Решение матриц онлайн с решением методом гаусса: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Исследование систем линейных уравнений

Похожие презентации:

Линейная алгебра. Ранг матрицы. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Лекция 5

Системы из n линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Системы линейных уравнений. Метод Гаусса. (Тема 9.2)

Линейная алгебра. Ранг матрицы. (Тема 2)

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера, матричным методом, методом Гаусса

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Системы линейных уравнений. Ранг матрицы

Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера

Метод обратной матрицы решения систем линейных уравнений

1. Линейная алгебра

Метод Гаусса решения систем линейных
уравнений
Ранг матрицы
Исследование систем линейных уравнений
Однородные системы линейных уравнений

2.

Метод Гаусса решения систем линейных уравненийРассмотрим задачу решения системы линейных уравнений
размерностью (m x n). Запишем систему в матричном виде: A X B
a11 a12 a13 a1n x1 b1
a 21 a 22 a 23 a 2n x 2 b 2
a a a a x b
mn n
m
m1 m 2 m 3
b1
a11 a12 a13 a1n
a21 a22 a23 a2 n b2
B A B
a a a a b
m
mn
m1 m 2 m 3
Если закрепить раз и
навсегда нумерацию
неизвестных, то можно
опустить неизвестные в
записи системы и
записать ее в виде
матрицы, отделяя
столбец свободных
членов вертикальной
чертой.
Расширенная матрица
системы

3. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Следующие действия над расширенной матрицей системы
называются элементарными преобразованиями.
Умножение или деление элементов строк на одно и то же
число, не равное нулю
Перестановка местами двух строк
Прибавление к элементам строки элементов другой строки,
умноженных на произвольный множитель.
Конечной целью элементарных преобразований является
получение верхнетреугольной матрицы, у которой все элементы,
стоящие под главной диагональю равны нулю. Преобразования
стараются производить так, чтобы на главной диагонали
появлялись единицы.
a11 a12
a 21 a 22
a
31 a 32
a13
a 23
a 33
b1
b2
b 3
1 c 12
0 1
0 0
c 13
c 23
1
d1
d2
d3

4. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

5 x 2y 4z 5
2x 3 y z 7
3 x y 2z 3
Ко второй строке
Запишем
прибавим третью строку,
расширенную
умноженную на (-5)
матрицу системы
( 2)
5 2 4 5 ( 2) 1 8 6 9 ( 3)
~
1 строке
7 прибавим
2 К3первой
~
2 3 1 7
строку,
3 1 вторую
3 1 2 3
2
3
на (-2)
умноженную
6
9 1Ко второй
8
6строке
9 ( 5)
1 8
прибавим
первую
строку,
вычтем
Из третьей строки
0 19 13на (-2),
25
~
0 19 13 25 ~ умноженную
вторую строку
строке
0 23 16 30
0 К третьей
4 первую
3 строку,
5
прибавим
умноженную на (-3).

5. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

1 8 6 9 4
0
~
0 1 2
0 4 3 5
x 1 y 2
1 8 6 9
: 5
0 1 2 0
~
строке
0 К0третьей
прибавим
5
5
вторую строку,
умноженную на 4
Вторую строку умножим
на (-1), третью
строку
Восстановим
систему:
разделим на 5
1 8 6 9
0 1 2 0
0 0
1
1
x 8 y 6 z 9
y 2z 0
z 1
( 1)
x 9 8 y 6 z
y 2z 2
z 1
z 1
x 9 16 6 1
y 2
z 1

6. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу размерностью (m x n).
a11 a12
a 21 a 22
a
a 32
31
am1 am 2
a13
a 23
a 33
am3
a1n
aa1111 a12 aa131n
a 2n
a1112 aa121n
22aa 3121 a 3222 aa233n
M33M
a3n M
a2132 aa223n
aam311 aam322 a 33mn
amn
Выделим в этой матрице произвольное число k строк и k столбцов.
Элементы матрицы А, стоящие на пересечении выделенных строк
и столбцов, образуют определитель k — того порядка.
Минором k-того порядка матрицы А называют определитель,
полученный из А выделением произвольных k строк и k столбцов.

7. Ранг матрицы

Рангом матрицы называется наибольший порядок отличного от
нуля минора этой матрицы.
2 3 4 5
A 0 2 3 1
0 2 2 4
2
18 миноров 2 — го порядка, например:
3
0 2
4
0 2 3 20
Матрица А имеет 4 минора 3 — его порядка,
например:
2
3
0
4
12 миноров 1 — го порядка – сами элементы.
Наибольший порядок отличного от нуля минора
этой матрицы равен 3, поэтому: r ( A ) 3
2
2

8. Ранг матрицы

Определитель, порядок которого равен рангу матрицы, называется
базисным минором. Он может быть не единственным.
Можно показать, что эквивалентные преобразования не меняют
ранга матрицы. Поэтому, когда требуется вычислить ранг матрицы,
ее приводят к треугольному виду.
Ранг матрицы равен числу ненулевых строк матрицы,
приведенной к треугольному виду
1 3 2
A 0 5 4 ~
1 7 6
1 3 2 ( 2)
0 5 4
~
0 10 8
r( A ) 2
1 3 2
0 5 4
0 0 0

9.

Исследование систем линейных уравненийТеорема Кронекера — Капелли.
Для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений
была совместна (имела решение ), необходимо и достаточно,
чтобы ранг расширенной матрицы
системы равнялся рангу
матрицы коэффициентов: r (B) r ( A )
Если r(B) r( A ) n (числу неизвестных), то система
совместна и определенна (имеет единственное решение).
Если r(B) r( A ) n ,то система совместна и неопределенна
(имеет бесконечное множество решений).
Если r (B) r ( A ) ,то система несовместна (не имеет решений).
При решении систем линейных алгебраических уравнений нет
необходимости заранее вычислять ранги основной и расширенной
матриц. Их определение производится автоматически при
выполнении метода исключения Гаусса.

