Решение онлайн методом гаусса с подробным решением: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

линейная алгебра. Почему исключение Гаусса не меняет набор решений?

Задай вопрос

спросил 7 лет, 4 месяца назад

Изменено 7 лет, 4 месяца назад

Просмотрено 4к раз

$\begingroup$

Конечно, метод исключения Гаусса безопасен в использовании, что доказано бесчисленным количеством систем, которые я решил с его помощью, занимаясь линейной алгеброй (то есть я должен добавить очень простой и низкоуровневый), но когда бесплатный учебник Джима Хефферона по линейной алгебра поставила вопрос, почему

1. Масштабирование строк ненулевой константой
2. Добавление строк друг к другу

Не менять набор решений, я обнаружил, что не в состоянии дать правильное математическое доказательство.

В своем руководстве по ответам Хефферон сам «доказывает» безопасность обеих операций, показывая, что каждую операцию можно отменить, не добавляя и не теряя решений.

Например, если строка масштабируется на ненулевую константу C, эту операцию можно отменить, разделив обе части на C без потери или создания решений.

Удовлетворяет ли это математическое доказательство? Мне кажется, что доказательство и операция посредством его использования не совсем доказывают его правильность, потому что предполагается, что набор решений не изменился между выполнением и отменой операции. Если это действительно не подходит в качестве доказательства, то что может служить доказательством того, что никакие решения не теряются при исключении Гаусса?

• линейная алгебра
• исключение Гаусса

$\endgroup$

3

$\begingroup$

ПОЧТИ. {-1}Cb=b$. Следовательно, у нас есть как $S_1\subseteq S_2$, так и $S_2\subseteq S_1$.

Теперь, чтобы применить это к исключению Гаусса, обратите внимание, что отдельные шаги (масштабирование строки, добавление строки к другой строке, замена строк) могут быть выполнены путем умножения на подходящую простую матрицу $C$ с легко находимой обратной.

$\endgroup$

$\begingroup$

Немного сложно записать все уравнения, но я попытаюсь объяснить процесс.

Есть три основные операции, которые мы выполняем над линейной системой.

• Умножение строки на скаляр.
• Перестановка двух рядов местами.
• Добавление скалярного множителя строки к другой строке.

Следует отметить, что после выполнения любой из этих трех операций результирующая система состоит из уравнений, являющихся линейными комбинациями исходной.

Например, у нас есть система

\begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ а_3x+b_3y+c_3z=d_3 \конец{массив} 9T$ был решением исходной системы. Тогда это также решение для второго. Попробуем убедить себя в этом. Первый и последний ряды не проблема. Второе уравнение результирующей системы также выполняется, поскольку $a_2x+b_2y+c_2z= d_2$ и $(a_1x+b_1y+c_1z) = d_1 \имеет q (a_1x+b_1y+c_1z) = q \times d_1 $.

Две другие линейные операции также удаляются аналогичным образом.

Теперь посмотрим, что мы доказали. Мы доказали, что «любое решение исходной системы есть решение системы, полученное в результате одной из трех линейных операций» .

Но нам нужно еще немного. Мы хотим, чтобы решения новой системы были точно такими же, как у первой. Это устанавливается тем фактом, что каждой упомянутой линейной операции соответствует обратная операция

, которая также является одной из трех линейных операций . Например, операция, обратная той, которую мы выполнили выше, — умножение первой строки второй системы на $-q$ и прибавление ко второй строке. Теперь подумайте об исходной системе как о результате второй в результате выполнения линейной операции. Следовательно, из того, что мы доказали выше, любое решение второй системы является также решением первой.

Таким образом, любое решение исходной системы является решением результирующей системы, а любое решение результирующей системы является решением исходной. Следовательно, решения первой системы точно такие же, как и решения второй.

Это именно то, что нам нужно.

На первых двадцати или около того страницах книги «Линейная алгебра Хоффмана, Кунце» есть хорошее объяснение . Должен прочитать.

