добавите вычисленные значения и разделите на количество абсолютных ошибок. В формуле

MAE=$\frac{sum\: of\: all\: absolute\: errors}{число\: of\: absolute\: errors}$

где,

MAE = средняя абсолютная ошибка

Что относительная ошибка?

Определение

Относительная ошибка сравнивает, насколько значительна разница между абсолютной ошибкой и фактическим значением. Он выражается в процентах, что дает нам четкое представление о соотношении между ними.

Как рассчитать относительную погрешность?

Чтобы рассчитать относительную ошибку, вы должны вычесть фактическое значение из измеренного значения, разделить его на фактическое значение и умножить на 100.

Вот формула, которая поможет вам рассчитать относительную ошибку:

Относительная ошибка Формула

RE = $\frac{AV – MV}{AV} x 100$

где;

RE = относительная ошибка
AV = фактическое значение
MV = измеренное значение

Абсолютная ошибка и относительная ошибка: различия и расчеты

Абсолютная ошибка дает нам количество ошибки, а относительная ошибка дает нам степень точности двух величин. Абсолютная ошибка выражается в единицах, используемых в измеренном количестве, в то время как относительная ошибка не имеет единицы измерения, поскольку выражается в процентах. Разделение двух значений одной и той же единицы отменяет используемую единицу.

Какая польза от абсолютной и относительной погрешности?

Определение абсолютных и относительных погрешностей может помочь улучшить анализ измерений. Зная эти ошибки, мы будем ориентироваться, если число рассчитанных ошибок будет пренебрежимо мало. Например, погрешность расхождения может считаться незначительной, если используемой единицей измерения являются миллиметры по сравнению с метром. Например, мы измеряем расстояния от одного места до другого.

Как видно на фото, расстояние в 1 метр от первого дома имеет большое значение. В то же время расстояние в 1 мм (1 миллиметр) слишком маленькое значение, которым можно пренебречь. Зная это, мы можем оценить, сильно ли вычисленная ошибка влияет на фактическое измерение.

Примеры абсолютных и относительных ошибок

Ниже приведены примеры текстовых задач с абсолютными ошибками.

Пример 1:

Шам получила три оценки своих одноклассников. Эти оценки были тремя ближайшими значениями к оценке Шама. Если считать оценку Шам реальным значением, какова средняя абсолютная ошибка оценок ее одноклассников?

Шамскую оценку: 96,3

Классарный состав 1: 95,6
Классарный состав 2: 94,8
Классарный состав 3: 95,2

Решение:

Абсолютная ошибка каждого класса. AE1 = 96,3 — 95,6
AE1 = 0,7

AE2 = 96,3 — 94,8
AE2 = 1,5

AE3 = 96,3 — 95,2

AE3 = 1,1

. (0,7 + 1,5 + 1,1) / 3
МАЭ = 1,1

Следовательно, средняя абсолютная ошибка равна 1,1

Пример 2:

Найдите абсолютную и относительную ошибки. Фактическое значение составляет 125,68 мм, а измеренное значение равно 119,66 мм.

Решение:

Абсолютная ошибка приведена,

AE = AV — MV

AE = 125,68 мм — 119,66 мм

AE = 6,02 мм

Относительная ошибка дана

. AV – MV}{AV} x 100$

RE = $\frac{125,68мм – 119,66мм}{125,68мм} x 100$

RE = 0,0479 x 100

RE = 4,79%

Таким образом, абсолютное значение равно 6,02 мм с относительной ошибкой 4,79%.

Пример 3:

Длина книги составляет 12,5 см, а длина Виа составляет всего 12,4 см. Найдите абсолютную и относительную погрешности.

Решение:

Абсолютная ошибка приведена,

AE = AV — MV

AE = 12,5 см — 12,4 см

AE = 0,1CM

Относительная ошибка дана

a = 0,1см

. AV – MV}{AV} x 100$

RE = $\frac{12,5см – 12,4см}{12,5см} x 100$

RE = 0,008 x 100

RE = 0,8%

Таким образом, абсолютное значение равно 0,1 см с относительной ошибкой 0,8 %.

Пример 4:

Термометр измеряет с точностью до 2 градусов. Температуру измеряли при 38°С. Найдите относительную погрешность.

Решение:

Фактическое значение не указано, но нам дается 2 градуса по мере изменения значений. Это означает, что значение может быть 37°C или 39°C.° C. В любом случае, мы уверены, что абсолютная ошибка равна 1 ° C. Итак, относительная ошибка дается,

RE = $\frac{AV – MV}{AV} x 100$

RE = $\ frac{AE}{AV} x 100$

RE = $\frac{1}{38} x 100$

RE = 0,0263 x 100

RE = 2,63%

Следовательно, относительная ошибка составляет 2,63%.

