Пропорция уравнение: § Как решать уравнения с пропорцией

Содержание

Уравнение пропорции. Решить уравнение пропорцией.

  • Альфашкола
  • Статьи
  • Как решать уравнения с помощью пропорции?

Существует правило для решения уравнений пропорцией. Вспомним основное свойство пропорции:

Напомним, что такое крайние и средние члены пропорции:


Пример 1.  Найдите \(x\) из уравнения:

Решение:

\(\frac{x}{12} =\frac{2}{6} \)

Переможим крест накрест:

\(x*6=12*2\)

\(6x=24\)

\(x = 24:6\)

\(x =4\)

Ответ: \(x=4 \).


Пример 2.  Найдите \(x\) из уравнения: 

\(\frac{1}{5} =\frac{7}{x} \)

\(1*x=5*7\)

\(x=35\)

Ответ: \(x=35.

\).

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Елена Александровна Волынкина

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

ГОУ ВПО Самарский государственный педагогический университет, Куйбышевское педагогическое училище №1

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Я учитель начальных классов с 30-ти летним стажем. Могу помочь ребенку освоить предметы: математику, русский язык, литературное чтение, окружающий мир за курс начальной школы. А также закрепить знания, полученные в школе, наверстать пропущенный материал, подтянуть качество знаний по предметам с 1-4 класс и по математике, по русскому языку 5 класс. Подготовиться к ВПР по предметам за курс начальной школы и за 5 класс по русскому языку и математике.. Мой принцип работы: «Если хочешь, чтобы скорее расцвел цветок, не раскрывай насильно его лепестки, а создай условия, при которых он сам распустится.» Л.Н.Толстой.

Павел Юрьевич Осиновой

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Нижнетагильский государственный социально-педагогический институт (филиал) ФГАОУ ВО

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике 7-11 класс, высшая математика. Помогу ликвидировать пробелы в знаниях, систематизировать знания, закрепить пройденные темы, повысить успеваемость, успешно подготовиться к тестам, контрольным, ВПР/ГВЭ/ОГЭ/ЕГЭ с желаемым результатом. Расскажу о математике просто и интересно. Для меня важно объяснить, что математика – не заумные формулы и теоремы, а интереснейшая наука, имеющая прикладное применение в повседневной жизни, развивающая логическое мышление, поражающая своей научной строгостью и красотой.

Наталья Юрьевна Заморникова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов.

Я люблю математику за её универсальность. Она превосходит языки, литературу, искусство. Математические законы непреложны, и при этом каждая задача несет в себе что-то новое. По-моему, это особый вид магии!

Похожие статьи

  • Умножения и деление отрицательных чисел
  • Определенный интеграл
  • Биография Ломоносова Михаила Васильевича(Часть 1)
  • Факультет Психологии МГУ: экзамены, ЕГЭ, проходной балл
  • Площадь параллелограмма
  • ОГЭ по математике, базовый уровень. Алгебраические дроби
  • Сезон аллергии: как распознать и как спасаться
  • Остаться или уйти после 9 класса: преимущества и недостатки каждого решения

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Как решать пропорции — правила, методы и примеры вычислений

Математические операции необходимы не только для расчета каких-либо величин в научной сфере и во время учебы, но и в повседневной жизни. Многие люди сталкиваются с пропорциями. Решать их несложно, но если не знать свойств и правил, можно выполнить неверные вычисления. Специалисты рекомендуют получить теоретические знания, а затем перейти к их практическому применению.

Содержание

  • Общие сведения
    • Сферы применения
    • Основные свойства
  • Методика исследования
  • Универсальный алгоритм
  • Уравнения с пропорцией
  • Пример решения

Общие сведения

Изучение какого-либо термина в математике начинается с определения. Пропорцией вида x / y = v / z (x: y = v: z) называется равенство отношений двух чисел. Она представлена в виде правильной дроби, и состоит из следующих элементов, которые называются крайними (x и z) и средними (y и v) членами.

Следует отметить, что в некоторых сферах пропорциональная зависимость может быть представлена в немного другом виде. В этом случае знак равенства не указывается. Для удобства используется символ деления «:». Записывается в таком виде: a: b: c. Объяснение такой записи очень простое: для приготовления какого-либо вещества нужно использовать «а» частей одного компонента, b — другого и с — третьего.

Знак равенства не имеет смысла указывать, поскольку этот тип пропорциональной зависимости является абстрактным. Неизвестно, какой результат получится на выходе. Если взять за единицу измерения массу в кг, то и конечный результат получится в кг. В этом случае решать пропорцию не нужно — достаточно просто подставить данные, и получить результат.

Бывают случаи, когда следует посчитать пропорцию в процентах. Пример — осуществление некоторых финансовых операций.

Сферы применения

Пропорция получила широкое применение в физике, алгебре, геометрии, высшей и прикладной математике, химии, кулинарии, фармацевтике, медицине, строительстве и т. д. Однако ее нужно применять только в том случае, когда элементы соотношения не подчиняются какому-либо закону (методика исследования величин такого типа будет рассмотрена ниже), и не являются неравенствами.

В алгебре существует класс уравнений, представленных в виде пропорции. Они бывают простыми и сложными. Для решения последних существует определенный алгоритм. Кроме того, в геометрии встречается такие термин, как «гомотетия» или коэффициент подобия. Он показывает, во сколько раз увеличена или уменьшена фигура относительно оригинала.

Масштаб в географии является также пропорцией, поскольку он показывает количество см или мм, которые содержатся в какой-либо единице, зависящей от карты (например, в 1 см = 10 км). Специалисты применяютправило пропорции в высшей и прикладной математике. Расчет количества реактивов, вступающих в реакцию, для получения другого вещества применяется также пропорциональная зависимость.

Каждая хозяйка также применяет это соотношение для приготовления различных блюд и консерваций. В этом случае пропорция имеет немного другой вид: 1:2. Все компоненты берутся частями с одинаковыми размерностями или единицами измерения. Например, на 1 кг клубники необходимо 2 кг сахара. Расшифровывается такое соотношение следующим образом: 1 часть одного и 2 части другого компонентов.

В фармацевтике она также применяется, поскольку необходимо очень точно рассчитать массовую долю для каждого компонента лекарственного препарата. В медицине используется пропорциональная зависимость для назначения лекарства больному, дозировка которого зависит от массы тела человека.

Для приготовления различных строительных смесей она также используется, однако у нее такой же вид, как и для кулинарии. Например, для приготовления бетона М300 необходимы такие компоненты: цемент (Ц), щебень (Щ), песок (П) и вода (В). Далее следует воспользоваться таким соотношением, в котором единицей измерения является ведро: 1: 5: 3: 0,5. Запись расшифровывается следующим образом: для приготовления бетонной смеси необходимо 1 ведро цемента, 5 щебня, 3 песка и 0,5 воды.

Основные свойства

Для решения различных задач нужно знать основные свойства пропорции. Они действуют только для соотношения x / y = v / z. К ним можно отнести следующие формулы:

  • Обращение или обратное пропорциональное соотношение: [x / y = v / z] = [y / x = z / v].
  • Перемножение «крест-накрест»: x * z = y * v.
  • Перестановка: x / v = y / z и v / x = z / y.
  • Увеличение или уменьшение: x + у / y = v + z / z и x — у / y = v — z / z.
  • Составление через арифметические операции сложения и вычитания: (x + v) / (y + z) = x / y = v / z и (x — v) / (y — z) = x / y = v / z.
  • Первое свойство позволяет перевернуть правильные дроби соотношений двух величин. Это следует делать одновременно для левой и правой частей. Умножение по типу «крест-накрест» считается главным соотношением. С помощью его решаются уравнения и упрощаются выражения, в которых нужно избавиться от дробных частей. Найти неизвестный член пропорции можно также с помощью второго свойства, формулировка которого следующая: произведение крайних эквивалентно произведению средних элементов (членов).

    Очень часто члены соотношения необходимо переставить для оптимизации вычислений. Для этого применяется свойство перестановки. При этом следует внимательно подставлять значения в формулу, поскольку неправильные действия могут существенно исказить результат решения. Этого можно не заметить. Для осуществления проверки следует подставить значение неизвестной в исходную пропорцию. Если равенство соблюдается, то получен верный результат. В противном случае необходимо найти ошибку или повторить вычисления.

    Увеличение или уменьшение пропорции следует производить по четвертому свойству. Основной принцип: равенство сохраняется в том случае, когда уменьшение или увеличение числителя происходит на значение, которое находится в знаменателе. Нельзя отнимать от пропорции (от числителя и знаменателя равные числовые значения), поскольку соотношение не будет выполняться. Это является распространенной ошибкой, которая влечет за собой огромные погрешности при расчетах или неверное решение экзаменационных заданий.

    Составить пропорцию можно с помощью вычитания и сложения. Этот прием применяется редко, но в некоторых заданиях может использоваться. Суть его заключается в следующем: отношение суммы крайнего и среднего элемента к суммарному значению других крайнего и среднего членов, которое равно отношению крайнего к среднему значению. Однако не ко всем выражениям можно применять свойства пропорции. Следует рассмотреть методику их определения.

    Методика исследования

    Пропорция применима только к линейным законам изменения величин. Примером этого является поведение простой тригонометрической функции z = sin (p). Величина «z» — зависимая переменная, которая называется значением функции. Переменная «p» — независимая величина или аргумент. В данном контексте она принимает значения углов в градусах. Для демонстрации того, что пропорция «не работает» необходимо подставить некоторые данные.

    Кроме того, нужна таблица значений тригонометрических функций некоторых углов. (½)] / 2. Полученное значение не равно 1. Причина несоответствия — нелинейность функции. Математики для облегчения вычислений предлагают методику определения нелинейных выражений. Она состоит из следующих положений:

  • Записать функцию.
  • Рассмотреть составные части.
  • Если простой тип, перейти к 5 пункту.
  • Сложная — разложить на простые элементы, а затем перейти к 5 пункту.
  • Определить тип зависимости ее значения от аргумента: линейная или нелинейная. Если получен второй тип, то свойства пропорции применить невозможно.
  • Определить тип линейности, построив график.
  • По таким правилам были исследовано огромное количество функций. К нелинейным относятся следующие: прямые и обратные тригонометрические, гиперболические, показательные, логарифмические и сложные математические, состоящие из нелинейных зависимостей.

    К прямым тригонометрическим относятся sin (p), cos (p), tg (p) и ctg (p), а к обратным — arcsin (p), arccos (p), arctg (p) и arcctg (p). y, а логарифмической — функция, имеющая операцию логарифмирования. Простые линейные могут объединяться с нелинейными. В таких случаях правило пропорции также не соблюдается.

    Универсальный алгоритм

    Алгоритм позволяет решать уравнения, и найти неизвестный член пропорции. Для его реализации следует знать теорию о пропорциях, и методику обнаружения нелинейных функций. Он состоит из нескольких шагов, которые помогут правильно вычислить необходимую величину:

  • Записать соотношение пропорции.
  • Проанализировать выражение в пункте под первым номером на наличие нелинейных функций и составляющих.
  • Применить свойство умножения «крест-накрест».
  • Перенести неизвестные в левую сторону, а известные — в правую. Необходимо обратить внимание на знаки: умножение — деление, сложение — вычитание и положительная величина становится отрицательной.
  • Решить уравнение.
  • Существуют различные приложения, позволяющие решить пропорцию. Онлайн-калькулятор позволяет вычислить неизвестный компонент очень быстро. Кроме того, результат вычислений отображается после проведения расчетов. Для реализации последнего пункта необходимо рассмотреть некоторые типы равенств с неизвестными.

    Уравнения с пропорцией

    Существуют уравнения в виде обыкновенной дроби, в которых необходимо найти неизвестную величину. Для этого нужно рассмотреть основные их виды:

  • Линейные.
  • Квадратные.
  • Кубические.
  • Биквадратные.
  • Различаются они степенным показателем. У первого типа степень переменной соответствует 1, второго — двойке, третьего — тройке и четвертого — четверке. При решении таких типов нужно выписать знаменатели отдельно, и решить их. Такие корни не являются решением исходной пропорции, поскольку знаменатели должны быть отличны от нулевого значения.

    Решение линейного типа сводится к применению правила «крест-накрест». После чего нужно руководствоваться четвертым пунктом универсального алгоритма. (½)) / 2a.

  • При D равном 0 (один): р = (-b) / 2a.
  • Если D < 0, то решений нет.
  • Решение уравнений кубического и биквадратного видов сводятся к разложению на множители. В результате этого происходит понижение степени до двойки. Кроме того, эффективным методом нахождения корней считается введение замены переменной.

    Пример решения

    Решение уравнений в виде пропорции осуществляется по такому же принципу. При этом рекомендуется использовать любые свойства. Необходимо проходить процесс обучения постепенно. Начинать нужно с простых примеров, а затем практиковаться на сложных заданиях. Первый тип был рассмотрен выше на примере sin (p).

    Итак, необходимо решить уравнение [(t — 5) / (t — 2)] = [(t — 5) / (t — 1)]. Для начала следует определить тип функций каждого из элементов. Просмотрев список нелинейных выражений, можно сделать вывод о том, что все члены пропорции являются линейными. Далее нужно решить равенства с неизвестными, находящихся в знаменателях: t1 = 2 и t2 = 1. Корни не являются решениями уравнения.

    Затем следует воспользоваться третьим пунктом алгоритма: (t — 5)(t — 1) = (t — 2)(t — 5). Если раскрыть скобки, то должно получиться такое равенство: t 2 — t — 5t + 5 =t 2 -5t -2t + 10. Перенести все слагаемые в левую сторону с противоположными знаками: t 2 — t — 5t + 5 + 5t — t 2 — 10 + 2t = 0. Приведя подобные слагаемые, выражение будет иметь такой вид: t = 5. Решением пропорции является значение t = 5.

    Таким образом, для решения пропорций необходимо знать основные свойства, определение типа выражения по методике и алгоритм расчета.

    Предыдущая

    МатематикаФормула дискриминанта — правила и примеры вычисления корней квадратных уравнений

    Следующая

    МатематикаТочки разрыва функции — алгоритмы и примеры решения

    ЗОЛОТАЯ ПРОПОРЦИЯ.

    НОВЫЙ ВЗГЛЯД | Наука и жизнь

    Наука и жизнь // Иллюстрации

    Наука и жизнь // Иллюстрации

    Наука и жизнь // Иллюстрации

    Наука и жизнь // Иллюстрации

    Наука и жизнь // Иллюстрации

    Наука и жизнь // Иллюстрации

    Наука и жизнь // Иллюстрации

    Наука и жизнь // Иллюстрации

    Наука и жизнь // Иллюстрации

    Наука и жизнь // Иллюстрации

    Наука и жизнь // Иллюстрации

    Открыть в полном размере

    Золотую пропорцию в школе не «проходят». И когда один из авторов предлагаемой ниже статьи (кандидат технических наук В. Белянин) рассказал о золотом сечении абитуриентке, собравшейся поступать в МАДИ, в процессе подготовки к экзаменам в институт, задача неожиданно вызвала живой интерес и массу вопросов, на которые «с ходу» не было ответов. Решили искать их вместе, и тогда обнаружились тонкости в золотой пропорции, ускользавшие от исследователей ранее. Совместное творчество привело к работе, которая лишний раз подтверждает созидательные возможности молодежи и вселяет надежду, что язык науки утерян не будет.

    Узоры математики, как и узоры художника или узоры поэта, должны быть красивы; идеи, как и краски или слова, должны сочетаться гармонически. Красота является первым критерием: в мире нет места для безобразной математики.
    Дж. Х. Харди

    Красота математической задачи служит одним из важнейших стимулов ее нескончаемого развития и причиной порождения многочисленных приложений. Порой проходят десятки, сотни, а иногда и тысячи лет, но люди вновь и вновь находят неожиданные повороты в хорошо известном решении и его интерпретации. Одной из таких долгоживущих и увлекательных задач оказалась задача о золотом сечении (ЗС), отражающая элементы изящества и гармонии окружающего нас мира. Нелишне напомнить, кстати, что, хотя сама пропорция была известна еще Евклиду, термин «золотое сечение» ввел Леонардо да Винчи (см. «Наука и жизнь» №1, 2003 г.).