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Вместо того, чтобы думать об обосновании линейной алгебры (т. е. матрицы/вектора), мне нравится смотреть на основную проблему алгебры (т. е. систему линейных уравнений). В мире алгебраических уравнений Исключение Гаусса (GE) в структурах линейной алгебры соответствует правилам, которые вы изучаете, когда впервые пытаетесь решить уравнение. А именно,

1. добавление одной и той же величины к обеим частям уравнения не меняет решения.
2. умножение обеих частей уравнения на константу, отличную от нуля, не меняет решения.

Если вы считаете эти правила само собой разумеющимися, то вы должны поверить, что GE — это просто компактный способ записать операции, которые вы выполняете над системой линейных уравнений, используя язык матриц. В частности, добавление двух строк — это нормально, поскольку величины, которые вы добавляете в левую и правую части, равны (поскольку они удовлетворяют еще одному из уравнений системы).

Матрицы/векторы — интересный мир. Однако, когда дело доходит до их использования в линейных системах, мне нравится думать о них просто как о хорошем компактном способе записать что-то, что в противном случае заняло бы много места на бумаге, позволяя хорошо видеть общую картину. , не теряясь в деталях каждого отдельного компонента.

$\endgroup$

Решения Tetra Pak Services | Тетра Пак

Дом Решения Услуги Портфель услуг Tetra Pak Services Solutions

Преодолейте операционные проблемы и со временем добейтесь ощутимых результатов с помощью наших специализированных сервисных решений.

Какой бы ни была ваша боль – вместе мы превратим ее в прибыль.

Решение широкого круга задач

Наши настраиваемые решения позволяют решать операционные задачи и со временем достигать ощутимых результатов. Выбирая Tetra Pak в качестве сервисного партнера, вы получаете выгоду от обширного портфеля услуг, который мы адаптируем для точного удовлетворения ваших конкретных потребностей, в сочетании с нашим обширным опытом в области производства продуктов питания.

Вкратце, основные преимущества:

Предсказуемость – в отношении затрат, времени безотказной работы и производительности

Производительность – достижение амбициозных производственных целей

Партнерство – совместное достижение результатов

Прибыльность – создание большей ценности, чем затраты

Tetra Pak® Plant Care

Упреждающее обслуживание по предсказуемой цене1 9001 Plant Care — это сервисное решение для тех, кто хочет удобства, предсказуемости и уверенности в производительности и времени безотказной работы вашего оборудования.

Мы позаботимся о предпочтительном для вас объеме поставки деталей, планировании и выполнении технического обслуживания за ежемесячную фиксированную плату за 1000 упаковок.

Узнайте больше о нашем сервисном решении Tetra Pak Plant Care⁠

Tetra Pak® Plant Perform

Повышение производительности с гарантией

Tetra Pak Plant Perform — это сервисное решение для тех, кто хочет повысить производительность в определенной области своего предприятия. Вместе мы определяем ваш потенциал для улучшения и создаем совместный план для его реализации, поддерживаемый нашими цифровыми предложениями.

Узнайте больше о нашем сервисном решении Tetra Pak Plant Perform⁠

Tetra Pak® Plant Secure

Оптимизация работы предприятия при гарантированных затратах

Tetra Pak Plant Secure — это сервисное решение для тех, кто хочет добиться долгосрочного повышения затрат и повышения производительности — для всего предприятия.

Мы присутствуем на месте, чтобы выявить ваши пробелы, обучить ваших сотрудников и уменьшить любые неопределенности. Мы берем на себя больший риск и обязуемся улучшить вашу пропускную способность — вместе с вами, с долгосрочными обязательствами.

Узнайте больше о нашем сервисном решении Tetra Pak Plant Secure⁠

пример клиента

Wine Group опирается на силу своих сотрудников

Восемь лет назад Caviro, ведущая итальянская винодельческая группа, искала новую методологию управления предприятием и привлекла Tetra Pak в качестве партнера. Посмотрите фильм, чтобы узнать больше о непрерывных улучшениях Caviro благодаря тому, что Tetra Pak внедряет методы производства мирового класса, и узнайте, как они смогли ежегодно повышать производительность за счет повышения безопасности и качества.

пример клиента

Винная группа опирается на силу своих сотрудников

Восемь лет назад Caviro, ведущая итальянская винодельческая группа, искала новую методологию управления предприятием и привлекла Tetra Pak в качестве партнера.