Решение однородных систем онлайн: Нетривиальное и фундаментальное решение системы линейных однородных уравнений. Примеры решений

Содержание

Однородные системы уравнений

Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

КАТЕГОРИИ:

Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 10Следующая ⇒

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю, и неоднородным в противном случае. Система, состоящая из однородных уравнений, называется однородной и имеет общий вид:

Очевидно, что всякая однородная система совместна и имеет нулевое (тривиальное) решение. Поэтому применительно к однородным системам линейных уравнений часто приходится искать ответ на вопрос о существовании ненулевых решений. Ответ на этот вопрос можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство: Допустим, система, ранг которой равен, имеет ненулевое решение. Очевидно, что не превосходит . В случае система имеет единственное решение. Поскольку система однородных линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, то именно нулевое решение и будет этим единственным решением. Таким образом, ненулевые решения возможны только при .

Следствие 1: Однородная система уравнений, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевое решение.

Доказательство: Если у системы уравнений , то ранг системы не превышает числа уравнений , т.е. . Таким образом, выполняется условие и, значит, система имеет ненулевое решение.

Следствие 2: Однородная система уравнений с неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Доказательство: Допустим, система линейных однородных уравнений, матрица которой с определителем , имеет ненулевое решение.

Тогда по доказанной теореме , а это значит, что матрица вырожденная, т.е. .

Теорема Кронекера-Капелли: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы. Система ур-ий называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.

Однородная система линейных алгебраических уравнений.

Система m линейных ур-ий с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны 0. Система линейных однородных ур-ий всегда совместна, т.к. она всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение. Система линейных однородных ур-ий имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг её матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rang A ( n. Всякая лин. комбинация

решений системы лин. однородн. ур-ий также является решением этой системы.

Система лин.независимых решений е1, е2,…,еk называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений. Теорема: если ранг r матрицы коэффициентов при переменных системы линейных однородных уравнений меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы состоит из n-r решений. Поэтому общее решение системы лин. однордн. ур-ий имеет вид: с1е1+с2е2+…+сkеk, где е1, е2,…, еk – любая фундаментальная система решений, с1, с2,…,сk – произвольные числа и k=n-r. Общее решение системы m линейных ур-ий с n переменными равно сумме

общего решения соответствующей ей системы однородн. линейных ур-ий и произвольного частного решения этой системы.

7.Линейные пространства. Подпространства. Базис, размерность. Линейная оболочка. Линейное пространство называется

n-мерным, если в нем существует система из линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима. Число называется размерностью (числом измерений) линейного пространства и обозначается . Другими словами, размерность пространства — это максимальное число линейно независимых векторов этого пространства. Если такое число существует, то пространство называется конечномерным. Если же для любого натурального числа п в пространстве найдется система, состоящая из линейно независимых векторов, то такое пространство называют бесконечномерным (записывают: ). Далее, если не оговорено противное, будут рассматриваться конечномерные пространства.

Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов (базисных векторов).

Теорема 8.1 о разложении вектора по базису. Если — базис n-мерного линейного пространства , то любой вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
и притом единственным образом, т.е. коэффициенты определяются однозначно. Другими словами, любой вектор пространства может быть разложен по базису и притом единственным образом.

Действительно, размерность пространства равна . Система векторов линейно независима (это базис). После присоединения к базису любого вектора , получаем линейно зависимую систему (так как это система состоит из векторов n-мерного пространства). По свойству 7 линейно зависимых и линейно независимых векторов получаем заключение теоремы.

В самом деле, в пространстве имеется система линейно независимых векторов, а любая система из большего количества векторов линейно зависима, поскольку каждый вектор из этой системы линейно выражается через векторы . Значит, и — базис .

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Читайте также:

Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров

Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; просмотров: 2155; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 161.97.168.212 (0.007 с.)

Правило Крамера (Лекция №15)

СИСТЕМА ОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системой однородных линейных уравнений называется система вида

Ясно, что в этой случае , т.к. все элементы одного из столбцов в этих определителях равны нулю.

Так как неизвестные находятся по формулам , то в случае, когда Δ ≠ 0, система имеет единственное нулевое решение x = y = z = 0. Однако, во многих задачах интересен вопрос о том, имеет ли однородная система решения отличные от нулевого.

Теорема. Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0.

Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение. Если же Δ ≠ 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.

Примеры.

, а значит x=y=z=0.

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ

Пусть задана квадратная матрица , X – некоторая матрица–столбец, высота которой совпадает с порядком матрицы A. .

Во многих задачах приходится рассматривать уравнение относительно X

где λ – некоторое число. Понятно, что при любом λ это уравнение имеет нулевое решение .

Число λ, при котором это уравнение имеет ненулевые решения, называется собственным значением

матрицы A, а X при таком λ называется собственным вектором матрицы A.

Найдём собственный вектор матрицы A. Поскольку E∙X = X, то матричное уравнение можно переписать в виде или . В развёрнутом виде это уравнение можно переписать в виде системы линейных уравнений. Действительно .

И, следовательно,

Итак, получили систему однородных линейных уравнений для определения координат x₁, x₂, x₃ вектора X. Чтобы система имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.

Это уравнение 3-ей степени относительно λ. Оно называется характеристическим уравнением матрицы A и служит для определения собственных значений λ.

Каждому собственному значению λ соответствует собственный вектор X, координаты которого определяются из системы при соответствующем значении λ.

Примеры.

Найти собственные векторы и соответствующие им собственные значения матрицы .
Составим характеристическое уравнение и найдём собственные значения
1. При λ₁ = –1 получаем систему уравнений
  
  Если x₁ = t, то, где tÎR.
2. Если λ₂ = 5

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. ПОНЯТИЕ ВЕКТРОРА

При изучении различных разделов физики встречаются величины, которые полностью определяются заданием их численных значений, например, длина, площадь, масса, температура и т.д. Такие величины называются скалярными. Однако, кроме них встречаются и величины, для определения которых, кроме численного значения, необходимо знать также их направление в пространстве, например, сила, действующая на тело, скорость и ускорение тела при его движении в пространстве, напряжённость магнитного поля в данной точке пространства и т.д. Такие величины называются векторными.

