Правило треугольника матрицы: Правило треугольников онлайн

Содержание

Что такое определитель матрицы

Оглавление

Время чтения::  6 минут

351

Нередко при решении задач в высшей математике требуется провести вычисление определителя матрицы. Для того, чтобы делать это правильно, нужно знать ключевые определения, свойства и различные вычислительные методы. В аналитической геометрии, математическом анализе, линейной алгебре и остальных разделах высшей математики специалисты применяют определитель матрицы.

Что такое матрица?

На первом шаге стоит чётко понимать, что матрица — типичная таблица, внутри которой
расположены цифры. Размерность — основополагающая характеристика матрицы, которая говорит о
том, сколько столбцов и строк прописано в матричной структуре. При этом определитель можно посчитать для
квадратной матрицы.Принято говорить, что та или иная матрица А имеет размер
[m x n], когда в ней расположено m строчек и n столбиков. Визуально это
выглядит следующим образом: \[A=[m \times n]\].

В некоторых случаях запись такая: \[A=\left(a_{i j}\right), \quad 1 \leq i \leq m ; \quad 1 \leq j \leq
n\].

7 свойств определителя

  1. Когда 2 строчки/столбца меняются местами, меняется знак у определителя на противоположный;
  2. В случае умножения одной строки/столбца на число k, весь определитель также умножится на данное число;
  3. Определитель будет неизменным в случае, если взять одну строку и сложить/отнять её любое количество раз из другой;
  4. В целом определитель равен 0, когда 2 строчки определителя равны, или пропорциональны, или одна из строчек заполнена нулями;
  5. Столбцы также имеют все эти свойства;
  6. Определитель будет неизменным, если матрица транспонируется;
  7. Определитель произведения матриц численно равен произведению определителей.

Как можно найти определитель матрицы второго порядка?

В основном студенты и ученики получают от преподавателей задание вычислить определитель матрицы второго, третьего, иногда четвёртого порядка. {N_{k}} * a_{1 j 1(k)} * a_{2 j 2(k)}=a_{11} * a_{22}-a_{12} * a_{21}\]

Проанализировав ранее сказанное, получаем типовой алгоритм для нахождения определителя матрицы 2-го порядка 2х2:

\[\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11} * a_{22}-a_{12} * a_{21}\]

Если рассмотреть данную формулу на наглядном примере, то это будет вот так:

Пример

Вычислить определитель матрицы \[2 \times 2\]:

\[A=\left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\-6 & 1\end{array}\right|\]

Решение:

Итак, у нас получается \[a_{11}=2, a_{12}=3, a_{21}=-6, a_{22}=1\].

Для решения необходимо воспользоваться ранее рассмотренной формулой:

\[A=\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{array}\right|=a_{11} * a_{22}-a_{12} * a_{21}\]

Подставляем числа с примера и находим:

\[A=\left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\-6 & 1\end{array}\right|=2 * 1-3 *(-6)=3-(-18)=21\]

Ответ:

Определитель матрицы второго порядка = 21.

Чтобы упростить понимание процесса, как в данном случае находится определитель матрицы, можно представить такой расчёт: от произведения элементов основной диагонали отнимается произведение элементов другой диагонали.

\[\left|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right|=a_{11} \cdot a_{22}-a_{12} \cdot a_{21}\]

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Матрица 3-го порядка: методы нахождения ее определителя

Существует 2 способа, позволяющих быстро и точно решить уравнения. Определитель матрицы при этом находится по правилу треугольника или «параллельных полосок».

Правило треугольника

Визуальная схема действий здесь выглядит достаточно просто:

Произведения элементов в левом определителе, соединенные прямыми, суммируются; затем, перемноженные элементы правого определителя, связанные по прямой, вычитаются. Происходит это таким образом:

\[\left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}\]

Правило Саррюса

Согласно правилу Саррюса («параллельных полосок»), матрица рассчитывается с учётом некоторых факторов и ряда операций:

  • слева от определителя выписываются 2 первых столбца;
  • элементы с основной диагонали и остальные, прописанные параллельно, перемножаются, произведения будут со знаком «+»;
  • элементы с побочной диагонали и другие, которые ей параллельны, перемножаются, произведения будут со знаком «-».

Схематично это выглядит так:

Расчёт идёт по формуле:

Пример

Вычислить определитель \[\left|\begin{array}{rrr}3 & 3 & -1 \\4 & 1 & 3 \\1 & -2 & -2\end{array}\right|\] с
помощью правила Саррюса.

Решение:

\[\begin{array}{|rrr|rr}3 & 3 & -1 & 3 & 3 \\4 & 1 & 3 & 4 & 1 \\1 & -2 & -2 & 1 & -2\end{array} =3 \cdot 1
\cdot(-2)+3 \cdot 3 \cdot 1+\\+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4
\cdot(-2)=54\]

Ответ:\[\left|\begin{array}{rrr}3 & 3 & -1 \\4 & 1 & 3 \\1 & -2 & -2\end{array}\right|=54\]

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Определитель матрицы четвёртого порядка вычисляется двумя способами: разложение по элементам строки или столбца. Это — способ рассчитать определитель n как нахождение определителя порядка n-1, достаточно представить определитель как итог сложения произведений элементов строки/столбца на их алгебраические дополнения.

Пример

\[|A|=a_{11} A_{11}+a_{12} A_{12}+a_{13} A_{13}\](разложение по элементам 1-ой строки)

\[|A|=a_{12} A_{12}+a_{22} A_{22}+a_{32} A_{32}\](разложение по элементам 2-го столбца)

Определитель матрицы второго и третьего порядков и правила вычисления

Автор Ольга Андрющенко На чтение 6 мин. Просмотров 144 Опубликовано

Матрица содержит в себе векторы-столбцы. Они по-разному ориентированы в пространстве. Характеристикой этого расположения и того матричного преобразования, которое может дать матрица, выступает определитель матрицы.

Содержание

Определитель матрицы 2×2

Пусть дана квадратная матрица второго порядка:

A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix}

Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.

Определитель второго порядка записывается так:

detA=\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

Геометрический смысл определителя

Если нам дана квадратная матрица

A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22} \end{pmatrix}

То первый столбец дает нам координаты одного вектора, а второй столбец чисел — координаты второго вектора. Начало данных векторов — в точке начала координат.

Тогда определитель матрица дает нам площадь параллелограмма, построенного на данных векторах.

Рассмотрим на примере

Пусть нам дана матрица с координатами:

A=\begin{pmatrix} 3& 1\\ 1& 2 \end{pmatrix}

Нарисуем координатную плоскость и отметим на ней данные векторы.

Векторы и

Где у вектора \overline{a} координаты (3; 1), а у вектора \overline{b} координаты (2; 1).

Теперь построим на этих векторах параллелограмм, считая, что векторы a и b его стороны. Получим:

Параллелограмм на векторах и

Площадь данного параллелограмма и будет являться определителем матрицы. Площадь данного параллелограмма S_{ABCD}=5. И определитель матрицы:

detA=\begin{vmatrix} 3& 1\\ 1& 2 \end{vmatrix}=3 \cdot 2-1 \cdot 1=6-1=5

Однако, обычно в линейной алгебре говорят не о площади параллелограмма, а о матричном преобразовании. То есть о том, в какую фигуру матрица преобразует единичный квадрат, построенный на единичных векторах. Насколько она ее масштабирует в пространстве. То есть вот из такого квадрата (синий цвет) матричное преобразование делает параллелограмм с определенной площадью (отмечено красным цветом), равной по модулю определителю матрицы.

Матричное преобразование площади определитель матрицы

Однако иногда определитель матрицы может быть отрицательным числом. В этом случае площадь фигуры, построенной на векторах матрицы, будет равна модулю данного числа, а знак минус означает, что ориентация данной фигуры отрицательна.

Геометрический смысл определителя матрицы

Определитель показывает какой будет площадь единичного квадрата при матричном преобразовании. Она будет равна площади параллелограмма, который будет построен на векторах-столбцах матрицы. Первый столбец матрицы дает нам координаты первого вектора, а второй столбец  — координаты второго вектора.

Можно расширить геометрический смысл матрицы и на матрицы другого размера.

