Произведено 8 независимых испытаний в каждом из которых вероятность: Повторение испытаний — ischanow.com

6. Повторение независимых испытаний. Схема Бернулли

Самой простой моделью повторения испытаний являются независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления некоторого события постоянна и равна . Тогда вероятность того, что в опытах событие появится ровно раз, определяется формулой Бернулли где

При больших вычисления по формуле Бернулли становятся громоздкими, и в этих случаях для вычисления вероятности появления события ровно раз в независимых испытаниях используется локальная теорема Лапласа ,

где

или формула Пуассона . Здесь

Можно рекомендовать пользоваться теоремой Лапласа, если , и формулой Пуассона, если .

Если требуется найти вероятность того, что в независимых испытаниях событие появится не менее , но не более чем раз, то используют формулы

,

, где ,

.

Для функций и составлены таблицы.

Значение , при котором вероятность принимает наибольшее значение, называется наивероятнейшим числом успехов.

, где – символ целой части числа.

Если – целое число, то принимает два значения.

, .

Пример 1. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,6. Какова вероятность того, что при четырех выстрелах будет ровно три попадания.

Решение. Воспользуемся формулой Бернулли. По условию задачи Следовательно,

Пример 2. Вероятность попадания в объект равна 0,75. Для разрушения объекта необходимо не менее трех попаданий. Произведено пять выстрелов. Какова вероятность того, что объект будет разрушен?

Решение. Вероятность события , состоящего в том, что объект будет разрушен, равна

Пример 3. Вероятность сбоя в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,012. Поступило 1000 вызовов. Какова вероятность 9 сбоев?

Решение. Так как число опытов велико и , то воспользуемся локальной  теоремой  Лапласа

По таблице находим

Окончательно

Пример 4. Вероятность выхода из строя за время одного конденсатора равна 0,2. Определить вероятность того, что за время из 100 конденсаторов выйдут из строя от 14 до 26 конденсаторов.

Решение. Для этой задачи математической моделью является схема Бернулли.

Здесь , , , .

Согласно теореме Муавра-Лапласа

,

Тогда

.

7. δ-функция и ее свойства

Пусть  – линейное пространство. Отображение , то есть правило, согласно которому всякому ставится в соответствие число, называется функционалом.

Функционал называется линейным, если для любых и любых чисел и

.

Всюду в дальнейшем в качестве линейного пространства будем понимать { , вблизи концов интервала}. То есть   –  это линейное пространство бесконечно дифференцируемых функций, определенных на интервале , тождественно равных нулю вблизи концов этого интервала. Действие функционала на функцию , будем записывать так:

.

а) Всякая кусочно-непрерывная функция порождает линейный функционал на

вида

.

б) .

Такой функционал, который любой функции ставит в соответствие значение этой функции в точке , называется —функцией.

По аналогии с а) действие —функции записывают в виде интеграла

Последнее равенство называют фильтрующим свойством -функции.

Производной функционала назовем функционал , действующий по правилу , .

Так как , то любой функционал имеет бесконечное количество производных и .

Отметим следующие свойства — функции:

Если – функция Хевисайда, то .

.

Равенство справедливо для любой функции .

.

В частности, при , .

Повторные независимые испытания Задачи с решениями

• Формула Бернулли.
• Формула Пуассона.
• Интегральная и локальная теоремы Муавра-Лапласа.
• Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях.
• Полиномиальная схема.
• Производящая функция.

---

Все задачи Бесплатные решения

Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.

а) Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4;

б) событие

В появится в случае, если событие А наступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено пять независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8.

Устройство состоит из трех независимо работающих основных элементов. Устройство отказывает, если откажет хотя бы один элемент. Вероятность отказа каждого элемента за время t равна 0,1. Найти вероятность безотказной работы устройства за время t, если: а) работают только основные элементы; б) включен один резервный элемент; в) включены два резервных элемента. Предполагается, что резервные элементы работают в том же режиме, что и основные, вероятность отказа каждого резервного элемента также равна 0,1 и устройство отказывает, если работает менее трех элементов.

В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной

0,51.

Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и две — правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

На отрезок АВ длины а наудачу брошено пять точек. Найти вероятность того, что две точки будут находиться от точки А на расстоянии, меньшем х, а три — на расстоянии, большем х. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Отрезок разделен на четыре равные части. На отрезок наудачу брошено восемь точек.

Найти вероятность того, что на каждую из четырех частей отрезка попадет по две точки. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.

Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.

Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.

Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.

