Преобразование Лапласа. Решение дифференциальных уравнений преобразованием Лапласа. Обратное преобразование Лапласа
Математика \ Основы теории управления и системотехники
Страницы работы
112 страниц (Word-файл)
Посмотреть все страницы
Скачать файл
Содержание работы
6. Преобразование Лапласа
1
6. Преобразование Лапласа
6.2. Преобразование Лапласа.
6.3. Решения дифференциальных уравнений преобразованием Лапласа.
6.4. Обратное преобразование Лапласа.
6.5. Непрерывные и дискретные преобразования.
6.6. z-преобразование.
6.7. Свойства z-преобразования.
6.8. Обратное z-преобразование.
6.9. Анализ и проектирование фильтров.
6.10. Инвариантный метод анализа фильтра.
6.11.
Решение уравнений в конечных разностях.
2
6.2. Преобразование Лапласа
- Преобразование Лапласа приме-няется в радиоэлектронике, а также для исследования дифференциальных уравнений.
- Оно преобразует дифференци-альное уравнение в алгебраиче-ское, которое обычно решается проще. Затем полученное в часто-тной области решение обратным преобразованием Лапласа пере-водится в решение исходного дифференциального уравнения.
3
6.2. Преобразование Лапласа
L{ f(t)} = F(s)
Дифференц уравнение f(t)
Алгебраическое уравн F(s)
Прямое
L-1{F(s)} = f(t)
Решение алг уравнения F(s)
Решение диф уравнение f(t)
Обратное
4
6.2. Преобразование Лапласа
-
Преобразованием Лапласа F(s) функции f(t), определенной для t ≥ 0, называется интегральное преобразование:
-
для вычисления такого интеграла применяются те же приемы, что и для преобразования Фурье.
- Переменная s комплексная, переменная t тоже может быть комплексной.
- Преобразование Лапласа – это оператор L[·] от функции f(t), точнее, это интегральный оператор от f(t).
-
для вычисления такого интеграла применяются те же приемы, что и для преобразования Фурье.
5
6.2. Преобразование Лапласа
- Пример. Найти преобразование Лапласа функции единичного скачка (Хевисайда)
- Решение.
- Это табличный интеграл
6
6.2. Преобразование Лапласа
- s – комплексное число, пусть
- Тогда модуль комплексного числа
- Если a < 0, то предел
не существует, его значение уходит на бесконечность.
- Если a > 0, то предел
так как модуль экспоненты стремится к нулю.
7
6.2. Преобразование Лапласа
-
При s = 0 преобразование Лапласа сигнала 1(t) не определено, (почему?). Таким образом преобразование Лапласа сигнала 1(t) определено для параметров s таких, что Re(s) > 0 . В этом случае
Таким образом преобразование Лапласа сигнала 1(t) определено для параметров s таких, что Re(s) > 0 . В этом случае
- На комплексной плоскости область параметров s, для которых преобразование Лапласа сигнала 1(t) определено имеет вид
Im(s)
Re(s)
0
8
6.2. Преобразование Лапласа
- Пример. Найти преобразование Лапласа функции eat
- Решение не представляет никаких трудностей:
- Если Re (a-s) > 0, то значение определенного интеграла уходит на бесконечность, то интеграл не существует.
- Если Re (a-s) = 0, то интеграл от константы также равен бесконечности, то есть не существует.
- При Re (a-s) < 0 интеграл существует, преобразование равно
9
6.2. Преобразование Лапласа
-
Пример. Найти преобразование Лапласа тригонометрических функций cos ωt и sin ωt с параметром ω≠0.
- Интегрирование по частям дает :
- Подставляем в первую формулу второе выражение и решая полученное уравнение, имеем результат :
10
6.2. Преобразование Лапласа
- Теперь для сигнала Cos ωt :
- интеграл существует, если Re(s)>0.