Пример 5:

Найдите абсолютную и относительную ошибки. Фактическое значение составляет 56,5 мм, а измеренное значение равно 51,2 мм.

Решение:

Дается абсолютная ошибка,

AE = AV – MV

AE = 56,5 мм – 51,2 мм

AE = 5,3 мм

Дается относительная ошибка,

RE = $}{AV AV} x 100$

RE = $\frac{56,5 мм – 51,2 мм}{56,5 мм} x 100$

RE = 0,0938 x 100

RE = 9,38%

Таким образом, абсолютное значение равно 5,3 мм с относительная ошибка 9,38%.

Пример 6:

Нам дано приблизительное значение π, равное 22/7 = 3,1428571, а фактическое значение равно 3,14159. 26. Рассчитайте абсолютную и относительную ошибки.

Дается абсолютная ошибка,

AE = AV – MV

AE = 3,1415926 – 3,14428571

AE = -0,00269311

Здесь мы можем заметить, что значение отрицательное. Но, поскольку он абсолютный, он станет положительным, дав значение 0,00269311.

Приведена относительная ошибка,

RE = $\frac{AV – MV}{AV} x 100$

RE = $\frac{3.1415926 – 3.14428571}{3.1415926} x 100$

6 x 8 = 17200

RE = 0,08572436%

Следовательно, абсолютное значение равно 0,00269311 с относительной ошибкой 0,08572436%.

Пример 7:

Пусть приблизительные значения числа 1/3 равны 0,30, 0,33, 0,34. Найдите среднюю абсолютную ошибку.

Решение:

Абсолютная ошибка каждого приблизительного значения равен,

AE = AV — MV

AE1 = 1/3 — 0,30

AE1 = 0,0333

AE2 = 1.33333333333339

AE2 = 1.33333333339

AE2 = 1.333333333339963

AE2 = 10146.

АЕ2 = 0,0033

AE3 = 1/3 – 0,34

AE3 = -0,0067 = 0,0067

Среднее или среднее абсолютных ошибок равно

MAE = (0,033 + 0,0033 + 0,0067) / 3 MAE

Следовательно, средняя абсолютная ошибка равна 0,014.

Пример 8:

Стол размером 12 м x 8 м имеет размеры 11,8 м x 7,9 м. Найдите абсолютную и относительную погрешности.

Решение:

Сначала нам нужно вычислить площади по формуле Д х Ш (Длина х Ширина),

Фактическая область = 12 мс 8 м

Фактическая область = 96M ²

Измеренная область = 11,8 млн. X 7,9 млн.

Измеренная область = 93,22 м ²

Абсолютная ошибка дана

AE = 96 м – 93,2 м

AE = 2,78 м ²

Относительная погрешность дана,

RE = $\frac{AV – MV}{AV} x 100$

RE = 96м – 93,22}{96м} x 100$

RE = 0,02895 x 100

RE = 2,895%

Таким образом, абсолютное значение равно 2,78 м ² с относительной ошибкой 2,895%.

Пример 9:

Пусть приблизительные значения числа 1/4 равны 0,25, 0,249, 0,246. Найдите среднюю абсолютную ошибку.

Решение:

Абсолютная погрешность каждого приближенного значения равна

AE = AV – MV

AE1 = 1/4 – 0,25

AE1 = 0

AE2 = 0,001

AE3 = 1/4 – 0,246

AE3 = 0,004

Среднее значение абсолютных ошибок равно

MAE = (0 + 0,001 + 0,004) / 3

MAE = 0,0167

Следовательно, средняя 0 абсолютная ошибка 1 равна 0,7.

Пример 10:

Анне было поручено найти абсолютную и относительную погрешность измерений коробки. Она измеряла 4,95 м х 3,64 м х 2,11 м из 40 м ³ .

Решение:

Сначала рассчитаем объем на основе измеренных Анной значений. Формула объема определяется как Д х Ш х В (длина х ширина х высота).

Том = L x w x h

Том = 4,95 м x 3,64 м x 2,11 м

Том = 38,018M ³

Абсолютная ошибка дана,

AE = AV — MV

AE = 404 9046 49946 49946 49946 49946 49946 49946 49946 49946 49946 AE = AV — MV

AE. – 38,018 м ³

AE = 1,982 м ³

Приведена относительная погрешность,

RE = $\frac{AV – MV}{AV} x 100$

RE0 = $\frac{AV} 38,018}{40} x 100$

RE = 0,0495 x 100

RE = 4,95%

Таким образом, абсолютное значение равно 1,982 м ³ с относительной ошибкой 4,95%.

Пример 11:

Нам дано приблизительное значение 1/8, равное 0,1259, а фактическое значение равно 0,125. Вычислите абсолютную и относительную ошибки.

Решение:

Дана абсолютная ошибка,

AE = AV – MV

AE = 0,125 – 0,1259

AE = -0,0009

Приведена относительная погрешность,

RE = $\frac{AV – MV}{AV} x 100$

RE = $\frac{0,125 – 0,1259}{0,125} x 100$

RE = 0,72%

Таким образом, абсолютное значение равно 0,0009 с относительной ошибкой 0,72%.

Пример 12:

Кейту было дано три набора объемов, чтобы решить и определить, какой объем ближе всего к фактическому значению 8,88 м x 7,45 м ^{x 7,17 м, используя абсолютные и относительные ошибки.}

1 ^ST SET: 6,92M x 5,96 м x 4,12 м
2 ^ND SET: 9,33M x 1,53M x 6,32M
3 ^RD SET: 6,88M x 7,17M x 4,49 мм 9046

010450. громкость. Формула объема определяется как Д х Ш х В (длина х ширина х высота).

1 ^ST SET:

Том1 = 6,92 м x 5,96 м x 4,12 м
Том1 = 169,92M ³

2 ^ND SET:

VOLULE2 = 9,333M x 1,53M. 3. 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 333 М .0175 Том2 = 90,21 м ³

3 ^RD SET:

Том3 = 6,88 мс x 7,17м x 4,49 м
Volume3 = 221,49M ³

3414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414149. м
Объем = 474,34 м ³
Абсолютная и относительная погрешность каждого объема равна,
AE = AV – MV и RE = $\frac{AV – MV}{AV}$ x 100
AE1 = 474,34 м ³ – 169,92 м ³
AE1 = 304,42 м ³
RE1 = $\frac{AV – MV}{AV} x 100$
RE1 = $\frac{474,34 ^{– 304,42}{474,34} x 100$}
RE1 = 35,82%
3 92146 м ³ – 90,21м ³
AE2 = 384,13м ³
RE2 = $\frac{AV – MV}{AV} x 100$
RE2 = $\frac{AV – MV}{AV} 9,5046 RE2 = $\frac{4} {474,34} x 100$
RE2 = 80,98%
AE3 = 474,34 м ³ – 221,49 м ³
AE3 = 259,85 м 3^{50146 RE3 = $\frac{AV – MV}{AV} x 100$}
RE3 = $\frac{474,34 ^{– 221,49}{474,34} x 100$}
RE3 = 53,31%
Следовательно, 1 ^ст Set имеет значение, наиболее близкое к фактическому значению, поскольку имеет самый низкий процент относительной ошибки 35,82%.
Пример 13:
Найдите абсолютную и относительную ошибки. Фактическое значение равно 100,1 мм, а измеренное значение равно 99,1 мм.
Решение:
Дается абсолютная ошибка,
AE = AV – MV
AE = 100,1 мм – 99,1 мм
AE = 1 мм
Приведена относительная погрешность,
RE = $\frac{AV – MV}{AV} x 100$
RE = $ \frac{100,1 мм -99,1 мм}{100,1 мм} x 100$
RE = 0,00999 x 100
RE = 0,999%
Таким образом, абсолютное значение равно 1 мм с относительной ошибкой 0,999%.
Пример 14:
Пусть приблизительные значения числа 3/4 равны 0,75, 0,759 и 0,746. Найдите среднюю абсолютную ошибку.
Решение:
Абсолютная ошибка каждого приближенного значения равна,
AE = AV – MV
AE1 = 3/4 – 0,75 AE2 = – 0,009 = 0,009
AE3 = 3/4 – 0,746
AE3 = 0,004
Среднее значение абсолютных ошибок равно = 0,0043
Следовательно, средняя абсолютная ошибка равна 0,0043.
Пример 15:
Весы измеряют с точностью до ближайших 3 килограммов. Бревно было измерено как 48 килограммов. Найдите относительную ошибку.
Решение:
Фактическое значение не указано, но нам дано 3 килограмма по мере изменения значений. Это означает, что значение может быть 46,5 кг или 49,5 кг. В любом случае, мы уверены, что абсолютная погрешность 3 кг. Таким образом, получается относительная ошибка:
RE = $\frac{AV – MV}{AV} x 100$
RE = $\frac{AE}{AV} x 100$
RE = $\frac{3}{48} x 100$
RE = 0,0625 x 100
RE = 6,25%
Следовательно, относительная ошибка составляет 6,25%.
Резюме
Определение и формулы
Абсолютная погрешность – это отклонение между фактическим значением величины и измеренным значением. Он измеряет, насколько далеко измерение от заданного истинного значения.
Формула абсолютной ошибки:
AE = AV – MV
где;
AE = абсолютная ошибка
AV = фактическое значение
MV = измеренное значение
Можно разделить на абсолютную ошибку точности и среднюю абсолютную ошибку. Формула для средней абсолютной ошибки:
MAE = $\frac{sum\: of\: all\: absolute\: errors}{number\: of\: absolute\: errors}$
, где
MAE = Средняя абсолютная ошибка
Относительная ошибка сравнивает, насколько значительна разница между абсолютной ошибкой и фактическим значением. Он выражается в процентах, что дает нам четкое представление о соотношении между ними.
Формула абсолютной ошибки:
RE = $\frac{AV – MV}{AV} x 100$
где;
RE = относительная ошибка
AV = фактическое значение
MV = измеренное значение