10. Исследование систем линейных уравнений

2×1 2x 2 2x 3 4
x1 x 2 x 3 0
3 x1 3 x 2 x 3 2
x1 x 2 3 x 3 2
2 2 2 4
:2
1 1 1 0
3 3 1 2 ~
1 1 3 2
1 1 1 2 ( 3)
1 1 1 0 V
~
3 3 1 2
1 1 3 2
: ( 2)
1
0
0
0
2
0 2 2
0 4 4
0 4
4
1
1
: ( 4)
V : 4
~

11.

Исследование систем линейных уравнений1
0
0
0
1 1 2
0 1 1 V
~
0 1 1
0 1 1
r(B) r( A ) 2
1
0
0
0
1 1 2
0 1 1
0 0 0
0 0 0
система совместна
n 3 — число неизвестных
r(B) n система неопределенна
n r 3 2 1 — число свободных переменных
Восстановим систему:
Пусть x 2 t.
x1 1 t
x 1 2 t x 3 1 t
x1 t x 3 2
x2 t
x3 1
x3 1
x 1
3

12. Исследование систем линейных уравнений

x 2y 4z 1
2 x y 5z 1
x y z 3
1 2 4 1
2 1 5 1
1 1 1 3
( 2)
~
1 2 4 1 1 2 4 1
~
0 3 3 3
0 3 3 3
0 3 3
0 0
2
0
5
r(B) 3
r( A ) 2
r(B) r( A ) система несовместна

13. Однородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений называется однородной, если все
свободные члены ее равны нулю.
a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0
a 21 x1 a 22 x 2 a 2n x n 0
am1x1 am 2 x 2 amn x n 0
Однородная система всегда имеет решение:
x1 0
x 2 0 xn 0
Это решение называется тривиальным. Оно является
единственным решением системы в случае, когда r( A ) n
Если r( A ) n , то система имеет бесконечное множество
решений.

14. Однородные системы линейных уравнений

Пусть: r( A ) r n
Тогда система имеет r базисных переменных и n – r свободных
переменных.
Общее решение системы запишется в виде:
x1( t1,…, t n r )
…
x r ( t1,…, t n r )
X
t1
…
t n r
Базисные переменные,
зависящие от свободных
переменных
Значения свободных
переменных
t1 xr 1; t 2 xr 2 ; tn r xn

15. Однородные системы линейных уравнений

Выберем n — r частных решений однородной системы, полученных
из общего решения следующим образом: полагаем одно из
значений свободных переменных равным 1, а остальные равными
0 :
x1(1,0,…, 0)
x1(0,0,…,1)
x1(0,1,…, 0)
x r (0,0,…,1)
x r (1,0,…, 0)
x r (0,1,…, 0)
0
1
0
X
X1
X2
n r
0
0
1
1
0
0
Эти решения образуют фундаментальную систему решений
однородной системы (ФСР).

16. Однородные системы линейных уравнений

Найти фундаментальную систему решений:
1 1 5 7 ( 3)
1
~
2 1 4
3 2 1 6
x1 x 2 5 x 3 7 x 4 0
2×1 x 2 4 x 3 x 4 0
3 x 2x x 6 x 0
2
3
4
1
1 1 5 7
~
0 1 14 15
0 1 14 15
1 1 5 7
0 1 14 15
( 2)
1 1 5 7 ( 1)
~
0 1 14 15
0 0
0
0
r( A ) 2
n 4
n r 4 2 2 — число свободных переменных

17. Однородные системы линейных уравнений

Обозначим:
x 3 t1
x4 t2
(в качестве свободных переменных обычно берут те,
которые имеют 0 на главной диагонали)
x 1 x 2 5t 1 7t 2 0
x 2 14t1 15t 2 0
x1 x 2 5t 1 7t 2
x 2 14t1 15t 2
x1 14t1 15t 2 5t1 7t 2 11t1 12t 2 Фундаментальная
система решений
x 2 14t1 15t 2
11t1 12t 2
14t 1 15t 2
X
t1
t
2
11 решение
12
Общее
15
14
X2
X1
0
1
1
0

English     Русский Правила

Решение матриц онлайн методом гаусса онлайн: Онлайн калькулятор.

Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса — ЭкоДом: Дом своими руками

Содержание

Решение системы линейных уравнений методом Гаусса-Жордана

Укажите количество уравнений в системе m=2345678910

метод Гаусса–Жордана – один из наиболее известных и широко применяемых методов решения систем линейных уравнений. Матричный метод и метод Крамера обладают тем недостатком,
что они не дают ответа в том случае, когда detA = 0, а определяют лишь единственное решение при detA неравном 0. Еще одним недостатком является то, что объем математических вычислений
в рамках этих методов резко возрастает с ростом числа уравнений. Метод Гаусса практически свободен от этих недостатков.

Алгоритм метода Гаусса

1. На основании системы линейных уравнений составляем расширенную матрицу системы;
2. Приводим матрицу к “треугольному” виду;
3. Определяем ранги основной и расширенной матриц, и на основании этого делаем вывод о совместности системы и количестве допустимых решений;
4. В случае, если система имеет единственное решение производим обратную подстановку и находим его, если система имеет множество решений: выражаем базисные переменные через
   переменные которые могут принимать произвольные значения;

Комментарий к шагу 2 Метода Гаусса. Треугольной называют матрицу, в которой все элементы расположенные ниже главной диагонали равны нулю.

Для приведения исходной расширенной матрицы к треугольному виду используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.