Монета брошена 2N раз (

N велико!). Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно N раз.

Монета брошена 2N раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет на 2m раз больше, чем надпись.

Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р=0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.

Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 1470 и не более 1500 раз; б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз.

Вероятность появления события в каждом из 21 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится в большинстве испытаний.

Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что число выпадений «герба» будет заключено между числами и .

Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,9 можно было ожидать, что событие появится не менее 75 раз?

Вероятность появления положительного результата в каждом из n опытов равна 0,9. Сколько нужно произвести опытов, чтобы с вероятностью 0,98 можно было ожидать, что не менее 150 опытов дадут положительный результат?

Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04

.

Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.

Французский ученый Бюффон (XVIIIв.) бросил монету 4040 раз, причем «герб» появился 2048 раз. Найти вероятность того, что при повторении опыта Бюффона относительная частота появления «герба» отклонится от вероятности появления «герба» по абсолютной величине не более чем в опыте Бюффона.

Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.

Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы вероятность неравенства

была не меньше чем вероятность противоположного неравенства, где m — число появлений одного очка в n бросаниях игральной кости?

Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,2. Найти наименьшее число испытаний n, при котором с вероятностью 0,99 можно ожидать, что относительная частота появлений события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.

В урне содержатся белые и черные шары в отношении 4:1. После извлечения шара регистрируется его цвет и шар возвращается в урну. Чему равно наименьшее число извлечений n, при котором с вероятностью 0,95 можно ожидать, что абсолютная величина отклонения относительной частоты появления белого шара от его вероятности будет не более чем 0,01?

Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,8 не превысила ε.

Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0,77 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,5 не превысила ε.

Вероятность появления события в каждом из 10000 независимых испытаний равна 0,75. Найти такое положительное число ε, чтобы с вероятностью 0,98 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,75 не превысила ε.

Отдел технического контроля проверяет на стандартность 900 деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число m стандартных деталей среди проверенных.

Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,05. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет заключено число m бракованных изделий среди проверенных.

Игральную кость бросают 80 раз. Найти с вероятностью 0,99 границы, в которых будет заключено число m выпадений шестерки.

Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.

Stats: Биномиальные вероятности

Stats: Биномиальные вероятности

---

Биномиальный эксперимент

Биномиальный эксперимент — это эксперимент, который удовлетворяет этим четырем условиям.

• Фиксированное количество попыток
• Каждое испытание не зависит от других
• Есть только два исхода
• Вероятность каждого исхода остается постоянной от испытания к испытанию.

Их можно обобщить следующим образом: Эксперимент с фиксированным числом независимых испытаний, каждое из которых который может иметь только два возможных исхода.

Тот факт, что каждое испытание является независимым, на самом деле означает, что вероятности остаются постоянными.

Примеры биномиальных экспериментов

• Подбросив монету 20 раз, вы увидите, сколько выпадет решка.
• Опрос 200 человек, смотрят ли они новости ABC.
• Бросьте кубик, чтобы увидеть, выпадет ли 5.

Примеры, не являющиеся биномиальными экспериментами

• Бросание игральной кости до тех пор, пока не выпадет 6 (не фиксированное количество попыток)
• Спросить у 20 человек, сколько им лет (не два результата)
• Взятие 5 карт из колоды для покерной комбинации (выполняется без замены, поэтому не является независимым)

Биномиальная функция вероятности

Пример:

Какова вероятность того, что при 6 бросках игральной кости выпадет ровно две шестерки?

Есть пять вещей, которые вам нужно сделать, чтобы решить задачу биномиальной истории.

1. Сначала определите Успех. Успех должен быть для одного испытания. Успех = «Выпадение 6 на одном кубике»
2. Определить вероятность успеха (p): p = 1/6
3. Найти вероятность отказа: q = 5/6
4. Определить количество испытаний: n = 6
5. Определите количество успешных результатов этих испытаний: x = 2

Каждый раз, когда появляется шестерка, это успех (обозначается S), и каждый раз, когда появляется что-то еще, это успех. отказ (обозначается F). Способы, которыми вы можете получить ровно 2 успеха в 6 испытаниях, приведены ниже. Вероятность каждого написана справа от того, как это может произойти. Потому что испытания независимыми, вероятность события (все шесть игральных костей) равна произведению каждой вероятности каждого исход (умереть) 94.

Также обратите внимание, что 1/6 — это вероятность успеха, а вам нужно 2 успеха. 5/6 это вероятность неудачи, и если 2 из 6 испытаний были успешными, то 4 из 6 должны быть неудачными. Примечание что 2 — это значение x, а 4 — это значение n-x.

Обратите внимание, что это может произойти пятнадцатью способами. Это количество способов 2 успеха может происходить в 6 испытаниях без повторения и порядка, не важно, или в комбинации из 6 вещи, по 2 за раз. 94 = 210 * 0,015625 * 0,0625 = 0,205078125

Среднее значение, дисперсия и стандартное отклонение

Среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение биномиального распределения найти очень легко.

Другой способ запомнить дисперсию — это mu-q (поскольку np — это mu).

Пример:

Найдите среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение для количества шестерок, выпадающих при броске 30 кубиков.

Успех = «на одном кубике выпала шестерка». р = 1/6, д = 5/6.

Среднее значение равно 30 * (1/6) = 5. Дисперсия составляет 30 * (1/6) * (5/6) = 25/6. Стандартное отклонение квадратный корень из дисперсии = 2,041241452 (приблизительно)

---

Содержание

7.1. Биномиальная вероятность — математика для специалистов в области общественного здравоохранения и гигиены труда

В этом разделе мы рассмотрим типы задач, которые включают последовательность испытаний, где каждое испытание имеет только два результата: успех или неудачу. Эти испытания являются независимыми. То есть результат одного не влияет на результат любого другого испытания. Кроме того, вероятность успеха, p , а вероятность отказа (1 − p ) остается неизменной на протяжении всего эксперимента. Эти задачи называются задач на биномиальную вероятность . Поскольку эти проблемы были исследованы швейцарским математиком по имени Жак Бернулли около 1700 года, их также называют испытаниями Бернулли .

Даем следующее определение:

Биномиальный эксперимент : Биномиальный эксперимент удовлетворяет следующим четырем условиям:

1. В каждом испытании есть только два результата: успех или провал.
2. Один и тот же эксперимент повторяется несколько раз.
3. Испытания независимы; то есть результат конкретного испытания не влияет на результат любого другого испытания.
4. Вероятность успеха остается неизменной для каждого испытания.

 

Вероятностная модель, которую мы собираемся исследовать, даст нам инструменты для решения многих реальных проблем, подобных приведенным ниже.

1. Если монету подбросить 10 раз, какова вероятность того, что она выпадет орлом 3 раза?
2. Если баскетболист выполняет 3 из каждых 4 штрафных бросков, какова вероятность того, что он выполнит 7 из 10 штрафных бросков в игре?
3. Если лекарство излечивает 80 % людей, которые его принимают, какова вероятность того, что из 10 человек, принимающих это лекарство, вылечится 6?
4. Если производитель микрочипов утверждает, что только 4 % их чипов дефектны, какова вероятность того, что среди 60 выбранных чипов ровно три дефектны?
5. Если руководитель отдела телемаркетинга определил, что 15 % людей, с которыми свяжутся, купят продукт, какова вероятность того, что из 12 человек, с которыми свяжутся, 2 купят продукт?

Теперь рассмотрим следующий пример, чтобы вывести формулу для нахождения вероятности k успехов в n испытаниях Бернулли.

 

У бейсболиста средний показатель отбивания 0,300. Если в игре он бьет четыре раза, найдите вероятность того, что у него будет:

а. четыре попадания

b. три удара

c. два удара

d. один удар

e. нет совпадений.

Решение

Предположим, что S означает, что игрок получает удар, а F означает, что он не получает удар. Это биномиальный эксперимент, поскольку он удовлетворяет всем четырем условиям. Во-первых, исходов всего два: S или F 9.0124 . Ясно, что эксперимент повторяется четыре раза. Наконец, если мы предположим, что умение игрока получить удар не меняется каждый раз, когда он выходит на биту, то испытания независимы с вероятностью 0,3 получить попадание во время каждого испытания. Мы рисуем древовидную диаграмму, чтобы показать все ситуации.

Сначала найдем вероятность получить, например, два попадания. Нам придется рассмотреть шесть возможностей: SSFF, SFSF, SFFS, FSSF, FSFS, FFSS, как показано на приведенной выше древовидной диаграмме. Мы перечисляем вероятности каждого ниже.

