Примеры решить неравенство: Неравенства. Виды неравенств

Неравенство первой степени с одним неизвестным

Используй поиск, чтобы найти научные материалы и собрать список литературы

База статей справочника включает в себя статьи написанные экспертами Автор24, статьи из научных журналов и примеры студенческих работ из различных вузов страны

Содержание статьи

1. Определение

2. Решение неравенств

Определение

Часто неравенство первой степени также называют линейным неравенством.

Определение 1

Неравенство вида $ax+b $, $\le$ или $\ge$), где $a$ и $b$ – действительные числа и $a \ne 0$, называют неравенством первой степени с одним неизвестным x.

Также в школьных учебниках встречается другое определение:

Определение 2

Неравенство вида $ax $, $\le$ или $\ge$), где $x$ – неизвестное, $a$ и $b$ – любые числа, называются неравенством первой степени с одним неизвестным.

В последнем определении ничего не сказано о коэффициенте при неизвестном $x \ne 0$, т.е. считается, что и неравенство вида $0 \cdot x $, $\le$ или $\ge$) также является неравенством первой степени.

Условимся не отбрасывать вариант, когда $a=0$, поэтому будем использовать следующее определение:

Определение 3

Неравенство вида $ax+b $, $\le$ или $\ge$), где $a$ и $b$ – действительные числа, называется неравенством первой степени с одним неизвестным x.

Пример 1

Неравенства $7x+5,2

Как видим по примерам, неизвестным может быть не только переменная $х$.

Пример 2

Неравенства $3x

Решение неравенств

Замечание 1

Основной способ решения неравенств $1$-й степени с одним неизвестным сводится к преобразованию данного неравенства к виду $x $, $\le$ или $\ge$), где некоторое число $c$ и является искомым решением.

Рассмотрим решение неравенств с помощью равносильных преобразований.

Алгоритм решения неравенств $1$-й степени с одним неизвестным $ax+b $, $\le$, $\ge$) при $a \ne 0$:

1. Число $b$ нужно перенести в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный, что позволит перейти к равносильному неравенству $ax $, $\le$, $\ge$).
2. Разделить обе части равносильного неравенства на число $a$. В таком случае при положительном a знак неравенства сохранится, при отрицательном $a$ знак неравенства меняется на противоположный. В итоге получают неравенство, которое равносильно исходному неравенству первой степени.

Пример 3

Решить неравенство $4x-7 \ge 0$.

Решение.

Согласно алгоритму решения неравенств:

1. Перенесем $–7$ в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный. Получим $4x \ge 7$.
2. Выполнив деление обеих частей неравенства $4x \ge 7$ на положительное число $4$ (знак неравенства остается прежним), получим $4x:4 \ge 7:4$, т.е. $x \ge \frac{7}{4}$.

Ответ часто записывают в виде числового промежутка $[\frac{7}{4}, +\infty)$.

Краткая запись решения данного неравенства:

$4x-7 \ge 0$;

$4x \ge 7$;

$x \ge \frac{7}{4}$.

Ответ: $x \ge \frac{7}{4}$ или $[\frac{7}{4}, +\infty)$.

Пример 4

Решить неравенство $-3,8y

Решение.

Согласно алгоритму решения неравенств:

1. Свободный член неравенства отсутствует в явном виде, а значит равен нулю, поэтому переносить его в правую часть неравенства не нужно.
2. Выполнив деление обеих частей неравенства $-3,8y $»), получим $–3,8y:(-3,8) > 0:(-3,8)$, т.е. $y

Числовой промежуток $(-\infty; 0)$.

Краткая запись решения данного неравенства:

$-3,8y

$y

Ответ: $y

Пример 5

Решить неравенство $-6z+\frac{3}{8} > 0$.

Решение.

Согласно алгоритму решения неравенств:

1. Перенесем $\frac{3}{8}$ в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный. Получим $-6z > -\frac{3}{8}$.
2. Выполнив деление обеих частей неравенства $-6z > -\frac{3}{8}$ на отрицательное число $–6$ (знак неравенства останется прежним), получим $(-6z):(-6) > (-\frac{3}{8}):(-6)$, т. е. $z

Числовой промежуток $(-\infty; \frac{1}{16})$.

Краткая запись решения данного неравенства:

$-6z+\frac{3}{8} > 0$;

$-6z > -\frac{3}{8}$;

$z

$z

Ответ: $z

В случае a=0 алгоритм решения неравенствf 1-й степени с одним неизвестным $0 \cdot x+b $, $\le$, $\ge$):

Рассматривается числовое неравенство $b $, $\le$, $\ge$):

• если оно правильное, то решение неравенства – любое из действительных чисел;
• если оно неправильное, то неравенство не имеет решений.

Пример 6

Решить неравенство $0 \cdot z-11

Решение.

Рассмотрим неравенство $-11

Ответ: любое из действительных чисел или $(−\infty, +\infty)$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29.06.2022

Выполнение любых типов работ по математике

Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

Подбор готовых материалов по теме

Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

Наименьшее решение неравенства | Алгебра

Задания, в которых требуется найти наименьшее решение неравенства, а также наименьшее целое или наименьшее натуральное решение неравенства, в курсе алгебры впервые встречаются при изучении темы «Линейные неравенства».

  Рассмотрим на примерах решение такого рода задач.  

1) Найти наименьшее решение неравенства

   

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей, равный 12:

   

При умножении на положительное число знак неравенства не изменяется:

   

Раскрываем скобки:

   

Упрощаем:

   

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

   

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом:

   

При делении на положительное число знак неравенства не изменяется:

   

   

Наименьшее значение неравенства равно -3,4 (неравенство нестрогое, поэтому -3,4 входит в множество решений). Для большей наглядности решение неравенства можно изобразить на числовой прямой:

Ответ: -3,4.

2) Назвать наименьшее решение неравенства:

   

Первые скобки раскроем по формуле квадрата суммы. Перед произведением двух скобок стоит знак «минус», поэтому, чтобы не допустить ошибки в знаках, лучше сначала выполнить умножение, а уже потом раскрыть скобки, изменив знак каждого слагаемого на противоположный:

   

   

   

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:

   

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом

   

При делении на положительное число знак неравенства не изменяется:

   

Решением данного неравенства является любое число, большее 3:

Но наименьшего решения неравенство не имеет — 3 не входит в решение, так как неравенство строгое, а любое другое число, большее 3, наименьшим решением не является.

Ответ: неравенство наименьшего решения не имеет.

3) Найти наименьшее целое решение неравенства:

   

Обе части неравенства умножаем на наименьший общий знаменатель 30:

   

   

Раскрываем скобки и упрощаем:

   

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

   

   

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 21 — положительное число, знак неравенства не изменяется:

   

Наименьшим целым решением данного неравенства является x=2 (так как неравенство нестрогое, 2 входит в множество решений).

Ответ: 2.

4) Найти наименьшее натуральное решение неравенства:

   

Упрощаем:

   

   

   

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

   

Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом:

   

При делении на отрицательное число знак неравенства изменяется на противоположный:

   

   

Наименьшим натуральным решением этого неравенства является x=1.

Ответ: 1.

Рубрика: Линейные неравенства | Комментарии

Решение неравенств — Математика GCSE

Здесь мы узнаем о решении неравенств, в том числе о том, как решать линейные неравенства, определять целые числа в наборе решений и представлять решения на числовой прямой.

Существуют также листы решения неравенств, основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.

Что такое решение неравенств?

При решении неравенств мы вычисляем значения, которые неизвестная переменная может принимать в неравенстве.

Решение неравенств похоже на решение уравнений, но если уравнение имеет единственное решение, неравенство имеет ряд решений.