На основании этих свойств определителей составим алгоритм преобразования матрицы к треугольному виду:

1. Рассматриваем строку i(начиная с первой). Если, элемент aⁱ_i равен нулю, меняем местами i-ю и i+1-ю строки матрицы. Знак определителя при этом изменится на противоположный. Если a¹₁ отличен от нуля – переходим к следующему шагу;
2. Для каждой строки j, ниже i-й находим значение коэффициента K_j=a^j_i/aⁱ_i;
3. Пересчитываем элементы всех строк j, расположенных ниже текущей строки i, с использованием соответствующих коэффициентов по формуле: a^j_kнов.
   =a^j_k-K_j*aⁱ_k;
   После чего, возвращаемся к первому шагу алгоритма и рассматриваем следующую строку, пока не доберемся до строки i=n-1, где n – размерность матрицы A
4. В полученной треугольной матрице расчитываем произведение всех элементов главной диагонали Пaⁱ_i, которое и будет являтся определителем;

Другими словами, суть метода можно сформулировать следующим образом. Нам необходимо сделать нулевыми все элементы матрицы ниже главной диагонали. Сначала мы получаем нули в первом столбце.
Для этого мы последовательно вычитаем первую строку, домноженную на нужное нам число (такое, чтоб при вычитании мы получили ноль в первом элементе строки), из всех ниже лежащих строк.
Затем проделываем то же самое для второй строки, чтобы получить нули во втором столбце ниже главной диагонали матрицы. И так далее пока не доберемся до предпоследней строки.

Комментарий к шагу 3 Метода Гаусса. Рангом матрицы A размера m × n называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Ранг матрицы A обозначается через r(A) = rangA = rankA.
Минором M (от латинского “minor” меньший) k-го порядка матрицы A называется определитель некоторой матрицы, составленной из элементов матрицы A, стоящих на пересечении произвольно выбранных k
строк и k столбцов с сохранением их порядка. Если номера столбцов, в которых расположен минор M, совпадают с номерами строк, то этот минор называется главным. Каждая матрица A порядка n имеет
(C^k_n)2 миноров k-го порядка. Минорами 1-го порядка являются сами элементы матрицы A.

Основываясь на сравнении полученных значений рангов для основной и расширенной матрицы можно сделать следующие выводы о разрешимости системы:

• если ранг основной системы равен рангу расширенной и равен числу уравнений системы (rangA=rangA’=n), то система совместна и имеет единственное решение;
• если ранг основной системы равен рангу расширенной, но меньше числа уравнений в системе (rangA=rangA’
• если ранг основной системы меньше ранга расширенной (rangA

   

Подробнее

Финансовая математика. 12 задач решены с помощью финансовых функций MS EXCEL

Решение задач, Финансовый менеджмент

Выполнил: user387341

Экономико-математические методы Задача 16 (решение через поиск решения в Excel)

Решение задач, Высшая математика

Выполнил: Мудрый Тушканчик

Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки
работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут.

 

Метод Гаусса для решения матриц. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса :: SYL.ru

Еще с начала XVI-XVIII веков математики усиленно начали изучать функции, благодаря которым так много в нашей жизни изменилось. Компьютерная техника без этих знаний просто не существовала бы. Для решения сложных задач, линейных уравнений и функций были созданы различные концепции, теоремы и методики решения. Одним из таких универсальных и рациональных способов и методик решения линейных уравнений и их систем стал и метод Гаусса. Матрицы, их ранг, детерминант — все можно посчитать, не используя сложных операций.

Что представляет собой СЛАУ

В математике существует понятие СЛАУ — система линейных алгебраических уравнений. Что же она собой представляет? Это набор из m уравнений с искомыми n неизвестными величинами, обычно обозначающимися как x, y, z, или x₁, x₂… x_n, или другими символами. Решить методом Гаусса данную систему — означает найти все искомые неизвестные. Если система имеет одинаковое число неизвестных и уравнений, тогда она называется системой n-го порядка.

Наиболее популярные методы решения СЛАУ

В учебных заведениях среднего образования изучают различные методики решения таких систем. Чаще всего это простые уравнения, состоящие из двух неизвестных, поэтому любой существующий метод для поиска ответа на них не займет много времени. Это может быть как метод подстановки, когда из одного уравнения выводится другое и подставляется в изначальное. Или метод почленного вычитания и сложения. Но наиболее легким и универсальным считается метод Гаусса. Он дает возможность решать уравнения с любым количеством неизвестных. Почему именно эта методика считается рациональной? Все просто. Матричный способ хорош тем, что здесь не требуется по несколько раз переписывать ненужные символы в виде неизвестных, достаточно проделать арифметические операции над коэффициентами — и получится достоверный результат.

Где используются СЛАУ на практике

Решением СЛАУ являются точки пересечения прямых на графиках функций. В наш высокотехнологический компьютерный век людям, которые тесно связаны с разработкой игр и прочих программ, необходимо знать, как решать такие системы, что они представляют и как проверить правильность получившегося результата. Наиболее часто программисты разрабатывают специальные программы-вычислители линейной алгебры, сюда входит и система линейных уравнений. Метод Гаусса позволяет высчитать все существующие решения. Также используются и другие упрощенные формулы и методики.

Критерий совместимости СЛАУ

Такую систему можно решить только в том случае, если она совместима. Для понятности представим СЛАУ в виде Ax=b. Она имеет решение, если rang(A) равняется rang(A,b). В этом случае (A,b) – это матрица расширенного вида, которую можно получить из матрицы А, переписав ее со свободными членами. Выходит, что решить линейные уравнения методом Гаусса достаточно легко.

Возможно, некоторые обозначения не совсем понятны, поэтому необходимо рассмотреть все на примере. Допустим, есть система: x+y=1; 2x-3y=6. Она состоит всего из двух уравнений, в которых 2 неизвестные. Система будет иметь решение только в том случае, если ранг ее матрицы будет равняться рангу расширенной матрицы. Что такое ранг? Это число независимых строк системы. В нашем случае ранг матрицы 2. Матрица А будет состоять из коэффициентов, находящихся возле неизвестных, а в расширенную матрицу вписываются и коэффициенты, находящиеся за знаком «=».

Почему СЛАУ можно представить в матричном виде

Исходя из критерия совместимости по доказанной теореме Кронекера-Капелли, систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричном виде. Применяя каскадный метод Гаусса, можно решить матрицу и получить единственный достоверный ответ на всю систему. Если ранг обычной матрицы равняется рангу ее расширенной матрицы, но при этом меньше количества неизвестных, тогда система имеет бесконечное количество ответов.

Преобразования матриц

Прежде чем переходить к решению матриц, необходимо знать, какие действия можно проводить над их элементами. Существует несколько элементарных преобразований:

• Переписывая систему в матричный вид и осуществляя ее решение, можно умножать все элементы ряда на один и тот же коэффициент.
• Для того чтобы преобразовать матрицу в канонический вид, можно менять местами два параллельных ряда. Канонический вид подразумевает, что все элементы матрицы, которые расположены по главной диагонали, становятся единицами, а оставшиеся — нулями.
• Соответствующие элементы параллельных рядов матрицы можно прибавлять один к другому.

Метод Жордана-Гаусса

Суть решения систем линейных однородных и неоднородных уравнений методом Гаусса в том, чтобы постепенно исключить неизвестные. Допустим, у нас есть система из двух уравнений, в которых две неизвестные. Чтобы их найти, необходимо проверить систему на совместимость. Уравнение методом Гаусса решается очень просто. Необходимо выписать коэффициенты, находящиеся возле каждого неизвестного в матричный вид. Для решения системы понадобится выписать расширенную матрицу. Если одно из уравнений содержит меньшее количество неизвестных, тогда на место пропущенного элемента необходимо поставить «0». К матрице применяются все известные методы преобразования: умножение, деление на число, прибавление соответствующих элементов рядов друг к другу и другие. Получается, что в каждом ряду необходимо оставить одну переменную со значением «1», остальные привести к нулевому виду. Для более точного понимания необходимо рассмотреть метод Гаусса на примерах.

Простой пример решения системы 2х2

Для начала возьмем простенькую систему алгебраических уравнений, в которой будет 2 неизвестных.

Перепишем ее в расширенную матрицу.

Чтобы решить данную систему линейных уравнений, требуется проделать всего две операции. Нам необходимо привести матрицу к каноническому виду, чтобы по главной диагонали стояли единицы. Так, переводя с матричного вида обратно в систему, мы получим уравнения: 1x+0y=b1 и 0x+1y=b2, где b1 и b2 — получившиеся ответы в процессе решения.

1. Первое действие при решении расширенной матрицы будет таким: первый ряд необходимо умножить на -7 и прибавить соответственно отвечающие элементы ко второй строке, чтобы избавиться от одного неизвестного во втором уравнении.
2. Так как решение уравнений методом Гаусса подразумевает приведение матрицы к каноническому виду, тогда необходимо и с первым уравнением проделать те же операции и убрать вторую переменную. Для этого вторую строку отнимаем от первой и получаем необходимый ответ — решение СЛАУ. Или, как показано на рисунке, вторую строку умножаем на коэффициент -1 и прибавляем к первой строке элементы второго ряда. Это одно и то же.

Как видим, наша система решена методом Жордана-Гаусса. Переписываем ее в необходимую форму: x=-5, y=7.

Пример решения СЛАУ 3х3

Предположим, что у нас есть более сложная система линейных уравнений. Метод Гаусса дает возможность высчитать ответ даже для самой, казалось бы, запутанной системы. Поэтому, чтобы более глубоко вникнуть в методику расчета, можно переходить к более сложному примеру с тремя неизвестными.

Как и в прежнем примере, переписываем систему в вид расширенной матрицы и начинаем приводить ее к каноническому виду.

Для решения этой системы понадобится произвести гораздо больше действий, чем в предыдущем примере.

1. Сначала необходимо сделать в первом столбце один единичный элемент и остальные нули. Для этого умножаем первое уравнение на -1 и прибавляем к нему второе уравнение. Важно запомнить, что первую строку мы переписываем в изначальном виде, а вторую — уже в измененном.
2. Далее убираем эту же первую неизвестную из третьего уравнения. Для этого элементы первой строки умножаем на -2 и прибавляем их к третьему ряду. Теперь первая и вторая строки переписываются в изначальном виде, а третья — уже с изменениями. Как видно по результату, мы получили первую единицу в начале главной диагонали матрицы и остальные нули. Еще несколько действий, и система уравнений методом Гаусса будет достоверно решена.
3. Теперь необходимо проделать операции и над другими элементами рядов. Третье и четвертое действие можно объединить в одно. Нужно разделить вторую и третью строку на -1, чтобы избавиться от минусовых единиц по диагонали. Третью строку мы уже привели к необходимому виду.
4. Дальше приведем к каноническому виду вторую строку. Для этого элементы третьего ряда умножаем на -3 и прибавляем их ко второй строчке матрицы. Из результата видно, что вторая строка тоже приведена к необходимой нам форме. Осталось проделать еще несколько операций и убрать коэффициенты неизвестных из первой строки.
5. Чтобы из второго элемента строки сделать 0, необходимо умножить третью строку на -3 и прибавить ее к первому ряду.
6. Следующим решающим этапом будет прибавление к первой строке необходимые элементы второго ряда. Так мы получаем канонический вид матрицы, а, соответственно, и ответ.

Как видно, решение уравнений методом Гаусса довольно простое.

Пример решения системы уравнений 4х4

Некоторые более сложные системы уравнений можно решить методом Гаусса посредством компьютерных программ. Необходимо вбить в существующие пустые ячейки коэффициенты при неизвестных, и программа сама пошагово рассчитает необходимый результат, подробно описывая каждое действие.

Ниже описана пошаговая инструкция решения такого примера.

• В первом действии в пустые ячейки вписываются свободные коэффициенты и числа при неизвестных. Таким образом, получается такая же расширенная матрица, которую мы пишем вручную.

• Далее меняются все строки местами, чтобы можно было выразить по главной диагонали единичные элементы.

• И производятся все необходимые арифметические операции, чтобы привести расширенную матрицу к каноническому виду. Необходимо понимать, что не всегда ответ на систему уравнений — это целые числа. Иногда решение может быть из дробных чисел.

Проверка правильности решения

Метод Жордана-Гаусса предусматривает проверку правильности результата. Для того чтобы узнать, правильно ли посчитаны коэффициенты, необходимо всего-навсего подставить результат в изначальную систему уравнений. Левая сторона уравнения должна соответствовать правой стороне, находящейся за знаком «равно». Если ответы не совпадают, тогда необходимо пересчитывать заново систему или попробовать применить к ней другой известный вам метод решения СЛАУ, такой как подстановка или почленное вычитание и сложение. Ведь математика – это наука, которая имеет огромное количество различных методик решения. Но помните: результат должен быть всегда один и тот же, независимо от того, какой метод решения вы использовали.

Метод Гаусса: наиболее часто встречающиеся ошибки при решении СЛАУ

Во время решения линейных систем уравнений чаще всего возникают такие ошибки, как неправильный перенос коэффициентов в матричный вид. Бывают системы, в которых отсутствуют в одном из уравнений некоторые неизвестные, тогда, перенося данные в расширенную матрицу, их можно потерять. В результате при решении данной системы результат может не соответствовать действительному.

Еще одной из главных ошибок может быть неправильное выписывание конечного результата. Нужно четко понимать, что первый коэффициент будет соответствовать первому неизвестному из системы, второй — второму, и так далее.

Метод Гаусса подробно описывает решение линейных уравнений. Благодаря ему легко произвести необходимые операции и найти верный результат. Кроме того, это универсальное средство для поиска достоверного ответа на уравнения любой сложности. Может быть, поэтому его так часто используют при решении СЛАУ.

Простой онлайн-калькулятор матриц

Этот калькулятор матриц позволяет вам вводить свои собственные матрицы 2×2, а также складывать и вычитать их, находить умножение матриц (в обоих направлениях) и обратные значения для вас.

Вывод

Вот результаты с заданными числами.

Наши две матрицы:

A =		−1	−3
		6	−6

и Б =		4	4
		−1	0

Добавление матрицы

A + B

=		−1	−3
		6	−6

+		4	4
		−1	0

=		3	1
		5	−6

Вычитание матрицы

A − B

=		−1	−3
		6	−6

−		4	4
		−1	0

=		−5	−7
		7	−6

Умножение матриц

В общем, если

X =		и	б
		с	д

и Y =		и	ф
		г	ч

, тогда произведение матриц X и Y равно:

XY

=		и	б
		с	д

	и	ф
	г	ч

=		( а × е + б × г )	( a × f + b × h )
		( c × e + d × г )	( с × ж + г × ч )

Используя этот процесс, мы умножаем наши 2 заданные матрицы A и B следующим образом:

АВ

=		−1	−3
		6	−6

	4	4
	−1	0

=		(−1 × 4 + −3 × −1)	(−1 × 4 + −3 × 0)
		(6 × 4 + −6 × −1)	(6 × 4 + −6 × 0)

=		−1	−4
		30	24

Теперь перемножим матрицы в обратном порядке:

ВА

=		4	4
		−1	0

	−1	−3
	6	−6

=		(4 × −1 + 4 × 6)	(4 × −3 + 4 × −6)
		(−1 × −1 + 0 × 6)	(−1 × −3 + 0 × −6)

=		20	−36
		1	3

Умножение матриц не является коммутативным

В общем случае, когда мы умножаем матрицы, AB не равно BA . Мы говорим, что матричное умножение «не коммутативно».

Иногда это работает, например AI = IA = A , где I — матрица идентичности, и мы увидим еще несколько случаев ниже.

Обратная матрица 2×2

Обычно обратная матрица 2×2

9-1 = 1/(«det»(X))[(d,-b),(-c,a)]`

Напомним, что

det( X ) = ad − bc

Примечание: Эта формула работает только для матриц 2 × 2.

Итак, для матриц A и B , приведенных выше, мы имеем следующие результаты.

Инверсия

A =		−1	−3
		6	−6 9-1 Б =[(0,-1),(0,25,1)] [(4,4),(-1,0)]` `=[(1,0),(0,1)]` Попробуй другой? Посмотрите другой пример или попробуйте свой. матричный калькулятор | Ваш All-in-One Matrix Solution Calculator Знакомство с Matrix Calculator Матричный калькулятор один к одному — это удобный инструмент, специально разработанный для учащихся и преподавателей всех направлений. Он разработан с максимальным вниманием к деталям, поэтому вы можете без проблем использовать его во всех современных браузерах. Онлайн-калькулятор матриц позволяет рассчитать значения матрицы 2×2, матрицы 3×3, матрицы 4×4 и так далее. Это полезно, если вы работаете с матрицами и хотите попробовать кое-что самостоятельно. Вы можете решить матрицу онлайн с помощью калькулятора Гаусса-Джордана и всех возможных методов решения, доступных для матриц Что такое калькулятор матриц? Матричный математический калькулятор очень полезен во многих аспектах математики. Он используется в различных функциях, таких как определение площади данного участка, измерение двусторонней формы или ее окружности, а также в других, таких как нахождение разницы между двумя числами. Почти все наши математические знания проистекают из использования матриц и функций и других аспектов теории чисел и комбинаций. Зачем использовать матричный калькулятор? Калькуляторы матричных решений обычно используются для решения системных уравнений, которые чрезвычайно трудно решить вручную. Чтобы выполнить матричный расчет, вам необходимо ввести ряд величин, которые должны идеально сочетаться друг с другом. Затем полученное значение сравнивается со всеми ранее сгенерированными значениями и отмечаются любые расхождения. Это может занять очень много времени и утомительно, особенно при работе с огромными объемами данных. Тем не менее, калькуляторы для решения матриц были разработаны, чтобы облегчить пользователям эту задачу за счет автоматизации процесса. Процессы автоматизированы для каждого матричного метода. Например, вы можете выполнять транспонирование и инверсию матриц с помощью калькулятора транспонирования матриц и калькулятора инверсии матриц Преимущества использования Калькулятора матриц Калькулятор сложения и вычитания матриц помогает решать матрицы онлайн, что ускоряет процесс обучения. Онлайн-калькулятор матричных решений — лучший способ научиться чему-то во время практики. Помимо этого, он также имеет много других преимуществ, таких как: Его можно использовать для решения множества сложных математических задач. Некоторым людям может быть интересно использовать его в возможных областях математики, таких как инженерия и геология. Его также можно использовать для поиска ответа на любое уравнение, включая гипотезу Римана. Может также использоваться в методе решения квадратного уравнения и некоторых других методах, где значение может быть определено в некоторой точке уравнения. Это один из самых ценных инструментов для изучения математики в старших классах и колледжах. Он также часто используется персоналом финансовой помощи при принятии решений о финансовой помощи для студентов. Преимущества использования матричного онлайн-калькулятора заключаются в том, что он позволяет учащимся рассчитать общую стоимость своего образования, включая плату за обучение, книги, расходные материалы и другие необходимые расходы. Затем он разбивает эти категории, чтобы учащиеся могли точно видеть, какой будет их счет каждый месяц. Как найти матричный калькулятор? Калькулятор матриц — это онлайн-инструмент, который вы можете найти в Интернете. alexxlab

