Примеры иррациональных и рациональных чисел: Рациональные и иррациональные числа

Содержание

Множество рациональных и иррациональных чисел, урок в 8 классе

Дата публикации: .

Урок и презентация на тему: «Множество рациональных и иррациональных чисел. Обозначения, свойства и примеры»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.


Скачать:Множество рациональных и иррациональных чисел (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 8 класса
Пособие к учебнику Никольского Н.С.   Пособие к учебнику Алимова Ш.А.



Натуральные числа

Ребята, вы хорошо знаете, что такое натуральные числа. Это числа, которые мы используем при счете: 1, 2, 3 ,… Обозначают множество натуральных чисел символом: N. Множество натуральных чисел бесконечно. Причем для любого натурального числа всегда найдется число, которое больше данного.

Действительные числа

Если к натуральным числам прибавить 0 и все отрицательные числа -1,-2,-3…, то получится множество действительных целых чисел, которое принято обозначать Z. Урок:
«Множество действительных чисел». Ввод отрицательных чисел был необходим для того, чтобы из меньших чисел можно было вычитать большие. Сумма, разность, произведение – снова дают целые числа.

Рациональные числа


А если к множеству целых чисел, добавить множество всех обыкновенных дробей

$\frac{2}{3}$, $-\frac{1}{2}$, …?


Подробнее дробям посвящены уроки: «Сложение и вычитание дробей» и «Умножение и деление дробей». Первое упоминание о дробях появилось еще в древнем Египте. При вычислении длин, веса и площадей люди столкнулись с тем, что не всегда получается целое значение. Вообще дроби, в узком смысле, встречаются практически везде. Когда мы делим пирог на несколько частей, с математической точки зрения мы получаем дроби.
Множество дробей принято называть «множеством рациональных чисел» и обозначать Q.

Любое рациональное число может быть представлено в виде:

Если любое целое число мы разделим на натуральное число, то получим рациональное число. Деление на натуральное число в такой записи удобно, в том смысле, что мы исключили операцию деления на ноль. Рациональных чисел бесконечно много, но зато все эти числа можно перенумеровать.
Рассмотрев множества выше, мы видим, что каждое последующее содержит в себе предыдущие:

$N⊂Z.⊂Q$

.
Знак ⊂ обозначает подмножество, то есть множество натуральных чисел содержится в множестве целых чисел и так далее. Подробнее с понятием множества мы с вами познакомимся в девятом классе. «Множества и подмножества рациональных чисел»

Давайте рассмотрим три рациональных числа:

$5$; $0,385$; $\frac{2}{3}$

.
Каждое из этих чисел мы можем представить в виде бесконечной десятичной дроби:

$5=5.00000…$
$0,385=0,38500…$


Разделив столбиком 2 на 3, также получим бесконечную десятичную дробь:

$\frac{2}{3}=0. 6666…$

Таким образом, любое рациональное число мы можем представить в виде бесконечной дроби. Для теоретической математики это имеет большое значение. Для практики и нам с вами при решении задач большого смысла нет представлять обычную пятерку в виде бесконечной десятичной дроби.

Если в десятичной записи числа повторяются одни и те же числа, то это называется «периодом». В нашем случае для числа

$\frac{2}{3}=0,6666…$

периодом будет число $6$. Обычно период числа принято обозначать в скобках $\frac{2}{3}=0,(6)$. Сама дробь в таком случае называется бесконечной десятичной периодической дробью.
Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Обратная операция также верна.

Пример.
Представить в виде обыкновенной дроби:
а) $2,(24)$.
б) $1,(147)$.

Решение.
а) Пусть $x=2,(24)$. Помножим наше число так, чтобы запятая передвинулась вправо ровно на период. $100х=224,(24)$.
Выполним следующую операцию:

$100х-х=224,(24)-2,(24)$.

$99х=222$.

$х=\frac{222}{99}$ – рациональное число.

б) Поступим также.

$х=1,(147)$, тогда $1000х=1147,(147)$.
$1000х-х=1147,(147)-1,(147)$.

$999х=1146$.

$х=\frac{1146}{999}$.

К сожалению, описать все числа с помощью множества рациональных чисел не удалось. На прошлом уроке «Корень квадратный» мы с вами познакомились с операцией вычисления корня квадратного. Так, длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами равными 1 и 2 равна $\sqrt{5}$. Это число не может быть представлено в виде несократимой дроби, а значит, не является рациональным. Таким образом, нам необходимо расширить наше понимание о множествах чисел.

Иррациональные числа


В математике не принято говорить, что числа не рациональные, обычно говорят, что такие числа иррациональные. По другому говоря, иррациональное число – неразумное число, в некотором смысле непонятное.
Любое иррациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби, но в отличие от рациональных чисел никакого периода уже тут не будет. 2$, где $n,kϵN$, то есть $n$ не является точным квадратом другого натурально числа, то $\sqrt{n}$ — иррациональное число.
Иррациональные числа встречаются довольно таки часто. Одним из самых ярких примеров является знаменитое и важное число π. Если рассмотреть совершенно любую окружность и разделить ее длину на диаметр то всегда, получается π. Было доказано, что это число иррациональное.
Операции над иррациональными числами проводить довольно таки сложно. Даже в современной математике остались вопросы о роде многих чисел. Многие математики, занимающиеся теорией чисел, бьются над известными проблемами иррациональных в течение сотен лет.

Но мы можем подвести некоторый итог:
1. Если складывать, вычитать, умножать, делить (кроме деления на 0) рациональные числа, то в ответе получится рациональное число.
2. Арифметические операции над иррациональными числами могут привести как к иррациональному числу, так и рациональному.
3. Если в арифметической операции участвуют как рациональные, так и иррациональные числа, то в результате получится иррациональное число.

Иррациональные числа — определение, свойства и примеры » Kupuk.net

В математике существует множество действительных величин, которые разделяются на несколько видов. К одному из таких видов относятся иррациональные числа. Первые упоминания о них встречаются в трудах учёных, живших в глубокой древности. Так, в VII веке до нашей эры индийский математик Манава установил, что квадратные корни некоторых количественных значений нельзя выразить явно.

История открытия

Одни учёные считают, что иррациональные числа были открыты Пифагором. Другие полагают, что существование таких величин было выявлено пифагорейцами в V веке до нашей эры. Третьи выдвигают версию, что открытие принадлежит древним учёным Азии.

Несмотря на то что возникновение нового типа чисел связывают с именем Пифагора, сам великий учёный этих величин не признавал. Математик основывал свои труды на рациональности значений, а потому их иные виды были неприменимы к его теориям. Из-за огромного авторитета учёного иррациональные значения стали использоваться в науке только после его смерти.

Аристотель доказал иррациональность квадратного корня из 2. Теодор из Кирены привёл подобные доказательства в отношении корня из 3, 5 и так далее. Есть версия, что даже термины для соответствующей теории ввёл этот математик. Его ученик Теэтет на основании указанных данных создал общее учение об иррациональности. Полная теория иррациональных количественных значений Эвклид изложил в пятой книге «Начал».

Понятие и характеристика

Огромным прорывом в математической науке стали числа, которые называются иррациональными. Какие-либо ограничения, связанные с целыми величинами или обыкновенными дробями, были сняты. Люди получили возможность открывать и даже изобретать новые количественные значения.

Иррациональным считается вещественное число, не являющееся рациональным. Оно не может быть представлено в виде арифметической дроби n/m, где числитель и знаменатель являются целыми величинами, а n не равно 0. Также подобные значения невозможно точно выразить целой величиной. Это значит, что иррациональные числа всегда выглядят, как бесконечные непериодические десятичные дроби. Для их обозначения применяют радикалы или специальные буквы, например, е, π. Множество чисел обозначается заглавной буквой в полужирном начертании без заливки.

В геометрии оно представляется в качестве отрезка, длина которого несоизмерима с единичной. Об этой несоизмеримости упоминали и древние математики. Они установили, что диагональ квадрата не имеет общей меры с его стороной, что равносильно иррациональности корня из 2.

Не всякая величина из множества значений, не относящихся к рациональным, так известна, как число π. В школьной программе его часто определяют, как 3,14, но истинный показатель π значительно ближе к 3. Следует отметить, что даже известная длинная десятичная дробь является лишь приближённым вариантом, поскольку указанное число нельзя точно установить. Дробь, которую используют для этого, бесконечна, а цифры в ней распределяются без какой-либо закономерности.

Самыми известными примерами таких иррациональных чисел являются:

  • γ — постоянная Эйлера — Маскерони;
  • ζ(3) — постоянная Апери;
  • φ — золотое сечение;
  • α, δ — постоянные Фейгенбаума;
  • e — число;
  • π — число Пи;
  • ψ — сверхзолотое сечение.

