Решение алгебраических уравнений: Решение алгебраических уравнений онлайн

Содержание

Способы решения алгебраических уравнений

Предисловие

Уравнения занимают значительное место в курсе математики средней школы. Остановимся лишь на алгебраических уравнениях, которые разобьем на три группы:

  1. полиномиальные уравнения вида Pn(x) = 0, где Pn(x) — многочлен n-й степени относительно x;
  2. дробно-рациональные уравнения, т.е. содержащие в качестве двух компонент частные двух многочленов;
  3. иррациональные уравнения.

Для ряда приемов даны небольшие теоретические обоснования. Приведено 30 приемов, иллюстрированных более чем 36 примерами. Не надо думать, что приведенный в конкретном примере прием является наиболее рациональным для решения данного примера. Просто надо принять к сведению существование такого подхода к решению уравнений.

Одни и те же подходы (применение тригонометрии, использование однородности, разложение на множители и др.) находят применение не только при решении рациональных, дробно-рациональных, иррациональных уравнений, но и при решении трансцендентных уравнений, неравенств, систем.

При написании использовалась литература:

  1. Рывкин А. А. «Справочник по математике» – М.: Высшая школа, 1987.
  2. Цыпкин А. Г. «Справочник по методам решения задач по математике» – М.: Наука, 1989.
  3. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике – М.: Просвещение, 1989.
  4. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы / Под ред. Сканави М. И. – Мн.: Вышэйшая школы, 1990.

и др.

В этих пособиях можно найти достаточное количество нужных уравнений, конечно, не пренебрегая другими источниками.

Полиномиальные уравнения

1.   Докажем теорему: Если уравнение anxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0 = 0 (*) с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, где p и q взаимно просты, то a0 делится на p, а an делится на q.

Доказательство: Заменим в (*) x на , получим верное числовое равенство умножим обе части равенства на qn:

anpn + an–1pn–1q + … + a1pqn–1 + a0qn = 0 (**)

anpn = – q (an–1pn–1 + … + a

1pqn–2 + a0qn–1)

Правая часть делится на q, значит, и левая должна делиться на q, но т. к. p и q взаимно просты, то pn не делится на q, но тогда an должно делиться на q, иначе левая часть не будет кратна q.

Из (**) можно получить и другое равенство a0qn = – p (anpn–1 + an–1pn–2q + … + a1qn–1)

Правая часть кратна p, значит, и левая кратна p, но qn взаимно просты с p, значит a0 кратно p. Теорема доказана.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена

P(x) = anxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0   на двучлен (x – a) равен значению многочлена P(x) при x = a.

Доказательство: Делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток. Так как делитель — многочлен первой степени, то остаток будет многочленом, степень которого меньше степени делителя, значит, остаток – const. Частное будет многочленом степени n – 1. Тогда

P(x) = (x – a) (сn–1xn–1 + сn–2xn–2 + … + с1x + с0) + R (***)

При x = a это равенство имеет вид

P(a) = 0 ? (сn–1an–1 + сn–2an–2 + … + с1a + с0) + R,

из которого следует  P(a) = R. Теорема доказана.

Следствие: Если x = a — корень многочлена, то многочлен делится на x – a без остатка.

Доказательство: При x = a равенство (***) примет вид 0 = 0 + R, из которого следует, что R = 0. А так как остаток от деления равен нулю, то утверждение доказано.

Пример 1. Решить уравнение 30x4 + x3 – 30x2 + 3x + 4 = 0.

Составим различные несократимые дроби, числители которых — делители свободного члена, т.е. 4, а знаменатели — делители старшего коэффициента, т.е. 30.

     

     

     

     

В левом столбике в знаменателях участвуют все делители числа 30. Видно, что – 1 — корень многочлена. По следствию из теоремы Безу делим многочлен на x + 1

Для поиска корней многочлена 30x3 – 29x2 – x + 4 воспользуемся таблицей дробей. При многочлен примет вид Значит, — корень многочлена.

2.  При решении алгебраических уравнений может быть полезен метод неопределенных коэффициентов.

Пример 2. Решить уравнение x4 + 2x3 – 16x2 + 11x – 2 = 0.

Пусть многочлен представим в виде произведения

(a x2 + b x + g ) (ax2 +

bx + c),

где a , b , g , a, b, c коэффициенты, которые желательно подобрать так, чтобы после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получился исходный многочлен. Раскроем скобки, полагая, что a  = a = 1.

(x2 + b x + g ) (x2 + bx + c) = x4 + (b  + b)x3 + (b b + g  +c)x2 + (g b + b c)x + cg

Приравняем коэффициенты

b  + b = 2 b  = 2 – b

b b + g  +c = – 16 2bb2 + g  +c = – 16

g b + b c = 11 g b + 2c – bc = 11

cg  = – 2 cg  = – 2

Положим c = 1, g  = – 2 или c = 2, g  = – 1 (подбираем коэффициенты).

– 2bb = 9

b = – 3, тогда b  = 5.

Убедимся, что b  = 5, g  = – 2, b = – 3, c = 1. Такой набор удовлетворяет всем четырем уравнениям, поэтому можем записать

x4 + 2x3 – 16x2 + 11x – 2 = (x2 – 3x + 1) (x2 + 5x – 2)

Решив квадратные уравнения, получим корни исходного уравнения.

Ответ:

3.  Решение возвратных уравнений

Уравнения вида ax2k + bx2k–1 + cx2k–2 + … + l k–2cx2 + l k–1bx + l a = 0 (k I  N, l  I  R) называются возвратными.

После почленного деления на xk

, они решаются подстановкой

Пример 3. Решить уравнение 2x4 – 3x3 – 7x2 –15x + 50 = 0.

Разделим на x2, получим

Уравнение примет вид:

           

  

Если l  = 1, то уравнение вида ax2k + bx2k–1 + cx2k–2 + dx2k–3 + … + dx3 + cx2 + bx + a = 0 называется возвратным (или симметрическим) уравнением степени 2k первого рода.

Пример 4. Решить уравнение 5x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + 5 = 0.

Разделим почленно на x2. Имеем .

 

  

Ответ:

Если l  = – 1, то получим уравнение вида

ax2k + bx2k–1 + cx2k–2 + dx2k–3 + … + dx3 + cx2 – bx + a = 0, которое называется возвратным (или симметрическим) уравнением степени 2k второго рода. Решается подстановкой

Пример 5. Решить уравнение 8x4 – 42x3 + 29x2 + 42x + 8 = 0.

 

  

Ответ:

Возвратное уравнение нечетной степени имеет корень – 1. Это объясняется тем, что уравнение имеет четное число членов, которые при замене x на – 1 попарно уничтожаются. Поэтому в начале делят многочлен на x + 1, а частное приведет к возвратному уравнению четной степени, решение которого уже рассмотрено.

Пример 6. Решить уравнение 24x5 + 74x4 – 123x3 – 123x2 + 74x + 24 = 0.

Имеем возвратное уравнение 5-й степени. Один из его корней – 1. После деления на x + 1, получим

24x4 + 50x3 – 173x2 + 50x + 24 = 0

 

  

Ответ:

если , то

По биному Ньютона

Замечание 2. Определить по внешнему виду, что уравнение является возвратным не всегда просто, особенно, если . Поэтому в уравнении степени 2n производим почленное деление на xn и, если при этом получается сумма выражений вида , где n = 0, 1, 2 … m, то дальнейшее решение ясно.

Приложение

1.8. Решение алгебраических уравнений (solve)

Задание 9 . Решить уравнение .

Порядок выполнения задания:

  1. Введите текстовую область Задание 9.

  2. На палитре Symbolic (Символы) выберите команду solve.

  3. В правый местозаполнитель поставьте переменную x, в левый – левую часть уравнения и нажмите клавишу Enter. Результат будет выглядеть так:

  4. Сохраните полученные результаты в документе Алгебра.

  5. Решите уравнение первым способом с помощью команды Symbolics, Variable, Solve (Символы, Переменные, Вычислить).

1.9. Суммы и произведения

Чтобы вычислить символьно конечную или бесконечную сумму или произведение можно использовать палитру Calculus (Матанализ) для вставки соответствующих символов суммирования и произведения. В зависимости от желаемого стиля символьных вычислений можно выбрать либо команду Равно или оператор символьного вывода  палитры Symbolic (Символы).

Задание 10. Откройте новый документ и выполните следующие операции:

Сохраните документ в своей папке под именем Суммы.

2. Символьное решение задач математического анализа

Наиболее ярким проявлением возможностей символьного процессора в MathCAD является аналитическое вычисление пределов, произведений, интегралов и разложений в ряд, а также решение алгебраических уравнений. Все эти операции, при выполнении их с помощью меню Symbolics (Символы), находятся в его подменю Variable (Переменные). Соответственно, требуется предварительное выделение в выражении переменной, относительно которой будет совершаться операция. Все перечисленные операции можно осуществить и при помощи оператора символического вывода.

2.1. Дифференцирование (Differentiate) и интегрирование (Integrate)

Чтобы аналитически продифференцировать выражение по некоторой переменной, выделите в нем эту переменную и выберите команду Symbolics, Variable, Differentiate (Символы, Переменные, Дифференциалы). Интегрирование осуществляется с помощью команды Integrate (Интеграция).

Задание 11. Найдите первую и вторую производные от выражения

Порядок выполнения задания:

  1. Откройте новый документ.

  2. Введите текстовую область Задание11.

  3. Введите исходное выражение и выделите переменную х.

  4. Примените команду дифференцирования, на экран будет выведен результат

  5. Получите вторую производную.

  6. Сохраните текущий документ в своей папке под именем Матанализ.

Задание 12. Найти неопределенный интеграл от выражения xn.

В результате выполнения операции получите результат

2.2. Разложение в ряд (Expand to Series)

С помощью символьного процессора MathCAD возможно получить разложение выражения в ряд Тейлора по любой переменной х в точке х=0, т.е. представить выражение в окрестности точки х суммой вида a0+a1x+a2x2+a3x3+… Здесь аi – некоторые коэффициенты, не зависящие от х, но, возможно, являющиеся функциями других переменных, входящих в исходное выражение. Если выражение имеет в точке х=0 особенность, то соответствующее разложение называют рядом Лорана.

Задание 13. разложить в ряд Тейлора выражение

Порядок выполнения задания:

  1. Введите текстовую область Задание13.

  2. Введите выражение и выделите переменную, по которой требуется получить разложение в ряд, например, х.

  3. Выполните команду Symbolics, Variable, Expand to Series (Символы, Переменные, Разложить на составляющие).

  4. В появившемся диалоговом окне введите желаемый порядок аппроксимации (Order of Approximation), например, 6, и нажмите кнопку ОК.

  5. Сравните полученный результат с выражением:

  6. Сохраните изменения в текущем документе.

Для разложения в ряд альтернативным способом, с помощью оператора символьного выводы, используется ключевое слово series палитры Symbolic (Символы). После ключевого слова через запятую указывается имя переменной, по которой производится разложение, и порядок аппроксимации. Несколько примеров такого разложения приведено ниже:

Алгебраические уравнения — определение, типы, формулы, примеры

Алгебраические уравнения — это два алгебраических выражения, которые соединяются вместе с помощью знака равенства (=). Алгебраическое уравнение также известно как полиномиальное уравнение, потому что обе стороны знака равенства содержат многочлены. Алгебраическое уравнение состоит из переменных, коэффициентов, констант, а также алгебраических операций, таких как сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и т. д.

Если существует число или набор чисел, которые удовлетворяют алгебраическому уравнению, то они называются корнями или решениями этого уравнения. В этой статье мы узнаем больше об алгебраических уравнениях, их типах, примерах и о том, как решать алгебраические уравнения.

1. Что такое алгебраические уравнения?
2. Типы алгебраических уравнений
3. Формулы алгебраических уравнений
4. Как решать алгебраические уравнения
5. Часто задаваемые вопросы по алгебраическим уравнениям

Что такое алгебраические уравнения?

Алгебраическое уравнение — это математическое выражение, содержащее два приравненных алгебраических выражения. Общая форма алгебраического уравнения такова: P = 0 или P = Q, где P и Q — многочлены. Алгебраические уравнения, которые содержат только одну переменную, известны как уравнения с одной переменной, а те, которые содержат более одной переменной, известны как уравнения с несколькими переменными. Алгебраическое уравнение всегда будет сбалансированным. Это означает, что правая часть уравнения будет равна левой части.

Алгебраические выражения

Полиномиальное выражение, содержащее переменные, коэффициенты и константы, объединенные с помощью таких операций, как сложение, вычитание, умножение, деление и неотрицательное возведение в степень, называется алгебраическим выражением. Алгебраическое выражение не следует путать с алгебраическим уравнением. Когда два алгебраических выражения объединяются вместе с использованием знака «равно», они образуют алгебраическое уравнение. Таким образом, 5x + 1 — это выражение, а 5x + 1 = 0 — уравнение.

Примеры алгебраических уравнений

x 2 — 5x = 3 является одномерным алгебраическим уравнением, а y 2 x — 5z = 3x является примером многомерного алгебраического уравнения.

Типы алгебраических уравнений

Алгебраические уравнения можно разделить на различные типы в зависимости от степени уравнения. Степень можно определить как наибольший показатель степени переменной в алгебраическом уравнении. Предположим, что имеется уравнение, заданное x 4 + у 3 = 3 5 тогда степень будет 4. При определении степени показатель степени константы или коэффициента не учитывается. Количество корней алгебраического уравнения зависит от его степени. Алгебраическое уравнение, где степень равна 5, будет иметь максимум 5 корней. Различают следующие типы алгебраических уравнений:

Линейные алгебраические уравнения

Линейное алгебраическое уравнение — это уравнение, в котором степень полинома равна 1. Общая форма линейного уравнения задается как 1 x 1 +a 2 x 2 +…+a n x n = 0, где хотя бы один коэффициент является ненулевым числом. Эти линейные уравнения используются для представления и решения задач линейного программирования.

Пример: 3x + 5 = 5 — линейное уравнение с одной переменной. y = 2x — 6 — линейное уравнение с двумя переменными.

Квадратные алгебраические уравнения

Уравнение, в котором степень полинома равна 2, называется квадратным алгебраическим уравнением. Общая форма такого уравнения: ax 2 + bx + c = 0, где a не равно 0.

Пример: 3x 2 + 2x — 6 = 0 является квадратным алгебраическим уравнением. У этого типа уравнения будет максимум два решения.

Кубические алгебраические уравнения

Алгебраическое уравнение, степень которого равна 3, классифицируется как кубическое алгебраическое уравнение. ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 — это общая форма кубического алгебраического уравнения (a ≠ 0).

Пример: x 3 + x 2 — x — 1 = 0. Кубическое алгебраическое уравнение будет иметь максимум три корня, поскольку степень равна 3.

Полиномиальные алгебраические уравнения высшего порядка более 3 известны как полиномиальные алгебраические уравнения высшего порядка.

Уравнения квартики (степень = 4), квинтики (5), секстики (6), септики (7) подпадают под категорию высших алгебраических уравнений. Такие уравнения не могут быть решены с использованием конечного числа операций.

Формулы алгебраических уравнений

Алгебраические уравнения можно упростить с помощью нескольких формул и тождеств. Они помогают ускорить процесс решения данного уравнения. Ниже приведены некоторые важные алгебраические формулы:

  • (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
  • (а — б) 2 = а 2 — 2аб + б 2
  • (а + b)(а — b) = а 2 — b 2
  • (х + а)(х + Ь) = х 2 + х(а + Ь) + аб
  • (а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3
  • (а — б) 3 = а 3 — 3а 2 б + 3аб 2 — б 3
  • a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 — ab + b 2 )
  • а 3 — б 3 = (а — б)(а 2  + аб + б 2 )
  • (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ca
  • Квадратичная формула: [-b ± √(b² — 4ac)]/2a
  • Дискриминант: b 2 — 4ac

Как решать алгебраические уравнения

Существует множество различных методов решения алгебраических уравнений в зависимости от степени. Если алгебраическое уравнение имеет две переменные, то для нахождения решения потребуются два уравнения. Таким образом, можно сказать, что количество уравнений, необходимых для решения алгебраического уравнения, будет равно количеству переменных, присутствующих в уравнении. Ниже приведены способы решения алгебраических уравнений.

Линейные алгебраические уравнения

Линейное алгебраическое уравнение с одной переменной можно решить, просто применяя основные арифметические операции к обеим частям уравнения.

Например: 4x + 1 = 5.

4x = 5 — 1 (вычитается 1 с обеих сторон).

4x = 4 (Решить RHS с помощью алгебраических операций)

x = 1 (Делить обе части на 4)

Линейные алгебраические уравнения с более чем одной переменной будут решаться с использованием концепции одновременных уравнений.

Квадратные алгебраические уравнения

Квадратное алгебраическое уравнение можно решить с помощью тождеств, разложения на множители, длинного деления, разделения среднего члена, завершения возведения в квадрат, применения квадратичной формулы и использования графиков. Квадратное уравнение всегда будет иметь максимум два корня.

Например: x 2 + 2x + 1 = 0

Используя тождество (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , мы получаем

а = х и b = 1

(х + 1) 2 = 0

(х + 1)(х + 1) = 0

х = -1, -1.

Самый эффективный способ решения алгебраических полиномов высокого порядка от одной переменной — использование метода деления в длину. Это разлагает многочлен более высокого порядка на многочлены более низкой степени, что упрощает поиск решений.

Статьи по теме:

  • Переменные выражения
  • Калькулятор алгебраических формул
  • Калькулятор решения для x
  • Калькулятор формул

Важные замечания по алгебраическим уравнениям:

  • Алгебраическое уравнение — это уравнение, в котором два алгебраических выражения соединены вместе с помощью знака равенства.
  • Полиномиальные уравнения являются алгебраическими уравнениями.
  • Алгебраические уравнения могут быть одношаговыми, двухшаговыми или многошаговыми уравнениями.
  • Уравнения алгебры классифицируются как линейные, квадратные, кубические и уравнения более высокого порядка в зависимости от степени.

Часто задаваемые вопросы по алгебраическим уравнениям

Что такое алгебраические уравнения?

Алгебраические уравнения представляют собой полиномиальные уравнения, в которых приравниваются два алгебраических выражения. Обе части уравнения должны быть сбалансированы. Общая форма алгебраического уравнения: P = 0.

Что является примером алгебраического уравнения?

Алгебраическое уравнение может быть линейным, квадратным и т. д. Следовательно, примером алгебраического уравнения может быть 3x 2  — 6 = 0.

Как решать алгебраические уравнения?

Существует множество методов решения алгебраических уравнений в зависимости от степени. Некоторые методы включают в себя применение простых алгебраических операций, решение одновременных уравнений, расщепление среднего члена, квадратную формулу, длинное деление и так далее.

Что такое алгебраические выражения и алгебраические уравнения?

Математические операторы, состоящие из переменных, коэффициентов, констант и алгебраических операций, называются алгебраическими выражениями. Когда два алгебраических выражения приравниваются друг к другу, они называются алгебраическими уравнениями.

Как написать алгебраическое уравнение?

Мы можем преобразовать реальное утверждение, включающее числа и условия, в алгебраическое уравнение. Например, если в задаче говорится, что «длина прямоугольного поля в 5 раз больше ширины», то ее можно записать в виде алгебраических уравнений l = 2w + 5, где «l» и «w» — длина и ширина прямоугольного поля.

Что такое линейные алгебраические уравнения?

Алгебраическое уравнение, в котором старший показатель переменного члена равен 1, является линейным алгебраическим уравнением. Другими словами, алгебраические уравнения степени 1 будут линейными. Например, 3г — 9= 1

Являются ли квадратные уравнения алгебраическими уравнениями?

Да, квадратные уравнения — это алгебраические уравнения. Он состоит из алгебраического выражения второй степени.

Какие основные формулы алгебраических уравнений?

Некоторые из основных формул алгебраических уравнений перечислены ниже:

  • (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
  • (а — б) 2 = а 2 — 2аб + б 2
  • (а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3
  • (а — б) 3 = а 3 — 3а 2 б + 3аб 2 — б 3
  • Квадратичная формула: [-b ± √(b² — 4ac)]/2a
  • Дискриминант: b 2 — 4ac

Каковы правила для алгебраических уравнений?

Существует 5 основных правил для алгебраических уравнений. Они следующие:

  • Коммутативное правило сложения
  • Коммутативное правило умножения
  • Ассоциативное правило сложения
  • Ассоциативное правило умножения
  • Распределительное правило умножения

Алгебраические методы решения систем

Цели обучения

  • Использовать метод подстановки
    • Решите систему уравнений методом подстановки.
    • Распознавать системы уравнений, которые не имеют решений или имеют бесконечное число решений
  • Использовать метод исключения без умножения
    • Решите систему уравнений, когда для исключения переменной не требуется умножения
  • Использовать метод исключения с умножением
    • Использование умножения в сочетании с методом исключения для решения системы линейных уравнений
    • Распознать, когда решение системы линейных уравнений подразумевает наличие бесконечного числа решений

Решение системы уравнений методом подстановки

В последних парах разделов мы проверили, что упорядоченные пары являются решениями систем, и использовали графики, чтобы классифицировать, сколько решений имеет система из двух линейных уравнений. Что, если нам не задана точка пересечения или она не очевидна из графика? Можем ли мы все же найти решение системы? Конечно можно, используя алгебру!

В этом разделе мы изучим метод подстановки для нахождения решения системы линейных уравнений с двумя переменными. В этом курсе мы использовали подстановку по-разному, например, когда использовали формулы площади треугольника и простых процентов. Мы подставили значения, которые мы знали, в формулу для решения на значения, которые мы не знали. Идея аналогична применительно к решению систем, в этом процессе всего несколько разных шагов. Вы сначала определите одну переменную, а затем подставите это выражение в другое уравнение. Давайте начнем с примера, чтобы понять, что это значит.

 

Вы можете заменить значение переменной, даже если это выражение. Вот пример.

Помните, что решение системы уравнений должно быть решением каждого уравнения в системе. Упорядоченная пара [латекс](4,−1)[/латекс] работает для обоих уравнений, поэтому вы знаете, что она также является решением системы.

Давайте рассмотрим еще один пример, замена которого включает свойство распределения.

В приведенных выше примерах одно из уравнений уже было дано нам в терминах переменной х или и . Это позволило нам быстро подставить это значение в другое уравнение и найти одно из неизвестных.

Иногда вам может потребоваться переписать одно из уравнений в терминах одной из переменных, прежде чем вы сможете произвести замену. В приведенном ниже примере вам сначала нужно изолировать одну из переменных, прежде чем вы сможете подставить ее в другое уравнение.

В следующем видео вам будет представлен пример решения системы двух уравнений методом подстановки.

Если бы вы выбрали другое уравнение для начала в предыдущем примере, вы все равно смогли бы найти такое же решение. На самом деле это вопрос предпочтений, потому что иногда нахождение переменной приводит к необходимости работать с дробями. Когда вы станете более опытными в алгебре, вы сможете предвидеть, какой выбор приведет к более желаемым результатам.

Распознавать системы уравнений, которые не имеют решений или имеют бесконечное число решений

Когда мы изучили методы решения линейных уравнений с одной переменной, то обнаружили, что одни уравнения не имеют решений, а другие имеют бесконечное число решений. Мы снова увидели это поведение, когда начали описывать решения систем уравнений с двумя переменными.

Вспомните этот пример из Модуля 1 для решения линейных уравнений с одной переменной:

Решите для x . [латекс]12+2x–8=7x+5–5x[/латекс]

[латекс] \displaystyle \begin{array}{l}12+2x-8=7x+5-5x\\\,\, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x+4=2x+5\end{массив}[/латекс]

[латекс]\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x+4=2x+5\\\,\, \,\,\,\,\,\,\подчеркнуть{-2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-2x\,\,\,\,\,\ ,\,\,}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,4= \,5\end{array}[/latex]

Это ложное утверждение означает, что нет решений этого уравнения. Точно так же вы можете увидеть подобный результат, когда используете метод подстановки для поиска решения системы линейных уравнений с двумя переменными. В следующем примере вы увидите пример системы двух уравнений, не имеющей решения.

 

Вы получаете ложное утверждение [латекс]−8=4[/латекс]. Что это значит? График этой системы проливает некоторый свет на происходящее.

Прямые параллельны, они никогда не пересекаются и у этой системы линейных уравнений нет решения. Обратите внимание, что результат [латекс]−8=4[/латекс] — это , а не решение. Это просто ложное утверждение, и оно указывает на то, что решения не существует.

Мы также видели линейные уравнения с одной переменной и системы уравнений с двумя переменными, которые имеют бесконечное число решений. В следующем примере вы увидите, что происходит, когда вы применяете метод подстановки к системе с бесконечным числом решений.

На этот раз вы получите верное утверждение: [латекс]−4,5x=−4,5x[/латекс]. Но что означает этот тип ответа? Опять же, графики могут помочь вам разобраться в этой системе.

Эта система состоит из двух уравнений, представляющих одну и ту же прямую; две линии коллинеарны. Каждая точка на линии будет решением системы, поэтому метод подстановки дает истинное утверждение. В этом случае существует бесконечное множество решений.

В следующем видео вы увидите пример решения системы, которая имеет бесконечное количество решений.

В следующем видео вы увидите пример решения системы уравнений, не имеющей решений.

Решение системы уравнений методом исключения

Метод исключения для решения систем линейных уравнений использует аддитивное свойство равенства. Вы можете добавить одно и то же значение к каждой стороне уравнения, чтобы исключить один из переменных членов. В этом методе вам может понадобиться или не понадобиться сначала умножать члены в одном уравнении на число. Сначала мы рассмотрим примеры, в которых умножение не требуется для использования метода исключения. В следующем разделе вы увидите примеры использования умножения после того, как познакомитесь с идеей метода исключения.

С помощью этого метода легче показать, чем рассказать, поэтому давайте сразу перейдем к некоторым примерам.

Если сложить вместе два уравнения,

[латекс]x–y=−6[/латекс] и [латекс]х+у=8[/латекс], посмотрите, что получится.

[латекс] \displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,\,x-y=\,-6\\\underline{+\,x+y=\,\,\,8 }\\\,2x+0\,=\,\,\,\,2\end{array}[/latex]

Вы удалили член y , и это уравнение можно решить, используя методы для решение уравнений с одной переменной.

Посмотрим, как решается эта система методом исключения.

К сожалению, не все системы работают так легко. Как насчет такой системы, как [латекс]2x+y=12[/латекс] и [латекс]−3x+y=2[/латекс]. Если вы сложите эти два уравнения вместе, никакие переменные не будут устранены.

[латекс] \displaystyle \begin{array}{l}\,\,\,\,2x+y=12\\\underline{-3x+y=\,\,\,2}\\-x +2y=14\end{array}[/latex]

Но вы хотите удалить переменную. Итак, давайте добавим противоположное одному из уравнений к другому уравнению. Это означает, что умножьте каждый член одного из уравнений на -1, чтобы знак каждого члена был противоположным.

[латекс]\begin{array}{l}\,\,\,\,2x+\,\,y\,=12\rightarrow2x+y=12\rightarrow2x+y=12\\−3x+\,\ ,y\,=2\rightarrow-\left(-3x+y\right)=-(2)\rightarrow3x-y=-2\\\,\,\,\,5x+0y=10\end{массив }[/latex]

Вы удалили переменную y , и теперь проблема может быть решена.

В следующем видеоролике описывается похожая задача, в которой можно исключить одну переменную, сложив вместе два уравнения.

Решите систему уравнений, когда умножение необходимо для исключения переменной

Много раз добавление уравнений или добавление противоположного одному из уравнений не приводит к исключению переменной. Посмотрите на систему ниже.

[латекс]\begin{array}{r}3x+4y=52\\5x+y=30\end{массив}[/latex]

Если добавить приведенные выше уравнения или добавить противоположное одному из уравнения, вы получите уравнение, которое по-прежнему имеет две переменные. Итак, давайте теперь сначала воспользуемся свойством умножения равенства. Вы можете умножить обе части одного из уравнений на число, которое позволит исключить ту же переменную в другом уравнении.

Мы делаем это с помощью умножения. Обратите внимание, что первое уравнение содержит член 4 y , а второе уравнение содержит член y . Если вы умножите второе уравнение на -4, то при сложении обоих уравнений переменные y дадут в сумме 0.

Следующий пример проведет вас через все шаги, чтобы найти решение этой системы.

Внимание! Когда вы используете умножение для исключения переменной, вы должны умножать КАЖДЫЙ член в уравнении на выбранное вами число. Распространенной ошибкой является забывание умножить каждое слагаемое.

Есть и другие способы решения этой системы. Вместо того, чтобы умножать одно уравнение, чтобы исключить переменную при добавлении уравнений, вы могли бы умножить обоих уравнений на разные числа.

На этот раз удалим переменную x . Умножьте уравнение A на 5 и уравнение B на [латекс]-3[/латекс].

Эти уравнения были умножены на 5 и [латекс]-3[/латекс] соответственно, потому что это дало вам члены, которые в сумме давали бы 0. Обязательно умножьте все члены уравнения.

В следующем видео вы увидите пример использования метода исключения для решения системы уравнений.

Можно использовать метод исключения с умножением и получить результат, указывающий на отсутствие решений или на бесконечное множество решений, точно так же, как и в других изученных нами методах поиска решений систем. В следующем примере вы увидите систему, имеющую бесконечно много решений.

В следующем видео метод исключения используется для решения системы уравнений. Обратите внимание, что сначала нужно умножить одно из уравнений на отрицательное. Кроме того, эта система имеет бесконечное число решений.

Резюме

Метод подстановки является одним из способов решения систем уравнений. Чтобы использовать метод подстановки, используйте одно уравнение, чтобы найти выражение для одной из переменных через другую переменную. Затем подставьте это выражение вместо этой переменной во второе уравнение. Затем вы можете решить это уравнение, так как теперь оно будет иметь только одну переменную. Решение с использованием метода подстановки даст один из трех результатов: одно значение для каждой переменной в системе (указывающее одно решение), неверное утверждение (указывающее отсутствие решений) или истинное утверждение (указывающее бесконечное количество решений).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *