Решение уравнений с иксами онлайн: Решение систем уравнений · Калькулятор Онлайн

Содержание

Умножение уравнений онлайн. Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.


Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8

3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.

Предлагаемый вашему вниманию бесплатный калькулятор располагает богатым арсеналом возможностей для математических вычислений. Он позволяет использовать онлайн калькулятор в различных сферах деятельности: образовательной , профессиональной и коммерческой . Конечно, применение калькулятора онлайн особенно популярно у студентов и школьников , он значительно облегчает им выполнение самых разных расчётов.

Вместе с тем калькулятор может стать полезным инструментом в некоторых направлениях бизнеса и для людей разных профессий. Безусловно, необходимость применения калькулятора в бизнесе или трудовой деятельности определяется прежде всего видом самой деятельности. Если бизнес и профессия связаны с постоянными расчётами и вычислениями, то стоит опробовать электронный калькулятор и оценить степень его полезности для конкретного дела.

Данный онлайн калькулятор может

  • Корректно выполнять стандартные математические функции, записанные одной строкой типа — 12*3-(7/2) и может обрабатывать числа больше, чемсчитаем огромные числа в онлайн калькулятореМы даже не знаем, как такое число назвать правильно (тут 34 знака и это совсем не предел ).
  • Кроме тангенса , косинуса , синуса и других стандартных функций — калькулятор поддерживает операции по расчёту арктангенса , арккотангенса и прочих.
  • Доступны в арсенале логарифмы , факториалы и другие интересные функции
  • Данный онлайн калькулятор умеет строить графики !!!

Для построения графиков, сервис использует специальную кнопку (график серый нарисован) или буквенное представление этой функции (Plot). Чтобы построить график в онлайн калькуляторе, достаточно записать функцию:

plot(tan(x)),x=-360..360 .

Мы взяли самый простой график для тангенса, и после запятой указали диапазон переменной X от -360 до 360.

Построить можно абсолютно любую функцию, с любым количеством переменных, например такую: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) или ещё более сложную, какую сможете придумать. Обращаем внимание на поведение переменной X — указан промежуток от и до с помощью двух точек.

Единственный минус (хотя трудно назвать это минусом) этого онлайн калькулятора это то, что он не умеет строить сферы и другие объёмные фигуры — только плоскость.

Как работать с Математическим калькулятором

1. Дисплей (экран калькулятора) отображает введенное выражение и результат его расчёта обычными символами, как мы пишем на бумаге. Это поле предназначено просто для просмотра текущей операции. Запись отображается на дисплее по мере набора математического выражения в строке ввода.

2. Поле ввода выражения предназначено для записи выражения, которое нужно вычислить. Здесь следует отметить, что математические символы, используемые в компьютерных программах, не всегда совпадают с теми, которые обычно мы применяем на бумаге. В обзоре каждой функции калькулятора вы найдёте правильное обозначение конкретной операции и примеры расчётов в калькуляторе. На этой странице ниже приводится перечень всех возможных операций в калькуляторе, также с указанием их правильного написания.

3. Панель инструментов — это кнопки калькулятора, которые заменяют ручной ввод математических символов, обозначающих соответствующую операцию. Некоторые кнопки калькулятора (дополнительные функции, конвертер величин, решение матриц и уравнений, графики) дополняют панель задач новыми полями, где вводятся данные для конкретного расчёта. Поле «History» содержит примеры написания математических выражений, а также ваши шесть последних записей.

Обратите внимание, при нажатии кнопок вызова дополнительных функций, конвертера величин, решения матриц и уравнений, построения графиков вся панель калькулятора смещается вверх, закрывая часть дисплея. Заполните необходимые поля и нажмите клавишу «I» (на рисунке выделена красным цветом), чтобы увидеть дисплей в полный размер.

4. Цифровая клавиатура содержит цифры и знаки арифметических действий. Кнопка «С» удаляет всю запись в поле ввода выражения. Чтобы удалять символы по одному, нужно использовать стрелочку справа от строки ввода.

Старайтесь всегда закрывать скобки в конце выражения. Для большинства операций это некритично, калькулятор online рассчитает всё верно. Однако, в некоторых случаях возможны ошибки. Например, при возведении в дробную степень незакрытые скобки приведут к тому, что знаменатель дроби в показателе степени уйдет в знаменатель основания. На дисплее закрывающая скобка обозначена бледно-серым цветом, её нужно закрыть, когда запись закончена.

Клавиша Символ Операция
pi pi Постоянная pi
е е Число Эйлера
% % Процент
() () Открыть/Закрыть скобки
, , Запятая
sin sin(?) Синус угла
cos cos(?) Косинус
tan tan(y) Тангенс
sinh sinh() Гиперболический синус
cosh cosh() Гиперболический косинус
tanh tanh() Гиперболический тангенс
sin -1 asin() Обратный синус
cos -1 acos() Обратный косинус
tan -1 atan() Обратный тангенс
sinh -1 asinh() Обратный гиперболический синус
cosh -1 acosh() Обратный гиперболический косинус
tanh -1 atanh() Обратный гиперболический тангенс
x 2 ^2 Возведение в квадрат
х 3 ^3 Возведение в куб
x y ^ Возведение в степень
10 x 10^() Возведение в степень по основанию 10
e x exp() Возведение в степень числа Эйлера
vx sqrt(x) Квадратный корень
3 vx sqrt3(x) Корень 3-ей степени
y vx sqrt(x,y) Извлечение корня
log 2 x log2(x) Двоичный логарифм
log log(x) Десятичный логарифм
ln ln(x) Натуральный логарифм
log y x log(x,y) Логарифм
I / II Сворачивание/Вызов дополнительных функций
Unit Конвертер величин
Matrix Матрицы
Solve Уравнения и системы уравнений
Построение графиков
Дополнительные функции (вызов клавишей II)
mod mod Деление с остатком
! ! Факториал
i / j i / j Мнимая единица
Re Re() Выделение целой действительной части
Im Im() Исключение действительной части
|x| abs() Модуль числа
Arg arg() Аргумент функции
nCr ncr() Биноминальный коэффициент
gcd gcd() НОД
lcm lcm() НОК
sum sum() Суммарное значение всех решений
fac factorize() Разложение на простые множители
diff diff() Дифференцирование
Deg Градусы
Rad Радианы

Приложение

Решение любого типа уравнений онлайн на сайт для закрепления изученного материала студентами и школьниками. . Решение уравнений онлайн. Уравнения онлайн. Различают алгебраические, параметрические, трансцендентные, функциональные, дифференциальные и другие виды уравнений.. Некоторые классы уравнений имеют аналитические решения, которые удобны тем, что не только дают точное значение корня, а позволяют записать решение в виде формулы, в которую могут входить параметры. Аналитические выражения позволяют не только вычислить корни, а провести анализ их существования и их количества в зависимости от значений параметров, что часто бывает даже важнее для практического применения, чем конкретные значения корней. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Решение уравнения — задача по нахождению таких значений аргументов, при которых это равенство достигается. На возможные значения аргументов могут быть наложены дополнительные условия (целочисленности, вещественности и т. д.). Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Вы сможете решить уравнение онлайн моментально и с высокой точностью результата. Аргументы заданных функций (иногда называются «переменными») в случае уравнения называются «неизвестными». Значения неизвестных, при которых это равенство достигается, называются решениями или корнями данного уравнения. Про корни говорят, что они удовлетворяют данному уравнению. Решить уравнение онлайн означает найти множество всех его решений (корней) или доказать, что корней нет. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Равносильными или эквивалентными называются уравнения, множества корней которых совпадают. Равносильными также считаются уравнения, которые не имеют корней. Эквивалентность уравнений имеет свойство симметричности: если одно уравнение эквивалентно другому, то второе уравнение эквивалентно первому. Эквивалентность уравнений имеет свойство транзитивности: если одно уравнение эквивалентно другому, а второе эквивалентно третьему, то первое уравнение эквивалентно третьему. Свойство эквивалентности уравнений позволяет проводить с ними преобразования, на которых основываются методы их решения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн. Сайт позволит решить уравнение онлайн. К уравнениям, для которых известны аналитические решения, относятся алгебраические уравнения, не выше четвёртой степени: линейное уравнение, квадратное уравнение, кубическое уравнение и уравнение четвёртой степени. Алгебраические уравнения высших степеней в общем случае аналитического решения не имеют, хотя некоторые из них можно свести к уравнениям низших степеней. Уравнения, в которые входят трансцендентные функции называются трансцендентными. Среди них аналитические решения известны для некоторых тригонометрических уравнений, поскольку нули тригонометрических функций хорошо известны. В общем случае, когда аналитического решения найти не удаётся, применяют численные методы. Численные методы не дают точного решения, а только позволяют сузить интервал, в котором лежит корень, до определённого заранее заданного значения. Решение уравнений онлайн.. Уравнения онлайн.. Вместо уравнения онлайн мы представим, как то же самое выражение образует линейную зависимость и не только по прямой касательной, но и в самой точке перегиба графика. Этот метод незаменим во все времена изучения предмета. Часто бывает, что решение уравнений приближается к итоговому значению посредством бесконечных чисел и записи векторов. Проверить начальные данные необходимо и в этом суть задания. Иначе локальное условие преобразуется в формулу. Инверсия по прямой от заданной функции, которую вычислит калькулятор уравнений без особой задержки в исполнении, взаимозачету послужит привилегия пространства. Речь пойдет о студентах успеваемости в научной среде. Впрочем, как и все вышесказанное, нам поможет в процессе нахождения и когда вы решите уравнение полностью, то полученный ответ сохраните на концах отрезка прямой. Линии в пространстве пересекаются в точке и эта точка называется пересекаемой линиями. Обозначен интервал на прямой как задано ранее. Высший пост на изучение математики будет опубликован. Назначить значению аргумента от параметрически заданной поверхности и решить уравнение онлайн сможет обозначить принципы продуктивного обращения к функции. Лента Мебиуса, или как её называет бесконечностью, выглядит в форме восьмерки. Это односторонняя поверхность, а не двухсторонняя. По принципу общеизвестному всем мы объективно примем линейные уравнения за базовое обозначение как есть и в области исследования. Лишь два значения последовательно заданных аргументов способны выявить направление вектора. Предположить, что иное решение уравнений онлайн гораздо более, чем просто его решение, обозначает получение на выходе полноценного варианта инварианта. Без комплексного подхода студентам сложно обучиться данному материалу. По-прежнему для каждого особого случая наш удобный и умный калькулятор уравнений онлайн поможет всем в непростую минуту, ведь достаточно лишь указать вводные параметры и система сама рассчитает ответ. Перед тем, как начать вводить данные, нам понадобится инструмент ввода, что можно сделать без особых затруднений. Номер каждой ответной оценки будет квадратное уравнение приводить к нашим выводам, но этого сделать не так просто, потому что легко доказать обратное. Теория, в силу своих особенностей, не подкреплена практическими знаниями. Увидеть калькулятор дробей на стадии опубликования ответа, задача в математике не из легких, поскольку альтернатива записи числа на множестве способствует увеличению роста функции. Впрочем, не сказать про обучение студентов было бы некорректным, поэтому выскажем каждый столько, сколько этого необходимо сделать. Раньше найденное кубическое уравнение по праву будет принадлежать области определения, и содержать в себе пространство числовых значений, а также символьных переменных. Выучив или зазубрив теорему, наши студенты проявят себя только с лучшей стороны, и мы за них будем рады. В отличие от множества пересечений полей, наши уравнения онлайн описываются плоскостью движения по перемножению двух и трех числовых объединенных линий. Множество в математике определяется не однозначно. Лучшее, по мнению студентов, решение — это доведенная до конца запись выражения. Как было сказано научным языком, не входит абстракция символьных выражений в положение вещей, но решение уравнений дает однозначный результат во всех известных случаях. Продолжительность занятия преподавателя складывается из потребностей в этом предложении. Анализ показал как необходимость всех вычислительных приемов во многих сферах, и абсолютно ясно, что калькулятор уравнений незаменимый инструментарий в одаренных руках студента. Лояльный подход к изучению математики обуславливает важность взглядов разных направленностей. Хотите обозначить одну из ключевых теорем и решите уравнение так, в зависимости от ответа которого будет стоять дальнейшая потребность в его применении. Аналитика в данной области набирает все мощный оборот. Начнем с начала и выведем формулу. Пробив уровень возрастания функции, линия по касательной в точке перегиба обязательно приведет к тому, что решить уравнение онлайн будет одним из главных аспектов в построении того самого графика от аргумента функции. Любительский подход имеет право быть применен, если данное условие не противоречит выводам студентов. На задний план выводится именно та подзадача, которая ставит анализ математических условий как линейные уравнения в существующей области определения объекта. Взаимозачет по направлению ортогональности взаимоуменьшает преимущество одинокого абсолютного значения. По модулю решение уравнений онлайн дает столько же решений, если раскрыть скобки сначала со знаком плюс, а затем со знаком минус.

В таком случае решений найдется в два раза больше, и результат будет точнее. Стабильный и правильный калькулятор уравнений онлайн есть успех в достижении намеченной цели в поставленной преподавателем задаче. Нужный метод выбрать представляется возможным благодаря существенным отличиям взглядов великих ученых. Полученное квадратное уравнение описывает кривую линий так называемую параболу, а знак определит ее выпуклость в квадратной системе координат. Из уравнения получим и дискриминант, и сами корни по теореме Виета. Представить выражение в виде правильной или неправильной дроби и применить калькулятор дробей необходимо на первом этапе. В зависимости от этого будет складываться план дальнейших наших вычислений. Математика при теоретическом подходе пригодится на каждом этапе. Результат обязательно представим как кубическое уравнение, потому что его корни скроем именно в этом выражении, для того, чтобы упростить задачу учащемуся в ВУЗе. Любые методы хороши, если они пригодны к поверхностному анализу.
Лишние арифметические действия не приведут к погрешности вычислений. С заданной точностью определит ответ. Используя решение уравнений, скажем прямо — найти независимую переменную от заданной функции не так-то просто, особенно в период изучения параллельных линий на бесконечности. В виду исключения необходимость очень очевидна. Разность полярностей однозначна. Из опыта преподавания в институтах наш преподаватель вынес главный урок, на котором были изучены уравнения онлайн в полном математическом смысле. Здесь речь шла о высших усилиях и особых навыках применения теории. В пользу наших выводов не стоит глядеть сквозь призму. До позднего времени считалось, что замкнутое множество стремительно возрастает по области как есть и решение уравнений просто необходимо исследовать. На первом этапе мы не рассмотрели все возможные варианты, но такой подход обоснован как никогда. Лишние действия со скобками оправдывают некоторые продвижения по осям ординат и абсцисс, чего нельзя не заметить невооруженным глазом. В смысле обширного пропорционального возрастания функции есть точка перегиба. В лишний раз докажем как необходимое условие будет применяться на всем промежутке убывания той или иной нисходящей позиции вектора. В условиях замкнутого пространства мы выберем переменную из начального блока нашего скрипта. За отсутствие главного момента силы отвечает система, построенная как базис по трем векторам. Однако калькулятор уравнений вывел, и помогло в нахождении всех членов построенного уравнения, как над поверхностью, так и вдоль параллельных линий. Вокруг начальной точки опишем некую окружность. Таким образом, мы начнем продвигаться вверх по линиям сечений, и касательная опишет окружность по всей ее длине, в результате получим кривую, которая называется эвольвентой. Кстати расскажем об этой кривой немного истории. Дело в том, что исторически в математике не было понятия самой математики в чистом понимании как сегодня. Раньше все ученые занимались одним общим делом, то есть наукой. Позже через несколько столетий, когда научный мир наполнился колоссальным объемом информации, человечество все-таки выделило множество дисциплин. Они до сих пор остались неизменными. И все же каждый год ученые всего мира пытаются доказать, что наука безгранична, и вы не решите уравнение, если не будете обладать знаниями в области естественных наук. Окончательно поставить точку не может быть возможным. Об этом размышлять также бессмысленно, как согревать воздух на улице. Найдем интервал, на котором аргумент при положительном своем значении определит модуль значения в резко возрастающем направлении. Реакция поможет отыскать как минимум три решения, но необходимо будет проверить их. Начнем с того, что нам понадобиться решить уравнение онлайн с помощью уникального сервиса нашего сайта. Введем обе части заданного уравнения, нажмем на кнопу «РЕШИТЬ» и получим в течение всего нескольких секунд точный ответ. В особых случаях возьмем книгу по математике и перепроверим наш ответ, а именно посмотрим только ответ и станет все ясно. Вылетит одинаковый проект по искусственному избыточному параллелепипеду. Есть параллелограмм со своими параллельными сторонами, и он объясняет множество принципов и подходов к изучению пространственного отношения восходящего процесса накопления полого пространства в формулах натурального вида. Неоднозначные линейные уравнения показывают зависимость искомой переменной с нашим общим на данный момент времени решением и надо как-то вывести и привести неправильную дробь к нетривиальному случаю. На прямой отметим десять точек и проведем через каждую точку кривую в заданном направлении, и выпуклостью вверх. Без особых трудностей наш калькулятор уравнений представит в таком виде выражение, что его проверка на валидность правил будет очевидна даже в начале записи. Система особых представлений устойчивости для математиков на первом месте, если иного не предусмотрено формулой. На это мы ответим подробным представление доклада на тему изоморфного состояния пластичной системы тел и решение уравнений онлайн опишет движение каждой материальной точки в этой системе. На уровне углубленного исследования понадобится подробно выяснить вопрос об инверсиях как минимум нижнего слоя пространства. По возрастанию на участке разрыва функции мы применим общий метод великолепного исследователя, кстати, нашего земляка, и расскажем ниже о поведении плоскости. В силу сильных характеристик аналитически заданной функции, мы используем только калькулятор уравнений онлайн по назначению в выведенных пределах полномочий. Рассуждая далее, остановим свой обзор на однородности самого уравнения, то есть правая его часть приравнена к нулю. Лишний раз удостоверимся в правильности принятого нами решения по математике. Во избежание получения тривиального решения, внесем некоторые корректировки в начальные условия по задаче на условную устойчивость системы. Составим квадратное уравнение, для которого выпишем по известной всем формуле две записи и найдем отрицательные корни. Если один корень на пять единиц превосходит второй и третий корни, то внесением правок в главный аргумент мы тем самым искажаем начальные условия подзадачи. По своей сути нечто необычное в математике можно всегда описать с точностью до сотых значений положительного числа. В несколько раз калькулятор дробей превосходит свои аналоги на подобных ресурсах в самый лучший момент нагрузки сервера. По поверхности растущего по оси ординат вектора скорости начертим семь линий, изогнутых в противоположные друг другу направления. Соизмеримость назначенного аргумента функции опережает показания счетчика восстановительного баланса. В математике этот феномен представим через кубическое уравнение с мнимыми коэффициентами, а также в биполярном прогрессе убывания линий. Критические точки перепада температуры во много своем значении и продвижении описывают процесс разложения сложной дробной функции на множители. Если вам скажут решите уравнение, не спешите это делать сию минуту, однозначно сначала оцените весь план действий, а уже потом принимайте правильный подход. Польза будет непременно. Легкость в работе очевидна, и в математике то же самое. Решить уравнение онлайн. Все уравнения онлайн представляют собой определенного вида запись из чисел или параметров и переменной, которую нужно определить. Вычислить эту самую переменную, то есть найти конкретные значения или интервалы множества значений, при которых будет выполняться тождество. Напрямую зависят условия начальные и конечные. В общее решение уравнений как правило входят некоторые переменные и константы, задавая которые, мы получим целые семейства решений для данной постановки задачи. В целом это оправдывает вкладываемые усилия по направлению возрастания функциональности пространственного куба со стороной равной 100 сантиметрам. Применить теорему или лемму можно на любом этапе построения ответа. Сайт постепенно выдает калькулятор уравнений при необходимости на любом интервале суммирования произведений показать наименьшее значение. В половине случаев такой шар как полый, не в большей степени отвечает требованиям постановки промежуточного ответа. По крайней мере на оси ординат в направлении убывания векторного представления эта пропорция несомненно будет являться оптимальнее предыдущего выражения. В час, когда по линейным функциям будет проведен полный точечный анализ, мы, по сути, соберем воедино все наши комплексные числа и биполярные пространства плоскостной. Подставив в полученное выражение переменную, вы решите уравнение поэтапно и с высокой точностью дадите максимально развернутый ответ. Лишний раз проверить свои действия в математике будет хорошим тоном со стороны учащегося студента. Пропорция в соотношении дробей зафиксировала целостность результата по всем важным направлениям деятельности нулевого вектора. Тривиальность подтверждается в конце выполненных действий. С простой поставленной задачей у студентов не может возникнуть сложностей, если решить уравнение онлайн в самые кратчайшие периоды времени, но не забываем о всевозможных правилах. Множество подмножеств пересекается в области сходящихся обозначений. В разных случаях произведение не ошибочно распадается на множители. Решить уравнение онлайн вам помогут в нашем первом разделе, посвященном основам математических приемов для значимых разделов для учащихся в ВУЗах и техникумах студентов. Ответные примеры нас не заставят ожидать несколько дней, так как процесс наилучшего взаимодействия векторного анализа с последовательным нахождением решений был запатентован в начале прошлого века. Выходит так, что усилия по взаимосвязям с окружающим коллективом были не напрасными, другое очевидно назрело в первую очередь. Спустя несколько поколений, ученые всего мира заставили поверить в то, что математика это царица наук. Будь-то левый ответ или правый, все равно исчерпывающие слагаемые необходимо записать в три ряда, поскольку в нашем случае речь пойдет однозначно только про векторный анализ свойств матрицы. Нелинейные и линейные уравнения, наряду с биквадратными уравнениями, заняли особый пост в нашей книге про наилучшие методы расчета траектории движения в пространстве всех материальных точек замкнутой системы. Воплотить идею в жизнь нам поможет линейный анализ скалярного произведения трех последовательных векторов. В конце каждой постановки, задача облегчается благодаря внедрениям оптимизированных числовых исключений в разрез выполняемых наложений числовых пространств. Иное суждение не противопоставит найденный ответ в произвольной форме треугольника в окружности. Угол между двумя векторами заключает в себе необходимый процент запаса и решение уравнений онлайн зачастую выявляет некий общий корень уравнения в противовес начальным условиям. Исключение выполняет роль катализатора во всем неизбежном процессе нахождения положительного решения в области определения функции. Если не сказано, что нельзя пользоваться компьютером, то калькулятор уравнений онлайн в самый раз подойдет для ваших трудных задач. Достаточно лишь вписать в правильном формате свои условные данные и наш сервер выдаст в самые кратчайшие сроки полноценный результирующий ответ. Показательная функция возрастает гораздо быстрее, чем линейная. Об этом свидетельствую талмуды умной библиотечной литературы. Произведет вычисление в общем смысле как это бы сделало данное квадратное уравнение с тремя комплексными коэффициентами. Парабола в верхней части полуплоскости характеризует прямолинейное параллельное движение вдоль осей точки. Здесь стоит упомянуть о разности потенциалов в рабочем пространстве тела. Взамен неоптимальному результату, наш калькулятор дробей по праву занимает первую позицию в математическом рейтинге обзора функциональных программ на серверной части. Легкость использования данного сервиса оценят миллионы пользователей сети интернет. Если не знаете, как им воспользоваться, то мы с радостью вам поможем. Еще хотим особо отметить и выделить кубическое уравнение из целого ряда первостепенных школьнических задач, когда необходимо быстро найти его корни и построить график функции на плоскости. Высшие степени воспроизведения — это одна из сложных математических задач в институте и на ее изучение выделяется достаточное количество часов. Как и все линейные уравнения, наши не исключение по многих объективным правилам, взгляните под разными точками зрений, и окажется просто и достаточно выставить начальные условия. Промежуток возрастания совпадает с интервалом выпуклости функции. Решение уравнений онлайн. В основе изучения теории состоят уравнения онлайн из многочисленных разделов по изучению основной дисциплины. По случаю такого подхода в неопределенных задачах, очень просто представить решение уравнений в заданном заранее виде и не только сделать выводы, но и предсказать исход такого положительного решения. Выучить предметную область поможет нам сервис в самых лучших традициях математики, именно так как это принято на Востоке. В лучшие моменты временного интервала похожие задачи множились на общий множитель в десять раз. Изобилием умножений кратных переменных в калькулятор уравнений завелось приумножать качеством, а не количественными переменными таких значений как масса или вес тела. Во избежание случаев дисбаланса материальной системы, нам вполне очевиден вывод трехмерного преобразователя на тривиальном схождении невырожденных математических матриц. Выполните задание и решите уравнение в заданных координатах, поскольку вывод заранее неизвестен, как и неизвестны все переменные, входящие в пост пространственное время. На короткий срок выдвинете общий множитель за рамки круглых скобок и поделите на наибольший общий делитель обе части заранее. Из-под получившегося накрытого подмножества чисел извлечь подробным способом подряд тридцать три точки за короткий период. Постольку поскольку в наилучшем виде решить уравнение онлайн возможно каждому студенту, забегая вперед, скажем одну важную, но ключевую вещь, без которой в дальнейшем будем непросто жить. В прошлом веке великий ученый подметил ряд закономерностей в теории математики. На практике получилось не совсем ожидаемое впечатление от событий. Однако в принципе дел это самое решение уравнений онлайн способствует улучшению понимания и восприятия целостного подхода к изучению и практическому закреплению пройдённого теоретического материала у студентов. На много проще это сделать в свое учебное время.

