Пример решить со степенями: Ваш браузер не поддерживается

Мы собрали свойства степени с натуральным показателем в одну таблицу. С помощью нее можно быстро выучить все формулы и подготовиться к экзамену.

Примеры

Пример №1

Выполните деление:
7¹⁴ : 7¹²

Решение:

Применим свойство частного, получим:
7¹⁴ : 7¹² = 7^14–12 =7² = 49

Пример №2

Упростите выражение:
(−b⁶)¹⁰

Решение:

Применим свойства возведения произведения в степень, возведения отрицательного числа в четную степень, возведения степени в степень, получим:
(−b⁶)¹⁰ = (−1b⁶)¹⁰ = (− 1)¹⁰ (b⁶)¹⁰ = b⁶⁰

Пример №3

Представьте в виде степени выражение:
(m⁶)^t (m^t)², где t – натуральное число

Решение:

Применим свойство возведения степени в степень, а затем свойство умножения степеней:
(m⁶)^t (m^t)² = m^6t m^2t = m^6t+2t = m^8t

это интересно

Таблица степеней

Рассказываем, как ей пользоваться и что с ее помощью можно сделать

ПОДРОБНЕЕ

Свойства степени с рациональным показателем

Примеры

Доказательства свойств степеней

Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на свойствах арифметического корня n-ой степени и на свойствах степени с целым показателем. Приведем некоторые доказательства.

1. Свойство умножения степеней

2. Свойство возведения произведения в степень

3. Следствие из свойства умножения степеней — возведение в отрицательную степень

Популярные вопросы и ответы

Почему свойства степеней изучают на алгебре в 7 классе?

Впервые ребята встречаются с понятием степени в 5-м классе. По мере знакомства и действий с одночленами и многочленами в 7-м классе необходима определенная теоретическая база, поэтому перед изучением данных тем и проходят свойства степени.

Что такое основное свойство степени?

Основным является свойство умножения степеней, так как с помощью этого правила доказываются другие свойства.

Для чего используются свойства степеней?

Эти свойства используются для упрощения числовых и буквенных выражений, то есть для их преобразования. Также они необходимы при решении уравнений и работе с функциями, где встречаются выражения со степенями.

Решение целых уравнений высших степеней. Урок в 11 классе. | План-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему:

Урок по алгебре и началам анализа.

Тема: Решение целых уравнений высших степеней.

Учитель математики Разетдинова Э.А.

Девиз урока:  чем больше я знаю, тем больше умею.

                          Кто ничего не замечает,

                          Тот ничего не изучает.

                          Кто ничего не изучает,

                          Тот вечно хнычет и скучает.    (поэт Р.Сеф).

Цели урока:

учебная:  систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний   учащихся  по решению целых уравнений с одной переменной выше  второй степени; подготовка учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации, к ЕГЭ.

развивающая: развитие личности  учащегося через самостоятельную  творческую работу, развитие инициативы учащихся; обеспечить устойчивую мотивационную среду, интерес к изучаемой теме; развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения уравнения;

воспитательная: развитие интереса к изучению математики, подготовка учащихся к применению знаний в нестандартной ситуации; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов

План урока:

1. Организационный момент.
2. Мотивация изучения темы.
3. Актуализация знаний – блиц -опрос  по теме «Целые уравнения»
4. Систематизация и обобщение знаний – сообщения учащихся о стандартных приемах решения  уравнений .
5.  Самостоятельная работа.
6. Расширение и углубление знаний – сообщение учителя о нестандартных приемах решения уравнений.
7. Домашнее задание: примеры на осмысление, закрепление новых знаний.

1. х8 – 17х4 +16 = 0
2. (х+1)(х+3)(х+5)(х+7) – 15 = 0
3. (х+4)(х – 2)(х+5)(х – 10)+54х2  = 0
4. х4 +2х3 – 6х2 +2х+1 = 0.

Ход урока:

1.Организационный момент – ставятся цели и задачи урока.

          Ребята! Вам предстоит итоговая аттестация по математике в форме ЕГЭ. Чтобы успешно сдать ЕГЭ, вы должны знать математику не только на минимальном уровне, но и  применить ваши знания в нестандартных ситуациях. В частях В и С ЕГЭ часто встречаются уравнения высших степеней. Наша задача: систематизация и обобщение, расширение и углубление знаний    по решению целых уравнений с одной переменной выше  второй степени; подготовка к применению знаний в нестандартной ситуации, к ЕГЭ.  (цели урока, слайд 1,2).Девиз нашего урока:  чем больше я знаю, тем больше умею. (слайд 3)

          Уравнение-это самая простая и распространенная математическая задача. Вы накопили некоторый опыт решения разнообразных уравнений и нам нужно привести свои знания в порядок, разобраться в приемах решения нестандартных уравнений.

