Построить график кусочно заданной функции: График кусочно заданной функции | Алгебра

График кусочно заданной функции | Алгебра

Построить график кусочно заданной функции — один из видов задания 23 из ОГЭ по математике.

Рассмотрим примеры построения таких графиков.

1) Постройте график функции

   

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Область определения функции D(y): x∈R.

График данной функции состоит из трёх частей.

Значения x=3 и x=4 разбивают числовую прямую на три промежутка, на каждом из которых рассмотрим отдельную функцию.

Соответственно, прямые  x=3 и x=4 разбивают координатную плоскость на три области.

Каждый из графиков строится в своей области и не должен выходить за её пределы.

Чтобы не нарушить это правило, можно прямые x=3 и x=4 (прямые, параллельные оси Oy) выделить на черновике тонкой линией либо пунктиром. В чистовой вариант, разумеется, их переносить не нужно.

Итак, рассмотрим на трёх промежутках три различные функции.

1) Если x<4, y=2x-2.

y=2x-2 — линейная функция. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять две точки.

При x=0 y=2·0-2=-2, получили точку (0;-2).

При x=2 y=2·2-2=2, получили точку (2;2).

Обычно для построения графика оформляют таблицу:

   

Значения x можно брать, вообще говоря, любые. Главное, не забыть, что данная прямая не должна выходить правее x=3. Поэтому всё же лучше выбирать x, удовлетворяющие условию x<3.

2) Если 3≤x≤4, y=-3x+13.

y=-3x+13 — линейная функция. График — прямая. Для построения прямой берём две точки.

   

3) Если x>4, y=1,5x-5.

y=1,5x-5 — линейная функция. График — прямая. для построения прямой берём две точки.

   

Отметим каждую пару точек и проведём через них прямые, не забывая об ограничениях.

Получим график, состоящий их двух лучей и одного отрезка:

Прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки, если она проходит через точки соединения двух частей графика, то есть при m=1 и m=4:

Ответ: 1; 4.

2) Постройте график функции

   

и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение:

Область определения функции D(y): x∈R.

1) Если x≥4, y=x²-10x+27.

y=x²-10x+27 — квадратичная функция. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх (так как a=1>0).

Ищем координаты вершины параболы.

   

   

Таким образом, (5;2) — вершина параболы.

Так как a=1, от вершины строим параболу y=x².

(Другой вариант — переписать правую часть формулы в виде y=(x²-10x+25)+2=(x-5)²+2 и построить график параллельным переносом графика y=x² на 5 единиц вправо вдоль оси Ox и на 2 единицы вверх вдоль оси Oy).

2) Если x<4, y=x-1.

y=x-1 — линейная функция. График — прямая. Для построения прямой берём две точки:

   

Хотя на x наложено условие x<4, для построения прямой можно брать любые значение. Главное — не забыть, что правее x=4 прямая не должна выходить.

Итак, график данной функции состоит из двух частей. Прямая x=4 разделяет плоскость на две полуплоскости. Справа от неё расположена часть параболы с вершиной в точке (5;2), слева — прямая:

Прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки, если она проходит через вершину параболы и через точку соединения параболы и прямой, то есть при m=2 и m=3:

Ответ: 2; 3.

3) Построить график функции

   

и определить, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком одну или две общие точки.

Решение:

Область определения функции D(y): x∈R.

1) Если x≥-3, y=x²+4x+4.

y=x²+4x+4 — квадратичная функция. График — парабола ветвями вверх. Можно найти координаты вершины параболы и от вершины построить график функции y=x².

(Если заметить в правой части формулу квадрата суммы и переписать формулу функции y=(x+4)², то можно построить параболу параллельным переносом параболы y=x² на 4 единицы влево вдоль оси Ox).

2) Если x<-3,

   

— функция обратной пропорциональности. График — гипербола. Для построения гиперболы нужно взять несколько точек:

   

Таким образом, график данной функции состоит из двух частей. Справа от прямой x=-3 строим параболу с вершиной в точке (-2;0), слева — ветвь гиперболы:

Прямая y=m имеет с графиком одну или две общие точки при m=0 и m≥1:

Ответ: m=0 и m∈[1;∞).

Рубрика: ОГЭ задание 22 | Комментарии        

Построение кусочно-заданных функций с помощью программы Advanced Grapher | Презентация к уроку по алгебре (9 класс) на тему:

Слайд 1

Кусочно-заданные функции

Слайд 2

способы задания функции : табличный способ; графический способ; аналитический способ; словесный способ.

Слайд 3

В процессе формирования определения понятия функции встречалась мысль о том, что на разных участках области определения она может быть задана разными аналитическими выражениями. Понятие о кусочных функциях. На различных участках числовой прямой функция может быть задана разными формулами. Например: y=f(x) , где f ( x )= х 2 , -3 ≤ х ≤ -2 2х+8, -2

Слайд 4

Чтобы построить график кусочной функции, нужно: Построить в одной системе координат графики входящих функций, Провести прямые x = a 1, x = a 2, x = a 3,… где a -граничные точки, На каждой составляющей области определения ( a 1, a n ), где n є N выбрать тот график, который соответствует входящей функции на этой составляющей. Выяснить значение функции в граничных точках.

Слайд 5

y = f(x) , где x 2 , -3 ≤ x ≤ -2 f(x) = 2x+8, -2

Слайд 6

Для построения графиков функций можно использовать компьютерные программы 3 D Grapher , Advanced Grapher . Изменения графика мы наблюдаем при изменении коэффициентов и значений свободного члена. При положительном значении а (красный, синий), анализируя график функции, видим, что функция возрастает на всей области определения. Отрицательном значении а (желтый), функция убывает на всей области определения. Движение графика вдоль оси ОУ (зелёный, синий), происходит за счет изменения значений с . При записи коэффициента а дробным числом – меняется угол наклона прямой относительно оси ОХ (синий).

Слайд 7

Из построенных графиков видно, какие условия необходимы, чтобы график проходил через начало координат. Когда ветви направлены вверх, а>0 (синий, красный, желтый), когда вниз а

Слайд 8

Графики кубической функции

Слайд 9

График обратной пропорциональности

Слайд 10

С помощью программы Advanced Grapher была построена функция -х 2 -4х-3, если x ≤ -1 f ( x )= x +1, если -11 При каких значениях m прямая у= m имеет с графиком этой функции две общие точки. Ответ: прямая у= m имеет с графиком этой функции две общие точки при m =0 и 1

Слайд 11

В математике широко используются задания в которых ученики строят точки по их координатам и последовательно соединяют, получая при этом рисунок. Этот рисунок построен с помощью программы Advanced Grapher

Слайд 12

Вывод. Использование компьютерных программ для построения графиков функций, изучение их свойств и закономерностей, дает за минимальное количество времени рассмотреть большое количество примеров функций разных видов. Данная работа предназначена в помощь учителям при изучении функции, а также ученикам с целью заинтересовать математикой, информатикой, показав возможности использования технологий на уроках. В школе широко используются задания на построение и исследование графиков функций. Я предлагаю для изучения этих тем использовать компьютерные программы: 3 D Grapher , Advanced Grapher ; и рассмотрев предоставленные мной материалы, разработать свои аналогичные задания. Эти задания можно дать в качестве домашней работы. Они будут особенно полезны школьникам, обучающимся по программам с информатико-математическим уклоном. Достоинство – простота выполнения, наглядность результата, объемное цветное изображение позволяет привить интерес к математике, развить эстетический вкус. Работа способствует развитию познавательных интересов, повышению информационной грамотности, фундаментальному математическому образованию.

кусочных функций

кусочных функций

Дополнительно

Показать рекламу

Скрыть рекламу
О рекламе

Функция может состоять из частей

Мы можем создавать функции, которые ведут себя по-разному в зависимости от входного значения (x).

Функция, состоящая из 3 частей

 

Пример:

• когда x меньше 2, получается x ² ,
• , когда x ровно 2, это дает 6
• , когда x больше 2 и меньше или равно 6, это дает строку 10-x

Выглядит так:

(сплошная точка означает «включая»,
открытая точка означает «не включая»)

 

И вот как мы это запишем:

Домен (все значения, которые могут войти в функцию) — это все действительные числа до 6 включительно, которые мы можем написать так:

Dom(f) = (-∞, 6] (используя интервальную запись)

Дом(е) = {х | x ≤ 6} (используя нотацию Set Builder)

Вот несколько примеров значений:

X	Д
−4	16
−2	4
0	0
1	1
2	6
3	7

 

Пример: Вот еще одна кусочная функция:

, которая выглядит так:

Что такое h(−1)?

x ≤ 1, поэтому мы используем h(x) = 2, поэтому h(−1) = 2

Что такое h(1)?

x ≤ 1, поэтому мы используем h(x) = 2, поэтому h(1) = 2

Что такое h(4)?

x > 1, поэтому мы используем h(x) = x, поэтому h(4) = 4

Кусочные функции позволяют нам создавать функции, которые делают все, что мы хотим!

Пример: Плата за услуги врача зависит от продолжительности лечения.

• До 6 минут стоит 50 долларов США
• Более 6 и до 15 минут стоит 80 долларов США
• Более 15 минут стоят 80 долларов плюс 5 долларов за минуту сверх 15 минут

Что можно написать так:

 

Вы заходите на 12 минут, какая плата? $80

Вы заходите на 20 минут, какая плата? 80 долларов + 5 долларов (20-15) = 105 долларов

Функция абсолютного значения

Функция абсолютного значения — известная кусочная функция.

Он состоит из двух частей:

• ниже нуля: -x
• начиная с 0: x

f(x) = |x|

Функция этажа

Функция этажа — это особая кусочная функция. Он имеет бесконечное количество частей:

Функция этажа

 

Copyright © 2017 MathsIsFun.com

Определение и запись кусочных функций

Результаты обучения

• Определение кусочных функций
• Вычисление кусочной функции
• Напишите кусочную функцию для данного приложения

Кусочная функция — это функция, в которой используется несколько формул для определения выходных данных для разных частей области.

Мы используем кусочные функции для описания ситуаций, когда правило или отношение изменяются, когда входное значение пересекает определенные «границы». Например, в бизнесе мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда цена за штуку определенного товара снижается, когда количество заказанного товара превышает определенное значение. Налоговые скобки — еще один реальный пример кусочных функций. Например, рассмотрим простую налоговую систему, в которой доходы до [латекс]10 000 долл. США[/латекс] облагаются налогом [латекс]10\%[/латекс], а любой дополнительный доход облагается налогом [латекс]20\%[/латекс]. . Налог на общий доход, S, будет [латекс]0,1[/латекс]S, если [латекс]S\le[/латекс] [латекс]10 000 долларов[/латекс] и [латекс]1000 + 0,2 (S — 10 000 долларов )[/латекс], если S >

[латекс]$10 000[/латекс].

Кусочная функция

Кусочная функция — это функция, в которой для определения выходных данных используется более одной формулы. У каждой формулы есть свой домен, а домен функции представляет собой объединение всех этих меньших доменов. Обозначим эту идею следующим образом:

[латекс] f\left(x\right)=\begin{cases}\text{формула 1, если x находится в домене 1}\\ \text{формула 2, если x находится в домене 2}\\ \text{формула 3, если x находится в домене 3}\end{cases} [/latex]

В кусочной записи функция абсолютного значения равна

[латекс]|x|=\begin{cases}x\text{ if }x\ge 0\\ -x\text{ if }x<0\end{cases}[/latex]

Оценить кусочно -Определенная функция

В первом примере мы покажем, как вычислить кусочно определенную функцию. Обратите внимание, как важно обращать внимание на домен, чтобы определить, какое выражение использовать для оценки ввода.

Пример

Дана функция [латекс]f(x)=\begin{cases}7x+3\text{ if }x<0\\7x+6\text{ if }x\ge{0}\end {case}[/latex], оценить:

1. [латекс]f (-1)[/латекс]
2. [латекс]f (0)[/латекс]
3. [латекс]f (2)[/латекс]

Показать решение

В следующем видеоролике мы покажем, как вычислить несколько значений по заданной кусочно-определенной функции.

В следующем примере мы покажем, как оценить функцию, которая моделирует стоимость передачи данных для телефонной компании.

Пример

Компания сотовой связи использует приведенную ниже функцию для определения стоимости [latex]C[/latex] в долларах за [latex]g[/latex] гигабайт передачи данных.

[латекс]C\left(g\right)=\begin{cases}{25}\text{ if }{ 0 }<{ g }<{ 2 }\\ 10g+5\text{ if }{ g }\ge{ 2 }\end{cases}[/latex]

Найдите стоимость использования [latex]1,5[/latex] гигабайт данных и стоимость использования [latex]4[/latex] гигабайт данных.

Показать раствор

Функция из предыдущего примера представлена ​​на графике ниже. Мы можем видеть, где функция изменяется от постоянной до прямой с положительным наклоном при [latex]g=2[/latex]. Мы строим графики для различных формул на общем наборе осей, следя за тем, чтобы каждая формула применялась в соответствующей области.

 Написать кусочно-определяемую функцию

В последнем примере мы покажем, как написать кусочно-определяемую функцию, которая моделирует стоимость экскурсии по музею.

Пример

Музей взимает [latex]5$[/latex] с человека за экскурсию для группы от [latex]1[/latex] до [latex]9[/latex] человек или фиксированную плату в размере 50 долларов США за группа из [latex]10[/latex] и более человек. Напишите функцию , связывающую количество людей [latex]n[/latex] со стоимостью [latex]C[/latex].

Показать решение

График функции для предыдущего примера показан ниже. График представляет собой диагональную линию от [latex]n=0[/latex] до [latex]n=10[/latex] и константу после нее. В этом примере две формулы совпадают в точке встречи, где [latex]n=10[/latex], но не все кусочные функции обладают этим свойством.

В следующем видео мы показываем пример того, как написать кусочно-определенную функцию с учетом сценария.

Как: Для заданной кусочной функции написать формулу и определить область определения для каждого интервала

1. Определите интервалы, в которых применяются разные правила.
2. Определите формулы, описывающие, как вычислить выход из входа в каждом интервале.
3. Используйте квадратные скобки и операторы «если» для записи функции.

Резюме

• Кусочная функция — это функция, в которой используется более одной формулы для определения выходных данных для разных частей области.
• Вычисление кусочной функции означает, что вам необходимо обратить пристальное внимание на правильное выражение, используемое для данного входа.

  No related posts.