=

Сервис для решения уравнений онлайн поможет вам решить любое уравнение. Используя наш сайт, вы получите не просто ответ уравнения, но и увидите подробное решение, то есть пошаговое отображение процесса получения результата. Наш сервис будет полезен старшеклассникам общеобразовательных школ и их родителям. Ученики смогут подготовиться к контрольным, экзаменам, проверить свои знания, а родители – проконтролировать решение математических уравнений своими детьми. Умение решать уравнения – обязательное требование к школьникам. Сервис поможет вам самообучаться и повышать уровень знаний в области математических уравнений. С его помощью вы сможете решить любое уравнение: квадратное, кубическое, иррациональное, тригонометрическое и др. Польза онлайн сервиса бесценна, ведь кроме верного ответа вы получаете подробное решение каждого уравнения. Преимущества решения уравнений онлайн. Решить любое уравнение онлайн на нашем сайте вы можете абсолютно бесплатно. Сервис полностью автоматический, вам ничего не придется устанавливать на свой компьютер, достаточно будет только ввести данные и программа выдаст решение. Любые ошибки в расчетах или опечатки исключены. С нами решить любое уравнение онлайн очень просто, поэтому обязательно используйте наш сайт для решения любых видов уравнений. Вам необходимо только ввести данные и расчет будет выполнен за считанные секунды. Программа работает самостоятельно, без человеческого участия, а вы получаете точный и подробный ответ. Решение уравнения в общем виде. В таком уравнении переменные коэффициенты и искомые корни связаны между собой. Старшая степень переменной определяет порядок такого уравнения. 2-4ac. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение не имеет действительных корней (корни находятся из поля комплексных чисел), если равен нулю, то у уравнения один действительный корень, и если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два действительных корня, которые находятся по формуле: D= -b+-sqrt/2а. Для решения квадратного уравнения онлайн вам достаточно ввести коэффициенты такого уравнения (целые числа, дроби или десятичные значения). При наличии знаков вычитания в уравнении необходимо поставить минус перед соответствующими членами уравнения. Решить квадратное уравнение онлайн можно и в зависимости от параметра, то есть переменных в коэффициентах уравнения. С этой задачей отлично справляется наш онлайн сервис по нахождению общих решений. Линейные уравнения. Для решения линейных уравнений (или системы уравнений) на практике используются четыре основных метода. Опишем каждый метод подробно. Метод подстановки. Решение уравнений методом подстановки требует выразить одну переменную через остальные. После этого выражение подставляется в другие уравнения системы. Отсюда и название метода решения, то есть вместо переменной подставляется ее выражение через остальные переменные. На практике метод требует сложных вычислений, хотя и простой в понимании, поэтому решение такого уравнения онлайн поможет сэкономить время и облегчить вычисления. Вам достаточно указать количество неизвестных в уравнении и заполнить данные от линейных уравнений, далее сервис сделает расчет. Метод Гаусса. В основе метода простейшие преобразования системы с целью прийти к равносильной системе треугольного вида. Из нее поочередно определяются неизвестные. На практике требуется решить такое уравнение онлайн с подробным описанием, благодаря чему вы хорошо усвоите метод Гаусса для решения систем линейных уравнений. Запишите в правильном формате систему линейных уравнений и учтите количество неизвестных, чтобы безошибочно выполнить решение системы. Метод Крамера. Этим методом решаются системы уравнений в случаях, когда у системы единственное решение. Главное математическое действие здесь – это вычисление матричных определителей. Решение уравнений методом Крамера проводится в режиме онлайн, результат вы получаете мгновенно с полным и подробным описанием. Достаточно лишь заполнить систему коэффициентами и выбрать количество неизвестных переменных. Матричный метод. Этот метод заключается в собрании коэффициентов при неизвестных в матрицу А, неизвестных – в столбец Х, а свободных членов в столбец В. Таким образом система линейных уравнений сводится к матричному уравнению вида АхХ=В. У этого уравнения единственное решение только если определитель матрицы А отличен от нуля, иначе у системы нет решений, либо бесконечное количество решений. Решение уравнений матричным методом заключается в нахождении обратной матрицы А.

Уравнение с решением: Решение уравнений бесплатно — Калькулятор Онлайн — ЭкоДом: Дом своими руками

Число «Пи», которое примерно равно ~3. n} \)

6) an > 0

7) an > 1, если a > 1, n > 0

8) anm, если a > 1, n

9) an > am, если 0

В практике часто используются функции вида y = ax, где a — заданное положительное число, x — переменная.
Такие функции называют показательными. Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является
показатель степени, а основанием степени — заданное число.

Определение. Показательной функцией называется функция вида y = ax, где а — заданное число, a > 0, \( a \neq 1\)

Показательная функция обладает следующими свойствами

1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.

Это свойство следует из того, что степень ax где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.

Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение ax = b, где а > 0, \( a \neq 1\), не имеет корней,
если \( b \leqslant 0\), и имеет корень при любом b > 0.

3) Показательная функция у = ax является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и
убывающей, если 0
Это следует из свойств степени (8) и (9)

Построим графики показательных функций у = ax при a > 0 и при 0 Использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = ax при a > 0 проходит через точку (0; 1) и
расположен выше оси Oх.

Если х x при a > 0.

Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

График функции у = ax при 0
Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является
горизонтальной асимптотой графика.

Если х

Показательные уравнения

Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т. е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения ax = ab где а > 0, \( a \neq 1\),
х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \( a \neq 1\) равны
тогда и только тогда, когда равны их показатели.

Решить уравнение 23x • 3x = 576

Так как 23x = (23)x = 8x, 576 = 242, то уравнение можно записать в виде
8x • 3x = 242, или в виде 24x = 242, откуда х = 2. x = 1 \), х = 0

Ответ х = 0

Решить уравнение 9х — 4 • 3х — 45 = 0

Заменой 3х = t данное уравнение сводится к квадратному уравнению t2 — 4t — 45 = 0. {x-2} = 1 \)

x — 2 = 0

Ответ х = 2

Решить уравнение 3|х — 1| = 3|х + 3|

Так как 3 > 0, \( 3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|

Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1)2 = (х + 3)2, откуда

х2 — 2х + 1 = х2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1

Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.

Ответ х = -1

Как решать линейные уравнения — формулы и примеры решения простейших уравнений

Понятие уравнения

Понятие уравнения обычно проходят в самом начале школьного курса алгебры. Его определяют, как равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

В школьной программе за 7 класс впервые появляется понятие переменных. Их принято обозначать латинскими буквами, которые принимают разные значения. Исходя из этого можно дать более полное определение уравнению.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Линейное уравнение выглядит так ах + b = 0, где a и b — действительные числа.

Что поможет в решении:

  • если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а;
  • если а равно нулю — у уравнения нет корней;
  • если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так: ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых нужно найти значения неизвестных. Она имеет вид ax + by + c = 0 и называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому выражению и является верным числовым равенством.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

  • кубические
  • уравнение четвёртой степени
  • иррациональные и рациональные
  • системы линейных алгебраических уравнений

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Как решаем:

  1. Перенесем 6x из левой части в правую. Знак меняем на противоположный, то есть минус.

    6x −5x = 10

  2. Приведем подобные и завершим решение.

    x = 10

Ответ: x = 10.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Как решаем:

  1. Сократим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

    −4x = 12 | :(−4)
    x = −3

Ответ: x = −3.

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Алгоритм решения простого линейного уравнения
  1. Раскрываем скобки, если они есть.
  2. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
  3. Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
  4. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте схему-подсказку — храните ее в телефоне, учебники или на рабочем столе.

А вот и видео «Простейшие линейные уравнения» для тех, кто учиться в 5, 6 и 7 классе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Решаем так:

  1. Перенести 1 из левой части в правую со знаком минус.

    6х = 19 — 1

  2. Выполнить вычитание.

    6х = 18

  3. Разделить обе части на общий множитель, то есть 6.

    х = 2

Ответ: х = 2.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х — 3) + 2 = 3 (х — 4) + 2х — 1.

Решаем так:

  1. Раскрыть скобки

    5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

  2. Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены.

    5х — 3х — 2х = — 12 — 1 + 15 — 2

  3. Приведем подобные члены.

    0х = 0

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Решаем так:

  1. Найти неизвестную переменную.

    х = 1/8 : 4

    х = 1/12

Ответ: 1/12 или 0,83. О десятичных дробях можно почитать здесь.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 — 7х.

Решаем так:

  1. 4х + 8 = 6 — 7х
  2. 4х + 7х = 6 — 8
  3. 11х = −2
  4. х = −2 : 11
  5. х = — 0, 18

Ответ: — 0,18.

Пример 5. Решить:

Решаем так:

  1. 3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
  2. 9х — 12 = 28х + 24
  3. 9х — 28х = 24 + 12
  4. -19х = 36
  5. х = 36 : (-19)
  6. х = — 36/19

Ответ: 1 17/19.

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

Решаем так:

  1. Раскрыть скобки

    5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

  2. Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

    х — х = 4 — 7

  3. Приведем подобные члены.

    0 * х = — 3

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 — 7х..

Решаем так:

  1. 2х + 6 = 5 — 7х
  2. 2х + 6х = 5 — 7
  3. 8х = −2
  4. х = −2 : 8
  5. х = — 0,25

Ответ: — 0,25.



Урок 26. уравнение. решение уравнений подбором неизвестного числа — Математика — 2 класс

Математика, 2 класс

Урок №26. Уравнение. Решение уравнений подбором неизвестного числа

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— Что такое уравнение, корень уравнения?

— Как решить уравнение?

Глоссарий по теме:

Уравнение – равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти.

Корень уравнения – это значение буквы, при котором из уравнения получается верное равенство.

Решить уравнение, значит найти его корни.

Основная и дополнительная литература по теме урока

1. Моро М. И., Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. и др. Математика. 2 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1.– 8-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – С. 80-81.

2. Моро М. И., Бантова М. А. Математика. Рабочая тетрадь. 2 класс. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1. – 6-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2016. – С. 60.

3. Моро М. И., Волкова С. И. Для тех, кто любит математику. Пособие для учащихся общеобразовательных организаций. 9-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – С. 60.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вы умеете читать буквенные выражения. Например:

Вы уже знаете, что равенства бывают верные и неверные.

Рассмотрим верное равенство с окошком: + 4 = 12

Запишем вместо окошка маленькую латинскую букву , как в буквенное выражение. Какое число надо поместить вместо буквы х, чтобы равенство стало верным?

Это число 8. Получили верное равенство: сумма чисел 8 и 4 равна 12.

х + 4 = 12

х = 8

8 + 4 = 12

Равенство с буквой , которое мы записали – это уравнение.

Неизвестное число обозначается маленькими латинскими буквами, как и в буквенном выражении.

Решить уравнение – значит найти все такие значения х (если они есть), при которых равенство будет верным. Значение буквы, при котором из уравнения получается верное равенство, называется корень уравнения.

Решим уравнение 10 – d = 6 способом подбора.

Возьмём число 5. Сейчас проверим, верно ли подобрали число. Заменим d в уравнении числом 5. Получим равенство: 10 – 5 = 6. Оно неверно. Значит, число подобрали неверно.

Попробуем взять другое число. Например, 4. При подстановке его вместо d получили верное равенство: 10 – 4 = 6. Значит, число четыре – корень уравнения, его решение.

Сейчас мы с вами рассмотрим, как по схеме составить уравнение. Перед нами такая схема. Изучим, что обозначает каждое число в схеме. Число 27 обозначает «целое». Оно состоит из двух частей. Первая «часть» – это число 20, вторая «часть» – это число х.

20 х

27

Воспользуемся правилом,

ЧАСТЬ + ЧАСТЬ = ЦЕЛОЕ

Запишем равенства:

20 + x = 27

27 – x = 20

Рассмотрим другой пример. Перед вами другая схема. Изучим, где на схеме целое, а где части: х — это «целое», а 30 и 6 – это части.

30 6

х

Воспользуемся правилом,

Вывод: Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Когда решение уравнения находится легко, пользуются способом подбора. Нужно подобрать такое число, чтобы получилось верное равенство.

Тренировочные задания.

  1. Соедините уравнение с его решением.

Правильные ответы:

2. Выберите и подчеркните среди математических записей уравнения.

15 + 6 = 21

17 – d

b + 3 = 12

3 + 5 > 6

48 – a = 8

9 + e < 39

k – 4 = 10

Правильные ответы:

15 + 6 = 21

17 – d

b + 3 = 12

3 + 5 > 6

48 – a = 8

9 + e < 39

k – 4 = 10

Урок 27. решение уравнений вида: х ∙ 8 = 26 + 70, х : 6 = 18 ∙ 5, 80 : х = 46 – 30 — Математика — 4 класс

Математика, 4 класс

Урок № 27. Решение уравнений вида: х · 8 = 26 + 70, х : 6 = 18 · 5,80 : х = 46 – 30

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— как решать уравнения вида: x∙ 8 = 26 + 70, x : 6 = 18 ∙ 5, 80 : x = 46 – 30

— какой алгоритм решения данных уравнений?

Глоссарий по теме:

Уравнение – это равенство с неизвестным числом. Неизвестное число обозначают латинской буквой.

Алгоритм — последовательность действия (шагов)

Решить уравнение – это значит найти такое значение неизвестного числа, при котором равенство будет верным.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М.И., Бантова М.А. и др. Математика 4 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. Ч.1 — М.; Просвещение, 2017. – с.80

2. Моро М.И., Волкова С.И. Математика. Рабочая тетрадь 4 класс. Часть 1. М.; Просвещение, 2016. – с.34,35

3. Волкова С.И. Математика. Проверочные работы 4 класс. М.; Просвещение, 2017. – с.44-45.

4. Волкова С.И. Математика. Тесты 4 класс. М.; Просвещение, 2017. – с.40-41.

5. Кочергина А.В. Учим математику с увлечением (Методическая библиотека). М.: 5 за знания, 2007. – с.159.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Вспомните, как связаны между собой числа при умножении.

Посмотрите, множитель 20, множитель 3, произведение 60.

Если 60 разделить на 20, получится 3.

Если 60 разделить на 3, получится 20.

Значит, если произведение разделить на один из множителей, то получится другой множитель. Это правило потребуется при решении уравнений, в которых неизвестен один из множителей.

20 ∙ 3 = 60

60 : 20 = 3

60 : 3 = 20

Решим уравнение:

произведение неизвестного числа и числа 7 равно числу 91. В нем неизвестен первый множитель. Как его найти? Для нахождения неизвестного первого множителя надо произведение 91 разделить на известный множитель 7. Делим 91 на 7 — получаем 13. Выполним проверку. Подставим в уравнение вместо икс число 13.

13 умножить на 7 получим 91. Получили верное равенство:

91 равно девяносто одному. Значит, решили правильно.

А теперь догадайтесь, как решить уравнение: произведение неизвестного числа и числа 7 равно сумме чисел восьмидесяти и одиннадцати. Найдем значение выражения в правой части уравнения: 80 плюс 11 равно 91. Тем самым мы получили уравнение, которое уже умеем решать. Посмотрите, как записывается решение этого уравнения и его проверка.

Вспомним, как связаны между собой числа при делении.

Посмотрите: делимое 15, делитель 3, частное равно пяти.

Если делитель 3 умножить на частное 5, получим делимое 15.

Если делимое 15 разделить на частное 5, получим делитель 3.

15 : 3 = 5

3 ∙ 5 = 15

15 : 5 = 3

Знание связей между делимым, делителем и частным потребуется для решения уравнений, в которых неизвестен один из компонентов: делимое или делитель. Посмотрите, как решаются такие уравнения. В первом уравнении неизвестно делимое. Чтобы его найти, нужно делитель 3 умножить на частное 9.

Во втором уравнении неизвестен делитель. Чтобы его найти, нужно делимое 45 разделить на частное 3.

А как решить такое уравнение? Вычислим произведение в правой части: 18 умножить на 5 получим 90. Получается уравнение, в котором неизвестно делимое. Вы уже знаете, как его решать. Выполним проверку решения уравнения. Подставим число 540 вместо икс, вычислим левую часть и правую часть выражения: 90 равно 90. Значит уравнение решили верно.

Задания тренировочного модуля:

1.К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго.

91 : х = 13

x = 20

х : 21=4

x = 7

24 ∙x = 96

x = 84

x∙ 3 = 60

x = 4

Правильный ответ:

91 : х = 13

x = 7

х : 21= 4

x = 84

24 ∙x = 96

x = 4

x∙3 = 60

x = 20

2. Выполните вычисления и выделите верный ответ:

7 ∙x = 140 : 2

Варианты ответов: 10, 400, 2

Правильный вариант:

10

3. {x}}\) (это наименьшая из степеней, входящая в наше уравнение). {2}}-17t+6=0\)

имеет три корня:

\( {{t}_{1}}=3,~{{t}_{2}}=\frac{1}{3},~{{t}_{3}}=-2\).

Последний корень мы, конечно, отбросим, поскольку он меньше нуля. А первые два после обратной замены дадут нам два корня:

\( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\).

Ответ: \( {{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=-1\).

Этим примером я отнюдь не хотел напугать тебя!

Скорее наоборот, я ставил своей целью показать, что хоть у нас была довольно простая замена, тем не менее она привела к довольно сложному уравнению, решение которого потребовало от нас некоторых особых навыков.

Ну что же, от этого никто не застрахован. Зато замена в данном случае была довольно очевидной.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Тригонометрия

      Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:

sin x = a ,     cos x = a ,     
tg x = a ,     ctgx = a .

где a – произвольное число.

Решение уравнения   sin 

x = a

Обычная форма
записи решения
Более удобная форма
записи решения
Ограничения
на число a
В случае, когда ,
уравнение решений не имеет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

В случае, когда , уравнение решений не имеет.

      Графическое обоснование решения уравнения   sin x = a представлено на рисунке 1

Рис. 1

Частные случаи решения уравнений   sin x = a

Уравнение:

sin x = – 1

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

Решение:

>

Уравнение:

sin x = 0

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

sin x = 1

Решение:

Решение уравнения   cos 

x = a

Обычная форма
записи решения
Более удобная форма
записи решения
Ограничения
на число a
В случае, когда ,
уравнение решений не имеет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a

В случае, когда , уравнение решений не имеет.

      Графическое обоснование решения уравнения   cos x = a   представлено на рисунке 2

Рис. 2

Частные случаи решения уравнений   cos x = a

Уравнение:

cos x = – 1

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

cos x = 0

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

cos x = 1

Решение:

Решение уравнения   tg 

x = a

Обычная форма
записи решения:
Более удобная форма
записи решения
Ограничения
на число a
Ограничений нет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

Ограничений нет.

      Графическое обоснование решения уравнения   tg x = a представлено на рисунке 3.

Рис. 3

Частные случаи решения уравнений   tg x = a

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

tg x = – 1

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

tg x = 0

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

tg x = 1

Решение:

Уравнение:

Решение:

Решение уравнения   ctg 

x = a

Обычная форма
записи решения
Более удобная форма
записи решения
Ограничения
на число a
Ограничений нет

Обычная форма записи решения:

Более удобная форма записи решения:

Ограничения на число a:

Ограничений нет.

    Графическое обоснование решения уравнения   ctg x = a представлено на рисунке 4.

Рис. 4

Частные случаи решения уравнений   ctg x = a

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

ctg x = – 1

Решение:

Уравнение:

Решение:

Уравнение:

ctg x = 0

Решение:

Решение:

Уравнение:

ctg x = 1

Решение:

Уравнение:

Решение:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Решение уравнений

Решение уравнений с одной переменной


An

уравнение

представляет собой математическое выражение, состоящее из знака равенства между двумя числовыми выражениями или выражениями переменных, как в

3

Икс

+

5

знак равно

11

.

А

решение

к уравнению это число
который может быть подключен к

Переменная

сделать истинное числовое утверждение.


Пример 1:

Подстановка

2

для

Икс

в

3

Икс

+

5

знак равно

11

дает

3

(

2

)

+

5

знак равно

11

, в котором говорится

6

+

5

знак равно

11

; это правда!

Так

2

это решение.

По факту,

2

ЕДИНСТВЕННОЕ решение

3

Икс

+

5

знак равно

11

.

Некоторые уравнения могут иметь более одного решения, бесконечно много решений или вообще не иметь решений.


Пример 2:

Уравнение

Икс

2

знак равно

Икс

имеет два решения,

0

а также

1

, поскольку

0

2

знак равно

0

а также

1

2

знак равно

1

. Никакой другой номер не работает.


Пример 3:

Уравнение

Икс

+

1

знак равно

1

+

Икс

верно для

все реальные числа

. Оно имеет

бесконечно много

решения.


Пример 4:

Уравнение

Икс

+

1

знак равно

Икс

является

никогда

верно для

любой

настоящий номер. Оно имеет

нет решений

.

В

набор

содержащее все решения уравнения, называется

набор решений

для этого уравнения.


Уравнение


Набор решений

3

Икс

+

5

знак равно

11

{

2

}

Икс

2

знак равно

Икс

{

0

,

1

}

Икс

+

1

знак равно

1

+

Икс

р

(набор всех действительных чисел)

Икс

+

1

знак равно

Икс


(пустой набор)

Иногда вас могут попросить решить уравнение над определенным

домен

. Здесь возможности для значений

Икс

ограничены.


Пример 5:

Решите уравнение

Икс

2

знак равно

Икс

по домену

{

0

,

1

,

2

,

3

}

.