Введём строгое определение.

Направленным отрезком назовём отрезок, относительно концов которого известно, какой из них первый, а какой второй.

Вектором называется направленный отрезок, имеющий определённую длину, т. е. это отрезок определённой длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец. Если A – начало вектора, B – его конец, то вектор обозначается символом, кроме того, вектор часто обозначается одной буквой . На рисунке вектор обозначается отрезком, а его направление стрелкой.

Модулем или длиной вектора называют длину определяющего его направленного отрезка. Обозначается || или ||.

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Он обозначается . Нулевой вектор не имеет определенного направления и модуль его равен нулю ||=0.

Векторы и называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. При этом если векторы и одинаково направлены, будем писать , противоположно .

Векторы, расположенные на прямых, параллельных одной и той же плоскости, называются компланарными.

Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. В этом случае пишут .

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства.

Например.

Если дан вектор , то, выбрав любую точку , можем построить вектор , равный данному, и притом только один, или, как говорят, перенести вектор в точку .
Если рассмотреть квадрат ABCD, то на основанииопределения равенства векторов, мы можем написать и , но , , хотя все они имеют одинаковую длину.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

Умножение вектора на число.
Произведением вектора на число λ называется новый вектор такой, что:
1. ;
2. вектор коллинеарен вектору ;
3. векторы и направлены одинаково, если λ>0 и противоположно, если λ< 0. (Если λ=0, то из условия 1 следует, что ).
Произведение вектора на число λ обозначается .

Например, есть вектор, направленный в ту же сторону, что и вектор , и имеющий длину, вдвое меньшую, чем вектор .

Введённая операция обладает следующими свойствами:
1. Для любых чисел a и b и вектора выполняется равенство .
  Действительно, векторы, стоящие в обеих частях равенства имеют одинаковую длину . Кроме того, ясно, что они одинаково направлены, т.к. их направление совпадает с направлением вектором , если a и b одного знака, и противоположно направлению , если a и b разных знаков.
2. Пусть дан вектор . Для любого коллинеарного ему вектора найдётся и притом только одно число l, удовлетворяющее равенству .
  Доказательство свойства 2:
  1. Пусть . Рассмотрим вектор . Очевидно, . Кроме того , поэтому . Из этих двух свойств следует, что , а значит .
  2. Аналогично, если . Тогда .
    Единственность числа λ следует из того, что при умножении вектора на два разных числа, получаем два разных вектора.
Сложение векторов.
Пусть и – два произвольных вектора. Возьмём произвольную точку O и построим вектор . После этого из точки A отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора c концом второго , называется суммой этих векторов и обозначается .

Сформулированное определение сложения векторов называют правилом параллелограмма, так как ту же самую сумму векторов можно получить следующим образом. Отложим от точки O векторы и . Построим на этих векторах параллелограмм ОАВС. Так как векторы , то вектор , являющийся диагональю параллелограмма, проведённой из вершины O, будет очевидно суммой векторов .

Легко проверить следующие свойства сложения векторов.
1. Ясно, что прибавление нулевого вектора к некоторому вектору ā не меняет вектора , т.е. .
2. Сложение векторов коммутативно, т.е. .
  Это свойство сразу следует из правила параллелограмма.
3. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых трёх векторов . Поэтому сумму трёх векторов часто записывают просто .
  
  Сумму трёх векторов можно получить следующим образом. Из произвольной точки O откладывается вектор, равный первому вектору. К его концу присоединяется начало второго, к концу второго – начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, будет суммой данных векторов. Аналогично строится сумма любого конечного числа векторов.
4. Для любого числа λ и любых векторов и .
  
  Заметим, что при умножении векторов на число λ меняются только размеры векторов, т. е. масштаб чертежа, фигуры остаются подобными. Поэтому, так как векторы образуют стороны и диагональ параллелограмма, то, умножив все члены на λ, т.е. изменив лишь размеры векторов одинаковым образом, мы получим снова параллелограмм, а значит, сохранится равенство .
5. Для любых чисел a и b и любого вектора выполняется равенство .
Разность векторов.
Вектор, коллинеарный данному вектору , равный ему по длине и противоположно направленный, называется противоположным вектором для вектора и обозначается . Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на число λ = –1: .

Разностью двух векторов и называется вектор , равный сумме векторов и , т.е. .

Очевидно, что , для любого вектора .

Легко показать, что .

Действительно,

Таким образом, если .

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора разности. Откладываем векторы и из общей точки O. Чтобы найти вектор-разность, нужно к добавить вектор или . Тогда . Вектор , соединяющий концы векторов и и направленный от «вычитаемого» к «уменьшаемому» (т.е. от второго вектора к первому), и будет разностью . Действительно, по правилу сложения векторов или .

Таким образом, если на векторах и , отложенных из общей точки O, построить параллелограмм OACB, то вектор , совпадающий с одной диагональю параллелограмма, равен сумме , а вектор , совпадающий с другой диагональю, равен разности .

Алгоритм решения линейных систем дифференциальных уравнений третьего порядка.

Для более глубокого понимания происходящего в этой статье можно ознакомиться с краткой теоретической справкой.

Рассмотрим однородную систему дифференциальных уравнений третьего порядка

Здесь x(t), y(t), z(t) — искомые функции на промежутке (a, b), a_ij (i, j =1, 2, 3) — вещественные числа.

Запишем исходную систему в матричном виде
,
где

Решение исходной системы будем искать в виде
,
где , C₁, C₂, C₃ — произвольные постоянные.

Чтобы найти фундаментальную систему решений, нужно решить так называемое характеристическое уравнение

Это уравнение является алгебраическим уравнением третьего порядка, следовательно оно имеет 3 корня. При этом возможны следующие случаи:

1. Корни (собственные значения) действительны и различны.

2. Среди корней (собственных значений) есть комплексно-сопряженные, пусть
— действительный корень
=

3. Корни (собственные значения) действительны. Один из корней кратный.