11
6.2. Преобразование Лапласа
- Сравним преобразования Фурье и Лапласа от Cos ωt , преобразование Фурье вычислим также на интервале [0, +∞]
(вычисляется как Фурье от произведения)
Графики АЧХ от Cos(t) при применении Фурье- и Лаплас преобр.
12
6.2. Преобразование Лапласа
- интеграл существует, если Re(s)>0.
Ну, это совсем просто! Француз, наверное, брал по частям ? Только что такое Re(s) ? Что-то музыкальное ?
13
6.
2. Преобразование Лапласа
- Сравним преобразования Фурье и Лапласа от sin t , преобразование Фурье вычислим также на интервале [0, +∞]
(вычисляется как Фурье от произведения)
Графики АЧХ от sin t при применении Фурье- и Лаплас преобр.
14
6.2. Преобразование Лапласа
- График АЧХ cos ωt для преобразования Лапласа при ω=1
- График АЧХ sin ωt для преобразования Лапласа при ω=1
15
6.2. Преобразование Лапласа
- Найдем преобразование Лапласа для функции Хевисайда 1(x-a) со сдвигом на a>0 – сдвиг графика вправо.
- Если Re s > 0, то интеграл сходится и
16
6.2. Преобразование Лапласа
- Упражнения.
- 1. Найти преобразование Лапласа для функции f(t) = t.
-
2. Найти преобразование Лапласа для функции f(t) = tn.
Найти преобразование Лапласа для функции f(t) = tn.
- Сравнить преобразование Лапласа от cos(t) и sin(t) с преобразованием Фурье от 1(t)cos(t) и 1(t)sin(t) (использовать правило преобразования Фурье от произведения).
17
6.2. Преобразование Лапласа
Существуют таблицы преобразования Лапласа для различных функций
18
6.2. Преобразование Лапласа
- Свойства преобразования Лапласа
- 1. Линейность: L(a·f(t) + b·g(t)) = a·L(f(t)) + b·L(g(t)).
- 2. Свойство сдвига по частоте : если Re (s-a) > 0 и
- L(f) = F, то
- L(eat f(t)) = F(s-a).
- 3. Преобразование производной (Дифференциальное свойство):
- если для некоторого вещественного α>0 функция f(t) ограничена экспонентой:
Похожие материалы
Информация о работе
Скачать файл
высшая-математика / Задача Коши для уравнения конвективной диффузии / Математика
Комментарии закончились.
..
Начнём с того, что написано в учебнике Фарлоу в лекции 15… возможно Вы пытались повторить все выкладки этой лекции… но там идёт сначала идёт рассмотрение модельного уравнения без диффузионного слагаемого… По итогу, всё что Вам нужно — это само преобразование уравнения…
Если Вам дана задача Коши в полуплоскости $%(x;t)\in\mathbb{R}\times[0;+\infty)$% $$ u_t = 4u_{xx}-2u_x, \qquad u(x;0)=\sin 3x,\qquad\qquad\qquad(1) $$ то замена $%u(x;t)=U(\xi;\tau),\;\tau=t,\;\xi=x-2t$% приводит Вашу задачу к виду $$ U_{\tau} = 4U_{\xi\xi}, \qquad U(\xi;0)=\sin 3\xi, \qquad\qquad\qquad(2) $$ то есть задачу Коши для обыкновенного уравнения теплопроводности без конвективного слагаемого…
Отмечу, что это не единственный путь преобразования задачи $%(1)$%… например, у Фарлоу в лекции 8 приведён ещё один вариант преобразований… Однако, это преобразование применяют для краевых задач и не применяют для задачи Коши, поскольку в результате получается неограниченная функция в начальных данных.