Это немного сложное уравнение; это не

линейный

и это не

квадратичный

, поэтому у нас нет хорошего метода ее решения.Однако, поскольку домен содержит только четыре числа, мы можем просто использовать метод проб и ошибок.

0

2

знак равно

0

знак равно

0

1

2

знак равно

1

знак равно

1

2

2

2

3

2

3

Итак

набор решений

в данном домене

{

0

,

1

}

.

Решение уравнений с двумя переменными


Решения для уравнения с одной переменной:

числа

. С другой стороны, решения уравнения с двумя переменными имеют вид

заказанные пары

в виде

(

а

,

б

)

.


Пример 6:

Уравнение

Икс

знак равно

у

+

1

верно, когда

Икс

знак равно

3

а также

у

знак равно

2

.Итак, заказанная пара

(

3

,

2

)

является решением уравнения.

Есть бесконечно много других решений этого уравнения, например:

(

4

,

3

)

,

(

11

,

10

)

,

(

5. 5

,

4.5

)

,

и т.п.

Упорядоченные пары, которые являются решениями уравнения с двумя переменными, можно изобразить на

декартова плоскость

. Результатом может быть линия или интересная кривая, в зависимости от уравнения. Смотрите также

построение графиков линейных уравнений

а также

построение графиков квадратных уравнений

.

Решайте неравенства с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

В этой главе мы разработаем определенные методы, которые помогут решить проблемы, сформулированные на словах.Эти методы включают переписывание задач в виде символов. Например, заявленная проблема

«Найдите число, которое при добавлении к 3 дает 7»

можно записать как:

3+? = 7, 3 + n = 7, 3 + x = 1

и так далее, где символы?, N и x представляют число, которое мы хотим найти. Мы называем такие сокращенные версии поставленных задач уравнениями или символическими предложениями. Такие уравнения, как x + 3 = 7, являются уравнениями первой степени, поскольку переменная имеет показатель степени 1.Члены слева от знака равенства составляют левую часть уравнения; те, что справа, составляют правую часть. Таким образом, в уравнении x + 3 = 7 левый член равен x + 3, а правый член равен 7.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

Уравнения могут быть истинными или ложными, так же как словесные предложения могут быть истинными или ложными. Уравнение:

3 + х = 7

будет ложным, если вместо переменной подставлено любое число, кроме 4. Значение переменной, для которой верно уравнение (4 в этом примере), называется решением уравнения.Мы можем определить, является ли данное число решением данного уравнения, подставив число вместо переменной и определив истинность или ложность результата.

Пример 1 Определите, является ли значение 3 решением уравнения

4x — 2 = 3x + 1

Решение Мы подставляем значение 3 вместо x в уравнение и смотрим, равен ли левый член правому.

4 (3) — 2 = 3 (3) + 1

12 — 2 = 9 + 1

10 = 10

Отв.3 — это решение.

Уравнения первой степени, которые мы рассматриваем в этой главе, имеют не более одного решения. Решения многих таких уравнений можно определить путем осмотра.

Пример 2 Найдите решение каждого уравнения путем осмотра.

а. х + 5 = 12
б. 4 · х = -20

Решения а. 7 — решение, так как 7 + 5 = 12.
b. -5 — это решение, поскольку 4 (-5) = -20.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СВОЙСТВ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИСЛЕНИЯ

В разделе 3.1 мы решили путем проверки несколько простых уравнений первой степени. Однако решения большинства уравнений не сразу видны при осмотре. Следовательно, нам нужны некоторые математические «инструменты» для решения уравнений.

ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Эквивалентные уравнения — это уравнения, которые имеют идентичные решения. Таким образом,

3x + 3 = x + 13, 3x = x + 10, 2x = 10 и x = 5

являются эквивалентными уравнениями, потому что 5 — единственное решение каждого из них. Обратите внимание, что в уравнении 3x + 3 = x + 13 решение 5 не очевидно при осмотре, но в уравнении x = 5 решение 5 очевидно при осмотре.Решая любое уравнение, мы преобразуем данное уравнение, решение которого может быть неочевидным, в эквивалентное уравнение, решение которого легко заметить.

Следующее свойство, иногда называемое свойством сложения-вычитания , является одним из способов создания эквивалентных уравнений.

Если к обоим элементам прибавляется или вычитается одинаковое количество
уравнения, полученное уравнение эквивалентно исходному
уравнение.

в символах,

a — b, a + c = b + c и a — c = b — c

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

х + 3 = 7

путем вычитания 3 из каждого члена.

Решение Если вычесть 3 из каждого члена, получится

х + 3 — 3 = 7 — 3

или

х = 4

Обратите внимание, что x + 3 = 7 и x = 4 являются эквивалентными уравнениями, поскольку решение одинаково для обоих, а именно 4. В следующем примере показано, как мы можем сгенерировать эквивалентные уравнения, сначала упростив один или оба члена уравнения.

Пример 2 Напишите уравнение, эквивалентное

4x- 2-3x = 4 + 6

, объединив одинаковые термины, а затем добавив по 2 к каждому члену.

Объединение одинаковых терминов дает

х — 2 = 10

Добавление 2 к каждому члену дает

х-2 + 2 = 10 + 2

х = 12

Чтобы решить уравнение, мы используем свойство сложения-вычитания, чтобы преобразовать данное уравнение в эквивалентное уравнение вида x = a, из которого мы можем найти решение путем проверки.

Пример 3 Решить 2x + 1 = x — 2.

Мы хотим получить эквивалентное уравнение, в котором все члены, содержащие x, находятся в одном члене, а все члены, не содержащие x, — в другом. Если мы сначала прибавим -1 к каждому члену (или вычтем 1 из него), мы получим

.

2x + 1-1 = x — 2-1

2х = х — 3

Если мы теперь прибавим -x к каждому члену (или вычтем x из него), мы получим

2х-х = х — 3 — х

х = -3

, где решение -3 очевидно.

Решением исходного уравнения является число -3; однако ответ часто отображается в виде уравнения x = -3.

Поскольку каждое уравнение, полученное в процессе, эквивалентно исходному уравнению, -3 также является решением 2x + 1 = x — 2. В приведенном выше примере мы можем проверить решение, подставив — 3 вместо x в исходном уравнении.

2 (-3) + 1 = (-3) — 2

-5 = -5

Симметричное свойство равенства также помогает при решении уравнений. В этом объекте указано

Если a = b, то b = a

Это позволяет нам менять местами члены уравнения в любое время, не беспокоясь о каких-либо изменениях знака.Таким образом,

Если 4 = x + 2, то x + 2 = 4

Если x + 3 = 2x — 5, то 2x — 5 = x + 3

Если d = rt, то rt = d

Может быть несколько разных способов применить свойство сложения, указанное выше. Иногда один метод лучше другого, а в некоторых случаях также полезно симметричное свойство равенства.

Пример 4 Решите 2x = 3x — 9. (1)

Решение Если мы сначала добавим -3x к каждому члену, мы получим

2x — 3x = 3x — 9 — 3x

-x = -9

, где переменная имеет отрицательный коэффициент.Хотя при осмотре мы можем видеть, что решение равно 9, поскольку — (9) = -9, мы можем избежать отрицательного коэффициента, добавив -2x и +9 к каждому члену уравнения (1). В этом случае получаем

2x-2x + 9 = 3x- 9-2x + 9

9 = х

, из которого решение 9 очевидно. При желании последнее уравнение можно записать как x = 9 по симметричному свойству равенства.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДЕЛЕНИЯ

Рассмотрим уравнение

3x = 12

Решение этого уравнения — 4.Также обратите внимание, что если мы разделим каждый член уравнения на 3, мы получим уравнения

, решение которого также равно 4. В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством деления.

Если оба члена уравнения делятся на одно и то же (ненулевое)
количество, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

в символах,

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

-4x = 12

, разделив каждый член на -4.

Решение Разделив оба элемента на -4, получим

При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, в которых переменная имеет коэффициент 1.

Пример 2 Решите 3y + 2y = 20.

Сначала мы объединяем одинаковые термины, чтобы получить

5лет = 20

Тогда, разделив каждый член на 5, получим

В следующем примере мы используем свойство сложения-вычитания и свойство деления для решения уравнения.

Пример 3 Решить 4x + 7 = x — 2.

Решение

Сначала мы добавляем -x и -7 к каждому члену, чтобы получить

4x + 7 — x — 7 = x — 2 — x — 1

Далее, объединяя одинаковые термины, получаем

3x = -9

Наконец, мы разделим каждый член на 3, чтобы получить

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УМНОЖЕНИЯ

Рассмотрим уравнение

Решение этого уравнения — 12. Также обратите внимание, что если мы умножим каждый член уравнения на 4, мы получим уравнения

, решение которого также равно 12.В общем, мы имеем следующее свойство, которое иногда называют свойством умножения.

Если оба члена уравнения умножаются на одну и ту же ненулевую величину, полученное уравнение эквивалентно исходному уравнению.

в символах,

a = b и a · c = b · c (c ≠ 0)

— эквивалентные уравнения.

Пример 1 Напишите уравнение, эквивалентное

.

путем умножения каждого члена на 6.

Решение Умножение каждого члена на 6 дает

При решении уравнений мы используем указанное выше свойство для создания эквивалентных уравнений, не содержащих дробей.

Пример 2 Решить

Решение Во-первых, умножьте каждый член на 5, чтобы получить

Теперь разделите каждый член на 3,

Пример 3 Решить.

Решение Во-первых, упростите над дробной чертой, чтобы получить

Затем умножьте каждый член на 3, чтобы получить

Наконец, разделив каждого члена на 5, получим

ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Теперь мы знаем все методы, необходимые для решения большинства уравнений первой степени. Не существует определенного порядка, в котором следует применять свойства. Может оказаться подходящим любой один или несколько из следующих шагов, перечисленных на странице 102.

Шаги для решения уравнений первой степени:

  1. Объедините одинаковые члены в каждом члене уравнения.
  2. Используя свойство сложения или вычитания, запишите уравнение со всеми членами, содержащими неизвестное в одном члене, и всеми членами, не содержащими неизвестное в другом.
  3. Объедините одинаковые термины в каждом элементе.
  4. Используйте свойство умножения для удаления дробей.
  5. Используйте свойство деления, чтобы получить коэффициент 1 для переменной.

Пример 1 Решите 5x — 7 = 2x — 4x + 14.

Решение Во-первых, мы объединяем одинаковые термины, 2x — 4x, чтобы получить

5x — 7 = -2x + 14

Затем мы добавляем + 2x и +7 к каждому члену и объединяем одинаковые термины, чтобы получить

5x — 7 + 2x + 7 = -2x + 14 + 2x + 1

7x = 21

Наконец, мы разделим каждый член на 7, чтобы получить

В следующем примере мы упрощаем над полосой дроби перед применением свойств, которые мы изучали.

Пример 2 Решить

Решение Сначала мы объединяем одинаковые термины, 4x — 2x, чтобы получить

Затем мы добавляем -3 к каждому члену и упрощаем

Затем мы умножаем каждый член на 3, чтобы получить

Наконец, мы разделим каждый член на 2, чтобы получить

РЕШЕНИЕ ФОРМУЛ

Уравнения, в которых используются переменные для измерения двух или более физических величин, называются формулами. Мы можем найти любую из переменных в формуле, если известны значения других переменных.Мы подставляем известные значения в формулу и решаем неизвестную переменную методами, которые мы использовали в предыдущих разделах.

Пример 1 В формуле d = rt найти t, если d = 24 и r = 3.

Решение Мы можем найти t, заменив 24 на d и 3 на r. То есть

d = rt

(24) = (3) т

8 = т

Часто бывает необходимо решить формулы или уравнения, в которых есть более одной переменной для одной из переменных в терминах других. Мы используем те же методы, которые продемонстрированы в предыдущих разделах.

Пример 2 В формуле d = rt найдите t через r и d.

Решение Мы можем решить для t в терминах r и d, разделив оба члена на r, чтобы получить

из которых по закону симметрии

В приведенном выше примере мы решили для t, применив свойство деления для создания эквивалентного уравнения. Иногда необходимо применить более одного такого свойства.

Пример 3 В уравнении ax + b = c найдите x через a, b и c.

Решение Мы можем решить для x, сначала добавив -b к каждому члену, чтобы получить

, затем разделив каждый член на a, мы получим

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ

В этом разделе показан процесс решения уравнений различных форм.Здесь также показано, как проверить свой ответ тремя разными способами:
алгебраически, графически и с использованием концепции эквивалентности.
В следующей таблице приведены частичные списки типичных уравнений.

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ — Решите относительно x в следующих уравнениях.

  1. x — 4 = 10
    Решение
  2. 2 x — 4 = 10
    Решение
  3. 5x — 6 = 3 x — 8
    Решение
  4. Решение

  5. Решение
  6. 2 (3 x -7) + 4 (3 x + 2) = 6 (5 x + 9) + 3
    Решение
  7. Решение

УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ РАДИКАЛ (S) — Решите для x следующим образом
уравнения.

  1. Решение

  2. Решение

  3. Решение

  4. Решение

  5. Решение

  6. Решение

  7. Решение

УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ АБСОЛЮТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ — Решите для x в
следующие уравнения.

  1. Решение

  2. Решение

  3. Решение

  4. Решение

  5. Решение

КВАДРАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — Решите относительно x следующим образом
уравнения.

  1. x
    Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение

УРАВНЕНИЯ , ВКЛЮЧАЮЩИЕ ДОБИ — Решите для x следующим образом
уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x в следующих
уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение
  6. Решение
  7. Решение

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x в следующем
уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение

  6. Решение

  7. Решение

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ — Решите для x следующим образом
уравнения.

  1. Решение
  2. Решение
  3. Решение
  4. Решение
  5. Решение
  6. Решение
  7. Решение
  8. Решение
  9. Решение
  10. Решение
  11. Решение
  12. Решение

[Алгебра]
[Тригонометрия]

[Геометрия]
[Дифференциальные уравнения]

[Исчисление]
[Комплексные переменные]
[Матричная алгебра]

С. Домашняя страница O.S MATHematics

Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем

S.O.S. Математика CyberBoard.

Автор: Нэнси Маркус

Авторские права 1999-2021 MathMedics, LLC. Все права защищены.

Свяжитесь с нами

Math Medics, LLC. — П.О. Box 12395 — El Paso TX 79913 — США

пользователей онлайн за последний час

Решение уравнения | Энциклопедия.com

Методы решения простых уравнений

Решение более сложных уравнений

Решение уравнений с несколькими переменными

Решение уравнений второй степени и выше

Ресурсы

Решение уравнения — это набор всех значений, которые при замене неизвестных сделать уравнение истинным. Для уравнений с одним неизвестным, возведенным в единственную степень, для определения его решений используются два фундаментальных правила алгебры, включая свойство аддитивности и свойство мультипликативности. Решения для уравнений с несколькими неизвестными переменными находятся с использованием принципов системы уравнений. Уравнения с членами в степени, большей единицы, могут быть решены путем факторизации, а в некоторых конкретных случаях — квадратного уравнения.

Идея решения уравнений существовала еще со времен древних египтян и вавилонян. В то время они использовали простые алгебраические методы для поиска решений практических проблем, связанных с их повседневной жизнью.Методы, используемые древними, были сохранены в трактате, написанном арабским математиком Аль-Коваризми 825 г. н.э.). В эту работу он включает методы решения линейных уравнений, а также уравнений второй степени. Решения некоторых уравнений более высокой степени были разработаны в шестнадцатом веке итальянским математиком Джероламо Кардано (1501–1576).

Уравнение — это алгебраическое выражение, которое обычно связывает неизвестные переменные с другими переменными или константами. Например, уравнение x + 2 = 15 равно y 2 = 4. Решение или корень уравнения — это любое значение или набор значений, которые можно подставить в уравнение, чтобы сделать его истинным утверждением. Для первого примера решение для x равно 13. Во втором примере есть два значения, которые делают утверждение истинным, а именно 2 и –2. Эти значения составляют набор решений уравнения.

Используя два основных правила алгебры, можно получить решения многих простых уравнений. Первое правило гласит, что одна и та же величина может быть добавлена ​​к обеим сторонам уравнения без изменения решения уравнения.Например, уравнение x + 4 = 7 имеет решение x = 3. Согласно первому правилу, можно добавить любое число к обеим сторонам уравнения и при этом получить то же решение. При добавлении 4 к обеим частям уравнение становится x + 8 = 11, но решение остается x = 3. Это правило известно как аддитивное свойство равенства. Чтобы использовать это свойство для поиска решения уравнения, все, что требуется, — это выбрать правильное число для добавления. Решение предыдущего примера x + 4 = 7 можно найти, прибавив –4 к обеим сторонам уравнения.Если это сделано, уравнение упрощается до x + 4 — 4 = 7 — 4 или x = 3, и уравнение решается.

Второе фундаментальное правило, известное как мультипликативное свойство равенства, гласит, что каждый член в обеих частях уравнения может быть умножен или разделен на одно и то же число без изменения решения уравнения. Например, решением уравнения y — 2 = 10 является y = 12. Используя правило мультипликативности, можно получить эквивалентное уравнение с тем же набором решений, умножив обе части на любое число, например, 2.Таким образом, уравнение принимает вид 2y– 4 = 20, но решение остается y = 12. Это свойство также можно использовать для решения алгебраических уравнений. В случае уравнения 2x = 14 решение получается делением обеих частей на 2. Когда это делается 2x / 2 = 14/2, уравнение упрощается до x = 7.

Часто оба этих правила должны быть используется для решения одного уравнения, такого как уравнение 4x + 7 = 23. В этом уравнении к обеим сторонам уравнения добавляется –7, и оно упрощается до 4x = 16. Обе части этого уравнения затем делятся на 4 и он упрощается до решения x = 4.

Большинство уравнений даются в более сложной форме, которую можно упростить. Рассмотрим уравнение 4x — x — 5 = 2x + 7. Первый шаг в решении этого уравнения — объединить одинаковые члены с каждой стороны уравнения. В правой части нет одинаковых терминов, но 4x и –x в левой части похожи на термины. Это уравнение в упрощенном виде становится 3x — 5 = 2x + 7. Следующим шагом является удаление неизвестного из одной части уравнения. В этом примере это достигается добавлением –2x к обеим частям уравнения, что дает x — 5 = 7.Используя свойство аддитивности, решение получается добавлением 5 к обеим сторонам уравнения, так что x = 12.

Весь процесс решения алгебраических уравнений с одной переменной можно резюмировать с помощью следующих шагов. Во-первых, удалите скобки, умножив множители. Во-вторых, добавьте одинаковые термины с каждой стороны. В-третьих, удалите неизвестное с одной стороны уравнения, используя мультипликативные или аддитивные свойства. В-четвертых, удалите постоянный член со стороны неизвестного, используя аддитивное свойство. Наконец, исключите любой коэффициент при неизвестном, используя свойство мультипликативности.

Многие алгебраические уравнения содержат более одной переменной, поэтому полный набор решений не может быть найден с помощью методов, описанных до сих пор. Уравнения с двумя неизвестными называются линейными уравнениями и могут быть представлены общей формулой ax + by = c; где a, b и c — константы, а x и y — переменные. Решением этого типа уравнения будет упорядоченная пара x и y, которая делает уравнение истинным.Например, набор решений для уравнения x + y = 7 будет содержать все пары значений x и y, которые удовлетворяют уравнению, такие как (2,5), (3,4), (4,3), и т. д. В общем, чтобы найти решение линейного уравнения с двумя переменными, уравнение переписывается и решается в терминах одной переменной. Решением уравнения x + y = 7 становится любая пара значений, которая делает x = 7 — y истинным.

Часто существует несколько линейных уравнений, связывающих две переменные в одной системе. Все уравнения, связанные с переменными, известны как система уравнений, а их решение — это упорядоченная пара, которая делает каждое уравнение истинным. Эти уравнения решаются методами построения графиков, подстановки и исключения.

Уравнения, содержащие неизвестные в степени единицы, известны как уравнения первой степени. Также существуют уравнения второй степени, которые включают:

КЛЮЧЕВЫЕ УСЛОВИЯ

Аддитивное свойство — Свойство уравнения, в котором указано число, может быть добавлено к обеим сторонам уравнения, не влияя на его решение.

Факторинг —Метод сведения уравнения более высокой степени к продукту уравнений более низкой степени.

Уравнение первой степени —Алгебраическое выражение, содержащее неизвестное в первой степени.

Мультипликативное свойство — Свойство уравнения, которое устанавливает все члены в уравнении, можно умножить на одно и то же число, не влияя на окончательное решение.

Уравнение второй степени —Алгебраическое выражение, содержащее неизвестное во второй степени.

как минимум одна переменная, возведенная в квадрат или в степени двойки. Уравнения также могут быть третьей, четвертой и т. Д. Самым известным уравнением второй степени является квадратное уравнение, которое имеет общий вид ax 2 + bx + c = 0; где a, b и c — константы, а a не равно 0. Решение этого типа уравнения часто можно найти с помощью метода, известного как факторинг.

Поскольку квадратное уравнение является произведением двух уравнений первой степени, оно может быть включено в эти уравнения.Например, произведение двух выражений (x + 2) (x — 3) дает одно квадратичное выражение x 2 — x — 6. Два выражения (x + 2) и (x — 3) называются коэффициенты квадратного выражения x 2 — x — 6. Приняв каждый коэффициент квадратного уравнения равным нулю, можно получить решения. В этом квадратном уравнении решениями являются x = –2 и x = 3.

Нахождение множителей квадратного уравнения не всегда легко. Для решения этой проблемы была изобретена квадратная формула, позволяющая решить любое квадратное уравнение. Квадратное уравнение для общего уравнения формулируется следующим образом: ax 2 + bx + c = 0

Чтобы использовать квадратную формулу, числа для a, b и c подставляются в уравнение, и определяются решения для x .

См. Также Системы уравнений.

КНИГИ

Биттингер, Марвин Л. и Давик Элленбоген. Промежуточная алгебра: концепции и приложения . 7-е изд. Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing, 2006.

Ларсон, Рон. Precalculus . 7-е изд. Бостон, Массачусетс: Houghton Mifflin, 2007.

Лоренц, Фалько. Алгебра. Нью-Йорк: Springer, 2006.

Сетек, Уильям М. Основы математики . Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall, 2005.

Perry Romanowski

Решатель уравнений: Wolfram | Alpha

О решении уравнений

Значение называется корнем полинома if.

Наибольший показатель степени появления называется степенью.Если имеет степень, то хорошо известно, что есть корни, если принять во внимание множественность. Чтобы понять, что подразумевается под множественностью, возьмем, например,. Считается, что этот многочлен имеет два корня, оба равны 3.

Человек изучает «теорему о факторах», обычно во втором курсе алгебры, как способ найти все корни, являющиеся рациональными числами. Также можно научиться находить корни всех квадратичных многочленов, используя при необходимости квадратные корни (полученные из дискриминанта).Существуют более сложные формулы для выражения корней многочленов кубической и четвертой степени, а также ряд численных методов аппроксимации корней произвольных многочленов. В них используются методы комплексного анализа, а также сложные численные алгоритмы, и это действительно область постоянных исследований и разработок.

Системы линейных уравнений часто решаются с использованием метода исключения Гаусса или связанных методов. Это также обычно встречается в программах средней школы или колледжа по математике.Для нахождения корней одновременных систем нелинейных уравнений необходимы более совершенные методы. Аналогичные замечания относятся к работе с системами неравенств: линейный случай может быть обработан с использованием методов, описанных в курсах линейной алгебры, тогда как полиномиальные системы более высокой степени обычно требуют более сложных вычислительных инструментов.