Уравнения сами по себе представляют интерес для изучения. Самые ранние рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем  Египте были известны приемы решения линейных уравнений. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет назад до н.э. вавилоняне.

Стандартные приемы и методы решения элементарных  алгебраических уравнений являются составной частью решения всех типов уравнений..

 В простейших случаях решение уравнения с одним неизвестным распадается на два шага: преобразование уравнения к стандартному и решение стандартного уравнения. Полностью алгоритмизировать процесс решения уравнений нельзя, однако полезно запомнить наиболее употребительные приемы, общие для всех типов уравнений. Многие уравнения  при применении нестандартных приемов решаются гораздо  короче и проще.

2. Мотивация изучения темы.

Предлагаются задания повышенной трудности из учебника алгебры и задания ЕГЭ.

(написать на доске).       1)  х2 — 6│х│+8 = 0                           2) х5  +2х+1 = 0

  3)       х5 +х3 +2х – 4 = 0                                         4) №105.    (х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40      

   5) №108.     2х4 +х3 -6х2 +х+2=0                           6) ЕГЭ.      (х+2)(х+3)(х+8)(х+12) = 4х2  

Для уравнений высшей степени известны формулы корней, но они очень сложные. Иногда приходится решить, применяя специальные приемы.

3.Актуализация знаний.

1) Блиц-опрос-подготовка учащихся к работе на уроке путем повторения основного теоретического материала.

        А сейчас вспомним наши знания об уравнениях, ответим на вопросы:

•  Что называется уравнением? Равенство, содержащее переменную,                     называется уравнением с одной переменной
• Что называется корнем уравнения? Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

  * Что значит решить уравнение? Найти все его корни или доказать, что корней нет.

• Что называется целым уравнением с одной переменной?
• Что называется степенью целого уравнения?
• Виды целых уравнений и способы решения уравн. 1-ой и 2-ой степени (слайд 4-7)-записывать в тетрадях.

Уравнения 1-ой степени решаются с помощью арифметических операций, уравнения 2-ой степени – с помощью формул корней.

2) Вспомним методы решения уравнений. (слайд 8-14)

*Метод разложения на множители. Если уравнение равносильными преобразованиями можно привести к виду f(x)*q(x)=0, то f(x)=0 или q(x)=0.

*Введение новой переменной. Заменим некоторое выражение в уравнении новой переменной.и получим более простое уравнение относительно новой переменной. Находим эту переменную и вычислим корни исходного уравнения.

*Графический способ. Рассмотрим уравнение f(x)=q(x). Строим в одной системе координат графики функций у= f(x) и у=q(x). Абсциссы точек пересечения этих графиков являются корнями уравнения. Но этот способ не обеспечивает высокую точность.

* Обратная теорема Виета:    х 2 +рх+q=0,    х 1 +х 2 = — р   и    х 1 х 2 =q.

     ах²+bх+с=0;       х1+х2=-b/а и   х1+х2=с/а    (записывать в тетрадях)                                                                            

  Пример.  х 2  — 7х + 12=0  ,   х 1 +х 2 = 7   и    х 1 х 2 =12. Значит х 1 =3   и    х 2 = 4.

*Решая квадратные уравнения, приходится много тратить времени работая по алгоритму. Но, используя свойства коэффициентов можно упростить решение.

 ах 2 +вх+с=0, а+в+с=0, то один из корней равен 1, а другой равен с/а;

ах 2 +вх+с=0, а — в+с=0, то один из корней равен -1, а другой равен  с/а. (в тетрадях)

*Проверьте свои способности на эти свойства:

1) х 2 +17х-18=0;          х 2  — 23х-24=0;      100х 2 — 97х — 197=0;     50х 2  + 83х — 133=0

х 1 +х 2 = — 17   и    х 1 х 2 = -18, значит     х 1 = -18, х 2= 1.

 2) 100х 2 — 97х — 197=0 ,  а–в+с=100-(-97)+(-197)=0, значит х1=1,х2=197/100=1,97.

50х 2  + 83х — 133=0              (слайд 14)

5. Самостоятельная работа обучающего характера.(на 3-4 минуты) Проверить решения уравнений можно организовать с помощью слайдов или взаимопроверкой сосед с соседом.    ( слайд 15)

1)  х 2  + х – 56 = 0          

2) 150х 2 — 60х – 90 = 0

6. Углубление и расширение знаний – ознакомление учащихся с нестандарт-ными приемами решения уравнений.

Возвратимся ранее предложенным заданиям.  Есть многие интересные методы решения  уравнений. Не следует думать, что любое нестандартное уравнение труднее для решения, чем стандартное.

1) При решении уравнений высших степеней иногда применяется процедура угадывания хотя бы одного корня. Угаданный корень позволяет понизить степень многочлена на единицу, дальше достаточно выполнить деление уголком. Для нахождения корней многочлена «методом тыка» полезно знать теорему о целых корнях уравнения: Все целые корни многочлена Р(х), с целыми коэффициентами (при а0 =1) содержатся среди делителей свободного члена. Других целых и рациональных корней у уравнения нет. (запись в тетрадь)

Пример 1. Доказать, что уравнение 2х4 – 2х3  — х +1  = 0 не имеет целых корней.  Целыми корнями могут быть делители свободного члена -1,1. Непосредственной проверкой убеждаемся, что ни одно из них не годится. (слайд 16)

2) Использование свойств функций.      Вспомним свойства возрастающей и убывающей функций.

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если произвольному большему значению аргумента из этого промежутка соотв. большее значение функции.

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если произвольному большему значению аргумента из этого промежутка соотв. меньшее значение функции.

Свойство 1. Если y = g(x) – монотонно возрастает на промежутке I и y = f(x) – монотонно возрастает на промежутке I, то y = g(x)+f(x) – монотонно возрастает на промежутке I.

Свойство 2. Если y = f(x) возрастает (убывает) на промежутке I, то уравнение f(x) = a имеет на I не более одного корня.

Свойство 3. Если y = f(x) возрастает на I, а y = g(x) убывает на I (монотонны разного смысла), то уравнение f(x) = g(x), имеет не более одного корня. (запись)

Пример 1. Решите уравнение: x 5 +x3+2x-4=0. (слайд 17)

Решение: Функция f(x) = x 5 +x3+2x-4  возрастает как сумма трех возрастающих функций y = x 5 , y = x 3  и y = 2x-4 на R. Тогда уравнение f(x) = 0 имеет не более одного корня. Вспомним правило: все целые корни многочлена Р(х) с целыми коэффициентами содержатся среди делителей свободного члена.

 Испытывая делители свободного члена, находим, что x=1.

Других целых корней у уравнения нет. 

Пример2.  Решить уравнение х 5  + 2х — 3= 0.(слайд 17). 

Представим в виде  х5  = — 2х +3.

Функция у= х 5 –возрастающая, а функция у= -2х +3 – убывающая на Д(у), значит уравнение имеет не более одного корня. Угадываем корень х = 1.

3) свойство четности функции: график четной функции f(-x)= f(x) симметричен относительно оси ординат. При решении уравнения достаточно найти его неотрицательные корни, остальные восстановить по соображению симметрии.

Пример.   Х2 — 6│х│+8 = 0. Найти произведение корней.

 у= Х2 — 6│х│+8 — четная функция. Решим уравнение для неотрицательного х.

х2 — 6х+8 = 0,  х1 =2 и х2=4 (оба корня годятся). По соображениям симметрии

 х3  = — 2 и х4 = — 4.      Произведение корней -2*2*(-4)*4=64    Ответ. 64. (слайд 18)

Возвращаемся к ранее предложенным заданиям.

4. №105.    (х+1)(х+2)(х+4)(х+5) = 40 . Найти сумму корней.   ( на доске – учитель, запись). Здесь мы видим симметрию левой части  1+5=2+4.

Произведение 1и4, 2и3 множителей заменим квадратными трехчленами

(х2 +6х+5)(х2 +6х+8) = 40. вводим новую переменю у=х2 +6х+5 и получим квадратное уравнение относительно у:     у2 +3у – 40 =0. Находим корни этого уравнения и корни исходного уравнения.      Ответ. -6

5.     ЕГЭ.      (х+2)(х+3)(х+8)(х+12) = 4х2  ( на доске объясняет учитель, запись)

                      2*12 = 3*8

Произведение 1 и 4, 2 и 3 множителей заменим квадратными трехчленами

(х2  + 14х + 24)(х2  + 11х +24)= 4х2 . Обе части уравнения разделим на х2 ≠ 0 и получим уравнение (х+24/х +14)(х+24/х +11)=4. Пусть х+24/х=у, тогда (у+14)(у+11)=4,

Получим квадратное уравнение у2 +25у+150=0. (закончить дома).

6.  №108.     2х4 +х3 -6х2 +х+2=0-возвратное уравнение.(слайд-теория) Найти произведение корней. ( на доске объясняет учитель, запись)

Разделим обе части уравнения на х2 ≠0.  2х2 +х – 6 +1/х+2/(х2 )=0.

Сгруппируем 2(х2 +1/(х2 ))+(х+1/х) -6=0. вводим новую переменную у=х+1/х и получим уравнение 2(у2 -2)+у -6=0,           2у2  +у-10=0.