Для этого нам нужно сбалансировать неравенство так же, как при решении уравнения. Решения могут быть целыми или десятичными, положительными или отрицательными числами.

Что такое решение неравенств?

Решение уравнения

Решить

\[\begin{align} 2x+1&=9\\ 2x&=8\\ х&=4 \end{aligned}\]

4 — единственное решение этого уравнения.

2 × 4 + 1 = 9

Решение неравенства

Решить

\[\begin{aligned} 2x+1&<9\\ 2x&<8\\ х&<4 \end{aligned}\]

x может быть любым значением меньше 4

Умножение и деление на отрицательное число

Это изменяет направление знака неравенства

.

\[\begin{выровнено} 1 – 2x&< 9\\ -2x&< 8\\ х&>-4 \end{aligned}\]

x может быть любым значением больше -4

Как решать неравенства

Чтобы решить неравенства:

1. Переставьте неравенство так, чтобы все неизвестные оказались на одной стороне знака неравенства.
2. Измените неравенство, разделив его на коэффициент x так, чтобы «x» был изолирован.
3. Запишите решение, используя символ неравенства.

Как решать неравенства

Лист решения неравенств

Получите бесплатный лист решения неравенств, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Икс

Рабочий лист по решению неравенств

Получите бесплатный рабочий лист по решению неравенств, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Связанные уроки по неравенствам

Решение неравенств является частью нашей серии уроков по пересмотру неравенств . Возможно, вам будет полезно начать с основного урока о неравенстве, чтобы получить краткое изложение того, чего ожидать, или использовать пошаговые руководства ниже для получения более подробной информации по отдельным темам. Другие уроки этой серии включают:

• Неравенства
• Неравенства на числовой прямой
• Квадратные неравенства
• Неравенства на графике

Примеры решения линейных неравенств

Пример 1: решение линейных неравенств

Решить

4x+6 < 26

1. Переставьте неравенство так, чтобы все неизвестные находились по одну сторону от знака неравенства.

В этом случае вы вычитаете «6» с обеих сторон.

\[\begin{выровнено} 4x+6&<26\\ 4x&<20\\ \end{выровнено}\]

2 Измените неравенство, разделив его на коэффициент x так, чтобы «x» был изолирован.

В этом случае вам нужно разделить обе части на 4 .

\[\begin{выровнено} 4x+6&<26\\ 4x&<20\\ х&<5 \end{aligned}\]

3 Запишите свое решение со знаком неравенства.

х < 5

Любое значение меньше 5 удовлетворяет неравенству

Пример 2: решение линейных неравенств

Решить

5x-4\geq26

Переставьте неравенство так, чтобы все неизвестные находились по одну сторону от знака неравенства.

В этом случае вам нужно добавить «4» с обеих сторон.

\[\begin{выровнено} 5x-4&\geq26\\ 5x&\geq30\\ \end{aligned}\]

Измените неравенство, разделив его на коэффициент x так, чтобы ‘x’ было изолировано.

В этом случае вам нужно разделить обе части на 5 .

\[\begin{выровнено} 5x-4&\geq26\\ 5x&\geq30\\ х&\geq6\\ \конец{выровнено}\]

Запишите свое решение со знаком неравенства.

х\geq6

Любое значение больше или равное 6 удовлетворяет неравенству

Пример 3: решение линейных неравенств со скобками

Решить

3(x-4)\leq12

Переставьте неравенство так, чтобы все неизвестные находились по одну сторону от знака неравенства.

Начнем с расширения кронштейна

3x-12\leq12

Затем нам нужно добавить «12» к обеим сторонам.

\[\begin{выровнено} 3x-12&\leq12\\ 3x&\leq24\\ \end{aligned}\]

Измените неравенство, разделив его на коэффициент x так, чтобы ‘x’ было изолировано.