Как Wolfram | Alpha решает уравнения

Для решения уравнений Wolfram | Alpha вызывает функции Solve и Reduce языка Wolfram Language, которые содержат широкий спектр методов для всех видов алгебры, от основных линейных и квадратных уравнений до многомерных нелинейных систем.В некоторых случаях используются методы линейной алгебры, такие как исключение Гаусса, с оптимизацией для повышения скорости и надежности. Другие операции полагаются на теоремы и алгоритмы из теории чисел, абстрактной алгебры и других сложных областей для вычисления результатов. Эти методы тщательно спроектированы и выбраны, чтобы позволить Wolfram | Alpha решать самые разнообразные проблемы, а также минимизировать время вычислений.

Хотя такие методы полезны для прямых решений, для системы также важно понимать, как человек решит ту же проблему.В результате в Wolfram | Alpha также есть отдельные алгоритмы для пошагового отображения алгебраических операций с использованием классических методов, которые легко распознаются людьми и которым легко следовать. Это включает в себя исключение, замену, квадратную формулу, правило Крамера и многое другое.

Решение уравнений

Что такое уравнение?

Уравнение говорит, что две вещи равны. Он будет иметь знак равенства «=», например:

.

Это уравнение говорит: то, что слева (x — 2) равно тому, что справа (4)

Таким образом, уравнение похоже на выражение «, это равно , что »

Что такое решение?

Решение — это значение, которое мы можем ввести вместо переменной (например, x ), которая делает уравнение истинным .

Пример: x — 2 = 4

Когда мы ставим 6 вместо x, получаем:

6–2 = 4

, что соответствует действительности

Итак, x = 6 — решение.

Как насчет других значений x?

  • Для x = 5 мы получаем «5−2 = 4», что неверно , поэтому x = 5 не является решением .
  • Для x = 9 мы получаем «9−2 = 4», что неверно , поэтому x = 9 не является решением .
  • и т. Д.

В этом случае x = 6 — единственное решение.

Вы можете попрактиковаться в решении некоторых анимированных уравнений.

Более одного решения

Может быть более одного решения .

Пример: (x − 3) (x − 2) = 0

Когда x равно 3, получаем:

(3−3) (3−2) = 0 × 1 = 0

, что соответствует действительности

И когда x равно 2, получаем:

(2−3) (2−2) = (−1) × 0 = 0

, что также является истинным

Итак, решения:

x = 3 или x = 2

Когда мы собираем все решения вместе, он называется набором решений

Приведенный выше набор решений: {2, 3}

Решения везде!

Некоторые уравнения верны для всех допустимых значений и называются Identities

Пример:

sin (−θ) = −sin (θ) — одно из тригонометрических тождеств

Попробуем θ = 30 °:

sin (-30 °) = -0. 5 и

−sin (30 °) = −0,5

Значит, истинно для θ = 30 °

Попробуем θ = 90 °:

sin (-90 °) = -1 и

−sin (90 °) = −1

Так же истинно для θ = 90 °

Верно ли для все значения θ ? Попробуйте сами!

Как решить уравнение

Не существует «единого идеального способа» решить все уравнения.

Полезная цель

Но мы часто добиваемся успеха, когда наша цель — получить:

Другими словами, мы хотим переместить все, кроме «x» (или любого другого имени переменной), в правую часть.

Пример: Решить 3x − 6 = 9

Начать с: 3x − 6 = 9

Добавьте 6 к обеим сторонам: 3x = 9 + 6

Разделить на 3: x = (9 + 6) / 3

Теперь у нас x = , что-то ,

и короткий расчет показывает, что x = 5

Как пазл

На самом деле решение уравнения похоже на решение головоломки. И, как и в случае с головоломками, есть вещи, которые мы можем (и не можем) делать.

Вот что мы можем сделать:

Пример: Решить √ (x / 2) = 3

Начать с: √ (x / 2) = 3

Квадрат с обеих сторон: x / 2 = 3 2

Вычислить 3 2 = 9: x / 2 = 9

Умножьте обе стороны на 2: x = 18

И чем больше «трюков» и приемов вы изучите, тем лучше вы получите.

Специальные уравнения

Есть специальные способы решения некоторых типов уравнений.Узнайте, как …

Проверьте свои решения

Вы всегда должны проверять, что ваше «решение» действительно — это решение.

Как проверить

Возьмите решения и поместите их в исходное уравнение , чтобы увидеть, действительно ли они работают.

Пример: найти x:

2x x — 3 + 3 = 6 x — 3 (x ≠ 3)

Мы сказали x ≠ 3, чтобы избежать деления на ноль.

Умножим на (x — 3):

2x + 3 (x − 3) = 6

Переместите 6 влево:

2x + 3 (x − 3) — 6 = 0

Разверните и решите:

2x + 3x — 9-6 = 0

5x — 15 = 0

5 (х — 3) = 0

х — 3 = 0

Это можно решить, если x = 3

Проверим:

2 × 3
3–3
+ 3 =
6
3–3

Держись!
Это означает деление на ноль!

И вообще, мы сказали вверху, что x ≠ 3, так что…

x = 3 на самом деле не работает, поэтому:

Есть Нет Решение!

Это было интересно … мы, , думали, что нашли решение, но когда мы оглянулись на вопрос, мы обнаружили, что это запрещено!

Это дает нам моральный урок:

«Решение» дает нам только возможные решения, их нужно проверять!

Подсказки

  • Запишите, где выражение не определено (из-за деления на ноль, квадратного корня из отрицательного числа или по какой-либо другой причине)
  • Показать все шаги , чтобы их можно было проверить позже (вами или кем-то еще)

Определение того, является ли целое число решением уравнения

Результаты обучения
  • Определите, является ли целое число решением уравнения

Определить, является ли число решением уравнения

Решение уравнения похоже на поиск ответа на загадку. Алгебраическое уравнение утверждает, что два алгебраических выражения равны. Решение уравнения — это определение значений переменной, которые делают уравнение истинным. Любое число, которое делает уравнение истинным, называется решением уравнения. Это ответ на загадку!

Решение уравнения

Решение уравнения — это значение переменной, которое делает истинное утверждение при подстановке в уравнение.
Процесс поиска решения уравнения называется решением уравнения.

Найти решение уравнения — это значит найти значение переменной, которая делает уравнение истинным. Можете ли вы распознать решение [латекс] x + 2 = 7? [/ Latex] Если вы сказали [latex] 5 [/ latex], вы правы! Мы говорим, что [latex] 5 [/ latex] является решением уравнения [latex] x + 2 = 7 [/ latex], потому что когда мы заменяем [latex] x [/ latex] [latex] 5 [/ latex], полученное утверждение верно.

[латекс] \ begin {array} {} \\ \ hfill x + 2 = 7 \ hfill \\ \ hfill 5 + 2 \ stackrel {?} {=} 7 \ ​​hfill \\ \\ \ hfill 7 = 7 \ quad \ checkmark \ hfill \ end {array} [/ latex]

Поскольку [latex] 5 + 2 = 7 [/ latex] — верное утверждение, мы знаем, что [latex] 5 [/ latex] действительно является решением уравнения.
Символ [латекс] \ stackrel {?} {=} [/ Latex] спрашивает, равна ли левая часть уравнения правой части. Как только мы узнаем, мы можем изменить знак равенства [latex] \ text {(=)} [/ latex] или знак неравенства [latex] \ text {(\ not =).} [/ Latex]

Определите, является ли число решением уравнения.
  1. Подставьте номер переменной в уравнение.
  2. Упростите выражения в обеих частях уравнения.
  3. Определите, истинно ли полученное уравнение.
    • Если это правда, число является решением.
    • Если это не так, число не является решением.
пример

Определите, является ли [latex] x = 5 [/ latex] раствором [latex] 6x — 17 = 16 [/ latex].

Решение

The equation becomes 6 times 2 minus 4 equal to 5 times 2 minus 2. Is this true? Simplify the left side of the equation by multiplying 6 by 2 to get 12. Then subtract 4 from 12 to get 8. Simplify the right side of the equation by multiplying 5 by 2 to get 10. Then subtract 2 from 10 to get eight. Both sides of the equation are 8.»> [латекс] 6y-4 = 5y-2 [/ латекс] Замените y [латекс] \ color {red} {2} [/ latex]. [латекс] 6 (\ color {red} {2}) — 4 = 5 (\ color {red} {2}) — 2 [/ latex] Умножить. [латекс] 12-4 = 10-2 [/ латекс] Вычесть. [латекс] 8 = 8 [/ латекс]

Поскольку [latex] y = 2 [/ latex] приводит к истинному уравнению, мы знаем, что [latex] 2 [/ latex] является решением уравнения [latex] 6y — 4 = 5y — 2 [/ латекс].

В следующем видео мы покажем больше примеров того, как проверить, является ли целое число решением линейного уравнения.

Решение квадратных уравнений: онлайн калькулятор

К квадратным относятся уравнения вида ax2+bx+c=0, где с не равно нулю. Ответом будут все значения x, при которых выполняется равенство. Подобные задачи актуальны для школьников и студентов. 

Решить квадратное уравнение онлайн легко, используя наш сервис. Для этого понадобится ввести данные коэффициентов в предназначенные для этого пустые поля и нажать кнопку «Рассчитать». После этого вы получите подробный алгоритм решения примера, который систематизирует имеющиеся знания и поможет применять аналогичный способ вычисления в дальнейшем.

Решение квадратных уравнений с помощью онлайн калькулятора

К квадратным относятся уравнения вида ax2+bx+c=0, где значение c не равно нулю. Ответом будут все значения x, при которых выполняется равенство.

Примеры квадратных уравнений:
5×2+14x+17=0;-x2+x+310=0;

Для решения своего задания, введите значения a, b и с в пустые поля и нажмите «Рассчитать»

Есть ли у уравнения решения и количество его корней будет зависеть от специальной величины, называемой дискриминантом квадратного уравнения, который находится по формуле D=b2-4ac.  Таким образом:

  • Уравнение имеет два корня, если D > 0.
  • Уравнение имеет один корень, если D = 0.
  • Уравнение не имеет корней, если D < 0.

Значения корней уравнения рассчитываются по формуле: 

Попробуем решить первое уравнение из нашего примера с помощью сервиса. Итак, для уравнения Введем значения в пустые поля и нажмем кнопку рассчитать:

Первым шагом решение будет нахождение дискриминанта, который, в нашем случае, меньше нуля.

Таким образом, с данными значениями a, b и с уравнение не имеет решений.

Теоретические статьи из справочника, которые помогут вам лучше разобраться в теме:

  • Решение квадратных уравнений: формула корней, примеры
  • Уравнение и его корни: определения, примеры
  • Теорема Виета, формулы Виета
  • Нахождение неизвестного слагаемого, множителя: правила, примеры, решения
  • Квадратные неравенства, примеры, решения
  • Решение квадратных неравенств методом интервалов

Ответ:

Решение

Ответ:

  • Калькулятор квадратных уравнений

    В основе решения квадратного уравнение онлайн лежит формула поиска дискриминанта D=b2-4ac.

    • Уравнение имеет два корня, если D > 0.
    • Уравнение имеет один корень, если D = 0.
    • Уравнение не имеет корней, если D < 0.

    Корни квадратного уравнения вычисляются по формуле x1,2 = (-b ± √D)/2a.
     

    Чтобы сократить время подсчетов и не допустить ошибок в процессе их выполнения, воспользуйтесь готовой программой на нашем сайте. Вы получите не только ответ, но и пошаговую расшифровку решения примера, с которой сможете сверить свои вычисления.

    С помощью данной программы можно осуществлять подготовку домашнего задания учащимся общеобразовательных школ, студентам университетов. Онлайн калькулятор квадратных уравнений позволяет готовиться к ЕГЭ самостоятельно, без обращения к репетиторам. Также решение квадратного уравнения онлайн может облегчить задачу родителям в случае контроля выполнения упражнений по математике и алгебре. Использование программы пригодится в педагогической деятельности для быстрой проверки большого количества выполненных заданий от учеников.

    Воспользуйтесь сервисом от Zaochnik и получайте точные ответы на задачи в течение 1 секунды. 

    Понравился калькулятор? Поделись с друзьями!

    Решение линейных уравнений с примерами. Калькулятор онлайн.Решение показательных уравнений

    Уравнение с одним неизвестным, которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов принимает вид

    aх + b = 0 , где a и b произвольные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным. Cегодня разберёмся, как эти линейные уравнения решать.

    Например, все уравнения:

    2х + 3= 7 – 0,5х; 0,3х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) — линейные.

    Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство называется решением или корнем уравнения .

    Например, если в уравнении 3х + 7 = 13 вместо неизвестного х подставить число 2 , то получим верное равенство 3· 2 +7 = 13. Значит, значение х = 2 есть решение или корень уравнения.

    А значение х = 3 не обращает уравнение 3х + 7 = 13 в верное равенство, так как 3· 2 +7 ≠ 13. Значит, значение х = 3 не является решением или корнем уравнения.

    Решение любых линейных уравнений сводится к решению уравнений вида

    aх + b = 0.

    Перенесем свободный член из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед b на противоположный, получим

    Если a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

    Пример 1. Решите уравнение 3х + 2 =11.

    Перенесем 2 из левой части уравнения в правую, изменив при этом знак перед 2 на противоположный, получим
    3х = 11 – 2.

    Выполним вычитание, тогда
    3х = 9.

    Чтобы найти х надо разделить произведение на известный множитель, то есть
    х = 9: 3.

    Значит, значение х = 3 является решением или корнем уравнения.

    Ответ: х = 3 .

    Если а = 0 и b = 0 , то получим уравнение 0х = 0. Это уравнение имеет бесконечно много решений, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0,но b тоже равно 0. Решением этого уравнения является любое число.

    Пример 2. Решите уравнение 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

    Раскроем скобки:
    5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1.


    5х – 3х ‒ 2х = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

    Приведем подобные члены:
    0х = 0.

    Ответ: х — любое число .

    Если а = 0 и b ≠ 0 , то получим уравнение 0х = — b. Это уравнение решений не имеет, так как при умножении любого числа на 0 мы получаем 0, но b ≠ 0 .

    Пример 3. Решите уравнение х + 8 = х + 5.

    Сгруппируем в левой части члены, содержащие неизвестные, а в правой ‒ свободные члены:
    х – х = 5 ‒ 8.

    Приведем подобные члены:
    0х = ‒ 3.

    Ответ: нет решений.

    На рисунке 1 изображена схема решения линейного уравнения

    Составим общую схему решения уравнений с одной переменной. Рассмотрим решение примера 4.

    Пример 4. Пусть надо решить уравнение

    1) Умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей, равное 12.

    2) После сокращения получим
    4 (х – 4) + 3·2 (х + 1) ‒ 12 = 6·5 (х – 3) + 24х – 2 (11х + 43)

    3) Чтобы отделить члены, содержащие неизвестные и свободные члены, раскроем скобки:
    4х – 16 + 6х + 6 – 12 = 30х – 90 + 24х – 22х – 86 .

    4) Сгруппируем в одной части члены, содержащие неизвестные, а в другой – свободные члены:
    4х + 6х – 30х – 24х + 22х = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

    5) Приведем подобные члены:
    ‒ 22х = ‒ 154.

    6) Разделим на – 22 , Получим
    х = 7.

    Как видим, корень уравнения равен семи.

    Вообще такие уравнения можно решать по следующей схеме :

    а) привести уравнение к целому виду;

    б) раскрыть скобки;

    в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной части уравнения, а свободные члены ‒ в другой;

    г) привести подобные члены;

    д) решить уравнение вида aх = b,которое получили после приведения подобных членов.

    Однако эта схема не обязательна для всякого уравнения. При решении многих более простых уравнений приходится начинать не с первого, а со второго (Пример. 2 ), третьего (Пример. 1, 3 ) и даже с пятого этапа, как в примере 5.

    Пример 5. Решите уравнение 2х = 1/4.

    Находим неизвестное х = 1/4: 2,
    х = 1/8
    .

    Рассмотрим решение некоторых линейных уравнений, встречающихся на основном государственном экзамене.

    Пример 6. Решите уравнение 2 (х + 3) = 5 – 6х.

    2х + 6 = 5 – 6х

    2х + 6х = 5 – 6

    Ответ: ‒ 0, 125

    Пример 7. Решите уравнение – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

    – 30 + 18х = 8х – 7

    18х – 8х = – 7 +30

    Ответ: 2,3

    Пример 8. Решите уравнение

    3(3х – 4) = 4 · 7х + 24

    9х – 12 = 28х + 24

    9х – 28х = 24 + 12

    Пример 9. Найдите f(6), если f (x + 2) = 3 7-х

    Решение

    Так как надо найти f(6), а нам известно f (x + 2),
    то х + 2 = 6.

    Решаем линейное уравнение х + 2 = 6,
    получаем х = 6 – 2, х = 4.

    Если х = 4, тогда
    f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

    Ответ: 27.

    Если у Вас остались вопросы, есть желание разобраться с решением уравнений более основательно, записывайтесь на мои уроки в РАСПИСАНИИ . Буду рада Вам помочь!

    Также TutorOnline советует посмотреть новый видеоурок от нашего репетитора Ольги Александровны, который поможет разобраться как с линейными уравнениями, так и с другими.

    сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    Отсюда, Разлад и «Бунт Вещей» передаётся по каналу №6 в Структуру С2, которую они формируют, точнее деформируют, превращая Наполнение Системы в разность наблюдаемую в формулах (7).

    Этот канал №6 Отношений, Вещественный и Энергетический, влияет на сложение Структуры С2.

    Однако, в Элементах (Х) содержатся не только Вещи, но и Люди, а это значит, что в Системе функционирует ещё один контур – Мировоззренческий, в начале которого находятся Отношения ∑О2.

    ∑О2 – это не Отношения Вещей, а Информация об этих Отношениях .

    1. Это представления, взгляды и ощущения, возникающие у людей по поводу Отношения Вещей.

    2. Здесь же рождаются представления, взгляды и ощущения по поводу Отношений между самими Людьми.

    3. Здесь же возникают «Психологические» Отношения.

    Отношения ∑О2 содержат три вида Отношений :

    1. Информация об Отношениях между Вещами.

    2. Информация об Отношениях между Людьми.

    3. Информация об Отношении Людей к своему Прошлому.

    Эта сумма выступает как общая Информация которая передаётся по каналу №5 в ячейку С1, где оседает, образуя базис Мировоззрения (С1) Системы.

    Основой Мировоззрения С1 – являются Отношения ∑О2.

    Они не выступают, как что-то законченное, оформленное и определённое, ведь, первоначально это только представления, взгляды и ощущения.

    Это сумма трёх видов Отношений неоднородных слагаемых

    (не арифметическая и не алгебраическая).

    Эти разнородные слагаемые не поддаются суммированию – выражению количественной Меры.

    Внимание! Узловой пункт понимания Системы.

    Это, нахождение Ответа на два Вопроса :

    I. Какова Количественная Мера Иррациональной суммы разнородных слагаемых?

    Это вопрос об определённости Мировоззрения…

    II. Как из сырого материала ощущений и взглядов складывается определённое Мировоззрение (С1)?

    4.1.6.3. О Мере Иррациональной суммы .

    Отношения: Вещи – Люди – Человек .

    1. Отношения между Вещами – естественный фактор (е).

    2. Отношения между Людьми, складывающиеся в процессе Производства, – политический фактор (п1).

    3. Отношение Человека к самому себе (и к своему прошлому) – психологический фактор (п2).

    Эти три фактора являются предметом нашего пристального исследования: е, п1, п2.

    Всё это Информация, но имеющая разные (исходные предметы) источники, содержания и сущности.

    е – знание Человеком естественных (природных) процессов;

    п1 – политические Отношения, проявляющиеся в Человеке, как ощущения, представления и эмоции;

    п2 – психологические Отношения, обусловленные в Человеке его историческим и генетическим прошлым (национальным и профессиональным складом характера).

    Из трёх факторов предметом науки пока является только фактор естественный — е.

    Два остальных фактора политический п1 и психологический п2 знанием ещё не стали, представляют собой сырой материал…

    Вопрос: Как можно сочетать, представлять в совокупности все три разнородных фактора вместе, если они несопоставимы между собой?

    1. При Промышленной фазе Капиталистической формации , Вещи, Люди и прошлое Человека, всё оценивалось одной Мерой – СТОИМОСТЬЮ, (формула 1).

    Э = е + п1 + п2 … формула (8),

    Э – экономический фактор, имеющий Количественную Меру.

    Отношения ∑О2 – приводятся к Экономическому фактору (Э), имеющему Количественную определённость.

    2. При Финансовой фазе Капиталистической формации , из Экономического (Э) выделился Политический фактор (п1), (формула 2).

    3. Затем, при Информационной фазе Капиталистической формации , психологический фактор (п2), (формула 3).

    Что же случилось с суммой (е + п1 + п2) в действительности?

    Эта сумма – есть основа Мировоззрения .

    — Мировоззрение становится Рациональным , если эта сумма соответствует Э = е + п1 = п2;

    С выделением и отделением факторов политического п1 и психологического п2 представления затуманились и потеряли ясность утратив общую Меру к вещам и явлениям;

    «Нелепое» мировоззрение : С точки зрения формы всё осталось неизменным и ясным, фактор Э выступает как Количественная определённость.

    В Действительности, за спиной этой «определённости» развёртывается невидимая и неведомая жизнь.

    Формальное пояснение «невидимки».

    Невидимка схоронилась в комплексном числе: (a +- bi), где

    а – действительная часть комплексного числа

    b — недействительная часть комплексного числа

    i – мнимая часть комплексного числа…

    Комплексное число – имеет определённую форму, а содержание – неопределённое, которое нельзя выразить Количественно.

    АОС : Во всех «Управляемых» (и «Регулируемых») Системах идёт ожесточённая и непрерывная борьба за признание: Какой из трёх факторов: е, п1,п2, в комплексном числе

    (a +- bi), признать действительным, какой не действительным, и какой мнимым???

    Формальная таблица 9. Мировоззрения.

    В зависимости от «развитости» факторов: е, п1 и п2 — Мировоззрение Системы приобретает соответствующие Содержание и Сущность.

    Если «развитость» факторов убывает в направлении: е > п1 > п2, то Система приобретает Мировоззрение (I) = (е +- п1i)….

    ……………………………………….

    Если…: п2 > п1 > е, то Мировоззрение (IV) = (п2 +- п1i).

    Всё сказано о «невидимки» с формальной стороны.

    «Организация» затрагивает Интимнейшие стороны жизни Системы.

    Чтобы закончить вопрос: «О Мере и основе Мировоззрения?» и перейти к следующему: «Как складывается Мировоззрение?» необходимо приоткрыть завесу над наиболее характерными Секретами.

    Экономический фактор (Э) лежит в основе Рационального Мировоззрения .

    На смену Рациональному Мировоззрению, пришло Иррациональное – нелепое Мировоззрение.

    В познании и понимании окружающего Мира оно нелепо и беспомощно.

    В смысле воздействия на этот мир, эта нелепость становится реальной силой, которую надо учитывать.

    Мировоззрение выступает, как инструмент познания и как боевое оружие.

    Как инструмент познания – иррациональное Мировоззрение (все формулы таблицы 9) – беспомощно и бессильно, но как боевое оружие – беспощадная, коварная и хитрая сила.