Математиками составлены специальные таблицы величин, не являющихся рациональными. Но так как множество бесконечно, определить тип значения по данным таблицам довольно сложно.

Зачастую понять, что число иррационально, можно по его соответствию одному из перечисленных признаков:

  • квадратный корень для любого натурального n, которое не является точным квадратом;
  • e в степени x для любого рационального x, не равного 0;
  • ln x для любого положительного рационального x, который не равен 1;
  • π и π в степени n для любого целого n, не равного 0.

Но в ряде случаев установить иррациональность значения возможно только посредством доказательства. К примеру, школьникам часто дают задание доказать, что число log3 4 не относится к рациональным.

Отличительные качества

Значения, которые нельзя выразить дробью, существенно отличаются от других чисел. К их уникальным свойствам относятся следующие:

  • Запись бесконечными десятичными дробями, не имеющими групп повторяющихся цифр.
  • Результат сложения двух положительных иррациональных величин может быть рациональным, но сумма рационального и иррационального чисел будет иррациональной.
  • Определение дедекиндовых сечений в множестве рациональных величин, не имеющих в нижнем классе наибольшего значения, а в верхнем — наименьшего.
  • Любое вещественное или комплексное число, которое не является алгебраическим.
  • Каждое значение относится или к алгебраическим, или к трансцендентным.
  • Множество этих величин относится ко второй категории. Оно бесконечно и несчётно, расположено на прямой плотно. Между каждой парой составляющих его чисел всегда присутствует иррациональное значение.

Виды преобразования выражений

Иррациональные выражения содержат операцию извлечения корня. Это особые записи, состоящие из радикалов и знаков алгебраических действий.

Во время преобразования таких выражений нельзя допускать сужения области допустимых значений. С ними разрешается проводить любые из основных тождественных преобразований:

  • раскрытие скобок;
  • группировка подобных множителей и слагаемых;
  • перестановка множителей и слагаемых;
  • замена разности суммой.

В основе подобного упрощения выражений лежат действия, общие для всех количественных значений. Поэтому в процессе преобразования этих записей необходимо сохранять установленный порядок выполнения действий.

Замена исходной записи

Подкоренное выражение можно заменить тождественно равным, то есть математической записью, значение которой будет равно исходному. Следует учитывать, что равенство должно соблюдаться при любых допустимых значениях переменных, которые входят в состав обоих выражений.

Это утверждение основывается на единственности корня из числа. Иными словами, нет значения, которое, отличаясь от исходной величины, сохраняло бы равенство с нею.

Использование свойств корней

Для упрощения сложных выражений часто применяются свойства корней, к примеру, перемножение их степеней. Делать это необходимо в соответствии со специальными формулами.

Особое внимание при работе следует обращать на отрицательные числа и выражения с переменными. В ряде случаев для применения формул такие значения сначала придётся привести к тождественно равным, которые подойдут для дальнейшего использования свойств корней.

Внесение множителя под знак корня — это преобразование произведения, в котором лишь один из множителей находится под знаком радикала со степенью, выраженной натуральным числом. После замены выражения под корнем будут находиться все множители, составляющие произведение, но оно останется равным исходному.

Обратным изменением является вынесение множителя из-под радикала. Его используют в случаях, когда степень корня равна степени множителя под радикалом. В таких ситуациях указанный множитель можно извлечь и тем самым упростить выражение.

Изменение дробей

Иррациональные математические записи могут содержать дроби с радикалами в делимом или делителе. С ними разрешается проводить любые действия, относящиеся к основным преобразованиям дробных чисел:

  • Отдельное вычисление выражений, находящихся в числителе и знаменателе.
  • Изменение знака перед дробью, которое влечёт за собой перемену знаков делимого и делителя.
  • Проведение сокращения дроби, если это является возможным и целесообразным. Зачастую перед тем как сократить значение, необходимо вычислить множители, составляющие числитель и знаменатель. Иногда перед сокращением можно заменить переменную, чтобы исходная иррациональная величина стала более удобной рациональной.
  • Приведение к новому знаменателю посредством умножения делимого и делителя на один дополнительный множитель. При этом действии следует учитывать, что выполнение сокращения или приведения к новому знаменателю возможно только на область допустимого значения переменных для исходного числа.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Освобождение от иррациональности в знаменателе представляет собой преобразование дроби путём её замены на тождественно равную с делителем, не содержащим корней и степеней. Для этого необходимо последовательно провести два действия:

  • Умножение числителя и знаменателя на значение, которое отличается от 0.
  • Преобразование выражения, ставшего новым делителем.

Переход к степеням

Переход от радикалов к степеням осуществляется на основе равенства, давшего определение степени, которая имеет рациональный показатель. При этом используется следующая формула:

Если же величина под радикалом отрицательная или там находится выражение с переменными, то перед использованием формулы подкоренное значение необходимо преобразовать. Для этого следует применять свойства степеней.

Математические действия

Иррациональные выражения записывают друг за другом с сохранением знаков и лишь после этого складывают или вычитают. Иногда их преобразуют в подобные, то есть имеющие одинаковые подкоренные значения, а затем проводят арифметические действия.

Чтобы найти произведение выражений с одинаковыми радикалами, умножают значения, находящиеся под знаком корня. Полученный результат вносится под корень изначальных выражений.

При делении степени корней делимого и делителя также должны быть равны. Если это условие соблюдено, то первое выражение делится на второе, после чего итог действия записывается под исходный знак радикала.

Правила сравнения

Иногда для решения математических задач необходимо провести сравнение иррациональных значений. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

  • Два числа с иррациональностью будут считаться равными при происхождении от измерения одной единицей двух равных величин. Эти величины обязательно должны содержать одинаковое количество единиц, десятых, сотых, тысячных долей и так далее. Таким образом, равные иррациональные значения должны выражаться в одинаковых цифрах.
  • Если сравнивают два неравных значения, то большим будет считаться число, полученное в результате измерения большей величины. Указанная величина всегда содержит больше целых, или десятых, или сотых частей и так далее.

Для возведения иррациональной величины в степень необходимо возвести в неё значение под радикалом. Если величина корня равна степени, то в итоге число или выражение выносится из-под корня неизменным, поскольку возникают взаимно сокращающиеся действия.

Если иррациональное выражение находится под корнем, то для его извлечения показатели радикалов умножают. Этот метод позволяет упрощать извлечение корней четвёртой, шестой, восьмой, девятой степени.

Иррациональные числа можно узнать по специальным буквам, используемым для их обозначения, или по написанию в виде десятичных дробей, не имеющих окончания. Выражения этого типа легко отличить по наличию радикала. С подобными значениями проводят те же действия, что и с другими вещественными числами. Их можно умножить, сложить, сравнить и так далее.

Значение рациональных и иррациональных чисел. Иррациональное число. Иррациональные числа, примеры

Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой I {\displaystyle \mathbb {I} } в полужирном начертании без заливки. Таким образом: I = R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} } , то есть множество иррациональных чисел есть разность множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел, точнее отрезков , несоизмеримых с отрезком единичной длины, знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа .

  • 1 / 5

    Иррациональными являются:

    Примеры доказательства иррациональности

    Корень из 2

    Допустим противное: 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} рационален , то есть представляется в виде дроби m n {\displaystyle {\frac {m}{n}}} , где m {\displaystyle m} — целое число , а n {\displaystyle n} — натуральное число . {2}} .

    История

    Античность

    Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. — ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены [ ] .

    Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу из Метапонта (ок. 500 гг. до н. э.), пифагорейцу . Во времена пифагорейцев считалось, что существует единая единица длины, достаточно малая и неделимая, которая целое число раз входит в любой отрезок [ ] .

    Нет точных данных о том, иррациональность какого числа было доказано Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его изучая длины сторон пентаграммы. Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение [ ] .

    Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения.

    Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

    А свои корни они извлекли из латинского слова «ratio», что означает «разум». Исходя из дословного перевода:

    • Рациональное число — это «разумное число».
    • Иррациональное число, соответственно, «неразумное число».

    Общее понятие рационального числа

    Рациональным числом считается то число, которое можно записать в виде:

    1. Обыкновенной положительной дроби.
    2. Отрицательной обыкновенной дроби.
    3. В виде числа нуль (0).

    Иными словами, к рациональному число подойдет следующие определения:

    • Любое натуральное число является по своей сути рациональным, так как любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби.
    • Любое целое число, включительно число нуль, так как любое целое число можно записать как ввиде положительной обыкновенной дроби, в виде отрицательной обыкновенной дроби, так и ввиде числа нуль.
    • Любая обыкновенная дробь, и здесь не имеет значение положительная она или отрицательная, тоже напрямую подходит к определению рационального числа.
    • Так же в определение можно отнести и смешанное число, конечную десятичную дробь либо бесконечную периодическую дробь.

