Площадь параллелограмма прямоугольного: Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции — урок. Геометрия, 8 класс.

8 класс. Геометрия. Площадь. Площадь квадрата, прямоугольника, параллелограмма. — Площадь параллелограмма.

Комментарии преподавателя

Теорема о площади параллелограмма

На сегодняшнем уроке мы изучим формулу для нахождения площади параллелограмма. Для удобства введем следующую терминологию: одну из сторон параллелограмма будем называть основанием параллелограмма, а перпендикуляр, проведенный из противоположной вершины к этой стороне, высотой параллелограмма.

Вспомним определения и основные свойства параллелограмма.

Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (рис. 1).

Рис. 1. Параллелограмм 

Основные свойства параллелограмма:

Теорема. О площади параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Доказательство.  Изобразим рисунок 2 с элементами, которые нам пригодятся в ходе доказательства.

 

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Рассмотрим параллелограмм . В нем  – основание,  и  – высоты. Обратим внимание на прямоугольную трапецию , она состоит из двух фигур: параллелограмма  и треугольника . С другой стороны, эта же трапеция разбивается на две другие фигуры: треугольник  и прямоугольник . Исходя из этого, запишем третье свойство площади:

 

Рассмотрим треугольники  и :

 как два прямоугольных треугольника, по гипотенузе и острому углу. Следовательно, по второму свойству площади: .

Если вернуться к полученным соотношениям для площади выбранной трапеции и учесть равенство площадей треугольников, то получим: . Но из предыдущего урока мы уже знаем, что площадь прямоугольника, а т. к. , по свойству параллелограмма, то , что и требовалось доказать.

Доказано.

Примеры на расчет площадей параллелограмма

Пример 1.  Смежные стороны параллелограмма равны 10 см и 12 см, а его острый угол равен . Найдите площадь параллелограмма.

Решение. Изобразим все на рисунке 3.

 

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Имеем следующие данные: . Проведем высоту  и получим прямоугольный треугольник .

Рассмотрим , в нем напротив угла в  лежит катет , который равен половине гипотенузы по свойству прямоугольного треугольника с углом . Т. е. .

Тогда, по формуле площади параллелограмма: .

Ответ..

Пример 2. Дан параллелограмм  с высотой , , острый угол равен . Найти площадь параллелограмма.

Решение. Изобразим параллелограмм  с проведенной высотой  на рисунке 4.

 

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 

Рассмотрим прямоугольный треугольник :  равнобедренный .

          По условию  см.

          Тогда .

Ответ. .

Пример 3. Дан параллелограмм .  высота. . Найти площадь параллелограмма.

Решение.  Изобразим параллелограмм  на рисунке 5.

 

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

Поскольку  является высотой параллелограмма, то она перпендикулярна к обоим его основаниям и мы можем вычислить угол . Рассмотрим треугольник , он прямоугольный, следовательно, угол .

По уже упомянутому выше свойству прямоугольного треугольника, катет, который лежит напротив угла , равен половине гипотенузы, следовательно, .

.

Ответ. . 

ИСТОЧНИК

http://x-uni.com/geometriya/8-klass/video/ploschad-parallelogramma

http://www.youtube.com/watch?v=IEhXSgDsCDs

http://yroky.net/dmz/number/9/3/61/14/9.jpg

http://fs00.infourok.ru/images/doc/223/19958/2/img10.jpg

http://cs614921.vk.me/v614921053/1305d/Tfeee69FzvA.jpg

http://onlinegdz.net/wp-content/uploads/2015/09/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F-8-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%90%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D1%81%D1%8F%D0%BD-466-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5. jpg

http://i.ytimg.com/vi/TxN2S1TyQac/maxresdefault.jpg

http://u.5klass.net/zip/e5e7a59bad82452d29f5a183391d8f48.zip

http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJh2OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg

Площадь параллелограмма

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел параллелограмм).  Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √  или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение.

См. также:  Формулы, теоретический материал можно посмотреть по ссылке «Свойства и площадь параллелограмма».  

Теоретический материал

  Пояснения к формулам нахождения площади параллелограмма:  

1. Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону
2. Площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними
3. Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними
   

Задачи на нахождение площади параллелограмма

Задача.
В параллелограмме меньшая высота и меньшая сторона равны 9 см и корню из 82 соответственно.Большая диагональ 15 см .Найти площадь параллелограмма.

Решение.
Обозначим меньшую высоту параллелограмма ABCD, опущенную из точки B на большее основание AD  как BK.
Найдем значение катета прямоугольного треугольника ABK, образованного меньшей высотой, меньшей стороной и частью большего основания. По теореме Пифагора:

AB² = BK² + AK²
 82 = 9

2  + AK²
AK² = 82 — 81
AK = 1

Продлим верхнее основание параллелограмма BC и опустим на него высоту AN из его нижнего основания.  AN = BK как стороны прямоугольника ANBK. У получившегося прямоугольного треугольника ANC найдем катет NC.
AN² + NC² = AC²
9² + NC² = 15²
NC² = 225 — 81
NC² = √144
NC = 12

Теперь найдем большее основание BC параллелограмма ABCD.
BC = NC — NB

Учтем, что NB = AK как стороны прямоугольника, тогда
BC = 12 — 1 = 11

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту к этому основанию.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Ответ: 99 см² .