    Сила Иррационального Мировоззрения заключена в его Секретах.

    Если снять Секреты, то оно станет бессильным и ненужным, как познавательный инструмент и как боевое оружие.

    Если познавательный инструмент основан на комплексном числе (a +- bi) не имеющем Количественной Меры, то это плохой инструмент.

    Без знания Секретов Иррационального Мировоззрения нельзя понять «Управляемые» Системы, а значит и «Организованные».

    ТОС: Мировоззрение «Организованных» Систем основывается на естественном (природном) факторе –(е), — никакой «комплексности», «иррациональности» и «мнимости» — в этих Системах нет.

    АОС: Мировоззрение «Управляемых» Систем основывается на «комплексности», «иррациональности» и «мнимости».

    В таблице 9, представлены все возможные варианты Иррационального Мировоззрения.

    Как познавательный инструмент, таблица 9 содержит в себе большие искажения.

    Это «кривое зеркало» искажающее представление о Действительности.

    Всё это пассивная сторона дела.

    Активная сторона Мировоззрения обнаруживается, когда Система вступает во взаимодействие (обмен) с внешней средой.

    Здесь то и проявляется сила Секретов и Иррациональности.

    Обмен превращается в антагонистическую борьбу, становясь неэквивалентным.

    4.1.6.4. Примеры .

    Пример I . В обмен вступили две Системы с разным мировоззрением:

    Система I (е +- п1i) и Система II (е +- п2i), согласно теории комплексного числа этот обмен выразится, как сумма: 2е + (п1 +- п2)i, — Действительность же иная.

    Мировоззрение: I (е +- п1i) – соответствует Промышленному (производственному) Капитализму.

    Мировоззрение: II (е +- п2i) – соответствует Финансовому (судному) Капитализму…

    После долгой борьбы между этими двумя Капиталами произошло их слияние, и образовался Финансовый Капитал.

    Из слияния их суммы: 2е + (п1 +- п2)i, возникло два новых образования:

    III (п1 +- еi) и IV (п1 +- п2i).

    Лондон, Париж, Нью-Йорк и гамбургская Вена жили и боролись под знаменем I (е +- п1i) и

    II (е +- п2i) Мировоззрения.

    Германия (Бисмарк) стал под знамёна III (п1 +- еi) и IV (п1 +- п2i) Мировоззрения в момент объединения единого государства с Пруссией во главе.

    Мировоззрение III (п1 +- еi) — с большой силой проявилось в Рурских хищниках.

    Мировоззрение IV (п1 +- п2i) – мировоззрение прусских юнкеров и германской военщины, как наследие от предков, псов рыцарей.

    Политический (п1) фактор насилия играл ведущую роль в жизни и Мировоззрении господствующих классов Германии.

    И, это наложило отпечаток на Мировоззрение угнетённых слоёв и всего немецкого народа.

    На передний план выдвинулся хищнический Капитал III (п1 +- еi), так зародился Финансовый капитализм в Германии.

    Он выполз из навозной кучи: 2е + (п1 +- п2)i, — вполне естественно и закономерно.

    В Германии уже имелось соответственное Мировоззрение, присущее исторически этой нации.

    Пример II. Важность знания Секреты Мировоззрения.

    Причины возникновения фашизма.

    Марксисты: « … на борьбу против Капиталистов!»

    Ложь, ведь Капиталисты психологически разные, как рабочие и крестьяне…

    Есть два капитала: Творческий и Хищнический.

    Творческий – национальный Капитал, он народен, как и все творческие силы страны.

    Банковский Капитал – еврейский или иностранный (негласно управляемый евреями).

    Он космополитичен и интернационален, как и еврейские демагоги задающие тон у социал-демократов и коммунистов.

    Гитлер совершил переход от Экономического (е) фактора к Психологическому (п2).

    «… поведу Вас к свободе и хлебу!»

    Речь Гитлера – не демагогия, а оружие страшной силы, приведённое в действие.

    Демагогия — болтовня, цель усыпить слушателя, когда главное и решающее уже совершается за его спиной.

    Речь Гитлера была рассчитана не на усыпление, а на приведение слушателей в действие, в движение.

    Гитлер пешка и червь, за его спиной стоял хищник III (п1 +- еi), который держал все нити событий в своих руках.

    Даже Германская военщина IV (п1 +- п2i), и сам Гитлер не были допущены до главного Секрета.

    4.1.6.5. Основные Секреты Иррационального Мировоззрения .

    Первый большой Секрет.

    Германия в то время, после войны 1929 – 1933 годов представляла собой Систему готовую взорваться.

    Выход – это движение, куда угодно, лишь бы движение…

    Кто первый укажет Системе конкретный и понятный путь, тот и поведёт систему за собой.

    Гитлер, по подсказке хищника III (п1 +- еi), смог указать путь и Система пошла за ним.

    Второй Секрет.

    Вопрос : Почему Гитлеру удалось, а коммунистам нет, указать путь движения?

    Ответ : Гитлер находился ближе к хищнику III (п1 +- еi), он знал больше сокровенных секретов хищного общества.

    Социал-демократы и коммунисты Германии не видели своего главного врага хищника

    III (п1 +- еi).

    Рабочий класс и коммунисты не знали многих своих врагов, но также не знали, что в стане им уже известных врагов могут быть и друзья.

    II (е +- п2i), Капитала – Насильника III (п1 +- еi) и просто Насильника IV (п1 +- п2i), — всё это сваливали в одну кучу, перестав понимать реальную Действительность.

    Третий Секрет.

    Закон Диалектического снятия.

    Если Мировоззрение Производителя капиталиста выражается формулой: (е + п1i), то формула угнетённого этим Капиталистом Рабочего становится (е — п1i), — это Закон.

    Если … Крупп представляет: (п1 + еi), формула Мировоззрения угнетённых им представляет: (п1 — еi).

    Если немецкий генерал живёт и мыслит по формуле: (п1 + п2i), то его подчинённые солдаты и офицеры … по формуле: (п1 — п2i), — Закон.

    И, всё это потому, что взаимодействие (обмен) двух подсистем в принципе становится одинаковым, разница лишь в знаке, который объясняет явление детерминации.

    Каково Мировоззрение господствующих слоёв в Обществе, таково в основном и Мировоззрение угнетённых слоёв.

    Иллюзии, что Мировоззрение является второстепенным фактором в борьбе Классов после Экономического фактора…

    Немецкие коммунисты по своему Мировоззрению не могли опередить свой народ.

    Мировоззрение К.Маркса (как и В.И. Ленина) – уникально.

    Мировоззрение К.Маркса – Рационально и основывалось на Экономическом (Э) факторе.

    Уникальность К.Маркса в том, что :

    1. Гениально проник вовнутрь Экономического фактора (Э).

    2. Снял с этого фактора Стоимостную фору.

    3. Владел Диалектическим методом, и умело им пользовался.

    Именно Диалектический метод в руках К.Маркса и В.И.Ленина:

    Превращал Экономический (Э) фактор в Естественный (е) фактор;

    Превращал Рациональное Мировоззрение в Адекватное.

    Основные Задачи:

    Овладеть Диалектическим Методом познания;

    Отразить Адекватно Действительность;

    Дать правильный Лозунг момента Элементам Системы.

    Таблица 10. Группы Рационального Мировоззрения, наименования, факторы, формулы,

    мир персонажей капиталистический и животный…

    Иррациональное Мировоззрение создаётся в антагонистической борьбе и берёт своё начало в животном царстве.

    4.1.7. Становление «Организованной» Системы .

    Основная база Мировоззрения — это строительный материал для становления Мировоззрения.

    1. Механизм Становления Мировоззрения.

    2. Сущность Мировоззрения, при рассмотрении Отношений ∑О1.

    3. Выработка Адекватного Мировоззрения и его Меры, основанной на факторе естественности – е.

    Для понимания Мировоззрения необходимо иметь в поле зрения схему №6.

    Становление Мировоззрения процесс длительный.

    Система может прожить всю жизнь и не обрести Мировоззрение.

    Рациональное и Иррациональное Мировоззрение – это определённо сложившиеся Мировоззрения.

    На практике часто приходится сталкиваться с неопределённым, с не сложившимся Мировоззрением.

    Система имеет одну Интуицию.

    Интуиция – свидетельство об отсутствии в Системе Мировоззрения.

    Интуиция, интуитивно – значит без Мировоззрения, без понимания.

    Система функционирует неосознанно, без понятий на одних ощущениях.

    Интуиция свойственна…

    Всем молодым Системам не успевшим накопить достаточно опыта;

    Многим зрелым Системам в тех случаях, когда Отношения ∑О2 не увязываются с Отношениями ∑О1, и между внутренними ощущениями образуется обрыв (несогласованность).

    В таких случаях Мировоззренческий контур и контур Содержательный в Системе начинают функционировать раздельно.

    В ячейки С1 накапливается большое количество несвязанных воедино ощущений (е; п1;п2) – это образует Интуицию. В ячейке воспитательных актов ∑f — накапливается «эрудиция», которая выплёскивается в виде множества беспорядочных актов f в сторону ячейки Мировоззрения С1, связь №4, и в сторону материального Наполнения ∑x, связь №2.

    5х2х1

    Применяются при межприборном монтаже электрических установок, работающих при переменном напряжении до 750 В. Важным преимуществом является возможность работы в условиях усиленных электромагнитных влияний, например при эксплуатации в промышленных пожаро или взрывоопасных зонах.

    Характеристики кабеля

    5х2х1

    • Климатическое исполнение УХЛ категорий размещения 2-5 по ГОСТ 15150.
    • Диапазон температур эксплуатации от -50 до +70°
    • Относительная влажность воздуха при температуре до 35°С 98%
    • Прокладка кабелей без предварительного прогрева возможна при температуре не ниже -15°С
    • Минимальный радиус изгиба при монтаже, не менее 5 наружных диаметров
    • Испытательное переменное напряжение частотой 50 Гц (продолжительность испытания — 1 мин) 2 кВ
    • Электрическое сопротивление изоляции жил, на 1 км длины и при температуре 20°С не менее 5 МОм
    • Кабели не распространяют горение при одиночной прокладке
    • Кабели с индексом “нг” и “LS” не распространяют горение при пучковой прокладке по ГОСТ 12176.
    • Строительная длина кабелей МКЭКШВ, МКЭКШВнг, не менее 100 м
    • Гарантийный срок эксплуатации 3 года с даты ввода кабелей в эксплуатацию
    • Срок службы 15 лет

    Конструкция кабеля

    5х2х1

    1. Токопроводящая жила — изготовлена из меди, многопроволочная, класс по ГОСТ 22483.
    2. Изоляция — сделана из ПВХ (поливинилхлоридного пластиката).
    3. Скрученная пара — присутствует в кабелях парной скрутки.
    4. Экран пар — изготавляется из медных проволок, диаметр которых не превышает 0,2 мм. Присутствует как оплетка плотностью не менее 65%. Под медной оплеткой находится лента ПЭТ-Э. Любые пары жил, отмеченные индексом “Э” в обязательном порядке имеют индивидуальный экран — оплетку — для кабелей МКЭКШВ(э), под которой находится лента ПЭТ- Э.
    5. Сердечник — представляет из себя одиночные жилы. В некоторых случаях скрученные в сердечник пары.
    6. Поясная изоляция — изготавливается из специальной полиэтилентерефталатной ленты.
    7. Экран — (исключая кабели с индексом “Э”) — оплетка, плотностью 65% из медной проволки диаметром не более 0,25 мм.
    8. Оболочка промежуточная — из ПВХ пластика толщиной не менее 0,8 мм.
    9. Броня — изготавливается из стальных оцинкованных проволок или в виде оплетки. Диаметр стальных оцинкованных проволок (0,25÷0,5 мм).
    10. Защитный шланг — их поливинилхлоридного пластиката.
    11. Для кабелей типа МКЭКШВнг-LS — защитный шланг из ПВХ пластиката с низким дымовыделением (low smoke).
    Сечение \ Марка Номинальное напряжение, кВ Диаметр, мм Вес, кг Цена в рублях
    1х2х0,5 0.75 9.7 136.6 по запросу
    1х2х0,75 0.75 10.7 163.4 27.07
    1х2х1 0.75 11 174.3 29.92
    2х2х0,75 0.75 14.9 265.9 45.59
    2х2х1 0.75 15.5 287.6 52.25
    2х2х1,5 0.75 17.2 378.9 69.18
    4х2х0,75 0. n} \)

    7) a n > 1, если a > 1, n > 0

    8) a n 1, n
    9) a n > a m , если 0

    В практике часто используются функции вида y = a x , где a — заданное положительное число, x — переменная. Такие функции называют показательными . Это название объясняется тем, что аргументом показательной функции является показатель степени, а основанием степени — заданное число.

    Определение. Показательной функцией называется функция вида y = a x , где а — заданное число, a > 0, \(a \neq 1\)

    Показательная функция обладает следующими свойствами

    1) Область определения показательной функции — множество всех действительных чисел.
    Это свойство следует из того, что степень a x где a > 0, определена для всех действительных чисел x.

    2) Множество значений показательной функции — множество всех положительных чисел.
    Чтобы убедиться в этом, нужно показать, что уравнение a x = b, где а > 0, \(a \neq 1\), не имеет корней, если \(b \leq 0\), и имеет корень при любом b > 0.

    3) Показательная функция у = a x является возрастающей на множестве всех действительных чисел, если a > 1, и убывающей, если 0 Это следует из свойств степени (8) и (9)

    Построим графики показательных функций у = a x при a > 0 и при 0 Использовав рассмотренные свойства отметим, что график функции у = a x при a > 0 проходит через точку (0; 1) и расположен выше оси Oх.
    Если х 0.
    Если х > 0 и |х| увеличивается, то график быстро поднимается вверх.

    График функции у = a x при 0 Если х > 0 и увеличивается, то график быстро приближается к оси Ох (не пересекая её). Таким образом, ось Ох является горизонтальной асимптотой графика.
    Если х

    Показательные уравнения

    Рассмотрим несколько примеров показательных уравнений, т.е. уравнений, в которых неизвестное содержится в показателе степени. Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения a x = a b где а > 0, \(a \neq 1\), х — неизвестное. Это уравнение решается с помощью свойства степени: степени с одинаковым основанием а > 0, \(a \neq 1\) равны тогда и только тогда, когда равны их показатели. {x-2} = 1 \)
    x — 2 = 0
    Ответ х = 2

    Решить уравнение 3 |х — 1| = 3 |х + 3|
    Так как 3 > 0, \(3 \neq 1\), то исходное уравнение равносильно уравнению |x-1| = |x+3|
    Возводя это уравнение в квадрат, получаем его следствие (х — 1) 2 = (х + 3) 2 , откуда
    х 2 — 2х + 1 = х 2 + 6х + 9, 8x = -8, х = -1
    Проверка показывает, что х = -1 — корень исходного уравнения.
    Ответ х = -1

    Онлайн калькулятор с неизвестным числом. Решение матричных уравнений

    Инструкция

    Примечание: π записывается как pi; корень квадратный как sqrt().

    Шаг 1. Введите заданный пример, состоящий из дробей.

    Шаг 2. Нажмите кнопку “Решить”.

    Шаг 3. Получите подробный результат.

    Чтобы калькулятор посчитал дроби правильно, вводите дробь через знак: “/”. Например: . Калькулятор посчитает уравнение и даже покажет на графике, почему получился такой результат.

    Что такое уравнение с дробями

    Уравнение с дробями – это уравнение, в котором коэффициенты являются дробными числами. Линейные уравнения с дробями решается по стандартной схеме: неизвестные переносятся в одну сторону, а известные – в другую.

    Рассмотрим на примере:

    Дроби с неизвестными переносятся влево, а остальные дроби – вправо. Когда переносятся числа за знак равенства, тогда у чисел знак меняется на противоположный:

    Теперь нужно выполнить только действия обеих частей равенства:

    Получилось обыкновенное линейное уравнение. Теперь нужно поделить левую и правую части на коэффициент при переменной.

    Решить уравнение с дробями онлайн обновлено: 7 октября, 2018 автором: Научные Статьи.Ру

    Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

    Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

    Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

    1. Не имеют корней;
    2. Имеют ровно один корень;
    3. Имеют два различных корня.

    В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

    Дискриминант

    Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

    Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

    1. Если D
    2. Если D = 0, есть ровно один корень;
    3. Если D > 0, корней будет два.

    Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

    Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

    1. x 2 − 8x + 12 = 0;
    2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
    3. x 2 − 6x + 9 = 0.

    Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
    a = 1, b = −8, c = 12;
    D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

    Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
    a = 5; b = 3; c = 7;
    D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

    Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
    a = 1; b = −6; c = 9;
    D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

    Дискриминант равен нулю — корень будет один.

    Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

    Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

    Корни квадратного уравнения

    Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

    Основная формула корней квадратного уравнения

    Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D

    1. x 2 − 2x − 3 = 0;
    2. 15 − 2x − x 2 = 0;
    3. x 2 + 12x + 36 = 0.

    Первое уравнение:
    x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
    D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

    D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

    Второе уравнение:
    15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
    D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

    D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

    \[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

    Наконец, третье уравнение:
    x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
    D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

    D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

    Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

    Неполные квадратные уравнения

    Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

    1. x 2 + 9x = 0;
    2. x 2 − 16 = 0.

    Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

    Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

    Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

    Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

    Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

    1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
    2. Если же (−c /a )

    Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

    Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

    Вынесение общего множителя за скобку

    Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

    Задача. Решить квадратные уравнения:

    1. x 2 − 7x = 0;
    2. 5x 2 + 30 = 0;
    3. 4x 2 − 9 = 0.

    x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

    5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

    4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

    Назначение сервиса . Матричный калькулятор предназначен для решения систем линейных уравнений матричным способом (см. пример решения подобных задач).

    Инструкция . Для онлайн решения необходимо выбрать вид уравнения и задать размерность соответствующих матриц. где А, В, С — задаваемые матрицы, Х — искомая матрица. Матричные уравнения вида (1), (2) и (3) решаются через обратную матрицу A -1 . Если задано выражение A·X — B = C , то необходимо, сначала сложить матрицы C + B , и находить решение для выражения A·X = D , где D = C + B . Если задано выражение A*X = B 2 , то предварительно матрицу B надо возвести в квадрат .

    Рекомендуется также ознакомиться с основными действиями над матрицами .

    Пример №1 . Задание . Найти решение матричного уравнения
    Решение . Обозначим:
    Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X·B = C.
    Определитель матрицы А равен detA=-1
    Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1:Умножаем обе части этого равенства слева на A -1 и справа на B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Так как A·A -1 = B·B -1 = E и E·X = X·E = X, то X = A -1 ·C·B -1

    Обратная матрица A -1:
    Найдем обратную матрицу B -1 .
    Транспонированная матрица B T:
    Обратная матрица B -1:
    Матрицу X ищем по формуле: X = A -1 ·C·B -1

    Ответ:

    Пример №2 . Задание. Решить матричное уравнение
    Решение . Обозначим:
    Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
    Определитель матрицы А равен detA=0
    Так как A вырожденная матрица (определитель равен 0), следовательно уравнение решения не имеет.

    Пример №3 . Задание. Найти решение матричного уравнения
    Решение . Обозначим:
    Тогда матричное уравнение запишется в виде: X·A = B.
    Определитель матрицы А равен detA=-60
    Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим справа обе части уравнения на A -1: X·A·A -1 = B·A -1 , откуда находим, что X = B·A -1
    Найдем обратную матрицу A -1 .
    Транспонированная матрица A T:
    Обратная матрица A -1:
    Матрицу X ищем по формуле: X = B·A -1


    Ответ: >

    Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. {nm}:\]

    Прибавляем к исходному уравнению:

    Вынесем за скобки \

    Выразим \

    Поскольку степени одинаковые, отбрасываем их:

    Ответ: \

    Где можно решить показательное уравнение онлайн решателем?

    Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

    для решения математики. Быстро найти решение математического уравнения в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет решить уравнение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного уравнения онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать уравнения онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение уравнений онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических уравнений онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические уравнения онлайн , тригонометрические уравнения онлайн , трансцендентные уравнения онлайн , а также уравнения с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Уравнения служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических уравнений можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины уравнений можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде уравнений и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое уравнение , тригонометрическое уравнение или уравнения содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения уравнений . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических уравнений онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических уравнений онлайн , тригонометрических уравнений онлайн , а также трансцендентных уравнений онлайн или уравнений с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению корней различных математических уравнений ресурса www.. Решая уравнения онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение уравнений на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать уравнение и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением уравнения. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить уравнение онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении уравнений онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или уравнение с неизвестными параметрами.

    Решебник и калькулятор с решениями примеров и уравнений онлайн

    Решения уравнений по алгебре

    Нет смысла искать калькулятор, когда уже есть ЛовиОтвет

    Калькулятор ЛовиОтвет решает математические примеры и уравнения с отображением этапов решения, производит наглядно вычисления «в столбик». Вас приятно удивит результат решения — на разлинованном тетрадном листе вы увидите все что должен написать ученик или студент для решения примера. Отлично подходит как для проверки уже выполненных заданий, так и для, непосредственно, их выполнения.

    Видеоинструкция к программе «Лови Ответ»

    Калькулятор остался в прошлом. Лови ответ не просто калькулятор!

    ЛовиОтвет на Apple AppStore
    Помимо версии под Android(Google Play), программа ЛовиОтвет доступна для использования на платформах iOS версии 5. 1 и выше. Работает на всех устройствах Apple: iPhone 3GS, iPhone 4, iPhone 4S, iPod touch (3rd generation), iPod touch (4th generation) и iPad.

    Новое в версии 6.0.80:

      Для работы программы больше не требуется системный сервис Улучшен механизм обновления программы

    Новое в версии 6.00:

      Улучшенный интерфейс программы в новом дизайне Добавлены новые математические функции Еще лучше решает домашние задания Повышенная стабильность работы

    Новое в версии 5.00:

      Обновленный дизайн интерфейса программы Решение практически любых математических задач Возможность выбора уровня детализации решения при просмотре результатов Вывод решения как со столбиками, так и в сокращенном виде ри варианта решения — Стандартное, с обыкновенными дробями и решение «в столбик»

    Новое в версии 4.00:

      Решение уравнений Упрощение выражений Дроби Точность расчетов до 80 знаков

    Новое в версии 2.01:

      Добавлено более 50 математических функций и теперь позволит использовать калькулятор не только школьникам, но и студентам и инженерам, в том числе тригонометрические функции (от sin() — синуса до arccsch() — гиперболического арккосеканса), факториалы, логарифмы и много-много полезных функций. Возможность копирования решения или ответа в буфер обмена Возможность отключения подсчета «в столбик» идеально для проффесионального вычисления

    Используя Лови Ответ вы сможете Проверить правильность решения домашних заданий по математике вашим ребенком.

    Программа предназначена для школьников и студентов всех курсов. Также отлично зарекомендовала себя среди родителей, в качестве отличного инструмента для проверки домашних заданий.

    Домашние задания по математике — это просто!

      Все арифметические действия по желанию выполняются «в столбик» Отлично подходит в качестве для быстрой проверки уже выполненных заданий Поможет при обучении устному и письменному счету без калькулятора Начиная с версии 2.01 программа подходит для учеников старших классов и студентов

    Решебник по математике?