{+\infty} U_0(\xi)\cdot G(\xi-\eta;\tau)\cdot d\eta
$$
и затем исследуют его свойства…
В частности, у Фарлоу в лекции 12 эта формула выводится при помощи преобразования Фурье… но в качестве замечания пишут, что на для всех функций существует образ преобразования Фурье (имеется ввиду начальные данные)… в том числе и для синуса, который присутствует в задаче $%(2)$%…
С другой стороны, преобразование Фурье — это не единственный способ вывода формулы … в конце концов, фундаментальное решение уравнения теплопроводности сначала (исторически) угадали, а уже потом придумали вывод…
===========================
ЗЫ: Можно конечно воспользоваться исторической аналогией… то есть угадать решение и сослаться на теорему единственности решения задачи Коши, где требуется непрерывность и ограниченность начальных данных… (то есть стремление к нулю на бесконечности не обязательно) …
Про вычисление интеграла записанного выше я пока не думал.
Ну, как-то так…
Дифференциальные уравнения — преобразования Лапласа
Онлайн-заметки Пола
Главная
/
Дифференциальные уравнения
/
Преобразования Лапласа
/ Преобразования Лапласа
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 4-2: Преобразования Лапласа
Как мы видели в предыдущем разделе, непосредственное вычисление преобразований Лапласа может быть довольно сложным. Обычно мы просто используем таблицу преобразований при вычислении преобразований Лапласа. Приведенная здесь таблица не является исчерпывающей, но включает в себя большинство часто используемых преобразований Лапласа и большинство часто используемых формул, относящихся к преобразованиям Лапласа.
Прежде чем приступить к паре примеров, иллюстрирующих использование таблицы, давайте быстро отметим факт.
Факт
Учитывая \(f(t)\) и \(g(t)\), то
\[\mathcal{L}\left\{ {af\left( t \right) + bg\left( t \right)} \right\} = a\,F\left( s \right) + b\, G\влево( с\вправо)\]
для любых констант \(a\) и \(b\).
Другими словами, мы не беспокоимся о константах и не беспокоимся о суммах или разностях функций при взятии Лапласа.
3} — 9{\ гидроразрыва {3} {2}}} \)
Показать все решения Скрыть все решения
a \(f\left( t \right) = t\cosh \left( {3t} \right)\) Показать решение
Эта функция отсутствует в таблице преобразований Лапласа. Однако мы можем использовать #30 в таблице для вычисления его преобразования. Это будет соответствовать #30, если мы возьмем n=1 .
\[F\left( s \right) = \mathcal{L}\left\{ {tg\left( t \right)} \right\} = — G’\left( s \right),\hspace{0.25 in}{\mbox{где }}g\left( t \right) = \cosh \left( {3t} \right)\] 92}\sin \left( {2t} \right)\) Показать решение
Эта часть также будет использовать #30 в таблице. Фактически, мы могли бы использовать #30 одним из двух способов. Мы могли бы использовать его с \(n = 1\) .
\[H\left( s \right) = \mathcal{L}\left\{ {tf\left( t \right)} \right\} = — F’\left( s \right),\hspace{0.25 in}{\mbox{где}}f\left( t \right) = t\sin \left( {2t} \right)\]
Или мы могли бы использовать его с \(n = 2\). 9{\ гидроразрыва {5} {2}}}}} \ конец {выравнивание *} \]
e \(f\left( t \right) = tg’\left( t \right)\) Показать решение
В этой заключительной части снова будет использоваться #30 из таблицы, а также #35.
\[\begin{align*}\mathcal{L}\left\{ {tg’\left( t \right)} \right\} & = — \frac{d}{{ds}}\mathcal{L} \left\{ {g’} \right\}\\ & = — \frac{d}{{ds}}\left\{ {sG\left( s \right) — g\left( 0 \right)} \right\}\\ & = — \left( {G\left( s \right) + sG’\left( s \right) — 0} \right)\\ & = — G\left( s \right) — sG’\left( s \right)\end{align*}\]
Помните, что \(g(0)\) — это просто константа, поэтому при дифференцировании мы получим ноль!
Как показал этот набор примеров, мы не можем забыть использовать некоторые общие формулы в таблице для получения новых преобразований Лапласа для функций, которые явно не указаны в таблице!
6.