Таким образом, определитель матрицы 1×1 дает длину вектора, 2×2 — площадь параллелограмма, 3×3 — объем параллелепипеда, а nxn — объем n-мерного параллелепипеда. 2=0

Ответ: 0

Определитель третьего порядка

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка:

A=\begin{pmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называется число:

a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{33}a_{21}-a_{11}a_{23}a_{32}

Определитель третьего порядка будет:

detA=\begin{vmatrix} a_{11}& a_{12} & a_{13}\\ a_{21}& a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}= \\ =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{33}a_{21}-a_{11}a_{23}a_{32}

Правило треугольников

При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Саррюса). Это правило проиллюстрируем на схеме:

Правило треугольников или правило Саррюса

Как пользоваться правилом треугольника:

На схеме есть две картинки — красная и синяя, красная картинка дает нам три положительных слагаемых в формуле определителя третьего порядка, а синяя — три отрицательных.

Умножаем так — сначала умножаем элементы матрицы по главной диагонали потом в вершинах одного треугольника и в вершинах другого треугольника: . Все полученные множители складываем.

Теперь обратимся к синей картинке. Тут мы начинаем сначала перемножать элементы по побочной диагонали: , а потом элементы в вершинах двух треугольников: и . Полученные множители записываем в формулу со знаком минус.

Примеры на вычисление определителя третьего порядка

a) Вычислить определитель матрицы:

A=\begin{pmatrix} 2& 3 & 4\\ 6& 5 & 7 \\ 9& 0& 8 \end{pmatrix}

Решение:

det A=\begin{vmatrix} 2& 3 & 4\\ 6& 5 & 7 \\ 9& 0 & 8 \end{vmatrix}=2 \cdot 5 \cdot 8+ 3 \cdot 7 \cdot 9+6\cdot 0 \cdot 4 — 4 \cdot 5 \cdot 9 — 3 \cdot 6 \cdot 8 — 7 \cdot 0 \cdot 2=80+189+0-180-144-0=-55

Ответ: det A=-55

б) Вычислить определитель матрицы 3×3:

A=\begin{pmatrix} 2& 3 & 1\\ 1& -5 & 6\\ 2& -3& 4 \end{pmatrix}

Решение:

Используем формулу определителя третьего порядка

det B=\begin{vmatrix} 2& 3 & 1\\ 1& -5 & 6\\ 2& -3& 4 \end{vmatrix}=2 \cdot (-5) \cdot 4+ 3 \cdot 6 \cdot 2+1\cdot 1 \cdot (-3) — 1 \cdot (-5) \cdot 2 — 2 \cdot 6 \cdot (-3) — 3 \cdot 1 \cdot 4=-40+36-3+10+36-12=27

Ответ: det B=27

в) Вычислите определитель единичной матрицы 3×3.

Решение:

Единичная матрица 3×3 имеет вид:

A=\begin{pmatrix} 1& 1 & 1\\ 1& 1 & 1\\ 1& 1& 1 \end{pmatrix}

Используем формулу определителя третьего порядка

det A=\begin{vmatrix} 1& 1 & 1\\ 1& 1 & 1\\ 1& 1& 1 \end{vmatrix}=1 \cdot 1 \cdot 1+ 1 \cdot 1 \cdot 1+1\cdot 1 \cdot 1 — 1 \cdot 1 \cdot 1 — 1 \cdot 1 \cdot 1 — 1 \cdot 1 \cdot 1=1+1+1-1-1-1=0

Действительно, в столбцах единичной матрицы три совпадающих вектора, на которых невозможно построить объемную фигуру, объем которой и определяет определитель матрицы третьего порядка. Поэтому мы и получили число 0.

Вообще говоря, любая матрица с одинаковыми строками и столбцами дает определитель, равный нулю. Можете проверить самостоятельно.

Ответ: 0

Разложение определителя по строке или столбцу, а также его свойства, миноры и дополнения элементов определителя рассмотрим далее.

Треугольные матрицы

\( \) \( \) \( \)

Определение верхнетреугольной матрицы

Квадратная матрица является верхней треугольной матрицей тогда и только тогда, когда все ее элементы ниже элементов на главной диагонали равны нулю.