    Примеры рационального числа

    Рассмотрим примеры рациональных чисел:

    • Натуральные числа — «4», «202», «200».
    • Целые числа — «-36», «0», «42».
    • Обыкновенные дроби.

    Из вышеперечисленных примеров совершенно очевидно, что рациональные числа могут быть как положительными так и отрицательными . Естественно, число 0 (нуль), которое тоже в свою очередь является рациональным числом, в тоже время не относится к категории положительного или отрицательного числа.

    Отсюда, хотелось бы напомнить общеобразовательную программу с помощью следующего определения: «Рациональными числами» — называются те числа, которые можно записать в виде дроби х/у, где х (числитель) — целое число, а у (знаменатель) — натуральное число.

    Общее понятие и определение иррационального числа

    Помимо «рациональных чисел» нам известны и так называемые «иррациональные числа». Вкратце попробуем дать определение данным числам.

    Еще древние математики, желая вычислить диагональ квадрата по его сторонам, узнали о существовании иррационального числа.
    Исходя из определения о рациональных числах, можно выстроить логическую цепь и дать определение иррациональному числу.
    Итак, по сути, те действительные числа, которые не являются рациональными, элементарно и есть иррациональными числами.
    Десятичные дроби же, выражающие иррациональные числа, не периодичны и бесконечны.

    Примеры иррационального числа

    Рассмотрим для наглядности небольшой пример иррационально числа. Как мы уже поняли, бесконечные десятичные непериодические дроби называются иррациональными, к примеру:

    • Число «-5,020020002… (прекрасно видно, что двойки разделены последовательностью из одного, двух, трех и т.д. нулей)
    • Число «7,040044000444… (здесь ясно, что число четверок и количество нулей каждый раз цепочкой увеличивается на единицу).
    • Всем известное число Пи (3,1415…). Да, да — оно тоже является иррациональным.

    Вообще все действительные числа являются как рациональными так и иррациональными. Говоря простыми словами, иррациональное число нельзя представить ввиде обыкновенной дроби х/у.

    Общее заключение и краткое сравнение между числами

    Мы рассмотрели каждое число по отдельности, осталось отличие между рациональным числом и иррациональным:

    1. Иррациональное число встречается при извлечении квадратного корня, при делении окружности на диаметр и т.д.
    2. Рациональное число представляет обыкновенную дробь.

    Заключим нашу статью несколькими определениями:

    • Арифметическая операция, произведенная над рациональным числом, кроме деления на 0 (нуль), в конечном результате приведет тоже к рациональному числу.
    • Конечный результат же, при совершении арифметической операции над иррациональным числом, может привести как к рациональному так и к иррациональному значению.
    • Если же в арифметической операции принимают участие и те и другие числа (кроме деления или умножения на нуль), то результат нам выдаст иррациональное число.

    Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической дроби. Множество иррациональных чисел обозначают $I$ и оно равно: $I=R / Q$ .

    Например . Иррациональными числами являются:

    Операции над иррациональными числами

    На множестве иррациональных чисел можно ввести четыре основные арифметические операции: сложение , вычитание , умножение и деление ; но ни для одной из перечисленных операций множество иррациональных чисел не обладает свойством замкнутости. Например, сумма двух иррациональных чисел может быть числом рациональным.

    Например . Найдем сумму двух иррациональных чисел $0,1010010001 \ldots$ и $0,0101101110 \ldots$ . {2}$ и $n$ делятся на 3, следовательно, дробь $\frac{m}{n}$ можно сократить на 3. Но по предположению дробь $\frac{m}{n}$ несократима. Полученное противоречие и доказывает, что число $\sqrt{3}$ непредставимо в виде дроби $\frac{m}{n}$ и, следовательно, иррационально.

    Что и требовалось доказать.

    Какие числа являются иррациональными? Иррациональное число — это не рациональное вещественное число, т.е. оно не может быть представлено как дробь (как отношение двух целых чисел), где m — целое число, n — натуральное число . Иррациональное число можно представить как бесконечную непериодическую десятичную дробь.

    Иррациональное число не может иметь точного значения. Только в формате 3,333333…. Например , квадратный корень из двух — является числом иррациональным.

    Какое число иррациональное? Иррациональным числом (в отличии от рациональных) называется бесконечная десятичная непериодическая дробь.

    Множество иррациональных чисел зачастую обозначают заглавной латинской буквой в полужирном начертании без заливки. Т.о.:

    Т.е. множество иррациональных чисел это разность множеств вещественных и рациональных чисел.

    Свойства иррациональных чисел.

    • Сумма 2-х неотрицательных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
    • Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, в нижнем классе у которых нет самого большого числа, а в верхнем нет меньшего.
    • Всякое вещественное трансцендентное число — это иррациональное число.
    • Все иррациональные числа являются или алгебраическими, или трансцендентными.
    • Множество иррациональных чисел везде плотно на числовой прямой: меж каждой парой чисел есть иррациональное число.
    • Порядок на множестве иррациональных чисел изоморфен порядку на множестве вещественных трансцендентных чисел.
    • Множество иррациональных чисел бесконечно, является множеством 2-й категории.
    • Результатом каждой арифметической операции с рациональными числами (кроме, деления на 0) является рациональные числа. Результатом арифметических операций над иррациональными числами может стать как рациональное, так и иррациональное число.
    • Сумма рационального и иррационального чисел всегда будет иррациональным числом.
    • Сумма иррациональных чисел может быть рациональным числом. Например, пусть x иррациональное, тогда y=x*(-1) тоже иррациональное; x+y=0, а число 0 рациональное (если, например, сложить корень любой степени из 7 и минус корень такой же степени из семи, то получим рациональное число 0).

    Иррациональные числа, примеры.

    γ ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ δs α e π δ

    От абстрактности математических понятий порой настолько веет и отстраненностью, что невольно возникает мысль: «Зачем это всё?». Но, несмотря на первое впечатление, все теоремы, арифметические операции, функции и т. п. – не более, чем желание удовлетворить насущные потребности. Особенно чётко это можно заметить на примере появления различных множеств.

    Всё началось с появления натуральных чисел. И, хотя, вряд ли сейчас кто-то сможет ответить, как точно это было, но скорее всего, ноги у царицы наук растут откуда-то из пещеры. Здесь, анализируя количество шкур, камней и соплеменников, человек множество «чисел для счёта». И этого ему было достаточно. До какого-то момента, конечно же.

    Дальше потребовалось шкуры и камни делить и отнимать. Так возникла потребность в арифметических операциях, а вместе с ними и рациональных , которые можно определить как дробь типа m/n, где, например, m — количество шкур, n – количество соплеменников.

    Казалось бы, уже открытого математического аппарата вполне достаточно, чтобы радоваться жизнью. Но вскоре оказалось, что случаи, когда результат не то, что не целое число, но даже не дробь! И, действительно, квадратный корень из двух никак иначе не выразить с помощью числителя и знаменателя. Или, например, всем известное число Пи, открытое древнегреческим учёным Архимедом, так же не является рациональным. И таких открытий со временем стало настолько много, что все неподдающиеся «рационализации» числа объединили и назвали иррациональными.

    Свойства

    Рассмотренные ранее множества принадлежат набору фундаментальных понятий математики. Это означает, что их не получится определить через более простые математические объекты. Но это можно сделать с помощью категорий (с греч. «высказывания») или постулатов. В данном случае лучше всего было обозначить свойства данных множеств.

    o Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения в множестве рациональных чисел, у которых в нижнем нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.

    o Каждое трансцендентное число является иррациональным.

    o Каждое иррациональное число является либо алгебраическим, либо трансцендентным.

    o Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.

    o Множество иррациональных чисел несчётно, является множеством второй категории Бэра.

    o Это множество упорядоченное, т. е. для каждых двух различных рациональных чисел a иb можно указать, какое из них меньше другого.
    o Между каждыми двумя различными рациональными числами существует еще по крайней мере одно рациональное число, а следовательно, и бесконечное множество рациональных чисел.

    o Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление) над любыми двумя рациональными числами всегда возможны и дают в результате определенное рациональное же число. Исключением является деление на нуль, которое невозможно.

    o Каждое рациональное число может быть представлено в виде десятичной дроби (конечной или бесконечной периодической).

  • Рациональные числа — что это такое (примеры)

    Обновлено 20 июля 2021 Просмотров: 123 324 Автор: Дмитрий Петров

    Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Сегодня мы вновь поговорим о математических терминах.

    И на этот раз расскажем все о РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЛАХ. Они обязательно входят в школьную программу, и дети начинают изучать их в 6 классе.