Чтобы разобраться, как действовать в каждом из этих случаев, нам понадобятся:
Теорема 1.
Пусть — попарно различные собственные значения матрица А, а — соответствующие им собственные векторы. Тогда

образуют фундаментальную систему решений исходной системы.

Замечание.
Пусть — действительное собственное значение матрица А (действительный корень характеристического уравнения), — соответствующий ему собственный вектор.
= — комплексные собственные значения матрицы А, — соответствующий — собственный вектор. Тогда

(Re — действительная часть, Im — мнимая)
образуют фундаментальную систему решений исходной системы. (Т.е. и = рассматриваются вместе)

Теорема 3.
Пусть — корень характеристического уравнения кратности 2. Тогда исходная система имеет 2 линейно независимых решения вида
,
где , — постоянные вектора. Если же кратности 3, то существует 3 линейно независимых решения вида
.
Векторы находятся подствалением решений (*) и (**) в исходную систему.
Чтобы лучше понять метод нахождения решений вида (*) и (**), смотри разобранные типичные примеры ниже.

Теперь рассмотрим более подробно каждый из вышеописанных случаев.

1. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае различных действительных корней характеристического уравнения.
Дана система

1) Составляем характеристическое уравнение

— действительные и различные собственные значения 9корни этого уравнения).
2)Строим , где
— собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. — любое решение системы

3)Строим , где
— собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. — любое решение системы

4)Строим , где
— собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. — любое решение системы

5)

составляют фундаментальную систему решений. Далее записываем общее решение исходной системы в виде
,
здесь C₁, C₂, C₃ — произвольные постоянные,
,
или в координатном виде

Расмотрим несколько примеров:
Пример 1.

1)Составляем и решаем характеристическое уравнение:

2) Находим

3)Находим

4)Вектор-функции

образуют фундаментальную систему. Общее решение имеет вид

или в координатной записи

Пример 2.

1)Составляем и решаем характеристическое уравнение:

2) Находим

3)Находим

4)Находим

5)Вектор-функции

образуют фундаментальную систему. Общее решение имеет вид

или в координатной записи

2. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения.
1) Составляем и решаем характеристическое уравнение

— действительный корень,

2)Строим , где

— собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е удовлетворяет системе

3) Строим

(т.е. и рассматриваем вместе), где

— собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.

е. удовлетворяет системе

Здесь Re — действительная часть
Im — мнимая часть
4) составляют фундаментальную систему решений. Далее записываем общее решение исходной системы:
, где
С₁, С₂,С₃ произвольные постоянные.

Пример 1.

1) Составляем и решаем характеристическое уравнение

2)Строим

, где удовлетворяет системе

, т.е.

3) Строим
, где

— удовлетворяет системе

, т.е.

Первое уравнение сократим на 2. Затем ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на 2i, а от третьего уравнения отнимем перове, умноженное на 2.

Далее

Следовательно,

4) — фундаментальная система решений. Запишем общее решение исходной системы:

Пример 2.

1) Составляем и решаем харктеристическое уравнение

2)Строим

(т.е. и рассматриваем вместе), где

-собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. любое решение системы

Второе уравнение умножим на (1-i) и сократим на 2.

Следовательно,

3) — фундаментальная система решений.
Общее решение исходной системы

или

2. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае кратных корней характеристического уравнения.
Составляем и решаем характеристическое уравнение

Возможны два случая:

Рассмотрим случай а) 1) , где

— собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.

е удовлетворяет системе

2) Сошлемся на Теорему 3, из которой следует, что существуют два линейно независимых решения вида
,
где , — постоянные векторы. Их возьмем за .
3) — фундаментальная система решений. Далее записываем общее решение исходной системы:

Рассмотрим случай б):
1) Сошлемся на Теорему 3, из которой следует, что существует три линейно независимых решения вида
,
где , , — постоянные векторы. Их возьмем за .
2) — фундаментальная система решений. Далее записываем общее решение исходной системы.

Чтобы лучше понять как находить решения вида (*), рассмотрим несколько типичных примеров.

Пример 1.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

Имеем случай а)
1) Строим
, где

— любое решение системы

, т.

е.

Из второго уравнения вычитаем первое:

? третья строка подобна второй, ее вычеркиваем. Из первого уравнения вычтем второе:

2) = 1 (кратность 2)
Этому корню по Т.3 должно соответствовать два линейно независимых решения вида .
Попробуем найти все линейно незваисимые решения, у которых , т.е. решения вида
.
Такой вектор будет решением тогда и только тогда, когда — собственный вектор, соответствующий =1, т.е.
, или
, вторая и третья строки подобны первой, выкидываем их.

Система свелась к одному уравнению. Следовательно, имеется два свободных неизвестных, например, и . Дадим им сначала значения 1, 0; потом значения 0, 1. Получим такие решения:
.
Следовательно, .
3) — фундаментальная система решений. Осталось записать общее решение исходной системы:
.

Пример 2.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

Имеем случай а).
1) Строим
,

где

, т.е.

За возьмем
.Тогда

2) =-1 (кратности 2).
Этому корню по Т.3 соответствуют два линейно независимых решения вида .
Попробуем найти линейно независимые решения, у которых , т.е. решения вида
Но тогда будет собственным вектором, соответствующим =-1, т.е. , т.е.

Третья строка аналогична второй, отбрасываем ее.

Пусть C₃=1, тогда

Итак, корню =-1 соответствует (в отличие от пример 1) один линейно независимый вектор . Любой другой собственный вектор имеет вид . Таким образом существует только одно решение вида . Следовательно,
.

Следующий вектор фундаментальной системы решений будем искать в виде

Чтобы понять, как искать и в этом случае, воспользуемся матричной записью системы:

Подставим X₃ в эту систему:

Сократим на e^-t и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t. Получаем систему

Из первого уравнения и условия следует, что — собственный вектор, отвечающий собственнуму значению , т.е.

[

нашли, когда искали

Х₂]

Второе уравнение последней системы запишем так:

Этому матричному уравнению соответствует система линейных уравнений:

Вычеркнем третью строку (она подобна второй). Система совместна (имеет решение) при любом с. Пусть с=1.

Выпишем какое-нибудь частное решение последней системы.
a₃=0, a₂=-1, a₁=1 т.е.

Тогда

3) — фундаментальная система решений. Выпишем общее решение исходной системы:

или

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела:

Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Все ресурсы по дифференциальным уравнениям

1 Диагностический тест 29 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 Следующая →

Дифференциальные уравнения Помощь » Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Найдите общее решение данной системы.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Чтобы найти общее решение данной системы

, сначала найдите собственные значения и собственные векторы.

Следовательно, собственные значения составляют

Теперь рассчитывают собственные векторы

для

Таким образом,

для

0005

Таким образом

Таким образом,

Теперь общее решение:

Сообщить об ошибке

5. Где

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Чтобы решить однородную систему, нам понадобится фундаментальная матрица. В частности, это поможет получить экспоненциальную матрицу. Для этого проведем диагонализацию матрицы. Во-первых, мы найдем собственные значения, которые мы можем сделать, вычислив определитель .

Найдя собственные пространства для лямбда = 1, мы получим

Прибавив -1/2 строки 1 к строке 2 и разделив на -1/2, мы получим, что означает

Таким образом, у нас есть собственный вектор .

Для лямбда = 4

Добавляя строку 1 к строке 2, мы получаем

То же самое с собственным вектором.

Таким образом, имеем и . Используя обратную формулу для матриц 2×2, мы получаем это. Поскольку мы это знаем, у нас есть

Решение однородной системы линейных уравнений состоит в простом умножении матричной экспоненты на начальное условие. Для других фундаментальных матриц также необходима обратная матрица.

Thus, our final answer is

Report an Error

Solve the homogenous equation:

With the initial conditions:

Possible Answers:

ни один из этих ответов

Правильный ответ:

Пояснение:

Итак, это однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Чтобы решить это, нам нужно найти корни уравнения. Это уравнение можно записать так:

Что с помощью квадратичной формулы или разложения на множители дает нам корни и

Решение однородных уравнений записывается в виде:

поэтому мы не знаем констант, но можем подставить найденные значения в качестве корней:

У нас есть два начальных значения, одно для y(t) и одно для y'(t), оба с t=0\ в другое уравнение для решения

SO, решаем, мы получаем: затем

Это дает окончательный ответ:

Отчет о ошибке

Решите уравнение второго порядка:

С учетом начальных значений:

Возможные ответы:

ни один из этих ответов

Правильный ответ:9

5 Объяснение:

Итак, это однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Чтобы решить это, нам нужно найти корни уравнения. Это уравнение может быть записано как:

Что, используя квадратную формулу или разложение на множители, дает нам корни и

Решение однородных уравнений записывается в виде:

поэтому мы не знаем констант, но можем подставить значения, которые мы решили для корней:

У нас есть два начальных значения, одно для y(t) и одно для y'(t), оба с t=0

SO:

Мы можем решить, а затем подключиться к другому уравнению, чтобы решить

Итак, решаем an Ошибка

Решите дифференциальное уравнение для y:

При начальном условии:

Возможные ответы:

Правильный ответ:58

40016 Пояснение:

Итак, это однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Чтобы решить это, нам нужно найти корни уравнения. Это уравнение можно записать так:

дает нам корень из

Решение однородных уравнений записывается в виде:

поэтому мы не знаем константу, но можем подставить найденные значения в качестве корня:

У нас есть одно начальное значение для y(t) при t=0

SO:

Это дает окончательный ответ:

Отчет о ошибке

Уравнение дифференциального уравнения третьего порядка:

Возможные ответы:

ни один из этих ответов

Правильный ответ:

Пояснение:

Итак, это однородное дифференциальное уравнение третьего порядка. Чтобы решить это, нам нужно найти корни уравнения. Это уравнение можно записать так:

Который, используя кубическую формулу или разложение на множители, дает нам корни , и

Решение однородных уравнений записывается в виде:

поэтому мы не знаем констант, но можем подставить значения, которые мы решили вместо корней :

У нас есть три начальных значения: одно для y(t), одно для y'(t) и для y»(t) все с t=0

Так что это можно решить либо подстановкой, либо составлением матрицы 3X3 и уменьшением. После выполнения любого из этих методов значения констант будут следующими: Then и

Это дает окончательный ответ:

Отчет о ошибке

Решение дифференциального уравнения:

С учетом начальных условий:

Возможные ответы:

. ответ:

Пояснение:

Который, используя кубическую формулу или разложение на множители, дает нам корни , и

Решение однородных уравнений записывается в виде:

поэтому мы не знаем констант, но можем подставить значения, которые мы решили вместо корней :

У нас есть три начальных значения, одно для y(t), одно для y'(t) и для y»(t) все с t=0

Итак:

Это дает окончательный ответ:

Сообщить об ошибке

Найдите общее решение для данной системы.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Чтобы найти общее решение данной системы

, сначала найдите собственные значения и собственные векторы.

Следовательно, собственные значения равны

Теперь рассчитайте собственные векторы

для

Таким образом,

для

Сообщить об ошибке

При подстановке в однородную линейную систему для , какая из следующих матриц будет иметь равновесие в седловой точке на своей фазовой плоскости?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Фазовая плоскость седловой точки получается из двух действительных собственных значений разных знаков. Три из этих матриц треугольные, что означает, что их собственные значения лежат на диагонали. Для этих трех собственные значения действительны, но оба имеют один и тот же знак, что означает, что у них нет седел. Для оставшихся двух нам нужно найти собственные значения, используя характеристические уравнения.

Для у нас есть

Дискриминант для этого равен , поэтому решения нереальны. Таким образом, эта матрица не дает седловой точки.

Для у нас есть,

Мы видим, что эта матрица дает два действительных собственных значения с разными знаками. Таким образом, это правильный выбор.

Сообщить об ошибке

Найти общее решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений

где

Возможные ответы:

Ни один из других ответов.

Правильный ответ:

Объяснение:

Нахождение собственных значений и собственных векторов с помощью характеристического уравнения матрицы0004

Сообщить об ошибке

← Предыдущая 1 2 Следующая →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы по дифференциальным уравнениям

1 Диагностический тест 29 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Решение систем линейных уравнений с помощью матриц

10 декабря 2020 г. by Prasanna

Однородные и неоднородные системы линейных уравнений
Система уравнений AX = B называется однородной системой, если B = O. Если B ≠ O, она называется неоднородной системой уравнений.
например, 2x + 5y = 0
3x – 2y = 0
является однородной системой линейных уравнений, тогда как система уравнений, заданная
например, 2x + 3y = 5
x + y = 2
является неоднородной системой линейных уравнений.
Решение неоднородной системы линейных уравнений
Матричный метод: если AX = B, то X = A ^-1 B дает единственное решение при условии, что A несингулярно.
Но если A — сингулярная матрица, т. е. если |A| = 0, то система уравнений AX = B может быть согласована с бесконечным числом решений или может быть несовместима.
Ранговый метод решения неоднородной системы AX = B
Запишите A, B
Запишите расширенную матрицу [A : B]
Приведите расширенную матрицу к форме Эшелона, используя элементарные операции со строками.
Найдите количество ненулевых строк в A и [A : B], чтобы найти ранги A и [A : B] соответственно.
Если ρ(A) ≠ ρ(A : B), система несовместна.
ρ(A) = ρ(A : B) = количество неизвестных, то система имеет единственное решение.
ρ(A) = ρ(A : B) < числа неизвестных, то система имеет бесконечное число решений.

Решения однородной системы линейных уравнений
Пусть AX = O — однородная система из 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными.
Запишите данную систему уравнений в виде AX = O и запишите A.
Найти |A|.
Если |А| ≠ 0, то система непротиворечива и x = y = z = 0 является единственным решением.
Если |А| = 0, то система уравнений имеет бесконечно много решений. Для того, чтобы найти, положим z = k (любое действительное число) и решим любые два уравнения относительно x и y, полученные таким образом при z = k дадут решение данной системы уравнений.
Непротиворечивость системы линейных уравнений AX = B, где A — квадратная матрица
В системе линейных уравнений AX = B, A = (a _ij ) _n _×n называется
согласованным (с единственным решением), если |A| ≠ 0,
, т. е. если A невырожденная матрица.
Несовместимо (не имеет решения), если |A| = 0 и (adj A)B – ненулевая матрица.
Совместно (с бесконечным числом решений), если |A| = 0 и (adj A)B — нулевая матрица.
Ранг матрицы
Определение:
Пусть A матрица размера m×n. Если мы сохраним любые r строк и r столбцов матрицы A, мы получим квадратную подматрицу порядка r. Определитель квадратной подматрицы порядка r называется минором A порядка r. Рассмотрим любую матрицу A порядка 3 × 4, скажем,
.
Это матрица 3 × 4, поэтому мы можем иметь миноры порядка 3, 2 или 1. Возьмем любые три строки и три столбца, минор третьего порядка. Следовательно, минор порядка $3=\left| \begin{matrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 6 \\ 1 & 5 & 0 \end{matrix} \right| =0$
Создание двух нули и расширение выше минора равно нулю. Точно так же мы можем рассмотреть любой другой минор порядка 3, и можно показать, что он равен нулю. Минор второго порядка получается взятием любых двух строк и любых двух столбцов.
Минор порядка $2=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=2-3=-1\neq 0$.
Минором первого порядка является каждый элемент матрицы.
Ранг матрицы: Говорят, что ранг данной матрицы A равен r, если
Каждый минор матрицы A порядка r+1 равен нулю.
Существует по крайней мере один минор A порядка r, который не равен нулю. Здесь также можно сказать, что ранг матрицы A равен r, если
Каждая квадратная подматрица порядка r+1 сингулярна.
Существует по крайней мере одна невырожденная квадратная подматрица порядка r.
Ранг r матрицы A записывается как ρ(A) = r.
Эшелонная форма матрицы
Матрица A называется эшелонной, если либо A является нулевой матрицей, либо A удовлетворяет следующим условиям:
Каждая ненулевая строка в A предшествует каждой нулевой строке.
Количество нулей перед первым ненулевым элементом в строке меньше, чем количество таких нулей в следующей строке.
Если легко доказать, что ранг матрицы в форме Эшелона равен номеру ненулевой строки матрицы.
Ранг матрицы в форме Эшелона: Ранг матрицы в форме Эшелона равен количеству ненулевых строк в этой матрице.
Решающие системы линейных уравнений с использованием задач матрицы с решениями
1.

Решение:

2.

Решение:
9599999
:
9599999
. 4.

Решение:

5.

Решение:
Рубрики: Математика Метки: Непротиворечивость системы линейных уравнений, Эшелонная форма матрицы, Однородные и неоднородные системы линейных уравнений, Ранг матрицы , Решение неоднородной системы линейных уравнений, Решения однородной системы линейных уравнений, Решение систем линейных уравнений с использованием матриц
Решение квадратных уравнений
jpg» valign=»top»>

Бесплатные учебники по алгебре
!

Дом
Системы линейных уравнений и решение задач
Решение квадратных уравнений
Решение абсолютных неравенств 907:35
Решение квадратных уравнений
Решение квадратных неравенств
Решающие системы сокращения строк уравнений
Решение систем линейных уравнений с помощью графика
Решение квадратных уравнений
Решение систем линейных уравнений
Решение линейных уравнений. Часть II
Решение уравнений I
Итоговая оценка результатов решения проблем и навыков
Решение математических задач: длинное деление лица
Решение линейных уравнений
Системы линейных уравнений с двумя переменными
Решение системы линейных уравнений с помощью графика
Ti-89 Решение одновременных уравнений
Системы линейных уравнений с тремя переменными и матричные операции
Решение рациональных уравнений
Решение квадратных уравнений методом факторинга
Решение квадратных уравнений
Решение систем линейных уравнений
Системы уравнений с двумя переменными
Решение квадратных уравнений 907:35
Решение экспоненциальных и логарифмических уравнений
Решение систем линейных уравнений
Решение квадратных уравнений
Математическая логика и решение задач с отличием
Решение квадратных уравнений с помощью факторинга
Решение буквенных уравнений и формул
Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата
Решение экспоненциальных и логарифмических уравнений
Решение уравнений с дробями
Решение уравнений
Решение линейных уравнений
Решение линейных уравнений с одной переменной
Решение линейных уравнений
РЕШЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМУЛЫ
РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