Абсолютная ошибка по сравнению с относительной ошибкой количества. Абсолютная ошибка выражается в единицах, используемых в измеренном количестве, в то время как относительная ошибка не имеет единицы измерения, поскольку выражается в процентах. Разделение двух значений одной и той же единицы отменяет используемую единицу.
Использование абсолютной и относительной погрешности
Определение абсолютной и относительной погрешности может помочь улучшить анализ измерений. Зная эти ошибки, мы будем ориентироваться, если число рассчитанных ошибок будет пренебрежимо мало.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
1. Что такое абсолютная ошибка?
– Абсолютная погрешность – это отклонение между фактическим значением величины и измеренным значением. Он измеряет, насколько далеко измерение от заданного фактического значения.
2. Что такое относительная ошибка?
– Относительная ошибка сравнивает, насколько значительна разница между абсолютной ошибкой и фактическим значением. Он выражается в процентах, что дает нам четкое представление о соотношении между ними.
3. Какова формула абсолютной ошибки?
– АЭ = АВ – МВ
где;
AE = абсолютная ошибка
AV = фактическое значение
MV = измеренное значение
4. Какова формула относительной ошибки?
– RE = $\frac{AV – MV}{AV} x 100$
где;
RE = относительная погрешность
AV = фактическое значение
MV = измеренное значение
5. Какие существуют две классификации абсолютной погрешности?
– Две классификации абсолютной погрешности: абсолютная погрешность точности и средняя абсолютная погрешность
6. Какова формула средней абсолютной ошибки?
– MAE=$\frac{sum\: of\: all\: absolute\: errors}{число\: of\: absolute\: errors}$
где,
MAE = Средняя абсолютная ошибка
7. Для чего используются абсолютная ошибка и относительная ошибка?
– Определение абсолютных и относительных погрешностей может помочь улучшить анализ измерений. Зная эти ошибки, мы будем ориентироваться, если число рассчитанных ошибок будет пренебрежимо малым.
8. В чем разница между абсолютной ошибкой и относительной ошибкой?
– Абсолютная ошибка дает нам количество ошибки, а относительная ошибка дает нам степень точности двух величин. Абсолютная ошибка выражается в единицах, используемых в измеренном количестве, в то время как относительная ошибка не имеет единицы измерения, поскольку выражается в процентах. Разделение двух значений одной и той же единицы отменяет используемую единицу.
9. Почему относительная ошибка лучше абсолютной?
– Абсолютная ошибка показывает, насколько значительна ошибка, а относительная ошибка указывает, насколько критична ошибка к правильному значению.
10. Всегда ли относительная ошибка меньше абсолютной ошибки?
– Относительная погрешность линейки меньше относительной погрешности рулетки, поскольку абсолютная погрешность линейки меньше абсолютной погрешности рулетки.
11. Почему абсолютная ошибка всегда положительна?
– Абсолютная ошибка всегда положительна. Абсолютная ошибка – это величина разницы между измеренным значением при выполнении экспериментального измерения и фактическим значением. Поскольку это величина, она всегда будет положительной.
12. Может ли средняя абсолютная ошибка быть отрицательной?
– Абсолютная ошибка может быть отрицательной или положительной.
13. Есть ли в Absolute Error единицы измерения?
– Да, абсолютные погрешности имеют те же единицы измерения, что и измеряемые величины.
14. Есть ли в Relative Error единицы измерения?
– Нет, относительная погрешность не имеет единиц, поскольку единицы будут отменены, когда вы разделите два количества одних и тех же единиц.
15. Какова цель средней абсолютной ошибки?
– Средняя абсолютная ошибка позволяет сравнивать прогнозы разных рядов в разных масштабах.
16. Как вы понимаете абсолютную ошибку?
– это разница между измеренным значением и «истинным» значением.
17. Как найти относительную ошибку, когда реальное значение равно нулю?
— Относительная ошибка не определена, когда фактическое значение равно нулю. Кроме того, относительная ошибка имеет смысл только тогда, когда шкала измерения начинается с истинного нуля.
No related posts.