В этом случае вам нужно разделить обе части на 3 .

\[\begin{выровнено} 3x-12&\leq12\\ 3x&\leq24\\ х&\leq8\\ \end{aligned}\]

Запишите свое решение со знаком неравенства.

х\leq8

Любое значение меньше или равное 8 удовлетворяет неравенству

Пример 4: решение линейных неравенств с неизвестными с обеих сторон

Решить

5х — 6 > 2х + 15

Переставьте неравенство так, чтобы все неизвестные находились по одну сторону от знака неравенства.

В этом случае вам нужно вычесть «2x» с обеих сторон.

\[\begin{выровнено} 5x-6&>2x+15\\ 3x-6&>15\\ \end{aligned}\]

Переставьте неравенство так, чтобы ‘x’ s находились по одну сторону от знака неравенства, а числа по другую.

В этом случае вам нужно добавить «6» с обеих сторон.

\[\begin{выровнено} 3x-6&>15\\ 3x&>21\\ \end{aligned}\]

Измените неравенство, разделив его на коэффициент x так, чтобы ‘x’ было изолировано.

В этом случае вам нужно разделить обе части на 3 .

\[\begin{выровнено} 3x&>21\\ х&>7\\ \end{aligned}\]

Запишите свое решение со знаком неравенства.

х > 7

Любое значение больше 7 удовлетворяет неравенству

Пример 5: решение линейных неравенств с дробями

Решить

\фракция{х+3}{5}<2

Переформулируйте неравенство, чтобы исключить знаменатель.

В этом случае вам нужно обе стороны умножить на 5 .

\[\begin{выровнено} \фракция{х+3}{5}<2\\ х+3&<10\\ \end{aligned}\]

Переставьте неравенство так, чтобы «x» были с одной стороны от знака неравенства, а числа — с другой.

В этом случае нужно вычесть «3» с обеих сторон

\[\begin{aligned} \фракция{х+3}{5}<2\\ х+3&<10\\ х&<7\\ \end{aligned}\]

Запишите свое решение со знаком неравенства.

х < 7

Любое значение меньше 7 удовлетворяет неравенству

Пример 6: решение линейных неравенств – нецелочисленные решения

Решить

6x+1\geq4

Переставьте неравенство так, чтобы все неизвестные находились по одну сторону от знака неравенства.

В этом случае вам нужно вычесть «1» с обеих сторон.

\[\begin{выровнено} 6x+1&\geq4\\ 6x&\geq3\\ \end{aligned}\]

Измените неравенство, разделив его на коэффициент x так, чтобы ‘x’ было изолировано.

В этом случае вам нужно разделить обе части на 6 .

\[\begin{выровнено} 6x+1&\geq4\\ 6x&\geq3\\ х&\geq\frac{3}{6}\\ \end{aligned}\]

Можно упростить до \frac{1}{2} или десятичного эквивалента.

Запишите свое решение со знаком неравенства.

х\geq\frac{1}{2}

Любое значение меньше \frac{1}{2} удовлетворяет неравенству

Пример 7: решение линейных неравенств и представление решений на числовой прямой

Представление решения на числовой прямой

2x — 7 < 5

Переставьте неравенство так, чтобы x с были по одну сторону от знака неравенства, а числа по другую.

В этом случае вам нужно добавить «7» с обеих сторон.

\[\begin{выровнено} 2x-7&<5\\ 2x&<12\\ \end{aligned}\]

Измените неравенство, разделив его на коэффициент x так, чтобы ‘x’ было изолировано.

В этом случае вам нужно разделить обе части на 2 .

\[\begin{выровнено} 2x-7&<5\\ 2x&<12\\ х&<6\\ \end{aligned}\]

Представьте свое решение в числовой строке.

х <6

Любое значение меньше 6 удовлетворяет неравенству. Незакрашенный кружок требуется на 6, а значение ниже 6 указано стрелкой.

Пример 8: решение линейных неравенств с отрицательными коэффициентами x

Решить

1 — 2x <7

Переставьте неравенство так, чтобы x с были по одну сторону от знака неравенства, а числа по другую.