Это примеры верхних треугольных матриц.
Элементы главной диагонали выделены красным цветом, а все элементы ниже них выделены синим цветом и равны нулю.
\( А = \begin{bmatrix} \цвет{красный} 1 и 3 \\ \цвет{синий}0 и \цвет{красный}{-3} \end{bmatrix} \) \( Б = \begin{bmatrix} \цвет{красный}9&-1 &-1\\ \цвет{синий}0 и \цвет{красный}0 и 0\\ \color{синий}0 и \color{синий}0 и \color{красный}{-5} \end{bmatrix} \)

Определение нижней треугольной матрицы

Квадратная матрица является нижней треугольной матрицей тогда и только тогда, когда все ее элементы выше элементов на главной диагонали равны нулю.


Это примеры нижних треугольных матриц.
Элементы главной диагонали выделены красным цветом, а все элементы над ними выделены синим цветом и равны нулю.
\( А = \begin{bmatrix} \цвет{красный}9 и \цвет{синий}0 \\ -9 & \цвет{красный}2 \end{bmatrix} \) \( Б = \begin{bmatrix} \цвет{красный}9 и \цвет{синий}0 и \цвет{синий}0\\ -1 и \цвет{красный}{-1} и \цвет{синий}0\\ 0 & -6 & \цвет{красный}3 \end{bmatrix} \)

Свойства треугольных матриц

Некоторые из наиболее важных свойств треугольных матриц приведены ниже.

  1. Определитель треугольной матрицы равен произведению всех элементов на главной диагонали.
  2. Если \( A \) — верхняя треугольная матрица, ее транспонирование — нижняя треугольная матрица. Если \( A \) — верхняя треугольная матрица, ее транспонирование — нижняя треугольная матрица.
  3.    Произведение нижних треугольных матриц является нижней треугольной матрицей. Произведение верхнетреугольных матриц есть верхнетреугольная матрица.
  4.    Сумма (или разность) нижних треугольных матриц является нижней треугольной матрицей. Сумма (или разность) верхнетреугольных матриц есть верхнетреугольная матрица.
  5. Треугольная матрица обратима (имеет обратную) тогда и только тогда, когда ни один из ее элементов на главной диагонали не равен нулю.
  6. Обратной обратимой верхней треугольной матрицей является верхняя треугольная матрица. Обратной обратимой нижней треугольной матрицей является нижняя треугольная матрица.

Примеры с решениями

Пример 1
Какая из следующих матриц является верхней треугольной матрицей, нижней треугольной матрицей или не является ни одной?
а)    \( А = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 и 0 и 0 \end{bmatrix} \)      b)    \( B = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 0 и 0 и 1 \\ 0 и 0 и 1 \end{bmatrix} \)      c)    \( C = \begin{bmatrix} -1 и 0 и 0 и 0\\ 5 и -7 и 0 и 0\\ 5 и 4 и 2 и 0\\ 5 и 0 и 0 и 3 \end{bmatrix} \) г)    \( D = \begin{bmatrix} 1 и 0 и 0 и 9\\ 4 и 1 и 0 и 0\\ 0 и -4 и 1 и 0\\ 0 и 0 и 0 и 0 \end{bmatrix} \)

Решение
а) Нет: Матрица \( A \) не квадратная и, следовательно, не треугольная.


б) Верхний: Матрица \( B \) представляет собой квадратную матрицу с элементами главной диагонали \( \{-2, 0, 1 \} \). Это верхняя треугольная матрица, потому что все ее элементы ниже элементов главной диагонали равны нулю.
c) Нижний: Матрица \( C \) представляет собой квадратную матрицу с элементами главной диагонали \( \{ -1, -7, 2, 3 \} \). Это нижняя треугольная матрица, потому что все ее элементы выше элементов главной диагонали равны нулю.
d) Нет: Матрица \( D \) является квадратной матрицей с элементами главной диагонали \( \{ 1, 1, 1, 0 \} \). Это не треугольная матрица, потому что элементы, не равные нулю, находятся выше \(9\) и ниже \(-4\) элементов главной диагонали.

Пример 2
Найдите определитель каждой из следующих матриц

а) \( А = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 1 и -1 и 0 \\ -2 и 3 и 2 \end{bmatrix} \)      b) \( B = \begin{bmatrix} х & 0 & 1 \\ 0 и х+1 и 1 \\ 0 и 0 и х \end{bmatrix} \)      c) \( C = \begin{bmatrix} -1 и 0 и 0 и 0\\ 5 и -9{-1} = \dfrac{1}{-4} \begin{bmatrix} -1 и 0 \\ -2 и 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{4} & 0 \\ \dfrac{1}{2} & -\dfrac{1}{4} \\ \end{bmatrix} \)
Вывод: как \( A \), так и обратная матрица являются нижними треугольными матрицами, что подтверждает свойство 6 выше.