Находим корни этого уравнения и корни исходного уравнения. (закончить дома)    Ответ. 1.

(Запись в тетради)

7. Итоги урока.

Еще много приемов решения целых уравнений высших степеней: метод выделения полного квадрата и искусственные приемы.

Способы: (учитель записывает на доске, учащиеся в тетрадях).

1.Теорема Виета

2.Свойства коэффициентов а+в+с=0 и а-в+с=о.

3.Разложение на множители.

4.Введение новой переменной.

5..Графический способ.

6.Свойство монотонности.

7.Свойство четности.

8..Возвратные уравнения.

9.Симметричные уравнения.

Для каждого уравнения назовите соответствующий метод решения.(слайд 21)

1) -3х7 -2х +5=0

2) (х 2 +3х)2+2 (х 2 +3х) -120=0

3) х3 +х – 4=0

4) х 2 – │10х│+21=0

5) (х+1)(х+3)(х+5)(х+7)=945

6) 27х 2 – 9х – 18=0

7) (х2 +х+6)(х2 +х-4)=144

8) х5  — х4 -2х3 +2х2 -3х +3=0

9) 2х4  +х3 — 3х2 +х +2=0.  

10) х2 +11х + 28=0.          

 Ответ.    Уравнения – способ.

                 1 – 5,6;                                        6 – 2;

            2 – 4;                              7 – 4;

            3 – 5,6;                            8 – 3;

                 4 – 7;                              9 – 8;  

            5 – 9;                              10 – 1.6

8. Домашнее задание.

1.  х8 – 17х4 +16=0
2.  (х+1)(х+3)(х+5))х+7) -15=0
3. (х+4)(х-2)(х+5)(х-10)+54х2 =0
4.  х4 +2х3 – 6х2 +2х+1=0.

Экспоненциальные уравнения с одинаковыми основаниями

Результаты обучения

• Определите показательное уравнение, все члены которого имеют одно основание
• Определить случаи, когда уравнения можно переписать так, чтобы все члены имели одну и ту же основу
• Применение свойства степени однозначности для решения экспоненциального уравнения

Когда экспоненциальное уравнение имеет одинаковое основание с каждой стороны, показатели степени должны быть равны. Это также применимо, когда показатели степени являются алгебраическими выражениями. Следовательно, мы можем решить многие экспоненциальные уравнения, используя правила экспонент, чтобы переписать каждую сторону как степень с одним и тем же основанием. Затем мы можем приравнять показатели степени друг к другу и найти неизвестное. 9{2x — 1}\hfill & \text{Использовать свойство деления показателей степени}\text{.}\hfill \\ 4x — 7\hfill & =2x — 1\text{ }\hfill & \text{Применить один свойство экспоненты -к-одному}\text{.

}\hfill \\ 2x\hfill & =6\hfill & \text{Вычесть 2}x\text{ и добавить 7 к обеим сторонам}\text{.}\hfill \\ x\hfill & =3\hfill & \text{Divide by 2}\text{.}\hfill \end{array}[/latex]

В нашем первом примере мы решаем показательное уравнение, все члены которого имеют общая база.

Пример 9{2x — 10}\hfill & \text{Использовать свойство степени степени степени}.\hfill \\ 8=2x — 10\hfill & \text{Применить свойство степени однозначности степени}.\ hfill \\ 18=2x\hfill & \text{Добавить 10 к обеим сторонам}.\hfill \\ x=9\hfill & \text{Разделить на 2}.\hfill \end{массив}[/latex]

В следующем примере мы покажем, как найти общее основание для двух выражений, основаниями которых являются [latex]8[/latex] и [latex]16[/latex]. Затем мы можем решить полученное уравнение, используя взаимно однозначное свойство показателей. 9{Т}[/латекс].

Используйте свойство «один к одному», чтобы установить степени равными друг другу.

Решите полученное уравнение S = T для неизвестного.

В следующем видео мы покажем больше примеров того, как решать показательные уравнения, находя общее основание.

Подумай об этом

Все ли показательные уравнения имеют решение? Если нет, то как мы можем узнать, есть ли решение в процессе решения проблемы? Напишите свои мысли в текстовом поле ниже, прежде чем проверить предложенный нами ответ. 9{x+1}=-2[/латекс].

Показать решение

 Анализ решения

Резюме

Мы можем использовать взаимно однозначное свойство показателей для решения экспоненциальных уравнений с одинаковыми основаниями. Члены некоторых экспоненциальных уравнений можно переписать с той же основой, что позволяет нам использовать тот же принцип. Существуют показательные уравнения, которые не имеют решений, потому что мы определяем показательные функции как имеющие положительное основание.

No related posts.