В этом случае вам нужно вычесть «1» с обеих сторон.

\[\begin{выровнено} 1 – 2х&<7\ – 2х&<6\ \end{aligned}\]

Измените неравенство, разделив его на коэффициент x так, чтобы ‘x’ было изолировано.

В этом случае вам нужно разделить обе части на минус 2 .

\[\begin{выровнено} 1 – 2х&<7\ – 2x&<6\\ х&◯ -3 \\ \end{aligned}\]

Изменить направление знака неравенства.

Поскольку вы делите на отрицательное число, вам также необходимо изменить направление знака неравенства.

х > -3

Пример 9: решение линейных неравенств и перечисление целочисленных значений, удовлетворяющих неравенству

Перечислите целочисленные значения, удовлетворяющие

3<х+1\leq8

Переставьте неравенство так, чтобы все неизвестные находились по одну сторону от знака неравенства.

В этом случае вам нужно вычесть «1» из каждой части.

\[\begin{выровнено} 3<х+1\leq8\\ 2<х\leq7\\ \end{aligned}\]

Перечислите целочисленные значения, удовлетворяющие неравенству.

2

2 не входит в комплект растворов. 7 входит в набор решений. Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству:

3, 4, 5, 6, 7

Пример 10: решение линейных неравенств и перечисление целочисленных значений, удовлетворяющих неравенству

Перечислите целочисленные значения, удовлетворяющие

7\leq4x\leq20

Переставьте неравенство так, чтобы все неизвестные находились по одну сторону от знака неравенства.

В этом случае вам нужно разделить каждую часть на «4».

\[\begin{выровнено} 7\leq4 х \leq20\\ \frac{7}{4}\leq x \leq5\\ \end{aligned}\]

Перечислите целочисленные значения, удовлетворяющие неравенству.

\frac{7}{4} \leq x \leq5

\frac{7}{4} включено в набор решений, но не является целым числом. Первое целое число выше — «2». 5 также входит в набор решений. Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству:

2, 3, 4, 5

Пример 11: решение линейных неравенств и представление решения на числовой прямой

Перечислите целые числа, удовлетворяющие

-3<2x+5\leq7

Переставьте неравенство так, чтобы все неизвестные находились по одну сторону от знака неравенства.

В этом случае вам нужно вычесть «5» из каждой части.

\[\begin{выровнено} -3<2x+5\leq7\\ -8<2x\leq2\\ \end{aligned}\]

Измените неравенство так, чтобы ‘x’ изолирован. В этом случае вам нужно разделить каждую часть на 2.

\[\begin{aligned} -3<2x+5\leq7\\ -8<2x\leq2\\ -4<х\leq1\\ \end{aligned}\]

Представление набора решений в числовой строке

-4

-4 не входит в набор решений, поэтому требуется открытый кружок. 1 включен в набор решений, поэтому требует замкнутого круга. Поместите сплошную линию между кружками, чтобы обозначить все значения, удовлетворяющие набору решений.

Распространенные заблуждения

• Решения в виде неравенств

Отсутствие в решении символа неравенства является распространенной ошибкой. Неравенство имеет диапазон значений, которые ему удовлетворяют, а не единственное решение, поэтому символ неравенства необходим

Напр.

При решении x + 3 < 7 давать решение «4» или «x = 4» неверно, ответ следует записать в виде неравенства «x < 4»

• Уравновешивающие неравенства

Ошибки могут быть сделаны при решении уравнений и неравенств, если не применять обратные операции или не уравновешивать неравенства. Работа должна быть показана пошагово с применением обратных операций к обеим частям неравенства.