    Геометрически золотое сечение подразумевает деление отрезка на две неравные части так, чтобы большая часть была средним пропорциональным между всем отрезком и меньшей частью (рис. 1).

    Алгебраически это выражается следующим образом:

    , или ,

    или (1)

    Исследование этой пропорции еще до ее решения показывает, что между отрезками a и b существуют по крайней мере два удивительных соотношения. Например, из пропорции (1) легко получается выражение,

    которое устанавливает пропорцию между отрезками

    a, b, их разностью и суммой. Поэтому о золотом сечении можно сказать иначе: два отрезка находятся в гармоничном соотношении, если их разность относится к меньшему отрезку так, как больший отрезок относится к их сумме.

    Второе соотношение получается, если исходный отрезок принять равным единице: a + b = 1, что очень часто используется в математике. В таком случае

    a2b2 = ab = ab.

    Из этих результатов следуют два удивительных соотношения между отрезками а и b:

    a2b2 = ab = ab,(2)

    которые будут использованы в дальнейшем.

    Перейдем теперь к решению пропорции (1). На практике используют две возможности.

    1. Обозначим отношение a/b через . Тогда получим уравнение

    x2x — 1 = 0, (3)

    которое имеет иррациональные корни

    Обычно рассматривают только положительный корень x1, дающий простое и наглядное деление отрезка в заданной пропорции. Действительно, если принять целый отрезок за единицу, то, используя значение этого корня x1, получим a ≈ 0,618, b ≈ 0,382.

    Именно положительный корень x1 уравнения (3) наиболее часто называют золотой пропорцией или пропорцией золотого сечения. Соответствующее геометрическое деление отрезка называют золотым сечением (точка С на рис. 1).

    Для удобства дальнейшего изложения обозначим x1 = D. Общепризнанного обозначения для золотого сечения до сих пор нет. Обусловлено это, видимо, тем, что под ним понимают иногда и другое число, о чем будет сказано ниже.

    Оставляемый по обыкновению в стороне отрицательный корень x2 приводит к менее наглядному делению отрезка на две неравные части. Дело в том, что он дает делящую точку С, которая лежит вне отрезка (так называемое внешнее деление). Действительно, если a + b = 1, то, используя корень x2, получим a ≈ -1,618, b ≈ 2,618. Поэтому отрезок a необходимо откладывать в отрицательном направлении (рис. 2).

    2. Второй вариант решения пропорции (1) принципиально не отличается от первого. Будем считать неизвестным отношение b/a и обозначим его через y. Тогда получим уравнение

    y2 + y -1 = 0 , (4)

    которое имеет иррациональные корни

    Если a + b = 1, то, используя корень y1, получим a = y1 ≈ 0,618, b ≈ 0,382. Для корня y2 получим a ≈ -1,618, b ≈ 2,618. Геометрическое деление отрезка в пропорции золотого сечения с использованием корней y1 и y2 полностью идентично предыдущему варианту и соответствует рис. 1 и 2.

    Положительный корень y1 непосредственно дает искомое решение задачи, и его также называют золотой пропорцией .

    Для удобства обозначим значение корня y1 = d.

    Таким образом, в литературе золотую пропорцию математически выражают числом D1,618 или числом d0,618, между которыми существуют две изумительные связи:

    Dd = 1 и Dd = 1. (5)

    Доказано, что другой подобной пары чисел, обладающих этими свойствами, не существует.

    Используя оба обозначения для золотой пропорции, запишем решения уравнений (3) и (4) в симметричном виде: = D, = —d, = d, = —D.

    Необычные свойства золотого сечения достаточно подробно описаны в литературе [1-4]. Они настолько удивительны, что покоряли разум многих выдающихся мыслителей и создали вокруг себя ореол таинственности.

    Золотая пропорция встречается в конфигурации растений и минералов, строении частей Вселенной, музыкальном звукоряде. Она отражает глобальные принципы природы, пронизывая все уровни организации живых и неживых объектов. Ее используют в архитектуре, скульптуре, живописи, науке, вычислительной технике, при проектировании предметов быта. Творения, несущие в себе конфигурацию золотого сечения, представляются соразмерными и согласованными, всегда приятны взгляду, да и сам математический язык золотой пропорции не менее изящен и элегантен.

    Кроме равенств (5) из соотношения (2) можно выделить три интересные соотношения, которые обладают определенным совершенством, выглядят вполне привлекательно и эстетично:

    (6)

    Величие и глубину природы можно ощущать не только, например, при созерцании звезд или горных вершин, но и вглядываясь в некоторые удивительные формулы, очень ценимые математиками за их красоту. К ним можно отнести изящные соотношения золотой пропорции, фантастическую формулу Эйлера e = -1 (где i = √-1), формулу, определяющую знаменитое число Непера (основание натуральных логарифмов): e = lim(1 + 1/n)n = 2,718 при n → ∞, и многие другие.

    После решения пропорции (1) ее идея кажется довольно простой, но, как это часто бывает со многими на первый взгляд простыми задачами, в ней скрыто немало тонкостей. Одной из таких замечательных тонкостей, мимо которой до сих пор проходили исследователи, является связь корней уравнений (3) и (4) с углами трех замечательных треугольников.

    Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, каким образом одномерный отрезок, разделенный в пропорции золотого сечения, может быть легко преобразован в двумерный образ в виде треугольника. Для этого, используя вначале рис. 1, отложим на отрезке АВ длину отрезка a дважды — от точки А в сторону точки В и, наоборот, от точки В в сторону А. Получим две точки С1 и С2, делящие отрезок АВ с разных концов в пропорции золотого сечения (рис. 3). Считая равные отрезки АС1 и ВС2 радиусами, а точки А и В центрами окружностей, проведем две дуги до их пересечения в верхней точке С. Соединив точки А и С, а также В и С, получим равнобедренный треугольник АВС со сторонами АВ = a + b = 1, АС = = ВС = a = d ≈ 0,618. Величину углов при вершинах А и В обозначим α, при вершине С — β. Вычислим эти углы.

    По теореме косинусов

    (АВ)2 = 2(АС)2(1 — cos β).

    Подставив численные значения отрезков АВ и АС в эту формулу, получим

    (7)

    Аналогично получаем

    (8)

    Выход золотой пропорции на двумерный образ позволил связать корни уравнений (3) и (4) с углами треугольника АВС, который можно назвать первым треугольником золотой пропорции.

    Выполним аналогичное построение, используя рис. 2. Если на продолжении отрезка АВ отложить от точки В вправо отрезок, равный по величине отрезку a, и повернуть вокруг центров А и В вверх оба отрезка как радиусы до их соприкосновения, то получим второй треугольник золотой пропорции (рис. 4). В этом равнобедренном треугольнике сторона АВ = a + b = 1, сторона АС = ВС = D ≈1,618, и поэтому по формуле теоремы косинусов получаем

    (9)

    Угол a при вершине С равен 36о и связан с золотой пропорцией соотношением (8). Как и в предыдущем случае, углы этого треугольника связаны с корнями уравнений (3) и (4).

    Второй треугольник золотой пропорции служит основным составляющим элементом правильного выпуклого пятиугольника и задает пропорции правильного звездчатого пятиугольника (пентаграммы), свойства которых подробно рассмотрены в книге [3].

    Звездчатый пятиугольник — фигура симметричная, и в то же время в соотношениях ее отрезков проявляется асимметрическая золотая пропорция. Подобное сочетание противоположностей всегда притягивает глубоким единством, познание которого позволяет проникнуть в скрытые законы природы и понять их исключительную глубину и гармонию. Пифагорейцы, покоренные созвучием отрезков в звездчатом пятиугольнике, выбрали его символом своего научного сообщества.

    Со времен астронома И. Кеплера (XVII век) иногда высказываются различные точки зрения относительно того, что обладает большей фундаментальностью — теорема Пифагора или золотая пропорция. Теорема Пифагора лежит в основании математики, это один из ее краеугольных камней. Золотое сечение лежит в основании гармонии и красоты мироздания. На первый взгляд оно несложно для понимания и не обладает значительной основательностью. Тем не менее некоторые его неожиданные и глубокие свойства постигаются только в последнее время [1], что говорит о необходимости с почтением относиться к его скрытой тонкости и возможной универсальности. Теорема Пифагора и золотая пропорция в своем развитии тесно переплетаются одна с другой и геометрическими и алгебраическими свойствами. Между ними нет ни пропасти, ни принципиальных различий. Они не конкурируют, у них разные предназначения.

    Вполне возможно, что обе точки зрения равноправны, так как существует прямоугольный треугольник, содержащий в себе разнообразные особенности золотой пропорции. Другими словами, существует геометрическая фигура, достаточно полно объединяющая два математических восхитительных факта — теорему Пифагора и золотую пропорцию.

    Чтобы построить такой треугольник, достаточно продолжить сторону ВС треугольника АВС (рис. 4) до пересечения в точке Е с перпендикуляром, восстановленным в точке А к стороне АВ (рис. 5).

    Во внутреннем равнобедренном треугольнике АСЕ угол φ (угол АСЕ) равен 144о, а угол ψ (углы ЕАС и АЕС) равен 18о. Сторона АС = СЕ = СВ = D. Используя теорему Пифагора, легко получить, что длина катета

    Используя этот результат, легко приходим к соотношению

    (10)

    Итак, найдена непосредственная связь корня y2 уравнения (4) — последнего из корней уравнений (3) и (4) — с углом 144о. В связи с этим треугольник АСЕ можно назвать третьим треугольником золотой пропорции.

    Если в замечательном прямоугольном треугольнике АВЕ провести биссектрису угла САВ до пересечения со стороной ЕВ в точке F, то увидим, что вдоль стороны АВ располагаются четыре угла: 36о, 72о, 108о и 144о, с которыми корни уравнений золотой пропорции имеют непосредственную связь (соотношения (7) — (10)). Таким образом, в представленном прямоугольном треугольнике содержится вся плеяда равносторонних треугольников, обладающих особенностями золотого сечения. Кроме того, весьма примечательно то, что на гипотенузе любые два отрезка, ЕС = D и СF = 1,0 находятся в соотношении золотой пропорции с = d. Угол ψ связан с корнями D и d уравнений (3) и (4) соотношениями

    .

    В основу представленных выше построений равнобедренных треугольников, углы которых связаны с корнями уравнений золотой пропорции, положены исходный отрезок АВ и его части a и b. Однако золотое сечение позволяет моделировать не только описанные выше треугольники, но и различные другие геометрические фигуры, несущие в себе элементы гармоничных отношений.

    Приведем два примера подобных построений. В первом — рассмотрим отрезок АВ, представленный на рис. 1. Пусть точка С — центр окружности, отрезок b — радиус. Проведем радиусом b окружность и касательные к ней из точки А (рис. 6). Соединим точки касания E и F с точкой С. В результате получим асимметричный ромб АЕСF, в котором диагональ АС делит его на два равных прямоугольных треугольника АСЕ и АСF.

    Обратим более пристальное внимание на один из них, например на треугольник АСЕ. В этом треугольнике угол АЕС — прямой, гипотенуза АС = a, катет СЕ = b и катет АЕ = √ab ≈ 0,486, что следует из соотношения (2). Следовательно, катет АЕ является средним геометрическим (пропорциональным) между отрезками a и b, то есть выражает геометрический центр симметрии между числами a ≈ 0,618 и b ≈ 0,382.

    Найдем значения углов этого треугольника:

    Как и в предыдущих случаях, углы δ и ε связаны через косинус с корнями уравнений (3) и (4).

    Заметим, что асимметричный ромб, подобный ромбу AECF, получается при проведении касательных из точки В к окружности радиуса a и c центром в точке А.

    Асимметричный ромб AECF получен иным путем в книге [1] при анализе формообразования и явлений роста в живой природе. Прямоугольный треугольник АЕС назван в этой работе «живым» треугольником, так как способен порождать наглядные образы, соответствующие различным структурным элементам природы, и служить ключом при построении геометрических схем начала развития некоторых живых организмов.

    Второй пример связан с первым и третьим треугольниками золотого сечения. Образуем из двух равных первых треугольников золотой пропорции ромб с внутренними углами 72о и 108о. Аналогично объединим два равных третьих треугольника золотой пропорции в ромб с внутренними углами 36о и 144о. Если стороны этих ромбов равны между собой, то ими можно заполнить бесконечную плоскость без пустот и перекрытий. Соответствующий алгоритм заполнения плоскости разработал в конце 70-х годов ХХ века физик-теоретик из Оксфордского университета Р. Пенроуз. Причем выяснилось, что в получающейся мозаике невозможно выделить элементар ную ячейку с целым числом ромбов каждого вида, трансляция которой позволяла бы получить всю мозаику. Но самым замечательным оказалось то, что в бесконечной мозаике Пенроуза отношение числа «узких» ромбов к числу «широких» точно равно значению золотой пропорции d = 0,61803…!

    В этом примере удивительным образом соединились все корни золотого сечения, выраженные через углы, с одним из случаев нетривиального заполнения бесконечной плоскости двумя элементарными фигурами — ромбами.

    В заключение отметим, что приведенные выше разнообразные примеры связи корней уравнений золотой пропорции с углами треугольников иллюстрируют тот факт, что золотая пропорция более емкая задача, чем это представлялось ранее. Если прежде сферой приложения золотой пропорции считались в конечном итоге соотношения отрезков и различные последовательности, связанные с численными значениями ее корней (числа Фибоначчи), то теперь обнаруживается, что золотая пропорция может генерировать разнообразные геометрические объекты, а корни уравнений имеют явное тригонометрическое выражение.

    Авторы отдают себе отчет, что высказанная выше точка зрения относительно изящества математических соотношений, связанных с золотой пропорцией, отражает личные эстетические переживания. В современной философской литературе понятия эстетики и красоты трактуются довольно широко и используются скорее на интуитивном уровне. Эти понятия отнесены главным образом к искусству. Содержание научного творчества в эстетическом плане в литературе практически не рассматривается. В первом приближении к эстетическим параметрам научных исследований можно отнести их сравнительную простоту, присущую им симметрию и способность порождать наглядные образы. Всем этим эстетическим параметрам отвечает задача, получившая название «золотая пропорция». В целом же проблемы эстетики в науке далеки от своего решения, хотя и представляют большой интерес.

    Интуитивно чувствуется, что золотая пропорция все еще скрывает свои тайны. Некоторые из них, вполне возможно, лежат на поверхности, ожидая необычного взгляда своих новых исследователей. Знание свойств золотой пропорции может служить творческим людям хорошим фундаментом, придавать им уверенность и в науке и в жизни.


    ЛИТЕРАТУРА

    1. Шевелев И. Ш., Марутаев И. А., Шмелев И. П. Золотое сечение: Три взгляда на природу гармонии. — М.: Стройиздат, 1990. — 343 с.

    2. Стахов А. П. Коды золотой пропорции. — М.: Радио и связь, 1984. — 152 с.

    3. Васютинский Н. А. Золотая пропорция. — М.: Молодая гвардия, 1990. — 238 с.

    4. Коробко В. И. Золотая пропорция: Некоторые философские аспекты гармонии. — М. — Орел: 2000. — 204 с.

    5. Урманцев Ю. А. Золотое сечение // Природа, 1968, № 11.

    6. Попков В. В., Шипицын Е. В. Золотое сечение в цикле Карно // УФН, 2000, т. 170, № 11.

    7. Константинов И. Фантазии с додекаэдром // Наука и жизнь, 2001, № 2.

    8. Шевелев И. Ш. Геометрическая гармония // Наука и жизнь, 1965, № 8.

    9. Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. — М. : Мир, 1993.

    объяснение для 6 класса, математика, правило, примеры уравнений с решением

    Пропорции — что это в математике

    Задача 1

    Валя съела 3 яблока из пяти. Какую часть яблок съела Валя?

    Решение.

    Вначале узнаем, какую часть яблок составляет 1 яблоко. Всего у Вали было 5 яблок, значит, одно из них — это 15 часть всех яблок. Тогда 3 съеденных яблока составляют 35 всех яблок.

    Тот же ответ получим, если 3 разделим на пять.

    Получается, что 3 яблока соотносятся с пятью яблоками как 3 к 5.

    3:5=35.

    Другой вариант записи ответа отмечают в виде десятичной дроби и процентов: 35=0,6 или 60%.

    Определение 1

    Отношением двух чисел называют частное этих чисел.

    Отношение показывает, во сколько раз одно число больше другого. Или какую часть первое число составляет от второго.

    Примечание 1

    Термин «отношение» применяют в случаях, когда нужно выразить одну величину в долях другой. Например, одну площадь в долях другой площади. Это операцию выполняют с помощью деления.

    Делимое в выражении отношения называют предыдущим членом. Делитель называют последующим членом.

    В задаче 1 предыдущий член — это 3, последующий — 5.

    Если есть два равных отношения, то они образуют пропорцию.

    Определение 2

    Пропорцией называют равенство двух отношений.

    Пример 1

    Даны два отношения: 3,8:2 и 5,7:3.

    Можно ли составить из этих выражений пропорцию?

    Объяснение.

    Найдем значения каждого из отношений:

    3,8:2=1,9; 5,7:3=1,9.

    Значения выражений оказались равными, значит, эти отношения равны.

    Тогда можно записать равенство: 3,8:2=5,7:3.

    Такое равенство называется пропорцией.

    Ответ: да, можно составить из этих отношений чисел пропорцию.

    С помощью буквенных символов пропорцию можно записать так: a:b=c:d или ab=cd.

    Полученное равенство читают: «Отношение a к b равно отношению c к d» или «a относится к b, как c относится к d».

    Числа a и d в пропорции называют крайними членами пропорции.

    Числа b и c — средними членами пропорции.

    Пример 2

    Назовите крайние и средние члены пропорции 42:6=49:7.

    Решение.

    Крайние члены пропорции — 42 и 7.

    Средние члены пропорции — 6 и 49.

    Пример 3

    Определите средние члены пропорции 255=357.

    Решение.

    Средние члены пропорции — 5 и 35.

    Примечание 2

    Понятие «пропорция» пришло из латинского языка. Слово в переводе означает соразмерность, определенное соотношение частей между собой.

    Основное свойство пропорции, правило

    Основное свойство пропорции

    В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов:

    a*d=b*c.

    Пример 4

    Определите, верна ли пропорция 6:2=9:3.

    Решение.

    В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

    Произведение крайних членов равно произведению 6 и 3. Получим 6*3=18.

    Произведение средних членов равно произведению 2 и 9. Получим 2*9=18.

    Значит, 6:2=9:3. Пропорция верна.

    Обратное утверждение тоже верно:

    Если произведение средних членов равно произведению крайних членов, то пропорция верна.

    Пропорция 60:12=10:2 верна, потому что 60*2=12*10=120.

    Если поменять в это пропорции местами средние члены, получим 60:10=12:2. Эта пропорция тоже верна. При перестановке произведение крайних и средних членов не изменилось.

    Если в пропорции поменять крайние члены — 2:10=12:60, то произведение тоже не изменится.

    Пропорция будет верной, если поменять местами средние члены или крайние члены.

    Если какой-то из членов пропорции неизвестен, то его можно найти.

    По основному свойству пропорции можно найти ее неизвестный член, если все остальные компоненты известны.

     Пример 5

    Найдите неизвестный член пропорции: 4,8:b=8:2,5.

    Решение.

    Используем основное свойство пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.

    Получим 4,8*2,5=b*8.

    Выразим b:

    b=4,8*2,5:8;

    b=1,5.

    Ответ: b=1,5.

    Составление и решение пропорций

    Пример 6

    Запишите пропорцию: 6 так относится к 18, как 9 относится к 27.

    Решение.

    Слово «относится» заменяем на знак деления.

    Получаем два отношения: 6:18 и 9:27.

    Если эти два отношения равны, то получаем верную пропорцию.

    6:18=9:27; 13=13, получили верную пропорцию.

    Пример 7

    Запишите пропорцию и проверьте ее: отношение 2 к 14 равно отношению 3 к 115.

    Решение.

    Записываем отношения: 214 и 3115.

    Составляем пропорцию: 214 =3115.

    Проверяем, верна ли пропорция.

    Для этого воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов = произведению средних членов.

    2*115≠14*3; 215≠34. Условие равенства произведений не выполнилось, значит, пропорция не верна.

    Пример 8

    Определите, верна ли пропорция: 1,40,7=3,41,7.

    Решение.

    Чтобы проверить, верна ли пропорция, воспользуемся основным свойством пропорции.

    Запишем произведения крайних и средних членов пропорции:

    1,4*1,7=2,38; 0,7*3,4=2,38.

    Значит, произведение крайних членов равно произведению средних членов.

    1,4*1,7=0,7*3,4; 2,38=2,38.

    Вывод: пропорция верна.

    Примеры уравнений с решением для 6 класса

    Пример 9

    Решите уравнение: 8,8425=n0,12.

    Решение.

    Чтобы найти неизвестный член пропорции, используем основное свойство пропорции. Находим произведение крайних и средних членов. Выражаем неизвестный компонент.

    Получаем:

    8,8425=n0,12; 8,8*0,12=425*n.Из равенства выражаем n: n=8,8*0,12425Представим смешанное число 425 в виде десятичной дроби. Для этого приведем дробную часть смешанного числа к дроби со знаменателем 10: домножим числитель и знаменатель 2. 425=42*2на5*2=4410. Такое смешанное число записываем в виде десятичной дроби, отделяя целую часть запятой:  4410=4,4.  Тогда  n=8,8*0,124,4. Сокращаем получившуюся дробь: 0,12 и 4,4 делятся на  4. n=8,8*0,031,1; 8,8 и 1,1 делятся на  1,1. n=8*0,031; n=0,24.

    Ответ: n=0,24.

    Пример 10

    Найдите неизвестный член пропорции: 112:214=6:m.

    Решение.

    Используем основное свойство пропорций. Записываем равенства произведений крайних и средних членов.

    112*m=214*6.И выражаем  m: m=214*6:112.Переводим смешанные числа в неправильные дроби:  m=2*4+14*6:1*2+12; m=94*6:32.Натуральное число переводим в обыкновенную дробь со знаменателем 1 и умножаем на первую дробь: m=94*61:32; m=9*64*1:32. Чтобы разделить обыкновенные дроби, нужно домножить дробь на взаимно обратную данной: m=9*64*1*23; m=9*6*24*1*3. Сокращаем получившееся выражение. 4 и 2 делятся нацело на 2. 9 и 3 делятся нацело на  3. m=3*6*12*1*1.Для чисел 6 и 2 общий делитель  2: m=3*3*11*1*1; m=9.

    Ответ: m=9.

    Пример 11

    Решите уравнение: 0,25:x=3,75:3.

    Решение.

    По основному свойству пропорции получим: 0,25*3=x*3,75.

    Выразим x.

    x=0,25*3:3,75; x=0,75:3,75. Делить на десятичную дробь нельзя. Преобразуем ее в натуральное число.

    После запятой в дроби 3,75 два знака, значит, нужно домножить ее на единицу с таким оличеством нулей. Это сто.

    Но чтобы выражение осталось неизменным, нужно домножить на сто и делимое.

    x=0,75*100:3,75*100; x=75:375; x=0,2.

    Ответ: x=0,2.

    Пример 12

    Найдите неизвестное: k:312=0,4:245

    Решение.

    Чтобы найти неизвестный компонент пропорции, нужно воспользоваться основным свойством дроби.

    По основному свойству дроби произведение крайних членов равно произведению средних членов.

    Получим: k*245=312*0,4.

    Выразим k:k=312*0,4:245.

    Переведем 0,4 в обыкновенную дробь: 0,4=410. Эта дробь сократима: числитель и знаменатель делятся на 2 нацело: 410=4:210:2=25.

    Записываем полученное выражение:

    k=312*25:245.

    1 действие — умножение.

    312*25.

    Переводим смешанное число в неправильную дробь и умножаем на вторую: числитель на числитель, знаменатель на знаменатель.

    312*25=3*2+12*25=72*25=7*22*5.

    Сокращаем дробь: есть одинаковые числа в числителе и знаменателе.

    7*22*5=75.

    2 действие — деление.

    Теперь делим полученное число на 245.

    Смешанное число переводим в неправильную дробь.

    Умножаем 75 на взаимно обратную дробь.

    75:245=75:2*5+45=75:145=75*514=7*55*14=7*55*14=714=12=0,5.

    Значит, k=0,5.

    Ответ: k=0,5.

    Соотношение и Пропорция

    Основой математических исследований является возможность получить знание об определённых величинах, сравнивая их с другими величинами, которые либо равны, либо больше или меньше, чем те которые являются предметом исследования. Это обычно производится с помощью ряда уравнений и пропорций. Когда мы используем уравнения, то мы определяем искомую величину, находя её равенство с какой-то другой уже знакомой величиной или величинами.

    Однако, часто бывает, что мы сравниваем неизвестную величину с другими, которые не равны ей, а больше или меньше её. Здесь нужен другой подход к обработке данных. Нам может понадобиться узнать, например, на сколько одна величина больше чем другая, или сколько раз одна содержит другую. Для нахождения ответа на эти вопросы мы узнаем что такое соотношение двух величин. Одно соотношение называется арифметическим, а другое геометрическим. Хоть и стоит заметить, что оба эти термина не были приняты случайно или только в целях отличия. Как арифметическое, так и геометрическое соотношения применимы как к арифметике, так и к геометрии.

    Являясь компонентом обширного и важного предмета, пропорция зависит от соотношений, поэтому необходимо чёткое и полное понимание этих понятий.

    338. Арифметическое соотношение это разница между двумя величинами или рядом величин. Сами по себе величины называются членами соотношения, то есть члены, между которыми есть соотношение. Таким образом 2 это арифметическое соотношение 5 и 3. Это выражается помещая знак минус между двумя величинами, то есть 5 — 3. Конечно термин арифметического соотношения и его расписывание по пунктам практически бесполезно, так как происходит лишь замещение слова разница на знак минус в выражении.

    339. Если оба члена арифметического соотношения умножить или разделить на одну и ту же величину, то соотношение, в конечном итоге, будет умножено или разделено на эту величину.
    Таким образом, если имеем      a — b = r
    Тогда перемножим обе стороны на h , (Акс. 3.) ha — hb = hr
    И разделив на h, (Акс. 4.) $\frac{a}{h}-\frac{b}{h}=\frac{r}{h}$

    340. Если члены арифметического соотношения добавляют или отнимают от соответствующих членов другого, то соотношение суммы или разности будет равно сумме или разности двух соотношений.
    Если a — b
    И d — h,
    являются двумя соотношениями,
    Тогда (a + d) — (b + h) = (a — b) + (d — h). Что в каждом случае = a + d — b — h.
    И (a — d) — (b — h) = (a — b) — (d — h). Что в каждом случае = a — d — b + h.
          Таким образом арифметическое отношение 11 — 4 равно 7
          И арифметическое отношение 5 — 2 равно 3
    Отношение суммы членов 16 — 6 это 10, — сумма соотношений.
    Отношение разности членов 6 — 2 это 4, — разность соотношений.

    341. Геометрическое соотношение — это отношение между величинами, которое выражается ЧАСТНЫМ, если одну величину делят на другую.
    Таким образом соотношение 8 к 4, можно записать как 8/4 или 2. То есть частное деления 8 на 4. Другими словами, оно показывает сколько раз 4 содержится в 8.

    Тем же самым способом, соотношение любой величины к другой может быть определено, разделив первую на вторую или, что, в принципе, одно и то же, сделав первую числителем дроби, а вторую — знаменателем.
                Так соотношение a к b это $\frac{a}{b}$
                Соотношение d + h к b + c это $\frac{d+h}{b+c}$.

    342. Геометрическое соотношение также записывается, размещая две точки одну над другой между сравниваемыми величинами.
    Таким образом a:b это запись соотношения a к b, а 12:4 — соотношения 12 к 4. Две величины вместе формируют пару, в которой первый член называется антецедентом, а последний — консеквентом.

    343. Эта запись с помощью точек и другая, в форме дроби, являются взаимозаменяемыми по мере необходимости, при этом антецедент становится числителем дроби, а консеквент — знаменателем.
    Таким образом 10:5 это то же, что и $\frac{10}{5}$ а b:d, то же, что и $\frac{b}{d}$.

    344. Если из этих трёх значений: антецедента, консеквента и соотношения даны любые два, то третье можно найти.

    Пусть a= антецедент, c= консеквент, r= соотношение.
    По определению $r=\frac{a}{c}$, то есть, соотношение равно антецеденту разделённому на консеквент.
    Умножая на c, a = cr, то есть, антецедент равен консеквенту умноженному на соотношение.
    Разделим на r, $c=\frac{a}{r}$, то есть, консеквент равен антецеденту делёному на соотношение.

    Соотв. 1. Если у двух пар антецеденты и консеквенты равны, то их соотношения тоже равны.

    Соотв. 2. Если у двух пар соотношения и антеценденты равны, то и консеквенты равны и если соотношения и консеквенты равны, то и антецеденты равны.

    345. Если две сравниваемые величины равны, то их соотношение равно единице или соотношению равенства. Соотношение 3*6:18 равно единице, так как частное любой величины разделённой на саму себя равно 1.

    Если антецедент пары больше, чем консеквент, то соотношение больше единицы. Так как делимое больше, чем делитель, то частное больше единицы. Так соотношение 18:6 равно 3. Это называется соотношение большего неравенства.

    С другой стороны, если антецедент меньше, чем консеквент, то соотношение меньше единциы и это называется соотношением меньшего неравенства. Так соотношение 2:3 меньше единицы, потому что делимое меньше делителя.

    346. Обратное соотношение — это соотношение двух обратных величин.
    Так соотношение обратное 6 к 3 это &frac16; к &frac13;, то есть &frac16;:&frac13;.
    Прямое соотношение a к b это $\frac{a}{b}$, то есть антецедент разделённый на консеквент.
    Обратное соотношение это $\frac{1}{a}$:$\frac{1}{b}$ или $\frac{1}{a}. \frac{b}{1}=\frac{b}{a}$.
    то есть косеквент b разделённый на антецедент a.

    Отсюда обратное соотношение выражается путём инвертирования дроби, которая отображает прямое соотношение, либо, когда запись ведётся с помощью точек, инвертируя порядок записи членов.
    Таким образом a относится к b обратно тому, как b к a.

    347. Сложное соотношение это соотношение произведений соответствующих членов с двумя и более простыми соотношениями.
                Так соотношение          6:3, равно 2
                И соотношение           12:4, равно 3
    Составленное из них соотношение           72:12 = 6.

    Здесь сложное соотношение получается, умножая между собой два антецедента и также два консеквента простых соотношений.
    Так соотношение составленное
          Из соотношения         a:b
          И соотношения            c:d
          и соотношения             h:y
          Это соотношение         $ach:bdy=\frac{ach}{bdy}$.
    Сложное соотношение не отличается по своей природе от любого другого соотношения. Этот термин используется, чтобы в определённых случаях показать происхождение соотношения.

    Соотв. Сложное соотношение равно произведению простых соотношений.
          Соотношение        a:b, равно $\frac{a}{b}$
          Соотношение         c:d, равно $\frac{c}{d}$
          Соотношение         h:y, равно $\frac{h}{y}$
    И соотношение сложенное из этих трёх будет ach/bdy, что является произведением дробей, которые выражают простые соотношения.

    348. Если в последовательности соотношений в каждой предыдущей паре консеквент является антецедентом в последующей, то соотношение первого антецедента и последнего консеквента равны тому, которое получено из промежуточных соотношений.
    Так в ряде соотношений
                a:b
                b:c
                c:d
                d:h
    соотношение a:h равно соотношению, сложенному из соотношений a:b, и b:c, и c:d, и d:h. Так сложное соотношение в последней статье равно $\frac{abcd}{bcdh}=\frac{a}{h}$, или a:h.

    Таким же образом все величины, которые являются и антецедентами и консеквентами исчезнут, когда произведение дробей будет упрощено до своих младших членов и в остатке сложное соотношение будет выражаться первым антецедентом и последним консеквентом.

    349. Особый класс сложных соотношений получается при умножении простого соотношения на самого себя или на другое равное соотношение. Эти соотношения называются двойными, тройными, четверными, и так далее, в соответствии с количеством операций умножения.

    Соотношение, составленное из двух равных соотношений, то есть, квадрата простого соотношения, называют двойным соотношением.

    Составленное из трёх, то есть, куб простого соотношения, называют тройным, и так далее.

    Аналогично соотношение квадратных корней двух величин, называется соотношением квадратного корня, а соотношение кубических корней — соотношением кубического корня, и так далее.
          Таким образом простое соотношение a к b, равно a:b
          Двойное соотношение a к b, равно a2:b2
          Тройное соотношение a к b, равно a3:b3
          Соотношение квадратного корня a к b, равно √a:√b
          Соотношение кубического корня a к b, равно 3√a:3√b, и так далее.
          Термины двойной, тройной, и так далее не нужно смешивать с удвоенным, утроенным, и так далее.
    Соотношение 6 к 2 равно      6:2 = 3
    Удвоим это соотношение, то есть, соотношение дважды, то получим   12:2 = 6
    Утроим это соотношение, то есть это соотношение трижды, то получим  18:2 = 9
    А двойное соотношение, то есть квадрат соотношения, равен 62:22 = 9
    И тройное соотношение, то есть куб соотношения, равен 63:23 = 27

    350. Для того, чтобы величины можно соотнести друг с другом, они должны быть одинакового рода, так, чтобы можно было с уверенностью утверждать равны ли они между собой, или одна из них больше или меньше. Фут относится к дюйму, как 12 к 1: он в 12 раз больше, чем дюйм. Но нельзя, например, сказать, что час длиннее или короче, чем палка, или акр больше или меньше, чем градус. Однако, если эти величины выражены в числах, то может существовать соотношение между этими числами. То есть может существовать соотношение между количеством минут в часе и количеством шагов в миле.

    351. Обратившись к природе соотношений, следующим шагом нам нужно учесть способ, каким образом скажется на самом соотношении изменение одного или двух членов, которые сравнивают между собой. Вспомним, что прямое соотношение выражается в виде дроби, где антецедет пары всегда это числитель, а консеквентзнаменатель. Тогда будет легко из свойства дробей получить, что изменения в соотношении происходят путём варьирования сравниваемых величин. Соотношение двух величин такое же как и значение дробей, каждая из которых представляет частное: числитель делённый на знаменатель. (Статья. 341.) Теперь было показано, что умножать числитель дроби на любую величину, это то же, что и умножать значение на эту же величину и что деленить числитель, это то же, что и деленить значения дроби. Поэтому,

    352. Умножать антецедент пары на любую величину, значит умножать соотношения на эту величину, а делить антецедент — деленить это соотношение.
                Таким образом соотношение      6:2 равное 3
                И соотношение      24:2 равное 12.
    Здесь антецедент и соотношение в последней паре в 4 раза больше, чем в первой.
    Отношение a:b равно      $\frac{a}{b}$
    И отношение na:b равно $\frac{na}{b}$.

    Соотв. При известном консеквенте, чем больше антецедент, тем больше соотношение, и, наоборот, чем больше соотношение, тем больше антецедент.

    353. Умножая консеквент пары на любую величину, в результате получаем деление соотношения на эту величину, а деля консеквент — умножаем соотношение. Умножая знаменатель дроби, делим значение, а деля знаменатель — значение умножается. .
          Так соотношение 12:2 равно 6
          И соотношение 12:4 равно 3.
    Здесь консеквент второй пары в два раза больше, а соотношение в два раза меньше, чем первое.
                Соотношение a:b равно $\frac{a}{b}$
          И соотношение a:nb равно $\frac{a}{nb}$.

    Соотв. При данном антецеденте, чем больше консеквент, тем меньше соотношение. И наоборот, чем больше соотношение, тем меньше консеквент.

    354. Из двух последних статей следует, что умножение антецедента пары на любую величину окажет такой же эффект на соотношение, как деление консеквента на эту величину, а деление антецедента, окажет такой же эффект, как умножение консеквента.
          Поэтому соотношение         8:4, равно 2
          Умножая антецедент на 2, соотношение 16:4 равно 4
          Разделив антецедент на 2, соотношение 8:2 равно 4.

    Соотв. Любой множитель или делитель может быть перенесён от антецедента пары к консеквенту или от консеквента к антецеденту без изменения соотношения.

    Стоит заметить, что когда множитель таким образом переносится от одного члена к другому, то он становится делителем, а переносимый делитель становится множителем.
          Так соотношение      3.6:9 = 2
    Перенеся множитель 3,      $6:\frac{9}{3}=2$
    то же самое соотношение.

    Соотношение      $\frac{ma}{y}:b=\frac{ma}{by}$
    Перенеся y      $ma:by=\frac{ma}{by}$
    Перенеся m,      a:$a:\frac{m}{by}=\frac{ma}{by}$.

    355. Как очевидно из Статей. 352 и 353, если антецедент и консеквент оба умножить или разделить на одну и ту же величину, то соотношение не меняется.

    Соотв. 1. Соотношение двух дробей, у которых есть общий знаменатель, такое же как отношение их числителей.
    Таким образом соотношение a/n:b/n, то же самое, что и a:b.

    Соотв. 2. Прямое соотношение двух дробей, у которых есть общий числитель, равно обратному соотношению их знаменателей.

    356. Из статьи легко определить соотношение любых двух дробей. Если каждый член умножить на два знаменателя, то соотношение будет задано интегральными выражениями. Таким образом умножая члены пары a/b:c/d на bd, получаем $\frac{abd}{b}$:$\frac{bcd}{d}$, что становится ad:bc, путём сокращения общих величин из числителей и знаменателей.

    356. b. Соотношение большего неравенства, сложенное с другим соотношением, увеличивает его
    Пусть соотношение большего неравенства будет задано как      1+n:1
    И любое соотношение как          a:b     
    Сложное соотношение будет (Статья. 347,)     a + na:b
    Что больше, чем соотношение a:b (Статья. 351. соотв.)
    Но соотношение меньшего неравенства, сложенное с другим соотношением, уменьшает его.
    Пусть соотношение меньшей разности      1-n:1
    Любой заданное соотношение          a:b     
    Сложное соотношение        a — na:b
    Что меньше, чем a:b.

    357. Если к или от членов любой пары прибавить или отнять две другие величины, которые находятся в таком же соотношении, то суммы или остатки будут иметь такое же соотношение.
          Пусть соотношение      a:b
          Будет такое же, как и       c:d
    Тогда соотношение суммы антецедентов к сумме консеквентов, а именно, a + c to b + d, тоже одинаковое.
    То есть $\frac{a+c}{b+d}$ = $\frac{c}{d}$ = $\frac{a}{b}$.

    Доказательство.

    1. Согласно предположению,         $\frac{a}{b}$ = $\frac{c}{d}$
    2. Умножаем на b и на d,         ad = bc
    3. Добавляем cd к обеим сторонам,         ad + cd = bc + cd
    4. Делим на d,          $a+c=\frac{bc+cd}{d}$
    5. Делим на b + d,            $\frac{a+c}{b+d}$ = $\frac{c}{d}$ = $\frac{a}{b}$.

    Соотношение разницы антецедентов к разнице консеквентов также одинаковое.

    358. Если в нескольких парах соотношения равны, то сумма всех антецедентоа относится к сумме всех консеквентов, как любой антецедент к своему консеквенту.
    Таким образом соотношение
                |12:6 = 2
                |10:5 = 2
                |8:4 = 2
                |6:3 = 2
    Таким образом соотношение (12 + 10 + 8 + 6):(6 + 5 + 4 + 3) = 2. 2-ab+ax)}{a(a+x)}$.

    Так как последний числитель больше, чем другой, то соотношение больше.
            Если вместо добавления ту же самую величину отнять от двух членов, то очевидно, что эффект на соотношение будет обратным.

    Примеры.

    1. Что больше: соотношение 11:9, или соотношение 44:35?

    2. Что больше: соотношение $(a+3):\frac{a}{6}$, или соотношение $(2a+7):\frac{a}{3}$?

    3. Если антецедент пары равен 65, а соотношение равно 13, то какой консеквент?

    4. Если консеквент пары равен 7, и соотношение равно 18, то какой антецедент?

    5. Как выглядит сложное соотношение составленное из 8:7, и 2a:5b, а также (7x+1):(3y-2)?

    6. Как выглядит сложное соотношение составленное из (x+y):b, и (x-y):(a + b), а также (a+b):h?         Отв. (x2 — y2):bh.

    7. Если соотношения (5x+7):(2x-3), и $(x+2):\left(\frac{x}{2}+3\right)$ образуют сложное соотношение, то какое соотношение получится: большее или меньшее неравенство?      Отв. 2}{a}$?         Отв. Соотношение равенства.

    9. Каково соотношение сложенное из 7:5, и удвоенного соотношения 4:9, и утроенного соотношения 3:2?
                  Отв. 14:15.

    10. Каково соотношение составленное из 3:7, и утроенного соотношения x:y, и извлечения корня из соотношения 49:9?
                  Отв. x3:y3.

    Пропорции. Решение уравнений презентация, доклад

    • Главная
    • Разное
    • Дизайн
    • Бизнес и предпринимательство
    • Аналитика
    • Образование
    • Развлечения
    • Красота и здоровье
    • Финансы
    • Государство
    • Путешествия
    • Спорт
    • Недвижимость
    • Армия
    • Графика
    • Культурология
    • Еда и кулинария
    • Лингвистика
    • Английский язык
    • Астрономия
    • Алгебра
    • Биология
    • География
    • Геометрия
    • Детские презентации
    • Информатика
    • История
    • Литература
    • Маркетинг
    • Математика
    • Медицина
    • Менеджмент
    • Музыка
    • МХК
    • Немецкий язык
    • ОБЖ
    • Обществознание
    • Окружающий мир
    • Педагогика
    • Русский язык
    • Страхование
    • Технология
    • Физика
    • Философия
    • Химия
    • Шаблоны, картинки для презентаций
    • Экология
    • Экономика
    • Юриспруденция

    Презентация на тему Презентация на тему Пропорции. Решение уравнений, предмет презентации: Математика. Этот материал содержит 16 слайдов. Красочные слайды и илюстрации помогут Вам заинтересовать свою аудиторию. Для просмотра воспользуйтесь проигрывателем, если материал оказался полезным для Вас — поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте наш сайт презентаций ThePresentation.ru в закладки!

    Слайд 1
    Текст слайда:

    Пусть каждый день и каждый час Вам новое добудет. Пусть добрым будет ум у вас, А сердце умным будет.

    С. Маршак


    Слайд 2
    Текст слайда:

    Пропорции.


    Слайд 3
    Текст слайда:

    Отношения.

    2 : 0,5

    2,4 : 8

    6 : 1

    3 : 2

    3 : 10

    Определите, какие из отношений равны.


    Слайд 4
    Текст слайда:

    Отношения.


    Слайд 5
    Текст слайда:

    Пропорция

    a : b = c : d

    Средние члены

    Крайние члены

    Опорная схема:


    Слайд 6
    Текст слайда:

    Пропорция.


    Слайд 7
    Текст слайда:

    Крайние члены

    Средние члены

    Опорная схема:

    Пропорция


    Слайд 8
    Текст слайда:

    Являются ли пропорцией следующие равенства?


    Слайд 9
    Текст слайда:

    Назовите крайние члены пропорции.

    18

    6

    24

    8

    и

    Найдите их произведение.

    .

    Назовите средние члены пропорции.

    и

    Найдите их произведение.

    .

    ХОРОШО!


    Слайд 10
    Текст слайда:

    Запишите пропорцию.

    Найдите произведение её крайних членов и средних членов.

    Что вы заметили?

    =


    Слайд 11
    Текст слайда:

    ?

    Произведение крайних членов
    пропорции равно произведению
    средних членов пропорции.


    Слайд 12
    Текст слайда:

    Основное свойство пропорции.

    Используя верное равенство, составьте четыре верные пропорции.

    Проверка

    Далее


    Слайд 13
    Текст слайда:

    Далее


    Слайд 14
    Текст слайда:

    ????


    Слайд 15
    Текст слайда:

    Что это?

    Когда уравненье решаешь, дружок,
    Ты должен найти у него корешок …

    а

    13

    =

    2

    0,5

    _

    _

    =

    .

    .


    Слайд 16
    Текст слайда:

    Решите уравнения.


    Скачать презентацию

    Обратная связь

    Если не удалось найти и скачать презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

    Email: Нажмите что бы посмотреть 

    Что такое ThePresentation.
    ru?

    Это сайт презентаций, докладов, проектов, шаблонов в формате PowerPoint. Мы помогаем школьникам, студентам, учителям, преподавателям хранить и обмениваться учебными материалами с другими пользователями.


    Для правообладателей

    Что такое пропорция — определение, формула, примеры

    Пропорция объясняется в основном на основе соотношения и дробей. Дробь, представленная в виде a/b, а отношение a:b, то пропорция утверждает, что два отношения равны. Здесь a и b — любые два целых числа. Соотношение и пропорция являются ключевыми основами для понимания различных концепций в математике, а также в естественных науках.

    Пропорция находит применение при решении многих повседневных жизненных проблем, например, в бизнесе, при совершении транзакций или при приготовлении пищи и т. д. Она устанавливает отношение между двумя или более величинами и, таким образом, помогает в их сравнении.

    1. Что такое пропорция?
    2. Продолжение пропорций
    3. Соотношения и пропорции  
    5. Формула пропорции с примерами
    6. Типы пропорций
    7. Свойства пропорции
    8. Разница между отношением и долей
    9. Часто задаваемые вопросы о пропорции

    Что такое пропорция?

    Доля, как правило, называется частью, долей или числом, рассматриваемым в сравнительном отношении к целому. Определение пропорции гласит, что когда два отношения эквивалентны, они пропорциональны. Это уравнение или утверждение, используемое для изображения равенства двух отношений или дробей.

    Пропорция — Определение

    Пропорция — это математическое сравнение двух чисел. Согласно пропорции, если два набора заданных чисел увеличиваются или уменьшаются в одном и том же отношении, то говорят, что отношения прямо пропорциональны друг другу. Пропорции обозначаются символом «::» или «=».

    Пропорция. Пример

    Два отношения называются пропорциональными, если они равны. Например,   время, необходимое поезду для прохождения 50 км в час, равно времени, затраченному им на преодоление расстояния 250 км за 5 часов. Например, 50 км/час = 250 км/5 часов.

    Непрерывные пропорции

    Говорят, что любые три величины находятся в непрерывной пропорции, если отношение между первой и второй равно отношению между второй и третьей. Точно так же четыре количества в непрерывной пропорции будут иметь отношение между первым и вторым, равным отношению между третьим и четвертым.

    Например, рассмотрим два соотношения: a:b и c:d. Чтобы найти непрерывную пропорцию для двух заданных членов отношения, мы преобразуем их средние значения в один член/число. В общем случае это будет НОК средних, и для данного отношения НОК b и c будет bc. Таким образом, умножая первое отношение на c, а второе отношение на b, мы имеем

    • Первое соотношение- ca:bc
    • Второе соотношение- bc:bd

    Таким образом, непрерывную пропорцию для данных отношений можно записать в виде ca:bc:bd.

    Соотношения и пропорции

    Соотношение — это способ сравнения двух величин одного вида с помощью деления. Формула соотношения для двух чисел a и b задается как a:b или a/b. Умножение и деление каждого члена соотношения на одно и то же число (не ноль) не влияет на отношение.

    Когда два или более таких отношения равны, говорят, что они находятся в пропорции .

    Четвертая, третья и среднепропорциональная

    Если a : b = c : d, то:

    • d называется четвертой пропорциональностью a, b, c.
    • с называется третьим пропорциональным числам а и b.
    • Среднее пропорциональное между a и b равно √(ab).

    Советы и рекомендации по пропорциям

    • a/b = c/d ⇒ ad = bc
    • a/b = c/d ⇒ b/a = d/c
    • a/b = c/d ⇒ a/c = b/d
    • a/b = c/d ⇒ (a + b)/b = (c + d)/d
    • a/b = c/d ⇒ (a – b/b = (c – d)/d
    • a/(b + c) = b/(c + a) = c/(a + b) и a + b + c ≠0, тогда a = b = c.
    • a/b = c/d ⇒ (a + b)/(a — b) = (c + d)/(c — d), что известно как правило компонендо-дивидендо
    • .
    • Если оба числа a и b умножить или разделить на одно и то же число в отношении a:b, то полученное соотношение останется таким же, как исходное соотношение.

    Формула пропорции с примерами

    Формула пропорции — это уравнение, которое можно решить, чтобы получить сравнительные значения. Для решения задач на пропорции мы используем концепцию, согласно которой пропорция — это два отношения, равные друг другу. Мы имеем в виду это в том смысле, что две дроби равны друг другу.

    Формула отношения

    Предположим, что у нас есть любые две величины (или две сущности) и мы должны найти отношение этих двух, тогда формула отношения определяется как  a:b ⇒ a/b , где

    • a и b могут быть любыми двумя величинами.
    • «а» называется первым термином или предшествующим .
    • «b» называется вторым членом или консеквентом .

    Например,  в соотношении 5:9 представлено 5/9, где 5 предшествует, а 9 последует. 5:9 = 10:18 = 15:27

    Формула пропорции

    Теперь предположим, что в пропорции два отношения равны a:b и c:d.   Два термина «b» и «c» называются «среднее значение или средние термины», тогда как термины «a» и «d» известны как «крайние или крайние термины».

    a/b = c /d или a:b::c:d. Например, рассмотрим еще один пример количества учащихся в 2 классах, где отношение количества девочек к количеству мальчиков равно. Наше первое отношение количества девочек к мальчикам равно 2:5, а другое — 4:8, тогда пропорция может быть записана как: 2:5::4:8 или 2/5 = 4/8. Здесь 2 и 8 — крайние значения, а 5 и 4 — средние значения.

    Типы пропорций

    В зависимости от типа отношения, в котором участвуют два или более количества, пропорция может быть разделена на различные типы. Существует два типа пропорций.

    • Прямая пропорция
    • Обратная пропорция

    Прямая пропорция

    Этот тип описывает прямую зависимость между двумя величинами. Проще говоря, если увеличивается одна величина, увеличивается и другая величина, и наоборот. Например, если скорость автомобиля увеличивается, он преодолевает большее расстояние за фиксированный промежуток времени. В обозначениях прямая пропорция записывается как y ∝ x.

    Обратная пропорция

    Этот тип описывает косвенную зависимость между двумя величинами. Проще говоря, если одна величина увеличивается, другая величина уменьшается, и наоборот. В обозначениях обратная пропорция записывается как y ∝ 1/x. Например, увеличение скорости автомобиля приведет к преодолению фиксированного расстояния за меньшее время.

    Важные примечания

    • Пропорция — это математическое сравнение двух чисел.
    • Основные пропорции бывают двух типов: прямые пропорции и обратные пропорции.
    • Мы можем применять понятия пропорций к географии, сравнивая количества в физике, диетологии, кулинарии и т. д.

    Свойства пропорции

    Пропорция устанавливает эквивалентное отношение между двумя соотношениями. Свойства пропорции, за которой следует это отношение:

    • Дополнение – Если a : b = c : d, то значение каждого отношения равно a + c : b + d
    • Subtrahendo – Если a : b = c : d, то значение каждого отношения равно a – c : b – d
    • Дивидендо – Если a : b = c : d, то a – b : b = c – d : d
    • Componendo – Если a : b = c : d, то a + b : b = c + d : d
    • Альтернатива – Если a : b = c : d, то a : c = b: d
    • Invertendo – Если a : b = c : d, то b : a = d : c
    • Компонендо и дивидендо – Если а : b = с : d, то а + b : а – b = с + d : с – d

    Разница между отношением и долей

    Соотношение и пропорция являются тесно связанными понятиями. Пропорция означает равное соотношение между двумя или более отношениями. Чтобы понять концепцию отношения и пропорции, просмотрите разницу между соотношением и пропорцией, приведенную здесь.

    Серийный номер Соотношение Доля
    1 Соотношение используется для сравнения размера двух вещей с одной и той же единицей измерения. Пропорция используется для выражения отношения двух соотношений.
    2 Выражается двоеточием (:) или косой чертой (/). Выражается двойным двоеточием (::) или равен символу (=)
    3 Это выражение. Это уравнение.
    4 Ключевое слово для различения соотношения в задаче — «ко всем». Ключевое слово, позволяющее различать пропорции в задаче, — «из».

    Пропорция Связанные темы

    Ниже приведен список тем, которые тесно связаны с пропорцией в коммерческой математике. Эти темы также дадут вам представление о том, как такие понятия рассматриваются в Cuemath.

    Часто задаваемые вопросы о пропорции

    Что вы подразумеваете под отношением?

    Отношение — это математическое выражение, записанное в форме a:b, которое выражает дробь в форме a/b, где a и b — любые целые числа. Например, дробь 1/3 может быть выражена как 1:3 в форме отношения.

    Что такое пропорция в математике?

    Пропорция — это математическое сравнение двух чисел. Согласно пропорции, если два набора заданных чисел увеличиваются или уменьшаются в одном и том же отношении, то говорят, что отношения прямо пропорциональны друг другу. Пропорции обозначаются с помощью символа  ‘::’ или ‘=’. Например, 2:5 :: 4:8 или 2/5 = 4/8. Здесь 2 и 8 — крайние значения, а 5 и 4 — средние значения.

    Как соотношение и пропорция используются в повседневной жизни?

    Соотношения и пропорции используются ежедневно. Соотношения и пропорции используются в деловых операциях при работе с деньгами, сравнении количества по цене при совершении покупок и т.  д. Например, у бизнеса может быть коэффициент для суммы прибыли, полученной за продажу определенного продукта, например 5 : 1, в котором говорится, что бизнес получает 2,50 доллара за каждую продажу.

    Как узнать, образуют ли два отношения пропорцию?

    Если два отношения эквивалентны друг другу, то говорят, что они пропорциональны. Например, соотношения 1:2, 2:4 и 3:6 являются эквивалентными соотношениями.

    Как рассчитать пропорцию?

    Пропорция рассчитывается по формуле пропорции: a:b::c:d или a:b = c:d. Мы читаем это как «а» для «б», как «с» для «d».

    Какие существуют типы пропорций?

    В зависимости от типа отношений между двумя или более величинами пропорция может быть разделена на разные типы. Существует два типа пропорций.

    • Прямая пропорция — описывает прямую зависимость между двумя величинами. Проще говоря, если увеличивается одна величина, увеличивается и другая величина, и наоборот.
    • Обратная пропорция — описывает косвенную связь между двумя величинами. Проще говоря, если одна величина увеличивается, другая величина уменьшается, и наоборот.

    Каковы различные свойства пропорции?

    Пропорция устанавливает эквивалентное отношение между двумя соотношениями. Свойства пропорции, за которыми следует это отношение:

    • Дополнение – Если a : b = c : d, то значение каждого отношения равно a + c : b + d
    • Subtrahendo – Если a : b = c : d, то значение каждого отношения равно a – c : b – d
    • Дивидендо – Если a : b = c : d, то a – b : b = c – d : d
    • Componendo – Если a : b = c : d, то a + b : b = c+d : d
    • Альтернатива – Если a : b = c : d, то a : c = b: d
    • Invertendo – Если a : b = c : d, то b : a = d : c
    • Компонендо и дивидендо – Если а : b = с : d, то а + b : а – b = с + d : с – d

    Метод расчета дозы и пропорции – StatPearls

    Тэмми Дж. Тони-Батлер; Самар Николя; Лэнс Уилкокс.

    Информация об авторе

    Последнее обновление: 23 июня 2022 г.

    Введение

    Существуют три основных метода расчета дозировок лекарств; Анализ размеров, соотношение пропорций и формула или желаемый метод. Мы собираемся более подробно изучить метод соотношения и пропорции, один из этих трех методов.

    Метод отношения-пропорции позволяет нам сравнивать числа, единицы измерения или значения.[1][2][3]

    Клиницисты должны определить соотношение и пропорцию. Соотношения, часто выражаемые в формате дробей, представляют собой математические произведения искусства, разработанные в виде шаблонов отношений, которые исследуют сравнения между единицами измерения, словами и числами. Как и в любых отношениях, ключевые игроки создают связь, чтобы сделать ассоциацию более сильной или управляемой. Пропорции — это ключевые игроки, образованные равенством соотношений. Сложные отношения упрощаются за счет использования и стратегического размещения ключевых игроков с одинаковыми единицами или объемами. Соотношения и пропорции, выраженные в виде дробей, аннулированные путем перекрестного умножения или деления, облегчают решение задач с использованием этого метода расчета лекарств.

    Числители (верхние) числа или знаменатели (нижние) числа, умноженные и разделенные после того, как одни и те же единицы сокращаются. Некоторые уравнения или формулы обозначаются двоеточием (:) или обратной косой чертой (/), чтобы указать на деление и его последующее применение в этом методе решения задач.

    Для удобства вычислений числитель дроби следует ставить слева от двоеточия или косой черты. В завершение этого отношения знаменатель ставится справа от косой черты или двоеточия. Неизвестные количества, неизвестные количества или неизвестные желаемые количества изображаются как (x) в уравнении и решаются. Размещение символа (x) находится слева от уравнения, что делает перекрестное умножение и деление для (x) простым делом. Принимая во внимание фундаментальный принцип, касающийся одних и тех же единиц измерения, числа или единицы в верхней и нижней части дроби обладают способностью компенсировать друг друга. [4] [5]

    Оборудование

    Работники здравоохранения обычно используют калькулятор для расчета дозировок лекарств. Калькуляторы могут быть полезны для уменьшения ошибок при лечении, связанных с проблемой расчета, но бесполезны для распознавания концептуальной ошибки (Savage, 2015).

    Одно исследование, проведенное Бойлом и Иствудом, выявило (40%) концептуальные ошибки, (60%) арифметические ошибки и (25%) вычислительные ошибки среди участников исследования в бумажной анкете расчета лекарств двадцати парамедиков, где не было калькулятора. допускается (Boyle & Eastwood, 2018).

    В этом исследовании подчеркивается необходимость в модулях непрерывного обучения для улучшения базовых арифметических навыков, например, правильного использования формул, умения составлять математические уравнения и выполнять деление в длинное число без использования калькулятора. Калькуляторы не всегда доступны на догоспитальном этапе, а покрытие сотовой связи с использованием приложений может быть в лучшем случае неравномерным. Исследование пришло к выводу, что базовые знания о ручном расчете лекарств должны быть частью учебных модулей преподавателей (Boyle & Eastwood, 2018).

    Использование 1 из 3 описанных выше методов расчета лекарств облегчит выполнение расчетов лекарств вручную; Соотношение и пропорция, желательное значение или формула, а также размерный анализ. Какой бы метод ни использовал поставщик медицинских услуг, второй метод может использоваться в качестве проверки первого метода. Вторая проверка дополнительно снижает вероятность ошибки лечения, связанной с неправильным расчетом дозировки.

    Техника

    Метод соотношения и пропорции

    Метод соотношения и пропорции существует уже много лет и является одним из старейших методов, используемых при расчете лекарств. Принципы сложения — это техника решения проблем, не имеющая отношения к этим отношениям; только умножение и деление используются для решения проблемы соотношения и пропорции, а не сложения. Пример, приведенный ниже, поможет нам дать лучшее объяснение, используя формат дроби или двоеточия:

    Медицинский работник заказывает лоразепам 4 мг внутривенно (в/в) толчком для оценки CIWA 25. В наличии у клиницистов есть флаконы 2 мг/мл. . Сколько миллилитров требуется для выполнения заказанной дозы?

    В формате двоеточия вы должны использовать H:V::D:X, а умножение означает DV и Extremes HX.

    • Hx = DV, x = DV/H, 2:1::4:x, 2x = (4)(1), x = 4/2, x = 2 мл

    Желательно, а не по формуле

    Желаемое вместо метода Have или Formula Метод использует формулу или уравнение для нахождения неизвестной величины (x), что очень похоже на соотношение пропорций. Расчеты лекарств требуют использования коэффициентов пересчета, например, при переводе фунтов в килограммы или литров в миллилитры. Упрощенный по конструкции, этот метод позволяет нам работать с различными единицами измерения, конвертируя коэффициенты, чтобы найти ответ (цитируется по Boyer, 2002) [Lindow, 2004]. Полезно для проверки точности других методов расчета, упомянутых выше, таким образом действуя как двойная или тройная проверка.

    • Базовая формула, определяющая x, помогает нам составить уравнение: D/H x Q = x, или желаемая доза (количество) = количество заказанной дозы/количество на руках x количество.

    Например, поставщик запрашивает лоразепам 4 мг IV Push для пациента с тяжелой алкогольной абстиненцией. В наличии у клинициста есть флаконы по 2 мг/мл. Сколько миллилитров нужно набрать в шприц, чтобы ввести нужную дозу?

    Помните, что единицы измерения, такие как миллилитры и миллилитры, должны совпадать, иначе вам нужно будет преобразовать их в аналогичные единицы измерения. В приведенном выше примере заказанная доза была в мг, а доза была в мг; оба сокращаются, оставляя миллилитры (ответ требует миллилитров), поэтому дальнейшее преобразование не требуется.

    Метод размерного анализа

    Заказ, размещенный поставщиком для лоразепама 4 мг IV PUSH для оценки CIWA 25 или выше, следует протоколу CAGE для последующих дозировок на основе оценки CIWA.

    • В наличии имеются флаконы по 2 мг/мл в автоматическом дозаторе.

    • Сколько миллилитров необходимо для получения заказанной дозы?

    • Желаемая доза помещается в 1 помните, (x мл) = 4 мг/1 x 1 мл/2 мг x (4)(1)/2 x 4/2 x 2/1 = 2 мл, клиницист продолжал умножать/делить, пока не получил желаемое количество, 2 мл в этом примере задачи 9. 0003

    • Обратите внимание, что дробь была настроена так, чтобы мг и мг были размещены стратегически так, чтобы одинаковые единицы могли уравновешивать друг друга, что облегчало решение уравнения для желаемой единицы или миллилитров.

    Нули можно аннулировать так же, как и единицы. Посмотрите на приведенный ниже пример для пояснения:

    • 1000/500 x 10/5 = 2, 2 нуля в числе 1000 и 2 нуля в числе 500 можно вычеркнуть, так как единицы в числителе и знаменателе оставляют 10/5, гораздо проще дробь решить, и ответ имеет смысл.

    Обратившись к нулям, рассмотрим 1.

    • Если число умножить на 1, то число не изменится.

    • Напротив, если вы умножаете число на ноль, число становится нулем.

    • Ниже приведены примеры: 18 x 0 = 0 или 20 x 1 = 20.

    Клиническое значение

    Ошибки при лечении могут быть вредными и дорогостоящими для пациентов. Расчет лекарств и базовые математические навыки играют важную роль в безопасном приеме лекарств. Детская популяция особенно уязвима к ошибкам при приеме лекарств из-за необходимости расчета доз с учетом многих факторов; рост, вес, площадь поверхности тела, уровень роста и развития. Чем выше сложность математических расчетов, тем выше потенциальный риск ошибок расчета дозы.

    Согласно исследованию медсестер интенсивной терапии (ОИТ), проведенному в 2016 году, 80 % медсестер считают, что знания о расчете дозировки лекарств необходимы для уменьшения ошибок при приеме лекарств во время приготовления лекарств для внутривенного введения.

    В опубликованном в 2018 году исследовании группы медсестер отделения онкологии в 3 швейцарских больницах обсуждается процесс перепроверки и его ограничения в текущей среде здравоохранения, в частности, повышенная рабочая нагрузка медсестер и нехватка времени, отвлекающая обстановка и нехватка ресурсов. Исследование пришло к выводу, что медсестры онкологического отделения твердо верили в эффективность перепроверки лекарств, несмотря на сообщения об ограничениях этой процедуры в клинической практике.

    Улучшение результатов работы команды здравоохранения

    Препараты высокого риска, такие как гепарин и инсулин, часто требуют повторной проверки дозировки более чем одним поставщиком перед введением препарата. Соблюдайте правила и рекомендации учреждения по повторной проверке расчетов дозы другим лицензированным поставщиком.

    Контрольные вопросы

    • Доступ к бесплатным вопросам с несколькими вариантами ответов по этой теме.

    • Комментарий к этой статье.

    Ссылки

    1.

    Toney-Butler TJ, Wilcox L. StatPearls [Интернет]. Издательство StatPearls; Остров сокровищ (Флорида): 9 марта 2022 г. Желаемый расчет дозы по методу формулы. [PubMed: 29630214]

    2.

    Özyazıcıoğlu N, Aydın Aİ, Sürenler S, Çinar HG, Yılmaz D, Arkan B, Tunç GÇ. Оценка знаний учащихся о расчетах педиатрических дозировок. Медсестра Образовательная Практика. 2018 янв; 28:34-39. [В паблике: 28942096]

    3.

    Тони-Батлер Т.Дж., Уилкокс Л. StatPearls [Интернет]. Издательство StatPearls; Остров сокровищ (Флорида): 12 июля 2021 г. Метод факторно-меточного анализа для расчета дозы. [PubMed: 28613475]

    4.

    Wunderli JM, Pieren R, Habermacher M, Vienneau D, Cajochen C, Probst-Hensch N, Röösli M, Brink M. Коэффициент прерывистости: показатель, отражающий краткосрочные временные колебания воздействия транспортного шума. J Expo Sci Environ Epidemiol. 2016 ноябрь;26(6):575-585. [Бесплатная статья PMC: PMC5071543] [PubMed: 26350982]

    5.

    Plagge H, Ruppen W, Ott N, Fabbro T, Bornand D, Deuster S. Расчет дозы при чередовании опиоидов: электронный калькулятор и ручной расчет. Int J Клин Фарм. 2011 февраль;33(1):25-32. [PubMed: 21365390]

    6.

    Kohtz C, Gowda C. Обучение расчету лекарств в медицинском образовании: сравнительное исследование. Медсестра Воспитание. 2010 март-апрель;35(2):83-6. [PubMed: 20173596]

    Калькулятор пропорций | Как решить пропорции?

    Создано Кацпером Павликом, доктором медицинских наук, и Юлией Жулавиньской

    Отредактировано Домиником Черниа, кандидатом наук, и Джеком Боуотером

    Последнее обновление: 06 апреля 2022 г.

    Содержание:
    • Что такое пропорция? – определение пропорции
    • Константа пропорциональности – значения прямо и обратно пропорциональны
    • Как решать пропорции – примеры пропорций
    • Золотое сечение
    • Закон кратных пропорций – пропорциональные отношения в химии
    • Определение прямо пропорционального налога

    Калькулятор пропорций помогает рассчитать идентичные пропорции. Прежде чем мы сможем использовать калькулятор, важно понять, что такое пропорция и как решать пропорции вручную. Чтобы помочь вам понять эти темы, мы представляем вам определение пропорции и понятие константы пропорциональности. Прочитав этот текст, вы сможете сказать, являются ли два параметра прямо пропорциональными или обратно пропорциональными.

    Наконец, мы поговорим о некоторых реальных примерах пропорций. Вы увидите, что пропорциональные отношения присутствуют повсюду в окружающем нас мире . Ученые используют закон кратных пропорций при проведении химических реакций, а бухгалтеры (или любой налогоплательщик) должны быть знакомы с определением пропорционального налога, чтобы знать, сколько денег они должны заплатить государству.

    Что такое пропорция? – определение пропорции

    Пропорция – это соотношение между двумя величинами. Показывает, какая часть одной части содержится в целом. Результат обычно отображается в виде дроби, но также может быть представлен двоеточием, десятичным числом или процентом. Если вы предпочитаете отображение в процентах, мы рекомендуем вам посетить наш процентный калькулятор, он также может быть лучшим выбором для решения пропорций с 100 в качестве знаменателя. Он по-прежнему соответствует определению пропорции, но также позволяет вам, например, рассчитать, какой процент торта на день рождения съел ваш дядя 😊.

    Так же, как дробь состоит из двух частей, числителя и знаменателя , то же верно и для пропорции. Верхнее число пропорции является числителем, а нижняя часть пропорции — знаменателем. Чтобы проиллюстрировать это, давайте рассмотрим пример.

    Предположим, что есть торт, разрезанный на 12 кусочков. 5 из 12 ломтиков были съедены (этим наглым дядей). Вы хотите знать долю оставшихся кусочков по сравнению со всем тортом. У вас есть 12-5 = 7 оставшихся кусочков, поэтому пропорция равна 7/12 . Если вы хотите переписать эту пропорцию, используя двоеточие, вы можете записать ее как 7:12 . Обратите внимание, что этот калькулятор пропорций не будет представлять пропорцию в последней форме.

    Каков процесс, если мы хотим упростить или масштабировать пропорцию до большей, но эквивалентной пропорции? Следующий раздел о том, как решать пропорции, объясняет этот процесс.

    Константа пропорциональности – значения прямо и обратно пропорциональны

    Константа пропорциональности связывает отношения или произведения двух величин. Иногда его называют коэффициентом вероятности. Мы можем записать его в виде уравнения. Если две переменные прямо пропорциональны , то формула константы пропорциональности выглядит так:

    c = y / x

    где c — константа пропорциональности, а x и y две переменные, находящиеся в прямо пропорциональной зависимости. Если две переменные равны обратно пропорциональна , то формула коэффициента пропорциональности будет следующей: отношение.

    Поначалу это может показаться очень теоретической концепцией, но вы будете удивлены количеством реальных применений этих констант. Мы используем их так часто, что не осознаем, что, говоря математическим языком, они являются константами пропорциональности. Скорость (или скорость) может быть одним из самых известных примеров. Это отношение между расстоянием и временем. Мы можем записать это так:

    V = s / t

    Где v — скорость, s — расстояние, а t — время.

    Выглядит знакомо, не так ли? Да, это та же формула, что и для константы пропорциональности двух прямо пропорциональных переменных . Так как эта связь (по определению пропорции) постоянна, то если мы изменим одну переменную, то и вторая переменная тоже должна будет измениться. Таким образом, зная нашу скорость, мы также можем рассчитать расстояние, которое мы преодолеем за 1 минуту, 1 час, 1 день или любой другой период. По мере постепенного увеличения значения времени пропорционально увеличивается и пройденное расстояние. Наоборот, когда расстояние становится короче, значение времени также должно уменьшаться, чтобы поддерживать постоянное соотношение. Другими популярными примерами констант пропорциональности двух прямо пропорциональных переменных являются концентрация и плотность. В обоих этих примерах прямо пропорциональными переменными являются масса и объем.

    Теперь поговорим о примере константы пропорциональности двух обратно пропорциональных величин. Продолжаем тему путешествий. На этот раз давайте посмотрим на формулу для расстояния:

    s = v * t

    Это уравнение кажется более похожим на формулу константы пропорциональности двух обратно пропорциональных переменных , не это? Если расстояние (постоянное) останется прежним, то изменение скорости или времени вызовет изменение другой переменной. Поскольку речь идет об обратно пропорциональной зависимости, то увеличение скорости приводит к уменьшению времени в пути. Мы наблюдаем этот процесс в реальной жизни. Автомобиль, движущийся с более высокой скоростью, доедет до места назначения за более короткое время. В свою очередь, если мы хотим продлить время в пути (например, полюбоваться местностью или сэкономить на бензине), то скорость должна будет уменьшиться. Необходимо сохранить постоянное соотношение. В последних абзацах этого текста вы найдете несколько других реальных примеров пропорций и инструкции по их решению.

    Как решать пропорции – примеры пропорций

    Предположим, что у нас есть та же пропорция 7/12 , но мы хотим масштабировать ее до большего эквивалентного отношения со знаменателем 96 . Для этого составим две равные пропорции и найдем недостающую часть. Процесс решения пропорции выглядит следующим образом:

    1. Установите обе дроби, пометив недостающую часть любой переменной по вашему выбору.
    2. Поставьте знак равенства между двумя коэффициентами. Обратите внимание, что соотношение и пропорция — это одно и то же.
    3. Изолировать переменную с помощью перекрестного умножения, которое представляет собой умножение знаменателя одной пропорции на числитель другой и наоборот.
    4. Решите для переменной.
    5. Используйте калькулятор пропорций, чтобы проверить свой ответ. Теперь вы знаете все о решении пропорций.

    Решая приведенный выше пример, получаем

    1. 7/12 = x/96
    2. 12 * х = 96 * 7
    3. 12x = 672
    4. х = 56

    Мы рекомендуем вам использовать калькулятор пропорций, если вы решаете пропорции с большими числами или с десятичными дробями.

    С помощью пропорций можно регулировать количество ингредиентов в рецепте для большего количества гостей. Если вы хотите испечь блины, наш калькулятор рецептов блинов подскажет, что именно вам нужно приготовить на определенное количество человек.

    Золотое сечение

    В природе и строительстве существует особое соотношение, которое достигается, когда две величины имеют такое же отношение, как отношение их суммы к большей из двух величин. Это известно как золотое сечение , которое имеет значение приблизительно 1,618 . Мы знаем, что это звучит очень сложно, но вскоре все прояснится. Формула золотого сечения для двух величин a и b :

    (a+b)/a = a/b

    Калькулятор золотого сечения удобен для расчета этого отношения.

    Золотое сечение можно увидеть в архитектуре и вообще в формах, таких как прямоугольник. Прямоугольник является золотым, если при данных ширине w = a и длине l = a + b отношение (a+b)/a = a/b дает значение приблизительно 1,618. Золотое сечение — это предел отношений последовательных чисел Фибоначчи и бесконечного десятичного числа. Таким образом, мы используем приблизительное значение 1,618. Калькулятор золотого прямоугольника рассчитает длину и ширину золотого прямоугольника.

    В геометрии калькулятор пропорций пригодится при работе с подобными многоугольниками. По определению, два многоугольника называются подобными, если их стороны пропорциональны. Чаще всего это применяется с треугольниками. Закон синусов для треугольников основан на том факте, что существует пропорциональная связь между сторонами и углами треугольника.

    Закон кратных пропорций – пропорциональные отношения в химии

    Умение решать пропорции также может пригодиться при работе с химическими реакциями. Закон кратных пропорций — одно из фундаментальных правил стехиометрии, открытое британским химиком Джоном Дальтоном. Это методология расчета количеств реагентов и продуктов химических реакций. Чтобы получить помощь в этом, ознакомьтесь с нашим калькулятором доходности. Полное заявление Далтона выглядит так:

    Если два элемента образуют между собой более одного соединения, то отношения масс второго элемента, которые соединяются с фиксированной массой первого элемента, будут отношениями небольших целых чисел.

    Говоря менее научным языком, если мы разделим массы атомов разных элементов, образующих одну частицу (например, CO₂ – углекислый газ), мы всегда получим постоянное отношение , характерное для этой частицы. Результат будет состоять очень часто из небольших чисел.

    Покажем это на примере и рассчитаем соотношение для серной кислоты – H₂SO₄ :

    1. Во-первых, мы должны подсчитать числа атомов определенных элементов, образующих серную кислоту. У нас есть 2 атома водорода H, 1 атом серы S и 4 атома кислорода O.
    2. Во-вторых, нам нужно вычислить общую массу атомов каждого элемента. Один атом водорода весит 1 u (u обозначает атомную единицу массы), один атом кислорода весит 16 u, а один атом серы имеет массу 32 u.
    • Совместная масса атомов водорода: 2 * 1 u = 2 u ,
    • Общая масса кислорода в частице серной кислоты: 4 * 16 u = 64 u ,
    • В этой частице всего один атом серы, поэтому вес серы равен 32 u .
    1. Последнее, что нужно сделать, это разделить все числа одно на другое. Единственное условие состоит в том, что мы должны сохранять все числа как целые числа. Мы не можем создавать дроби. Это будет выглядеть так:

    Н/О/Ш = 2/64/32 = 1/32/16

    1. И все! Мы получили соотношение малых чисел для частицы серной кислоты.

    Благодаря этому знанию мы можем сказать, что если у нас есть 1 г (или любая другая единица массы) водорода, нам нужно добавить 16 г серы и 32 г кислорода, чтобы быть уверенным, что все атомы каждого элемента займут участие в реакции и что не будет никаких остатков.

    У нас есть для тебя задание! Проверьте (используя наш калькулятор пропорций), сколько граммов водорода и кислорода могут полностью прореагировать с 352 граммами серы, образуя серную кислоту (вы можете найти ответ в конце этого текста).

    Есть и другие примеры пропорциональных отношений в химии. Молярность показывает соотношение между числом молей определенного растворенного вещества (растворенного вещества) и объемом раствора. Некоторых химиков-любителей может заинтересовать ABV (алкоголь по объему), представляющий соотношение между объемом алкоголя и общим объемом напитка.

    Определение прямого пропорционального налога

    После беглого знакомства с миром химии пришло время посмотреть, сможем ли мы найти наши любимые пропорции в финансах. На самом деле, мы можем! Некоторые из налогов, которые мы платим, являются пропорциональными налогами. Это означает, что ставка налога является фиксированной , и каждый должен платить один и тот же процент от своего дохода (или любой другой стоимости, подлежащей пропорциональному налогообложению).

    Давайте проиллюстрируем это на примере. Пропорциональная ставка налога составляет 15%. Лицо X имеет доход в размере 15 000 долларов, поэтому налог, который ему или ей придется заплатить в конце налогового года, будет равен:

    15 000 долларов * 15% = 2 250 долларов

    В свою очередь, лицо Y зарабатывает 125 000$. Однако определение пропорционального налога требует, чтобы ставка была фиксированной, поэтому для расчета налога, который ему или ей придется заплатить, мы можем использовать аналогичную формулу:

    125 000 $ * 15% = 18 750 $ 9.0552

    Хотя сумма налога, уплаченного лицом Y, больше, чем налог лица X, она составляет ту же часть их дохода в целом, а именно 15/100 или 15%.

    Еще один вид налога (вероятно, самый популярный) — прогрессивный налог. Это похоже на пропорциональный налог, поскольку вы также должны платить определенный процент от своего дохода. Разница в том, что этот процент (или налоговая ставка) меняется с увеличением дохода. В прогрессивном налоге существуют определенные налоговые ставки для определенных диапазонов величины дохода. Например, люди с доходом менее 100 000 долларов могут платить 20% своего заработка, а люди с доходом более 100 000 долларов могут иметь налоговую ставку в размере 25%.

    Если вас больше интересует тема налогов, посетите наш калькулятор налога с продаж. Вы увидите, какую долю от общей стоимости товара мы тратим на налог с продаж. Некоторые приобретаемые товары (особенно услуги) требуют чаевых. С нашим калькулятором чаевых вы больше не будете задаваться вопросом, сколько вы должны давать чаевые!

    Ответ на вопрос: По закону кратных пропорций 352 грамма серы могут полностью прореагировать с 22 граммами водорода и 704 граммами кислорода с образованием серной кислоты.

    Кацпер Павлик, доктор медицины и Юлия Жулавиньская

    Введите любые три цифры:

    Хотите узнать больше о пропорциональности? Если это так, проверьте калькулятор коэффициента дальше!

    Ознакомьтесь с 17 похожими калькуляторами дробей 🍕

    Сложение дробейСравнение дробейДесятичная дробь… Еще 14

    Базовые или простые пропорции - ChiliMath

    Поиск

    Предположим, что есть два отношения a:b и c:d. Их можно записать в виде дробей \Large{a \over b} и \Large{c \over d} соответственно. Теперь, если мы установим эти две равные друг другу пропорции тогда получается пропорция .


    Пропорция — это утверждение, показывающее, что два отношения равны. Есть два способа написать пропорцию:

    Оба могут быть прочитаны как «a к b, как c к d».


    Далее определим часть пропорции . Эта концепция нужна нам для решения проблем позже.

    • ФОРМА С ДВОРЕЦОМ

    В форме двоеточия крайними являются два крайних значения, а средними являются два самых внутренних значения.

    • ФОРМА Дроби (Стандартная форма)

    В форме дроби крайние значения – это значения, попадающие в диагональ, проведенную сверху слева вниз вправо, а средние значения – это значения, попадающие в диагональ, проведенную снизу. слева вверх справа.


    Познакомившись с определением и частями пропорции, мы можем теперь говорить о свойствах пропорции . Это два полезных свойства , которые можно использовать для решения проблем.

    Свойства пропорций

    1)  Взаимное свойство

    Если два отношения равны, то их обратные величины также должны быть равны, пока они существуют.

    2)  Свойство перекрестного произведения

    Произведение крайних значений равно произведению средних.


    Примеры применения концепции пропорций

    Пример 1: Покажите, что приведенная ниже пропорция верна.

    Чтобы пропорция была истинной, дроби в обеих частях уравнения должны быть приведены к одному и тому же значению. Дробь в левой части уравнения имеет наибольший общий делитель 5. В то время как дробь в правой части имеет наибольший общий делитель 6,

    Так как две дроби с обеих сторон равны после приведения к наименьшему члену, мы можем утверждать, что данная пропорция истинна !


    Пример 2: Покажите, что приведенная ниже пропорция верна.

    Мы также можем показать, верна ли пропорция, используя свойство перекрестного произведения. Проще говоря, если произведение их крайностей (внешних значений) равно произведению средних (внутренних значений), то пропорция верна.

    Это показывает, что данная пропорция равна верно !


    Пример 3:   Решите приведенную ниже пропорцию.

    Эта проблема представляет собой пропорцию с неизвестным значением. Наша цель — найти значение «x», которое могло бы сделать пропорцию верным утверждением. Мы можем легко решить эту проблему, используя свойство Cross Product.

    Вы можете обратно подставить x = 2 в исходную пропорцию и убедиться, что это действительно правильный ответ.


    Пример 4:   Решите приведенную ниже пропорцию.

    Единственное отличие этой задачи от примера №3 состоит в том, что в знаменателе встречается неизвестная переменная «x». Решить эту пропорцию так же просто, как применить свойство перекрестного произведения, а затем решить простое уравнение, которое получается из него.

    В качестве альтернативы вы можете сначала применить свойство Reciprocal, чтобы переместить переменную «x» снизу вверх, прежде чем использовать свойство Cross Product. Ответ должен получиться тот же.


    Пример 5:   Решите приведенную ниже пропорцию.

    Это еще одна проблема, с которой вы можете столкнуться при решении пропорций. Формат пропорции использует двоеточие вместо дроби. Чтобы решить это, нам нужно переписать пропорцию в дробной форме, а затем решить это как обычно.

    Поскольку a:b = c:d можно записать как \Large{a \over b} = {c \over d}, наша исходная задача становится \Large{{12} \over x} = {4 \over 3}.

    Давайте решим это...

    Подставим x = 9 обратно в исходную пропорцию, чтобы проверить ваш ответ.


    Пример 6:  Обменный курс между долларом США и индийской рупией составляет 2 к 106 . По этому курсу, сколько долларов США у вас будет, если вы обменяете 901 индийскую рупию?

    Нам нужно составить пропорцию, которую мы сможем решить. Мы можем сделать это двумя способами. Один из способов — поместить значения в долларах в числителях, а рупии в знаменателях пропорции. И другой способ - поменять их местами. Любая из настроек должна дать нам один и тот же ответ.

    В этом упражнении мы поместим информацию о долларах сверху.

    Решите неизвестное значение «x», чтобы получить требуемое значение в долларах.

    Это означает, что на момент обмена 17 долларов США эквивалентны 901 индийской рупии .


    ПРИМЕЧАНИЕ. Следующий пример представляет собой сложную задачу, поскольку он потребует от вас критического мышления и решения многошаговых линейных уравнений с переменными в обеих частях уравнения.

    Пример 7: Вы хотите распилить брусок дерева длиной 72 фута на две части так, чтобы отношение более короткой и более длинной части было 2 к 7. Какова их длина?

    Пусть «x» будет длиной более короткого куска. Это означает, что «72 - x» будет более длинной частью. См. диаграмму ниже.

    Дано, что отношение более короткого куска к более длинному составляет 2:7. Используя всю эту информацию, теперь мы можем установить пропорцию для определения длин как коротких, так и длинных кусков.

    Решение приведенной выше пропорции с использованием свойства пропорциональности перекрестного произведения...

    Поскольку более короткая часть равна x = 16 футов , это означает, что более длинная часть равна 72 - x = 72 - 16 = 56 футов .

    Чтобы выполнить проверку, в задаче нам сказали, что отношение более короткой части к более длинной равно 2 к 7. Обратите внимание, что когда мы уменьшаем дробь \Large{{16} \over {56}} до наименьшего срок, мы получим желаемое соотношение.

    6.3: Введение в пропорции — Математика LibreTexts

    1. Последнее обновление
    2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    22496
    • Дэвид Арнольд
    • Колледж Редвудс

    В разделе 6. 1 мы ввели понятия соотношения и скорости. В этом разделе мы приравниваем эти отношения в конструкции, называемой пропорция .

    Пропорции

    Пропорция — это утверждение, которое уравнивает два соотношения или коэффициента.

    Например, каждое из уравнений

    \[\frac{1}{3} = \frac{2}{6}, ~ \frac{15 \text{ миль}}{2 \text{ часов}} = \frac{30 \text{ миль} }{4 \text{ часов}}, \text{ и } \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\nonumber \]

    сравнивает два соотношения или коэффициента и является пропорцией.

    Пропорция

    \[ \frac{1}{3} = \frac{2}{6}\номер \]

    читается как «один к трем, как два к шести». Четыре числа, составляющие эту пропорцию, называются членами пропорции и упорядочены естественным образом.

    Крайности и средние значения

    Первый и четвертый члены называются крайними пропорциями. Второй и третий члены называются означает пропорции.

    В пропорции

    \[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d},\nonnumber \]

    термины a и d являются крайностями; термины b и c являются средними.

    Если обе части пропорции умножить на общий знаменатель,

    \[bd \left(\frac{a}{b} \right) = bd \left( \frac{c}{d} \right)\nonnumber \]

    затем отменить,

    \[ \cancel{b} d \left( \frac{a}{\cancel{b}} \right) = b \cancel{d} \left( \frac{c}{\cancel{d}} \ справа)\номер\]

    получаем следующий результат.

    \[объявление = до н.э.\номер \]

    Это приводит к следующему наблюдению.

    Произведение крайностей и средних

    В пропорции

    \[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d}\nonumber \]

    произведение средних равно произведению крайних. То есть

    \[ad = bc.\nonumber \]

    Мы можем получить эквивалентный результат, используя метод, называемый скрещиванием умножением .

    Пример 1

    Какая из следующих пропорций является допустимой: (a) \(\frac{2}{3} = \frac{7}{12}\) или (b) \(\frac{4}{9} = \фрак{12}{27}\).

    Решение

    (a) Перемножить

    , чтобы получить

    24 = 21.

    Следовательно, произведение крайних значений не равно произведению средних, поэтому 2/3=7/12 является , а не действительной пропорцией.

    (b) Перемножить

    , чтобы получить

    108 = 108.

    Следовательно, произведение крайних значений равно произведению средних, поэтому 4/9= 12/27 - это действительная пропорция.

    Упражнение

    Верна ли следующая пропорция? \(\frac{4}{3} = \frac{16}{11}\)

    Ответ

    Решение пропорций

    У нас уже есть все инструменты, необходимые для решения пропорций. Начнем с первого примера.

    Пример 2

    Решите пропорцию для x : \(\frac{3}{4} = \frac{x}{12}\).

    Решение

    Перемножить крест-накрест, затем решить полученное уравнение.

    \[ \begin{align} \frac{3}{4} = \frac{x}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Исходная пропорция. }} \\ 4 \cdot x = 3 \cdot 12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Произведения средних и крайних равны.}} \\ 4x = 36 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить.}} \\ \frac{4x }{4} = \frac{36}{4} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Разделить обе части на 4.}} \\ x = 9 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить. }} \end{выровнено}\номер \]

    Проверка

    Подставьте 9 вместо x в исходную пропорцию и проверьте.

    \[ \begin{aligned} \frac{3}{4} = \frac{x}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Исходная пропорция.}} \\ \frac{3}{ 4} = \frac{9}{12} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Замените 9 на } x.} \end{aligned}\nonumber \]

    Перекрестное умножение.

    Таким образом, решение 9 проверяется.

    Упражнение

    Решите пропорцию для n : \(\frac{2}{3} = \frac{n}{9}\)

    Ответ

    6

    Пример 3

    Решите пропорцию для n : \(\frac{3}{2} = \frac{24}{n}\).

    Решение

    Перемножить крест-накрест, затем решить полученное уравнение.

    \[ \begin{align} \frac{3}{2} = \frac{24}{n} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Исходная пропорция.}} \\ 3 \cdot n = 2 \cdot 24 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Произведения средних и крайних равны.}} \\ 3n = 48 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить.}} \\ \frac{3n }{3} = \frac{48}{3} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Разделить обе части на 3.}} \\ n = 16 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить. }} \end{выровнено}\номер \]

    Проверить

    Подставить 16 вместо n в исходную пропорцию и проверить.

    \[ \begin{aligned} \frac{3}{2} = \frac{24}{n} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Исходная пропорция.}} \\ \frac{3}{ 2} = \frac{24}{16} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Замените 16 на } n.} \end{aligned}\nonumber \]

    Перекрестное умножение.

    Таким образом, решение 16 проверяется.

    Упражнение

    Решить пропорцию для м : \(\frac{9}{6} = \frac{m}{4}\)

    Ответ

    6

    Пример 4

    Решите пропорцию для x : \(\frac{2x + 1}{15} = \frac{1}{3}\).

    Решение

    Перемножить крест-накрест, затем решить полученное уравнение.

    \[ \begin{align} \frac{2x+1}{15} = \frac{1}{3} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Исходная пропорция.}} \\ 3(2x+ 1) = 15(1) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Произведения f средние и крайние значения равны.}} \\ 6x+3 = 15 ~ & \textcolor{red}{ \begin{aligned} \text { Слева распределите.} \\ \text{ Справа умножьте.} \end{aligned}} \\ 6x+3-3=15-3 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Вычтите 3 с обеих сторон.}} \\ 6x=12 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить.}} \\ \frac{6x}{6} = \frac{12}{6} ~ & \textcolor{ red}{ \text{ Разделить обе стороны на 6.}} \\ x = 2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить обе стороны.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Проверка

    Мы предоставим нашим читателям возможность проверить это решение.

    Упражнение

    Решите пропорцию для y : \(\frac{6+2y}{18} = \frac{8}{9}\)

    Ответ

    5

    Приложения

    Ряд практических приложений включает в себя решение пропорции.

    Пример 5

    Если 5 апельсинов стоят 1,15 доллара, сколько будет стоить 15 апельсинов (при условии равного курса)?

    Решение

    Пусть x представляет стоимость 15 апельсинов. Предполагая, что курс 5 апельсинов по 1,15 доллара равен курсу 15 апельсинов по неизвестной стоимости x , мы устанавливаем следующую пропорцию.

    \[ \frac{5}{1.15} = \frac{15}{x}\nonumber \]

    Перемножить

    , чтобы получить

    \[5x = 17,25.\nonumber \]

    Решить для х .

    \[\begin{align} \frac{5x}{5} = \frac{17.25}{5} \\ x = 3.45 \end{align}\nonumber \]

    Таким образом, 15 апельсинов стоят 3,45 доллара.

    Упражнение

    Если 7 яблок стоят 3,15 доллара, сколько будут стоить 10 яблок (при равном курсе)?

    Ответить

    4,50 $

    Чрезвычайно важно проверять единицы измерения

    При составлении пропорции убедитесь, что оба числителя имеют одинаковые единицы измерения и оба знаменателя имеют одинаковые единицы измерения.

    Например, в Примере 5 в обоих числителях используются «апельсины», а в обоих знаменателях — «доллары».

    Эта пропорция составлена ​​правильно, потому что оба числителя имеют одинаковые единицы измерения и оба знаменателя имеют одинаковые единицы измерения. С другой стороны, если бы мы неправильно установили пропорцию следующим образом,

    , быстрая проверка единиц выявит ошибку; т. е. числители имеют разные единицы измерения, а знаменатели имеют разные единицы измерения. Проверка единиц помогает нам избежать ошибок!

    Пример 6

    Дилан и Дэвид планируют поход в национальный парк Йосемити. На их карте легенда указывает, что 1,2 сантиметра соответствуют 2 милям. Какова продолжительность их пути, если длина маршрута на карте составляет 10,6 см? Округлите ответ до ближайшей десятой мили.

    Решение

    Построим пропорцию в единицах.

    \[\frac{1,2 \text{ см}}{2 \text{ми}} = \frac{10,6 \text{см}}{x \text{ми}}\номер\]

    Обратите внимание, как включая единицы помогают в настройке пропорции. Теперь отбросим единицы измерения и найдем x .

    \[ \begin{align} \frac{1.2}{2} = \frac{10.6}{x} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Исходная пропорция.}} \\ 1.2x = (2) (10.6) ~ & \textcolor{red}{ \text{ Перекрестное умножение.}} \\ 1,2x = 21,2 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Упростить правую часть.}} \\ \frac{1.2 x}{1.2} = \frac{21.2}{1.2} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Разделите обе части на 1.2.}} \\ x \приблизительно 17,66 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Справа: Разделить.}} \end{aligned}\nonumber \]

    Мы перенесли деление на один десятичный знак справа после десятых. Цифра округления — 6, а следующая проверочная цифра — 6. Добавьте 1 к цифре округления и усеките.

    С точностью до десятой мили пеший маршрут составляет примерно 17,7 миль.

    Упражнение

    Элоиза и Сюзанна планируют поездку в национальный парк Секвойя. На их карте 3 дюйма соответствуют 50 милям. Какова продолжительность их поездки, если размер маршрута составляет \(4 \frac{1}{2}\) дюймов на карте?

    Ответить

    75 миль

    Пример 7

    Рецепт приготовления 2 дюжин печенья требует \(1 \frac{3}{4}\) чашек муки, среди других ингредиентов. Если пекарь хочет испечь в два раза больше печенья, сколько потребуется муки?

    Решение

    Дважды 2 дюжины - это 4 дюжины печенья. Пусть x представляют собой количество муки, необходимое для 4 дюжин печенья. Принимая равноценную норму на 2 дюжины печенья (на 2 дюжины требуется 1 3 4 стакана муки), составим следующую пропорцию. Опять же, использование единиц помогает нам создать правильную пропорцию.

    \[\frac{2 \text{дюжина}}{1 \frac{3}{4} \text{чашек}} = \frac{4 \text{дюжина}}{x \text{чашек}}\ nonumber \]

    Обратите внимание, как включение единиц помогает в настройке пропорции. Теперь отбросим единицы измерения и найдем x .

    \[ \begin{aligned} \frac{2}{1 \frac{3}{4}} = \frac{4}{x} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Исходная пропорция.}} \\ 2x = 1 \frac{3}{4} \cdot 4 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Перекрестное умножение.}} \\ 2x = \frac{7}{4} \cdot 4 ~ & \ textcolor{red}{ \text{ Заменить на неправильную дробь.}} \\ 2x = 7 ~ & \textcolor{red}{ \text{ Умножить. }} \end{aligned}\nonumber \]

    Разделите обе части уравнения на 2 и закончите.

    \[ \begin{aligned} \frac{2x}{2} = \frac{7}{2} ~ & \textcolor{red}{ \text{ Разделить обе стороны на 2.}} \\ x = \ frac{7}{2} \end{aligned}\nonumber \]

    Замените неправильную дробь на смешанную. Таким образом, для приготовления 4 дюжин печенья потребуется \(3 \frac{1}{2}\) стаканов муки.

    Упражнение

    Тесто для 3 пицц требует \(8 \frac{1}{2}\) чашек муки. Если пекарь хочет испечь 9 пицц, сколько чашек муки потребуется?

    Ответить

    \(25 \frac{1}{2}\) чашек

    Упражнения

    Какое из следующих утверждений в упражнениях 1-12 является истинной пропорцией?

    1. \(\frac{9}{7} = \frac{27}{21}, ~ \frac{4}{3} = \frac{9}{7}, ~ \frac{7}{ 2} = \frac{8}{9}, ~ \frac{4}{8} = \frac{9}{6}\)

    2. \(\frac{6}{7} = \frac{ 18}{21}, ~ \frac{2}{3} = \frac{8}{6}, ~ \frac{4}{3} = \frac{3}{2}, ~ \frac{8} {9} = \frac{3}{8}\)

    3. \(\frac{7}{6} = \frac{28}{24}, ~ \frac{5}{6} = \frac {5}{4}, ~ \frac{9}{5} = \frac{7}{3}, ~ \frac{9}{2} = \frac{8}{9}\)

    4. \(\frac{7}{6} = \ frac{2}{8}, ~ \frac{4}{5} = \frac{5}{7}, ~ \frac{3}{4} = \frac{15}{20}, ~ \frac{ 8}{4} = \frac{8}{7}\)

    5. \(\frac{6}{5} = \frac{24}{20}, ~ \frac{7}{3} = \frac{2}{4}, ~ \frac{2}{4} = \frac{2}{6}, ~ \frac{5}{2} = \frac{2}{8}\)

    6. \(\frac{9}{8} = \frac{4}{3}, ~ \frac{5}{7} = \frac{10}{14}, ~ \frac{8}{6} = \frac{5}{4}, ~ \frac{8}{5} = \frac{2}{6}\)

    7. \(\frac{3}{5} = \frac{2} {8}, ~ \frac{3}{7} = \frac{6}{14}, ~ \frac{5}{6} = \frac{2}{4}, ~ \frac{7}{4} } = \фракция{5}{9}\)

    8. \(\frac{7}{3} = \frac{7}{6}, ~ \frac{4}{7} = \frac{8}{14}, ~ \frac{ 5}{3} = \frac{7}{8}, ~ \frac{5}{7} = \frac{6}{9}\)

    9. \(\frac{5}{4} = \frac{25}{20}, ~ \frac{9}{3} = \frac{9}{6}, ~ \frac{7}{4} = \frac{3}{6}, ~ \frac {3}{5} = \frac{9}{4}\)

    10. \(\frac{7}{6} = \frac{6}{9}, ~ \frac{7}{3} = \frac{2}{5}, ~ \frac{6}{7} = \frac{30}{35}, ~ \frac{4}{7} = \frac{2}{8}\)

    11. \(\frac{9}{7} = \frac{4}{3}, ~ \frac{9}{4} = \frac{7}{9}, ~ \frac{3}{5 } = \frac{6}{10}, ~ \frac{3}{9} = \frac{9}{5}\)

    12. \(\frac{4}{3} = \frac{8}{7}, ~ \frac{2}{6} = \frac{5 {8}, ~ \frac{7}{2} = \frac{3}{6}, ~ \frac{9}{4} = \frac{36}{16}\)


    В упражнениях 13 -36, решите данную пропорцию.

    13. \(\frac{17}{3} = \frac{x}{18}\)

    14. \(\frac{16}{5} = \frac{x}{20}\)

    15. \(\frac{6x + 10}{6} = \frac{11}{3}\)

    16. \(\frac{4x + 8}{12} = \frac{5}{ 3}\)

    17. \(\frac{17}{9} = \frac{x}{18}\)

    18. \(\frac{8}{9} = \frac{x}{18}\)

    19. \(\frac{11}{2} = \frac{x}{8}\)

    20. \(\frac{11}{4 } = \frac{x}{8}\)

    21. \(\frac{7x + 15}{15} = \frac{10}{3}\)

    22. \(\frac{7x + 3}{8} = \frac{5}{4}\)

    23. \(\frac{11}{2} = \frac{x}{10}\)

    24. \(\frac{ 19}{6} = \frac{x}{18}\)

    25. \(\frac{5x + 8}{12} = \frac{2}{3}\)

    26. \(\ frac{3x + 12}{6} = \frac{3}{2}\)

    27. \(\frac{2}{15} = \frac{24}{x}\)

    28. \ (\ гидроразрыва {7} {8} = \ гидроразрыва {14} {x} \)

    29. \(\frac{3}{16} = \frac{6}{x}\)

    30. \(\frac{4}{21} = \frac{12}{x}\)

    31. \(\frac{5}{22} = \frac{20}{x}\)

    32. \(\frac{3}{22} = \frac{21}{x}\)

    33. \(\frac{2x + 10}{6} = \frac{14}{3}\)

    34. \(\frac{2x + 9}{9} = \frac{13}{ 3}\)

    35. \(\frac{7}{2} = \frac{21}{x}\)

    36. \(\frac{2}{15} = \frac{18}{ x}\)


    37. Если 13 собачьих костей стоят 1,97 доллара, сколько будет стоить 7 собачьих костей (при условии равного курса)? Округлите ответ до копейки.

    38. Если 2 арбуза стоят 3,89 доллара, сколько будет стоить 11 арбузов (при равном курсе)? Округлите ответ до копейки.

    39. Если 7 бананов стоят 2,55 доллара, сколько будет стоить 14 бананов (при равном курсе)? Округлите ответ до копейки.

    40. Если 2 яблока стоят 2,05 доллара, сколько будет стоить 8 яблок (при равном курсе)? Округлите ответ до копейки.

    41. Если 13 апельсинов стоят 3,61 доллара, сколько будет стоить 11 апельсинов (при равном курсе)? Округлите ответ до копейки.

    42. Если 3 арбуза стоят 1 доллар 05 центов, сколько будет стоить 9 арбузов (при равном курсе)? Округлите ответ до копейки.

    43. Если 3 собачьи кости стоят 1,23 доллара, сколько будет стоить 13 собачьих костей (при равном курсе)? Округлите ответ до копейки.

    44. Если 3 арбуза стоят 4,41 доллара, сколько будет стоить 7 арбузов (при равном курсе)? Округлите ответ до копейки.

    45. Если 3 яблока стоят 3,24 доллара, сколько будет стоить 13 яблок (при равном курсе)? Округлите ответ до копейки.

    46. Если 6 яблок стоят 3,43 доллара, сколько будет стоить 7 яблок (при условии равного курса)? Округлите ответ до копейки.

    47. Если 4 собачьи кости стоят 1,03 доллара, сколько будет стоить 8 собачьих костей (при равном курсе)? Округлите ответ до копейки.

    48. Если 4 апельсина стоят 4,28 доллара, сколько будет стоить 3 апельсина (при равном курсе)? Округлите ответ до копейки.


    49. Два рулона. На Гаити две плоские булочки стоят 5 гурдов, около 12 центов. Сколько центов будут стоить 20 рулонов? Ассошиэйтед Пресс-Таймс-Стандарт 18.02.10 Гаитянские лагеря землетрясений превращаются в трущобы.

    50. Турбины. Согласно предложению, проект Shell Wind Energy состоит из 25 коньковых турбин, которые могут генерировать до 50 мегаватт, чего достаточно для снабжения электроэнергией около 1000 домов. Оцените количество турбин на вершине хребта, которые потребуются для снабжения электричеством 70 000 домов, приблизительное количество владений в округе Гумбольдт, Калифорния. John Driscoll Times-Standard 24.12.09 Проект ветроэнергетики находится на анализе.

    51. Самосвалы. На шоссе 199 США произошел оползень, в результате которого на дорогу упало до 3000 кубических ярдов материала, для вывоза которого, как сообщается, потребовалось около 200 больших самосвалов. Всего за неделю до этого на шоссе 96 упало 40 000 кубических ярдов материала. Оцените количество самосвалов, необходимых для этого спуска, округлив до ближайшего целого числа. Ассошиэйтед Пресс-Таймс-Стандарт 03/09/10 Еще одно шоссе закрыто оползнем.

    52. Продажа пиломатериалов. План национального леса Тонгасс площадью 26 000 квадратных миль на Аляске позволяет продавать древесину до 267 миллионов досочных футов в год — этого достаточно для почти 27 000 домов с двумя спальнями, но спрос на древесину намного меньше этого. В 2009 году в лесу было вырублено менее 25 миллионов досок-футов.. Чиновники Лесной службы заявили, что надеются увеличить лесозаготовку в Тонгассе примерно до 100 миллионов доск-футов в год. Ассошиэйтед Пресс-Таймс-Стандарт 18.02.10 Промышленность проигрывает судебный процесс по вырубке леса на Аляске.

    i) Оцените количество домов с 2 спальнями, которые можно построить из 25 миллионов деревянных досок.

    ii) Сколько домов с 2 спальнями можно построить из 100 миллионов деревянных досок?

    53. Дорогостоящий разлив. В Австралии штрафы для судов, виновных в разливе нефти, составляют примерно 1,75 млн австралийских долларов, что эквивалентно примерно 1,64 млн долларов США. После того, как нефтяной танкер наскочил на коралловый риф, австралийские власти рассматривают возможность увеличения штрафа до 10 миллионов австралийских долларов. Каким будет новый штраф в долларах США? Округлите ответ до ближайшей сотой доли миллиона долларов. Ассошиэйтед Пресс-Таймс-Стандарт 13.04.10 Корабль, выливший нефть на Большой Барьерный риф, удален.


    Ответы

    1. \(\frac{9}{7} = \frac{27}{21}\) пропорция

    3. \(\frac{7}{6} = \frac {28}{24}\) — пропорция

    5. \(\frac{6}{5} = \frac{24}{20}\) — пропорция

    7. \(\frac{3} {7} = \frac{6}{14}\) — пропорция

    9. \(\frac{5}{4} = \frac{25}{20}\) — пропорция

    11. \ (\frac{3}{5} = \frac{6}{10}\) пропорция

    13. 102

    15. 2

    17. 34

    19. 44

    21. 5

    23. 55

    25. 0

    27. 180

    29. 32

    31. 88.

    33. 9

    35. 6

    37. $ 1,06

    39. 5,10 долл. США

    41. 3,05 долл. США

    43. 5,33

    45. $ 14,04

    47. 2,06

    49,08

    47. 47. 2,06

    49,08

    47. 47. $ 2, , 667 грузов

    53. 9,37 млн ​​долларов США

    долларов США

    Эта страница под названием 6.3: Introduction to Proportion распространяется под лицензией CC BY-NC-SA, автором, ремиксом и/или куратором этой страницы является Дэвид Арнольд.

    1. Наверх
    • Была ли эта статья полезной?
    1. Тип изделия
      Раздел или страница
      Автор
      Дэвид Арнольд
      Лицензия
      CC BY-NC-SA
      Показать страницу TOC
      нет
    2. Метки
      1. перекрестное умножение
      2. пропорция

    Пропорция (математика): определение, формула и примеры

    Пропорция просто говорит о наличии связи между двумя вещами. Например, если одна переменная увеличивается, и это вызывает такое же увеличение другой переменной, это означает, что эти две переменные пропорциональны. Если две вещи пропорциональны, между двумя переменными существует константа пропорциональности. Мы увидим больше об этом позже.


    Какой символ мы используем для пропорции?

    Чтобы показать, что две переменные пропорциональны друг другу, мы используем символ ∝. Например, закон Ома гласит, что ток в проводнике между двумя точками прямо пропорционален напряжению в этих двух точках. Обозначив напряжение через V, а ток через I, мы можем написать .

    Всякий раз, когда мы видим символ пропорциональности, мы можем заменить его знаком равенства и константой пропорциональности. Это означает, что мы можем записать закон Ома в виде V = kI, где k — наша константа.

    Что такое прямые пропорции?

    Если две переменные прямо пропорциональны, то при увеличении одной переменной увеличивается и другая. И наоборот, это означает, что по мере уменьшения одной переменной уменьшается и другая. Любая прямая зависимость для переменных A и B может быть записана как A = kB. Это означает, что на графике это отношение будет представлено в виде прямой линии, проходящей через начало координат. Это показано ниже.

    График, показывающий прямую зависимость формы A = kB

    Вес куска струны прямо пропорционален его длине. Когда кусок веревки имеет длину 30 см, он весит 0,2 Н. Найдите вес отрезка веревки, если длина нити 50 см.
    Мы знаем, что это прямо пропорционально, поэтому мы знаем отношение W∝L, когда W представляет вес, а L представляет длину. Пусть a будет нашей константой пропорциональности, так что W = aL. Из первой части вопроса мы знаем , так что . Теперь мы можем использовать это, чтобы найти вес, когда длина нити 50 см. Это же соотношение имеет место, поэтому . Подставив в нашу длину 50 см, получим , то есть с точностью до двух знаков после запятой, W = 0,33Н.

    Что такое обратные пропорции?

    Обратная пропорция имеет место, когда увеличение одной переменной приводит к уменьшению другой переменной. Если бы эта связь имела место между переменными c и d, мы бы написали c∝. Примером обратной пропорции может быть то, что при увеличении скорости время прохождения расстояния будет уменьшаться. Графически это означает, что форма отношения будет представлена ​​как y = k/x, где k будет постоянным, а x, y переменными. Это означает, что график никогда не коснется оси, но он станет очень-очень близким, если мы введем очень большое значение x или значение x, очень близкое к 0. Это показано ниже.

    График обратно пропорциональной зависимости

    Две переменные b и n обратно пропорциональны друг другу. Когда b = 6, n = 2. Найдите значение n, когда b равно 15.
    Мы знаем b∝ , поэтому , когда k — наша константа пропорциональности. Заполняя значения b и n, получаем , поэтому k = 12. Это означает, что для всех значений b и n b = 12/n. Нам нужно найти n, когда b = 15, поэтому мы можем заполнить это, чтобы получить 15 = 12 / n. Преобразуя это для n, мы получаем n = 12/15 = 0,8.

    Пропорции и формы

    Если две фигуры пропорциональны, это означает, что обе формы одинаковы, за исключением того, что одна из этих фигур будет увеличена или уменьшена. Чтобы две фигуры были подобны, необходимо, чтобы все углы в фигуре были одинаковыми, а все стороны были пропорциональны. Опять же, здесь у нас будет константа пропорциональности, которая связывает две формы. В одном измерении это называется масштабным коэффициентом длины, в двух измерениях мы будем называть его масштабным коэффициентом площади, а в трех измерениях это называется масштабным коэффициентом объема. Мы можем переводить между масштабным коэффициентом длины и масштабным коэффициентом объема или площади. Чтобы получить масштабный коэффициент площади, мы должны умножить масштабный коэффициент длины в двух измерениях, поэтому, чтобы получить масштабный коэффициент объема, мы должны умножить масштабный коэффициент длины в трех измерениях, поэтому

    Два куба математически подобны. Первый куб имеет площадь лица 16 м². Стороны второго куба равны половине длины сторон первого куба. Найдите объем второго куба. Масштабный коэффициент длины между формами равен , что означает, что масштабный коэффициент объема равен .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.