    Он больше вам не понадобится. Если только записать на нем адрес сайта LoviOtvet. ru и подарить вашему лучшему другу или однокласснику

    Калькулятор ЛовиОтвет решает математические примеры и уравнения с отображением этапов решения, производит наглядно вычисления «в столбик». Вас приятно удивит результат решения — на разлинованном тетрадном листе вы увидите все что должен написать ученик или студент для решения примера. Отлично подходит как для проверки уже выполненных заданий, так и для, непосредственно, их выполнения.

    ЛовиОтвет на Apple AppStore
    Помимо версии под Android(Google Play), программа ЛовиОтвет доступна для использования на платформах iOS версии 5.1 и выше. Работает на всех устройствах Apple: iPhone 3GS, iPhone 4, iPhone 4S, iPod touch (3rd generation), iPod touch (4th generation) и iPad.

    Новое в версии 6.0.80:

      Для работы программы больше не требуется системный сервис Улучшен механизм обновления программы

    Новое в версии 6.00:

      Улучшенный интерфейс программы в новом дизайне Добавлены новые математические функции Еще лучше решает домашние задания Повышенная стабильность работы

    Новое в версии 5.00:

      Обновленный дизайн интерфейса программы Решение практически любых математических задач Возможность выбора уровня детализации решения при просмотре результатов Вывод решения как со столбиками, так и в сокращенном виде ри варианта решения — Стандартное, с обыкновенными дробями и решение «в столбик»

    Новое в версии 4. 00:

      Решение уравнений Упрощение выражений Дроби Точность расчетов до 80 знаков

    Новое в версии 2.01:

      Добавлено более 50 математических функций и теперь позволит использовать калькулятор не только школьникам, но и студентам и инженерам, в том числе тригонометрические функции (от sin() — синуса до arccsch() — гиперболического арккосеканса), факториалы, логарифмы и много-много полезных функций. Возможность копирования решения или ответа в буфер обмена Возможность отключения подсчета «в столбик» идеально для проффесионального вычисления

    Используя Лови Ответ вы сможете Проверить правильность решения домашних заданий по математике вашим ребенком.

    Программа предназначена для школьников и студентов всех курсов. Также отлично зарекомендовала себя среди родителей, в качестве отличного инструмента для проверки домашних заданий.

    Решение уравнений.

    Loviotvet. ru

    21.04.2019 7:55:52

    2019-04-21 07:55:52

    Источники:

    Http://loviotvet. 3 — возведение в степень X + 7 — сложение X — 6 — вычитание 15/7 — дробь
    Другие функции: Asec(x) Функция — арксеканс от X Acsc(x) Функция — арккосеканс от X Sec(x) Функция — секанс от X Csc(x) Функция — косеканс от X Floor(x) Функция — округление X в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0) Ceiling(x) Функция — округление X в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0) Sign(x) Функция — Знак X Erf(x) Функция ошибок (или интеграл вероятности) Laplace(x) Функция Лапласа Asech(x) Функция — гиперболический арксеканс от X Csch(x) Функция — гиперболический косеканс от X Sech(x) Функция — гиперболический секанс от X Acsch(x) Функция — гиперболический арккосеканс от X
    Постоянные: Pi Число «Пи», которое примерно равно ~3.14159.. E Число E — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183. . I Комплексная единица Oo Символ бесконечности — знак для бесконечности

    Решим уравнение с неизвестным X
    (если данное уравнение калькулятор способен решить).

    Левая и правая части уравнения теперь совмещены в одну.
    И знак равенства теперь находится в форме.

    Введите уравнение с неизвестным, для которого требуется найти корни.

    Www. kontrolnaya-rabota. ru

    17.07.2017 4:24:32

    2017-07-17 04:24:32

    Источники:

    Https://www. kontrolnaya-rabota. ru/s/equal-one/any-uravnenie/

    Mathway | Решение задач по алгебре » /> » /> .keyword { color: red; }

    Решения уравнений по алгебре

    It appears we may have a connection issue. I will end the session — please reconnect if you still need assistance.

    If you click on «Tap to view steps. » you will see the steps are now numbered. Which step # do you have a question on?

    Please make sure you are in the correct subject. To change subjects, please exit out of this live expert session and select the appropriate subject from the menu located in the upper left corner of the Mathway screen.

    While we cover a very wide range of problems, we are currently unable to assist with this specific problem. I spoke with my team and we will make note of this for future training. Is there a different problem you would like further assistance with?

    Mathway currently does not support this subject. We are more than happy to answer any math specific question you may have about this problem.

    Mathway currently does not support Ask an Expert Live in Chemistry. If this is what you were looking for, please contact support.

    We are here to assist you with your math questions. You will need to get assistance from your school if you are having problems entering the answers into your online assignment.

    Phone support is available Monday-Friday, 9:00AM-10:00PM ET. You may speak with a member of our customer support team by calling 1-800-876-1799.

    If you click on Tap to view steps.

    Www. mathway. com

    16.05.2020 23:27:28

    2020-05-16 23:27:28

    Источники:

    Https://www. mathway. com/ru

    Solve for X Calculator + онлайн-решатель с бесплатными шагами

    Solve For X Calculator — это онлайн-инструмент, который очень полезен для нахождения значений x в заданном математическом выражении. Когда переменные и числа объединяются с помощью различных операций, получается математическое выражение .

    Математические выражения очень важны для таких областей, как физика и инженерия . Они могут быть представлениями любой формы, способом нахождения площади и объема любой области. Поскольку задействованы переменные, эти выражения равны решил , чтобы получить их значения, что в конечном итоге помогает найти решение различных математических задач .

    Калькулятор оценивает значения переменных в каждом математическом выражении, используя различные методы в зависимости от типа выражения.

    Что такое Solve for X Calculator?

    Калькулятор Solve For X — это онлайн-калькулятор, который можно использовать для определения корней математических уравнений путем их решения со скоростью узлов.

    Математические уравнения имеют большое разнообразие типов. Наиболее часто используются линейные , квадратичные и полиномы более высокой степени . Существует целая куча методов решения этих уравнений.

    Важным шагом является выбор метода для решения данного уравнения среди списка доступных вариантов. Не нужен один метод, который может решить все типа уравнений. Также возможно одновременное наличие множественные методы решения одного уравнения .

    Следовательно, выбор подходящей техники зависит от природы уравнения. Нужно иметь хорошее понимание математических уравнений и предварительное знание различных методов решения этих уравнений вручную .

    Чтобы найти решение таких уравнений, вы должны выполнить сложную процедуру, которая является исчерпывающей и трудоемкой задачей. Вы можете получить неправильное решение, и вам придется выполнять один и тот же процесс снова и снова.

    Вот решение всех этих проблем. Вы можете использовать калькулятор Solve for X , , который избавляет от мучительной работы по решению уравнений. Это простой и понятный инструмент, с которым вы можете работать на своем устройстве, просто используя браузер.

    Как пользоваться калькулятором Solve for X?

    Вы можете использовать Калькулятор решения для X , вставив входное уравнение, для которого вы хотите найти решение. Вам не нужно указывать тип уравнения и способ его решения, инструмент сделает это за вас.

    Ниже приведена пошаговая процедура использования этого калькулятора . Вы должны выполнить следующие шаги, чтобы получить наилучшие результаты.

    Шаг 1

    Введите целевое уравнение. Это должно быть правильное уравнение с переменной x . Введите уравнение в поле с именем . Введите уравнение . Это может быть линейная, квадратичная, полиномиальная более высокой степени и тригонометрическая функция x.

    Шаг 2

    После ввода уравнения нажмите Кнопка «Решить «, чтобы получить окончательный ответ.

    Результат

    Результатом будут значения x, которые удовлетворяют входному уравнению. Результат может варьироваться от проблемы к проблеме.

    Для математических уравнений количество значений будет равно старшей степени в уравнении. Например, если мы введем квадратное уравнение, оно даст два корня из х.

    С другой стороны, для тригонометрических функций наш калькулятор дает ответы в виде периодических значений (кратных). Например, если функция sin(x), она дает ответ вида x = n$\pi$, где n $\in$ Z. 

    Как работает калькулятор Solve for X?

    Калькулятор Solve for X работает, применяя различные методы решения уравнений в зависимости от характера уравнений для нахождения значений задействованной переменной.

    Таким образом, он решает уравнение в соответствии с его типом, чтобы найти неизвестную переменную.

    Существуют различные методы решения вышеупомянутых алгебраических уравнений, но мы должны сначала узнать об этих уравнениях.

    Что такое линейное уравнение?

    A Линейное уравнение  это уравнение, в котором неизвестная переменная имеет степень, равную единице. Это уравнение имеет только один корень, а это значит, что оно имеет только одно решение. При графическом представлении это должна быть прямая линия либо по вертикали, либо по горизонтали.

    Линейное уравнение имеет вид:

    ax + b = 0 

    Что такое квадратное уравнение?

    Квадратные уравнения являются алгебраическими уравнениями второго порядка, что означает, что в этих уравнениях старшая степень неизвестной переменной равна 9{n-1} + c = 0 \]

    После обсуждения типов уравнений давайте теперь обсудим методы решения этих уравнений. Как упоминалось выше, работа этого калькулятора зависит от любого из этих методов.

    Метод решения линейных уравнений

    Линейные уравнения решать проще всего. Разделите все неизвестные переменные с одной стороны уравнения и постоянные члены с другой стороны, добавляя или вычитая константы.

    Затем решите постоянные условия, выполнив математические операции. После этого удалите все коэффициенты при переменных, умножив или разделив их на обе части уравнения. Снова упростите уравнение для искомой переменной.

    Методы решения квадратных уравнений

    Квадратное уравнение имеет два корня, и эти корни можно найти, решая их для неизвестных переменных. Существует три различных метода решения этих уравнений.

    Факторизация

    Факторизация — простейший метод решения квадратных уравнений. Факторизация состоит из нескольких шагов. Для факторизации нам сначала нужно преобразовать данное уравнение в стандартную форму. 2 + Ьх + с = 0 \]

    Затем мы должны применить метод  промежуточного разрыва , который означает разбиение среднего члена на два члена таким образом, чтобы сложение этих двух членов давало исходный член, а умножение этих двух членов давало постоянный член.

    Затем, чтобы составить требуемые множители, выньте общий член из имеющихся. Чтобы найти два требуемых корня, упростите эти полученные множители.

    Квадратная формула

    Существуют квадратные уравнения, которые нельзя решить с помощью факторизации. Таким образом, для таких типов уравнений 92-4ac}}{2a} \]

    В приведенном выше уравнении c принадлежит постоянному члену уравнения, тогда как a и b являются коэффициентами неизвестной переменной. Чтобы узнать корни уравнения, просто подставьте значения в формулу, и мы получим ответ.

    Метод завершения квадрата

    Метод Заполнение квадрата включает в себя возведение уравнения в квадрат и его упрощение, чтобы найти решение данного уравнения. Чтобы понять этот метод, рассмотрим стандартную форму квадратного уравнения. 92$. Это можно сделать, добавив соответствующие члены в обе стороны уравнения. После завершения квадрата извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения, затем упростите уравнение, чтобы получить значение искомой переменной.

    Методы решения уравнений высшего порядка

    Уравнения высшего порядка имеют степени, равные трем и более, и в зависимости от степени; эти уравнения имеют три или более корней. Решение уравнения высшего порядка — очень утомительная задача. Вот несколько способов решения этих уравнений.

    Распознавание факторов

    Выньте общий член из всего уравнения, чтобы преобразовать его в квадратную форму, затем решите это квадратное уравнение, разложив его на множители или используя квадратную формулу.

    Synthetic Division

    Некоторые уравнения более высокого порядка не могут быть решены путем распознавания факторов. Поэтому для этого мы используем метод  Синтетического деления .

    Это метод, при котором многочлен более высокого порядка делится на многочлен первого порядка с использованием только коэффициентов, а знак делителя меняется так, что после вычитания мы можем получить новый многочлен более низкого порядка. 92+8x-40 = 0 \]

    Используйте Solve For X Calculator для поиска значений.

    Решение

    Для многочлена 4-й степени мы получаем четыре значения x.

    x {1,2} = $ \ pm $ 2

    x3 = 1-3i

    x4 = 1 + 3i

    Пример 3

    Рассмотрите нижеупомянутые функции Trigonometric:

    2

    2

    . Рассмотрите нижеуное. f(x) = 5 + 2sin(x)

    Найдите значения с помощью калькулятора   выше. 9{-1}(\frac{5}{2}) \quad и \; n \in \mathbb{Z} \]

    Список математических калькуляторов

    8.5: Решение уравнений с переменными и константами с обеих сторон (Часть 2)

    1. Последнее обновление
    2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    6910
    • OpenStax
    • OpenStax

    Решение уравнений с использованием общей стратегии

    Каждый из первых нескольких разделов этой главы посвящен решению одной конкретной формы линейного уравнения. Пришло время изложить общую стратегию, которую можно использовать для решения любого линейного уравнения. Мы называем это общей стратегией. Для решения некоторых уравнений не потребуются все шаги, но для многих потребуется. Максимальное упрощение каждой части уравнения в первую очередь упрощает остальные шаги.

    КАК: ИСПОЛЬЗОВАТЬ ОБЩУЮ СТРАТЕГИЮ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

    Шаг 1. Максимально упростите каждую часть уравнения. Используйте Распределительное свойство, чтобы удалить все круглые скобки. Соедините подобные термины.

    Шаг 2. Соберите все переменные члены в одну часть уравнения. Используйте свойство равенства сложения или вычитания.

    Шаг 3. Соберите все постоянные члены в другую часть уравнения. Используйте свойство равенства сложения или вычитания.

    Шаг 4. Приведите коэффициент переменного члена к 1. Используйте свойство равенства умножения или деления. Укажите решение уравнения.

    Шаг 5. Проверьте решение. Подставьте решение в исходное уравнение, чтобы убедиться, что результат является верным утверждением.

    Пример \(\PageIndex{11}\):

    Решите: 3(x + 2) = 18.

    Решение

    Максимально упростите каждую часть уравнения. Используйте Распределительное свойство. $$3x + 6 = 18 \tag{8.3.46}$$
    Соберите все переменные члены в одной части уравнения — все x уже находятся в левой части.  
    Соберите постоянные члены на другой стороне уравнения. Вычтите 6 с каждой стороны. $$3x + 6 \textcolor{red}{-6} = 18 \textcolor{red}{-6} \tag{8.3.47}$$
    Упрощение. $$3x = 12 \tag{8.3.48}$$
    Приравняйте коэффициент переменного члена к 1. Разделите каждую часть на 3. $$\dfrac{3x}{\textcolor{red}{3}} = \dfrac{12}{\textcolor{red}{3}} \tag{8.3.49}$$
    Упрощение. $$x = 4 \tag{8. 3.50}$$
    Проверка: Пусть x = 4. $$\begin{split} 3(x + 2) &= 18 \\ 3(\textcolor{red}{4} + 2 &\stackrel{?}{=} 18 \\ 3(6) &\stackrel {?}{=} 18 \\ 18 &\stackrel{?}{=} 18\;\checkmark \end{split}$$
    Упражнение \(\PageIndex{21}\):

    Решите: 5(x + 3) = 35.

    Ответ

    х = 4

    Упражнение \(\PageIndex{22}\):

    Решите: 6(y − 4) = −18.

    Ответить

    г = 1

    Пример \(\PageIndex{12}\):

    Решите: −(x + 5) = 7.

    Решение

    Максимально упростите каждую часть уравнения путем распределения. Единственный член x находится в левой части, поэтому все переменные члены находятся в левой части уравнения. $$-x — 5 = 7 \tag{8.3.51}$$
    Добавьте 5 к обеим частям, чтобы получить все постоянные члены в правой части уравнения. $$-x — 5 \textcolor{red}{+5} = 7 \textcolor{red}{+5} \tag{8.3.52}$$
    Упрощение. $$-x = 12 \tag{8.3.53}$$
    Приведите коэффициент переменного члена к 1, умножив обе части на -1. $$\textcolor{red}{-1} (-x) = \textcolor{red}{-1} (12) \tag{8.3.54}$$
    Упрощение. $$x = -12 \tag{8.3.55}$$
    Проверка: Пусть x = −12. $$\begin{split} -(x + 5) &= 7 \\ -(\textcolor{red}{-12} + 5) &\stackrel{?}{=} 7 \\ -(-7) &\stackrel{?}{=} 7 \\ 7 &= 7\; \checkmark \end{split}$$
    Упражнение \(\PageIndex{23}\):

    Решите: −(y + 8) = −2.

    Ответить

    г = -6

    Упражнение \(\PageIndex{24}\):

    Решите: −(z + 4) = −12.

    Ответить

    г = 8

    Пример \(\PageIndex{13}\):

    Решите: 4(x − 2) + 5 = −3.

    Решение

    Максимально упростите каждую часть уравнения. Распространять. $$4x — 8 + 5 = -3 \tag{8.3.56}$$
    Объедините похожие термины. $$4x — 3 = -3 \tag{8.3.57}$$
    Единственный x находится в левой части, поэтому все переменные члены находятся в одной части уравнения.  
    Добавьте 3 к обеим частям, чтобы получить все постоянные члены в другой части уравнения. $$4x — 3 \textcolor{red}{+3} = -3 \textcolor{red}{+3} \tag{8.3.58}$$
    Упростить. $$4x = 0 \tag{8.3.59}$$
    Сделать коэффициент переменного члена равным 1, разделив обе части на 4. $$\dfrac{4x}{\textcolor{red}{4}} = \dfrac{0}{\textcolor{red}{4}} \tag{8.3.60}$$
    Упрощение. $$x = 0 \tag{8.3.61}$$
    Проверка: Пусть x = 0. $$\begin{split} 4(x — 2) + 5 &= -3 \\ 4(\textcolor{red}{0} — 2) + 5 &\stackrel{?}{=} -3 \\ 4(-2) + 5 &\stackrel{?}{=} -3 \\ -8 + 5 &\stackrel{?}{=} -3 \\ -3 &= -3\; \checkmark \end{split}$$
    Упражнение \(\PageIndex{25}\):

    Решите: 2(a − 4) + 3 = −1.

    Ответить

    а = 2

    Упражнение \(\PageIndex{26}\):

    Решите: 7(n — 3) — 8 = -15.

    Ответить

    n = 2

    Пример \(\PageIndex{14}\):

    Решите: 8 − 2(3y + 5) = 0.

    Решение

    Будьте осторожны при распределении негатива.

    Упростить — использовать Распределяющее свойство. $$8 — 6г — 10 = 0 \tag{8.3.62}$$
    Объедините похожие термины. $$-6y — 2 = 0 \tag{8.3.63}$$
    Добавьте 2 к обеим сторонам, чтобы собрать константы справа. $$-6y — 2 \textcolor{red}{+2} = 0 \textcolor{red}{+2} \tag{8.3.64}$$
    Упрощение. $$y = — \dfrac{1}{3} \tag{8.3.65}$$
    Разделите обе части на −6. $$\dfrac{-6y}{\textcolor{red}{-6}} = \dfrac{2}{\textcolor{red}{-6}} \tag{8.3.66}$$
    Упрощение. $$y = — \dfrac{1}{3} \tag{8.3.67}$$
    Проверка. Пусть y = \(− \dfrac{1}{3}\). \[\begin{split} 8 — 2(3y + 5) &= 0 \\ 8 — 2 \Bigg[ 3 \left(\textcolor{red}{- \dfrac{1}{3}}\right) + 5 \Bigg] &= 0 \\ 8 — 2(-1 + 5) &\stackrel{?}{=} 0 \\ 8 — 2(4) &\stackrel{?}{=} 0 \\ 8 — 8 &\stackrel{?}{=} 0 \\ 0 &= 0; \checkmark \end{split}$$
    Упражнение \(\PageIndex{27}\):

    Решите: 12 − 3(4j + 3) = −17.

    Ответить

    \(j = \frac{5}{3}\)

    Упражнение \(\PageIndex{28}\):

    Решите: −6 − 8(k − 2) = −10.

    Ответить

    \(k = \frac{5}{2}\)

    Пример \(\PageIndex{15}\):

    Решить: 3(x − 2) − 5 = 4(2x + 1) + 5.

    Решение

    Распределить. $$3x — 6 — 5 = 8x + 4 + 5 \tag{8.3.68}$$
    Объедините похожие термины. $$3x — 11 = 8x + 9 \tag{8.3.69}$$
    Вычтите 3x, чтобы получить все переменные справа, так как 8 > 3. $$3x \textcolor{red}{-3x} — 11 = 8x \textcolor{red}{-3x} + 9 \tag{8.3.70}$$
    Упрощение. $$-11 = 5x + 9 \tag{8.3.71}$$
    Вычтите 9, чтобы получить константы слева. $$-11 \textcolor{red}{-9} = 5x + 9 \textcolor{red}{-9} \tag{8. 3.72}$$
    Упрощение. $$-20 = 5x \tag{8.3.73}$$
    Разделить на 5. $$\dfrac{-20}{\textcolor{red}{5}} = \dfrac{5x}{\textcolor{red}{5}} \tag{8.3.74}$$
    Упрощение. $$-4 = х \tag{8.3.75}$$
    Проверить: Подставить: −4 = x. \[\begin{split} 3(x — 2) — 5 &= 4(2x + 1) + 5 \\ 3(\textcolor{red}{-4} — 2) — 5 &\stackrel{?} {=} 4[2(\textcolor{red}{-4}) + 1] + 5 \\ 3(-6) — 5 &\stackrel{?}{=} 4(-8 + 1) + 5 \ \ -18 — 5 &\stackrel{?}{=} 4(-7) + 5 \\ -23 &\stackrel{?}{=} -28 + 5 \\ -23 &= -23\; \checkmark \end{split}$$
    Упражнение \(\PageIndex{29}\):

    Решите: 6(p − 3) − 7 = 5(4p + 3) − 12.

    Ответ

    р = -2

    Упражнение \(\PageIndex{30}\):

    Решить: 8(q + 1) − 5 = 3(2q − 4) − 1.

    Ответ

    д = -8

    Пример \(\PageIndex{16}\):

    Решите: \(\dfrac{1}{2}\)(6x — 2) = 5 — x.

    Решение

    Распределить. $$3x — 1 = 5 — x \tag{8.3.76}$$
    Добавьте x, чтобы получить все переменные слева. $$3x — 1 \textcolor{red}{+x} = 5 — x \textcolor{red}{+x} \tag{8.3.77}$$
    Упрощение. $$4x — 1 = 5 \tag{8.3.78}$$
    Добавьте 1, чтобы получить константы справа. $$4x — 1 \textcolor{red}{+1} = 5 \textcolor{red}{+1} \tag{8.3.79}$$
    Упрощение. $$4x = 6 \tag{8.3.80}$$
    Разделить на 4. $$\dfrac{4x}{\textcolor{red}{4}} = \dfrac{6}{\textcolor{red}{4}} \tag{8.3.81}$$
    Упрощение. $$x = \dfrac{3}{2} \tag{8.3.82}$$
    Проверка: пусть x = \(\dfrac{3}{2}\). $$\begin{split} \dfrac{1}{2} (6x — 2) &= 5 — x \\ \dfrac{1}{2} \left(6 \cdot \textcolor{red}{\dfrac {3}{2}} — 2 \right) &\stackrel{?}{=} 5 — \textcolor{red}{\dfrac{3}{2}} \\ \dfrac{1}{2} (9- 2) &\stackrel{?}{=} \dfrac{10}{2} — \dfrac{3}{2} \\ \dfrac{1}{2} (7) &\stackrel{?}{= } \dfrac{7}{2} \\ \dfrac{7}{2} &= \dfrac{7}{2}\; \checkmark \end{split}$$
    Упражнение \(\PageIndex{31}\):

    Решите: \(\dfrac{1}{3}\)(6u + 3) = 7 − u.