Пример 5
Пусть \( A = \begin{bmatrix} 3 и 0 и 0\\ 5&-2&0\ 9 и -2 и 4 \end{bmatrix} \), \( B = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 0\\ 0 и -2 и 0 \\ -3 и 4 и -1 \end{bmatrix} \) и \( C = \begin{bmatrix} 7 и 0 и 0\\ -1 & 0 & 0 \\ 12 и -2 и 3 \end{bmatrix} \).

Какая из следующих матриц \( A , \; B ,\; C ,\; A B ,\; A C,\; A + C \) обратима?

Решение
Матрица с определителем, не равным нулю, обратима.
\( Det(A) = (3)(-2)(4) = -24 \) , следовательно, матрица \( A \) обратима.
\( Det(B) = (-2)(-2)(-1) = -4 \) , следовательно, матрица \( B \) обратима.
\( Det(C) = (7)(0)(3) = 0 \) , следовательно, матрица \( C \) НЕ обратима.
Определитель произведения двух матриц равен произведению их определителей
\( Det(AB) = Det(A) Det(B) = (-24)(-4) = 96 \) , следовательно, матрица \( AB \) обратима.
\( Det(AC) = Det(A) Det(C) = (-24)(0) = 0 \) , следовательно, матрица \( AC \) НЕ обратима.

\( Дет(А+С) = Дет \слева(\begin{bmatrix} 3 и 0 и 0\\ 5&-2&0\ 9 и -2 и 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 и 0 и 0\\ -1 & 0 & 0 \\ 12 и -2 и 3 \end{bmatrix} \right) \)

\( \квадрат \квадрат = Дет \begin{bmatrix} 10 и 0 и 0\\ 4&-2&0\ 21 и -4 и 7 \end{bmatrix} = (7) (-2) (7) = -98 \) , следовательно, матрица \( A + C \) обратима.

Вопросы (с ответами ниже)

  • Часть 1
    Матрицы \( A \) и \( B \) таковы, что \( AB = B A = I \), где \( I \) — единичная матрица. 2-4 \end{bmatrix} \). 92 — 7 \end{bmatrix} \). Найдите все действительные числа \( c \) такие, что матрица \( A \) является сингулярной.

Ответы на вышеуказанные вопросы

  • Часть 1

    Согласно определению обратной матрицы, если \( A B = B A = I \), где \( I \) — единичная матрица, то матрицы \( A \) и \( B \) являются обратными друг другу.
    Согласно свойству 6 выше, если \( A \) является нижней треугольной матрицей, то ее обратная \( B \) также является нижней треугольной матрицей, а если \( B \) является нижней треугольной ее обратной \( A \) также является нижним треугольником. 92-7 = 0 \), что дает \( c = \sqrt 7 \) , \( c = — \sqrt 7 \)
    Матрица \( A \) является сингулярной для: \( c = 1 \), \( c = \sqrt 7 \) или \( c = — \sqrt 7 \)

Дополнительные ссылки

  • Матрицы с примерами и вопросы с решениями.
  • Определитель квадратной матрицы.
  • Обратные матричные вопросы с решениями.
  • Элементарная линейная алгебра — 7-е издание — Ховард Антон и Крис Роррес
  • Введение в линейную алгебру — пятое издание (2016 г. ) — Гилберт Стрэнг
  • Linear Algebra Done Right — третье издание, 2015 г. — Шелдон Аклер
  • Линейная алгебра с приложениями — 2012 — Гарет Уильямс

Руководство по треугольным матрицам

Если вы изучаете линейную алгебру, вы столкнетесь с треугольной матрицей раньше, чем узнаете о треугольных матрицах в какой-то момент своего обучения. Матрица представляет собой прямоугольное расположение чисел или выражений, где элементы по горизонтали и вертикали соответствуют положениям в системе координат. R обозначает количество строк, а C обозначает количество столбцов. Треугольную матрицу можно описать как частный случай матрицы, в которой каждый столбец имеет только один ненулевой элемент. В этой статье мы узнаем, как использовать треугольную матрицу и определители для треугольных матриц.

Что такое треугольная матрица?

Матрица определяется как двумерный массив, состоящий из строк и столбцов.

Треугольная матрица — это матрица со следующими характеристиками:

Треугольная матрица содержит все нули, кроме тех, что расположены на главной диагонали (диагональ, идущая сверху слева вниз справа).

Все элементы главной диагонали имеют единицы с обеих сторон.

Все остальные элементы треугольной матрицы равны нулю.

Треугольная матрица всегда квадратная, т. е. имеет одинаковое количество строк и столбцов. Треугольная матрица 2 × 2 также называется «матрицей 2 на 2», а треугольная матрица 3 × 3 называется «матрицей 3 на 3».

Треугольная матрица — это квадратная матрица, в которой все диагональные элементы равны нулю. Если треугольник имеет только эту форму, мы называем его единичной матрицей и обозначаем I.

Треугольные матрицы являются ключом к пониманию определителей и решений линейных систем.

Важно помнить, что любую матрицу можно представить в виде треугольной матрицы со всеми нулевыми элементами, кроме диагональных элементов. Например, мы можем умножить любую квадратную матрицу на I, если и столбцы, и строки I отличны от нуля. Этот факт чрезвычайно важен при работе с алгоритмами автокодирования, поскольку он позволяет нам использовать тип данных переменной во время вычислений.

Треугольные матрицы очень полезны для решения линейных уравнений и систем линейных уравнений. Их можно использовать для вычисления определителя матрицы (который является мерой отношения матрицы и ее элементов друг к другу).

Определитель треугольной матрицы:

Определитель матрицы представляет собой набор линейных преобразований.

Линейное преобразование обладает тем свойством, что при изменении одной переменной другая изменяется на величину, пропорциональную исходной переменной.

Определитель треугольной матрицы является произведением ее диагональных элементов.

Равен произведению коэффициентов верхней и нижней треугольных составляющих.

Определитель матрицы — это показатель количества раз, когда кофакторы являются факторами (т. е. умножениями). Например, если один фактор равен 3, то все кофакторы умножаются три раза.

Есть три свойства треугольных матриц, которые особенно полезны для решения их определителей:

1. Треугольная матрица обратима, если каждый нулевой элемент внутри матрицы находится на диагоналях.

2. Характеристический многочлен треугольной матрицы равен нулю, что особенно упрощает нахождение ее собственных значений и собственных векторов.

3. Треугольная матрица является положительно полуопределенной, а это означает, что ее обратная матрица также является положительно полуопределенной, т. е. обратимой.

Определитель треугольной матрицы вычисляется путем умножения элементов первого столбца на элементы третьего столбца и элементов второго столбца на элементы четвертого столбца. Затем находится сумма этих произведений.

Пример треугольной матрицы:

Пусть «A» — матрица с диагональными элементами «a». Тогда «А» является верхнетреугольным, если все недиагональные элементы равны нулю, и нижнетреугольным, если все недиагональные элементы равны единице.

Пример нижней треугольной матрицы:

                 

  

1

2

3

035

006

Upper triangular matrix example:

 

-5

 0

2 0 90

06

6

3

0

0

0

-2

23

0

7

-1

 4

 8

Использование треугольной матрицы:

Треугольные матрицы используются в вычислительной механике и физике для представления структурной жесткости или «твердости». Это включает в себя изучение того, сколько энергии требуется, чтобы изменить структуру в другую конфигурацию.

Треугольные матрицы используются в анализе методом конечных элементов, потому что с геометрией треугольников довольно легко работать из-за их простоты.

Треугольные матрицы помогают решать системы линейных уравнений. Они полезны, потому что позволяют нам манипулировать и решать для системы в целом, а не для конкретного значения в ней.

Обычно треугольные матрицы используются в числовой линейной алгебре (NLA).

Треугольные матрицы также широко используются при исключении Гаусса.

Вывод: 

Треугольная матрица является произведением столбцов на строки. Его также можно представить в виде суммы, где матрица коэффициентов равна нулю. Определитель треугольной матрицы можно найти, добавив повороты в формулу для этого типа треугольной матрицы. Определитель верхней или нижней треугольной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *