Решение кубического уравнения: Онлайн калькулятор: Кубическое уравнение

Содержание

5.1.2. Одно уравнение MathCAD 12 руководство

Нелинейные алгебраические уравнения
5.1. Символьное решение уравнений
- 5.1.1. Вычислительный блок Given / Find
- 5.1.2. Одно уравнение
- 5.1.3. Системы уравнений
- 5.1.4. Решение уравнений при помощи меню
5.2. Численное решение уравнений
- 5.2.1. Системы уравнений: функция Find
- 5.2.2. Уравнение с одним неизвестным: функция root
- 5.2.3. Корни полинома: функция polyroots
- 5.2.4. Локализация корней
5.3. О численных методах
- 5.3.1. Метод секущих: функция root
- 5.3.2. Градиентные методы: функция Find
- 5.3.3. Метод продолжения по параметру

Поясним сказанное на примере решения одного (кубического) уравнения с одним неизвестным х (рис. 5.1):

Зх3+2х2-7х=0. (5.

Листинг 5.1. Аналитическое решение кубического уравнения

Рис. 5.1. График функции f (х) =3х3+2х2-7х

В листинге 5.1 вы видите все три последовательные строки вычислительного блока. Первая строка представляет собой обязательное ключевое слово Given, следующая строка является, собственно, записью уравнения (5.3), а в последней строке листинга включается в работу встроенная функция Find. Обратите внимание, что после имени функции Find находится оператор символьного вывода, справа от которого (по истечении необходимого времени работы символьного процессора) возникает аналитический результат решения уравнения. Существенно, что он является точным решением (записанным в данном случае в трансцендентном виде), а получить числовые значения корней можно, поставив после него символ численного равенства (как это сделано в последней строке листинга 5.1).

Как видно из листинга 5.1, уравнение имеет три различных корня, которые представляются справа от функции соответствующим трехкомпонентным вектором.

Таким образом, решение предлагается пользователю в форме матрицы размера 1хз (одна неизвестная переменная имеет три значения, каждое из которых обращает уравнение в тождество).

Пример, использованный в листинге 5.1, включает уравнение, записанное в традиционной форме равенства. Приведем решение того же самого уравнения, если оно представлено в несколько другой форме, подчеркивающей специфику задачи нахождения корней функции (листинг 5.2). Основное отличие листинга 5.2 от предыдущего связано с другой формой записи исследуемого уравнения через функцию пользователя f (x). Иными словами, подчеркивается специфика поставленной задачи отыскания нулевых значений некоторой функции.

Важно заметить, что точное решение уравнения (непосредственно после оператора символьного вывода результата работы функции Find) обращает f (х) в тождественный ноль, а пересчитанные числовые значения корней (после знака обычного равенства) обеспечивают лишь ее приближенное равенство нулю (разумеется, это связано с ошибками округления).

ВНИМАНИЕ!

Не забывайте о том, что вводить знаки равенства в уравнение в пределах вычислительного блока Given/Find следует при помощи панели Boolean (Булевы операторы).

Листинг 5.2. Аналитический поиск нулей функции f(x)

В заключение разговора о символьном решении уравнений с одним неизвестным приведем еще два показательных примера, связанных с нахождением нулей функции нескольких аргументов (т. е. зависящих, помимо, собственно, неизвестного, еще и от дополнительных параметров). Листинг 5.3 демонстрирует, как выглядит решение уравнения, включающего четыре различные переменные, по некоторым из этих переменных. Обратите внимание на последний из трех приведенных в листинге 5.3 примеров, иллюстрирующий результат решения уравнения относительно сразу всех входящих в него параметров.

Помните, что для корректной работы символьного процессора вовсе не обязательно задавать конкретные значения переменных, входящих в уравнение, а если такие значения (для некоторых, либо всех, параметров) определены, то это учитывается при выводе результата (что иллюстрируется листингом 5. 4).

Листинг 5.3. Символьное решение уравнения относительно разных переменных

Листинг 5.4.Символьное решение уравнения, зависящего от параметров, в случае предварительного задания их числовых значений

Если решить уравнение аналитически не удается, то результатом применения оператора символьного вывода после функции Find будет либо тривиальное выражение типа Find(x)->x (как в листинге 5.5), либо сообщение об ошибке «No symbolic result was found» (Ни один символьный результат не найден). Следует помнить, что символьный процессор Mathcad «умеет» находить не только действительные, но и комплексные корни уравнений. В качестве примера приведем листинг 5.6 с решением кубического уравнения, имеющего три очевидных корня — одного действительного (равного нулю) и двух чисто мнимых (±i, где i — мнимая единица).

Листинг 5.5. Решить уравнение аналитически не удается

Листинг 5.6. Символьное решение уравнения, имеющего и действительные, и мнимые корни

Нравится

Твитнуть

Формула разложения кубического уравнения

Содержание:

1 Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0
2 Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0
3 Решение кубических уравнений с рациональными корнями
4 Решение кубических уравнений по формуле Кардано
5 Калькуляторы для решение примеров и задач по математике
6 Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.
- 6.1 Корни кубического уравнения. Нахождение корней (решение) кубического уравнения.

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 — 3 = 0 x 3 — 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A

Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0

Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :

5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем.

Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .

Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

x i	Коэффициенты многочлена
2	— 11	12	9
— 0 . 5	2	— 11 + 2 · ( — 0 . 5 ) = — 12	12 — 12 · ( — 0 . 5 ) = 18	9 + 18 · ( — 0 . 5 ) = 0

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3

— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

— 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6

Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.

Таким образом, кубический многочлен a(x) всегда можно разложить на два множителя, один из которых линейный, а второй квадратичный

В свою очередь многочлен второй степени a₃x 2 + bx + c может иметь 2 различных действительных корня, 1 действительный корень или 2 комплексно сопряженных корня.

Соответственно, получаем такие случаи разложения на множители a(x):

Таким образом, приравнивая каждый множитель в разложении к нулю, найдем все корни кубического уравнения в каждом случае. Рассмотрим решение кубических уравнений методом разложения на множители на примерах.

Пример 1. Решить уравнение x 3 — 3x 2 — 4x + 6 = 0.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±2, ±3, ±6. Значит, корни уравнения нужно искать среди них. Простой подстановкой убеждаемся, что корнем уравнения является число 1. Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x — 1)*(a₃x 2 + bx + c) = 0.

Чтобы найти многочлен a₃x 2 + bx + c, нужно левую часть исходного уравнения разделить на x — 1. Для деления многочлена на двучлен будем использовать схему Горнера.

Таким образом, x 3 — 3x 2 — 4x + 6 = (x — 1)(x 2 — 2x — 6). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x — 1) (x 2 — 2x — 6) = 0.

Осталось решить квадратное уравнение x 2 — 2x — 6 = 0.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее .

Пример 2. Решить уравнение -2x 3 + 3x 2 — 4x — 9 = 0.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±3, ±9. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.

Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±3, ±9,

Снова простой подстановкой убеждаемся, что -1 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x + 1.

Таким образом, -2x 3 + 3x 2 — 4x — 9 = (x + 1)(-2x 2 + 5x — 9). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x + 1) (-2x 2 + 5x — 9)=0. Решая квадратное уравнение -2x 2 + 5x — 9 = 0, получаем, что его дискриминант 3 — x 2 — 8x + 4 = 0.

Делителями свободного члена являются числа: ±1, ±2, ±4. Делителями старшего коэффициента являются числа: ±1, ±2.

Значит, корни исходного уравнения могут быть среди чисел: ±1, ±2, ±4.

Простой подстановкой убеждаемся, что 2 является корнем уравнения. С помощью схемы Горнера делим левую часть исходного уравнения на x — 2.

Таким образом, 2x 3 — x 2 — 8x + 4 = (x — 2)(2x 2 + 3x — 2). Следовательно, исходное уравнение эквивалентно (x — 2) (2x 2 + 3x — 2) = 0. Решая квадратное уравнение 2x 2 + 3x — 2 = 0, получаем,

Еще один способ разложения на множители многочлена третьей степени — метод неопределенных коэффициентов. Он довольно громоздкий, но иногда бывает очень полезным при решении разного рода задач, а не только в случае разложения на множители. Разложение на множители любого многочлена третьей степени можно представить следующим образом a(x) = (x-x_{)*(a₃x 2 + bx + c).}

Раскрывая скобки, получим a(x) = a₃x 3 + x 2 (b — a₃x_{) + x*(c — bx_{) — cx_.}}

Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях x и свободные члены в исходном многочлене и в многочлене a(x), получим систему из четырех уравнений и четырех неизвестных a₃,b,c и x_{. Рассмотрим применение метода неопределенных коэффициентов на примерах.}

Пример 4. Решить уравнение x 3 + 2x 2 — 5x — 6 = 0.

Так как любой многочлен 3 степени можно представить в виде a₃x 3 + x 2 (b — a₃x_{) + x*(c — bx_{) — cx_{, то приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:}}}

Выразим из первого уравнения x_{= b — 2 и подставим в два оставшихся. Получим}

Теперь выразим переменную c из первого уравнения и подставим во второе.

Раскрывая скобки во втором уравнении и решая его, находим b:

Если b=4, то c=3, x_{= 2. Следовательно, x 3 + 2x 2 — 5x — 6 = (x — 2)(x 2 — 4x + 3)=(x — 2)(x + 1)(x + 3).}

Если b = 1, то c = -6, x_{= -1. Следовательно, x 3 + 2x 2 — 5x — 6 = (x + 1)(x 2 + x — 6)=(x + 1)(x + 3)(x — 2).}

Если b = -1, то c = -2, x_{= -3. Следовательно, x 3 + 2x 2 — 5x — 6=(x + 3)(x 2 — x — 2) = (x + 3)(x — 2)(x + 1).}

Таким образом, исходное уравнение эквивалентно уравнению (x + 3)(x — 2)(x + 1) = 0.

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -3, x = 2, x = -1.

Пример 5. Решить уравнение 2x 3 + x 2 — 5x + 2 = 0.

Приравнивая соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:

Выразим из первого уравнения x₌

и подставим в два оставшихся. Получим

Теперь из первого уравнения выразим переменную c и подставим во второе.

Умножая левую и правую части второго уравнения на 4 и раскрывая скобки, находим b:

Если b = 3, то c = -2, x_{= 1. Следовательно, 2x 3 + x 2 — 5x + 2 = (x — 1)(2x 2 + 3x — 2)=2(x — 1)(x —}

Если b = -3, то c = 1, x_{= -2. Следовательно, 2x 3 + x 2 — 5x + 2 = (x + 2)(2x 2 — 3x + 1) = 2(x + 2)(x —}

Следовательно, исходное уравнение эквивалентно уравнению 2(x + 2)(x —

Приравнивая к нулю каждый из множителей, получаем корни уравнения x = -2, x =

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.

Кубическим уравнением называется уравнение вида

ax 3 + bx 2 + cx +d = 0 , (1)
где a, b,c ,d — постоянные коэффициенты, а х — переменная.

Мы рассмотрим случай, когда коэффициенты являются веществеными числами.

Корни кубического уравнения. Нахождение корней (решение) кубического уравнения.

Число х называется корнем кубического уравнения (1), если при его подстановке уравнение (1) обращается в верное равенство.

Кубическое уравнение имеет не более трех корней (над комплексным полем всегда три корня, с учетом кратности) . И всегда имеет хотя бы 1 (вещественный) корень. Все возможные случаи состава корней легко определить с помощью знака дискриминанта кубического уравнения, т.е.:

Δ= -4b 3 d + b 2 c 2 — 4ac 3 + 18abcd — 27a 2 d 2 (Да, это дискриминант кубического уравнения)

Итак, возможны только 3 следующих случая:

Δ > 0 — тогда уравнение имеет 3 различных корня. (Для продвинутых — три различных вещественных корня)
Δ 3 + py + q = 0 (2)

К такому виду можно привести любое кубическое уравнение вида (1) с помощью следующей замены:

x= y — b/3a (3)
p= — b 2 /3a 2 + c/a

q= 2b 3 /27a 3 — bc/3a 2 + d/a

Итак, приступим к вычислению корней. Найдем следующие величины:

Дискриминант уравнения (2) в этом случае равен

Дискриминант исходного уравнения (1) будет иметь тот же знак , что и вышеуказанный дискриминант. Корни уравнения (2) выражаются следующим образом:

Соответственно, если Q>0, то уравнения (2) и (1) будут иметь лишь 1 (вещественный) корень, y₁. Подставим его в (3) и найдем х для уравнения (1). (если вас интересуют также мнимые корни, то просто вычислите еще и y₂, y₃ и подставьте их в (3).

Если Q 3 + ax 2 + bx +c = 0 (4)

Очевидно, любое уравнение вида (1) можно привести к виду (4), просто поделив его на коэффициент а.

Итак, алгоритм применения этой формулы:

3. a) Если S>0, то вычисляем

И наше уравнение имеет 3 корня (вещественных):

Тогда единственный корень (вещественный): x₁= -2sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(φ) — a/3

Для тех, кого интересуют также и мнимые корни:

ch(x)=(e x +e -x )/2
Arch(x) = ln(x + (x 2 -1) 1/2 )
sh(x)=(e x -e -x )/2
sgn(x) — знак х

в) Если S=0,то уравнение имеет меньше трех различных решений:

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Решение кубических уравнений.

Формула Кардано

http://www.dpva.info/Guide/GuideMathematics/Equations

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. Теорема Виета.

Квадратным уравнением называется уравнение вида

Где x — переменная, a, b, c — постоянные (числовые) коэффициенты.

В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта:

Формула дискриминанта:

О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D) :

D>0 — уравнение имеет 2 различных вещественных корня
D=0 — уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
D<0 — уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей — корней не имеет)

В общем случае корни уравнения равны:

Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны

Если коэффициент при х четный, то имеет смысл вычислять не дискриминант, а четверть дискриминанта:

В таком случае корни уравнения вычисляются по формуле:

Теорема Виета.

Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида ,

то есть квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.

В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

Следует заметить, что любое квадратное уравнение может стать приведенным, если его поделить на коэффициент при старшем члене,

то есть при х².

Квадратное уравнение имеет вид:

Стандартный метод нахождения корней уравнения происходит в два этапа. Сначала вычисляется дискриминант уравнения по формуле

Затем считаются корни по формуле

Данный онлайн калькулятор решает квадратные уравнения именно таким способом.

**********

Если известны корни уравнения, то исходный многочлен можно разложить на множители:

В ряде задач удобно использовать теорему Виета, которая выглядит следующим образом:

********************************************************************

Как решать квадратные уравнения? Дискриминант. http://www.egesdam.ru/page221.html

Поработаем с квадратными уравнениями. Это очень популярные уравнения! В самом общем виде квадратное уравнение выглядит так:

Например:

Здесь а =1; b = 3; c = -4

Или:

Здесь а =2; b = -0,5; c = 2,2

Или:

Здесь а =-3; b = 6; c = -18

Ну, вы поняли…

Как решать квадратные уравнения? Если перед вами квадратное уравнение именно в таком виде, дальше уже всё просто. Вспоминаем волшебное слово дискриминант. Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении. Итак, формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:

Выражение под знаком корня – и есть тот самый дискриминант. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с. Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в это формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, для первого уравнения а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем:

Пример практически решён:

Вот и всё.

Какие случаи возможны при использовании этой формулы? Всего три случая.

1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.

2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас одно решение. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых. Но это играет роль в неравенствах, там мы поподробнее вопрос изучим.

3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.

Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же… Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с. Вернее, не с их знаками (где там путаться?), а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте!

Предположим, надо вот такой примерчик решить:

Здесь a = -6; b = -5; c = -1

Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.

Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится. Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:

Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!

Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант мы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо. Умеете правильно определять a, b и с. Умеете внимательно подставлять их в формулу корней и внимательно считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

Однако частенько квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:

Или так:

Это неполные квадратные уравнения. Их тоже можно решать через дискриминант. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с.

Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4; а c? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не с, а b !

Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всякого дискриминанта. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.

И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут! Не получается? То-то… Следовательно, можно уверенно записать: х = 0, или х = 4

Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем через дискриминант.

Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:

Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:

Тоже два корня. х = +3 и х = -3.

Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня. Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…

А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…

Приём первый. Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает? Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:

Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с. Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:

И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:

А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.

Приём второй. Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1, проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком. Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку. Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b с противоположным знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b, который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно! Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1. Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.

Приём третий. Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в предыдущем разделе. При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…

Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.

Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:

Вот и всё! Решать – одно удовольствие!

Итак, подытожим тему.

Практические советы:

1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно.

2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.

3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.

4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!

Справочник по математике

Алгебра

Кубические уравнения

Схема метода Кардано

Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени (кубических уравнений)

(1)

где — произвольные вещественные числа,

Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями.

На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент . Тогда оно примет вид

(2)

где — произвольные вещественные числа.

Заменим в уравнении (2) переменную на новую переменную по формуле:

(3)

Тогда, поскольку

то уравнение (2) примет вид

(4)

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

(5)

где — вещественные числа.

Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям

Будем искать решение уравнения (5) в виде

(6)

где — новая переменная.

Поскольку

то выполнено равенство:

Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

(7)

Если теперь уравнение (7) умножить на , то мы получим квадратное уравнение относительно :

(8)

Формула Кардано

Решение уравнения (8) имеет вид:

Следовательно,

В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

(9)

В развернутой форме эти решения записываются так:

	(10)
	(11)

Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

Действительно,

С другой стороны,

Таким образом,

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

(12)

которая и называется «Формула Кардано».

Замечание. Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

Пример. Решить уравнение

(13)

Решение. Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

(14)

Тогда получим

Следовательно, уравнение (13) принимает вид

		(15)
Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену	(16)

Тогда поскольку

то уравнение (15) примет вид

(17)

Далее из (17) получаем:

Отсюда по формуле (16) получаем:

(18)

Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

или использовали формулу

Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

Замечание 1. У уравнения (13) других вещественных корней нет.

Замечание 2. Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

Solutions Of Cubic Functions (3 Key Facts About Zeros Of Cubics) – JDM Educational

Кубические функции не рассматриваются так часто, как квадратичные, но они по-прежнему важны в математике. Мы можем многое сказать о корнях кубических функций и о том, как они выглядят (действительные или комплексные, и сколько каждой из них).

Итак, сколько действительных решений имеет кубическая функция? Кубическая функция с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень, так как комплексные корни входят в сопряженные пары. Кубическая функция может иметь 1 действительный корень (повторяется 3 раза или 1 действительный корень и 2 комплексных корня), 2 действительных корня (когда один действительный корень повторяется дважды) или 3 различных действительных корня.

Конечно, у кубического числа всегда есть хотя бы 1 действительный корень — если мы сможем его найти, то сможем разложить кубическое число на произведение линейной функции и квадратичной функции. Затем мы можем использовать квадратичную формулу, чтобы легко найти два других корня.

В этой статье мы поговорим о корнях (решениях) кубических функций и о том, когда они будут действительными или комплексными. Мы также ответим на некоторые распространенные вопросы о корнях кубических функций.

Начнем.

Решения кубических функций

Существует несколько различных случаев для решений кубических функций, в зависимости от того, сколько действительных и комплексных корней в уравнении:

Один тройной действительный корень – это происходит, когда есть только один действительный корень и нет комплексных корнеплоды. Действительный корень повторяется три раза. Простейший пример: f(x) = x ³ , что представляет собой x*x*x с тройным действительным корнем x = 0.
Один действительный корень и два комплексно-сопряженных корня – это единственный случай, когда есть комплексные корни. Это происходит, когда имеется действительный корень (не повторяющийся) и два комплексно-сопряженных корня. В этом случае кубик будет учитываться как f(x) = k(x – r)(x – z ₁ )(x – z ₂ ), где k – константа, r – действительный корень, z ₁ = a + bi – один комплексный корень, z ₂ = a – bi – другой сложный корень. Обратите внимание, что z ₁ и z ₂ являются комплексно-сопряженными, то есть они имеют одинаковую действительную часть, но противоположные мнимые части.
Два действительных корня (один двойной действительный корень) – это происходит, когда есть двойной действительный корень и 2 ^-й-й действительный корень (не повторяющийся). Один из примеров: f(x) = x ³ – x ² , который размножается как x*x*(x – 1), с двойным вещественным корнем из x = 0 и действительным корнем из x = 1 (не повторяется).
Три различных действительных корня – это происходит, когда имеется 3 различных действительных корня кубической функции. Одним из примеров является f(x) = x ³ – 3x ² + 2x, что представляет собой x(x – 1)(x – 2) с действительными корнями x = 0, x = 1 и x = 2.

В таблице ниже приведены четыре случая для нулей кубического числа и сколько корней являются действительными или комплексными.

Case For Roots	Distinct Real Root Count	Distinct Complex Root Count
Triple Real Root	1	0
One Real Два комплекса	1	2
Два реальных корней (1 двойной)	2	0
Три DISTIN0084	3	0

В этой таблице приведены четыре случая для
нулей кубического числа и сколько
корней являются действительными или комплексными.

Помните, что у кубика всегда есть хотя бы один действительный корень. Это позволяет нам разложить кубик как произведение линейной функции на квадратичную функцию.

Возможны 3 случая решения квадратичной функции:

Случай 1: 2 различных действительных корня – это происходит, когда дискриминант положительный.
Случай 2: 1 повторяющийся действительный корень – это происходит, когда дискриминант равен нулю.
Случай 3: 2 комплексно-сопряженных корня – это происходит, когда дискриминант отрицательный.

Если мы находимся в случае 1 и корень линейной функции отличен от обоих действительных корней квадратной, то мы получаем три различных действительных корня.

Если мы находимся в случае 1 и корень линейной функции совпадает с одним из действительных корней квадратной, то мы получаем два различных действительных корня (один из них двойной корень).

Если мы находимся в Случае 2 и корень линейной функции совпадает с повторяющимся корнем квадратной, то мы получаем один тройной действительный корень.

Если мы находимся в случае 2 и корень линейной функции отличен от повторного корня квадратной, то мы получаем тогда мы получаем два различных действительных корня (один из них двойной корень).

Если мы находимся в случае 3, то мы получаем один действительный корень и два комплексно-сопряженных корня.

В таблице ниже приведены случаи природы корней кубической функции в зависимости от корней квадратного и линейного множителей.

Quadratic Roots	Linear Roots	Nature Of Cubic Roots
2 distinct real	distinct from the quadratic roots	3 distinct real roots
2 различных действительных	то же, что и один из квадратичных корней	2 различных действительных корней (1 двойной)
1 двойной real	same as the double real root	1 real root (1 triple)
1 double real	distinct from the double real root	2 distinct real roots ( 1 двойной)
2 сложный	любой	1 действительный корень и два сложные (сопряженные)

корни квадратного и линейного множителей.

Сколько нулей у кубической функции?

Кубическая функция имеет 3 нуля, считая повторяющиеся корни. Однако некоторые из них могут повторяться (возможен двойной или тройной корень) или иметь пару сложных (не вещественных) корней.

Согласно основной теореме алгебры многочлен степени n с вещественными коэффициентами имеет n комплексных корней (с учетом повторяющихся корней). Применяя это к кубику с действительными коэффициентами (n = 3), мы видим, что такая функция имеет 3 корня.

Могут ли кубические функции иметь мнимые корни?

В некоторых случаях кубическая функция может иметь мнимые корни. Кубическая функция всегда будет иметь либо 0, либо 2 мнимых корня, которые должны быть комплексно-сопряженными друг другу (согласно теореме о комплексно-сопряженных корнях).

Например, если x = 2i является корнем куба f(x), то x = -2i (комплексное сопряжение 2i) также является корнем f(x). Третий корень этой кубической будет действительным, скажем, x = 3.

Тогда наша кубическая функция f(x) будет выглядеть так:

f(x) = k(x – 3)(x – 2i)(x + 2i)
f(x) = k(x – 3)(x ² + 2ix – 2ix – 4i ² ) [FOIL (x – 2i)(x + 2i)]
f(x) = k(x – 3)(x ² + 4) [отменить подобные термины и использовать i ² = -1]
f(x) = k(x ³ + 4x – 3x ² – 12) [ФОЛЬГА]

Если известны координаты одной точки куба f( x), который не равен нулю, то мы можем найти значение k. Допустим, у нас есть точка (1, -20) на графике f(x).

Тогда мы можем найти k следующим образом:

f(1) = k(1 ³ + 4(1) – 3(1) ² – 12) [подставить x = 1]
-20 = k(1 + 4 – 3 – 12) [f(1) = -20, так как точка (1, -20) находится на графике f(x)]
-20 = k(-10)
2 = k

Так как k = 2, мы можем записать всю функцию как:

2 – 12)
f(x) = 2(x ³ + 4x – 3x ² – 12) [k = 2]
f(x) = 2x ^{3 9 х 9×9020 – 8 0 – 24 [распределить 2 через круглые скобки]}

График функции изображен ниже.

График кубической функции f(x) = 2x ³ – 6x ² + 8x – 24. Мы видим один нуль при x = 3, а два других комплексные: 2i и -2i.

Может ли кубическая функция не иметь действительных нулей?

Кубическая функция всегда имеет по крайней мере 1 вещественный нуль в соответствии с основной теоремой алгебры и теоремой о комплексно-сопряженном корне.

Основная теорема алгебры говорит нам, что кубик имеет ровно 3 корня. Теорема о комплексно-сопряженных корнях говорит нам, что комплексные корни должны встречаться парами (которые являются комплексно-сопряженными).

Итак, возможные случаи:

2 комплексных корня (комплексно-сопряженная пара) и 1 действительный корень который является двойным корнем)

Вы можете увидеть пример второго случая (3 различных действительных корня) ниже.

График кубической функции f(x) = x ³ – 3x ² + 2x, которая имеет 3 различных действительных корня: x = 0, x = 1 и x = 2.

Если бы кубическая функция не имела действительных корней, то комплексных корней было бы 3, один из которых не был бы сопряжен со своим комплексно-сопряженным.

Теорема о комплексно-сопряженных корнях подразумевает, что кубическая функция никогда не может иметь 1 или 3 мнимых корня (кубическая функция может иметь только 0 или 2 комплексных корня). Это также означает, что кубическая функция должна иметь хотя бы один действительный корень.

Может ли кубическая функция иметь 3 мнимых корня?

Кубическая функция с действительными коэффициентами не может иметь 3 мнимых корня, так как это означало бы отсутствие действительных корней, что, как мы показали выше, невозможно.

Как упоминалось ранее, кубическая функция с вещественными корнями имеет либо 0, либо 2 комплексных корня, поскольку комплексные корни входят в сопряженные пары по теореме о комплексно-сопряженных корнях.

Кубическая функция может иметь 3 мнимых корня только в том случае, если коэффициенты комплексные (вместо действительных коэффициентов).

Может ли кубическая функция иметь двойной корень?

Кубическая функция может иметь двойной корень. Однако этот двойной корень должен быть действительным.

Одним из примеров является кубическая функция f(x) = x ³ – x ² . Эта функция представляет собой x*x*(x – 1) с двойным вещественным корнем из x = 0 (повторяется) и действительным корнем из x = 1 (не повторяется).

График показан ниже.

Кубическая функция f(x) = x ³ – x ² , которая имеет двойной действительный корень при x = 0 и другой действительный корень при x = 1 (не повторяется).

Если бы двойной корень был комплексным, то его комплексно-сопряженный корень также должен был бы быть двойным корнем (согласно теореме о комплексно-сопряженном корне).

Однако это означало бы, по крайней мере, 4 нуля функции, что противоречит основной теореме алгебры (которая утверждает, что кубика имеет 3 корня).

Может ли кубическая функция иметь 2 нуля?

Кубическая функция может иметь 2 нуля, если один из них является повторяющимся вещественным корнем (двойным корнем). Отсюда следует, что комплексных корней (комплексно-сопряженных пар) не будет.

В этом сценарии будет один двойной реальный корень (который повторяется) и один реальный корень (который не повторяется).

Может ли кубическая функция иметь только один действительный корень?

Кубическая функция может иметь только один действительный корень. Это может произойти в двух случаях:

Один тройной действительный корень – самый простой пример: f(x) = x ³ , который разлагается как x*x*x, с тройным действительным корнем из x = 0.
Один вещественный корень & Два комплексно-сопряженных корня — один пример: f (x) = x ³ + x, который факторизуется как x (x + i) (x — i), с действительным корнем из x = 0 и парой комплексно-сопряженных корней x = я и х = -я.

График первого случая показан ниже.

График кубической функции f(x) = x ³ , который имеет тройной действительный корень при x = 0. Комплексных корней нет.

Заключение

Теперь вы знаете о решениях кубических функций и о том, когда они действительны или комплексны. Вы также знаете, что комплексные корни входят в сопряженные пары для многочленов с действительными коэффициентами, будь то квадратичные, кубические или многочлены более высокого порядка.

Вы можете узнать больше о кубической формуле (которая помогает нам решить любое кубическое уравнение) в этой статье Университета Вандербильта.

Вы также можете узнать о функциях пятой степени в моей статье здесь или о функциях четвертой степени в моей статье здесь.

Надеюсь, эта статья оказалась вам полезной. Если это так, пожалуйста, поделитесь ею с теми, кто может использовать эту информацию.

Не забудьте подписаться на мой канал YouTube и получать обновления о новых математических видео!

Подпишитесь на наш канал на YouTube!

~Джонатон

11.

5: Методы решения кубических выражений и нахождение корней

Последнее обновление
Сохранить как PDF

Идентификатор страницы: 473

Майкл Адевуми
Государственный университет Пенсильвании через John A. Dutton: e-Education Institute

Надеюсь, мы убедили вас в том, что использование кубических уравнений состояния может представлять собой очень значимый и выгодный способ моделирования поведения PVT нефтяных флюидов. Что нам сейчас нужно, так это инструменты, которые позволят нам получать от них нужную нам информацию. Несмотря на то, что кубические уравнения состояния явны для давления, давление не является обычным неизвестным, вычисляемым в типичной задаче. {3}\right)\), многочлен имеет только один действительный корень. Вычислить: \[S=\sqrt[3]{-R+\sqrt{M}} \label{11.7a}\] \[T=\sqrt[3]{-R-\sqrt{M}} \label{11.7b }\] и вычислить действительный корень следующим образом: \[x_{1}=S+T-\frac{a}{3} \label{11.7c}\] Также могут быть найдены два комплексных корня (комплексно-сопряженные) . Однако для наших целей они не представляют интереса, поэтому формулы не приводятся.

Такие формулы можно найти в следующих рекомендуемых чтениях:

W.H. Пресс, С.А. Теукольский, В.Т. Феттерлинг, Б.П. Flannery, Numerical Recipes in Fortran, 2 ^nd Edition, Cambridge Univ. Пресса, (1992), с. 179.
Spiegel, M., Liu, J., Математический справочник формул и таблиц, 2 ^nd Edition, Schaum’s Outline Series, McGraw Hill, p.10.

Иногда приведенные выше уравнения для \(S\) и \(T\) вызывают проблемы при программировании. Обычно это происходит всякий раз, когда компьютер/калькулятор вычисляет кубический корень из отрицательной величины. Если вы хотите избежать такой ситуации, вы можете вместо этого вычислить \(S’\) и \(T’\): 9{\prime}-\frac{a}{3}\]

Имейте в виду следующие полезные соотношения между корнями любого кубического выражения:

\[x_{1}+x_{2}+x_{3} =-a \label{11.8a}\]

\[x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{1}=+b \label{11.8b} \]

\[x_{1} x_{2} x_{3}=-c \label{11.8c}\]

Проверьте свое понимание вычисления кубического корня с помощью аналитических средств, решая следующие примеры.

Упражнение \(\PageIndex{1}\)

С общими кубическими выражениями, 9{2}+0,089 z-0,0013=0\]

Решение

Две возможные фазы,

\[\begin{align}
&z_{\text {жидкость}}=0,0183012\\
&z_{x} =0,0786609 \text { (бесполезно)}\\
&\mathrm{Z}_{\mathrm{vapor}}=0,8
\end{aligned}\]

Численная схема

Метод Ньютона-Рафсона обеспечивает полезную схема решения для неявной переменной из уравнения любой формы (не только кубической). Ньютона-Рафсона — итерационная процедура с быстрой сходимостью, хотя и не всегда способная дать ответ — потому что 9{2}+2 a x_{ol d}+b} \label{11.10}\]

Итерации продолжаются до тех пор, пока не будет достигнуто существенное улучшение для «\(x_{new}\)», т. е. \(| x_{ новый} – x_{старый} |\) < допуск. Обоснованное предположение должно быть предоставлено в качестве начального значения для итераций. Если вы решаете кубическое уравнение относительно Z (коэффициент сжимаемости), обычно рекомендуется принять \(Z = bP/RT\) в качестве начального предположения для сжимаемости жидкой фазы и \(Z = 1\) для паровой корень.

Полуаналитическая схема

Если вы использовали предыдущий численный подход для вычисления одного из корней кубического выражения, полуаналитическая схема может дать вам два других действительных корня (если они существуют). Используя отношения, данные ранее, со значением «x ₁» в качестве уже известного корня, два других корня вычисляются путем решения системы уравнений:

\[x_{2}+x_{3}=- a-x_{1} \label{11. 11a}\]

\[x_{2} x_{3}=-c / x_{1} \label{11.11b}\]

что приводит к квадратному выражению . 9{2}-4 Г}}{2} \label{11.13c}\]

Авторы и авторство

Эта страница под названием 11.5: Методы решения кубических выражений и поиска корней распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0, ее автор, ремикширование и/или куратор — Майкл Адевуми (Джон А. Даттон: Институт электронного образования ) через исходный контент, отредактированный в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

Вернуться к началу

Была ли эта статья полезной?

Тип изделия
Раздел или страница
Автор
Майкл Адевуми
Лицензия
СС BY-NC-SA
Версия лицензии
4,0
Показать оглавление
нет

Метки

кубическое уравнение

источник@https://www.

{2}-4ac}}{2a}\] 9{2} -4\влево(1\вправо)\влево(2\вправо)}}{2\влево(1\вправо)} \\ & = \frac{4±\sqrt{8}}{2} \\ & = 2±\sqrt{2} \конец{выравнивание*}

Окончательные решения

\(x=-2\) или \(x=2±\sqrt{2}\)

temp text

Решение кубических уравнений

Учебник Упражнение 5.6 9{2} — 7х+12)\ &= (х + 1)(х-3)(х-4) \\ \поэтому 0 &= (х + 1)(х-3)(х — 4) \\ \следовательно, x = -1 & \text{ или } x = 3 \text{ или } x = 4 \конец{выравнивание*}

5.1.2. Одно уравнение MathCAD 12 руководство

Формула разложения кубического уравнения

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Решения кубических уравнений с вещественными коэффициентами. Универсальные методы. Дискриминант кубического уравнения. Формула Виета для кубического уравнения.

Решение кубических уравнений.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям

Формула Кардано

Пример решения кубического уравнения

Solutions Of Cubic Functions (3 Key Facts About Zeros Of Cubics) – JDM Educational

Решения кубических функций

Сколько нулей у кубической функции?

Могут ли кубические функции иметь мнимые корни?

Может ли кубическая функция не иметь действительных нулей?

Может ли кубическая функция иметь 3 мнимых корня?

Может ли кубическая функция иметь двойной корень?

Может ли кубическая функция иметь 2 нуля?

Может ли кубическая функция иметь только один действительный корень?

Заключение

11.

Численная схема

Полуаналитическая схема

Авторы и авторство

Окончательные решения

Решение кубических уравнений

Добавить комментарий Отменить ответ