При решении x + 3 < 7 , прибавляя «3» к обеим сторонам, а не вычитая «3» из обеих сторон

Практика решения вопросов неравенства

3x < 24

\begin{align} 3x+7&<31\\ 3x&<24\\ х&<8 \end{выровнено}

х\geq7

\begin{выровнено} 4x-3&\geq25\\ 4x&\geq28\\ х&\geq7\\ \end{выровнено}

x\leq-1

x\leq9

\begin{выровнено} 2(x-5)&\leq8\\ 2x-10&\leq8\\ 2x&\leq18\\ х&\leq9\\ \end{выровнено}

x < 3,5

x\leq3

\begin{выровнено} 6x-5&>4x+1\\ 2x-5&>1\\ 2x&>6\\ х&>3\\ \end{выровнено}

x\leq3

\begin{выровнено} \фракция{х-4}{2}>6\\ х-4&>12\\ х&>16\\ \end{выровнено}

x\geq4

x\leq4

\frac{1}{4}

x\geq\frac{1}{4}

\begin{align} 8x+1&\geq3\\ 8x&\geq2\\ х&\geq\frac{2}{8}\\ х&\geq\frac{1}{4}\\ \end{выровнено}

\begin{выровнено} 5x-2&<28\\ 5x&<30\\ х&<6\\ \end{выровнено}

Незакрашенный кружок обязателен, и указаны все значения меньше 6.

-х > 4

х<\frac{16}{3}

\begin{выровнено} 2- 3x&>14\\ -3x&>12\\ х&< 4\\ \end{выровнено}

Измените направление знака неравенства, разделив его на отрицательное число

\begin{выровнено} 2<х+3\leq5\\ -1<х\leq2\\ \end{выровнено}

-1 не включен в набор решений, так как больше -1 .
2 включается в набор решений, поскольку x меньше или равно 2 .

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

2, 3, 4, 5, 6

1, 2, 3, 4, 5, 6

2, 3, 4, 5, 6 , 7

\begin{выровнено} 4\leq3 х \leq21\\ \frac{4}{3}\leq x \leq7\\ \end{выровнено}

Первое целое число больше \frac{4}{3} равно 2 .
7 включен в набор решений, поскольку x меньше или равно 7 .

-2, -1, 0, 1

-1, 0, 1

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

\begin{выровнено} -4<3x+2\leq5\\ -6<3x\leq3\\ -2<х\leq1\\ \end{выровнено}

-2 не включен в набор решений, так как x больше -2.
1 включен в набор решений, поскольку x меньше или равен 1 .

Решение неравенств Вопросы GCSE

1. Решение Джона 2x + 5 > 17 показано на числовой прямой

Верно ли решение Джона?
Объясни свои рассуждения.

 

(2 балла)

Показать ответ

Правильно решает неравенство

(1)

Нет, верное решение с указанием причины x > 6

в числовой строке

(1)

2. (a) Решите 4x+1\leq3x-2
(b) Представьте свое решение (a) в числовой строке

 

(4 балла)

Показать ответ

(a)
Правильная попытка решения, например, устранение «x» . x+1\leq-2

(1)

Правильное решение x\leq-3

(1)

(b)
‘-3’ или их значение указывается в числовой строке знаком замкнутый кружок

(1)

Исправьте неравенство или их неравенство, показанное на числовой прямой замкнутым кружком, а значения в левой части кружка указаны стрелкой.

(1)

3. (a) Решите 5x – 1 > 9
(b) Запишите наименьшее целое число, удовлетворяющее условию 5x – 1 > 9

(a)
Правильная попытка решения: 5x> 10

(1)

Правильное решение: x> 2

(1)

(b)
Правильное решение: 3

(b)
. 1)

Контрольный список для обучения

Теперь вы научились:

• Решать неравенства
• Представлять свои решения в числовой прямой
• Выводить целочисленные значения, удовлетворяющие вашему неравенству

Все еще застряли?

Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.

Узнайте больше о нашей программе повторения GCSE по математике.