1: Преобразование Лапласа — Mathematics LibreTexts- Последнее обновление 9{1}\). Преобразование Лапласа оказывается очень эффективным методом решения некоторых задач ОДУ. В частности, преобразование может взять дифференциальное уравнение и превратить его в алгебраическое уравнение. Если алгебраическое уравнение можно решить, применение обратного преобразования дает нам желаемое решение. Преобразование Лапласа также находит применение в анализе электрических цепей, ЯМР-спектроскопии, обработке сигналов и в других областях. Наконец, понимание преобразования Лапласа также поможет понять связанное с ним преобразование Фурье, которое, однако, требует большего понимания комплексных чисел.
Преобразование Лапласа также позволяет лучше понять природу уравнений, с которыми мы имеем дело. Это можно рассматривать как преобразование между временной и частотной областью.
Например, возьмем стандартное уравнение\[mx»(t) = cx'(t) + kx(t) = f(t). \nonumber \]
Мы можем думать о \(t\) как о времени и \(f(t)\) как о входящем сигнале. Преобразование Лапласа преобразует уравнение из дифференциального уравнения во времени в алгебраическое (без производных) уравнение, где новая независимая переменная \(s\) — это частота.
Мы можем думать о преобразовании Лапласа как о черном ящике, который поглощает функции и выдает функции в новую переменную. Мы пишем \(\mathcal{L} \{f(t)\} = F(s)\) для преобразования Лапласа \(f(t)\). Общепринято писать строчными буквами функции во временной области и прописными буквами для функций в частотной области. Мы используем ту же букву, чтобы обозначить, что одна функция является преобразованием Лапласа другой. Например, \(F(s)\) является преобразованием Лапласа \(f(t)\). Определим преобразование. 9{-as}}, \nonumber \]
, где, конечно, \(s>0\) (и \(a \ge 0\), как мы уже говорили ранее).
Применяя аналогичные процедуры, мы можем вычислить преобразования многих элементарных функций.
Многие основные преобразования перечислены в таблице \(\PageIndex{1}\).Таблица \(\PageIndex{1}\): некоторые преобразования Лапласа (\( C, \omega \) и \(a\) являются константами). \(f(t)\) \(\mathcal \{f(t)\}\) 9{-st}f(t) \,dt = C \mathcal{L} \{f(t)\}. \nonumber \] Итак, мы можем «вытащить» константу из преобразования. Точно так же у нас есть линейность. Поскольку линейность очень важна, мы сформулируем это как теорему.
Теорема \(\PageIndex{1}\)
Линейность преобразования Лапласа
Предположим, что \(A\), \(B\) и \(C\) — константы, тогда
\ [ \mathcal{L} \{Af(t) + Bg(t)\} = A\mathcal{L} \{f(t)\} + B\mathcal{L} \{g(t)\} \ нечисло \]
и, в частности,
\[\mathcal{L} \{Cf(t)\} = C\mathcal{L} \{f(t)\} . \nonumber \]
Упражнение \(\PageIndex{2}\)
Проверка теоремы \(\PageIndex{1}\).
{ct}\) для всех \(t>0\) (для простоты \(t_0=0 \)). Пусть \(s>c\), или, другими словами, \((c-s)<0\). По теореме сравнения из исчисления несобственный интеграл, определяющий \(\mathcal{L}\{f(t)\}\), существует, если существует следующий интеграл 9{\infty} = \dfrac{M}{cs}. \nonumber \]Преобразование также существует для некоторых других функций, которые не имеют экспоненциального порядка, но это не будет иметь отношения к нам. Прежде чем говорить об уникальности, заметим, что для функций экспоненциального порядка мы получаем, что их преобразование Лапласа затухает на бесконечности:
\[ \lim_{s \rightarrow \infty} F(s)=0 \nonumber \]
Теорема \ (\PageIndex{3}\)
Уникальность
Пусть \(f(t)\) и \(g(t)\) непрерывны и имеют экспоненциальный порядок. Предположим, что существует константа \(С\) такая, что \(F(s) = G(s)\) для всех \(s > C\). Тогда \(f(t)=g(t)\) для всех \(t \ge 0\).
