Разложение по формуле бинома ньютона: Бином Ньютона

Конспект урока по теме «Степень двучлена, разложение по формуле бином Ньютона»

Цели урока:

• Введение понятия степень двучлена, формулы Бином Ньютона и формулы комбинаторики о числе сочетаний .
• Вычисление биномиальных коэффициентов, построение треугольника Паскаля.
• Представление степени двучлена в виде многочлена по формуле Бином Ньютона.
• Обобщение знаний и умений по темам «Формулы сокращённого умножения», » Действия с многочленами».
• Формирование умений решать задачи повышенной сложности;
• Развитие логического мышления, мыслительных операций, таких как синтез и анализ, обобщение и сравнение.
• Развитие интереса к предмету.
• Создание условий для формирования информационной культуры учащихся.

Методы: проблемно-диалогический, объяснительно — иллюстративный, частично-поисковый.

Оборудование: школьная доска, тетради для лекций у учащихся, компьютер, интерактивная доска.

Ход урока

1. Организационный момент.

Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.

2. Актуализация опорных знаний и постановка проблемы.

Вопросы к учащимся:

прочитайте выражения: (х +2у)², (а- b)³, (c — d)², (а+1)³, (с+3а)⁴, (х -2)⁵.

(рис. № 1)

(квадрат суммы двух выражений х и 2у; куб разности двух выражений а и b; и т.д.)

Что общего в заданных выражениях?

(каждый случай является какой либо степенью многочлена из двух выражений или степенью двучлена.)

Представьте каждую степень двучлена в виде многочлена. Какими формулами воспользуетесь?

Формулами квадрата суммы и разности, куба суммы и разности для первых четырёх примеров, для 5 и 6 придётся степень представить в виде произведения степеней и выполнить умножение многочленов.

(х +2у)² = х² +4ху + 4у²

(а — 2)³ = а³ — 3а² 2 +3а 2² - 2³= а³ — 6а²+12а -8.

(c — 0,1d)² = с² — 0,2cd + 0,01d².

(а+2у)³ = а³ + 3а² 2у +3а (2у)² +(2у)³= а³ + 6а²у +12ау² +8у³.

(с+а)⁴ = (с+а)² (с+а)² = (с² +2са + а²) (с² +2са +а²) =

= с⁴ + 2ас³ +а²с² + 2ас³ +4а²с² +

2а³с +а²с² +2а³с +а⁴ =

= с⁴+ 4с³а +6с²а² + 4са³ +а⁴.

(х -2)⁵ = (х -2)³ (х -2)² = (х³ - 6х² +12х — 8) (х² — 4х+ 4) =

= х⁵ — 4х⁴ +4х³ — 6х⁴ +24х³ - 24х² +12х³ — 48х² + 48х — 8х² +32х -32 =

= х⁵ -10х⁴ + 40х³ — 80х² +80х -32. (рис. № 2)

Все случаи представляли собой степень двучлена, почему же в одних случаях пример решался легко и быстро, а в других сложно и долго?

(Выше степень двучлена, нет известной формулы сокращённого умножения для этих степеней.)

В каждом примере приходилось приводить подобные слагаемые, их количество было различным, как вы думаете, отчего зависело количество подобных слагаемых?

Логично предположить, что если есть формулы для второй и третьей степени двучлена, то возможно существует формулы и для более высоких степеней.

И количество подобных слагаемых тоже подчиняется какой-либо закономерности.

3. Введение нового материала.

Открываем тетради с лекциями и записываем новую тему «Степень двучлена, разложение по формуле бином Ньютона».

Но прежде чем рассмотреть саму формулу, введём определения сочетания и числа сочетаний, используемые в формуле бином Ньютона.

Определение: Пусть дано множество, состоящее из n элементов. Сочетанием из n элементов по m (0 ? m ? n) элементов называется любое подмножество, которое содержит m различных элементов данного множества.

Определение: Число всех возможных сочетаний из n элементов по m элементов обозначается С, читается С из n по m, вычисляется по формуле:

С= , где n! = 1 2 3 ::. (n-2)(n-1)n (читается n-факториал).

Отметим некоторые свойства числа сочетаний:

С= С;

С= С= 1;

С= С + С , где n, r >1 (рис. № 3)

Рассмотрим пример: Сколько различных двузначных чисел можно составить из данных 5 цифр:1,2,3,4,5.

Решение: Данные цифры — это множество, состоящее из 5 элементов. Составить двузначные числа — это значит найти все подмножества из двух элементов, то есть сочетания из 5 по 2. Их число посчитаем по формуле С= = =10. (рис. № 4)

Таким образом, 10 двузначных чисел можно построить из элементов заданного множества.

Вы можете это проверить простым перебором, при небольших значениях n и m, это несложно.

Мы вплотную подошли к количеству подобных слагаемых в разложении степени двучлена на многочлен.

Вернёмся к примеру №5: (с+а)⁴ = с⁴+ 4с³а +6с²а² + 4са³ +а⁴, что означают коэффициенты перед слагаемыми?

Столько раз эти слагаемые встретились при приведении подобных слагаемых в многочлене. Количество этих слагаемых есть не что иное, как число сочетаний С, где n — степень двучлена , m — степень второго выражения.

Степень одного из множителей в одночленах с³а или са³ равна 1, количество таких слагаемых, по определению сочетания, равно С = ==4, что подтверждается вашими вычислениями. Проверим нашу гипотезу на слагаемом 6с²а² : С = ==6, что также верно. Заметим, что первое и последнее слагаемое стоит с коэффициентом 1, так как степень одного из выражений в этом одночлене равна 0, а по свойствам сочетаний С= С= 1.

Можно проверить на известных формулах квадратов и кубов, что коэффициенты перед слагаемыми подчиняются той же закономерности.

Теперь обратим внимание на степени первого и второго выражений в одночленах, запишем ещё раз примеры №№1-6, опуская само решение:

(х +2у)² = х² +4ху + 4у²

(а — 2)³ = а³ — 6а²+12а -8.

(c — 0,1d)² = с² — 0,2cd + 0,01d².

(а+2у)³ = а³ + 6а²у +12ау² +8у³.

5. (с+а)⁴ = с⁴+ 4с³а +6с²а² + 4са³ +а⁴.

6. (х -2)⁵ = х

5 — 5 2 х⁴ + 10 2² х³ — 10 2³ х² + 5 2⁴ х -32 =

= х⁵ -10х⁴ + 40х³ — 80х² +80х -32. (рис. № 5)

Что вы заметили?

Объединим ваши замечания в следующие правила:

Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа;

Степени всех одночленов раны степени двучлена в условии;

Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой;

Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена.

Коэффициенты при слагаемых многочлена равны числу сочетаний С, где n — степень двучлена , m - переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.

(рис. № 6)

(оставить место в тетради на случай, если появятся ещё какие-либо замечания)

А теперь запишем формулу бинома Ньютона - формулу представления степени двучлена в многочлен.

Определение:

Для каждого натурального числа n и произвольных чисел a и b имеет место равенство

(a+b)ⁿ = Сaⁿ+ Сa^n-1 b + Сa^n-2 b² +:.+ Сa^n-r b^r +:.+ Сbⁿ.

Равенство называется формулой бинома Ньютона, числа С- биномиальными коэффициентами. (рис. № 7)

Запишем пример № 6, используя бином Ньютона:

(х -2)⁵ = Сх⁵ + Сх⁴(-2)¹ + Сх³ (-2)² + Сх² (-2)³ +Сх¹ (-2)⁴ +С(-2)⁵=

Посчитаем биномиальные коэффициенты, используя определение и свойства числа сочетаний:

С= С=1; С= С==5; С= С===10. )

=х⁵ -5 х⁴ 2+ 10х³ 2² — 10х² 2³ +5х 2⁴-2⁵= х⁵ -10х⁴ + 40х³ — 80х² +80х -32.

(рис. № 8)

Как видите, мы достигли того же результата, но гораздо быстрее.

И можем добавить ещё одно правило к правилам слайда № 6.

Что ещё, связанное с коэффициентами вы заметили?

Крайние коэффициенты равны 1, и все коэффициенты симметричны, относительно середины.

Добавим ещё одно правило, связанное со знаками между одночленами, в формуле бином Ньютона задана сумма, у нас же появились минусы.

Степень разности будет представлена в виде многочлена, знаки в котором чередуются, начиная со знака +, так как нечётная степень отрицательного выражения будет отрицательной, чётная степень всегда положительна.

Подведём итоги, что мы знаем о способе разложения степени двучлена в многочлен по формуле бином Ньютона.

(рис. № 9)

Формула бином Ньютона имеет вид:

(a+b)ⁿ = Сaⁿ+ Сa^n-1 b + Сa^n-2 b² +:.+ Сa^n-r b^r +:.+ Сbⁿ.

Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа;

Степени всех одночленов раны степени двучлена в условии;

Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой;

Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена.

Коэффициенты при слагаемых многочлена равны числу сочетаний С, где n — степень двучлена , m — переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.

Крайние коэффициенты равны 1, и все коэффициенты симметричны, относительно середины.

Степень разности будет представлена в виде многочлена, знаки в котором чередуются, начиная со знака +, так как нечётная степень отрицательного выражения будет отрицательной, чётная степень всегда положительна.

Вы видите, насколько рационализируется работа по возведению двучлена в степень, если использовать бином Ньютона. Но на самом деле нашу работу можно ещё упростить. Достаточно долго вы вычисляли биномиальные коэффициенты, а коэффициенты — это сочетания. Посмотрите внимательно, все ли свойства сочетаний, которые были ранее введены, мы использовали?

Свойство С= С + С, где n, r ?1 (1) осталось не востребованным, именно его используют при построении треугольника Паскаля.

Определение: Треугольник Паскаля — это треугольник, составленный из чисел, являющихся коэффициентами в формуле бином Ньютона.

Каждый крайний элемент равен 1, а каждый не крайний элемент равен сумме двух своих верхних соседей (свойство (1)).

(рис. № 10)

Треугольник можно продолжать до бесконечности, но на практике чаще составляют таблицу для первых 10 степеней.

Треугольник Паскаля для n от 1 до 10. (рис. № 11)

n	k1	k2	k3	k4	k5	k6	k7	k8	k9	k10	k11
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	70	70	56	28	8	1
9	1	9	36	126	126	126	84	36	9	1
10	1	10	45	210	210	252	210	120	45	10	1

4. Практическая работа.

1). Составьте формулы бинома Ньютона, используя первую, вторую и третью строки.

Для n=1 а+b = a+b — получается вполне естественное тождество.

Для n=2 (а + b)² = a² + 2ab+b²;

Для n=3 (а + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³;

Какой вывод вы сможете сделать?

Известные формулы квадрата и куба суммы или разности двух выражений являются частным случаем формулы бином Ньютона для n =2;3.

2). Дополнительный уровень. (рис. 12)

Сверните сумму в степень двучлена, если это возможно:

16a⁴ + 32a³ +216a²+72a +81.

Решение: 16a⁴= (2а)⁴, 81 = 3⁴. Предположим, что данная сумма является (2а+3)⁴.

Тогда второе слагаемое должно быть равно 4(2а)³3=96а³ > 32a³ , т.е. данная сумма не может быть степенью двучлена. Проверим далее, хотя для ответа в этом уже нет необходимости. Третье слагаемое 6(2а)²3²=216а² - совпадает, четвёртое слагаемое 42а3³= 216а > 72а. Итого, допущено две ошибки.

Ответ: данная сумма не может быть степенью двучлена.

5. Обучающая самостоятельная работа с последующей проверкой (рефлексия).

1. Представьте степень двучлена в виде многочлена, используя бином Ньютона и треугольник Паскаля:

а) (х+у)⁶

б) (1- 2а)⁴

2. Найти значение выражения (С+ С) : С

(рис. № 14)

Решение:

1а) (х+у)⁶= х⁶ +6х⁵у +15х⁴ у² +20х³у³ +15х²у⁴ +6ху⁵ +у⁶.

1б) (1- 2а)⁴ = 1 1⁴ (2а)⁰ — 4 1³ 2а + 6 1² (2а)² — 4 1¹ (2а)³ + 1 1⁰(2а)⁴ =

= 1 — 8а + 24а² — 32а³ + 16а⁴.

2. (С+ С) : С= = +=

(напомним, что =n; = .) = = 1.

6. Подведение итогов самостоятельной работы.

7. Подведение итогов урока. Можно ещё раз повторить выводы слайды № 9;11.

8. Домашнее задание: (рис. № 15)

Выучить формулу бином Ньютона.

Выучить формулы числа сочетаний и их свойства.

Представить в виде многочлена:

(х — 1)⁷

(2х — ?)⁴

Свернуть сумму в степень двучлена, если это возможно

81х⁴ — 108х³у + 54х²у² — 12ху³ + у⁴.

32а⁵+40a⁴b +20a³b² +5a²b³ +5/8ab⁴ +1/32b⁵

Дополнительный уровень:

Решить уравнение 5 С= С, используя формулу числа сочетаний.

Слайды даны в приложении 1.

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

< Лекция 1 || Лекция 2 || Лекция 3 >

Ключевые слова: коэффициенты, треугольник паскаля, таблица, бином Ньютона

Основные теоретические сведения

intuit.ru/2010/edi»>Биноминальные коэффициенты очень красиво располагаются треугольником, в котором каждое число (кроме первого) является суммой двух предшествующих. Этот треугольник называется треугольник Паскаля.

Таблица 1. Треугольник Паскаля для нахождения биноминального коэффициента

Показатель степени	Биноминальные коэффициенты
0
1
2
3
. ..		…	…	…	…	…	…	…	…	…
n				…	…	…	…	…

intuit.ru/2010/edi»>Эта таблица больше известна в виде значений:

Показатель степени	Биноминальные коэффициенты
0							1
1						1		1
2					1		2		1
3
				1		3		3		1
4			1		4		6		4		1
5		1		5		10		10		5		1
. ..		…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
n

intuit.ru/2010/edi»>(n-я строка состоит из чисел ).

Биномом Ньютона называют разложение вида:

( 1.7)

где – биноминальные коэффициенты.

Пример решения задачи

Задача: Разложить по формуле бином .

Решение: Используя треугольник Паскаля, находим биноминальные коэффициенты:

Показатель степени	Биноминальные коэффициенты
0							1
1						1		1
2					1		2		1
3				1		3		3		1
4			1		4		6		4		1
5		1		5		10		10		5		1
6	1		6		15		20		15		6		1

intuit.ru/2010/edi»>Используя полученные биноминальные коэффициенты, получаем разложение данного выражения:

Дальше >>

< Лекция 1 || Лекция 2 || Лекция 3 >

Теорема о биноме. Термины, уравнение, член и расширение

Теорема о биноме обеспечивает простой метод определения коэффициентов каждого члена в разложении бинома с помощью общего уравнения (A + B) ⁿ . Эта теорема, разработанная Исааком Ньютоном, широко использовалась в области вероятностей и статистики . Основным аргументом в этой теореме является использование формулы комбинации для вычисления искомых коэффициентов.

Вопрос о расширении уравнения с двумя неизвестными, называемого биномом, был поставлен в начале истории математики . Одно решение, известное как треугольник Паскаля , было определено в Китае еще в тринадцатом веке математиком Ян Хуэем. Его решение было независимо открыто в Европе 300 лет спустя Блезом Паскалем, чье имя с тех пор навсегда связано с ним. Биномиальная теорема, более простое и эффективное решение проблемы, была впервые предложена Исааком Ньютоном. Он разработал теорему, будучи студентом Кембриджа, и впервые опубликовал ее в письме, написанном для Готфрида Лейбница, немецкого математика.

Расширение уравнения типа (A + B) ⁿ просто означает его умножение. Используя стандартную алгебру , уравнение (A + B) ² можно преобразовать в форму A ² + 2AB + B ² . Аналогично, (A + B) ⁴ может быть записано ⁴ + 4A ³ B + 6A ² B ² + 4AB B ² + 4AB ² + 4.kniab99 0006 3 + Б ⁴ . Обратите внимание, что Условия для A и B Следуйте общей шаблоне A ^N B ⁰ , A ^N-1 B ¹ , ^N-2 B 10007, ^N-2 B . ² , A ^N-3 B ³ , …, ¹ B ^N-1 , A ⁰ B ^N , A ⁰ B ^N , A . Также обратите внимание, что по мере увеличения значения n количество терминов увеличивается. Это делает утомительным поиск коэффициентов для отдельных членов уравнения с большим значением n. Например, было бы сложно найти коэффициент для термина A ⁴ B ³ в разложении (A + B) ⁷ , если мы использовали этот алгебраический подход. Неудобство этого метода привело к разработке других решений задачи разложения бинома.

Одно решение, известное как треугольник Паскаля, использует массив чисел (показан ниже) для определения коэффициентов каждого члена.

Этот треугольник чисел создан по простому правилу дополнение . Числа в одной строке равны сумме двух чисел в строке непосредственно над ней. В пятой строке второй член, 4, равен сумме двух чисел над ним, а именно 3 + 1. Каждая строка представляет члены для разложения бинома слева. Например, термины для (A + B) ³ являются ³ + 3A ² B + 3AB ² + B ³ . Очевидно, коэффициент при членах A ³ и B ³ равно 1. Треугольник Паскаля работает более эффективно, чем алгебраический подход, однако создание этого треугольника для двучленов с большим значением n становится утомительным.

Биномиальная теорема предлагает более простой и эффективный метод разложения биномов с большими значениями n. Используя эту теорему, коэффициенты для каждого члена находятся по формуле комбинации. Формула комбинации:

Обозначение n! читается как «n факториал» и означает умножение n на каждое положительное целое число, которое меньше его. Итак, 4! будет равно 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Применение формулы комбинации к биномиальному разложению (A + B) ⁿ , n представляет степень расширения формулы, а r представляет степень B в каждом члене. Например, для термина A ⁴ B ³ в разложении (A + B) ⁷ n равно 7, а r равно 3. Подставив эти значения в формула комбинации мы получаем 7! / (3! × 4!) = 35, что является коэффициентом для этого термина. Полная биномиальная теорема может быть сформулирована следующим образом:

Уникальный гений Исаака Ньютона | Марко Тавора, доктор философии.

Красивое доказательство известного математического результата

Изображение из Википедии.

Исаак Ньютон (1642–1727) был одним из самых влиятельных мыслителей, которые когда-либо жили. Его самым значительным вкладом в науку была его книга Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, опубликованная в 1687 году, в которой он сформулировал свои знаменитые три закона движения и свой закон всемирного тяготения, которые доминировали в науке более 200 лет. По словам известного астрофизика, лауреата Нобелевской премии Субрахманяна Чандрасекар:

«Только когда мы наблюдаем масштабы достижений Ньютона, сравнения, которые иногда делались с другими людьми науки, кажутся совершенно неуместными как в отношении Ньютона, так и в отношении других».

— С. Чандрасекар

В математике Ньютон «явно продвинулся [d] во всех областях математики, которые он тогда изучал», но двумя из его самых известных открытий были обобщенное биномиальное разложение и исчисление.

Рисунок 1: Слева: портрет Ньютона в возрасте 46 лет, сделанный Годфри Кнеллером, ведущим художником-портретистом Англии конца 17-го и начала 18-го веков (источник). Справа титульный лист первого издания Principia (источник).

В настоящей статье я сосредоточусь на ранних математических достижениях Ньютона. Я опишу его вывод обобщенного биномиального разложения и то, как он применил его для получения разложения в степенной ряд для синусоидальной функции. По словам Дерека Уайтсайда, считающегося «выдающимся историком математики своего поколения», это был первый раз, когда в Европе появились степенные ряды для синуса (и косинуса).

Математические инновации Ньютона были разнообразны. Но, возможно, его отправной точкой было открытие так называемого обобщенного биномиального разложения (подробнее см. Данэма), которое впервые появилось (вместе с некоторыми работами Ньютона по исчислению) в письме 1676 года, которое он отправил Готфриду Лейбницу. Это письмо известно как его пистолет e Prior.

Рисунок 2: epistola prior, письмо Ньютона, отправленное Лейбницу, с описанием его открытия обобщенного биномиального разложения, которое произошло много лет назад (источник).

Биномиальное разложение в исходных обозначениях Ньютона
В обозначениях Ньютона это расширение выражается следующим образом:

Уравнение 1: Биномиальное разложение Ньютона с использованием его обозначений.

В этом выражении A , B , C , D , … представляют предыдущие члены ряда:

Уравнение 2: предыдущие термины серии.

Пример, данный Ньютоном в epistola было:

Уравнение 3: Пример, данный Ньютоном в его epistola.

Первые два члена разложения:

Третий член, который зависит от предыдущего члена B , получается аналогично:

Затем процесс может быть продолжен до бесконечности . Результат:

Получение современной нотации
Мы можем легко написать биномиальное разложение, используя нашу современную нотацию. Сначала мы выносим член P из левой части уравнения. 1 и заменить A , B , C , D,… на соответствующие предыдущие слагаемые (см. уравнение 2):

Сокращение слагаемых P и деление коэффициентов в числителях на множители n в знаменателях получаем:

Мы можем переписать это выражение, используя биномиальные коэффициенты. Для удобства переименуем m / n в m и применим свойства факториалов, чтобы переписать коэффициенты разложения в виде:

Используя стандартные обозначения биномиальных коэффициентов:

, мы получаем биномиальное разложение в его современной форме:

Уравнение 4: Биномиальное разложение, записанное с использованием современных обозначений.

Из предыдущей работы английского математика Джона Уоллиса и других Ньютон знал, как сделать биномиальное разложение для целочисленных показателей:

Уравнение 5: Биномиальное разложение для целых показателей, известное до Ньютона.

Интересная визуализация этих коэффициентов показана на рис. 3 ниже.

Рисунок 3: Визуализация биномиального разложения для показателей 1, 2 и 3 (источник).

Цель Ньютона состояла в том, чтобы расширить разложения в уравнении. 5, чтобы включить нецелые значения показателя степени m. Следуя Брессо, мы можем расположить коэффициенты в таблице, включая пустые строки для разложений с нецелыми значениями м :

Рисунок 4: Таблица коэффициентов биномиального разложения, известного до Ньютона.

Ньютон хотел до заполнить пустые ячейки в этой таблице . Его аргументация была следующей.

Первый и второй столбцы отгадать несложно. Первый содержит только единицы, а второй линейно увеличивается с м.

Рисунок 5: Исходная таблица коэффициентов биномиального разложения с заполненными пустыми ячейками в первом и втором столбцах.

Теперь рассмотрим третий столбец. Во-первых, заметим, что он содержит только треугольные числа (см. рис. 6 ниже), которые можно получить по простой формуле:

Уравнение 6: Формула для i-го треугольного числа. Рисунок 6: Примеры треугольных чисел (источник).

Заметим также, что m -я строка всегда содержит ( m- 1)-е треугольное число. Более конкретно, строка m =2 содержит первое треугольное число , строка m =3 содержит второе треугольное число , а строка m =5 содержит четвертое треугольное число . количество. Замена ( м- 1) в уравнении. 6 получаем:

Уравнение 7: Зависимость от m значений в третьем столбце.

Затем мы можем заполнить третий столбец:

Рисунок 7: Таблица коэффициентов биномиального разложения с заполненными первыми тремя столбцами.

Теперь обратите внимание, что для первых трех столбцов значения возрастают полиномиально.

• Первый столбец постоянный (многочлен нулевой степени)
• Второй столбец линейно возрастает (многочлен первой степени)
• Третий столбец увеличивается квадратично по уравнению. 7 (многочлен второй степени)

Основываясь на этой закономерности, Ньютон сделал вывод, что четвертый столбец должен увеличиваться как многочлен третьей степени. Поскольку этот неизвестный еще многочлен обращается в нуль при м = 0,1 и 2, он должен иметь вид:

где константа a может быть получена, например, из седьмой строки таблицы, согласно которой р (3)=1. Следовательно:

Затем мы можем заполнить пустые ячейки четвертого столбца:

Рисунок 8: Коэффициенты биномиального разложения с заполненными первыми четырьмя столбцами.

Процедура Ньютона теперь ясна. Зависимость от m пятого и шестого столбцов можно быстро получить:

и окончательно заполнить всю таблицу:

Рисунок 9: Таблица, содержащая коэффициенты биномиального разложения до пятой степени x.

Общее тогда выражение гласит:

Уравнение 7: Биномиальное разложение Ньютона.

(где использовалась ранее встречавшаяся формула для биномиальных коэффициентов). Мы должны отметить, что, цитируя Уайтсайда:

, «парадокс остается в том, что такие интерполяционные процедуры Уоллиса, какими бы правдоподобными они ни были, никоим образом не являются доказательством, и что центральному постулату ньютоновского математического метода не хватало какого-либо строгого обоснования. . . Конечно, биномиальная теорема работала чудесно, и этого было достаточно для математика XVII века».

— Д. Уайтсайд

Вывод степенного ряда функции синуса «увенчал виртуозное исполнение [Ньютона]» в его рукописи 1669 года «Об анализе уравнениями с бесконечным числом членов».

Рис. 10: Манускрипт Ньютона 1669 года «Об анализе с помощью уравнений с бесконечным числом членов». (источник).

Все элементы, необходимые для понимания вывода Ньютона, содержатся на рис. 10 ниже (на основе Данхэма), который представляет собой график функции

Уравнение 8: Уравнение для верхнего правого квадранта круга с единичным радиусом.

, который описывает (квадрант) круга с единичным радиусом.

Дуга αD равна z (окружность имеет радиус 1) и из рис. 10 получаем:

Уравнение 9: Поскольку окружность имеет единичный радиус, синус угла z равен абсцисса х.

Таким образом, цель состоит в том, чтобы определить x (как степенной ряд z ).

Рисунок 10: График уравнения. 8, включая все элементы, которые потребуются для получения расширения мощности синусоидальной функции (рисунок взят из Dunham).

Треугольники DGH и DBT подобны. Так как треугольники ABD и DBT также подобны, получаем:

, где для удобства использованы лейбницевские обозначения. Используя уравнение 8 это выражение принимает вид:

. Следующим шагом Ньютона было применение его биномиального разложения к правой части:

Теперь инвертируем уравнение. 9, чтобы получить z = z ( x )=arcsin x , а интегрирование приведенного выше биномиального разложения дает:

Уравнение 10: ряд для обратного синуса.

Обратите внимание, что единственным интегралом, который Ньютону потребовался для получения этого выражения, был определенный интеграл, соответствующий следующей первообразной (или неопределенному интегралу):

, где C — константа.

На последнем шаге Ньютону пришлось преобразовать (точнее, инвертировать) уравнение. 10 в разложение функции синуса (вместо разложения функции арксинуса). Для этого он использовал один из многих инструментов, которые он разработал ранее, а именно свою технику обращения степенных рядов.

Применение инверсии степенных рядов для получения Sin z

Инвертируемый ряд равен z ( x ) в уравнении. 10, а именно:

Уравнение 11: ряды, подлежащие расширению.

Другими словами, Ньютон искал х ( z ), степенной ряд х в выражении z . Следуя его стратегии, начнем с выполнения следующих шагов:

• Начнем ряд с первого члена, в данном случае x = z
• Выразите полученный ряд как x = z + p
• Подставьте x = z + p в уравнение . 11
• Оставьте только линейный член в p и инвертируйте результат, чтобы получить p в терминах z

Применение стратегии
Более конкретно, давайте запишем ряд как: Уравнение 211: Перестановка членов в уравнении 11.

(см. Данэм). Следующим шагом будет сохранение только линейного члена в x:

Уравнение 13: Линейная аппроксимация расширения.

Чтобы учесть все отброшенные члены, Ньютон затем записывает x в терминах еще неизвестного ряда p :

Уравнение 14: Введение еще неизвестного ряда p для учета членов, отброшенных в линейном приближении.

и заменяет его в уравнении. 12:

Уравнение 15: Настройка исходного ряда x = z+p.

Расширив это выражение и сгруппировав степень p, он получил:

Уравнение 16: Группировка расширения Eq. 15 в степени с.

Ньютон затем отбрасывает члены со степенями p выше 1 и решает для p:

Уравнение 17: Выражение, полученное после отбрасывания членов со степенями выше 1 в уравнении. 16 и решение для с.

Ньютон сохраняет только первый член числителя и, чтобы учесть выпавшие члены, вводит новый, неопределенный ряд q , определяемый следующим образом: в уравнение 16, сохраняет только член, линейный по q и решает для q . Это дает выражение для q , аналогичное уравнению. 17 (для р ). Затем он снова оставляет только член с наименьшей степенью в числителе, чтобы получить:

Эту процедуру можно выполнять до бесконечности. Теперь из уравнения. 9, x = sin z , и, наконец, он пришел к следующему выражению для синусоидальной функции:

Уравнение 18: Расширение степенного ряда для синусоидальной функции до 5-го порядка.

No related posts.