    Ответить

    и = 2

    Упражнение \(\PageIndex{32}\):

    Решите: \(\dfrac{2}{3}\)(9x − 12) = 8 + 2x.

    Ответ

    х = 4

    Во многих приложениях нам придется решать уравнения с десятичными дробями. Та же самая общая стратегия будет работать для этих уравнений.

    Пример \(\PageIndex{17}\):

    Решите: 0,24(100x + 5) = 0,4(30x + 15).

    Решение

    Распределить. $$24x + 1,2 = 12x + 6 \tag{8.3.83}$$
    Вычтите 12x, чтобы получить все x слева. $$24x + 1,2 \textcolor{red}{-12x} = 12x + 6 \textcolor{red}{-12x} \tag{8.3.84}$$
    Упрощение. $$12x + 1,2 = 6 \tag{8.3.85}$$
    Вычтите 1,2, чтобы получить константы справа. $$12x + 1,2 \textcolor{red}{-1,2} = 6 \textcolor{red}{-1,2} \tag{8. 3.86}$$
    Упрощение. $$12x = 4,8 \tag{8.3.87}$$
    Разделить. $$\dfrac{12x}{\textcolor{red}{12}} = \dfrac{4.8}{\textcolor{red}{12}} \tag{8.3.88}$$
    Упрощение. $$x = 0,4 \tag{8.3.89}$$
    Проверка: Пусть x = 0,4. \[\begin{split} 0,24(100x + 5) &= 0,4(30x + 15) \\ 0,24[100(\textcolor{red}{0,4}) + 5] &\stackrel{?}{=} 0,4 [30(\textcolor{red}{0,4}) + 15] \\ 0,24(40 + 5) &\stackrel{?}{=} 0,4(12 + 15) \\ 0,24(45) &\stackrel{?} {=} 0,4(27) \\ 10,8 &= 10,8\; \checkmark \end{split}$$
    Упражнение \(\PageIndex{33}\):

    Решите: 0,55(100n + 8) = 0,6(85n + 14).

    Ответить

    n = 1

    Упражнение \(\PageIndex{34}\):

    Решите: 0,15(40 м — 120) = 0,5(60 м + 12).

    n = -1

    ДОСТУП К ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ РЕСУРСАМ В ИНТЕРНЕТЕ

    Решение многошаговых уравнений

    Решение уравнения с переменными членами в обеих частях

    Решение многошагового уравнения (L5. 4)

    Решите уравнение с переменными и круглыми скобками с обеих сторон

    Практика ведет к совершенству

    Решите уравнение с константами с обеих сторон

    В следующих упражнениях решите уравнение для переменной.

    1. 6x — 2 = 40
    2. 7х — 8 = 34
    3. 11ж + 6 = 93
    4. 14 лет + 7 = 91
    5. 3а + 8 = -46
    6. 4м + 9 = -23
    7. −50 = 7n − 1
    8. -47 = 6б + 1
    9. 25 = −9y + 7
    10. 29 = −8x − 3
    11. -12р — 3 = 15
    12. −14q − 15 = 13

    Решение уравнения с переменными с обеих сторон

    В следующих упражнениях решите уравнение для переменной.

    1. 8z = 7z − 7
    2. 9к = 8к — 11
    3. 4x + 36 = 10x
    4. 6х + 27 = 9х
    5. с = -3с — 20
    6. б = -4б — 15
    7. 5q = 44 — 6q
    8. 7з = 39− 6з
    9. 3 года + \(\dfrac{1}{2}\) = 2 года
    10. 8x + \(\dfrac{3}{4}\) = 7x
    11. -12а — 8 = -16а
    12. −15r − 8 = −11r

    Решение уравнения с переменными и константами с обеих сторон

    В следующих упражнениях решите уравнения для переменной.

    1. 6х — 15 = 5х + 3
    2. 4x — 17 = 3x + 2
    3. 26 + 8д = 9д + 11
    4. 21 + 6 ж = 7 ж + 14
    5. 3п — 1 = 5п — 33
    6. 8q — 5 = 5q — 20
    7. 4а + 5 = — а — 40
    8. 9с + 7 = -2с — 37
    9. 8 лет — 30 = -2 года + 30
    10. 12x — 17 = -3x + 13
    11. 2z — 4 = 23 — z
    12. 3г — 4 = 12 — г
    13. \(\dfrac{5}{4}\)c — 3 = \(\dfrac{1}{4}\)c — 16
    14. \(\dfrac{4}{3}\)m — 7 = \(\dfrac{1}{3}\)m — 13
    15. 8 — \(\dfrac{2}{5}\)q = \(\dfrac{3}{5}\)q + 6
    16. 11 — \(\dfrac{1}{4}\)a = \(\dfrac{3}{4}\)a + 4
    17. \(\dfrac{4}{3}\)n + 9 = \(\dfrac{1}{3}\)n — 9
    18. \(\dfrac{5}{4}\)а + 15 = \(\dfrac{3}{4}\)а — 5
    19. \(\dfrac{1}{4}\)y + 7 = \(\dfrac{3}{4}\)y — 3
    20. \(\dfrac{3}{5}\)p + 2 = \(\dfrac{4}{5}\)p — 1
    21. 14н + 8,25 = 9н + 19,60
    22. 13z + 6,45 = 8z + 23,75
    23. 2,4 Вт — 100 = 0,8 Вт + 28
    24. 2,7 Вт — 80 = 1,2 Вт + 10
    25. 5,6р + 13,1 = 3,5р + 57,2
    26. 6,6х — 18,9 = 3,4х + 54,7

    Решение уравнения с использованием общей стратегии

    В следующих упражнениях решите линейное уравнение с использованием общей стратегии.

    1. 5(х + 3) = 75
    2. 4(у + 7) = 64
    3. 8 = 4(х — 3)
    4. 9 = 3(х — 3)
    5. 20(у — 8) = -60
    6. 14(у — 6) = -42
    7. -4(2n + 1) = 16
    8. -7(3n + 4) = 14
    9. 3(10 + 5r) = 0
    10. 8(3 + 3р) = 0
    11. \(\dfrac{2}{3}\)(9c — 3) = 22
    12. \(\dfrac{3}{5}\)(10x — 5) = 27
    13. 5 (1,2u — 4,8) = -12
    14. 4 (2,5 В — 0,6) = 7,6
    15. 0,2(30n + 50) = 28
    16. 0,5(16 м + 34) = −15
    17. — (ш — 6) = 24
    18. — (т — 8) = 17
    19. 9(3а + 5) + 9 = 54
    20. 8(6б — 7) + 23 = 63
    21. 10 + 3 (z + 4) = 19
    22. 13 + 2(м — 4) = 17
    23. 7 + 5(4 — q) = 12
    24. −9+ 6 (5 — к) = 12
    25. 15 — (3р + 8) = 28
    26. 18 — (9г + 7) = -16
    27. 11 — 4 (у — 8) = 43
    28. 18 — 2(у — 3) = 32
    29. 9(р — 1) = 6(2р — 1)
    30. 3(4n — 1) — 2 = 8n + 3
    31. 9(2 м — 3) — 8 = 4 м + 7
    32. 5(х — 4) — 4х = 14
    33. 8(х — 4) — 7х = 14
    34. 5 + 6 (3 с — 5) = -3 + 2 (8 с — 1)
    35. -12 + 8 (х — 5) = -4 + 3 (5х — 2)
    36. 4(х — 1) — 8 = 6(3х — 2) — 7
    37. 7(2x — 5) = 8(4x — 1) — 9

    Математика на каждый день

    1. Изготовление забора У Джовани забор вокруг прямоугольного сада на заднем дворе. Периметр забора 150 метров. Длина на 15 футов больше ширины. Найдите ширину w, решив уравнение 150 = 2(w + 15) + 2w.
    2. Билеты на концерт Общая стоимость проданных билетов на школьный концерт составила 1506 долларов. Студенческие билеты продаются за 6 долларов, а билеты для взрослых — за 9 долларов.. Количество проданных билетов для взрослых было в 5 раз меньше, чем количество студенческих билетов, чем в 3 раза. Найдите количество проданных студенческих билетов, s, решив уравнение 6s + 9(3s − 5) = 1506.
    3. Монеты У Ронды есть 1,90 доллара в пятицентовых монетах. Количество десятицентовиков на единицу меньше, чем удвоенное количество пятицентовых монет. Найдите количество пятицентовых монет n, решив уравнение 0,05n + 0,10(2n — 1) = 1,90.
    4. Ограждение У Мики есть 74 фута ограждения, чтобы построить во дворе прямоугольную собачью будку. Он хочет, чтобы длина была на 25 футов больше ширины. Найдите длину L, решив уравнение 2L + 2(L − 25) = 74,9. 0308

    Письменные упражнения

    203. Почему при решении уравнения с переменными в обеих частях обычно лучше выбирать сторону с большим коэффициентом в качестве переменной? 204. Решите уравнение 10x + 14 = −2x + 38, объяснив все шаги вашего решения. 205. Какой первый шаг вы делаете при решении уравнения 3 — 7(y — 4) = 38? Объясните, почему это ваш первый шаг. 206. Решите уравнение 1 4 (8x + 20) = 3x − 4, объясняя все шаги вашего решения, как в примерах в этом разделе. 207. Своими словами перечислите шаги Общей стратегии решения линейных уравнений. 208. Объясните, почему вы должны максимально упростить обе части уравнения, прежде чем собирать переменные члены в одну сторону и постоянные члены в другую.

    Самопроверка

    (a) После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.

    (b) Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

    Авторы и авторство


    1. Наверх
    • Была ли эта статья полезной?
    1. Тип изделия
      Раздел или страница
      Автор
      ОпенСтакс
      Версия лицензии
      4,0
      Показать страницу TOC
      нет
    2. Теги
        На этой странице нет тегов.

    Линейные уравнения с одним, нулем или бесконечным числом решений

    Рабочие листы по математике для 8 класса

    Здесь мы попытаемся найти количество возможных решений любого линейного уравнения.

    Теперь рассмотрим каждый из вышеперечисленных случаев отдельно и разберемся в них на примерах.

    Линейные уравнения с одним решением

    Пример 1: Рассмотрим уравнение 7 x – 35 = 0.

    При решении имеем 7 x = 35 или x = 5. Приведенное выше линейное уравнение верно, только если x = 5 и, следовательно, данное линейное уравнение имеет только одно решение т.е. х = 5.

    9 х – 9 – 35 = 8 х + 37,

    Соберите одинаковые члены с обеих сторон, переставив их, мы имеем

    9x – 8x = 37 + 35 + 9 = 80, что дает x = 80.

    Приведенное выше линейное уравнение верно, только если x = 80

    Следовательно, данное линейное уравнение имеет только одно решение т. е. х = 80.

    Из приведенных выше примеров мы видим, что переменная х не исчезает после решения и мы говорим, что линейное уравнение есть одно решение , если ему соответствует ровно одно значение переменной.

    Узнайте больше о линейных уравнениях и других важных темах с репетиторством по математике для 8-го класса на eTutorWorld. Наши опытные преподаватели естественных наук разбивают темы на интерактивные индивидуальные занятия. Мы также предлагаем индивидуальные планы уроков, гибкий график и удобство обучения на дому.

      Пример 1: Рассмотрим уравнение 7 x – 35 = 5 x + 2 x – 27.

    При решении имеем 7 х – 35 = 7х – 27

    Вычитая 7 х с обеих сторон. 7 x – 7 x – 35  = 7 x – 7 x – 27

    мы имеем -35 = -27, что является ложным утверждением, поскольку оно не может быть истинным ни для какого значения переменной х.

    Следовательно, данное линейное уравнение имеет нулевое решение или число решений равно нулю.

    Пример 2: Рассмотрим уравнение 3 ( x + 9) + 21 x = 24 x +

    При решении мы имеем 3 x + 27 + 21 x = 241226 x + 27 + 21 x = 24

    2726 2726 2226 2726 2226 2 27 + 21 x . + 9 или 24 x + 27 = 24 x +

    Вычитание 24 x с обеих сторон, 24 x — 24 x + 27 = 24 x — 24 x + 24 = x — 24 .

    У нас есть 27 = 9, что является ложным утверждением, поскольку оно не может быть истинным ни для какого значения переменной х.

    Следовательно, данное линейное уравнение не имеет решения или число решений равно нулю .

    Из приведенных выше примеров мы видим, что переменная x исчезает / устраняется, и поэтому мы говорим, что линейное уравнение будет иметь нулевое решение или не будет иметь никакого решения , если оно не может быть удовлетворено ни одним значением переменной или существует не существует ни одного значения переменной, которое делает данное уравнение истинным утверждением.

    Линейные уравнения с бесконечными решениями

    Пример 1: Рассмотрим уравнение 25 x — 35 = 5 (5 x + 4) — 55.

    На решении. + 20 – 55 or 25 x – 35 = 25 x – 35.

    Subtracting 25 x from both sides, 25 x – 25 x – 35 = 25 x – 25 x – 35

    У нас есть -35 = -35, что является верным утверждением и будет истинным для любого значения переменной х .

    Следовательно, данное линейное уравнение имеет бесконечное число решений или число решений бесконечно.

    Пример 2: Рассмотрим уравнение 15 ( x + 9) = 24 x + 9 — (9 x — 126)

    Решение Мы имеем 15

    x + 144 = 144444444444

    . х + 9 – 9 х + 126 или 15 х + 144 = 15 х + 144.

    Вычитаем 15 х с обеих сторон. 15 x – 15 x +144 = 15 x – 15 x + 144

    У нас есть 144 = 144, что является верным утверждением и будет истинным для любого значения переменной x .

    Следовательно, данное линейное уравнение имеет бесконечное число решений или число решений бесконечно.

    Из приведенных выше примеров мы можем сказать, что линейное уравнение будет иметь бесконечных решения , если оно удовлетворяется любым значением переменной или каждое значение переменной делает данное уравнение верным утверждением.

    Контрольная точка

    Решите следующие линейные уравнения и определите, имеют ли данные линейные уравнения одно, нулевое или бесконечное число решений.

    1. 17 х – 75 = 6 + 14 х .
    2. 3 х – 105 = 4 ( х – 20) – 1 ( х + 5).
    3. 10 х + 2 7 = 2 (5 х + 99).
    4. 7 х – 33 + 75 = 6( х + 7) + х.
    5. 24 х + 60 = 4 ( х – 25).
    6. 13 х + 10 – 4 х = 4 ( х – 26) + 5 х .
    Ключ ответа
    1. Одно решение, т. е. x = 27.
    2. Бесконечные решения.
    3. Нулевой раствор.
    4. Бесконечные решения.
    5. Одно решение, т.е. x = – 8.
    6. Нулевой раствор.

    Узнайте больше о линейных уравнениях и других важных темах с репетиторством по математике для 8-го класса на eTutorWorld. Наши опытные преподаватели естественных наук разбивают темы на интерактивные индивидуальные занятия. Мы также предлагаем индивидуальные планы уроков, гибкий график и удобство обучения на дому.

    Персонализированное онлайн-обучение

    eTutorWorld предлагает доступное индивидуальное онлайн-обучение для классов K-12, помощь в подготовке к стандартным тестам, таким как SCAT, CogAT, MAP, SSAT, SAT, ACT, ISEE и AP. . Вы можете запланировать уроки онлайн-репетиторства в удобное для вас время с гарантией возврата денег. Первый индивидуальный онлайн-урок всегда БЕСПЛАТНЫЙ, никаких обязательств по покупке, кредитная карта не требуется.

    Чтобы получить ответы/решения на любой вопрос или изучить понятия, возьмите БЕСПЛАТНАЯ ПРОБНАЯ ВЕРСИЯ Сессия.

    Запланировать бесплатный сеанс

    Кредитная карта не требуется, нет обязательств по покупке.
    Просто запланируйте БЕСПЛАТНОЕ занятие, чтобы встретиться с преподавателем и получить помощь по любой интересующей вас теме!

    Стоимость онлайн-обучения

    Пакет репетиторства Срок действия Классы (1-12), Колледж
    5 сеансов 1 месяц 124 $
    1 сеанс 1 месяц 25 долларов
    10 сеансов 3 месяца $239
    15 сеансов 3 месяца $354
    20 сеансов 4 месяца $449
    50 сеансов 6 месяцев $1049
    100 сеансов 12 месяцев $2049

    Купить

    Алгебра — линейные уравнения

    Онлайн-заметки Пола
    Дом / Алгебра / Решение уравнений и неравенств / Линейные уравнения

    Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

    Мобильное уведомление

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 2-2: Линейные уравнения

    Мы начнем часть этой главы с решения линейных уравнений. Линейное уравнение — это любое уравнение, которое можно записать в виде

    . \[ах + б = 0\]

    где \(a\) и \(b\) — действительные числа, а \(x\) — переменная. Эту форму иногда называют стандартной формой линейного уравнения. Обратите внимание, что большинство линейных уравнений не будут начинаться с этой формы. Кроме того, переменная может быть или не быть \(x\), так что не зацикливайтесь на том, чтобы всегда видеть там \(x\).

    Для решения линейных уравнений мы широко используем следующие факты.

    1. Если \(a = b\), то \(a + c = b + c\) для любого \(c\). Все это говорит о том, что мы можем добавить число \(c\) к обеим частям уравнения и не изменить уравнение.
    2. Если \(a = b\), то \(a — c = b — c\) для любого \(c\). Как и в случае с последним свойством, мы можем вычесть число \(c\) из обеих частей уравнения.
    3. Если \(a = b\), то \(ac = bc\) для любого \(c\). Подобно сложению и вычитанию, мы можем умножать обе части уравнения на число \(c\), не изменяя уравнения.
    4. Если \(a = b\), то \(\displaystyle \frac{a}{c} = \frac{b}{c}\) для любого ненулевого \(c\). Мы можем разделить обе части уравнения на ненулевое число \(c\), не меняя уравнения.

    Эти факты составляют основу почти всех методов решения, которые мы рассмотрим в этой главе, поэтому очень важно, чтобы вы их знали и не забывали о них. Один из способов представить эти правила следующий. То, что мы делаем с одной частью уравнения, мы должны делать и с другой частью уравнения. Если вы помните об этом, вы всегда будете правильно понимать эти факты.

    В этом разделе мы будем решать линейные уравнения, и есть хороший простой процесс решения линейных уравнений. Давайте сначала подведем итоги процесса, а затем поработаем с некоторыми примерами.

    Процесс решения линейных уравнений
    1. Если уравнение содержит какие-либо дроби, используйте наименьший общий знаменатель, чтобы очистить дроби. Мы сделаем это, умножив обе части уравнения на LCD.

      Также, если в знаменателях дробей есть переменные, определите значения переменной, которые дадут деление на ноль, так как нам нужно будет избегать этих значений в нашем решении.

    2. Упростите обе части уравнения. Это означает удаление любых скобок и объединение одинаковых терминов.
    3. Используйте первые два приведенных выше факта, чтобы получить все члены с переменной в них с одной стороны уравнений (конечно, объединяя их в один член) и все константы с другой стороны.
    4. Если коэффициент переменной не равен единице, используйте третий или четвертый факт выше (это будет зависеть только от числа), чтобы сделать коэффициент равным единице.

      Обратите внимание, что мы обычно просто делим обе части уравнения на коэффициент, если это целое число, или умножаем обе части уравнения на обратную величину коэффициента, если это дробь.

    5. ПОДТВЕРДИТЕ ОТВЕТ! Это последний шаг, который чаще всего пропускают, но, возможно, это самый важный шаг в процессе. С помощью этого шага вы можете узнать, дали ли вы правильный ответ, задолго до того, как ваш инструктор увидит его. Мы проверяем ответ, подставляя результаты предыдущих шагов в оригинальное уравнение . Очень важно подключиться к исходному уравнению, так как вы могли допустить ошибку на самом первом шаге, которая привела к неправильному ответу.

      Также, если в задаче были дроби и были значения переменной, дающие деление на ноль (вспомним первый шаг…) важно убедиться, что ни одно из этих значений не попало в набор решений. Как мы увидим в примере, эти значения могут отображаться в наборе решений. 92} — 6у + 9}}\)

    6. \(\displaystyle \frac{{2z}}{{z + 3}} = \frac{3}{{z — 10}} + 2\)

    Показать все решения Скрыть все решения

    Показать обсуждение

    В следующих задачах мы подробно опишем первую задачу и опустим большую часть объяснения следующих задач.

    a \(3\left( {x + 5} \right) = 2\left( { — 6 — x} \right) — 2x\) Показать решение

    В этой задаче нет дробей, поэтому нам не нужно беспокоиться о первом шаге процесса. Следующий шаг говорит об упрощении обеих сторон. Итак, мы удалим все скобки, умножив числа, а затем объединив одинаковые термины.

    \[\begin{align*}3\left( {x + 5} \right) & = 2\left( { — 6 — x} \right) — 2x\\ 3x + 15 & = — 12 — 2x — 2x \\ 3x + 15 & = — 12 — 4x\end{выравнивание*}\]

    Следующим шагом будет получение всех \(x\) с одной стороны и всех чисел с другой стороны. На чьей стороне будут \(x\), зависит от вас и, вероятно, зависит от проблемы. Как правило, мы обычно помещаем переменные на ту сторону, которая дает положительный коэффициент. Это делается просто потому, что часто легко потерять знак минус на коэффициенте, и поэтому, если мы убедимся, что он положительный, нам не нужно об этом беспокоиться.

    Итак, для нашего случая это будет означать прибавление 4\(x\) к обеим сторонам и вычитание 15 с обеих сторон. Заметьте также, что, хотя мы фактически помещаем эти операции в это время, мы обычно делаем эти операции в нашей голове.

    \[\begin{align*}\require{color} 3x + 15 & = — 12 — 4x\\ 3x + 15 {\color{Red} — 15}{\color{Blue} + 4x} & = — 12 — 4x {\ color{Blue} + 4x} {\color{Red} — 15}\\ 7x & = — 27\end{align*}\]

    На следующем шаге нужно получить коэффициент 1 перед \(x\). В этом случае мы можем сделать это, разделив обе части на 7.

    \[\begin{align*}\frac{{7x}}{7} &= \frac{{ — 27}}{7}\\ x & = — \frac{{27}}{7}\end{ выровнять*}\]

    Теперь, если мы выполнили всю нашу работу правильно, \(x = — \frac{{27}}{7}\) является решением уравнения.

    Последним и последним шагом является проверка решения. Как указано в схеме процесса, нам нужно проверить решение в исходном уравнении . Это важно, потому что мы могли допустить ошибку на самом первом шаге, и если мы это сделали, а затем проверили ответ в результатах этого шага, может показаться, что решение верное, тогда как на самом деле мы этого не сделали. У нас нет правильного ответа из-за ошибки, которую мы изначально сделали. 9? 2\left( { — \frac{{15}}{7}} \right) + \frac{{54}}{7}\\ \frac{{24}}{7} & = \frac{{24 }}{7}\hspace{0,5 дюйма}{\mbox{OK}}\end{align*}\]

    Итак, мы сделали свою работу правильно и решение уравнения

    \[x = — \frac{{27}}{7}\]

    Обратите внимание, что здесь мы не использовали обозначение набора решений. Для одиночных решений мы редко будем делать это в этом классе. Однако, если бы мы хотели, чтобы набор решений имел обозначение для этой задачи,

    \[\left\{ { — \frac{{27}}{7}} \right\}\]

    Прежде чем перейти к следующей задаче, давайте сначала сделаем небольшой комментарий о «беспорядочности» этого ответа. НЕ ждите, что все ответы будут хорошими простыми целыми числами. Хотя мы стараемся, чтобы большинство ответов были простыми, часто они не будут такими, поэтому НЕ зацикливайтесь на идее, что ответ должен быть простым целым числом, что вы сразу предполагаете, что сделали ошибку из-за «беспорядок» ответ.

    b \(\displaystyle \frac{{m — 2}}{3} + 1 = \frac{{2m}}{7}\) Показать решение

    Хорошо, с этим мы не будем так много объяснять проблему.

    В этом случае у нас есть дроби, поэтому, чтобы упростить нашу жизнь, мы умножим обе части на LCD, что в данном случае равно 21. После этого проблема будет очень похожа на предыдущую. Также обратите внимание, что знаменатели — это только числа, поэтому нам не нужно беспокоиться о делении на ноль.

    Давайте сначала умножим обе стороны на LCD.

    \[\begin{align*}21\left( {\frac{{m — 2}}{3} + 1} \right) & = \left({\frac{{2m}}{7}} \right ) 21 \\ 21 \ влево ( {\ гидроразрыва {{м — 2}} {3}} \ вправо) + 21 \ влево ( 1 \ вправо) & = \ влево ( {\ гидроразрыва {{2m}} {7} } \right)21\\ 7\left( {m — 2} \right) + 21 & = \left( {2m} \right)\left( 3 \right)\end{align*}\]

    Будьте внимательны, чтобы правильно распределить число 21 через круглые скобки с левой стороны. Все, что находится внутри скобок, нужно умножить на 21, прежде чем мы упростим. На данный момент у нас есть проблема, похожая на предыдущую, и на этот раз мы не будем утруждать себя всеми объяснениями. 92} — 6\влево( 5 \вправо) + 9}}\\ \frac{5}{4} & = \frac{5}{4}\hspace{0,5 дюйма}{\mbox{OK}}\end {выровнять*}\]

    d \(\displaystyle \frac{{2z}}{{z + 3}} = \frac{3}{{z — 10}} + 2\) Показать решение

    В этом случае ЖК-дисплей выглядит как \(\left( {z + 3} \right)\left( {z — 10} \right)\), и нам также нужно избегать \(z = — 3\) и \(z = 10\), чтобы убедиться, что мы не получили деление на ноль.

    Давайте начнем работу над этой задачей. 92} — 7z — 30} \right)\end{align*}\]

    На этом месте давайте остановимся и признаем, что у нас есть z 2 в работе. Не волнуйтесь по этому поводу. Иногда они временно проявляются в этих проблемах. Вы должны беспокоиться об этом только в том случае, если он все еще там после того, как мы закончим работу по упрощению. 2} + 5x + 6}}\) 92} + 5x + 6}}\) Показать решение

    Первым шагом является факторизация знаменателей для получения ЖК-дисплея.

    \[\ frac{2}{{x + 2}} = \ frac{{ — x}}{{\left( {x + 2} \right)\left({x + 3} \right)}}\ ]

    Итак, LCD — это \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\), и нам нужно будет избегать \(x = — 2\) и \( x = — 3\), поэтому мы не получаем деление на ноль.

    Вот работа над этой задачей.

    \[\ begin{align*}\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {\ frac {2}{{x + 2}}} \right) & = \ влево ( {\ гидроразрыва {{ — х}} {\ влево ( {х + 2} \ вправо) \ влево ( {х + 3} \ вправо)}}} \ вправо) \ влево ( {х + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\\ 2\left( {x + 3} \right) & = — x\\ 2x + 6 & = — x\\ 3x & = — 6 \\ х & = — 2\конец{выравнивание*}\]

    Итак, мы получаем «решение», которое находится в списке чисел, которых нам нужно избегать, чтобы мы не получили деление на ноль и поэтому мы не могли использовать его в качестве решения. Однако это также единственно возможное решение. Это нормально. Это просто означает, что это уравнение не имеет решения .

    b \(\displaystyle \frac{2}{{x + 1}} = 4 — \frac{{2x}}{{x + 1}}\) Показать решение

    LCD для этого уравнения равен \(x + 1\), и нам нужно будет избегать \(x = — 1\), чтобы не получить деление на ноль. Вот работа для этого уравнения.

    \[\begin{align*}\left( {\frac{2}{{x + 1}}} \right)\left({x + 1} \right) & = \left({4 — \frac{ {2x}}{{x + 1}}} \right)\left( {x + 1} \right)\\ 2 & = 4\left( {x + 1} \right) — 2x\\ 2 & = 4x + 4 — 2x\\ 2 & = 2x + 4\\ — 2 & = 2x\\ — 1 & = x\end{align*}\]

    Итак, мы снова приходим к единственному значению \(x\), которого нам нужно было избежать, чтобы не получить деление на ноль. Следовательно, это уравнение имеет нет решения .

    Итак, как мы видели, нам нужно быть осторожными с проблемами деления на ноль, когда мы начинаем с уравнений, содержащих рациональные выражения.

    На этом этапе мы, вероятно, также должны признать, что при условии, что у нас нет деления на ноль (таких, как в последнем наборе примеров), линейные уравнения будут иметь ровно одно решение. Мы никогда не получим более одного решения, и единственный раз, когда мы не получим никаких решений, — это если мы столкнемся с делением на ноль проблем с «решением».

    Прежде чем покинуть этот раздел, мы должны отметить, что многие методы решения линейных уравнений будут появляться снова и снова по мере того, как мы будем рассматривать различные типы уравнений, поэтому очень важно, чтобы вы понимали этот процесс.

    Решение уравнений с переменными с обеих сторон (видео с практическими вопросами)

    TranscriptPractice

    Здравствуйте! Сегодня мы рассмотрим решение уравнений с переменными с обеих сторон . Процесс решения этих типов задач будет похож на более простые формы 9.0063, решая уравнения , потребуется всего несколько дополнительных шагов. Итак, давайте начнем с рассмотрения примера.

    \(5x+9=3x-7\)

     

    уравнение. Неважно, с какой стороны они идут, просто убедитесь, что все переменные члены находятся на одной стороне, а все константы — на другой стороне. Итак, для этого я собираюсь получить \(x\)-члены в левой части уравнения. Итак, для этого мы вычтем \(3x\) с обеих сторон.

    \(5x-3x+9=3x-3x-7\)

     

    Если вы хотите вычесть \(5x\) с обеих сторон и получить \(x\)-члены справа уравнения, это было бы совершенно нормально.

    \(2x+9=-7\)

     

    Итак, теперь, чтобы получить константы на другой стороне, нам нужно вычесть 9 с обеих сторон.

    \(2x+9-9=-7-9\)
     
    \(2x=-16\)

     

    И, наконец, для решения уравнения нужно получить \(x\) по формуле себя, поэтому мы делаем это, разделив обе части на 2.

    \(\frac{2x}{2}=\frac{-16}{2}\)
     
    \(x=-8\)

     

    Давайте рассмотрим другую задачу.

    \(-2x+13=6x-31\)

     

    На этот раз мы собираемся найти переменную справа. Итак, чтобы сделать это, мы собираемся начать с добавления \(2x\) к обеим частям уравнения — это даст наши \(x\)-члены в правой части.

    \(-2x+2x+13=6x+2x-31\)
     
    \(13=8x-31\)

     

    Теперь мы хотим, чтобы наши константы были слева, поэтому мы добавим 31 к обеим сторонам.

    \(13+31=8x-31+31\)
     
    \(44=8x\)

     

    И, наконец, чтобы получить \(x\) сам по себе, мы делим обе части на 8.

    \(\frac{44}{8}=\frac{8x}{8}\)
     
    \(\frac{44}{8}=x\)

     

    Теперь эта дробь не не в самой простой форме, поэтому лучше всего упростить ее. Мы можем упростить эту дробь, разделив и числитель, и знаменатель на 4.

    \(x=\frac{44}{8}=\frac{44\div 4}{8\div 4}=\frac{11}{2}\)
     
    \(x=\frac{ 11}{2}\)

     

    Перед тем, как мы начнем, рассмотрим еще одну задачу.

    \(4x+17=-9x-9\)

     

    Итак, сначала мы собираемся добавить \(9x\) к обеим сторонам. Если бы вы хотели вычесть 4x с обеих сторон и найти \(x\) в правой части уравнения, это также было бы вполне приемлемо. Причина, по которой я решил добавить \(9x\) к обеим сторонам, заключается в том, что мне не особенно нравится работать с отрицательными числами, когда в этом нет необходимости. Поэтому я добавляю \(9x\), так что у меня будет положительное число \(x\) в левой части. Вот почему я выбрал это, но если вам нравятся негативы и вы хотите это сделать, добро пожаловать.

    \(4x+9x+17=-9x+9x-9\)
     
    \(13x+17=-9\)

     

    Теперь я вычту 17 из обеих частей нашего уравнения .

    \(13x+17-17=-9-17\)
     
    \(13x=-26\)

     

    Итак, обратите внимание, что здесь есть отрицание, так что мы в любом случае имеем дело с отрицаниями , поэтому на этом первом шаге вам решать, хотите ли вы иметь отрицательные \(x\)-значения или отрицательные константы. В любом случае вы получите правильный ответ. Итак, чтобы получить \(x\) само по себе и найти \(x\), мы собираемся разделить на 13 с обеих сторон.

    \(\frac{13x}{13}=\frac{-26}{13}\)
     
    \(x=-2\)

     

    Я надеюсь, что это видео придало вам больше уверенности в решение уравнений. Спасибо за просмотр и удачной учебы!

    Вопрос №1:

     
    Решите уравнение: \(4x+9=25+2x\).

    \(x=9\)

    \(x=15\)

    \(x=8\)

    \(x=17\)

    Показать ответ

    Ответ:

    Чтобы получить 90 переменные члены в левой части вычтите \(2x\) из обеих частей уравнения.

    \(4x+9-2x=25+2x-2x\)
    \(2x+9=25\)

    Теперь вычтите 9 с обеих сторон.

    \(2x+9-9=25-9\)
    \(2x=16\)

    Наконец, разделите обе части на 2.

    \(\frac{2x}{2}=\frac{16 }{2}\)

    \(x=8\)

    Скрыть ответ

    Вопрос №2:

     
    Решите уравнение: \(-5x-16=-7x+4\).

    \(x=-14\)

    \(x=12\)

    \(x=10\)

    \(x=-10\)

    Показать ответ

    Ответ:

    Чтобы получить переменные члены в левой части, прибавьте \(7x\) к обеим частям уравнения.

    \(-5x-16+7x=-7x+4+7x\)
    \(2x-16=4\)

    Теперь прибавьте 16 к обеим сторонам.

    \(2x-16+16=4+16\)
    \(2x=20\)

    Затем разделите обе части на 2.

    \(\frac{2x}{2}=\frac{20 }{2}\)

    \(x=10\)

    Скрыть ответ

    Вопрос №3:

     
    Решите уравнение: \(6x-11=2x+27\).

    \(х=-\фракция{19{2}\)

    \(x=\frac{19}{2}\)

    \(x=\frac{7}{2}\)

    \(x=-\frac{7} {2}\)

    Показать ответ

    Ответ:

    Чтобы получить переменные члены в левой части, вычтите \(2x\) из обеих частей уравнения.

    \(6x-11-2x=2x+27-2x\)
    \(4x-11=27\)

    Теперь прибавьте 11 к обеим сторонам.

    \(4x-11+11=27+11\)
    \(4x=38\)

    Затем разделите обе части на 4.

    \(\frac{4x}{4}=\frac{38 {4}\)

    \(x=\frac{38}{4}\)

    Уменьшите дробь на 2, чтобы записать ответ в простейшей форме.

    \(x=\frac{38\div2}{4\div2}=\frac{19}{2}\)

    Скрыть ответ

    Вопрос № 4:

     
    Вы взимаете плату с домовладельцев в вашем районе фиксированная плата в размере 20 долларов плюс 10 долларов в час за уборку листьев со двора. Ваш друг взимает фиксированную плату в размере 35 долларов плюс 7 долларов в час за ту же услугу. Сколько часов каждому из вас потребуется работать, чтобы заработать столько же денег, сгребая листья в своем районе?

    5 час.

    3 час.

    10 час.

    8 час. У вас есть фиксированная плата в размере 20 долларов США, и вы взимаете 10 долларов США в час, сумма денег, которую вы зарабатываете за количество рабочих часов \(x\), составляет \(20+10x\). Ваш друг имеет фиксированную плату в размере 35 долларов и берет 7 долларов в час, поэтому сумма денег, которую ваш друг зарабатывает за количество часов работы \(x\), составляет \(35+7x\). Чтобы определить, сколько часов каждый из вас должен работать, чтобы заработать одинаковую сумму денег, нам нужно установить два выражения равными друг другу.

    \(20+10x=35+7x\)

    Чтобы получить переменные члены в левой части, вычтите \(7x\) из обеих частей уравнения.

    \(20+10x-7x=35+7x-7x\)
    \(20+3x=35\)

    Теперь отнимите 20 с обеих сторон.

    \(20+3x-20=35-20\)
    \(3x=15\)

    Наконец, разделите обе части на 3.

    \(\frac{3x}{3}=\frac{15 }{3}\)

    \(x=5\)

    Скрыть ответ

    Вопрос № 5:

     
    Вы и ваш друг состоите в школьной команде по легкой атлетике. Каждый из вас проводит неделю, бегая в одиночку, затем вы и ваш друг бежите одновременно. Только за неделю вы пробежали 16 миль, а ваш друг пробежал 23 мили. Бегая в то же время, вы пробегаете 4 мили каждый день, а ваш друг пробегает 3 мили каждый день. Через сколько дней после начала совместного бега вы и ваш друг пробежите одинаковое количество миль?

    3 дня

    4 дня

    9 дней

    7 дней

    Показать ответ

    Ответ:

    Пусть \(x\) будет числом дней, когда каждый из вас бежит в одиночку после недели. Поскольку вы пробегаете 4 мили каждый день, вы пробегаете \(4x\) миль за \(x\) дней. Точно так же, поскольку ваш друг пробегает 3 мили каждый день, он пробегает \(3x\) миль за \(x\) дней. В течение недели каждый из вас пробежал в одиночку, вы пробежали 16 миль, а ваш друг пробежал 23 мили. Итак, после первой недели бега в одиночку вы пробежите \(16+4x\) миль, а ваш друг пробежит \(23+3x\) миль.

    Теперь приравняйте выражения друг к другу, чтобы найти, за сколько дней вы и ваш друг пробежите одинаковое количество миль.

    \(16+4x=23+3x\)

    Чтобы получить переменные члены в левой части, вычтите \(3x\) из обеих частей уравнения.

    \(16+4x-3x=23+3x-3x\)
    \(16+x=23\)

    Теперь отнимите 16 с обеих сторон.

    \(16+x-16=23-16\)
    \(x=7\)

    Таким образом, через 7 дней после того, как вы и ваш друг начали бегать вместе, вы оба пробежите одинаковое количество миль.

    Hide Ответ

    Возврат в алгебру I видео

    402497

    Решение линейных уравнений калькулятор онлайн

    777555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555559н.
    Дом
    Многочлены
    Нахождение наибольшего общего делителя
    Факторинг трехчленов
    Функция абсолютного значения
    Краткий обзор полиномов факторинга
    Решение уравнений с одним радикальным членом
    Добавление дробей
    Вычитание дробей
    Метод ФОЛЬГИ
    График сложных неравенств
    Решение абсолютных неравенств
    Сложение и вычитание многочленов
    Использование наклона
    Решение квадратных уравнений
    Факторинг
    Свойства умножения показателей степени
    Завершение квадрата
    Решение систем уравнений методом подстановки
    Объединение одинаковых радикальных терминов
    Исключение с помощью умножения
    Решение уравнений
    Теорема Пифагора 1
    Нахождение наименьших общих кратных
    Умножение и деление в экспоненциальном представлении
    Сложение и вычитание дробей
    Решение квадратных уравнений
    Сложение и вычитание дробей
    Умножение на 111
    Добавление дробей
    Умножение и деление рациональных чисел
    Умножение на 50
    Решение линейных неравенств с одной переменной
    Упрощение кубических корней, содержащих целые числа
    График сложных неравенств
    Простые трехчлены как произведения двучленов
    Написание линейных уравнений в форме наклона-пересечения
    Решение линейных уравнений
    Линии и уравнения
    Пересечения параболы
    Функция абсолютного значения
    Решение уравнений
    Решение сложных линейных неравенств
    Комплексные числа
    Факторизация разности двух квадратов
    Умножение и деление рациональных выражений
    Сложение и вычитание радикалов
    Умножение и деление чисел со знаком
    Решение систем уравнений
    Факторизация противоположности GCF
    Умножение специальных многочленов
    Свойства экспонентов
    Научное обозначение
    Умножение рациональных выражений
    Сложение и вычитание рациональных выражений с отличающимися знаменателями
    Умножение на 25
    Десятичные дроби в дроби
    Решение квадратных уравнений путем заполнения квадрата
    Частное правило для экспонент
    Упрощение квадратных корней
    Умножение и деление рациональных выражений
    Независимые, противоречивые и зависимые системы уравнений
    Склоны
    Графические линии на координатной плоскости
    Графические функции
    Силы десяти
    Свойство нулевой мощности экспонентов
    Вершина параболы
    Рационализация знаменателя
    Тест факторизуемости для квадратных трехчленов
    Трехчленные квадраты
    Решение двухшаговых уравнений
    Решение линейных уравнений, содержащих дроби
    Умножение на 125
    Свойства экспоненты
    Умножение дробей
    Сложение и вычитание рациональных выражений с одинаковым знаменателем
    Квадратные выражения — Заполнение квадратов
    Сложение и вычитание смешанных чисел с разными знаменателями
    Решение формулы для заданной переменной
    Факторинг трехчленов
    Умножение и деление дробей
    Умножение и деление комплексных чисел в полярной форме
    Степенные уравнения и их графики
    Решение линейных систем уравнений подстановкой
    Решение полиномиальных уравнений с помощью факторинга
    Законы экспонентов
    индекс casa mÃo
    Системы линейных уравнений
    Свойства рациональных показателей
    Мощность произведения и мощность частного
    Факторизация разностей идеальных квадратов
    Деление дробей
    Факторизация многочлена путем нахождения GCF
    Графики линейных уравнений
    Шаги факторинга
    Свойство умножения показателей степени
    Решение систем линейных уравнений с тремя переменными
    Решение экспоненциальных уравнений
    Нахождение GCF набора мономов
     
    • Выражение
    • Уравнение
    • Неравенство
    • Свяжитесь с нами
    • Упрощение
    • Фактор
    • Расширение
    • LCM
    • GCF0328
      • Решить
      • График
      • Система
      • Решить
      • График
      • Система
          ваш сайт 3 на сайте 3 на 909 Математический решатель 3

          Наших пользователей:

          Я заказал программное обеспечение однажды поздно вечером, когда у моей дочери были проблемы на уроке алгебры с отличием. Прошло много лет с тех пор, как у меня была алгебра, и некоторые ее части имели смысл, но я не мог понять, как ей помочь. После того, как мы заказали ваше программное обеспечение, она смогла шаг за шагом увидеть, как решать проблемы. Ваше программное обеспечение определенно спасло положение.
          Билли Хафрен, Техас

          В первый раз, когда я использовал этот инструмент, я был удивлен, увидев каждый шаг, объясненный для каждого уравнения, которое я ввел. Никакое другое программное обеспечение, которое я пробовал, даже близко не подходит.
          Мигель Сан-Мигель-Гонсалес, Ларедо, инт. Университет

          Спасибо! Это новое программное обеспечение является реальной помощью. Мой сын может получить реальные ответы, в то время как я просто выполнил шаг, не задумываясь. Возможно, вы только что сохранили его оценки.
          Анджела Бакстор, Техас

          Эта программа действительно облегчила жизнь мне и моим ученикам.
          Джейсон Пэдрю, Техас


          Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение спасает им жизнь.

          Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою?
          Поисковые фразы, использованные 01.11.2009:
          • бесплатный математический лист решения пропорций
          • алгебраический n-й член
          • коэффициент алгебраических уравнений в кубе
          • java для наименьшего общего знаменателя
          • вычитание с отрицательными числами рабочих листов
          • Примеры неравенства в 6 классе
          • умножение радикалов+калькулятор
          • Уравнения факторов
          • с TI-84 PLUS
          • третий класс миль и километров урок.ppt
          • бесплатные математические игры для 7-го класса
          • бесплатная письменная математическая игра с многочленами
          • закон экспоненты план урока
          • бесплатное онлайн радикальное упрощение
          • Учебники по одновременному квадратному уравнению Скачать бесплатно
          • Программное обеспечение
          • для решения задачи по алгебре
          • алгебраические неравенства умножения
          • Полином 3-го порядка
          • бесплатная онлайн-алгебра рациональных выражений
          • разделение дробей с переменными рабочими листами
          • начальная алгебра, четвертое издание К. Илайн Мартин-Гей тест
          • рабочие листы по умножению и делению целых чисел
          • решение квадратных уравнений путем извлечения квадратных корней
          • предварительная алгебра с пиццей
          • помощь по математике 9 класс фактор
          • ca cpt учебный материал скачать бесплатно
          • калькулятор упрощения рациональных показателей
          • вопрос из теста Айовы 5 класс
          • положительный отрицательный рабочий лист уровня
          • лист решения уравнений для печати
          • безукоризненный проект по математике
          • движение прямо + рабочие листы + объединение одинаковых терминов + решение уравнений
          • как найти асимптоты с помощью TI-84
          • y перехват печатных рабочих листов
          • исследовательский проект для 5 класса
          • Рабочий лист уравнений
          • для 5 класса
          • использование Matlab для решения x с использованием метода Рунге-Кутты 2-го порядка
          • Онлайн-тест
          • , помогающий семиклассникам в математике
          • преобразование десятичных дробей в смешанные числа
          • положительное решение квадратных уравнений
          • найти точку поворота, заполнив квадрат
          • Рабочие листы числовой строки
          • для KS2
          • факторная машина алгебры
          • домен диапазона ти-83
          • примеры решения дифференциальных уравнений 2-го порядка
          • как использовать калькулятор преобразования Лапласа
          • бесплатный решатель пределов
          • калькулятор уравнений с дробями
          • листы практики SATS по математике
          • «математические стихи»
          • бесплатно скачать учебники по квадратному корню
          • Калькулятор квадратных корней
          • Тест Айовы по предварительной алгебре
          • численное решение уравнения в частных производных 1-го порядка matlab
          • диаграммы математических показателей
          • возведение квадратного корня из x в 13-й степени путем разложения на множители
          • решить систему нелинейных уравнений Matlab
          • калькулятор упрощенных уравнений
          • почему отрицательное произведение отрицательного равно положительному
          • устранение путем сложения и вычитания линейных уравнений
          • квадратный корень и показатели степени
          • Калькулятор факторизации квадратичных чисел
          • ] свободное сложение вычитание умножение и деление практика
          • бесплатный практический тест по алгебре и математике для 10 класса
          • бесплатный образец сестринского теста для 9 класса
          • умножение с рациональными числами
          • бесплатные 5-е рабочие листы конгруэнтны аналогичные
          • самый сложный в мире тип математики
          • Рабочий лист McDougal Littell Inc.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.