Обе теоремы верны и для кусочно-непрерывных функций.
Напомним, что кусочно-непрерывная функция означает, что функция непрерывна, за исключением, возможно, дискретного набора точек, где она имеет скачкообразные разрывы, как функция Хевисайда. Однако уникальность не «видит» значений на разрывах. Таким образом, мы можем только заключить, что \(F(s) = G(s)\) вне разрывов. Например, функция единичного шага иногда определяется с помощью \(u(0)=1/2\). Однако эта новая ступенчатая функция имеет то же самое преобразование Лапласа, что и определенная нами ранее, где \(u(0)=1\).6.1.3Обратное преобразование
Как мы уже говорили, преобразование Лапласа позволит нам преобразовать дифференциальное уравнение в алгебраическое уравнение. Как только мы решим алгебраическое уравнение в частотной области, мы захотим вернуться во временную область, поскольку это то, что нас интересует. Если у нас есть функция \(F(s)\), чтобы иметь возможность найти \ (f(t)\) такое, что \(\mathcal{L} \{f(t)\}=F(s) \), нам нужно сначала узнать, уникальна ли такая функция.
{-t} \nonumber \] 9{-2t} \sin (2t). \nonumber \]В общем, мы хотим иметь возможность применять преобразование Лапласа к рациональным функциям , то есть к функциям вида
\[\dfrac{F(s)}{G(s)} \ nonumber \]
, где \(F(s)\) и \(G(s)\) — многочлены. Поскольку обычно для рассматриваемых нами функций преобразование Лапласа стремится к нулю при \(s \rightarrow \infty\), нетрудно видеть, что степень \(F(s)\) должна быть меньше, чем что из \(G(s)\). Такие рациональные функции называются правильные рациональные функции и мы всегда можем применить метод частичных дробей. Конечно, это означает, что мы должны иметь возможность разложить знаменатель на линейные и квадратичные члены, что включает в себя нахождение корней знаменателя,
Сноски
[1] Точно так же, как уравнение Лапласа и лапласиан, преобразование Лапласа также назван в честь Пьера-Симона, маркиза де Лапласа (1749–1827).
[2] Функция названа в честь английского математика, инженера и физика Оливера Хевисайда (1850–1819 гг.
- Последнее обновление 9{1}\). Преобразование Лапласа оказывается очень эффективным методом решения некоторых задач ОДУ. В частности, преобразование может взять дифференциальное уравнение и превратить его в алгебраическое уравнение. Если алгебраическое уравнение можно решить, применение обратного преобразования дает нам желаемое решение. Преобразование Лапласа также находит применение в анализе электрических цепей, ЯМР-спектроскопии, обработке сигналов и в других областях. Наконец, понимание преобразования Лапласа также поможет понять связанное с ним преобразование Фурье, которое, однако, требует большего понимания комплексных чисел.
Например, возьмем стандартное уравнение
Многие основные преобразования перечислены в таблице \(\PageIndex{1}\).
{ct}\) для всех \(t>0\) (для простоты \(t_0=0 \)). Пусть \(s>c\), или, другими словами, \((c-s)<0\). По теореме сравнения из исчисления несобственный интеграл, определяющий \(\mathcal{L}\{f(t)\}\), существует, если существует следующий интеграл 9{\infty} = \dfrac{M}{cs}. \nonumber \]
Напомним, что кусочно-непрерывная функция означает, что функция непрерывна, за исключением, возможно, дискретного набора точек, где она имеет скачкообразные разрывы, как функция Хевисайда. Однако уникальность не «видит» значений на разрывах. Таким образом, мы можем только заключить, что \(F(s) = G(s)\) вне разрывов. Например, функция единичного шага иногда определяется с помощью \(u(0)=1/2\). Однако эта новая ступенчатая функция имеет то же самое преобразование Лапласа, что и определенная нами ранее, где \(u(0)=1\).
{-t} \nonumber \] 9{-2t} \sin (2t). \nonumber \]