Калькулятор исключения Гаусса-Джордана

Добро пожаловать в калькулятор исключения Гаусса-Джордана Omni! Если вы пришли сюда, потому что вам нужно научиться решать линейную систему с помощью алгоритма исключения Гаусса-Жордана, или вместо этого вы хотите инвертировать матрицу, используя этот метод, вы находитесь в правильном месте!

Мы объясним, что на самом деле представляет собой исключение Гаусса-Жордана и чем оно отличается от исключения Гаусса , с которым вы могли столкнуться ранее в своем математическом путешествии. Тогда мы расскажем вам как выполнить исключение Гаусса-Жордана вручную или, если вы предпочитаете сэкономить усилия, как наиболее эффективно использовать этот калькулятор исключения Гаусса-Жордана.

🙋 Алгоритм исключения Гаусса-Жордана особенно популярен в контексте решения систем линейных уравнений . В нашем специальном инструменте, а именно в калькуляторе формы эшелона с уменьшенной строкой, мы подходим к методу исключения Гаусса-Жордана с этой конкретной точки зрения.

Что такое метод исключения Гаусса-Жордана?

Метод исключения Гаусса-Жордана — это процедура, в которой мы преобразуем матрицу в ее сокращенную эшелонированную форму строк , используя только три определенные операции, называемые элементарными операциями со строками .

Целью метода исключения Гаусса-Жордана чаще всего является:

• Решить систему линейных уравнений;
• Инверсия матрицы;
• Вычислить ранг матрицы; или
• Вычислить определитель матрицы.

Как видите, появилось несколько новых понятий: эшелон строк , элементарных операций и т. д. Давайте сначала обсудим их, а затем перейдем к обсуждению того, как делать исключение Гаусса-Жордана.

Что такое (редуцированная) ступенчатая форма матрицы?

Матрица находится в форме эшелона из строк , когда:

• Для нулевых строк: все они находятся внизу матрицы; и
• Для ненулевых строк: самая левая ненулевая запись в строке (называемая 9-й строкой). 0036 стержень или ведущий коэффициент ) находится справа от стержня строки выше.

Матрица представляет собой сокращенную ступенчатую форму строки , если дополнительно:

• Каждый стержень равен 1; и
• Каждый опорный элемент является единственным ненулевым коэффициентом в своем столбце (выше и ниже опорного столбца только нули).

Примеры

Матрицы в форме эшелона строк (но не в форме редуцированного эшелона строк):

[123056007][450300120001]\begin{bmatrix} 1 и 2 и 3 \\ 0 &5 &6 \\ 0 & 0 & 7 \end{bmatrix} \четверка \begin{bматрица} 4 &5 &0 & 3\\ 0 и 0 и 1 и 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} ⎣

⎡ 100 250 367 ⎦

⎤ ⎣

⎡ 400 500 010 321 ⎦

⎤

[113014] [200101010000] \ begin { bматрица} 1 и 1 и 3 \\ 0 и 1 и 4 \end{bmatrix} \четверка \begin{bmatrix} 2 и 0 и 0 и 1\\ 0 &1 &0& 1\\ 0 &0 &0&0 \end{bmatrix} [10​11​34​]⎣

⎡​200​010​000​110​⎦

⎤​

Матрицы в сокращенной ступенчатой ​​форме строк:

[103014][100300160000]\begin{bmatrix} 1 и 0 и 3 \\ 0 и 1 и 4 \end{bmatrix} \четверка \begin{bmatrix} 1 и 0 и 0 и 3\\ 0 &0 &1& 6\\ 0 &0 &0& 0 \end{bmatrix} [10​01​34​]⎣

⎡​100​000​010​360​⎦

⎤​

Что такое операции со строками при исключении Гаусса?

Здесь мы перечисляем допустимые операции со строками в методе исключения Гаусса (и Гаусса-Жордана):

1. Перестановка любых двух строк.

2. Сложение/вычитание скалярного множителя одной строки в/из другой строки.

3. Умножение любой из строк на любой (ненулевой!) скаляр.

Давайте рассмотрим несколько примеров:

1. Поменяйте местами 1-й ^-й -й ряд со 2-м ^-м -м рядом:

[123456789]  →  [456123789]\quad \begin{bmatrix} 1 и 2 и 3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 и 8 и 9\end{bmatrix} \ \ \правая стрелка \ \ \begin{bmatrix} 4 &5 &6 \\ 1 и 2 и 3 \\ 7 и 8 и 9 \ end {bmatrix} ⎣

⎡ 147 258 369 ⎦

⎤ → ⎣

⎡ 417 528 639 ⎦

⎤

2. Умножьте 1 ^ST ROW на 222 :

[123456789]  →  [246456789]\quad \begin{bmatrix} 1 и 2 и 3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 и 8 и 9 \end{bmatrix} \ \ \правая стрелка \ \ \begin{bmatrix} 2 и 4 и 6 \\ 4 &5 &6 \\ 7 и 8 и 9\ end {bmatrix} ⎣

⎡ 147 258 369 ⎦

⎤ → ⎣

⎡ 247 458 669 ⎦

⎤

3. Добавить 1 ^ST -2 на 2 ^-й ряд:

[123456789]  →  [123210789]\quad \begin{bmatrix} 1 и 2 и 3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 и 8 и 9 \end{bmatrix} \ \ \правая стрелка \ \ \begin{bmatrix} 1 и 2 и 3 \\ 2 и 1 и 0 \\ 7 и 8 и 9 \end{bmatrix} ⎣

⎡​147​258​369​⎦

⎤​ →  ⎣

⎡​127​218​309​⎦

⎤​

🙋 Если вам нужно напомнить, как выполнять математические операции (сложение, умножение и т.  д.) над строками матрицы , посетите наш векторный калькулятор.

Вы видите, как каждая из этих операций помогает нам выполнить исключение Гаусса-Жордана? Посмотрим:

1. Поменяв строки местами, мы можем легко поместить нулевые строки в конец матрицы.

2. Цель добавления/вычитания скалярного множителя строки в/из другой строки состоит в том, чтобы превратить записи выше и ниже опорных точек в нули.

3. Умножая строку на скаляр, вы легко сделаете опорные точки равными 1 — просто умножьте опорную точку, равную некоторому p, на скаляр ¹ / _p .

Исключение Гаусса-Жордана: пример 3×3

Чтобы увидеть, как представленные выше операции над строками работают на практике, давайте используем их для решения следующего примера 3×3 методом исключения Гаусса-Жордана:

{x+2y− 2z=12x+4y−5z=42x+2y+3z=4\влево\{ \начать{выравнивать*} х+2у-2г = 1\\ 2х+4у-5з = 4\\ 2x+2y+3z=4\\ \конец{выравнивание*} \правильно. ⎩

⎨

⎧​x+2y−2z=12x+4y−5z=42x+2y+3z=4

Расширенная матрица этой системы выглядит следующим образом:

[12−2124−542234]\begin{bmatrix } 1 и 2 и -2 и 1\\ 2 и 4 и -5 и 4\\ 2 и 2 и 3 и 4\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​122​242​−2−53​144​⎦

⎤​

Вычтем 1 ^st строку, умноженную на 222, из 2 ^{nd 3 строки:} 0 12−2100−122234]\begin{bmatrix} 1 и 2 и -2 и 1\\ 0 и 0 и -1 и 2\\ 2 и 2 и 3 и 4\\ \end{bmatrix} ⎣

⎡​102​202​−2−13​124​⎦

⎤​

Нам удалось получить ноль во 2-й ^-й -й строке и 1 ^-й -м столбце! Делаем то же самое для строки 3 ^rd и столбца 1 ^st :

[12−2100−120−272] \begin{bmatrix} 1 и 2 и -2 и 1\\ 0 и 0 и -1 и 2\\ 0 и -2 и 7 и 2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​20−2​−2−17​122​⎦

⎤​

Отлично! На самом деле, как вы можете видеть, нам удалось получить два нуля в 2 ^-й -й ряд! Воспользуемся этим неожиданным подарком: поменяем местами 2 ^nd и 3 ^rd ряды:

[12−210−27200−12]\begin{bmatrix} 1 и 2 и -2 и 1\\ 0 и -2 и 7 и 2\\ 0 и 0 и -1 и 2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​2−20​−27−1​122​⎦

⎤​

Таким образом, мы уже получили эшелонированную форму строк. Отсюда вы можете легко решить систему. Однако давайте придерживаться метода исключения Гаусса-Жордана и попробуем создать сокращенную ступенчатую форму строки.

Во-первых, мы умножаем последнюю строку на -1-1-1 так, чтобы ось равнялась 111:

[12-210-272001-2] \begin{bmatrix} 1 и 2 и -2 и 1\\ 0 и -2 и 7 и 2\\ 0 и 0 и 1 и -2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​2−20​−271​12−2​⎦

⎤​

И мы умножаем 2 ^-й -й ряд на −12-\frac 12−21​, поэтому что точка опоры равна 111:

[12−2101−72−1001−2]\begin{bmatrix} 1 и 2 и -2 и 1\\ 0 и 1 & -\фракция 72 & -1\\ 0 и 0 и 1 и -2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​210​−2−27​1​1−1−2​⎦

⎤​

Далее мы хотим удалить ненулевой элемент в 1 ^st строке и 2 ^nd колонка. Для этого из 1 ^-й -й строки вычитаем 2 ^-ю -ю строку, умноженную на 222:

[105301−72−1001−2]\begin{bmatrix} 1 и 0 и 5 и 3\\ 0 и 1 & -\фракция 72 & -1\\ 0 и 0 и 1 и -2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​010​5−27​1​3−1−2​⎦

⎤​

Еще две записи, которые нужно исключить: элементы над диагональю в 3 ^рд колонка. Вы знаете, что делать, верно? Из строки 1 ^st вычитаем 3 ^rd строку, умноженную на 555:

[1001301−72−1001−2]\begin{bmatrix} 1 и 0 и 0 и 13\\ 0 и 1 & -\фракция 72 & -1\\ 0 и 0 и 1 и -2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​010​0−27​1​13−1−2​⎦

⎤​

И ко 2 ^-й -й строке мы добавляем 3 ^-ю -ю строку, умноженную на по 72\frac 7227​:

[10013010−8001−2]\begin{bmatrix} 1 и 0 и 0 и 13\\ 0 и 1 и 0 и -8\\ 0 и 0 и 1 и -2\\ \end{bmatrix}⎣

⎡​100​010​001​13−8−2​⎦

⎤​

Ура, мы закончили! Наша матрица имеет форму редуцированного эшелона строк. В последнем столбце мы видим решение нашей линейной системы:

{x=13y=−8z=−2\left\{ \начать{выравнивать*} х = 13\\ у = -8\\ г =-2\\ \конец{выравнивание*} \right. ⎩

⎨

⎧​x=13y=−8z=−2​

Как выполнить метод исключения Гаусса-Жордана вручную?

Выполните исключение Гаусса-Жордана следующим образом:

1. Поменять местами строки так, чтобы в 1 9 была опорная точка (ненулевое число).0127 ст ряд и 1 ^ст столбик.

2. Умножьте на первую строку так, чтобы стержень стал равен 1.

3. Добавить/вычесть t множителей из строки 1 ^st в/из других строк, чтобы превратить все оставшиеся записи в столбце 1 ^st в нули.

4. Поменять местами строк, чтобы получить опорную точку в 2-й ^-й -й строке и 2 ^-й -м столбце. Примените шаги 2 и 3.

5. Повторить шагов 2-4, двигаясь по главной диагонали.

Хммм…. так много шагов! Выполнение алгоритма исключения Гаусса-Жордана, даже если оно простое, может занять много времени. У вас наверняка есть идеи получше, как использовать свободное время, не так ли? 😉 Используйте наш калькулятор исключения Гаусса-Джордана, чтобы быстро выполнить домашнее задание, а затем перейти к… другим вещам.

Как пользоваться этим калькулятором исключения Гаусса-Жордана?

Калькулятор исключения Гаусса-Джордана Omni очень прост в использовании. Выполните следующие шаги:

1. Введите коэффициентов вашей матрицы.

2. Сообщите нам, хотите ли вы в результате эшелонированную форму строки или уменьшенную форму эшелона строки. Мы рекомендуем последний вариант, так как первый не уникален!

3. Расчеты выполняются немедленно, и результат отображается под полями коэффициентов.

4. Обратите внимание, что вы можете использовать этот калькулятор для создания любого количества примеров исключения Гаусса-Жордана 2×2 и 3×3.

Часто задаваемые вопросы

Является ли исключение Гаусса-Жордана таким же, как исключение Гаусса?

Почти. Исключение Гаусса-Жордана требует, чтобы мы исключили коэффициенты выше и ниже каждой опорной точки и удостоверились, что каждая опорная точка равна 1. Как следствие:

В эшелонированной форме строки матрицы уникальна?

Эшелонная форма строк , а не уникальна: она зависит от последовательности операций над строками, используемых для получения этой формы. Однако все эшелонированные формы строк имеют опорные точки в одних и тех же местах и ​​одинаковое количество строк со всеми нулевыми элементами.

Сокращенная форма эшелона строк уникальна : она не зависит от последовательности операций.

Как инвертировать матрицу методом исключения Гаусса-Жордана?

Для получения обратной матрицы n × n A с помощью исключения Гаусса-Жордана:

1. Запишите блочную матрицу [A | I] , где I — единичная матрица.

2. Используйте алгоритм исключения Гаусса-Жордана, чтобы преобразовать эту матрицу в сокращенную эшелонированную форму строк.

3. Матрица, сгенерированная в правой части, обратна A .

4. Проверьте результат, убедившись, что инверсия исходной матрицы A дает тождество.

‎Матричный калькулятор (алгебра) в App Store

Описание

Калькулятор матриц (алгебра) — это универсальное приложение для решения матричных уравнений. Это позволяет решать матричные уравнения с пошаговыми решениями. Это обязательное приложение для быстрого решения матричных уравнений.

Мы добавили все инструменты для работы с матрицами в это приложение для решения матриц. Так что вам не нужно использовать другие приложения для индивидуального решения матричных вопросов, когда у вас есть это приложение. Просто выберите нужный калькулятор, вставьте задачу с матрицами в пустые поля, нажмите кнопку расчета и получите пошаговое решение с помощью этого калькулятора.

Как использовать
* Откройте приложение.
* Выберите любой калькулятор для решения матричных уравнений.
* Вставьте вопрос в пустые поля.
* Нажмите кнопку расчета.
* Получить подробное решение задачи по алгебре.

Особенности
* Полные решения матричной алгебры.
* Простота в использовании.
* Автоматический расчет матричных уравнений.
* Классный дизайн.
* Универсальное приложение для решения матриц.
* Пошаговые решения.
* Решите любую задачу с матрицами.
* Гладкая клавиатура для записи уравнений.

Это приложение для решения матриц содержит следующие инструменты, которые помогут вам решать матричные вопросы с помощью пошагового решения:

* Калькулятор матрицы
* Калькулятор сложения матрицы
* Калькулятор вычитания матрицы
* Калькулятор умножения матрицы
* Калькулятор определителя матрицы
* Калькулятор транспонирования матрицы
* Калькулятор обратной матрицы
* Калькулятор ранга матрицы Калькулятор
* Калькулятор собственных векторов
* Калькулятор собственных значений
* Калькулятор недействительности матрицы
* Калькулятор трассировки матрицы
* Калькулятор разложения LU
* Умножение матриц с помощью калькулятора
* Калькулятор сокращенной формы строк
* Калькулятор сопряженных матриц

Попробуйте этот калькулятор матриц (алгебра). Мы уверены, что это приложение для решения матриц станет вашим следующим любимым приложением для расчета вопросов по матрицам. Как только вы воспользуетесь этим приложением для решения матриц, оно вам понравится. Потому что решения матричной алгебры становятся проще с этим приложением.

Преимущество этого калькулятора в том, что вы можете получить подробные решения формул, чтобы понять весь процесс решения матричных уравнений.

18 октября 2022 г.

Версия 1.0.4

Повышение производительности, устранение ошибок

Разработчик Талха Рехман указал, что политика конфиденциальности приложения может включать обработку данных, как описано ниже. Для получения дополнительной информации см. политику конфиденциальности разработчика.

Данные не собираются

Разработчик не собирает никаких данных из этого приложения.