P (SSFF) = (0,3)(0,3)(0,7)(0,7) = (0,3) ² (0,7) ²

P (SFSF) = (0,7)(0,3) 0,3)(0,7) = (0,3) ² (0,7) ²

P (SFFS) = (0,3)(0,7)(0,7)(0,3) = (0,3) ² (0,17) 90 2

P (FSSF) = (0,7)(0,3)(0,3)(0,7) = (0,3) ² (0,7) ²

P (FS)0,3 )(0,7)(0,3) = (0,3) ² (0,7) ²

P (FFSS) = (0,7)(0,7)(0,3)(0,3) = (0,3) ² (0,7) ²

Поскольку вероятность каждого из этих шести исходов равна (0,3) ² (0,7) ² , вероятность получения двух успехов 6(0,3) ² (0,7) ² .

Таким же образом можно получить вероятность получения одного попадания. Так как каждая перестановка имеет один S и три F , таких исходов четыре: SFFF, FSFF, FFSF и FFFS.

А поскольку вероятность каждого из четырех исходов равна (0,3)(0,7) ³ , вероятность одного попадания равна 4(0,3)(0,7) ³ .

В таблице ниже перечислены вероятности для всех случаев и показано сравнение с биномиальным разложением четвертой степени. Опять же, p обозначает вероятность успеха, а q = (1 − p ) вероятность неудачи.

Результат	Четыре удара	Три удара	Два удара	Одно попадание	Нет совпадений
Вероятность	(0,3) 4	4(0,3) 3 (0,7)	6(0,3) 2 (0,7) 2	4(0,3)(0,7) 3	(0,7) 4

 

Это дает нам следующую теорему:

Теорема о биномиальной вероятности :

The probability of obtaining k successes in n independent Bernoulli trials is given by:

P ( n , k ; p ) = n C kp ^k q ^{n – k}

, где p обозначает вероятность успеха, а q = (1 − p ) вероятность неудачи.

 

Мы используем приведенную выше формулу для решения следующих примеров.

 

Если монету подбросить 10 раз, какова вероятность того, что орел выпадет 3 раза?

Решение

Пусть S обозначает вероятность выпадения орла, а F вероятность выпадения решки.

Ясно, что n = 10, k = 3, p = 1/2 и q = 1/2.

Следовательно:

b (10, 3; 1/2) = 10C3(1/2) ³ (1/2) ⁷ = 0,1172

 

Если баскетболист выполняет 3 из каждых 4 штрафных бросков, какова вероятность того, что он выполнит 6 из 10 штрафных бросков в игре?

Решение

Вероятность выполнения штрафного броска равна 3/4. Следовательно, p = 3/4, q = 1/4, n = 10 и k = 6.

Отсюда: 10C6(3/4) ⁶ (1/4) ⁴ = 0,1460

 

Если лекарство излечивает 80% людей, которые его принимают, какова вероятность того, что из восьми человек, которые принимают это лекарство, вылечатся 5?

Решение

Здесь P = . 80, Q = .20, N = 8 и K = 5.

B (8, 5; .80) = 8C5 = 8C5 = 8C5. (0,80) ⁵ (0,20) ³ = 0,1468

 

Если производитель микрочипов утверждает, что только 4 % его микросхем дефектны, какова вероятность того, что среди 60 выбранных микросхем ровно три неисправны?

Решение

Если S обозначает вероятность дефекта микросхемы, а F вероятность того, что микросхема не дефектна, то p = 0,04, q = 0,93, = 60 и k = 3.

b (60, 3; .04) = 60C3(.04) ³ (.96) ⁵⁷ = .2138

 

Если руководитель отдела телемаркетинга определил, что 15% людей, с которыми свяжутся, купят продукт, какова вероятность того, что из 12 человек, с которыми свяжутся, 2 купят продукт?

Решение

Если S обозначает вероятность того, что человек купит продукт, а F вероятность того, что человек не купит продукт, то p = 0,15, q = . 85, n = 12 и k = 2.

b(12, 2; .15) = 12C2(.15) ² (.85) ¹⁰ = .2924.

 

1. Какова вероятность выпадения трех единиц, если игральная кость подбрасывается пять раз?

2. Баскетболист с вероятностью 80% забивает корзину при штрафном броске. Какова вероятность того, что он утонет при пяти штрафных бросках:

а. Только одна корзина?

а. Три корзины?

в. Минимум три корзины?

3. Если лекарство излечивает 75% людей, которые его принимают, какова вероятность того, что из 30 человек, которые принимают это лекарство:

а. 25 вылечат?

б. 26 вылечат?

в. 27 вылечат?

д. Хотя бы 25 вылечат?

4. Канадское агентство по надзору за пищевыми продуктами (CFIA) обнаружило, что 5% импортируемых в Канаду специй заражены патогенными пищевыми бактериями.