Решение неравенств

Решение неравенств похоже на решение уравнений в том смысле, что в обоих случаях вы будете пытаться решить для некоторой переменной x. Разница между ними заключается в том, что решение уравнений дает точное значение x, а решение неравенств дает диапазон значений, которым может быть равен x.

Как правило, вы не увидите знака не равно (≠). Знак не равно обычно используется, чтобы показать, что утверждение ложно. Например, 5 ≠ 9.

Для решения неравенств можно применить большинство тех же принципов, что и при решении уравнений. При решении неравенств ничего не меняется при сложении, вычитании или умножении и делении на положительное число:

Примеры

	→
	→
	→
	→

Однако при умножении на отрицательное число нужно перевернуть знак неравенства ( и наоборот; ≤ → ≥ и наоборот):

Также необходимо менять знак при переключении позиций выражений по обе стороны от неравенства. Обратите внимание, в какую сторону указывает «стрелка» неравенства.

Пример

.

	совпадает с
	то же, что и

Обратите внимание, что умножение или деление неравенства на переменную может быть проблематичным, если вы не знаете, является ли переменная строго положительной или отрицательной. Это связано с тем, что большинство переменных могут быть положительными или отрицательными, поэтому вы не сможете определить, нужно ли переворачивать неравенство. Это то, с чем вы, вероятно, столкнетесь при работе с рациональными неравенствами.

Пример

Если вы решаете уравнение, вы можете подумать, что было бы целесообразно разделить обе части на а, чтобы сократить их. Это верно для неравенств, где мы знаем, что переменная всегда положительна:

Для :

 → 

В этом случае мы не знаем, является ли a положительным или отрицательным. Следовательно, если a отрицательное, знак нужно поменять местами:

Для :

 → 

Между двумя ответами есть несоответствие, поэтому решения нет.

построение решения

Решение неравенства можно изобразить на числовой прямой. Обратите внимание, что здесь применяются те же правила для открытых и закрытых интервалов и графиков. При использовании оставьте конечные точки открытыми. При использовании символов ≤ или ≥ укажите конечные точки.

Пример

х

x ≥ 2:

неравенства с полиномами

При решении неравенств с полиномами нужно упростить неравенство так, чтобы одна сторона равнялась нулю. Это похоже на формат квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0. Приравняв одну часть неравенства к нулю, вы создадите отношение, в котором решение неравенства зависит от нулей многочлена.

Итак, первый шаг — найти нули функции. Для квадратичных вычислений вы можете факторизовать или использовать квадратичную формулу. Для более сложных многочленов вы также можете попытаться разложить их по группам или использовать синтетическое деление.

x ³ — 4x ² — 4x + 16 ≤ 0

x ² (x — 4) — 4 (x -4) ≤ 0

(x ² — 4)(x — 4) ≤ 0

(x + 2)(x — 2)(x — 4) ≤ 0

Нули при х = -2; 2; 4

После нахождения нулей выражения необходимо задать интервалы (на основе нулей), через которые вы будете проверять значения. Основная идея состоит в том, что функция не будет менять знак между двумя нулями, потому что кривая не может пересечь ось x (если между ними нет нулей).

Интервалы: (-∞, -2) ∪ (-2, 2) ∪ (2, 4) ∪ (4, ∞)

Затем создайте таблицу, в которой каждый столбец представляет собой заданный вами интервал, а каждая строка представляет собой одну из факторизованных частей многочлена. Нижняя строка будет целым полиномом.

В этой таблице второй столбец — это интервал (-∞, -2), третий — (-2, 2), четвертый — (2, 4) и последний столбец — (4, ∞).

	-∞ – -2	-2 – 2	2 – 4	4 – ∞
(х + 2)	—	+	+	+
(х — 2)	—	—	+	+
(х — 4)	—	—	—	+
(х + 2)(х — 2)(х — 4)	—	+	—	+

В приведенной выше таблице отрицательные и положительные значения указывают, будут ли значения в интервале положительными или отрицательными для данного выражения в соответствующей строке.