Задача

В параллелограмме АВСД на диагональ АС опущен перпендикуляр ВО. Найдите площадь параллелограмма, если АО=8, ОС=6 и ВО=4.

Решение.
Опустим на диагональ АС дополнительно еще один перпендикуляр DK.

Соответственно, треугольники AOB иDKC, COB и AKD попарно равны. Одна из сторон является противолежащей стороной параллелограмма, один из углов — прямой, так как является перпендикуляром к диагонали, а один из оставшихся углов является внутренним накрест лежащим для параллельных сторон параллелограмма и секущей диагонали.

Таким образом, площадь параллелограмма равна площади указанных треугольников. То есть
Sпаралл = 2S_AOB +2S_BOC

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. Откуда
S = 2 ( 1/2 8 * 4 ) + 2 ( 1/2 6 * 4 ) = 56 см²
Ответ: 56 см² .

0  

 Параллелограмм (часть 2) | Описание курса | Высота параллелограмма 

   

Площадь от прямоугольников до параллелограммов и трапеций Практические онлайн-задачи

В приведенном выше параллелограмме мы провели перпендикулярную линию от одной вершины к противоположной стороне, затем отрезали этот кусок от параллелограмма и добавили его к другой стороне параллелограмма, чтобы получился прямоугольник. Всегда ли части параллелограмма можно сложить таким образом, чтобы получился прямоугольник?

Да Нет

Показать объяснение

Параллелограмм преобразуется в прямоугольник путем разрезания и перестановки частей фигуры, как показано выше. Учитывая, что площадь прямоугольника равна (основание)×(высота),\text{(основание)}\times\text{(высота)},(основание)×(высота), площадь параллелограмма также (основание )×(высота)?\text{(основание)}\times\text{(высота)}?(основание)×(высота)?

Да Нет

Показать объяснение

Параллелограмм был создан путем дублирования трапеции, ее вращения и добавления к самой себе. Чему равна длина основания параллелограмма?

Основание 1 + Основание 2\text{Основание 1 } + \text{ Основание 2} Основание 1 + Основание 2 2× (Основание 1)2 \times \text{ (Основание 1)}2× (Основание 1) 2× (Основание 2)2 \times \text{ (Основание 2)}2× (Основание 2) (Основание 1) × (Основание 2)\text{(Основание 1)} \times \text{(Основание 2)}(Основание 1)×(Основание 2)

Показать объяснение

Две одинаковые трапеции образуют параллелограмм, поэтому площадь трапеции равна половине площади параллелограмма. Чему равна площадь трапеции, учитывая длины оснований основания 1 и основания 2?

(Высота)(Основание 1+ Основание 2)2 \frac{\text{(Высота)(Основание 1+ Основание 2)}}{2}2(Высота)(Основание 1+ Основание 2)​ (Высота)(Основание 1+ Основание 2) \text{(Высота)(Основание 1+ Основание 2)}(Высота)(Основание 1+ Основание 2) (Основание 1+ Основание 2) 2 \frac{\text{(Основание 1+ Основание 2)}}{2}2(Основание 1+ Основание 2)​

Показать объяснение

Трапецию можно разрезать на две части и составить из них параллелограмм, как показано на рисунке. Две фигуры имеют одинаковую площадь. Означает ли это выражение площадь? 12(h)(x+y)\frac{1}{2}(h)(x + y)21​(h)(x+y)

Да Нет

Показать объяснение

Площадь прямоугольника — Веб-формулы

Четырехугольник называется прямоугольником, если он является параллелограммом и каждый угол равен 90 градусов.

Прямоугольник — четырехсторонняя замкнутая фигура. В прямоугольнике все противоположные стороны параллельны и равны. Также в прямоугольнике все смежные стороны перпендикулярны.

 

Прямоугольник — это четырехугольник и параллелограмм.

Рассмотрим прямоугольник длины x единиц и ширины y единиц.

Площадь приведенного выше прямоугольника = Д × Ш

 

Пример 1: Дан прямоугольник, длина которого равна 5 см, а ширина — 3 см. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение : Чтобы вычислить площадь, мы можем использовать формулу площади прямоугольника:

А = Д×Ш

Поскольку длина равна 5 см, мы можем заменить L на 5. Точно так же, поскольку ширина равна 3 см, мы можем заменить W на 3. После этого мы можем вычислить A , как показано ниже:

 

А = Д×Ш

А = 3×5

А = 15

 

Теперь расчетное число 15 имеет значение только в том случае, если мы включаем для него единицу измерения. Поскольку длина и ширина даны в сантиметрах, единицей измерения площади будет см ² . Следовательно:

А = 15 см ²

 

Пример 2: Найдите площадь сада, длина и ширина сада соответственно 600 м и 400 м.

Решение :

Площадь сада = длина × ширина

А = Д×Ш

А = 600×400

А = 240000 м ²

 

Пример 3: Белая бумага имеет длину 20 см и ширину 15 см. Джек нарисовал в центре листа прямоугольник длиной 10 см и шириной 5 см и закрасил весь прямоугольник фиолетовым цветом. Найдите площадь участка фиолетового цвета и площадь участка белого цвета.

 

Решение : Мы знаем, что площадь прямоугольника равна длине × ширине.

Здесь данная бумага имеет форму прямоугольника.

Таким образом, площадь бумаги равна = 20 см x 15 см = 300 см² .