НАСТРОЙКА: Удалить все дроби и круглые скобки, сгруппировать термины, сделать квадрат члена положительным,
и ввести в стандартную форму:
Ax ² + Bx + C = 0
ВСЕГДА: Сначала вынесите на множители все общие множители
2 УСЛОВИЯ
Отсутствует 1 ^st Член
3x — 12 = 0
Не квадратично!
(линейный)
Решите для 1 ответа
x = 12
x = 4
Отсутствует 2 ^nd Термин

Использовать метод квадратного корня Отсутствует 3 ^rd Термин
x ² + 3 = 0
вы забыли вычесть
из общего «x»
изолировать x ²
x = 12
оба стороны
изолировать квадратный бином

оба стороны
ВСЕ 3 УСЛОВИЯ
Факторинг

Завершением квадрата
2x ² — 6x — 3 = 0
коэффициент x ² должен быть 1:
разделить обе стороны на 2:
завершить квадрат:
добавить (½B)2 к обеим сторонам :
записать как бином в квадрате:
использовать метод квадратного корня:

B ² -4ac называется дискриминантом
1) если B ² -4ac положительный: 2 действительных корня
2) если B ² -4ac отрицательный: 2 комплексных корня
3) если B ² -4ac = 0:1 действительный корень (дважды)
Квадратичная формула
Помните: вы должны решения, когда вы превращаете неквадратичное уравнение в квадратное!
jpg»>
Все права защищены. Copyright 2005-2022
Решатель дифференциальных уравнений — онлайн-инструмент
Поиск инструмента
Найдите инструмент в dCode по ключевым словам:

Просмотрите полный список инструментов dCode
Решатель дифференциальных уравнений
Инструмент/решатель для решения дифференциальных уравнений (например, разрешение первой или второй степени) в соответствии с именем функции и переменной.
Результаты
Решатель дифференциальных уравнений — dCode
Теги: Функции, Символьные вычисления
Поделиться
dCode и многое другое задачи решать каждый день!
Предложение ? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !
Калькулятор дифференциальных уравнений
Пожалуйста, соблюдайте синтаксис (см. вопросы)
Diffeq решить
Буква, представляющая функцию
Переменная
Без начального/граничного условия
С начальным значением(ями) (разделенными знаком && или 😉
См. также: Решатель уравнений — производная
Ответы на вопросы (FAQ)
Как рассчитать дифференциальное уравнение на dCode?
Уравнение должно следовать строгому синтаксису, чтобы получить решение в решателе дифференциальных уравнений:
— Используйте ‘ для представления производной 1-го порядка, ‘ ‘ для производной 2-го порядка, ‘ ‘ ‘ для производной 3-го порядка и т. д.
Пример: f’ + f = 0
— Не указывайте переменную, которую нужно вывести в диффуквации.
Пример: f(x) отмечено f и переменная x должна быть указана во входных данных переменной.
Пример: 9{-x}+1 $ с $ c_1 $ константой
— дифференцируема только функция, а не комбинация функций
Пример: (1/f)’ недопустимо, но 1/(f’ ) верно
Что такое дифференциальное уравнение? (определение)
Дифференциальное уравнение (или diffeq) – это уравнение, связывающее неизвестную функцию с ее производными (порядка n).
Пример: g» + g = 1
Существуют уравнения однородного и частного решения, нелинейные уравнения, уравнения первого порядка, второго порядка, третьего порядка и многие другие уравнения.
Как добавить начальные значения/условия?
Можно добавить одно или несколько начальных условий в соответствующее поле, добавив логический оператор && между двумя уравнениями.
Пример: Запись f'(0)=-1 && f(1)=0
Как найти значения констант c?
Использовать известную информацию о функции и ее производной (производных) в качестве начальных условий системы.
Пример: Позиция объекта $h$ в начале эксперимента, напишите что-то вроде $f(0) = h$92} $$
Апостроф указывает порядок/степень деривации, буква в скобках — переменная деривации.
Показатель степени указывает на порядок/степень деривации, буква в знаменателе — переменная деривации.
Как шаг за шагом решить дифференциальное уравнение?
Шаги расчета решателя dCode не отображаются, потому что это компьютерные операции, далекие от шагов процесса ученика.
Исходный код
dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код «Решателя дифференциальных уравнений». За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (указано Creative Commons/бесплатно), алгоритма «Решатель дифференциальных уравнений», апплета или фрагмента (преобразователь, решатель, шифрование/дешифрование, кодирование/декодирование, шифрование/дешифрование, транслятор) или «Дифференциальное уравнение Функции Solver (вычисление, преобразование, решение, расшифровка/шифрование, расшифровка/шифрование, декодирование/кодирование, перевод), написанные на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C#, Javascript, Matlab и т. д.) и загрузка всех данных, сценарий или доступ к API для «Решателя дифференциальных уравнений» не являются общедоступными, то же самое для автономного использования на ПК, мобильных устройствах, планшетах, iPhone или в приложениях для Android!
Напоминание: dCode можно использовать бесплатно.
Cite dCode
Копирование и вставка страницы «Решение дифференциальных уравнений» или любых ее результатов разрешено, если вы цитируете dCode!
Цитировать как источник (библиографию):
Решатель дифференциальных уравнений на dCode.fr [онлайн-сайт], получено 05 октября 2022 г., https://www.dcode.fr/ Differential-equation-solver
Резюме
Калькулятор дифференциальных уравнений
Как рассчитать дифференциальное уравнение в dCode?
Что такое дифференциальное уравнение? (определение)
Как добавить начальные значения/условия?
Как найти значения констант c?
Каковы обозначения дифференциальных уравнений?
Как шаг за шагом решить дифференциальное уравнение?
Похожие страницы
Производная
Решатель уравнений
Тройной интеграл
Определенный интеграл
Полиномиальная факторизация
0573
Square Root
DCODE’S TOOLS LIST
Support
Paypal
Patreon
More

Forum/Help
Keywords
differential,equation,diff,diffeq,order,degree,calculator
Ссылки

▲
1.
5: Ранговые и однородные системы
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
14500
Кен Каттлер
Университет Бригама Янга через Lyryx
Существует особый тип системы, который требует дополнительного изучения. Система такого типа называется однородной системой уравнений, которую мы определили выше в определении 1.2.3. В этом разделе мы сосредоточимся на рассмотрении возможных типов решений однородной системы уравнений.
Рассмотрим следующее определение.
Определение $\PageIndex{1}$: Тривиальное решение
Рассмотрим однородную систему уравнений, заданную \[\begin{array}{c} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{ 2}+\cdots +a_{1n}x_{n}= 0 \\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}= 0 \ \ \vdots \\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}= 0 \end{массив}\nonumber \] Тогда $x_ {1} = 0, x_{2} = 0, \cdots, x_{n} =0$ всегда является решением этой системы. Мы называем это тривиальным решением .
Если система имеет решение, в котором не все $x_1, \cdots, x_n$ равны нулю, то мы называем это решение нетривиальным . Тривиальное решение мало что говорит нам о системе, так как говорит, что $0=0$! Поэтому при работе с однородными системами уравнений мы хотим знать, когда система имеет нетривиальное решение.
Предположим, у нас есть однородная система $m$ уравнений, использующая $n$ переменных, и предположим, что $n > m$. Другими словами, переменных больше, чем уравнений. Тогда оказывается, что эта система всегда имеет нетривиальное решение. Система не только будет иметь нетривиальное решение, но и будет иметь бесконечно много решений. Также возможно, но не обязательно, иметь нетривиальное решение, если $n=m$ и $n
Рассмотрим следующий пример.
Пример \(\PageIndex{1}$: решения однородной системы уравнений
Найдите нетривиальные решения следующей однородной системы уравнений \[\begin{array}{c} 2x + y — z = 0 \\ x + 2y — 2z = 0 \end{array}\nonumber \]
Решение
Обратите внимание, что эта система имеет $m = 2$ уравнений и $n = 3$ переменных, поэтому $n >м$. Следовательно, согласно нашему предыдущему обсуждению, мы ожидаем, что эта система будет иметь бесконечно много решений.
Процесс, который мы используем для поиска решений однородной системы уравнений, — это тот же процесс, который мы использовали в предыдущем разделе. Во-первых, мы строим расширенную матрицу, заданную \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 & 0 \end{array} \right ]\nonumber \] Затем мы приводим эту матрицу к ее сокращенной ступенчато-строковой форме, указанной ниже. \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] Соответствующая система уравнений имеет вид \[\begin{array}{c} x = 0 \\ y — z =0 \\ \end{array}\nonumber \] Поскольку $z$ не ограничивается никаким уравнением, мы знаем, что эта переменная будет стать нашим параметром. Пусть $z=t$, где $t$ — любое число. Следовательно, наше решение имеет вид \[\begin{array}{c} x = 0 \\ y = z = t \\ z = t \end{array}\nonumber \] Следовательно, эта система имеет бесконечно много решений, причем один параметр $t$.
Предположим, нам нужно записать решение предыдущего примера в другой форме. В частности, \[\begin{array}{c} x = 0 \\ y = 0 + t \\ z = 0 + t \end{array}\nonumber \] можно записать как \[\left[ \begin{ array}{r} x\\ y\\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right] + t \ left[ \begin{array}{r} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \right]\nonumber \] Обратите внимание, что мы построили столбец из констант в решении (все равны $0\ )), а также столбец, соответствующий коэффициентам при \(t$ в каждом уравнении. Хотя мы еще обсудим эту форму решения в следующих главах, сейчас рассмотрим столбец коэффициентов параметра $t$. В данном случае это столбец $\left[ \begin{array}{r} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \right]$.
У этого столбца есть специальное имя: основное решение . Базовые решения системы представляют собой столбцы, построенные из коэффициентов при параметрах решения. Мы часто обозначаем основные решения как $X_1, X_2$ и т. д., в зависимости от того, сколько решений встречается. Следовательно, пример $\PageIndex{1}$ имеет базовое решение $X_1 = \left[ \begin{array}{r} 0\\ 1\\ 1 \end{array} \right]$.
Мы рассмотрим это подробнее в следующем примере.
Пример $\PageIndex{2}$: основные решения однородной системы
Рассмотрим следующую однородную систему уравнений. \[\begin{array}{c} x + 4y + 3z = 0 \\ 3x + 12y + 9z = 0 \end{array}\nonumber \] Найдите основные решения этой системы.
Решение
Увеличенная матрица этой системы и результирующая сокращенная форма строки-эшелона имеют вид \[\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 3 & 0 \\ 3 & 12 & 9 & 0 \end{array} \right] \rightarrow \cdots \rightarrow \left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \ right]\nonumber \] При записи в виде уравнений эта система задается как \[x + 4y +3z=0\nonumber \] Обратите внимание, что только $x$ соответствует опорному столбцу. В этом случае у нас будет два параметра: один для $y$ и один для $z$. Пусть $y = s$ и $z=t$ для любых чисел $s$ и $t$. Тогда наше решение принимает вид \[\begin{array}{c} x = -4s — 3t \\ y = s \\ z = t \end{array}\nonumber \], что можно записать как \[\left[ \begin{array}{r} x\\ y\\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} 0\\ 0\\ 0 \end{array} \right] + s \left[ \begin{array}{r} -4 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right] + t \left[ \begin{array}{r} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]\nonumber \] Здесь вы видите, что у нас есть два столбца коэффициентов, соответствующих параметрам, в частности, один для $s$ и один для $t$. Таким образом, эта система имеет два основных решения! Это \[X_1= \left[ \begin{array}{r} -4 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right], X_2 = \left[ \begin{array}{r} -3 \ \ 0 \\ 1 \end{массив} \right]\nonumber \]
Теперь мы представляем новое определение.
Определение $\PageIndex{2}$: линейная комбинация
Пусть $X_1,\cdots ,X_n,V$ — матрицы-столбцы. Тогда $V$ называется линейной комбинацией столбцов $X_1,\cdots , X_n$, если существуют скаляры $a_{1},\cdots ,a_{n}$ такие что \[V = a_1 X_1 + \cdots + a_n X_n\nonumber \]
Замечательным результатом этого раздела является то, что линейная комбинация основных решений снова является решением системы. Еще более примечательно то, что каждое решение может быть записано как линейная комбинация этих решений. Следовательно, если мы возьмем линейную комбинацию двух решений примера $\PageIndex{2}$, это также будет решением. Например, мы могли бы взять следующую линейную комбинацию
\[3 \left[ \begin{array}{r} -4 \\ 1 \\ 0 \end{массив} \right] + 2 \left[ \begin{array}{r} -3 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} -18 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right]\nonumber \] Вы должны уделить время проверке что \[\left[ \begin{array}{r} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{r} -18 \\ 3 \\ 2 \ end{array} \right]\nonumber \]
на самом деле является решением системы в примере $\PageIndex{2}$.
Еще один способ получить больше информации о решениях однородной системы — рассмотреть ранг соответствующей матрицы коэффициентов. Определим теперь, что подразумевается под рангом матрицы.
Определение $\PageIndex{3}$: ранг матрицы
Пусть $A$ — матрица, и рассмотрим любую ступенчатую форму строки $A$. Тогда число $r$ ведущих элементов $A$ не зависит от выбранной вами формы эшелонирования строк и называется рангом из $A$. Обозначим его через Rank($A$).
Точно так же мы могли бы подсчитать количество опорных позиций (или опорных столбцов), чтобы определить ранг $A$.
Пример $\PageIndex{3}$: нахождение ранга матрицы
Рассмотрим матрицу \[\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 9 \ \ 2 & 4 & 6 \end{array} \right]\nonumber \] Каков его ранг?
Решение
Во-первых, нам нужно найти редуцированную строчно-эшелонную форму $A$. По обычному алгоритму находим, что это \[\left[ \begin{array}{rrr} \fbox{1} & 0 & -1 \\ 0 & \fbox{1} & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber \] Здесь у нас есть два ведущих элемента или две опорные позиции, показанные выше в прямоугольниках. Ранг $A$ равен $r = 2.$
Обратите внимание, что мы получили бы тот же ответ, если бы нашли ступенчатую форму $A$ вместо сокращенной ступенчатой формы.
Предположим, что у нас есть однородная система $m$ уравнений в $n$ переменных, и пусть $n > m$. Из нашего обсуждения выше мы знаем, что эта система будет иметь бесконечно много решений. Если рассмотреть ранг матрицы коэффициентов этой системы, то можно узнать о решении еще больше. Обратите внимание, что мы рассматриваем только матрицу коэффициентов, а не всю расширенную матрицу.
Теорема $\PageIndex{1}$: ранг и решения однородной системы
Пусть $A$ будет $m \times n$ матрицей коэффициентов, соответствующей однородной системе уравнений, и предположим, $A$ имеет ранг $r$. Тогда решение соответствующей системы имеет $n-r$ параметров.
Рассмотрим приведенный выше пример $\PageIndex{2}$ в контексте этой теоремы. Система в этом примере имеет $m = 2$ уравнений в $n = 3$ переменных. Во-первых, поскольку $n>m$, мы знаем, что система имеет нетривиальное решение и, следовательно, бесконечно много решений. Это говорит нам о том, что решение будет содержать хотя бы один параметр. Еще больше о решении может рассказать ранг матрицы коэффициентов! Матрица коэффициентов системы имеет ранг $1$, так как она имеет один ведущий элемент в ступенчато-строковой форме. Теорема $\PageIndex{1}$ говорит нам, что решение будет иметь $n-r = 3-1 = 2$ параметров. Вы можете убедиться, что это так, в решении примера $\PageIndex{2}$.
Обратите внимание, что если $n=m$ или $n
Здесь мы не ограничиваемся однородными системами уравнений. Ранг матрицы можно использовать, чтобы узнать о решениях любой системы линейных уравнений. В предыдущем разделе мы обсуждали, что система уравнений может не иметь решения, иметь единственное решение или иметь бесконечно много решений. Предположим, что система непротиворечива независимо от того, однородна она или нет. Следующая теорема говорит нам, как мы можем использовать ранг, чтобы узнать о типе решения, которое у нас есть.
Теорема \(\PageIndex{2}$: ранг и решения согласованной системы уравнений
Пусть $A$ будет увеличенной матрицей $m \times \left( n+1 \right)$ соответствующей непротиворечивой системе уравнений от $n$ переменных, и пусть $A$ имеет ранг $r$. Тогда
система имеет единственное решение, если $r = n$
система имеет бесконечно много решений, если $r < n$
Мы не будем приводить формальное доказательство этого, а рассмотрим следующие рассуждения.
Нет решения Приведенная выше теорема предполагает, что система непротиворечива, то есть что она имеет решение. Оказывается, расширенная матрица системы без решения может иметь любой ранг $r$, пока $r>1$. Следовательно, мы должны знать, что система непротиворечива, чтобы использовать эту теорему!
Уникальное решение Предположим, $r=n$. Тогда в каждом столбце матрицы коэффициентов $A$ есть точка опоры. Следовательно, существует единственное решение.
No related posts.
Навигация по записям
Предыдущая статьяКак перевести bmp в jpg: Конвертировать BMP в JPG онлайн — Convertio
Следующая статьяРешите систему уравнений x 8y 6 5x 2y 12: Решите систему уравнений x+8y=-6 5x-2y=12
Добавить комментарий Отменить ответ
Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *
Комментарий *
Имя *
Email *
Сайт

Найти:
Рубрики
Геометрия
Математика
Физика
Химия
Школьная жизнь
Разное
© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»
Карта сайта

Вычислить Общее решение
Частное решение(я)
7944