    Само слово «рациональный» знакомо многим. И под ним подразумевается нечто «логичное» и «правильное». На деле так и есть.


    Рациональные числа — это …

    Термин имеет латинские корни, и в переводе «ratio» означает «число», «расчет», «разум», «рассуждение» и «нумерация». Но есть и другие переводы – «дробь» и «деление».

    РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО – любое число, которое можно показать в виде дроби a/b. Здесь а – целое число, а b – натуральное.

    Стоит напомнить, что:

    1. Целые числа – это все возможные числа, как отрицательные, так и положительные. И к ним же относится ноль. Главное условие – они не должны быть дробными. То есть -15, 0 и +256 можно назвать целыми числами, а 2,5 или -3,78 – нет.
    2. Натуральные числа – это числа, которые используются при счете, то есть они имеют «натуральное происхождение». Это ряд из 1, 2, 3, 4, 5 и так далее до бесконечности. А вот ноль и отрицательные числа, как и дробные – к натуральным не относятся.

    И если применить эти определения, то мы можем сказать, что:

    РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО – это вообще все возможные числа, кроме бесконечных непериодических десятичных дробей. Среди них натуральные и целые числа, обыкновенные и конечные десятичные дроби, а также бесконечные периодические дроби.

    История изучения рациональных чисел

    Точно неизвестно, когда люди начали изучать дроби. Есть мнение, что много тысяч лет назад. И началось все с банального дележа. Например, кому-то нужно было разделить добычу, но на равные части это не получалось сделать. Зато получалось сколько-то целых, и сколько-то в довесок.

    Скорее всего, дроби изучали и в Древнем Египте, и в Древней Греции. Тогдашние математики далеко продвинулись в науке. И трудно предположить, что эта тема осталась ими не изучена. Хотя, к сожалению, ни в одних трудах так и не было найдено конкретных указаний на рациональные числа.

    А вот официально считается, что понятие десятичной дроби появилось в Европе в 1585 году. Этот математический термин в своих трудах увековечил голландский инженер и математик Симон Стевин.

    До занятия наукой, он был обыкновенным купцом. И скорее всего, именно в торговых делах часто сталкивался с дробными числами. Что потом и описал в своей книге «Десятая».

    В ней Стевин не только объяснял полезность десятичных дробей, но и всячески пропагандировал их использование. Например, в системе мер для точного определения величины чего-либо.

    Разновидности рациональных чисел

    Мы уже написали, что под понятия рациональные числа подпадают практически все возможные варианты. Теперь рассмотрим более подробно существующие варианты:

    1. Натуральные числа. Любое число с 1 и до бесконечности можно представить в виде дроби. Достаточно вспомнить простое математическое правило. Если поделить число на единицу, то получится то же самое число. Например, 5 = 5/1, 27 = 27/1, 136 = 136/1 и так далее.
    2. Целые числа. Точно такая же логика, как в случае с натуральными числами, действует и тут. Отрицательные числа также можно представить в виде дроби с делением на единицу. И точно также будет в отношении нуля. Например, -356 = -356/1, -3 = -3/1, 0 = 0/1 и так далее.
    3. Обыкновенные дроби. Это напрямую говорится в определении рациональных чисел. Например, 6/11, 2/5, -3/10 и так далее.
    4. Бесконечные периодические дроби. Это числа, у которых после запятой бесконечное множество знаков и их последовательность повторяется. Самые простые примеры 1/3, 5/6 и так далее.
    5. Конечные десятичные дроби. Это числа, которые можно записать двумя разными вариантами, и у которых вполне конкретное количество знаков после запятой. Самый простой пример – половина. Ее можно обозначить дробью 0,5 или дробью ½.

    Все числа, которые входят в понятие рациональных, называются МНОЖЕСТВОМ рациональных чисел. В математике его принято обозначать латинской буквой Q.

    А графически это можно изобразить вот так:

    Свойства рациональных чисел

    Рациональные числа подчиняются всем главным законам математики:

    1. А + В = В + А
    2. А + (В + С) = (А + В) + С
    3. А + 0 = А
    4. А + (-А) = 0
    5. А * В = В * А
    6. А * 1 = А
    7. А * 0 = 0
    8. (А + В) * С = А * С + В * С
    9. (А – В) * С = А * С – В * С

    Ради интереса можете попробовать подставить вместо букв любые числа и убедиться, что эти законы верны.

    Вместо заключения

    Раз есть в математике рациональные числа, значит, должны быть и им противоположные. Так и есть – они называются иррациональными. Это числа, которые нельзя записать в виде обычной дроби.

    К таким числам относится математическая константа «пи». Многие знают, что она равна 3,14 и бесконечное количество знаков после запятой, причем их последовательность никогда не повторяется.

    Также к иррациональным числам относится много корней. Это касается тех, у кого в результате не получается целого числа. Самый простой пример – корень из 2. Но это уже тема для другой статьи.

    Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

    Эта статья относится к рубрикам:

    • Математика

    Урок алгебры в 8 классе по теме: «Иррациональные числа»

    Среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью.

    (Стивен.)

    I. ЦЕЛИ УРОКА:

    1. Цели обучения : — обобщить и систематизировать знания учащихся по теме “Иррациональные числа”;

    — сформировать у учащихся новый способ конструирования иррационального числа, заключенного между двумя рациональными.

    2. Цели воспитания: воспитание осознанных мотивов учения и положительного отношения к знаниям.

    3. Цели развития: — развитие аналитико-синтезирующего мышления;

    • развития умений применять знания на практике;
    • развитие умений учебной деятельности.

    II. ТИП УРОКА (по цели организации урока) – урок совершенствования

    знаний, умений и навыков.

    III. ВИД УРОКА – урок теоретических и практических самостоятельных

    работ исследовательского типа.

    IV. МЕТОД — исследовательский, основанный на принципах целеполагания, бинарности и проблемности.

    V. СТРУКТУРА УРОКА (рисунок1)

    VI. СОДЕРЖАНИЕ УРОКА.

    Начнем с постановки цели нашего урока: определить вид иррационального числа, заключенного между двумя рациональными числами.

    I. Согласно используемой нами схеме получения нового понятия на первом этапе мы должны собрать информацию, которая уже известна и может быть полезна при реализации цели урока.

    В виде домашнего задания была задача:

    Тротуар покрывается квадратными и треугольными плитками. Основание треугольной плитки равно диагонали квадратной плитки. Наступит ли такой момент, когда вершина g -ой квадратной плитки совпадет с вершиной р — ой треугольной плитки.

    Ответ: нет.

    (Доказательство, полученное учениками дома, приводится у доски)

    Выбираем уровень, на котором каждый готов сегодня работать.

    Каждому уровню соответствует своё задание.

    Задание 1.

    Уровень 1 : Покажите штриховкой на рисунке2 множество иррациональных чисел.

    Приведите пример числа, принадлежащего указанному множеству и докажите его иррациональность.

    Рисунок2

    Уровень 2( пункты а – д) Уровень 3( пункты е – к) : Число r – рациональное, и — иррациональные. Рациональными или иррациональными является число:

    а) + r;  е) +

    б) + r;  ж)

    в) 2; з) /

    г) /3; и) +2r

    д) 2 к) 3+r

    Ответ и обоснование учащихся с мест: иррациональные (а — г, и, к).

    Задание 2,

    Уровень 1: Из литературы найдите ответы на вопросы :

    1. Когда и кем впервые была обоснованна необходимость расширения множества рациональных чисел?

    (V век н.э. пифагориец Гиппас Метапонтский).

    2. В чём состояла необходимость расширения множества рациональных чисел.

    Ученики устно с места рассказывают о причинах необходимости решения множества рациональных чисел.

    Уровень 2: С помощью литературы ответьте на вопросы.

    1. Кто доказал утверждение о том, что если бесконечная десятичная дробь является периодической, то она представляет рациональное число.  (в 18 в. Эйлер и Ламберт)

    2. Кто создал теорию иррационального и действительного числа.  (Дедекинд 1872 г. “Непрерывность и иррациональные числа”).

    Уровень 3: Сформулируйте леммы о плотности множества R действительных чисел. Проиллюстрируйте лемму 1 на примере дроби 0,123…, в которой после запятой записаны подряд все натуральные числа.

    Итак, мы завершили первый этап и собрали необходимую информацию, полученную на предыдущих уроках.

    II. Восстановим способы получения “новых” чисел вообще.

    Числа мы получаем при выполнении действий с числами.

    Если выполнять действия с рациональными числами, то иррациональные числа мы не получим, так как множества рациональных чисел замкнуто относительно операций сложения, умножения и деления. Значит, иррациональное число может быть получено при выполнении действий с иррациональными и рациональными числами.

