Решение дробей с буквами: Калькулятор с буквами · Как пользоваться Контрольная Работа РУ

Содержание

Сокращение дробей с буквами. Выполнение сокращения дробей

Когда ученик переходит в старшую школу, математика разделяется на 2 предмета: алгебру и геометрию. Понятий становится все больше, задания все сложнее. У некоторых возникают трудности с восприятием дробей. Пропустили первый урок по этой теме, и вуаля. дроби? Вопрос, который будет мучить на протяжении всей школьной жизни.

Понятие алгебраической дроби

Начнем с определения. Под алгебраической дробью понимается выражения P/Q, где P является числителем, а Q - знаменателем. Под буквенной записью может скрываться число, числовое выражение, численно-буквенное выражение.

Прежде чем задаваться вопросом, как решать алгебраические дроби, для начала нужно понимать, что подобное выражение - часть целого.

Как правило, целое - это 1. Число в знаменателе показывает, на сколько частей разделили единицу. Числитель необходим для того, чтобы узнать, сколько элементов взято. Дробная черта соответствует знаку деления. Допускается запись дробного выражения в качестве математической операции «Деление». В таком случае числитель - делимое, знаменатель - делитель.

Основное правило обыкновенных дробей

Когда учащиеся проходят данную тему в школе, им дают примеры на закрепление. Чтобы правильно их решать и находить различные пути из сложных ситуаций, нужно применять основное свойство дробей.

Оно звучит так: Если умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число или выражение (отличные от нуля), то значение обыкновенной дроби не изменится. Частным случаем от данного правила является разделение обеих частей выражения на одно и то же число или многочлен. Подобные преобразования называются тождественными равенствами.

Ниже будет рассмотрено, как решать сложение и вычитание алгебраических дробей, производить умножение, деление и сокращение дробей.

Математические операции с дробями

Рассмотрим, как решать, основное свойство алгебраической дроби, как применять его на практике. Если нужно перемножить две дроби, сложить их, разделить одну на другую или произвести вычитание, нужно всегда придерживаться правил.

Так, для операции сложения и вычитания следует найти дополнительный множитель, чтобы привести выражения к общему знаменателю. Если изначально дроби даны с одинаковыми выражениями Q, то нужно опустить этот пункт. Когда общий знаменатель найден, как решать алгебраические дроби? Нужно сложить или вычесть числители. Но! Нужно помнить, что при наличии знака «-» перед дробью все знаки в числителе меняются на противоположные. Иногда не следует производить каких-либо подстановок и математических операций. Достаточно поменять знак перед дробью.

Часто используется такое понятие, как сокращение дробей . Это означает следующее: если числитель и знаменатель разделить на отличное от единицы выражение (одинаковое для обеих частей), то получается новая дробь. Делимое и делитель меньше прежних, но в силу основного правила дробей остаются равными изначальному примеру.

Целью этой операции является получение нового несократимого выражения. Решить данную задачу можно, если сократить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель. Алгоритм операции состоит из двух пунктов:

  1. Нахождение НОД для обеих частей дроби.
  2. Деление числителя и знаменателя на найденное выражение и получение несократимой дроби, равной предшествующей.

Ниже показана таблица, в которой расписаны формулы. Для удобства ее можно распечатать и носить с собой в тетради. Однако, чтобы в будущем при решении контрольной или экзамена не возникло трудностей в вопросе, как решать алгебраические дроби, указанные формулы нужно выучить наизусть.

Несколько примеров с решениями

С теоретической точки зрения рассмотрен вопрос, как решать алгебраические дроби. Примеры, приведенные в статье, помогут лучше усвоить материал.

1. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

2. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

После изучения теоретической части и расссмотрения практической вопросов больше возникнуть не должно.

Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Смысл сокращения алгебраической дроби

В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.

Определение 1

Сокращение алгебраической дроби

– это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.

К примеру, алгебраическая дробь 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 может быть сокращена на число 3 , в итоге получим: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х, и это даст нам выражение 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3 · x или любой из многочленов x + 2 · y , 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y или 3 · x 2 + 6 · x · y .

Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1 .

С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.

В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби 3 · x 2 3 · y совершенно понятно, что общим множителем является число 3 .

В дроби - x · y 5 · x · y · z 3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х, или y , или на х · y . И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.

Например, дробь x 3 - 1 x 2 - 1 мы можем сократить на х - 1 , при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она. При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.

Правило сокращения алгебраических дробей

Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:

  • нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
  • в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.

Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.

Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством undefined , где a , b , c – некие многочлены, причем b и c – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду a · c b · c , в котором мы сразу замечаем общий множитель c . Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида a b .

Характерные примеры

Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны 1 на всей ОДЗ переменных этой дроби:

5 5 = 1 ; - 2 3 - 2 3 = 1 ; x x = 1 ; - 3 , 2 · x 3 - 3 , 2 · x 3 = 1 ; 1 2 · x - x 2 · y 1 2 · x - x 2 · y ;

Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).

К примеру, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105

Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 · 5 · 7 = 2 105

(числитель и знаменатель разделены на общий множитель 2 2 · 3 ). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105

По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.

Пример 1

Задана алгебраическая дробь - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необходимо произвести ее сокращение.

Решение

Возможно записать числитель и знаменатель заданной дроби как произведение простых множителей и переменных, после чего осуществить сокращение:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = - 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = - 9 · a 3 2 · c 6

Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:

27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = - 3 3 - 1 2 · a 5 - 2 1 · 1 · 1 c 7 - 1 · 1 = · - 3 2 · a 3 2 · c 6 = · - 9 · a 3 2 · c 6 .

Ответ:

- 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = - 9 · a 3 2 · c 6

Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).

Пример 2

Задана дробь 2 5 · x 0 , 3 · x 3 . Необходимо выполнить ее сокращение.

Решение

Возможно сократить дробь таким образом:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2

Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов – умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т.е. на НОК (5 , 10) = 10 . Тогда получим:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0 , 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .

Ответ: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2

Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.

Пример 3

Задана рациональная дробь 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Необходимо ее сократить.

Решение

Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49)

Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:

2 · b 2 · (a 2 + 14 · a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7)

Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b 2 · (a + 7) . Произведем сокращение:

2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · b 2 · (a 2 + 14 a + 49) b 3 · (a 2 - 49) = = 2 · b 2 · (a + 7) 2 b 3 · (a - 7) · (a + 7) = 2 · (a + 7) b · (a - 7) = 2 · a + 14 a · b - 7 · b

Ответ: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b - 7 · b .

Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Пример 4

Дана алгебраическая дробь 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 . Необходимо осуществить ее сокращение, если это возможно.

Решение

На первый взгляд у числителя и знаменателя не существует общего знаменателя. Однако, попробуем преобразовать заданную дробь. Вынесем за скобки множитель х в числителе:

1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2

Теперь видна некая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x 2 · y . Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

x · 1 5 - 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = x · - 2 7 · - 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 1 5 · 3 1 2 = = - 2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10

Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:

2 7 · x · - 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y - 7 10 = - 2 7 · x 5 = - 2 35 · x

Ответ: 1 5 · x - 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y - 3 1 2 = - 2 35 · x .

Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

Сокращать можно только множители!

Члены многочленов сокращать нельзя!

Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.

Рассмотрим примеры сокращения дробей.

В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.

Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.

Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а показатели вычитаем.

a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.

b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо . В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:

И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.

Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.

В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:

Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):

В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:

Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:

В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

Сокращаем дробь на (x+2):

В этой статье мы подробно остановимся на сокращении алгебраических дробей . Сначала разберемся, что понимают под термином «сокращение алгебраической дроби», и выясним, всегда ли алгебраическая дробь сократима. Дальше приведем правило, позволяющее проводить это преобразование. Наконец, рассмотрим решения характерных примеров, которые позволят уяснить все тонкости процесса.

Навигация по странице.

Что значит сократить алгебраическую дробь?

Изучая , мы говорили про их сокращение. мы назвали деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. Например, обыкновенную дробь 30/54 можно сократить на 6 (то есть, разделить на 6 ее числитель и знаменатель), что приведет нас к дроби 5/9 .

Под сокращением алгебраической дроби понимают аналогичное действие. Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Но если общим множителем числителя и знаменателя обыкновенной дроби может быть только число, то общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может быть многочлен , в частности, одночлен или число.

Например, алгебраическую дробь можно сократить на число 3 , что даст дробь . Также можно выполнить сокращение на переменную x , что приведет к выражению . Исходную алгебраическую дробь можно подвергнуть сокращению на одночлен 3·x , а также на любой из многочленов x+2·y , 3·x+6·y , x 2 +2·x·y или 3·x 2 +6·x·y .

Конечная цель сокращения алгебраической дроби состоит в получении дроби более простого вида, в лучшем случае – несократимой дроби.

Любая ли алгебраическая дробь подлежит сокращению?

Нам известно, что обыкновенные дроби подразделяются на . Несократимые дроби не имеют отличных от единицы общих множителей в числителе и знаменателе, следовательно, не подлежат сокращению.

Алгебраические дроби также могут иметь общие множители числителя и знаменателя, а могут и не иметь. При наличии общих множителей возможно сокращение алгебраической дроби. Если же общих множителей нет, то упрощение алгебраической дроби посредством ее сокращения невозможно.

В общем случае по внешнему виду алгебраической дроби достаточно сложно определить, возможно ли выполнить ее сокращение. Несомненно, в некоторых случаях общие множители числителя и знаменателя очевидны. Например, хорошо видно, что числитель и знаменатель алгебраической дроби имеют общий множитель 3 . Также несложно заметить, что алгебраическую дробь можно сократить на x , на y или сразу на x·y . Но намного чаще общего множителя числителя и знаменателя алгебраической дроби сразу не видно, а еще чаще – его просто нет. К примеру, дробь возможно сократить на x−1 , но этот общий множитель явно не присутствует в записи. А алгебраическую дробь сократить невозможно, так как ее числитель и знаменатель не имеют общих множителей.

Вообще, вопрос о сократимости алгебраической дроби очень непростой. И порой проще решить задачу, работая с алгебраической дробью в исходном виде, чем выяснить, можно ли эту дробь предварительно сократить. Но все же существуют преобразования, которые в некоторых случаях позволяют с относительно небольшими усилиями найти общие множители числителя и знаменателя, если таковые имеются, либо сделать вывод о несократимости исходной алгебраической дроби. Эта информация будет раскрыта в следующем пункте.

Правило сокращения алгебраических дробей

Информация предыдущих пунктов позволяет естественным образом воспринять следующее правило сокращения алгебраических дробей , которое состоит из двух шагов:

  • сначала находятся общие множители числителя и знаменателя исходной дроби;
  • если таковые имеются, то проводится сокращение на эти множители.

Указанные шаги озвученного правила нуждаются в разъяснении.

Самый удобный способ отыскания общих заключается в разложении на множители многочленов , находящихся в числителе и знаменателе исходной алгебраической дроби. При этом сразу становятся видны общие множители числителя и знаменателя, либо становится видно, что общих множителей нет.

Если общих множителей нет, то можно делать вывод о несократимости алгебраической дроби. Если же общие множители обнаружены, то на втором шаге они сокращаются. В результате получается новая дробь более простого вида.

В основе правила сокращения алгебраических дробей лежит основное свойство алгебраической дроби , которое выражается равенством , где a , b и c – некоторые многочлены, причем b и c – ненулевые. На первом шаге исходная алгебраическая дробь приводится к виду , из которого становится виден общий множитель c , а на втором шаге выполняется сокращение – переход к дроби .

Переходим к решению примеров с использованием данного правила. На них мы и разберем все возможные нюансы, возникающие при разложении числителя и знаменателя алгебраической дроби на множители и последующем сокращении.

Характерные примеры

Для начала нужно сказать про сокращение алгебраических дробей, числитель и знаменатель которых одинаковые. Такие дроби тождественно равны единице на всей ОДЗ входящих в нее переменных, например,
и т.п.

Теперь не помешает вспомнить, как выполняется сокращение обыкновенных дробей – ведь они являются частным случаем алгебраических дробей. Натуральные числа в числителе и знаменателе обыкновенной дроби , после чего общие множители сокращаются (при их наличии). Например, . Произведение одинаковых простых множителей можно записывать в виде степеней, а при сокращении пользоваться . В этом случае решение выглядело бы так: , здесь мы числитель и знаменатель разделили на общий множитель 2 2 ·3 . Или для большей наглядности на основании свойств умножения и деления решение представляют в виде .

По абсолютно аналогичным принципам проводится сокращение алгебраических дробей, в числителе и знаменателе которых находятся одночлены с целыми коэффициентами.

Пример.

Сократите алгебраическую дробь .

Решение.

Можно представить числитель и знаменатель исходной алгебраической дроби в виде произведения простых множителей и переменных, после чего провести сокращение:

Но более рационально решение записать в виде выражения со степенями:

Ответ:

.

Что касается сокращения алгебраических дробей, имеющих дробные числовые коэффициенты в числителе и знаменателе, то можно поступать двояко: либо отдельно выполнять деление этих дробных коэффициентов, либо предварительно избавляться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некоторое натуральное число. Про последнее преобразование мы говорили в статье приведение алгебраической дроби к новому знаменателю , его можно проводить в силу основного свойства алгебраической дроби. Разберемся с этим на примере.

Пример.

Выполните сокращение дроби .

Решение.

Можно сократить дробь следующим образом: .

А можно было предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на знаменателей этих коэффициентов, то есть, на НОК(5, 10)=10 . В этом случае имеем .

Ответ:

.

Можно переходить к алгебраическим дробям общего вида, у которых в числителе и знаменателе могут быть как числа и одночлены, так и многочлены.

При сокращении таких дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель алгебраической дроби разложить на множители.

Пример.

Сократите рациональную дробь .

Решение.

Для этого разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Начнем с вынесения за скобки: . Очевидно, выражения в скобках можно преобразовать, используя

Деление и числителя и знаменателя дроби на их общий делитель , отличный от единицы, называют сокращением дроби .

Чтобы сократить обыкновенную дробь, нужно разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число.

Это число является наибольшим общим делителем числителя и знаменателя данной дроби.

Возможны следующие формы записи решения примеров на сокращение обыкновенных дробей.

Учащийся вправе выбрать любую форму записи.

Примеры. Упростить дроби.

Сократим дробь на 3 (делим числитель на 3;

делим знаменатель на 3).

Сокращаем дробь на 7.

Выполняем указанные действия в числителе и знаменателе дроби.

Полученную дробь сокращаем на 5.

Сократим данную дробь 4) на 5·7³ — наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя, который состоит из общих множителей числителя и знаменателя, взятых в степени с наименьшим показателем.

Разложим числитель и знаменатель этой дроби на простые множители.

Получаем: 756=2²·3³·7 и 1176=2³·3·7² .

Определяем НОД (наибольший общий делитель) числителя и знаменателя дроби 5) .

Это произведение общих множителей, взятых с наименьшими показателями.

НОД(756; 1176)=2²·3·7 .

Делим числитель и знаменатель данной дроби на их НОД, т. е. на 2²·3·7 получаем несократимую дробь 9/14 .

А можно было записать разложения числителя и знаменателя в виде произведения простых множителей, не применяя понятие степени, а затем произвести сокращение дроби, зачеркивая одинаковые множители в числителе и знаменателе. Когда одинаковых множителей не останется — перемножаем оставшиеся множители отдельно в числителе и отдельно в знаменателе и выписываем получившуюся дробь 9/14 .

И, наконец, можно было сокращать данную дробь 5) постепенно, применяя признаки деления чисел и к числителю и к знаменателю дроби. Рассуждаем так: числа 756 и 1176 оканчиваются четной цифрой, значит, оба делятся на 2 . Сокращаем дробь на 2 . Числитель и знаменатель новой дроби — числа 378 и 588 также делятся на 2 . Сокращаем дробь на 2 . Замечаем, что число 294 — четное, а 189 — нечетное, и сокращение на 2 уже невозможно. Проверим признак делимости чисел 189 и 294 на 3 .

(1+8+9)=18 делится на 3 и (2+9+4)=15 делится на 3, следовательно, и сами числа 189 и 294 делятся на 3 . Сокращаем дробь на 3 . Далее, 63 делится на 3, а 98 — нет. Перебираем другие простые множители. Оба числа делятся на 7 . Сокращаем дробь на 7 и получаем несократимую дробь 9/14 .

Сокращение Алгебраических дробей

Определение

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой стоят алгебраические выражения (буквенные множители). Вот так:


Алгебраическая дробь содержит буквенные множители и степени.

Необыкновенной алгебраическую дробь делают буквы. Если заменить их на цифры, то карета превратится в тыкву — алгебраическая дробь тут же станет обыкновенной.

Если вы засомневались, что должно быть сверху — числитель или знаменатель — переходите по ссылке и освежите знания по теме обыкновенных дробей.


Сокращение алгебраических дробей

Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Общий множитель числителя и знаменателя в алгебраической дроби — многочлен и одночлен.

Если в 7 классе только и разговоров, что об обыкновенных дробях, то 8 класс сокращает исключительно алгебраические дроби.

Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:

 
  1. Определите общий множитель.

  2. Сократите коэффициенты.

  3. Поделите все числители и все знаменатели на общий множитель.

Для сокращения степеней в дробях применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:


Пример сокращения дроби со степенями и буквами:


  1. Следуя формуле сокращения степеней в дробях, сокращаем x3 и x2

  2. Всегда делим на наименьшее значение в степени

  3. Вычитаем: 3 - 1
 

Получаем сокращенную дробь.

Запоминаем: сокращать можно только одинаковые буквенные множители. Иными словами, сокращать можно только дроби с одинаковыми буквами.

❌ Так нельзя ✅ Так можно

Примеры сокращения алгебраических дробей с одночленами:

Пример сокращения №1.


Как решаем:

 
  1. Общий множитель для числителя и знаменателя — 8.

  2. Х и x2 делим на x и получаем ответ.

Получаем сокращенную алгебраическую дробь.

Пример сокращения №2.


Как решаем:

 
  1. Общий множитель для числителя и знаменателя — 7.

  2. b3 и b делим на b.

  3. Вычитаем: 3 - 1 и получаем ответ.

Получаем сокращенную дробь.

 

Сокращение алгебраических дробей с многочленами

Чтобы верно сократить алгебраическую дробь с многочленами, придерживайтесь двух главных правил:

  • сокращайте многочлен в скобках только с таким же многочленом в скобках;
  • сокращайте многочлен в скобках целиком — нельзя сократить одну его часть, а другую оставить. Не делайте из многочленов одночлены.
❌ Так нельзя ✅ Так можно

Запомните: многочлены в алгебраической дроби находятся в скобках. Между этими скобками вклиниться может только знак умножения. Всем остальным знакам там делать нечего.


Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами:


Последовательно сокращаем: сначала x, затем (x+c), далее сокращаем дробь на 6 (общий множитель).


Сокращаем многочлены a+b (в дроби их 3). Многочлен в числителе стоит в квадрате, поэтому мысленно оставляем его при сокращении.

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

При сокращении алгебраических дробей иногда не хватает одинаковых многочленов. Для того, чтобы они появились, вынесите общий множитель за скобки.

Чтобы легко и непринужденно выносить множитель за скобки, пошагово выполняйте 4 правила:

 
  1. Найдите число, на которое делятся числа каждого одночлена.

  2. Найдите повторяющиеся буквенные множители в каждом одночлене.

  3. Вынесите найденные буквенные множители за скобку.

  4. Далее работаем с многочленом, оставшимся в скобках.

Алгебра не терпит неточность. Всегда проверяйте, верно ли вынесен множитель за скобки — сделать это можно по правилу умножения многочлена на одночлен.


Для умножения одночлена на многочлен нужно умножить поочередно все члены многочлена на этот одночлен.

Пример 1.


Как решаем:

 
  1. Выносим общий множитель 6

  2. Делим 42/6

  3. Сокращаем получившиеся одинаковые многочлены.
 

Пример 2.


Как решаем: выносим общий множитель a за скобки и сокращаем оставшиеся в скобках многочлены.

Сокращение дробей. Формулы сокращенного умножения

Перед формулами сокращенного умножения не устоит ни одна дробь — даже алгебраическая.

Чтобы легко ориентироваться в формулах сокращенного умножения, сохраняйте и заучивайте таблицу. Формулы подскажут вам, как решать алгебраические дроби.

Квадрат суммы (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
Квадрат разности (a-b)2 = a2 - 2ab - b2
Разность квадратов a2 – b2 = (a – b)(a+b)
Куб суммы (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Куб разности (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Сумма кубов a3 + b3 = (a + b)(a2- ab+b2)
Разность кубов a3 - b3 = (a - b)(a2+ ab+b2)

Примеры сокращения дробей с помощью формул сокращенного умножения:


Применяем формулу квадрата разности (a-b)2 = a2 - 2ab - b2 и сокращаем одинаковые многочлены.


Чтобы раскрыть тему сокращения алгебраических дробей и полностью погрузиться в мир числителей и знаменателей, решите следующие примеры для самопроверки.

Примеры сокращения дробей за 7 и 8 классы

Сократите дроби:


Тема сокращения алгебраических дробей достаточно обширна, и требует к себе особого внимания. Чтобы знания задержалась в голове хотя бы до ЕГЭ, сохраните себе памятку по сокращению дробей. Этот алгоритм поможет не растеряться при встрече с алгебраическими дробями лицом к лицу.

  • Чтобы сократить дробь, найдите общий множитель числителя и знаменателя.
  • Поделите числитель и знаменатель на общий множитель.
  • Чтобы разделить многочлен на множители, вынесите общий множитель за скобку.
  • Второй способ разделить многочлен на множители — применить формулы сокращенного умножения.
  • Выучите все формулы сокращенного умножения — они помогут легко преобразовывать выражения и экономить время при решении задач.
  • Можно забыть свое имя, но формулу разности квадратов помнить обязательно — она будет встречаться чаще других.
  • Всегда проверяйте результат сокращения: алгебра — точна, коварна и не любит давать вторые шансы.

Возможно тебе будет полезно - Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

Онлайн сокращение дробей с буквами и степенями. Сокращение дробей, определение и формула

Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления. В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком , и решение записывают в таком виде:
497: 4 = 124 (1 остаток).

Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 - делимое , 4 - делитель . Результат деления при делении с остатком называют неполным частным . В нашем случае это число 124. И, наконец, последний компонент, которого нет в обычном делении, - остаток . В тех случаях, когда остатка нет, говорят, что одно число разделилось на другое без остатка, или нацело . Считают, что при таком делении остаток равен нулю. В нашем случае остаток равен 1.

Остаток всегда меньше делителя.

Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64: 32 = 2, то проверку можно сделать так: 64 = 32 * 2.

Часто в случаях, когда выполняется деление с остатком, удобно использовать равенство
а = b * n + r ,
где а - делимое, b - делитель, n - неполное частное, r - остаток.

Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.

Числитель дроби - это делимое, а знаменатель - делитель.

Поскольку числитель дроби - это делимое, а знаменатель - делитель, считают, что черта дроби означает действие деление . Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».

Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби \(\frac{m}{n} \), где числитель m - делимое, а знаменатель п - делитель:
\(m:n = \frac{m}{n} \)

Верны следующие правила:

Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.

Чтобы получить дробь \(\frac{m}{n} \), надо число m разделить на число n.

Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.

Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.

Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)

Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\(\large \frac{a}{b} = \frac{a: m}{b: m} \)
Это свойство называют основным свойством дроби .

Два последних преобразования называют сокращением дроби .

Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют приведением дробей к общему знаменателю .

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа

Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например, дробь \(\frac{3}{4} \) означает три четвёртых доли единицы. Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими дробями, как, например, \(\frac{5}{5} \) или \(\frac{8}{5} \)? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями . Остальные дроби, т. е. дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями .

Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.

Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными .

Например:
\(5:3 = 1\frac{2}{3} \) : 1 - целая часть, а \(\frac{2}{3} \) - дробная часть.

Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель разделить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a:n}{b} \)

Если числитель дроби \(\frac{a}{b} \) не делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её знаменатель умножить на это число:
\(\large \frac{a}{b} : n = \frac{a}{bn} \)

Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n. Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.

Действия с дробями. Сложение дробей.

С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму \(\frac{2}{7} \) и \(\frac{3}{7} \). Легко понять, что \(\frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)

Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
\(\large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)

Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например:
\(\large \frac{2}{3}+\frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{4\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} \)

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.

Сложение смешанных дробей

Такие записи, как \(2\frac{2}{3} \), называют смешанными дробями . При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число \(\frac{2}{3} \) - ее дробной частью . Запись \(2\frac{2}{3} \) читают так: «две и две трети».

При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: \(\frac{8}{3} \) и \(2\frac{2}{3} \). Они выражают одно и то же дробное число, т.е \(\frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)

Таким образом, неправильная дробь \(\frac{8}{3} \) представлена в виде смешанной дроби \(2\frac{2}{3} \). В таких случаях говорят, что из неправильной дроби выделили целую часть .

Вычитание дробей (дробных чисел)

Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое - это значит найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например:
\(\frac{8}{9}-\frac{1}{9} = \frac{7}{9} \) так как \(\frac{7}{9}+\frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей:
чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним.

С помощью букв это правило записывается так:
\(\large \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \)

Умножение дробей

Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе - знаменателем.

С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:
\(\large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \)

Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь - в виде неправильной дроби.

Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.

Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.

Деление дробей

Возьмем дробь \(\frac{2}{3} \) и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь \(\frac{3}{2} \). Эту дробь называют обратной дроби \(\frac{2}{3} \).

Если мы теперь «перевернем» дробь \(\frac{3}{2} \), то получим исходную дробь \(\frac{2}{3} \). Поэтому такие дроби, как \(\frac{2}{3} \) и \(\frac{3}{2} \) называют взаимно обратными .

Взаимно обратными являются, например, дроби \(\frac{6}{5} \) и \(\frac{5}{6} \), \(\frac{7}{18} \) и \(\frac{18}{7} \).

С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: \(\frac{a}{b} \) и \(\frac{b}{a} \)

Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1 . Например: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} =1 \)

Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.

Правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Используя буквы, правило деления дробей можно записать так:
\(\large \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \)

Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью, то, для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей, его надо предварительно представить в виде неправильной дроби.

Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.

Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.

К этому же ответу можем прийти другим путем.

И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.

И еще один вариант решения.

В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.

Калькулятора онлайн выполняет сокращение алгебраических дробей в соответствии с правилом сокращения дробей: замена исходной дроби равной дробью, но с меньшими числителем и знаменателем, т.е. одновременное деление числителя и знаменателя дроби на их общий наибольший общий делитель (НОД). Также калькулятор выводит подробное решение, которое поможет понять последовательность выполнения сокращения.

Дано:

Решение:

Выполнение сокращения дробей

проверка возможности выполнения сокращения алгебраической дроби

1) Определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби

определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя алгебраической дроби

2) Сокращение числителя и знаменателя дроби

сокращение числителя и знаменателя алгебраической дроби

3) Выделение целой части дроби

выделение целой части алгебраической дроби

4) Перевод алгебраической дроби в десятичную дробь

перевод алгебраической дроби в десятичную дробь

Помощь на развитие проекта сайт

Уважаемый Посетитель сайта.
Если Вам не удалось найти, то что Вы искали - обязательно напишите об этом в комментариях, чего не хватает сейчас сайту. Это поможет нам понять в каком направлении необходимо дальше двигаться, а другие посетители смогут в скором времени получить необходимый материал.
Если же сайт оказался Ваме полезен - подари проекту сайт всего 2 ₽ и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.

Спасибо, что не прошели мимо!

I. Порядок действий при сокращении алгебраической дроби калькулятором онлайн:

  1. Чтобы выполнить сокращение алгебраической дроби введите в соответствующие поля значения числителя, знаменателя дроби. Если дробь смешанная, то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если дробь простая, то оставьте поле целой части пустым.
  2. Чтобы задать отрицательную дробь, поставьте знак минус в целой части дроби.
  3. В зависимости от задаваемой алгебраической дроби автоматически выполняется следующая последовательность действий:
  • определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби ;
  • сокращение числителя и знаменателя дроби на НОД ;
  • выделение целой части дроби , если числитель итоговой дроби больше знаменателя.
  • перевод итоговой алгебраической дроби в десятичную дробь с округлением до сотых.
  • В результате сокращения может получиться неправильная дробь. В этом случае у итоговой неправильной дроби будет выделена целая часть и итоговая дробь будет переведена в правильную дробь.
  • II. Для справки:

    Дробь - число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Обыкновенная дробь (простая дробь) записывается в виде двух чисел (числитель дроби и знаменатель дроби), разделенных горизонтальной чертой (дробной чертой), обозначающей знак деления. числитель дроби - число, стоящее над дробной чертой. Числитель показывает, сколько долей взяли у целого. знаменатель дроби - число, стоящее под дробной чертой. Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое. простая дробь - дробь, не имеющая целой части. Простая дробь может быть правильной или неправильной. правильная дробь - дробь, у которой числитель меньше знаменателя, поэтому правильная дробь всегда меньше единицы. Пример правильных дроби: 8/7, 11/19, 16/17. неправильная дробь - дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, поэтому неправильная дробь всегда больше единицы или равна ей. Пример неправильных дроби: 7/6, 8/7, 13/13. смешанная дробь - число, в состав которого входит целое число и правильная дробь, и обозначает сумму этого целого числа и правильной дроби. Любая смешанная дробь может быть преобразована в неправильную простую дробь. Пример смешанных дробей: 1¼, 2½, 4¾.

    III. Примечание:

    1. Блок исходных данных выделен желтым цветом , блок промежуточных вычислений выделен голубым цветом , блок решения выделен зеленым цветом .
    2. Для сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных или смешанных дробей воспользуйтесь онлайн калькулятором дробей с подробным решением.

    Сокращение дробей нужно для того, чтобы привести дробь к более простому виду, например, в ответе полученном в результате решения выражения.

    Сокращение дробей, определение и формула.

    Что такое сокращение дробей? Что значит сократить дробь?

    Определение:
    Сокращение дробей – это разделение у дроби числитель и знаменатель на одно и то же положительное число не равное нулю и единице. В итоге сокращения получается дробь с меньшим числителем и знаменателем, равная предыдущей дроби согласно .

    Формула сокращения дробей основного свойства рациональных чисел.

    \(\frac{p \times n}{q \times n}=\frac{p}{q}\)

    Рассмотрим пример:
    Сократите дробь \(\frac{9}{15}\)

    Решение:
    Мы можем разложить дробь на простые множители и сократить общие множители.

    \(\frac{9}{15}=\frac{3 \times 3}{5 \times 3}=\frac{3}{5} \times \color{red} {\frac{3}{3}}=\frac{3}{5} \times 1=\frac{3}{5}\)

    Ответ: после сокращения получили дробь \(\frac{3}{5}\). По основному свойству рациональных чисел первоначальная и получившееся дробь равны.

    \(\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\)

    Как сокращать дроби? Сокращение дроби до несократимого вида.

    Чтобы нам получить в результате несократимую дробь, нужно найти наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя дроби.

    Есть несколько способов найти НОД мы воспользуемся в примере разложением чисел на простые множители.

    Получите несократимую дробь \(\frac{48}{136}\).

    Решение:
    Найдем НОД(48, 136). Распишем числа 48 и 136 на простые множители.
    48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
    136=2⋅2⋅2⋅17
    НОД(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

    \(\frac{48}{136}=\frac{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 2 \times 3}{\color{red} {2 \times 2 \times 2} \times 17}=\frac{\color{red} {6} \times 2 \times 3}{\color{red} {6} \times 17}=\frac{2 \times 3}{17}=\frac{6}{17}\)

    Правило сокращения дроби до несократимого вида.

    1. Нужно найти наибольший общий делитель для числители и знаменателя.
    2. Нужно поделить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель в результате деления получить несократимую дробь.

    Пример:
    Сократите дробь \(\frac{152}{168}\).

    Решение:
    Найдем НОД(152, 168). Распишем числа 152 и 168 на простые множители.
    152=2⋅2⋅2⋅19
    168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
    НОД(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

    \(\frac{152}{168}=\frac{\color{red} {6} \times 19}{\color{red} {6} \times 21}=\frac{19}{21}\)

    Ответ: \(\frac{19}{21}\) несократимая дробь.

    Сокращение неправильной дроби.

    Как сократить неправильную дробь?
    Правила сокращения дробей для правильных и неправильных дробей одинаковы.

    Рассмотрим пример:
    Сократите неправильную дробь \(\frac{44}{32}\).

    Решение:
    Распишем на простые множители числитель и знаменатель. А потом общие множители сократим.

    \(\frac{44}{32}=\frac{\color{red} {2 \times 2 } \times 11}{\color{red} {2 \times 2 } \times 2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{2 \times 2 \times 2}=\frac{11}{8}\)

    Сокращение смешанных дробей.

    Смешанные дроби по тем же правилам что и обыкновенные дроби. Разница лишь в том, что мы можем целую часть не трогать, а дробную часть сократить или смешанную дробь перевести в неправильную дробь, сократить и перевести обратно в правильную дробь.

    Рассмотрим пример:
    Сократите смешанную дробь \(2\frac{30}{45}\).

    Решение:
    Решим двумя способами:
    Первый способ:
    Распишем дробную часть на простые множители, а целую часть не будем трогать.

    \(2\frac{30}{45}=2\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3}}{3 \times \color{red} {5 \times 3}}=2\frac{2}{3}\)

    Второй способ:
    Переведем сначала в неправильную дробь, а потом распишем на простые множители и сократим. Полученную неправильную дробь переведем в правильную.

    \(2\frac{30}{45}=\frac{45 \times 2 + 30}{45}=\frac{120}{45}=\frac{2 \times \color{red} {5 \times 3} \times 2 \times 2}{3 \times \color{red} {3 \times 5}}=\frac{2 \times 2 \times 2}{3}=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\)

    Вопросы по теме:
    Можно ли сокращать дроби при сложении или вычитании?
    Ответ: нет, нужно сначала сложить или вычесть дроби по правилам, а только потом сокращать. Рассмотрим пример:

    Вычислите выражение \(\frac{50+20-10}{20}\) .

    Решение:
    Часто допускают ошибку сокращая одинаковые числа в числителе и знаменателе в нашем случаем число 20, но их сокращать нельзя пока не выполните сложение и вычитание.

    \(\frac{50+\color{red} {20}-10}{\color{red} {20}}=\frac{60}{20}=\frac{3 \times 20}{20}=\frac{3}{1}=3\)

    На какие числа можно сокращать дробь?
    Ответ: можно сокращать дробь на наибольший общий делитель или обычный делитель числителя и знаменателя. Например, дробь \(\frac{100}{150}\).

    Распишем на простые множители числа 100 и 150.
    100=2⋅2⋅5⋅5
    150=2⋅5⋅5⋅3
    Наибольшим общим делителем будет число НОД(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

    \(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{3 \times 50}=\frac{2}{3}\)

    Получили несократимую дробь \(\frac{2}{3}\).

    Но необязательно всегда делить на НОД не всегда нужна несократимая дробь, можно сократить дробь на простой делитель числителя и знаменателя. Например, у числа 100 и 150 общий делитель 2. Сократим дробь \(\frac{100}{150}\) на 2.

    \(\frac{100}{150}=\frac{2 \times 50}{2 \times 75}=\frac{50}{75}\)

    Получили сократимую дробь \(\frac{50}{75}\).

    Какие дроби можно сокращать?
    Ответ: сокращать можно дроби у которых числитель и знаменатель имеют общий делитель. Например, дробь \(\frac{4}{8}\). У числа 4 и 8 есть число, на которое они оба делятся это число 2. Поэтому такую дробь можно сократить на число 2.

    Пример:
    Сравните две дроби \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{8}{12}\).

    Эти две дроби равны. Рассмотрим подробно дробь \(\frac{8}{12}\):

    \(\frac{8}{12}=\frac{2 \times 4}{3 \times 4}=\frac{2}{3} \times \frac{4}{4}=\frac{2}{3} \times 1=\frac{2}{3}\)

    Отсюда получаем, \(\frac{8}{12}=\frac{2}{3}\)

    Две дроби равны тогда и только тогда, когда одна из них получена путем сокращения другой дроби на общий множитель числителя и знаменателя.

    Пример:
    Сократите если возможно следующие дроби: а) \(\frac{90}{65}\) б) \(\frac{27}{63}\) в) \(\frac{17}{100}\) г) \(\frac{100}{250}\)

    Решение:
    а) \(\frac{90}{65}=\frac{2 \times \color{red} {5} \times 3 \times 3}{\color{red} {5} \times 13}=\frac{2 \times 3 \times 3}{13}=\frac{18}{13}\)
    б) \(\frac{27}{63}=\frac{\color{red} {3 \times 3} \times 3}{\color{red} {3 \times 3} \times 7}=\frac{3}{7}\)
    в) \(\frac{17}{100}\) несократимая дробь
    г) \(\frac{100}{250}=\frac{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 2}{\color{red} {2 \times 5 \times 5} \times 5}=\frac{2}{5}\)

    Без знания того, как сократить дробь, и наличия устойчивого навыка в решении подобных примеров очень непросто изучать в школе алгебру. Чем дальше, тем больше на базовые знания о сокращении обыкновенных дробей накладывается новой информации. Сначала появляются степени, потом множители, которые позже становятся многочленами.

    Как тут не запутаться? Основательно закреплять умения в предыдущих темах и постепенно готовиться к знаниям о том, как сократить дробь, усложняющуюся год от года.

    Базовые знания

    Без них не удастся справиться с заданиями любого уровня. Чтобы понять, нужно уяснить два простых момента. Первый: сокращать можно только множители. Этот нюанс оказывается очень важным при появлении многочленов в числителе или знаменателе. Тогда нужно четко различать, где находится множитель, а где стоит слагаемое.

    Второй момент говорит о том, что любое число можно представить в виде множителей. Причем результатом сокращения является такая дробь, числитель и знаменатель которых уже невозможно сократить.

    Правила сокращения обыкновенных дробей

    Для начала стоит проверить, делится ли числитель на знаменатель или наоборот. Тогда именно на это число нужно провести сокращение. Это самый простой вариант.

    Вторым является анализ внешнего вида чисел. Если оба заканчиваются на один или несколько нолей, то их можно сократить на 10, 100 или тысячу. Здесь же можно заметить, являются ли числа четными. Если да, то смело можно сокращать на два.

    Третьим правилом того, как сократить дробь, становится разложение на простые множители числителя и знаменателя. В это время нужно активно использовать все знания о признаках делимости чисел. После такого разложения остается только найти все повторяющиеся, перемножить их и произвести сокращение на получившееся число.

    Как быть, если в дроби стоит алгебраическое выражение?

    Здесь появляются первые трудности. Потому что именно здесь появляются слагаемые, которые могут быть идентичны множителям. Их очень хочется сократить, а нельзя. До того как сократить алгебраическую дробь, ее нужно преобразовать так, чтобы она имела множители.

    Для этого потребуется выполнить несколько действий. Возможно, потребуется пройти их все, а может, уже первое даст подходящий вариант.

      Проверить, не отличаются ли числитель и знаменатель или какое-либо выражение в них на знак. В этом случае необходимо просто вынести за скобки минус единицу. Так получаются одинаковые множители, которые можно сократить.

      Посмотреть, можно ли вынести из многочлена за скобки общий множитель. Возможно, так получится скобка, которую также можно сократить, или это будет вынесенный одночлен.

      Попробовать провести группировку одночленов с тем, чтобы потом в них вынести общий множитель. После этого может оказаться, что появятся множители, которые можно сократить, или снова повторить вынесение за скобки общих элементов.

      Попытаться рассмотреть в записи формулы сокращенного умножения. С их помощью легко удастся преобразовать многочлен в множители.

    Последовательность действий с дробями со степенями

    Для того чтобы без проблем разобраться в вопросе о том, как сократить дробь со степенями, необходимо твердо запомнить основные действия с ними. Первое из них связано с умножением степеней. В этом случае, если основания одинаковые, показатели необходимо сложить.

    Второе — деление. Опять же у тех, которые имеют одинаковые основания, показатели потребуется вычесть. Причем вычитать нужно из того числа, которое стоит в делимом, а не наоборот.

    Третье — возведение в степень степени. В этой ситуации показатели перемножаются.

    Для успешного сокращения потребуется также умение приводить степени к одинаковым основаниям. То есть видеть, что четыре — это два в квадрате. Или 27 — куб трех. Потому что сократить 9 в квадрате и 3 в кубе сложно. Но если преобразовать первое выражение как (3 2) 2 , то сокращение пройдет успешно.

    Умножение и деление алгебраических дробей

    В этой статье мы продолжаем изучение основных действий, которые можно выполнять с алгебраическими дробями. Здесь мы рассмотрим умножение и деление: сначала выведем нужные правила, а затем проиллюстрируем их решениями задач.

    Как правильно делить и умножать алгебраические дроби

    Чтобы выполнить умножение алгебраических дробей или разделить одну дробь на другую, нам нужно использовать те же правила, что и для обыкновенных дробей. Вспомним их формулировки.

    Когда нам надо умножить одну обыкновенную дробь на другую, мы выполняем отдельно умножение числителей и отдельно знаменателей, после  чего записываем итоговую дробь, расставив по местам соответствующие произведения. Пример такого вычисления:

    23·47=2·43·7=821

    А когда нам надо разделить обыкновенные дроби, мы делаем это с помощью умножения на дробь, обратную делителю, например:

    23:711=23·117=227=1121

    Умножение и деление алгебраических дробей выполняется в соответствии с теми же принципами. Сформулируем правило:

    Определение 1

    Чтобы перемножить две и более алгебраические дроби, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели. Результатом будет дробь, в числителе которой будет стоять произведение числителей, а в знаменателе – произведение знаменателей.  

    В буквенном виде правило можно записать как ab·cd=a·cb·d . Здесь a, b, c и d будут представлять из себя определенные многочлены, причем b и d не могут быть нулевыми.

    Определение 2

    Для того чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно выполнить умножение первой дроби на дробь, обратную второй.

    Это правило можно также записать как ab:cd=ab·dc=a·db·c . Буквы a, b, c и d здесь означают многочлены, из которых a, b, c и d не могут быть нулевыми.

    Отдельно остановимся на том, что такое обратная алгебраическая дробь. Она представляет из себя такую дробь, которая при умножении на исходную дает в итоге единицу. То есть такие дроби будут аналогичны взаимно обратным числам. Иначе можно сказать, что обратная алгебраическая дробь состоит из таких же значений, что и исходная, однако числитель и знаменатель у нее меняются местами. Так, по отношению к дроби a·b+1a3  дробь a3a·b+1  будет обратной.

    Решение задач на умножение и деление алгебраических дробей

    В этом пункте мы посмотрим, как правильно применять озвученные выше правила на практике. Начнем с простого и наглядного примера.

    Пример 1

    Условие: умножьте дробь 1x+y  на 3·x·yx2+5 , а потом разделите одну дробь на другую.

    Решение

    Сначала выполним умножение. Согласно правилу, нужно отдельно перемножить числители и знаменатели:

    1x+y·3·x·yx2+5=1·3·x·y(x+y)·(x2+5)

    Мы получили новый многочлен, который нужно привести к стандартному виду. Заканчиваем вычисления:

    1·3·x·y(x+y)·(x2+5)=3·x·yx3+5·x+x2·y+5·y

    Теперь посмотрим, как правильно разделить одну дробь на другую. По правилу нам надо заменить это действие умножением на обратную дробь x2+53·x·y :

    1x+y:3·x·yx2+5=1x+y·x2+53·x·y

    Приведем полученную дробь к стандартному виду:

    1x+y·x2+53·x·y=1·x2+5(x+y)·3·x·y=x2+53·x2·y+3·x·y2

    Ответ: 1x+y·3·x·yx2+5=3·x·yx3+5·x+x2·y+5·y ; 1x+y:3·x·yx2+5=x2+53·x2·y+3·x·y2 .

    Довольно часто в процессе деления и умножения обыкновенных дробей получаются результаты, которые можно сократить, например, 29·38=672=112 . Когда мы выполняем эти действия с алгебраическими дробями, мы также можем получить сократимые результаты. Для этого полезно предварительно разложить числитель и знаменатель исходного многочлена на отдельные множители. Если нужно, перечитайте статью о том, как правильно это делать. Разберем пример задачи, в которой нужно будет выполнить сокращение дробей.

    Нужна помощь преподавателя?

    Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

    Описать задание Пример 2

    Условие: перемножьте дроби x2+2·x+118·x3 и 6·xx2-1 .

    Решение

    Перед тем, как вычислять произведение, разложим на отдельные множители числитель первой исходной дроби и знаменатель второй. Для этого нам потребуются формулы сокращенного умножения. Вычисляем:

    x2+2·x+118·x3·6·xx2-1=x+1218·x3·6·x(x-1)·(x+1)=x+12·6·x18·x3·x-1·x+1

    У нас получилась дробь, которую можно сократить:

    x+12·6·x18·x3·x-1·x+1=x+13·x2·(x-1)

    О том, как это делается, мы писали в статье, посвященной сокращению алгебраических дробей.

    Перемножив одночлен и многочлен в знаменателе, мы получим нужный нам результат:

    x+13·x2·(x-1)=x+13·x3-3·x2

    Вот запись всего решения без пояснений:

    x2+2·x+118·x3·6·xx2-1=x+1218·x3·6·x(x-1)·(x+1)=x+12·6·x18·x3·x-1·x+1==x+13·x2·(x-1)=x+13·x3-3·x2

    Ответ: x2+2·x+118·x3·6·xx2-1=x+13·x3-3·x2 .

    В некоторых случаях исходные дроби перед умножением или делением удобно преобразовать, чтобы дальнейшие вычисления стали быстрее и проще.

    Пример 3

    Условие: разделите 217·x-1  на 12·x7-x .

    Решение: начнем с упрощения алгебраической дроби 217·x-1 , чтобы избавиться от дробного коэффициента. Для этого умножим обе части дроби на семь (это действие возможно благодаря основному свойству алгебраической дроби). В итоге у нас получится следующее:

    217·x-1=7·27·17·x-1=14x-7

    Видим, что знаменатель дроби 12·x7-x , на которую нам нужно разделить первую дробь, и знаменатель получившейся дроби являются противоположными друг другу выражениями. Изменив знаки числителя и знаменателя 12·x7-x , получим 12·x7-x=-12·xx-7 .

    После всех преобразований можем наконец перейти непосредственно к делению алгебраических дробей:

    217·x-1:12·x7-x=14x-7:-12·xx-7=14x-7·x-7-12·x=14·x-7x-7·-12·x==14-12·x=2·7-2·2·3·x=7-6·x=-76·x

    Ответ: 217·x-1:12·x7-x=-76·x .

    Как умножить или разделить алгебраическую дробь на многочлен

    Чтобы выполнить такое действие, мы можем воспользоваться теми же правилами, что мы приводили выше. Предварительно нужно представить многочлен в виде алгебраической дроби с единицей в знаменателе. Это действие аналогично преобразованию натурального числа в обыкновенную дробь. Например, можно заменить многочлен x2+x−4  на x2+x−41 . Полученные выражения будут тождественно равны.

    Пример 4

    Условие: разделите алгебраическую дробь на многочлен x+45·x·y:x2-16 .

    Решение

    Начнем с замены многочлена дробью, далее действуем согласно основному правилу.

    x+45·x·y:x2-16=x+45·x·y:x2-161=x+45·x·y·1x2-16==x+45·x·y·1(x-4)·x+4=(x+4)·15·x·y·(x-4)·(x+4)=15·x·y·x-4==15·x2·y-20·x·y

    Ответ: x+45·x·y:x2-16=15·x2·y-20·x·y.

    Автор: Ирина Мальцевская

    Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

    Сокращение алгебраических дробей | Алгебра

    Сокращение алгебраических (рациональных) дробей основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

    Сокращать можно только множители!

    Члены многочленов сокращать нельзя!

    Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе,  нужно предварительно разложить на множители.

    Рассмотрим примеры сокращения дробей.

       

    В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.

    Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36  это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.

    Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь —  значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а  при делении степеней показатели вычитаем.

    a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.

    b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

    c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

       

       

    Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо многочлены разложить на множители. В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:

       

    И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.

       

    Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.

    В числителе  — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:

       

    Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):

       

       

    В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

       

    В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:

       

       

    Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. Группируем первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:

       

       

    В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

       

    Сокращаем дробь на (x+2):

       

       

    Сокращать можем только множители! Чтобы сократить данную дробь, нужно стоящие в числителе и знаменателе многочлены разложить на множители. В числителе общий множитель a³, в знаменателе — a⁵. Вынесем их за скобки:

       

    Множители — степени с одинаковым основанием a³ и a⁵ — сокращаем на a³. От a³ остается 1, мы ее не пишем, от a⁵ остается a². В числителе выражение в скобках можно разложить как разность квадратов:

       

    Сокращаем дробь на общий делитель (1+a):

       

    А как сокращать дроби вида

       

    в которых стоящие в числителе и знаменателе выражения отличаются только знаками?

    Примеры сокращения таких дробей мы рассмотрим в следующий раз.

    Как решать задания с буквами ОГЭ?

    Чтобы научиться решать этот вид заданий, необходимо запомнить несколько нехитрых вещей. 

    Во-первых, если видно, что пример небольшой, и проще сразу подставить число вместо буквы, то так и надо делать.

    Например:

    Упростите вы­ра­же­ние   и найдите его значение при = 0,4.

    В этом задании можно сразу сделать замену, и вместо “игрека” подставить 0,4:  .

    И при помощи нехитрых действий это превращается в . 

    Таким образом, первая заповедь при решении таких заданий“Не перемудри”. Видите, что проще подставить сразу – подставляйте и считайте.

    Во-вторых, если не сработала первая заповедь, то запомните – фраза “Упростите выражение” означает, что там многое должно сократиться. Для этого могут применяться 3 способа:

    1. Вынести общий множитель за скобку: 3x + 3 = 3 (x + 1).

     

    2. Применить формулу квадрата суммы: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, или квадрата разности: (ab)2 = a2 – 2ab + b2 . 

     

    3. Применить формулу разности квадратов: a2 – b= (a + b)(ab).

    После этого многое должно сократиться. Остается что-то простое, куда подставляются значения наших переменных (буквы меняются на цифры). И все!

    Рассмотрим несколько примеров.

    Упростите вы­ра­же­ние   и найдите его значение при a = 3, b = 0,2.

    В этом примере работает первый способ, вынесение общего множителя и в числителе, и в знаменателе дроби: .

    Теперь можно сократить на (2 – a).

    Остается простая дробь: . Подставляем и считаем.

     

    Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния:  при x = -13

    Можно увидеть, что числитель первой дроби можно свернуть по формуле квадрат разности. Таким образом выражение перепишется в виде:  .

    Затем, по правилу деления дробей переворачиваем вторую дробь: . 

    Эту дробь можно сократить на (x – 7), и получится: .

    Далее подставляем вместо икса его численное значение (-13) и считаем.

     

    Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: 

    Первым делом, приведем к общему знаменателю разность дробей, которая записана в скобках. Общий знаменатель (как проводить математические операции с дробями смотрите здесь) 7xy, а в числителе получим x2 – 49y2.

    Затем производим умножение, не забывая ставить скобки там, где это необходимо:

     НЕВЕРНО

     

     ВЕРНО

    Теперь вспоминаем, что многое должно сократиться, и видим в числителе выражение в скобках, которое можно разложить по формуле разности квадратов на (x – 7y)(x + 7y).

    Получаем:    

    Сначала сокращаем на 7xy, а затем на (x + 7y): 

    Остается от этого всего выражение, которое решается очень просто: x – 7y. 

     

    Это были основные типы заданий на выражения с буквами. Задания, как видите, основываются всего лишь на трех операциях, поэтому должны легко решаться. Главное внимательнее читать условие и стараться упростить выражение. И запомните, что в них всегда что-то должно сократиться!

    Сокращение дробей онлайн калькулятор с буквами. Сокращение алгебраических дробей

    Вот и добрались до сокращения. Применяется здесь основное свойство дроби. НО! Не всё так просто. Со многими дробями (в том числе из школьного курса) вполне можно им обойтись. А если взять дроби «покруче»? Разберём подробнее! Рекомендую посмотреть материалов с дробями.

    Итак, мы уже знаем, что числитель и знаменатель дроби можно умножать и делить на одно и тоже число, дробь от этого не изменится. Рассмотрим три подхода:

    Подход первый.

    Для сокращения делят числитель и знаменатель на общий делитель. Рассмотрим примеры:

    Сократим:

    В приведенных примерах мы сразу видим какие взять делители для сокращения. Процесс несложен – мы перебираем 2,3.4,5 и так далее. В большинстве примеров школьного курса этого вполне достаточно. А вот если будет дробь:

    Тут процесс с подбором делителей может затянуться надолго;). Конечно, такие примеры лежат вне школьного курса, но справляться с ними нужно уметь. Чуть ниже рассмотрим как это делается. А пока вернёмся к процессу сокращения.

    Как рассмотрено выше, для того чтобы сократить дробь, мы осуществляли деление на определённый нами общий делитель(ли). Всё правильно! Стоит лишь добавить признаки делимости чисел:

    — если число чётное то оно делится на 2.

    — если число из последних двух цифр делится на 4, то и само число делится на 4.

    — если сумма цифр из которых состоит число делится на 3, то и само число делится на 3. Например 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Двенадцать делится на 3, значит и 123031 делится на 3.

    — если в конце числа стоит 5 или 0, то число делится на 5.

    — если сумма цифр из которых состоит число делится на 9, то и само число делится на 9. Например 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Восемнадцать делится на 9, значит и 623032 делится на 9.

    Второй подход.

    Если кратко суть, то на самом деле всё действо сводится к разложению числителя и знаменателя на множители и далее к сокращению равных множителей в числителе и знаменателе (данный подход – это следствие из первого подхода):


    Визуально, чтобы не запутаться и не ошибиться равные множители просто перечёркивают. Вопрос – а как разложить число на множители? Нужно определить перебором все делители. Это тема отдельная, она несложная, посмотрите информацию в учебнике или интернете. Никаких великих проблем с разложением на множители чисел, которые присутствуют в дробях школьного курса, вы не встретите.

    Формально принцип сокращения можно записать так:

    Подход третий.

    Тут самое интересное для продвинутых и тех, кто хочет им стать. Сократим дробь 143/273. Попробуйте сами! Ну и как, быстро получилось? А теперь смотрите!

    Переворачиваем её (числитель и знаменатель меняем местами). Делим уголком полученную дробь переводим в смешанное число, то есть выделяем целую часть:

    Уже проще. Мы видим, что числитель и знаменатель можно сократить на 13:

    А теперь не забываем снова перевернуть дробь обратно, давайте запишем всю цепочку:

    Проверено – времени уходит меньше, чем на перебор и проверку делителей. Вернёмся к нашим двум примерам:

    Первый. Делим уголком (не на калькуляторе), получим:

    Эта дробь попроще конечно, но с сокращением опять проблема. Теперь отдельно разбираем дробь 1273/1463, переворачиваем её:

    Тут уже проще. Можем рассмотреть такой делитель как 19. Остальные не подходят, это видно: 190:19= 10, 1273:19 = 67. Ура! Запишем:

    Следующий пример. Сократим 88179/2717.

    Делим, получим:

    Отдельно разбираем дробь 1235/2717, переворачиваем её:

    Можем рассмотреть такой делитель как 13 (до 13 не подходят):

    Числитель 247:13=19 Знаменатель 1235:13=95

    *В процессе увидели ещё один делитель равный 19. Получается, что:

    Теперь записываем исходное число:

    И не важно, что будет больше в дроби – числитель или знаменатель, если знаменатель, то переворачиваем и действуем как описано. Таким образом мы можем сократить любую дробь, третий подход можно назвать универсальным.

    Конечно, два примера рассмотренные выше это непростые примеры. Давайте попробуем эту технологию на уже рассмотренных нами «несложных» дробях:

    Две четвёртых.

    Семьдесят две шестидесятых. Числитель больше знаменателя, переворачивать не нужно:

    Разумеется, третий подход применили к таким простым примерам просто как альтернативу. Способ, как уже сказано, универсальный, но не для всех дробей удобный и корректный, особенно это относится к простым.

    Многообразие дробей велико. Важно, чтобы вы усвоили именно принципы. Строгого правила по работе с дробями просто нет. Посмотрели, прикинули каким образом удобнее действовать и вперёд. С практикой придёт навык и будете щёлкать их как семечки.

    Вывод:

    Если видите общий(ие) делитель(и) для числителя и знаменателя, то используйте их для сокращения.

    Если умеете быстро раскладывать на множители число, то разложите числитель и знаменатель, далее сокращайте.

    Если никак не можете определить общий делитель, то воспользуйтесь третьим подходом.

    *Для сокращения дробей важно усвоить принципы сокращения, понимать основное свойство дроби, знать подходы к решению, быть крайне внимательным при вычислениях.

    И запомните! Дробь принято сокращать до упора, то есть сокращать её пока есть общий делитель.

    C уважением, Александр Крутицких.

    Удобный и простой онлайн калькулятор дробей с подробным решением может:

    • Складывать, вычитать, умножать и делить дроби онлайн,
    • Получать готовое решение дробей картинкой и удобно его переносить.
    

    Результат решения дробей будет тут...

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    Знак дроби "/" + - * :
    _cтереть Очистить
    У нашего онлайн калькулятора дробей быстрый ввод . Чтобы получить решение дробей, к примеру , просто напишите 1/2+2/7 в калькулятор и нажмите кнопку "Решать дроби ". Калькулятор напишет вам подробное решение дробей и выдаст удобную для копирования картинку .

    Знаки используемые для записи в калькуляторе

    Набирать пример для решения вы можете как, с клавиатуры, так и используя кнопки.

    Возможности онлайн калькулятора дробей

    Калькулятор дробей может выполнить операции только с 2-мя простыми дробями. Они могут быть как правильными(числитель меньше знаменателя), так и неправильными(числитель больше знаменателя). Числа в числителе и знаменатели не могут быть отрицательными и больше 999.
    Наш онлайн калькулятор решает дроби и приводит ответ к правильному виду - сокращает дробь и выделяет целую часть, если потребуется.

    Если вам нужно решить отрицательные дроби, просто воспользуйтесь свойствами минуса. При перемножении и делении отрицательных дробей минус на минус дает плюс. То есть произведение и делении отрицательных дробей, равно произведению и делению таких же положительных. Если одна дробь при перемножении или делении отрицательная, то просто уберите минус, а потом добавьте его к ответу. При сложении отрицательных дробей, результат будет таким же как если бы вы складывали такие же положительные дроби. Если вы прибавляете одну отрицательную дробь, то это тоже самое, что вычесть такую же положительную.
    При вычитании отрицательных дробей, результат будет таким же, как если бы поменяли их местами и сделали положительными. То есть минус на минус в данном случае дает плюс, а от перестановки слагаемых сумма не меняется. Этими же правилами мы пользуемся при вычитании дробей одна из которых отрицательная.

    Для решения смешанных дробей (дробей, в которых выделена целая часть) просто загоните целую часть в дробь. Для этого умножьте целую часть на знаменатель и прибавьте к числителю.

    Если вам нужно решить онлайн 3 и более дроби, то решать их следует по очереди. Сначала посчитайте первые 2 дроби, потом с полученным ответом прорешайте следующую дробь и так далее. Выполняйте операции по очереди по 2 дроби, и в итоге вы получите верный ответ.

    Без знания того, как сократить дробь, и наличия устойчивого навыка в решении подобных примеров очень непросто изучать в школе алгебру. Чем дальше, тем больше на базовые знания о сокращении обыкновенных дробей накладывается новой информации. Сначала появляются степени, потом множители, которые позже становятся многочленами.

    Как тут не запутаться? Основательно закреплять умения в предыдущих темах и постепенно готовиться к знаниям о том, как сократить дробь, усложняющуюся год от года.

    Базовые знания

    Без них не удастся справиться с заданиями любого уровня. Чтобы понять, нужно уяснить два простых момента. Первый: сокращать можно только множители. Этот нюанс оказывается очень важным при появлении многочленов в числителе или знаменателе. Тогда нужно четко различать, где находится множитель, а где стоит слагаемое.

    Второй момент говорит о том, что любое число можно представить в виде множителей. Причем результатом сокращения является такая дробь, числитель и знаменатель которых уже невозможно сократить.

    Правила сокращения обыкновенных дробей

    Для начала стоит проверить, делится ли числитель на знаменатель или наоборот. Тогда именно на это число нужно провести сокращение. Это самый простой вариант.

    Вторым является анализ внешнего вида чисел. Если оба заканчиваются на один или несколько нолей, то их можно сократить на 10, 100 или тысячу. Здесь же можно заметить, являются ли числа четными. Если да, то смело можно сокращать на два.

    Третьим правилом того, как сократить дробь, становится разложение на простые множители числителя и знаменателя. В это время нужно активно использовать все знания о признаках делимости чисел. После такого разложения остается только найти все повторяющиеся, перемножить их и произвести сокращение на получившееся число.

    Как быть, если в дроби стоит алгебраическое выражение?

    Здесь появляются первые трудности. Потому что именно здесь появляются слагаемые, которые могут быть идентичны множителям. Их очень хочется сократить, а нельзя. До того как сократить алгебраическую дробь, ее нужно преобразовать так, чтобы она имела множители.

    Для этого потребуется выполнить несколько действий. Возможно, потребуется пройти их все, а может, уже первое даст подходящий вариант.

      Проверить, не отличаются ли числитель и знаменатель или какое-либо выражение в них на знак. В этом случае необходимо просто вынести за скобки минус единицу. Так получаются одинаковые множители, которые можно сократить.

      Посмотреть, можно ли вынести из многочлена за скобки общий множитель. Возможно, так получится скобка, которую также можно сократить, или это будет вынесенный одночлен.

      Попробовать провести группировку одночленов с тем, чтобы потом в них вынести общий множитель. После этого может оказаться, что появятся множители, которые можно сократить, или снова повторить вынесение за скобки общих элементов.

      Попытаться рассмотреть в записи формулы сокращенного умножения. С их помощью легко удастся преобразовать многочлен в множители.

    Последовательность действий с дробями со степенями

    Для того чтобы без проблем разобраться в вопросе о том, как сократить дробь со степенями, необходимо твердо запомнить основные действия с ними. Первое из них связано с умножением степеней. В этом случае, если основания одинаковые, показатели необходимо сложить.

    Второе — деление. Опять же у тех, которые имеют одинаковые основания, показатели потребуется вычесть. Причем вычитать нужно из того числа, которое стоит в делимом, а не наоборот.

    Третье — возведение в степень степени. В этой ситуации показатели перемножаются.

    Для успешного сокращения потребуется также умение приводить степени к одинаковым основаниям. То есть видеть, что четыре — это два в квадрате. Или 27 — куб трех. Потому что сократить 9 в квадрате и 3 в кубе сложно. Но если преобразовать первое выражение как (3 2) 2 , то сокращение пройдет успешно.

    Основано на их основном свойстве: если числитель и знаменатель дроби разделить на один и тот же ненулевой многочлен, то получится равная ей дробь.

    Сокращать можно только множители!

    Члены многочленов сокращать нельзя!

    Чтобы сократить алгебраическую дробь, многочлены, стоящие в числителе и знаменателе, нужно предварительно разложить на множители.

    Рассмотрим примеры сокращения дробей.

    В числителе и знаменателе дроби стоят одночлены. Они представляют собой произведение (чисел, переменных и их степеней), множители сокращать можем.

    Числа сокращаем на их наибольший общий делитель, то есть на наибольшее число, на которое делится каждое из данных чисел. Для 24 и 36 это — 12. После сокращения от 24 остается 2, от 36 — 3.

    Степени сокращаем на степень с наименьшим показателем. Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на один и тот же делитель, а показатели вычитаем.

    a² и a⁷ сокращаем на a². При этом в числителе от a² остается единица (1 пишем только в том случае, когда кроме нее после сокращения других множителей не осталось. От 24 осталась 2, поэтому 1, оставшуюся от a², не пишем). От a⁷ после сокращения остается a⁵.

    b и b сокращаем на b, полученные в результате единицы не пишем.

    c³º и с⁵ сокращаем на с⁵. От c³º остается c²⁵, от с⁵ — единица (ее не пишем). Таким образом,

    Числитель и знаменатель данной алгебраической дроби — многочлены. Сокращать члены многочленов нельзя! (нельзя сократить, к примеру, 8x² и 2x!). Чтобы сократить эту дробь, надо . В числителе есть общий множитель 4x. Выносим его за скобки:

    И в числителе, и в знаменателе есть одинаковый множитель (2x-3). Сокращаем дробь на этот множитель. В числителе получили 4x, в знаменателе — 1. По 1 свойству алгебраических дробей, дробь равна 4x.

    Сокращать можно только множители (сократить данную дробь на 25x² нельзя!). Поэтому многочлены, стоящие в числителе и знаменателе дроби, нужно разложить на множители.

    В числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — разность квадратов. После разложения по формулам сокращенного умножения получаем:

    Сокращаем дробь на (5x+1) (для этого в числителе зачеркнем двойку в показатель степени, от (5x+1)² при этом останется (5x+1)):

    В числителе есть общий множитель 2, вынесем его за скобки. В знаменателе — формула разности кубов:

    В результате разложения в числителе и знаменателе получили одинаковый множитель (9+3a+a²). Сокращаем дробь на него:

    Многочлен в числителе состоит из 4 слагаемых. первое слагаемое со вторым, третье — с четвертым и выносим из первых скобок общий множитель x². Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов:

    В числителе вынесем за скобки общий множитель (x+2):

    Сокращаем дробь на (x+2):

    Уравнения с дробями - Полный курс алгебры

    24

    Очистка фракций

    2-й уровень

    Чтобы решить уравнение с дробями, мы преобразуем его в уравнение без дробей, которое мы умеем решать. Методика называется очисткой от фракций.

    Пример 1. Решите для x :

    x
    3
    + x -2
    5
    = 6.

    Решение . Очистить следующие дроби:

    Умножьте обе части уравнения - каждый член - на НОК знаменателей. Тогда каждый знаменатель разделит на его кратное. Тогда у нас будет уравнение без дробей.

    НОК 3 и 5 равно 15. Следовательно, умножьте обе части уравнения на 15.

    15 · x
    3
    + 15 · x -2
    5
    = 15 · 6

    Слева распределите по 15 на каждый член.Теперь каждый знаменатель разделится на 15 - вот в чем суть - и мы получим следующее простое уравнение, "очищенное" от дробей:

    5 x + 3 ( x -2) = 90.
    Легко решается следующим образом:
    5 x + 3 x - 6 = 90
    8 x = 90 + 6
    x = 96
    8
    = 12.

    Мы говорим «умножить» обе части уравнения, но мы пользуемся тем фактом, что порядок, в котором мы умножаем или делим, не имеет значения. (Урок 1.) Поэтому сначала мы делим НОК на каждый знаменатель и таким образом очищаем от дробей.

    Мы выбираем , кратное каждого знаменателя, потому что каждый знаменатель будет тогда его делителем.

    Пример 2. Очистите дроби и решите относительно x :

    .
    x
    2
    5 x
    6
    = 1
    9

    Решение .НОК 2, 6 и 9 равно 18. (Урок 23 по арифметике). Умножьте обе части на 18 - и отмените.

    9 x -15 x = 2.

    Нет необходимости писать 18. Ученик должен просто посмотреть на и увидеть, что 2 перейдет в 18 девять (9) раз. Таким образом, этот член становится 9 x .

    Затем посмотрите и увидите, что 6 переходит в 18 три раза по (3).Таким образом, этот член становится 3 · −5 x = −15 x .

    Наконец, посмотрите и увидите, что 9 превратится в 18 два (2) раза. Таким образом, этот член становится 2 · 1 = 2.

    Вот очищенное уравнение и его решение:

    9 x -15 x = 2
    −6 x = 2
    x = 2
    −6
    x = 1
    3

    Пример 3.Решить для x :

    ½ (5 x - 2) = 2 x + 4.

    Решение . Это уравнение с дробью. Удаление дробей путем умножения обеих сторон на 2:

    5 x -2 = 4 x + 8
    5 x - 4 x = 8 + 2
    x = 10.

    В следующих задачах очистить дроби и решить для x :

    Чтобы увидеть каждый ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
    Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
    Сначала решите проблему сами!

    Задача 1. x
    2
    x
    5
    = 3
    LCM - это 10.Вот очищенное уравнение и его решение:
    5 x - 2 x = 30
    3 x = 30
    x = 10.

    При решении любого уравнения с дробями в следующей строке вы пишете -

    5 x - 2 x = 30

    - должно иметь без дробей .

    Задача 2. x
    6
    = 1
    12
    + x
    8
    LCM - это 24.Вот очищенное уравнение и его решение:
    4 x = 2 + 3 x
    4 x - 3 x = 2
    x = 2
    Проблема 3. x -2
    5
    + x
    3
    = x
    2
    LCM - это 30. Вот очищенное уравнение и его решение:
    6 (x -2) + 10 x = 15 x
    6 x - 12 + 10 x = 15 x
    16 x -15 x = 12
    x = 12.

    Задача 4. Дробь равна дроби.

    x - 1
    4
    = x
    7
    LCM - это 28. Вот очищенное уравнение и его решение:
    7 ( x - 1) = 4 x
    7 x - 7 = 4 x
    7 x -4 x = 7
    3 x = 7
    x = 7
    3

    Мы видим, что когда одна дробь равна одной дроби, тогда уравнение может быть очищено "перекрестным умножением".«

    Если
    а
    б
    = c
    d
    ,
    , затем
    объявление = г. до н.э. .
    Задача 5. x - 3
    3
    = x -5
    2
    Вот очищенное уравнение и его решение:
    2 ( x - 3) = 3 ( x -5)
    2 x - 6 = 3 x - 15
    2 x - 3 x = - 15 + 6
    - x = −9
    x = 9
    Проблема 6. x - 3
    x - 1
    = x + 1
    x + 2
    Вот очищенное уравнение и его решение:
    ( x -3) ( x + 2) = ( x - 1) ( x + 1)
    x ² - x - 6 = x ² - 1
    - x = −1 + 6
    - x = 5
    x = −5.
    Задача 7. 2 x - 3
    9
    + x + 1
    2
    = x - 4
    LCM - это 18. Вот очищенное уравнение и его решение:
    4 x - 6 + 9 x + 9 = 18 x - 72
    13 x + 3 = 18 x - 72
    13 x -18 x = - 72 - 3
    −5 х = −75
    x = 15.
    Задача 8. 2
    x
    3
    8 x
    = 1
    4
    LCM - это 8 х . Вот очищенное уравнение и его решение:
    16–3 = 2 x
    2 x = 13
    x = 13
    2

    2-й уровень

    Следующий урок: Задачи со словами

    Содержание | Дом


    Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
    Даже 1 доллар поможет.


    Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

    Вопросы или комментарии?

    Эл. Почта: [email protected]


    Как найти переменную как часть дроби

    Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

    Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

    Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

    Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

    Вы должны включить следующее:

    Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса - изображению, ссылке, тексту и т. д. - относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

    Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

    Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
    101 S. Hanley Rd, Suite 300
    St. Louis, MO 63105

    Или заполните форму ниже:

    4.9: Решение уравнений с дробями

    Отмена вычитания

    Мы все еще можем добавить одинаковую сумму к обеим частям уравнения, не меняя решения.

    Пример 1

    Решите относительно x : \ (x - \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} \).

    Решение

    Чтобы «отменить» вычитание 5/6, прибавьте 5/6 к обеим сторонам уравнения и упростите.

    \ [\ begin {align} x - \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ x - \ frac { 5} {6} + \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} + \ frac {5} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Add} \ frac {5} {6} \ text {в обе стороны.}} \\ x = \ frac {1 \ cdot 2} {3 \ cdot 2} + \ frac {5} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text { Эквивалентные дроби, LCD = 6.}} \\ x = \ frac {2} {6} + \ frac {5} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить.}} \\ x = \ frac {7} {6} ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Добавить.}} \ end {align} \ nonumber \]

    Вполне допустимо оставлять свой ответ в виде неправильной дроби. Если вы хотите или если вас попросят сделать это, вы можете изменить свой ответ на смешанную дробь (7, разделенное на 6, равно 1, а остаток - 1). То есть \ (x = 1 \ frac {1} {6} \).

    Проверка решения

    Замените 7/6 на x в исходном уравнении и упростите.

    \ [\ begin {align} x - \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {7} {6} - \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Заменить 7/6} x.} \\ \ frac {2} {6 } = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Subtract.}} \\ \ frac {1} {3} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {красный } {\ text {Уменьшить.}} \ end {align} \ nonumber \]

    Поскольку последнее утверждение верно, мы заключаем, что 7/6 является решением уравнения x - 5/6 = 1/3.

    Отмена добавления

    Вы по-прежнему можете вычесть одинаковую сумму из обеих частей уравнения, не меняя решение.

    Пример 2

    Решите относительно x : \ (x + \ frac {2} {3} = - \ frac {3} {5} \).

    Решение

    Чтобы «отменить» сложение 2/3, вычтите 2/3 из обеих частей уравнения и упростите.

    \ [\ begin {align} x + \ frac {2} {3} = - \ frac {3} {5} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ x + \ frac {2} {3} - \ frac {2} {3} = - \ frac {3} {5} - \ frac {2} {3} ~ & \ textcolor {red} { \ text {Subtract} \ frac {2} {3} \ text {с обеих сторон.}} \\ x = - \ frac {3 \ cdot 3} {5 \ cdot 3} - \ frac {2 \ cdot 5} {3 \ cdot 5} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Эквивалентные дроби, LCD = 15.}} \\ x = - \ frac {9} {15} - \ frac {10} {15} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Simplify.}} \\ x = - \ frac {19} {15} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Subtract.}} \ end {align} \ nonumber \]

    Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.

    Упражнение

    Решите относительно x : \ (x + \ frac {3} {4} = - \ frac {1} {2} \)

    Ответ

    −5/4

    Отмена умножения

    Мы «отменяем» умножение делением. Например, чтобы решить уравнение 2 x = 6, мы разделим обе части уравнения на 2. Аналогичным образом мы могли бы разделить обе части уравнения

    \ [\ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} \ nonumber \]

    на 3/5.Однако более эффективно использовать обратные. Для удобства мы напоминаем читателям о мультипликативном обратном свойстве .

    Мультипликативное обратное свойство

    Пусть a / b - любая дробь. Число b / a называется мультипликативным обратным или обратным числом a / b . Произведение обратных величин 1.

    \ [\ frac {a} {b} \ cdot \ frac {b} {a} = 1. \ nonumber \]

    Давайте применим наши знания о взаимных вычислениях.

    Пример 3

    Решите относительно x : \ (\ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} \).

    Решение

    Чтобы «отменить» умножение на 3/5, умножьте обе части на обратное 5/3 и упростите.

    \ [\ begin {align} \ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {5} { 3} \ left (\ frac {3} {5} x \ right) = \ frac {5} {3} \ left (\ frac {4} {10} \ right) & ~ \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 5/3.}} \\ \ left (\ frac {5} {3} \ cdot \ frac {3} {5} \ right) x = \ frac {20} {30} ~ & \ textcolor {red} {\ begin {array } {l} \ text {Слева используйте свойство ассоциативности для перегруппировки.} \\ \ text {Справа умножьте.} \ end {array}} \\ 1x = \ frac {2} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ begin {array} {l} \ text {Слева} \ frac {5} {3} \ cdot \ frac {3} {5} = 1. \\ \ text {Вкл. вправо уменьшите:} \ frac {20} {30} = \ frac {2} {3}. \ end {array}} \\ x = \ frac {2} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева} 1x = x.} \ end {align} \ nonumber \]

    Проверка решения

    Замените 2/3 на x в исходном уравнении и упростите.

    \ [\ begin {align} \ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {3} { 5} \ left (\ frac {2} {3} \ right) = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Замените 2/3 на} x.} \\ \ frac { 6} {15} = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножение числителей; умножьте знаменатели.}} \\ \ frac {2} {5} = \ frac {2} {5} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сократите обе стороны до наименьшего числа.}} \ end {выровнено} \ nonumber \]

    Поскольку это последнее утверждение верно, мы заключаем, что 2/3 является решением уравнения (3/5) x = 4/10.

    Упражнение

    Решите относительно y : \ (\ frac {2} {3} y = \ frac {4} {5} \)

    Ответ

    6/5

    Пример 4

    Решите относительно x : \ (- \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} \).

    Решение

    Чтобы «отменить» умножение на −8/9, умножьте обе части на обратное −9/8 и упростите.

    \ [\ begin {align} - \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ - \ frac {9} {8} \ left (- \ frac {8} {9} x \ right) = - \ frac {9} {8} \ left (\ frac {5} {18} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на} -9/8.} \\ \ left [- \ frac {9} {8} \ cdot \ left (- \ frac {8} {9} \ right) \ right] x = - \ frac {3 \ cdot 3} {2 \ cdot 2 \ cdot 2} \ cdot \ frac {5} {2 \ cdot 3 \ cdot 3} ~ & \ textcolor { red} {\ begin {array} {l} \ text {Слева используйте свойство ассоциативности для перегруппировки.} \\ \ text {Справа, простой множитель.} \ end {array}} 1x = \ frac { \ cancel {3} \ cdot \ cancel {3}} {2 \ cdot 2 \ cdot 2} \ cdot \ frac {5} {2 \ cdot \ cancel {3} \ cdot \ cancel {3}} ~ & \ textcolor {red} {\ begin {array} {l} \ text {Слева} - \ frac {9} {8} \ cdot \ left (- \ frac {8} {9} \ right) = 1.\\ \ text {Справа отмените общие множители.} \ end {array}} \\ x = - \ frac {5} {16} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева,} 1x = х. \ text {Умножение справа.}} \ end {Выровнено} \ nonumber \]

    Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.

    Упражнение

    Решить относительно z: \ (- \ frac {2} {7} z = \ frac {4} {21} \)

    Ответ

    −2/3

    Удаление дробей из уравнения

    Хотя техника, продемонстрированная в предыдущих примерах, является надежной математической техникой, работа с дробями в уравнении не всегда является наиболее эффективным использованием вашего времени.

    Удаление дробей из уравнения

    Чтобы удалить все дроби из уравнения, умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, которые встречаются в уравнении.

    Давайте воплотим эту идею в жизнь.

    Пример 5

    В примере 1 нас попросили решить следующее уравнение для x :

    \ [x - \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3}. \ Nonumber \]

    Найдите минутку, чтобы ознакомиться с техникой решения в Примере 1.Теперь мы решим это уравнение, сначала удалив все дроби из уравнения.

    Решение

    Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, фигурирующих в уравнении.

    \ [\ begin {align} x - \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 6 \ left (x - \ frac {5} {6} \ right) = 6 \ left (\ frac {1} {3} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 6.}} \\ 6x - 6 \ left (\ frac {5} {6} \ right) = 6 \ left (\ frac {1} {3} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Распределите 6.}} \\ 6x-5 = 2 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сначала умножьте с каждой стороны.}} \\ ~ & \ textcolor {red} {6 \ left (\ frac {5} {6 } \ right) = 5 \ text {и} 6 \ left (\ frac {1} {3} \ right) = 2.} \ end {align} \ nonumber \]

    Обратите внимание, что уравнение теперь полностью очищено от дробей, что значительно упрощает его решение.

    \ [\ begin {align} 6x - 5 + 5 = 2 + 5 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Добавьте 5 с обеих сторон.}} \\ 6x = 7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \\ \ frac {6x} {6} = \ frac {7} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 6.}} \\ x = \ frac {7} { 6} ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Упростить.}} \ End {align} \ nonumber \]

    Обратите внимание, что это то же самое решение, что и в Примере 1.

    Упражнение

    Решить относительно t : \ (t - \ frac {2} {7} = - \ frac {1} {4} \)

    Ответ

    1/28

    Пример 6

    В примере 4 нас попросили решить следующее уравнение для x .

    \ [- \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} \ nonumber \]

    Найдите минутку, чтобы просмотреть решение в примере 4. Теперь мы решим это уравнение, сначала удалив все дроби из уравнения.

    Решение

    Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, фигурирующих в уравнении.

    \ [\ begin {align} - \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 18 \ left (- \ frac {8} {9} x \ right) = 18 \ left (\ frac {5} {18} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 18.}} \\ -16x = 5 ~ & \ textcolor {red} {\ text {С каждой стороны, отменить и умножить.}} \\ ~ & \ textcolor {red} {18 \ left (- \ frac {8} { 9} \ right) = -16 \ text {и} 18 \ left (\ frac {5} {18} \ right) = 5.} \ end {align} \ nonumber \]

    Обратите внимание, что уравнение теперь полностью избавлено от дробей. Продолжая,

    \ [\ begin {align} \ frac {-16x} {- 16} = \ frac {5} {- 16} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на} -16.} \\ x = - \ frac {5} {16} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить.}} \ end {align} \ nonumber \]

    Обратите внимание, что это то же самое, что и решение, найденное в Примере 4.

    Упражнение

    Решить относительно и :

    \ [- \ frac {7} {9} u = \ frac {14} {27} \ nonumber \]

    Ответ

    −2/3

    Пример 7

    Решите относительно x : \ (\ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4} = \ frac {1} {2} \).

    Решение

    Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, фигурирующих в уравнении.

    \ [\ begin {align} \ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4} = \ frac {1} {2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.} } \\ 12 \ left (\ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4} = \ right) = 12 \ left (\ frac {1} {2} \ right) ~ & \ textcolor { red} {\ text {Умножьте обе стороны на 12.}} \\ 12 \ left (\ frac {2} {3} x \ right) + 12 \ left (\ frac {3} {4} \ right) = 12 \ left (\ frac {1} {2} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева распределите 12.}} \\ 8x + 9 = 6 ~ & \ textcolor {red} {\ текст {Умножение:} 12 \ left (\ frac {2} {3} x \ right) = 8x, ~ 12 \ left (\ frac {3} {4} \ right) = 9,} \\ ~ & \ textcolor {красный} {\ text {и} 12 \ left (\ frac {1} {2} \ right) = 6.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

    Обратите внимание, что уравнение теперь полностью избавлено от дробей. Нам нужно изолировать члены, содержащие x , на одной стороне уравнения.

    \ [\ begin {align} 8x + 9 - 9 = 6 - 9 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычтите 9 с обеих сторон.}} \\ 8x = - 3 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Упростите обе стороны.}} \\ \ frac {8x} {8} = \ frac {-3} {8} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 8.}} \\ x = - \ frac {3} {8} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

    Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.

    Упражнение

    Решить относительно r : \ (\ frac {3} {4} r + \ frac {2} {3} = \ frac {1} {2} \)

    Ответ

    −2/9

    Пример 8

    Решите относительно x : \ (\ frac {2} {3} - \ frac {3x} {4} = \ frac {x} {2} - \ frac {1} {8}. \)

    Решение

    Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей в уравнении.

    \ [\ begin {align} \ frac {2} {3} - \ frac {3x} {4} = \ frac {x} {2} - \ frac {1} {8} ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 24 \ left (\ frac {2} {3} - \ frac {3x} {4} \ right) = 24 \ left (\ frac {x} {2} - \ frac {1} {8} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 24.}} \\ 24 \ left (\ frac {2} {3} \ right) - 24 \ left (\ frac {3x} {4} \ right) = 24 \ left (\ frac {x} {2} \ right) - 24 \ left (\ frac {1} {8} \ right) ~ & \ textcolor {красный } {\ text {С обеих сторон распределите 24.}} \\ 16 - 18x = 12x - 3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Left:} 24 \ left (\ frac {2} {3} \ справа) = 16, ~ 24 \ слева (\ frac {3x} {4} \ right) = 18x.} \\ ~ & \ textcolor {red} {\ text {Right:} 24 \ left (\ frac {x} {2} \ right) = 12x, ~ 24 \ left (\ frac {1} {8} \ right ) = 3.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

    Обратите внимание, что уравнение теперь полностью избавлено от дробей. Нам нужно изолировать члены, содержащие x, на одной стороне уравнения.

    \ [\ begin {align} 16 - 18x - 12x = 12x - 3 - 12x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Subtract} 12x \ text {с обеих сторон.}} \\ 16 - 30x = -3 ~ & \ textcolor {красный} {\ begin {выровненный} \ text {Left:} -18x - 12x = -30x.\\ \ text {Right:} 12x - 12x = 0. \ end {align}} \\ 16 - 30x - 16 = -3 - 16 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычтите 16 с обеих сторон.} } \\ -30x = -19 ~ & \ textcolor {красный} {\ begin {выровненный} \ text {Left:} 16-16 = 0. \\ \ text {Right:} -3 - 16 = -19. \ end {align}} \\ \ frac {-30x} {- 30} = \ frac {-19} {- 30} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на} -30.} \ \ x = \ frac {19} {30} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \]

    Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.

    Упражнение

    Найти с : \ (\ frac {3} {2} - \ frac {2s} {5} = \ frac {s} {3} - \ frac {1} {5} \).

    Ответ

    Добавьте сюда тексты. Не удаляйте сначала этот текст.

    Приложения

    Давайте рассмотрим некоторые приложения, в которых используются уравнения, содержащие дроби. Для удобства мы повторяем Требования к решению проблем Word .

    Требования к решению проблем Word

    1. Настройка словаря переменных .Вы должны сообщить своим читателям, что представляет собой каждая переменная в вашей проблеме. Это можно сделать несколькими способами:
      1. Такие утверждения, как «Пусть P представляет периметр прямоугольника».
      2. Пометка неизвестных значений переменными в таблице.
      3. Обозначение неизвестных величин на эскизе или диаграмме.
    2. Задайте уравнение . Каждое решение проблемы со словом должно включать тщательно составленное уравнение, которое точно описывает ограничения в постановке задачи.
    3. Решите уравнение . Вы всегда должны решать уравнение, заданное на предыдущем шаге.
    4. Ответьте на вопрос . Этот шаг легко упустить из виду. Например, в задаче может задаваться вопрос о возрасте Джейн, но решение вашего уравнения дает возраст сестры Джейн, Лиз. Убедитесь, что вы ответили на исходный вопрос, заданный в задаче. Ваше решение должно быть записано в предложении с соответствующими единицами. 5. Оглянитесь назад. Важно отметить, что этот шаг не означает, что вы должны просто проверить свое решение в своем уравнении.В конце концов, возможно, что ваше уравнение неверно моделирует ситуацию проблемы, поэтому у вас может быть действительное решение неправильного уравнения. Важный вопрос: «Имеет ли ваш ответ смысл на основе слов в исходной постановке проблемы».

    Пример 9

    В третьей четверти баскетбольного матча дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 12 250 человек. Если это две трети вместимости, найдите полную вместимость баскетбольной арены.

    Решение

    Мы следуем требованиям для решения проблем Word .

    1. Настройка словаря переменных . Пусть F представляет полную пассажировместимость. Примечание: гораздо лучше использовать переменную, которая «звучит как» величина, которую она представляет. В этом случае использование F для представления полной вместимости пассажиров более наглядно, чем использование x для представления полной вместимости.

    2. Установите уравнение . Две трети от полной вместимости - 12 250 человек.

    \ [\ begin {align} \ colorbox {cyan} {Две трети} & \ text {of} & \ colorbox {cyan} {Полная вместимость} & \ text {is} & 12,250 \\ \ frac {2} {3} & \ cdot & F & = & 12,250 \ end {align} \ nonumber \]

    Следовательно, уравнение

    \ [\ frac {2} {3} F = 12250. \ nonumber \]

    3. Решите уравнение . Умножьте обе части на 3, чтобы очистить дроби, затем решите.

    \ [\ begin {align} \ frac {2} {3} F = 12250 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 3 \ left (\ frac {2} {3} F \ right) = 3 (12250) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 3.}} \\ 2F = 36750 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ \ \ frac {2F} {2} = \ frac {36750} {2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 2.}} \\ F = 18375 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Упростите обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \]

    4. Ответить на вопрос .Полная вместимость - 18 375 человек.

    5. Оглянитесь назад . В словах проблемы указано, что 2/3 пассажировместимости составляет 12 250 человек. Давайте возьмем две трети нашего ответа и посмотрим, что мы получим.

    \ [\ begin {align} \ frac {2} {3} \ cdot 18375 & = \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {18375} {1} \\ & = \ frac {2} {3 } \ cdot \ frac {3 \ cdot 6125} {1} \\ & = \ frac {2} {\ cancel {3}} \ cdot \ frac {\ cancel {3} \ cdot 6125} {1} \\ & = 12250 \ конец {выровнено} \ nonumber \]

    Это правильная посещаемость, поэтому наше решение правильное.

    Упражнение

    Посещаемость игры «Селтикс» составила 9 510 человек. Если это 3/4 вместимости, какова вместимость арены «Селтикс»?

    Ответ

    12 680

    Пример 10

    Площадь треугольника составляет 20 квадратных дюймов. Если длина основания составляет \ (2 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

    Решение

    Мы следуем требованиям для решения проблем Word .

    1. Настройка словаря переменных . Наш словарь переменных будет иметь форму хорошо размеченной диаграммы.

    2. Задайте уравнение . Площадь A треугольника с основанием b и высотой h составляет

    .

    \ [A = \ frac {1} {2} bh. \ Nonumber \]

    Заменить A = 20 и b = \ (2 \ frac {1} {2} \).

    \ [20 = \ frac {1} {2} \ left (2 \ frac {1} {2} \ right) h. \ Nonumber \]

    3. Решите уравнение . Измените смешанную дробь на неправильную дробь, а затем упростите.

    \ [\ begin {align} 20 = \ frac {1} {2} \ left (2 \ frac {1} {2} \ right) h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 20 = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {5} {2} \ right) h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Смешано с неправильным:} 2 \ frac {1} { 2} = \ frac {5} {2}.} \\ 20 = \ left (\ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {2} \ right) h ~ & \ textcolor {red} { \ text {Ассоциативное свойство.}} \\ 20 = \ frac {5} {4} h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножение:} \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {2} = \ frac {5} {4}.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

    Теперь умножьте обе части на 4/5 и решите.

    \ [\ begin {align} \ frac {4} {5} (20) = \ frac {4} {5} \ left (\ frac {5} {4} h \ right) ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Умножьте обе стороны на 4/5.}} \\ 16 = h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Simplify:} \ frac {4} {5} (20) = 16} \\ ~ & \ textcolor {красный} {\ text {и} \ frac {4} {5} \ cdot \ frac {5} {4} = 1.} \ end {align} \ nonumber \]

    4. Ответить на вопрос . Высота треугольника 16 дюймов.

    5. Оглянитесь назад . Если высота составляет 16 дюймов, а основание - \ (2 \ frac {1} {2} \) дюймов, то площадь равна

    .

    \ [\ begin {align} A & = \ frac {1} {2} \ left (2 \ frac {1} {2} \ right) (16) \\ & = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {2} \ cdot \ frac {16} {1} \\ & = \ frac {5 \ cdot 16} {2 \ cdot 2} \\ & = \ frac {(5) \ cdot ( 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2)} {(2) \ cdot (2)} \\ & = \ frac {5 \ cdot \ cancel {2} \ cdot \ cancel {2} \ cdot 2 \ cot 2 } {\ cancel {2} \ cdot \ cancel {2}} & = 20 \ end {align} \ nonumber \]

    Это правильная площадь (20 квадратных дюймов), поэтому наше решение правильное.

    Упражнение

    Площадь треугольника составляет 161 квадратный фут. Если основание треугольника имеет размер \ (40 \ frac {1} {4} \) футов, найдите высоту треугольника.

    Ответ

    8 футов

    Упражнения

    1. Является ли 1/4 решением уравнения \ (x + \ frac {5} {8} = \ frac {5} {8} \)?

    2. Является ли 1/4 решением уравнения \ (x + \ frac {1} {3} = \ frac {5} {12} \)?

    3. Является ли −8/15 решением уравнения \ (\ frac {1} {4} x = - \ frac {1} {15} \)?

    4.Является ли −18/7 решением уравнения \ (- \ frac {3} {8} x = \ frac {25} {28} \)?

    5. Является ли 1/2 решением уравнения \ (x + \ frac {4} {9} = \ frac {17} {18} \)?

    6. Является ли 1/3 решением уравнения \ (x + \ frac {3} {4} = \ frac {13} {12} \)?

    7. Является ли 3/8 решением уравнения \ (x - \ frac {5} {9} = - \ frac {13} {72} \)?

    8. Является ли 1/2 решением уравнения \ (x - \ frac {3} {5} = - \ frac {1} {10} \)?

    9. Является ли 2/7 решением уравнения \ (x - \ frac {4} {9} = - \ frac {8} {63} \)?

    10.Является ли 1/9 решением уравнения \ (x - \ frac {4} {7} = - \ frac {31} {63} \)?

    11. Является ли 8/5 решением уравнения \ (\ frac {11} {14} x = \ frac {44} {35} \)?

    12. Является ли 16/9 решением уравнения \ (\ frac {13} {18} x = \ frac {104} {81} \)?


    В упражнениях 13-24 решите уравнение и упростите свой ответ.

    13. \ (2x - 3 = 6x + 7 \)

    14. \ (9x - 8 = −9x - 3 \)

    15. \ (- 7x + 4 = 3x \)

    16. \ (6x + 9 = −6x \)

    17.\ (- 2x = 9x - 4 \)

    18. \ (- 6x = −9x + 8 \)

    19. \ (- 8x = 7x - 7 \)

    20. \ (- 6x = 5x + 4 \)

    21. \ (- 7x + 8 = 2x \)

    22. \ (- x - 7 = 3x \)

    23. \ (- 9x + 4 = 4x - 6 \)

    24. \ (- 2x + 4 = x - 7 \)


    В упражнениях 25–48 решите уравнение и упростите ответ.

    25. \ (x + \ frac {3} {2 = \ frac {1} {2} \)

    26. \ (x - \ frac {3} {4} = \ frac {1} {4} \)

    27. \ (- \ frac {9} {5} x = \ frac {1} {2} \)

    28.\ (\ frac {7} {3} x = - \ frac {7} {2} \)

    29. \ (\ frac {3} {8} x = \ frac {8} {7} \)

    30. \ (- \ frac {1} {9} x = - \ frac {3} {5} \)

    31. \ (\ frac {2} {5} x = - \ frac {1} {6} \)

    32. \ (\ frac {1} {6} x = \ frac {2} {9} \)

    33. \ (- \ frac {3} {2} x = \ frac {8} {7} \)

    34. \ (- \ frac {3} {2} x = - \ frac {7} {5} \)

    35. \ (x + \ frac {3} {4} = \ frac {5} {9} \)

    36. \ (x - \ frac {1} {9} = - \ frac {3} {2} \)

    37. \ (x - \ frac {4} {7} = \ frac {7} {8} \)

    38.\ (x + \ frac {4} {9} = - \ frac {3} {4} \)

    39. \ (x + \ frac {8} {9} = \ frac {2} {3} \)

    40. \ (x - \ frac {5} {6} = \ frac {1} {4} \)

    41. \ (x + \ frac {5} {2} = - \ frac {9} {8} \)

    42. \ (x + \ frac {1} {2} = \ frac {5} {3} \)

    43. \ (- \ frac {8} {5} x = \ frac {7} {9} \)

    44. \ (- \ frac {3} {2} x = - \ frac {5} {9} \)

    45. \ (x - \ frac {1} {4} = - \ frac {1} {8} \)

    46. \ (x - \ frac {9} {2} = - \ frac {7} {2} \)

    47. \ (- \ frac {1} {4} x = \ frac {1} {2} \)

    48.\ (- \ frac {8} {9} x = - \ frac {8} {3} \)


    В упражнениях 49–72 решите уравнение и упростите свой ответ.

    49. \ (- \ frac {7} {3} x - \ frac {2} {3} = \ frac {3} {4} x + \ frac {2} {3} \)

    50. \ (\ frac {1} {2} x - \ frac {1} {2} = \ frac {3} {2} x + \ frac {3} {4} \)

    51. \ (- \ frac {7} {2} x - \ frac {5} {4} = \ frac {4} {5} \)

    52. \ (- \ frac {7} {6} x + \ frac {5} {6} = - \ frac {8} {9} \)

    53. \ (- \ frac {9} {7} x + \ frac {9} {2} = - \ frac {5} {2} \)

    54.\ (\ frac {5} {9} x - \ frac {7} {2} = \ frac {1} {4} \)

    55. \ (\ frac {1} {4} x - \ frac {4} {3} = - \ frac {2} {3} \)

    56. \ (\ frac {8} {7} x + \ frac {3} {7} = \ frac {5} {3} \)

    57. \ (\ frac {5} {3} x + \ frac {3} {2} = - \ frac {1} {4} \)

    58. \ (\ frac {1} {2} x - \ frac {8} {3} = - \ frac {2} {5} \)

    59. \ (- \ frac {1} {3} x + \ frac {4} {5} = - \ frac {9} {5} x - \ frac {5} {6} \)

    60. \ (- \ frac {2} {9} x - \ frac {3} {5} = \ frac {4} {5} x - \ frac {3} {2} \)

    61. \ (- \ frac {4} {9} x - \ frac {8} {9} = \ frac {1} {2} x - \ frac {1} {2} \)

    62.\ (- \ frac {5} {4} x - \ frac {5} {3} = \ frac {8} {7} x + \ frac {7} {3} \)

    63. \ (\ frac {1} {2} x - \ frac {1} {8} = - \ frac {1} {8} x + \ frac {5} {7} \)

    64. \ (- \ frac {3} {2} x + \ frac {8} {3} = \ frac {7} {9} x - \ frac {1} {2} \)

    65. \ (- \ frac {3} {7} x - \ frac {1} {3} = - \ frac {1} {9} \)

    66. \ (\ frac {2} {3} x + \ frac {2} {9} = - \ frac {9} {5} \)

    67. \ (- \ frac {3} {4} x + \ frac {2} {7} = \ frac {8} {7} x - \ frac {1} {3} \)

    68. \ (\ frac {1} {2} x + \ frac {1} {3} = - \ frac {5} {2} x - \ frac {1} {4} \)

    69.\ (- \ frac {3} {4} x - \ frac {2} {3} = - \ frac {2} {3} x - \ frac {1} {2} \)

    70. \ (\ frac {1} {3} x - \ frac {5} {7} = \ frac {3} {2} x + \ frac {4} {3} \)

    71. \ (- \ frac {5} {2} x + \ frac {9} {5} = \ frac {5} {8} \)

    72. \ (\ frac {9} {4} x + \ frac {4} {3} = - \ frac {1} {6} \)


    73. На местном футбольном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 4 302 человека. Если это 2/9 вместимости, найдите полную вместимость футбольного стадиона.

    74.На местном баскетбольном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 5 394 человека. Если это 2/7 вместимости, найдите полную вместимость баскетбольного стадиона.

    75. Площадь треугольника составляет 51 квадратный дюйм. Если длина основания составляет \ (8 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

    76. Площадь треугольника составляет 20 квадратных дюймов. Если длина основания составляет \ (2 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

    77. Площадь треугольника составляет 18 квадратных дюймов. Если длина основания составляет \ (4 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

    78. Площадь треугольника составляет 44 квадратных дюйма. Если длина основания составляет \ (5 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

    79. На местном хоккейном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 4 536 человек. Если это 2/11 вместимости, найдите полную вместимость хоккейного стадиона.

    80. На местном футбольном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 6 970 человек. Если это 2/7 вместимости, найдите полную вместимость футбольного стадиона.


    81. Пираты . Около одной трети пиратских нападений в мире в 2008 году произошло у побережья Сомали. Если у побережья Сомали было 111 пиратских нападений, оцените количество пиратских нападений во всем мире в 2008 году.

    82. Ядерный арсенал . U.С. и Россия договорились сократить ядерные арсеналы ядерного оружия большой дальности примерно на треть, до 1 550. Сколько сейчас ядерного оружия большой дальности? Associated Press-Times-Standard 04/04/10 Ядерный центр обеспокоен сокращением ракет.

    83. Хранилище семян . В Глобальном хранилище семян на Свальбарде собрано полмиллиона образцов семян, и теперь в нем хранится не менее одной трети семян сельскохозяйственных культур в мире. Оцените общее количество семян сельскохозяйственных культур в мире. Associated Press-Times-Standard 15.03.10 Норвегия в хранилище семян судного дня достигла отметки в полмиллиона.

    84. Товарный поезд . Поезд «Юнион Пасифик» длиной в три с половиной мили примерно в 2 1 2 раза длиннее обычного грузового поезда. Какова длина обычного грузового поезда? Associated Press-Times-Standard 13.01.10 Необычно длинный поезд вызывает опасения по поводу безопасности.


    Операции с алгебраическими дробями

    Операции с алгебраическими дробями

    Многие техники упростят вашу работу при выполнении операций с алгебраическими дробями.Просматривая примеры, обратите внимание на этапы каждой операции и любые методы, которые сэкономят ваше время.

    Приведение алгебраических дробей

    - уменьшите алгебраическую дробь до наименьших членов, сначала разложив числитель и знаменатель на множители; затем уменьшить (или разделить) общие множители.

    Пример 1

    Уменьшить.

    Предупреждение: Не уменьшайте с помощью знака сложения или вычитания, как показано здесь.

    Умножение алгебраических дробей

    Чтобы умножить алгебраические дроби, сначала разложите на множители числители и знаменатели, которые являются многочленами; затем уменьшите, где это возможно. Умножьте оставшиеся числители вместе и знаменатели. (Если вы уменьшили правильно, ваш ответ будет в сокращенной форме.)

    Пример 2

    Умножить.

    Деление алгебраических дробей

    Чтобы разделить алгебраические дроби, инвертирует вторую дробь и умножает.Помните, вы можете уменьшить только после инвертирования.

    Пример 3

    Разделить.

    Сложение или вычитание алгебраических дробей

    К прибавляем или вычитаем алгебраические дроби, имеющие общий знаменатель, просто сохраняем знаменатель и объединяем (складываем или вычитаем) числители. Если возможно, уменьшите количество.

    Пример 4

    Выполните указанную операцию.

    К прибавляем или вычитаем алгебраические дроби, имеющие разные знаменатели, сначала находит наименьший общий знаменатель (LCD), заменяет каждую дробь на эквивалентную дробь с общим знаменателем, а затем объединяет каждый числитель. Если возможно, уменьшите количество.

    Пример 5

    Выполните указанную операцию.

    Если есть общий переменный множитель с более чем одним показателем степени, используйте его наибольший показатель.

    Пример 6

    Выполните указанную операцию.

    Чтобы найти наименьший общий знаменатель, часто необходимо разложить знаменатели на множители и действовать следующим образом.

    Пример 7

    Выполните указанную операцию.

    Иногда проблема требует уменьшения того, что кажется окончательным результатом.Подобная проблема обнаружена в следующем примере.

    Пример 8

    Выполните указанную операцию.

    Как вычитать дроби с помощью переменных - Видео и стенограмма урока

    Решение задачи

    Для вычитания дробей с переменными мы выполняем следующие шаги:

    1. Найдите общий знаменатель, умножив два знаменателя вместе.
    2. Задайте дроби так, чтобы у них был общий знаменатель.
    3. Когда у вас будет общий знаменатель для обеих дробей, вычтите числитель и, наконец, ...
    4. Упростите полученную дробь на третьем шаге, максимально разложив числитель и знаменатель на множители и исключив все общие множители, которые присутствуют в обоих.

    Формула, которую мы используем для шагов 1-3, выглядит следующим образом:

    Применение шагов

    Хорошо, теперь, когда у нас есть общее представление о том, что нам нужно делать для вычитания дробей с переменными, давайте посмотрим, как применить эти шаги к реальной проблеме.Это действительно поможет укрепить наше понимание!

    Предположим, вы работаете над проблемой с двумя неизвестными, и вы подошли к точке в задаче, где вам нужно вычесть (3 x /6 x 2) - (2 y /4 y 3).

    Это случай, когда мы вычитаем дроби с переменными. Большой! Мы можем практиковаться, используя наши шаги!

    Первый шаг - найти общий знаменатель, умножив два знаменателя вместе. Это дает 6 x 2 * 4 y 3 = 24 x 2 y 3.Это было достаточно просто!

    Второй шаг - манипулировать дробями, чтобы получить общий знаменатель для них обоих. Для этого мы можем использовать нашу формулу.

    Получаем, что (3 x /6 x 2) - (2 y /4 y 3) = (12 x y 3/24 x 2 y 3) - (12 x 2 y /24 x 2 y 3). Хорошо, все еще не слишком сложно - просто вопрос умножения!

    Третий шаг - вычесть числители теперь, когда у нас есть общий знаменатель.

    Теперь у нас есть (3 x /6 x 2) - (2 y /4 y 3) = (12 x y 3-12 x 2 y ) / 24 x 2 y 3.

    Мы почти закончили! Четвертый и последний шаг - упростить, максимально разложив числитель и знаменатель на множители, а затем исключив любые одинаковые множители, присутствующие в обоих. Во-первых, давайте фактор.

    В числителе мы множим 12, x и y из двух членов, чтобы получить (12 x y ( y 2 - x )) / 24 x 2 y 3.При этом мы понимаем, что мы отменяем 12, поскольку 12 * 2 = 24, мы можем отменить x , и мы можем отменить y . Это потому, что это факторы, которые присутствуют как в числителе, так и в знаменателе.

    Уф! Все сделано! Получаем, что (3 x /6 x 2) / (2 y /4 y 3) = ( y 2 - x ) / 2 x y 2.

    Резюме урока

    Хорошо, давайте уделим пару минут, чтобы просмотреть важную информацию, которую мы узнали в этом уроке.Мы специально узнали, что для того, чтобы найти общий знаменатель , мы просто умножаем два знаменателя вместе. Это часть процесса выяснения того, как вычитать дроби с переменными. Как мы увидели при рассмотрении исходной задачи, очевидно, что просто выполнить вычитание за один шаг - задача невозможная. Вот почему так замечательно иметь шаги для решения проблемы. Мы просто тщательно прорабатываем проблему, шаг за шагом, и доберемся до желаемого пункта назначения.

    Это следующие шаги:

    1. Найдите общий знаменатель, умножив два знаменателя вместе.
    2. Задайте дроби так, чтобы у них был общий знаменатель.
    3. Как только у вас будет общий знаменатель для обеих дробей, вычтите числители и, наконец, ...
    4. Упростите полученную дробь на третьем шаге, максимально разложив числитель и знаменатель на множители и исключив все общие множители, которые присутствуют в обоих.

    Мы можем взять сложную проблему и разбить ее на несколько более простых задач, чтобы прийти к решению, сделать вычитание дробей с переменными намного проще, чем мы думали!

    как решить уравнения с дробью

    Здравствуйте,

    Чтобы решить это уравнение и многие ему подобные, нам сначала нужно знать и использовать PEMDAS (скобки, показатели, умножение / деление - слева направо, сложение / вычитание - слева направо).

    Шаг первый:

    Сначала распределите дробь -2/5 на все, что указано внутри скобок. Это означает, что вы умножите (-2/5) (10x), что будет равно -4x, а затем умножите (-2/5) (- 25), что будет равно 10. Итак, теперь слева от знака равенства вы увидите установить -4x + 10 равным исходной правой стороне.

    У вас должно получиться -4x + 10 = 8x - 4

    Теперь вы принимаете решение переместить все члены с переменной либо влево, либо вправо от знака равенства.Я левша, поэтому давайте просто переместим все крестики влево. Для этого мне нужно найти похожие термины: -4x и 8x. Поскольку я решаю переместить все переменные влево, это означает, что мне нужно переместить все обычные числа (без переменных рядом с ними вправо)

    -4x + 10 = 8x - 4

    Шаг второй: объедините одинаковые члены, выполнив противоположную операцию с обеих сторон от знака равенства

    -4x + 10 = 8x - 4

    -8x -8x Противоположность 8x, которая равна -8x по обе стороны от знака равенства.8x -8x = 0

    _________________

    -12x + 10 = 0-4 - - - - - -> -12x + 10 = 4

    Шаг третий: найдите оставшуюся переменную. В этом случае переменная - x. Это многоступенчатое уравнение. * помните, как я сказал, что мы должны переместить все переменные влево, теперь пришло время переместить все константы (числа без переменных) вправо

    -12x + 10 = 4

    -10 -10 Противоположность 10, которая равна -10 по обе стороны от знака равенства.10-10 = 0

    _______________

    -12x + 0 = -6 - - - - - -> -12x = -6

    Теперь последний шаг. Я все еще пытаюсь решить противоположности. -12x - это то же самое, что сказать -12 раз x. Противоположность времени (иначе говоря, умножение) - это деление. Итак, мой последний шаг - разделить на -12 с обеих сторон, чтобы наконец найти x.

    -12x = -6

    ----- ----- -12 / -12 равно 1.Итак, по сути, теперь у нас есть 1x слева от знака равенства

    .

    -12-12

    x = -6 / -12 или 6/12 или 1/2

    Есть и другие методы решения этой проблемы, но я считаю этот лучший.

    Надеюсь, это поможет 🙂


    Начальная алгебра
    Урок 14: Решение линейных уравнений

    Цели обучения


    После изучения этого руководства вы сможете:
    1. Решите линейные уравнения, используя сочетание упрощения и использования различные свойства равенства.

    Введение



    В Урок 12: Свойство сложения равенства мы рассмотрели, используя свойство сложения равенство чтобы помочь нам решить линейные уравнения. В учебнике 13: Свойство умножения равенства , которое мы рассмотрели, используя свойство умножения равенства, а также положить эти две идеи все вместе. В этом уроке мы будем решать линейные уравнения, используя комбинация упрощения и различных свойств равенства.

    Умение решать линейные уравнения откроет дверь к возможности для решения множества других типов проблем, с которыми вы столкнетесь в ваш различные классы алгебры. Очень важно иметь это концепция вниз, прежде чем двигаться вперед. Убедитесь, что вы не смакуете тайна поиска вашей переменной, но проработайте некоторые из этих типов проблем, пока у вас не будет этой концепции.

    Учебник




    Стратегия решения линейной Уравнение

    Обратите внимание, что ваш учитель или книга ты использование, возможно, сформулировало эти шаги немного иначе, чем я, но Это все сводится к одной и той же концепции - включите свою переменную один сторона и все остальное с другой, используя обратные операции.

    Шаг 1. При необходимости упростите каждую сторону.


    Шаг 2: Используйте Доп. / Под. Свойства для переместить переменную срок в одну сторону и все остальные условия в другую сторону.

    Шаг 3: Используйте Mult./Div. Свойства для удалить любые значения которые находятся перед переменной.

    Шаг 4. Проверьте свой ответ.

    Я считаю, что это самый быстрый и Самый простой способ приблизиться к линейным уравнениям.


    Пример 1 : Решите уравнение.


    * Инверсия доп.10 является суб. 10

    * Инверсная по отношению к мульт. на -3 - это div. по -3


    Будьте осторожны, начиная со строки 4 к строке 5. Да, есть отрицательный знак. Но операция между -3 и x - это умножение, а не вычитание. Итак, если бы вы добавлять 3 в обе стороны, вы бы получили -3 x + 3 вместо желаемых x .

    Если вы вернете 1 вместо x в исходной задаче, вы увидим, что 1 это решение, которое мы ищем.



    Пример 2 : Решите уравнение.

    * Получить все условия x с одной стороны

    * Инверсия доп.3 является суб. 3

    * Инверсная по отношению к мульт. на -1 - это div. по -1


    Если вы вернете 9 вместо x в исходной задаче, вы увидим, что 9 - это решение, которое мы ищем.



    Пример 3 : Решите уравнение..

    * Чтобы избавиться от дроби,
    мульт. с обеих сторон ЖК-дисплеем 4

    * Получить все термины x на одной стороне

    * Инверсия доп. 2 является суб. 2

    * Инверсная по отношению к мульт.на -3 - это div. по -3


    Если вы вернете 4/3 вместо x в исходной задаче вы увидите, что 4/3 это решение, которое мы ищем.



    Пример 4 : Решите уравнение.

    * Чтобы избавиться от десятичных знаков,
    mult. обе стороны по 100

    * Получить все термины и на одной стороне

    * Обратное от sub. 20 добавлено 20

    * Инверсная по отношению к мульт. на 20 дел.по 20


    Если вы вернете 3/2 дюйма для y дюйма оригинал проблема вы увидите, что 3/2 - это решение, которое мы ищем.



    Противоречие

    Противоречие - это уравнение с одной переменной, которая не имеет решения.



    Пример 5 : Решите уравнение.

    * Получить все термины x на одной стороне


    Куда делась наша переменная x, ??? Он исчез у нас.Также обратите внимание, как мы закончили с заявлением FALSE , -1 не равно 12. Это не означает, что x = 12 или x = -1.

    Когда ваша переменная падает из И вы закончите с ложным утверждением, то после всей вашей тяжелой работы есть НЕТ РЕШЕНИЕ.

    Итак, ответ - нет решения.




    Личность

    Идентификатор - это уравнение с одной переменной
    который имеет все числа как решение.



    Пример 6 : Решите уравнение.

    * Получить все термины x на одной стороне


    На этот раз, когда наша переменная выпал, мы закончил с ИСТИННЫМ заявлением.Когда бы это ни случилось, твой ответ ВСЕ РЕАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

    Итак, ответ - все действительные числа .




    Практические задачи


    Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы хорошо освоить свой вид спорта или инструмент. На самом деле не бывает слишком много практики.

    Чтобы получить от них максимальную отдачу, вы должны работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответ / обсуждение для этой проблемы .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

    Карта сайта