Рациональные выражения объяснение темы: Рациональные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Рациональные выражения

Вопросы занятия:

·  вспомнить, какие выражения называют рациональными;

·  поговорить об основном свойстве дробей;

· вспомнить, как выполняют действия над рациональными дробями.

Материал урока

Прежде, чем мы начнём говорить о рациональных выражениях, стоит вспомнить такие понятия, как «целые выражения» и «дробные выражения».

Итак, целые выражения – это выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля.

Например, целыми являются выражения:

Любое целое выражение можно представить многочленом.

В отличие от целых выражений, дробные выражения помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными.

Т.е. дробные выражения – это выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на выражения с переменными.

Например, дробными будут выражения:

Напомним, что значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

Множество всех допустимых значений переменных называется областью допустимых значений (коротко ОДЗ) или областью определения выражения.

Область определения целого выражениялюбые значения переменных. Чтобы найти значение целого выражения, нужно подставить указанное значение переменной и выполнить все действия.

Например, целое выражение:  имеет смысл при любых действительных , ,  и .

Дробное же выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла.

Область определения дробного выражения – все значения переменных, при которых

делители этого выражения не равны нулю.

Например, дробное выражение  не имеет смысла при . Так как в этом случае в знаменателе получится нуль. А мы помним, что на нуль делить нельзя. При всех же остальных значениях переменных это выражение имеет смысл.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Определение.

Рациональными выражениями называют выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий.

Например,

Чтобы найти значение рационального выражения, надо:

1)    подставить числовое значение переменной в данное выражение;

2)    выполнить все действия.

Задание.

Найти значение дроби:

а) , при  ;           б) , при ;             в) , при .

Первое выражение: . Подставим указанное значение  в выражение. Выполним действия. В результате получим,

Переходим ко второму дробному выражению . Нужно найти его значение при . Значит, подставим указанное значение вместо а. Выполним все действия по порядку. Получим,

И третье дробное выражение: . Найдём его значение при . Подставим указанное значение. Выполним действия. Получим,

Заметили, в знаменателе получился нуль? Разве мы можем делить на нуль? Правильно! Значит, выражение:  не имеет смысла при , так как на нуль делить нельзя.

Как вы уже знаете, выражение вида  называется дробью.

Определение.

Дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, называют

рациональной дробью.

Например, выражения:

являются рациональными дробями.

Область определения рациональной дроби – все значения переменных, при которых знаменатель не равен нулю.

Задание.

Указать область определения следующих рациональных дробей:

а) ;                                                б) .

Итак, первый пример: . Область определения данной дроби: все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель , т.е. все числа, кроме  и .

И второй пример: . Область определения данной дроби все действительные числа, так как знаменатель  ни при каких а.

Рассмотрим равенство: .

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменной, т.е. при всех , кроме  и .

Такое равенство называют

тождеством.

Определение.

Тождество – это равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Два выражения, принимающие равные значения при всех допустимых значениях переменных, называются тождественно равными.

Замену одного такого выражения другим называют тождественным преобразованием выражения.

Справедливо следующее тождество: , если , где  и  – не равные нулю многочлены.

Рассмотрим равенство: .

Это равенство верно при всех допустимых значениях переменной , т.е. при всех  кроме  и . Так как .

Перейдём к основному свойству рациональной дроби.

Итак, основное свойство рациональной дроби сводится к тому, что:

Если числитель и знаменатель рациональной дроби умножить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Если числитель и знаменатель рациональной дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Основное свойство рациональной дроби позволяет сокращать дроби и приводить дробь к новому знаменателю.

Чтобы сократить рациональную дробь, нужно предварительно разложить на множители числитель и знаменатель дроби, а затем разделить их на общие множители.

Задание.

Привести дроби к новому знаменателю:

а)  к знаменателю ;              б)  к знаменателю .

Первая рациональная дробь: . Её нужно привести к знаменателю . Не трудно заметить, что  – это произведение . Значит, мы должны умножить дробь на . Напомним, что для того чтобы значение дроби не изменилось, нужно и числитель, и знаменатель умножить на одно и то же число. Тогда получаем дробь:

Множитель:  называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби .

Вторая дробь: . Её нужно привести к новому знаменателю . Для этого числитель и знаменатель дроби нужно умножить на выражение: . Выполним умножение. Получим дробь:

Задание.

Сократить дроби:

а) ;                                                              б) .

Рассмотрим первую рациональную дробь. Числитель состоит из произведения ,  и , знаменатель из произведения ,  и . Дробь можно сократить на общий множитель . В итоге получим дробь,

Вторая рациональная дробь: . В числителе вынесем общий множитель  за скобку. Сократим дробь на общий множитель . В результате получим,

Перейдём к действиям над рациональными дробями. Давайте вспомним, какие действия можно выполнять над рациональными дробями и по каким правилам.

Итак, правило сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями:

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тем же.

В буквенном виде это правило записывают так:

где ,  и  – многочлены, причём  – не равный нулю многочлен. Это правило справедливо при сложении любого числа дробей.

Например, найдём сумму дробей .

Видно, что у первой и второй рациональных дробей один и тот же знаменатель. Воспользуемся правилом сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Сложим их числители, а знаменатель оставим тем же.

Получим,

Вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями выполняется аналогично сложению.

Вспомним правило вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы выполнить вычитание рациональных дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить тем же.

В буквенном виде это правило записывают так:

где ,  и  – многочлены, причём  – не равный нулю многочлен.

Рассмотрим пример. Найти разность дробей .

Дроби имеют одинаковые знаменатели. Значит, можем смело воспользоваться правилом вычитания рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Из числителя первой дроби вычтем числитель второй дроби, знаменатель оставим прежним. Сократим числитель и знаменатель дроби на выражение . В итоге получим,

Сложение и вычитание рациональных дробей с разными знаменателями выполняется аналогично сложению и вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями, но предварительно нужно дроби привести к общему знаменателю.

где , ,  и  – многочлены, причём ,  – не равные нулю многочлены.

Вспомним алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю:

1) разложить на множители знаменатель каждой дроби;

2) найти дополнительный множитель каждой дроби. Он равен произведению тех множителей знаменателей остальных дробей, которые не содержатся в знаменателе этой дроби;

3) домножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Задание.

Представить в виде дроби:

.

Знаменатели дробей представлены в виде одночленов. Разложим знаменатель последней дроби на множители, применяя формулу разности квадратов. Затем приведём дроби к общему знаменателю. Общим знаменателем трёх дробей является выражение . Значит, дополнительным множителем к первой дроби будет выражение , а дополнительным множителем ко второй дроби: . Тогда получим,

Теперь дроби имеют одинаковые знаменатели. А значит, можем воспользоваться правилом сложения рациональных дробей с одинаковыми знаменателями. Упростим числитель, получившейся дроби. Обратите внимание, в числителе можем вынести общий множитель 2 за скобки. Сократим числитель и знаменатель на выражение . В результате, получим дробь:

Умножение рациональных дробей выполняется аналогично умножению обыкновенных дробей.

Вспомним правило умножения рациональных дробей.

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе – знаменателем дроби.

В буквенном виде это правило записывают так:

где , ,  и  – многочлены, причём ,  – не равные нулю многочлены.

Это правило выполняется и когда произведение трёх и более рациональных дробей.

Прежде чем выполнять умножение рациональных дробей, полезно их числители и знаменатели разложить на множители. Это облегчит сокращение той рациональной дроби, которая получится в результате умножения.

Рассмотрим пример. Выполнить умножение рациональных дробей:

.

Воспользуемся правилом и умножим числитель первой дроби на числитель второй дроби, знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби. Сократим дробь. В результате получим:

Теперь вспомним, как выполняется возведение рациональной дроби в степень.

Чтобы возвести дробь в степень, надо возвести в эту степень числитель и знаменатель и первый результат записать в числителе, а второй в знаменателе дроби.

В буквенном виде это правило записывают так:

где 𝒂, 𝒃 – многочлены, причём .

Рассмотрим пример. Возведём в 4-ую степень дробь .

Воспользуемся правилом возведения рациональной дроби в степень. Получим дробь,

Обратите внимание, что и числовой множитель в числителе мы также возводим в степень.

Деление рациональных дробей сводится к делению обыкновенных дробей.

Вспомним правило деления рациональных дробей:

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

В буквенном виде это правило записывают так:

где 𝒂, 𝒃, 𝒄 и 𝒅 – многочлены, причём ,  и .

Прежде чем выполнять деление рациональных дробей, полезно их числители и знаменатели разложить на множители. Это облегчит сокращение той рациональной дроби, которая получится в результате деления.

Рассмотрим пример. Выполнить деление рациональных дробей:

.

Воспользуемся правилом деления рациональных дробей. Т.е. первую дробь умножим на дробь обратную второй или, что то же самое числитель первой дроби умножим на знаменатель второй дроби, а знаменатель первой дроби умножим на числитель второй дроби. Заметим, в числителе дроби мы можем вынести  за скобку, а в знаменателе: 3 за скобку. Затем сократим числитель и знаменатель получившейся дроби на  и на выражение . В результате получим дробь:

Итоги урока

На этом уроке мы разобрали тему «рациональные выражения». Вспомнили, какие выражения называют рациональными. Поговорили об основном свойстве дробей. И вспомнили, как выполняют действия над рациональными дробями.

 

 

 

«Рациональные уравнения, примеры решений», презентация

Дата публикации: .

Презентация и урок на тему: «Рациональные уравнения. Алгоритм и примеры решения рациональных уравнений»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.


Скачать:Рациональные уравнения (PPTX)

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 8 класса
Пособие к учебнику Макарычева Ю. Н.    Пособие к учебнику Мордковича А.Г.



Знакомство с иррациональными уравнениями


Ребята, мы научились решать квадратные уравнения. Но математика только ими не ограничивается. Сегодня мы научимся решать рациональные уравнения. Понятие рациональных уравнений во многом схоже с понятием рациональных чисел. Только помимо чисел теперь у нас введена некоторая переменная $х$. И таким образом мы получаем выражение, в котором присутствуют операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень.

Пусть $r(x)$ – это рациональное выражение. Такое выражение может представлять из себя простой многочлен от переменной $х$ или отношение многочленов (вводится операция деления, как для рациональных чисел).
Уравнение $r(x)=0$ называется рациональным уравнением.
Любое уравнение вида $p(x)=q(x)$, где $p(x)$ и $q(x)$ – рациональные выражения, также будет являться рациональным уравнением.

Рассмотрим примеры решения рациональных уравнений.

2+2x-3=0$.
$x_{1,2}=\frac{-2±\sqrt{4-4*(-3)}}{2}=\frac{-2±4}{2}=1;-3$.
Теперь проверим знаменатель дроби: $(x-3)*x≠0$.
Произведение двух чисел равно нулю, когда хотя бы одно из этих чисел равно нулю. Тогда: $x≠0$ или $x-3≠0$.
$x≠0$ или $x≠3$.
Корни, полученные в числителе и знаменателе, не совпадают. Значит в ответ записываем оба корня числителя.
Ответ: $х=1$ или $х=-3$.

Если вдруг, один из корней числителя совпал с корнем знаменателя, то его следует исключить. Такие корни называются посторонними!

Алгоритм решения рациональных уравнений:


1. Все выражения, содержащиеся в уравнении, перенести в левую сторону от знака равно.
2. Преобразовать эту часть уравнения к алгебраической дроби: $\frac{p(x)}{q(x)}=0$.
3. Приравнять полученный числитель к нулю, то есть решить уравнение $p(x)=0$.
4. Приравнять знаменатель к нулю и решить полученное уравнение. Если корни знаменателя совпали с корнями числителя, то их следует исключить из ответа. 2+x+4}$.
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$.

Упрощение рациональных выражений — объяснение и примеры

Теперь, когда вы понимаете, что такое рациональные числа, следующая тема этой статьи — рациональные выражения и способы их упрощения . Просто для вашего удобства мы определяем рациональное число как число, выраженное в форме p/q, где оно не равно нулю.

Другими словами, мы можем сказать, что рациональное число — это не что иное, как дробь, в которой числитель и знаменатель являются целыми числами. Примеры рациональных чисел: 5/7, 4/9./ 1/ 2, 0/3, 0/6 и т. д.

С другой стороны, рациональное выражение — это алгебраическое выражение вида f(x) / g(x), в котором числитель или знаменатель являются полиномами, или и числитель, и числитель являются полиномами.

Примеры рационального выражения: 5/x − 2, 4/(x + 1), (x + 5)/5, (x 2 + 5x + 4)/(x + 5), (x + 1 )/(х + 2), (х 2 + х + 1)/2х и т. д.

Упрощение рационального выражения — это процесс приведения рационального выражения к его наименьшим возможностям. Рациональные выражения упрощаются так же, как упрощаются числовые числа или дроби.

Чтобы упростить любое рациональное выражение, мы применяем следующие шаги:

  • Факторизируем знаменатель и числитель рационального выражения. Не забудьте записать каждое выражение в стандартной форме.
  • Сократите выражение, сократив общие множители в числителе и знаменателе
  • Перепишите оставшиеся множители в числителе и знаменателе.

Упростим пару примеров, как показано ниже:

Пример 1

Упрощение: (x 2 + 5x + 4) (x + 5)/(x 2 — 1)

Раствор

Факторинг. ;

⟹ (x + 1) (x + 4) (x + 5)/(x + 1) (x – 1)

Теперь отмените общие условия. Пример 2

Решение

Умножьте числитель и знаменатель, чтобы получить.

⟹ (x + 2) (x – 2) / (x + 2) (x + 2)

Теперь сократите общие множители в числителе и знаменателе, чтобы получить.

= (x — 2) / (x + 2)

Пример 3

Упростить рациональное выражение x / (x 2 — 4x)

Раствор

x Out В знаменатель получить;

⟹x /x (x – 4)

Сократив общие члены сверху и снизу, получим; 9Пример 4 и знаменатель;

= (5x + 20) / (7x + 28) ⟹ 5(x + 4) / 7(x + 4)

При отмене общих условий получаем; Пример 50011 2  –  4)

Решение

Фактор верхней и нижней части выражения.

= (х 2  + 7х + 10) / (х 2  – 4) ⟹ (х + 5) (х + 2) / (х – 2 2 )

900 + 5) (x + 2) / (x + 2) (x – 2)

Отмените общие условия, чтобы получить; Пример 60005

= (3x + 9) / (3x + 15) ⟹ 3(x + 3) / 3(x + 5)

= (x + 3) / (x + 5)

Пример 7

Упростить рациональное выражение (64a 3  + 125b 3 ) / (4a 2 b + 5ab 2 )

  • Решение

    8 90;

    = (64A 3 + 125B 3 ) / (4A 2 B + 5AB 2 ) ⟹ [(4A) 3 + (5B) 3 ] / AB (4A + 5B)

    ⟹ (4a + 5b) [(4a) 2  – (4a) (5b) + (5b) 2 ] / ab (4a + 5b)

    Отмените общие термины, чтобы получить;

    = (16A 2 — 20AB + 25B 2 ) / AB

    Пример 8

    Упростить следующее рациональное выражение

    (9x 2 — 25Y 2 ) / (3x 2 — 25Y 2 ) / (3x 2 — 25Y 2 ) / (3x 2 — 25y 2 ) / (3x 2 — 25y 2 ) / (3x 2 — 25y 2 ) / (3x 2 — 25y 2 ) / (3x 2 — 25y 2 ). 2  – 5xy)

    Решение

    = (9x 2  – 25y 2 ) / (3x 2  – 5xy) ⟹ [(3x) 2  – (5y) 2 ] / x (3x – 5y)

    = [(3x + 5y) (3x – 5y)] / x (3x – 5y)

    = (3x + 5y) / x

    Пример

    Упрощение: (6x 2 — 54) / (x 2 + 7x + 12)

    Раствор

    = (6x. 2  – 54) / (х 2  + 7х + 12)

    = 6(х 2  – 9) / (х + 3) (х + 4)

    = 6(х

    1 –

     3 2 ) / (х + 3) (х + 4)

    = 6(x ​​+ 3) (x – 3) / (x + 3) (x + 4)

    = 6(x ​​– 3) / (x + 4)

    Определение и упрощение рациональных выражений

    Обучение Результаты

    • Определение и упрощение рациональных выражений
    • Определить область определения рационального выражения

    Рациональные выражения — это дроби, имеющие многочлен в числителе, знаменателе или в обоих. 2}[/latex] в сочетании с методами факторизации многочленов. Есть несколько способов навлечь на себя неприятности при работе с рациональными выражениями, уравнениями и функциями. Один из них делит на ноль, а другой пытается разделить на сложение или вычитание.

    Определение домена рационального выражения

    Один из надежных способов сломать математику — это разделить на ноль. Рассмотрим следующее рациональное выражение, оцениваемое при [латекс]x = 2[/латекс]:

    Вычислите  [латекс]\frac{x}{x-2}[/латекс] для [латекс]х=2[/латекс]

    Замените [латекс]x=2[/латекс]

    [латекс]\begin{array}{l}\frac{2}{2-2}=\frac{2}{0}\end{array}[ /latex]

    Это означает, что для выражения [latex]\frac{x}{x-2}[/latex], [latex]x[/latex] не может быть [latex]2[/latex], поскольку оно получается неопределенное соотношение. В общем, поиск значений переменной, которые не приводят к делению на ноль, называется поиском домена. Поиск области определения рационального выражения или функции поможет вам не сломать математику.

    Область определения рационального выражения или уравнения

    Область определения рационального выражения или уравнения — это набор значений переменной, который не приведет к неопределенной математической операции, такой как деление на ноль. Для a = любое действительное число, мы можем обозначить домен следующим образом:

     [latex]x[/latex] — все действительные числа, где [latex]x\neq{a}[/latex]

    Причина, по которой вы не можете разделить любое число c на ноль [латекс] \left( \frac{c}{0}\,\,=\,\,? \right)[/latex] заключается в том, что вам нужно найти число, которое при умножении на [latex]0[/latex] вы получите обратно [latex]c \left( ?\,\,\cdot \,\,0\,\,=\,\,c \right )[/латекс]. Не существует чисел, которые могут это сделать, поэтому мы говорим «деление на ноль не определено». При упрощении рациональных выражений нужно обращать внимание на то, при каких значениях переменных в выражении знаменатель будет равен нулю. Эти значения не могут быть включены в домен, поэтому они называются исключенными значениями. Откажитесь от них в самом начале, прежде чем идти дальше.

    (Обратите внимание, что хотя знаменатель не может быть равен [latex]0[/latex], числитель может равняться — вот почему вы ищете только исключенные значения в знаменателе рационального выражения.)

    Для рациональные выражения, домен будет исключать значения, знаменатель которых [latex]0[/latex]. Следующий пример иллюстрирует нахождение домена выражения. Обратите внимание, что это точно такая же алгебра, которая используется для нахождения области определения функции.

    Simplify Rational Expressions

    Прежде чем мы углубимся в упрощение рациональных выражений, давайте рассмотрим разницу между фактором, термином и выражением. Мы надеемся, что это поможет вам избежать еще одного способа сломать математику при упрощении рациональных выражений.

    Факторы являются строительными блоками умножения. Это числа, которые можно перемножить, чтобы получить другое число: [латекс]2[/латекс] и [латекс]10[/латекс] являются множителями [латекс]20[/латекс], как и [латекс]4, 5, 1, 20[/латекс]. 92+x}{12-2x}[/латекс]. Обратите внимание, что знаменатель и числитель состоят из двух членов, связанных сложением и вычитанием. Мы должны ходить на цыпочках со сложением и вычитанием. Когда нас просят упростить, возникает искушение отказаться от одинаковых членов, как мы это делали, когда у нас были только множители. Но вы не можете этого сделать, это сломает математику!

    Будьте осторожны, чтобы не нарушить математику при работе с рациональными выражениями.

    В следующих примерах числитель и знаменатель представляют собой многочлены с более чем одним членом, и мы покажем вам, как правильно упростить их, разложив на множители. Это превращает выражения, связанные сложением и вычитанием, в термины, связанные умножением. 9{2}+4x+3}[/latex] и укажите домен.

    Показать решение

    В следующем видео мы представляем дополнительные примеры упрощения и нахождения области определения рационального выражения.