    Если – иррациональное число, r – рациональное число, то r и + rиррациональные числа, т.е. имея одно иррациональное число с помощью действий с рациональными числами можно получить любое другое новое иррациональное число.

    III. Получение новой информации.

    Задание 3,

    Даны два рациональных числа 4,32786 и 4,32792. Покажите, что между ними содержится хотя бы одно иррациональное число.

    Индивидуально решают на местах.

    Обсуждаем у доски после записи результатов работы на местах.

    Например, 4,32786 < < 4,3292

    = 4,32786 + 0,00001, где — иррациональное число

                а                    в

    где 4,32786 < а < 4,32792 , h = / 4,32792 – 4,32786 / = 0,00006

    IV. Новый способ получения иррационального числа, заключенного между двумя числами c и d из множества рациональных чисел.

    c < < d

    = а + в , где — число, иррациональность которого доказана.

    c < < d

    b = 10-n , где n – количество разрядов в числе а после запятой.

    Отработаем полученный способ конструирования иррационального числа, заключенного между рациональными числами в виде самостоятельной работы по уровням.

    Задание 4,

    Приведите пример иррационального числа, заключенного между рациональными числами

    Уровень 1 : 1,21 и 1,14367

    Уровень 2 : 7 и 7(1)

    Уровень 3 : 5/3 и 1,678

    Проверка по одному из каждого уровня.

    Остальные тетради на проверку после урока.

    Рефлексия.

    Самооценка.

    Оценка.

    Целеполагание на следующий урок.

    Отработать полученный способ конструирования иррационального числа, заключенного между двумя рациональными числами с целью усовершенствования его.

    Double, Float — не вещественные числа / Хабр

    Во многих источниках тип double и float, числа с плавающей запятой/точкой зачем-то называют вещественными. Такое чувство что кто-то когда-то совершил ошибку или не внимательно написал эту глупость и все как один начали её повторять, совершенно не задумываясь о чём они говорят.

    Ладно это были бы просто троечники студенты и любители, так эту ошибку говорят и те, кто обучают специалистов. И эта проблема терминологии не одного ЯП, их правда много (Java, C++, C#, Python, JS и т.д.) везде, где бы я не искал, всегда находятся статьи, ответы, лекции, где дробные числа называют вещественными!

    Вот ОЧЕНЬ МАЛЕНЬКАЯ выборка:

    • https://javarush.ru/quests/lectures/questsyntaxpro.level04.lecture06 — JavaRush

    • https://docs-python.ru/tutorial/osnovnye-vstroennye-tipy-python/tip-dannyh-float-veschestvennye-chisla/ — Docs Python3

    • http://cppstudio.com/post/310/ — CppStudio

    • https://ejudge.ru/study/3sem/sem07.pdf — Ejudge

    • https://ru.wikipedia.org/wiki/Система_типов_Си — даже всеми любимая Wikipedia!

      Ещё раз повторюсь это очень маленькая выборка, можете набрать в гугл поиске, по ключевым словам, и удостовериться что их полно.

    Начнём с простого, что такое вещественное число коим называют double и float. Будет немного формул, но не пугайтесь, прочитайте пожалуйста до конца, они очень простые, к каждой я даю интуитивное объяснение.

    Вещественное число

    Определение можете прочитать в Википедии или дочитать до конца мою статью, где я простым языком скажу или вы сами поймёте, но нужно проследить за мыслью, которую я хочу донести до вас. Я напишу формулой из теории множеств:

    R = Q ∪ I

    Где, R — множество вещественных чисел;

    Q — множество рациональных чисел;

    I — множество иррациональных чисел.

    Так же Q ⊂ R и I ⊂ R.

    Расшифровка тем, кто не очень с теорией множеств. Вещественные числа эта числа которые включают в себя Рациональные и Иррациональные числа (R = Q ∪ I), т.к. Вещественные числа включают их в себя, то Рациональные числа и Иррациональные числа являются подмножеством множества Вещественных (Q ⊂ R и I ⊂ R), причём строго, то есть Q != R и I != R, это очевидная мысль, но её требуется подчеркнуть.

    Теперь к самому интересному, какие числа называются Рациональными и Иррациональными (представляю себя преподавателем начальных курсов технических вузов).

    Рациональные

    Начнём с Рациональных, возьмём определение из википедии.

    Рациональное число (от лат. ratio «отношение, деление, дробь») — число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное.

    Так же стоит отметить, что Рациональные включают в себя Целые и Натуральные числа (-1, 0, 1, 2 …) их можно выразить в виде дроби, 1 = 1/1, 2 = 2/1, -1 = -1/1, 0 = 0/1 и т.д.

    Почему это важно? Потому что Иррациональные числа не включают в себя Целые и Натуральные числа, это отдельный класс чисел.

    Иррациональные

    Берём определение из Википедии.

    Иррациональное число — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть представлено в виде обыкновенной дроби m/n, где m,n — целые числа, n != 0. Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

    Так же приведу примеры иррациональных чисел, чтобы стало понятно: π (число пи), e (число Эйлера), √2.

    Вы начали что-то подозревать? Если нет я помогу вам.

    Первое предложение определения — это то, о чём я вам говорил, то, что Иррациональные числа — это отдельный класс чисел и он не включает в себя Целые и Натуральные.

    Но самое важное здесь это второе предложение «Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.».

    Что это значит? Заметили, что в примерах я дал вам буквенное обозначение? Это не просто так, это представление иррационального числа, ВАЖНО — сама запись π это не само иррациональное число, это всего лишь его представление, и оно является чем угодно, но не иррациональным числом. Само Иррациональное число оно бесконечно. Понимаете?

    То есть его невозможно записать по определению. Никакой памяти в компьютере не хватит чтобы его записать. Это невозможно!

    И мало того что в большинстве (я не проверял прям на всех, но очень сомневаюсь, что хотя бы в одном это есть) языков в которых используется термин Вещественный тип нельзя чисто синтаксически сделать запись по типу: «double a = π», попросту будет ошибка компиляции, так ещё если и возможно с помощью латинских букв подключая библиотеки, то в конечном-то итоге эта переменная будет ссылаться на конечное представление, а то есть рациональное этого иррационального числа!

    Всё с чем мы можем работать это ТОЛЬКО РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА, представления иррациональных чисел они ТОЖЕ рациональные и ТОЛЬКО рациональные. Они большие, они могут быть ооооочень большими, но они всё равно рациональные!

    R = Q ∪ I, если мы исключаем I из-за невозможности работы с ними в прямом смысле без представлений получается R’ = R\I, R’ = Q, а Q у нас рациональные числа.

    Так почему же так много людей и весьма неглупых всё ещё допускают эту простую ошибку? Эту ошибку можно было описать в пару предложений, но я хотел донести до вас последовательно как к этому прийти, используя общепринятую терминологию.

    Спасибо.

    P.S. Это моя оригинальная статья AfterWing, не является переводом, доработкой другой какой-либо статьи на русском/английском и др. языках.

    Иррациональные числа — предварительная алгебра

    Все ресурсы предварительной алгебры

    11 Диагностические тесты 177 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

    ← Предыдущая 1 2 Следующая →

    Pre-Algebra Help » Теория чисел » Иррациональные числа

    Какое из следующих выражений является иррациональным?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Иррациональное число определяется как любое число, которое не может быть выражено в виде простой дроби или не имеет завершающих или повторяющихся десятичных знаков. Из предложенных вариантов ответа единственное число, которое нельзя представить в виде простой дроби или с повторяющимися или заканчивающимися десятичными знаками, — .

     

    Сообщить об ошибке

    Какое из следующих чисел является иррациональным?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Иррациональное число — это любое число, которое не может быть выражено как отношение целых чисел, т. е. дробь. Таким образом, единственное указанное иррациональное число — .

    Сообщить об ошибке

    Какое из этих выражений  не является иррациональным?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Квадратный корень из целого числа – это либо иррациональное число, либо целое число. Последнее имеет место тогда и только тогда, когда существует целое число, которое при умножении само на себя или в квадрате дает число внутри символа (подкоренное число) в качестве произведения. Из только 81 является квадратом целого числа (9).

    Сообщить об ошибке

    Что из следующего ближе всего к значению выражения  ?

    Возможные ответы:

    Выражение не определено в действительных числах.

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Так как,

    .

    Мы можем определить, что ближе, оценив .

    Так как , 9 — ближайшее целое число, и это правильный выбор.

     

    Сообщить об ошибке

    Какое из следующих чисел представляет собой иррациональное число?

    Возможные ответы:

    Все ответы иррациональны

    Пояснение:

     

    Пи — единственное указанное иррациональное число. Иррациональные числа представляют собой бесконечные неповторяющиеся десятичные дроби.

    Сообщить об ошибке

    Какое из следующих чисел не является иррациональным?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Корень целого числа — это одно из двух: целое или иррациональное число. Проверив все пять на калькуляторе, вы получите только точное целое число – 5. Это правильный выбор.

    Сообщить об ошибке

    Какое из следующих чисел является иррациональным?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Иррациональное число – это число, которое нельзя записать в виде дроби. Все целые числа являются рациональными числами.

    Повторяющиеся десятичные дроби никогда не бывают иррациональными, их можно исключить, потому что

    .

      и  являются полными квадратами, что делает их целыми.

    Таким образом, остается только один ответ .

    Сообщить об ошибке

    Какое из следующих чисел является иррациональным?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Рациональное число может быть представлено в виде доли целого числа, а иррациональное число — нет.

    можно записать как .

     – это просто рациональное число.

    Число может быть представлено как часть целых чисел, что делает его рациональным числом.

    также является рациональным числом, поскольку представляет собой отношение целых чисел.

    Число , с другой стороны, иррационально, так как оно имеет неправильную последовательность чисел (. ..), которую нельзя записать в виде дроби.

    Сообщить об ошибке

    Какое из следующих чисел является иррациональным?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Иррациональное число — это любое число, которое нельзя записать в виде дроби от целых чисел. Число пи и квадратные корни несовершенных квадратов являются примерами иррациональных чисел.

     можно записать в виде дроби . Термин представляет собой целое число. Квадратный корень  также является рациональным числом. , однако, не является полным квадратом, и поэтому его квадратный корень иррационален.

    Сообщить об ошибке

    Какое из следующих чисел является рациональным?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Рациональное число – это любое число, которое может быть выражено в виде дроби/отношения, где числитель и знаменатель являются целыми числами. Единственным ограничением этого определения является то, что знаменатель  не может быть равно .

     

    Используя приведенное выше определение, мы видим, что  ,  и   (то есть ) не могут быть выражены в виде дробей. Это непрерывающиеся числа, которые не повторяются, то есть десятичная дробь не имеет шаблона и постоянно меняется. Когда десятичная дробь не является конечной и постоянно изменяется, ее нельзя выразить в виде дроби.

      является правильным ответом, потому что , что может быть выражено как , удовлетворяя приведенному выше определению рационального числа.

    Сообщить об ошибке

    ← Предыдущая 1 2 Следующая →

    Уведомление об авторских правах

    Все ресурсы Pre-Algebra

    11 Диагностические тесты 177 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

    Иррациональные числа — Алгебра II

    Все ресурсы по Алгебре II

    10 Диагностических тестов 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

    ← Предыдущая 1 2 3 4 Следующая →

    Алгебра II Справка » Теория чисел » Иррациональные числа

    Какое из следующих чисел является иррациональным?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Иррациональное число — это любое число, которое нельзя записать в виде дроби от целых чисел. Число пи и квадратные корни несовершенных квадратов являются примерами иррациональных чисел.

     можно записать в виде дроби . Термин представляет собой целое число. Квадратный корень  также является рациональным числом. , однако, не является полным квадратом, и поэтому его квадратный корень иррационален.

    Сообщить об ошибке

    Какое из следующих чисел является рациональным?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Рациональное число – это любое число, которое может быть выражено в виде дроби/отношения, где числитель и знаменатель являются целыми числами. Единственным ограничением этого определения является то, что знаменатель  не может быть равно .

     

    Используя приведенное выше определение, мы видим, что  ,  и   (то есть ) не могут быть выражены в виде дробей. Это непрерывающиеся числа, которые не повторяются, то есть десятичная дробь не имеет шаблона и постоянно меняется. Когда десятичная дробь не является конечной и постоянно изменяется, ее нельзя выразить в виде дроби.

      является правильным ответом, потому что , что может быть выражено как , удовлетворяя приведенному выше определению рационального числа.

    Сообщить об ошибке

    Какое из следующих чисел является иррациональным?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Определение иррационального числа — это число, которое не может быть выражено простой дробью, или число, которое не является рациональным.

     

    Используя приведенное выше определение, мы видим, что  уже выражено простой дробью.

     

      любой номер и

    . Все эти варианты можно выразить в виде простых дробей, сделав из них все рациональные числа и неправильные ответы.

     

      не может быть выражено в виде простой дроби и равно бесконечной, неповторяющейся (постоянно меняющейся) десятичной дроби, начинающейся с

    . Это иррациональное число и наш правильный ответ.

    Сообщить об ошибке

    Какое из следующих чисел является иррациональным?

    ,

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Иррациональное число – это число, которое нельзя записать в виде дроби. Все целые числа являются рациональными числами.

    Повторяющиеся десятичные дроби никогда не бывают иррациональными, их можно исключить, потому что

    .

      и  являются полными квадратами, что делает их целыми.

    Таким образом, остается только один ответ .

    Сообщить об ошибке

    Какое из следующих чисел является иррациональным?

    I.

    II.

    III.

    IV.

    Возможные ответы:

    Оба II и IV

    Все они рациональные числа.

    II. только

    III. только

    IV. Только

    Правильный ответ:

    II. только

    Объяснение:

    Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дроби. Это автоматически исключает оператор III , поскольку он дробный.

    Утверждение I дробь равна  , поэтому это утверждение неверно.

    Выписка  IV. может быть нелегко определить, но если вы позволите этой десятичной дроби быть  и умножите ее на  , вы получите. Это становится . Вычтите его из  и получите уравнение .

    становится дробью.

    Утверждение  II не может быть выражено в виде дроби, что делает этот ответ правильным.

    Сообщить об ошибке

    Рационально или иррационально?

    Возможные ответы:

    Иррационально, потому что не может быть выражено дробью.

    Неразумно, потому что есть повторяющиеся десятичные дроби.

    Нерационально, потому что может быть выражено в виде дроби.

    Рационально, потому что нельзя выразить в виде дроби.

    Рационально, потому что есть определенное значение.

    Правильный ответ:

    Иррационально, потому что нельзя выразить дробью.

    Объяснение:

    Иррациональные числа не могут быть представлены в виде дроби с целыми значениями в числителе и знаменателе дроби.

    Иррациональные числа не имеют повторяющихся десятичных знаков.

    Из-за этого не существует определенного значения иррациональных чисел.

    Следовательно,  является иррациональным, поскольку его нельзя выразить в виде дроби.

    Сообщить об ошибке

    Что получится, если умножить два иррациональных числа?

    Возможные ответы:

    Всегда иррационально.

    Целые числа.

    Всегда рационально.

    Иногда иррациональный, иногда рациональный.

    Мнимые числа.

    Правильный ответ:

    Иногда иррационально, иногда рационально.

    Пояснение:

    Возьмем два иррациональных числа типа  и перемножим их. Ответ: что рационально.

     

    Но что, если мы возьмем произведение  и . Мы получили бы значение, которое не имеет определенного значения и не может быть выражено в виде дроби.

    Это делает его иррациональным, и поэтому ответ иногда иррационален, иногда рационален.

    Сообщить об ошибке

    Что из следующего не является иррациональным?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Некоторые ответы можно решить. Давайте посмотрим на некоторые очевидные иррациональные числа.

    , безусловно, иррационально, поскольку мы не можем получить точное значение.

    То же самое касается  и .

     не является идеальным кубом, поэтому выбор ответа неверен.

    Хотя  это квадратный корень, сумма внутри, тем не менее, делает его идеальным квадратом, так что среднее  рационально.

    Сообщить об ошибке

    Какая концепция математики будет всегда генерировать иррациональные ответы?

    Возможные ответы:

    Нахождение значения ; .

    Нахождение объема куба.

    Нахождение площади треугольника.

    Диагональ прямоугольного треугольника.

    Нахождение площади квадрата.

    Правильный ответ:

    Нахождение значения ; .

    Пояснение:

    Давайте рассмотрим все варианты ответов.

    Площадь треугольника равна основанию, умноженному на высоту, деленному на два. Поскольку база и высота могут быть любыми значениями, это утверждение неверно. У нас могут быть иррациональные ценности или рациональные ценности, таким образом порождая как иррациональные, так и рациональные ответы.

    Диагональ прямоугольного треугольника иногда приводит к рациональным ответам или иррациональным значениям. Если у вас есть совершенная пифагорейская тройка  или  и т. д., то диагональ является рациональным числом. Пифагорейская тройка имеет все длины прямоугольного треугольника, являющиеся рациональными величинами. Один из способов, которым прямоугольный треугольник создает иррациональную ценность, — это когда он является равнобедренным прямоугольным треугольником. Если обе стороны треугольника равны , то гипотенуза равна  

    , , ,  не может быть отрицательной, поскольку длины треугольника неотрицательны.

    То же самое относится к объему куба и площади квадрата. Он будет генерировать как иррациональные, так и рациональные ценности.

    Единственный ответ — найти значение . иррационально и возведено в любую степень, кроме 0, всегда иррационально.

    Сообщить об ошибке

    Какие из следующих чисел иррациональны?

    Возможные ответы:

    Правильный ответ:

    Объяснение:

    Определение иррациональных чисел состоит в том, что это действительные числа, которые не могут быть выражены в обыкновенном отношении или дроби.

    Термин мнимый, равный .

    Остальные ответы можно либо упростить, либо записать дробями.

    Показан единственный возможный ответ .

    Сообщить об ошибке

    ← Назад 1 2 3 4 Далее →

    Уведомление об авторских правах 630 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

    Иррациональные числа | Определение, свойства, примеры

    Иррациональные числа — это числа, которые нельзя представить в виде дробей двух целых чисел. Проще говоря, иррациональные числа — это действительные числа, которые не являются рациональными числами. Иррациональные числа всегда очаровывали математиков еще во времена Гипасса (приписывают открытие \sqrt{2}). Даже до сих пор интерес к знаменитым иррациональным числам, таким как \pi, не уменьшился!

    Вот почему мы выделили специальную статью, посвященную всем основам иррациональных чисел. В этой статье мы покажем вам определение и свойства иррациональных чисел. Мы также покажем вам некоторые из самых известных иррациональных чисел, которые мы знаем в математике, и подчеркнем их важность в различных областях математики и прикладных наук!

    Что такое иррациональные числа?

    Иррациональные числа — это набор действительных чисел, которые нельзя записать в виде простого отношения или дроби в форме \dfrac{p}{q}. Короче говоря, иррациональные числа — это просто действительные числа, которые не являются рациональными.

    Возможно, вы видели левую часть диаграммы, когда изучали целые и рациональные числа. На этот раз мы расширим набор для учета иррациональных чисел. Это означает, что все действительные числа, которые не являются рациональными числами, будут принадлежать множеству иррациональных чисел.

    Напомним, что рациональные числа — это числа, которые можно записать в виде p/q, где p и q — целые числа, но q никогда не может быть равно нулю.

    Рациональное число Иррациональное число
    \begin{aligned}\left.\begin{matrix}2.5  = \dfracend{5}\dfracend{5}{2} } \text{Ratio}\left(\dfrac{p}{q} \right )\end{aligned} \begin{aligned}\left.\begin{matrix}e =2.71828182845…= \dfrac{ ?}{?}\end{matrix}\right\} \text{Неизвестное соотношение}\end{выровнено}

    Любое действительное число, которое нельзя записать в этой форме, автоматически является иррациональным числом. Вот забавный факт: из-за определения иррационального числа мы иногда обозначаем его как r \ setminus q. Символ люфта (также известный как минус) подчеркивает идею о том, что иррациональные числа нельзя записать в виде отношения двух целых чисел. Почему бы нам не проверить наше понимание рациональных и иррациональных чисел, разогреваясь на примере задачи ниже?

    Проблема 1

    Определите, являются ли следующие числа рациональными или иррациональными.

    а. 0,04

    Проверяя, является ли заданное число рациональным или иррациональным, мы пытаемся записать данное число в виде дроби или отношения двух целых чисел.

    \begin{align}0.04 &= \dfrac{4}{100}\\&= \dfrac{1}{25}\\&\Rightarrow \textbf{Rational} \end{align}

    Поскольку мы можем записать 0,04 как отношение 1 к 25, то десятичная дробь действительно является рациональным числом.

    b.\sqrt{2}

    Интуитивно мы можем записать \sqrt{2} как дробь от \sqrt{2} и 1.  

    \begin{align}\sqrt{2} &= \dfrac{\sqrt{2} }{1} \\&(\sqrt{2} \text{ не является целым числом})\\&\Rightarrow \textbf{ иррационально} \end{выровнено}

    Однако \sqrt{2} не является целым числом, поэтому мы можем заключить, что \sqrt{2} иррационально.

    c.\sqrt{25}

    Теперь, когда задан квадратный корень из полного квадрата, сначала упростим выражение: \sqrt{25} = 5. Эта упрощенная форма \sqrt{25} возвращает целое число и как мы знаем, все целые числа являются рациональными числами.

    d.\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}

    Это радикальное выражение на самом деле является одним из самых известных соотношений в науке и искусстве- \dfrac{-1 + \sqrt{5}} {2} также известно как золотое сечение ( \phi \ приблизительно 1,618034… ). При осмотре числитель не является целым числом, поэтому золотое сечение на самом деле является иррациональным числом.

    Говоря об известных иррациональных числах, позвольте показать вам еще несколько известных иррациональных чисел в математике. С некоторыми из них вы уже сталкивались в прошлом, например \pi и \sqrt{2}.

    Известные примеры иррациональных чисел

    Вот некоторые из наиболее распространенных иррациональных чисел, с которыми вы столкнетесь на уроках математики и даже на продвинутых курсах естественных наук!

    \boldsymbol{\pi}: Пи, вероятно, одно из самых известных иррациональных чисел.

    \begin{выровнено}\pi \ приблизительно 3.14159265… \end{выровнено}

    Математики и программисты стремятся определить как можно больше цифр. Пока мы пишем эту статью, исследователи успешно установили новый рекорд в 62,8 триллиона цифр, используя мощный суперкомпьютер. Это также то, что отличает иррациональные числа от повторяющихся десятичных дробей — десятичные разряды бесконечны.

    \begin{выровнено}\pi &\приблизительно \dfrac{22}{7}\\&\приблизительно 3.14 \end{выровнено}

    Поскольку \pi часто используется в кругах и областях, включающих круглые области, мы установили близкое приближение для \pi — рациональное число: \dfrac{22}{7} или 3,14.

    \boldsymbol{\sqrt{2}}: Квадратный корень из 2 и фактически корни многих чисел, которые нельзя упростить.

    Если корень n-й степени данного числа не может быть упрощен до целой дроби, корень является иррациональным числом. Так почему же мы выделили \sqrt{2}? Потому что это знаменитая гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами, каждая из которых равна одной единице. Это особый прямоугольный треугольник — и вы узнаете об этом больше из геометрии и тригонометрии. 9{я\пи} + 1 = 0\конец{выровнено}

    Число Эйлера также имеет решающее значение при моделировании быстрых изменений — как роста, так и распада.

    В математике вы столкнетесь с множеством иррациональных чисел. Эти три иррациональных числа также являются прекрасным напоминанием о том, что даже когда эти числа выглядят иначе, чем остальные действительные числа, они продолжают играть решающую роль в математике. Многие исследователи и программисты очарованы природой иррациональных чисел.

    Проблема 2

    Завершая то, что мы только что узнали о распространенных и известных иррациональных числах, какие из следующих чисел являются иррациональными?

    \begin{align} \boldsymbol{\left\{e, \sqrt{4+ 5}, \pi, \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}, 0, \dfrac{22}{7} , \sqrt[4]{36}\right\}} \end{выровнено}

    Нам дано семь рациональных чисел, поэтому давайте проверим каждое число и проверим, является ли оно рациональным или иррациональным.

    • Мы уже обсуждали, что e — это известное иррациональное число, называемое числом Эйлера.
    • Упрощая \sqrt{4 + 5}, мы получаем \sqrt{9} = 3, поэтому число рационально.
    • Как мы установили, число пи (или \пи) иррационально.
    • Поскольку числитель \dfrac{3 +\sqrt{5}}{2} иррационален, вся дробь также иррациональна.
    • Число 0 всегда будет рациональным.
    • Хотя \dfrac{22}{7} является аппроксимацией числа пи, поскольку числитель и знаменатель являются целыми числами, оно рационально.
    • Мы не можем упростить \sqrt[4]{36} до целого или рационального числа, поэтому корень четвертой степени из 36 иррационален.

    Следовательно, из семи чисел следующие числа иррациональны: \left\{e,\pi, \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2}, \sqrt[4]{36}\right \} .

    Каковы свойства иррациональных чисел?

    Как мы установили ранее, иррациональные числа по-прежнему являются частью подмножеств действительных чисел. Что это означает для их свойств? Иррациональные числа по-прежнему будут подчиняться фундаментальным правилам и свойствам, установленным для всех действительных чисел.

    Вот несколько интересных свойств иррациональных чисел, которые стоит изучить:

    • Иррациональные числа всегда будут содержать десятичные дроби, которые никогда не заканчиваются и никогда не повторяются по шаблону.
    • Все иррациональные числа — действительные числа.
    • Сумма или разность двух иррациональных чисел может быть или не быть иррациональным.

    Например, разница между \pi и самим собой равна нулю, что является рациональным числом.

    • Когда иррациональное число умножается на ненулевое рациональное число, произведение всегда будет иррациональным числом.
    • Операции, выполняемые исключительно между двумя иррациональными числами, могут быть рациональными или иррациональными, а могут и не быть.

    Более быстрый способ выучить эти свойства наизусть — самостоятельно придумать реальные примеры, которые удовлетворяют этим утверждениям. Мы также подготовили еще несколько примеров, над которыми вы можете поработать, чтобы освоить эту тему!

    Задача 3

    В предыдущем пункте мы упомянули, что произведение двух иррациональных чисел может быть иррациональным, а может и не быть. Приведите примеры, удовлетворяющие последнему утверждению.

    Чтобы легко найти примеры, попробуйте умножить квадратные корни из чисел с разными основаниями. Теперь продублируйте один из номеров и попробуйте вместо этого найти их продукт. Посмотрите, что получится — для нашего решения мы будем использовать \sqrt{5} и \sqrt{6}.

    \boldsymbol{\sqrt{5}\times \sqrt{6}} \boldsymbol{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}
    \begin{aligned}\sqrt {5}\times \sqrt{6}&= \sqrt{30}\\&\Стрелка вправо \textbf{Иррациональный} \end{выровнено} \begin{align}\sqrt{5}\times \sqrt{5}&= \sqrt{25}\\&= 5\\&\Стрелка вправо \textbf{Rational} \end{align}

    Одни только эти два примера показывают, что произведение двух иррациональных чисел действительно может быть иррациональным, а может и не быть.

    Задача 4

    На рисунке ниже изображен прямоугольный треугольник с иррациональными длинами сторон. Определите, являются ли периметр и площадь прямоугольного треугольника иррациональными или рациональными.

    Периметр прямоугольного треугольника можно найти, сложив длины сторон всех катетов. Имейте в виду, что при сложении подкоренных чисел мы можем объединять их только тогда, когда основание внутри и корень совпадают.

    \begin{выровнено}\text{Периметр} &= \sqrt{3} + 2\sqrt{3}+ \sqrt{15}\\&= 3\sqrt{3} + \sqrt{15}\end{выровнено }

    Это означает, что периметр нашего прямоугольного треугольника равен 3\sqrt{3} + \sqrt{15} единиц. Поскольку мы больше не можем упростить иррациональное выражение, мы можем заключить, что периметр прямоугольного треугольника иррационален.

    Теперь посмотрим на его площадь. Напомним, что площадь треугольника равна половине основания, умноженной на высоту: \text{Площадь} = \dfrac{1}{2}bh. Для прямоугольного треугольника имеем b = 2\sqrt{3} и h = \sqrt{3}. 92\\&= 3\конец{выровнено}

    Следовательно, площадь нашего прямоугольного треугольника равна 3 единицам в квадрате. Поскольку площадь представляет собой целое число, мы можем заключить, что площадь нашего прямоугольного треугольника является рациональным числом.

    Рациональные и иррациональные числа: 4 ключевых отличия, определение, примеры

    Рациональные числа и иррациональные числа: Рациональные числа могут быть представлены в виде дробей. Иррациональные числа не могут быть представлены в виде дробей.

    Что касается обоих, числа представляют собой количества, представленные цифрами. Это арифметическое значение может иметь форму слова, символа или цифры. Числа используются, среди прочего, для измерений, подсчетов, вычислений и маркировки. Примеры чисел включают целые, сложные, натуральные и действительные числа. Целые числа также являются примером.

    Рациональные числа записываются как отношение двух целых чисел. Иррациональные числа не могут быть выражены как рациональные числа. Это означает, что иррациональные числа имеют десятичные расширения, которые никогда не заканчиваются и не повторяются. Примеры иррациональных чисел включают пи (3,14159…) и квадратный корень из 2 (1,414213…). Рациональные числа можно легко представить на числовой прямой, а иррациональные числа — нет.

    Рациональные числа могут показаться похожими на иррациональные, но они совершенно разные. Рациональные числа имеют точное значение, которое может быть представлено дробями, а иррациональные числа — нет. Иррациональные числа также имеют десятичные расширения, которые продолжаются вечно, а рациональные числа — нет.

    Содержание

    Что такое рациональное число?

    Определение рационального числа: отношение может быть определено как сравнение величин и выражено дробью. Рациональное число можно выразить через дроби. Например, в дроби p/q «p» — это числитель, а «q» — знаменатель. Оба являются целыми числами. Здесь числовой знаменатель натуральный (ненулевой). Все целые числа, дроби (включая смешанные) и десятичные дроби (включая повторяющиеся и конечные) являются рациональными числами.

    Примеры рациональных чисел:

    • 1/9 – Здесь и знаменатель, и числитель являются целыми числами.
    • √16 — в данном случае квадратный корень числа равен 4, а дробь — 4/1.
    • 7 – Записывается как 7/1. В этом случае 7 оказывается целым частным от 7, а также от 1.
    • 0,3333333333 — Повторяющиеся десятичные дроби здесь рациональны.
    • 0,5 – Выражается как 1/2 или 5/10. Завершающие десятичные знаки здесь рациональны.

    Что такое иррациональное число?

    Определение иррационального числа: иррациональное число просто не может быть выражено как рациональное число. Другими словами, его нельзя выразить как дробь двух целых чисел (x) и (y). Десятичное расширение иррационального числа не является ни повторяющимся, ни конечным — оно просто продолжается вечно. Распространенными иррациональными числами являются π (3,14…) и e (2,718…). Surds — это еще один тип иррациональных чисел — это несовершенные кубы или квадраты, которые нельзя уменьшить дальше, чтобы удалить кубический или квадратный корень. Например, √2 — иррациональное число, потому что его нельзя представить как рациональное число. Однако √4 — рациональное число, потому что его можно выразить как 2/2 (два больше двух).

    Примеры иррациональных чисел:

    • √2 — это число нельзя упростить. Следовательно, это нерационально.
    • 3/0 – Дробь со знаменателем, равным нулю, что делает ее иррациональной.
    • √7/5 – В этом примере указанное число является дробью. Однако это не единственный критерий для классификации его как рационального числа. На самом деле и знаменатели, и числители должны быть целыми числами. √7 не является целым числом. Следовательно, данное число иррационально.
    • 0,3131131113 — эти десятичные дроби не повторяются и не заканчиваются. Таким образом, это не может быть записано как дробное частное.
    • π – десятичное значение 3,14 никогда не заканчивается, не повторяется и не имеет какой-либо закономерности. Таким образом, значение числа пи не совсем соответствует дроби. 22/7 оказывается числовым приближением.

    4 Key Differences Between Rational Numbers and Irrational Numbers

    ​​
    Basis Rational Number Irrational Number
    Meaning Рациональное число можно записать как отношение двух целых чисел. Иррациональные числа не могут быть выражены как отношение двух целых чисел.
    Дроби Рациональные числа могут быть представлены в виде дроби. Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Иррациональные числа не могут быть выражены в виде дроби и всегда будут иметь знаменатель, равный нулю
    Включает Рациональное число содержит полные квадраты В иррациональные числа входят сурды.
    Десятичное расширение Рациональные числа имеют повторяющиеся или конечные десятичные дроби. Рациональные числа могут иметь завершающую или повторяющуюся десятичную дробь, тогда как иррациональные числа не могут. Рациональные числа основаны на дробях, которые всегда имеют конечное представление. Все рациональные числа являются действительными числами. Однако не все действительные числа рациональны. Иррациональные числа имеют неповторяющиеся или неконечные десятичные дроби.Иррациональные числа не основаны на дробях и имеют неограниченное десятичное расширение.Иррациональных чисел бесконечно больше, чем рациональных.

    Основные различия между иррациональными и рациональными числами

    Рациональные числа описываются как отношение двух целых чисел. С другой стороны, иррациональные числа нельзя записать как отношение двух целых чисел. К ним относятся сурды (например, 2, 5 и т. д.). Рациональное число будет включать только те десятичные дроби, которые повторяются и конечны. С другой стороны, иррациональные числа имеют десятичные расширения, которые не повторяются, бесконечны и не имеют шаблонов.

    Рациональные и иррациональные числа отличаются целыми числами, дробями и полными квадратами. Рациональное число может быть дробью, причем и числитель, и знаменатель являются целыми числами. Иррациональные числа не могут быть записаны в виде дроби и не могут быть записаны в виде двух целых чисел.

    Что касается рациональных чисел, то и знаменатель, и числитель классифицируются как целые числа. Знаменатель не равен нулю. К рациональным числам относятся полные квадраты, например 9.и 25.

    Сравнительная таблица

    Сравнительное видео