Дифференциальное уравнение Бернулли
Статья раскрывает методы решения дифференциального уравнения Бернулли. В заключении будут рассмотрены решения примеров с подробным объяснением.
Приведение к линейному уравнению 1 порядка
Определение 1Дифференциальное уравнение Бернулли записывается как y’+P(x)·y=Q(x)·yn. Если n=1, тогда его называют с разделяющими переменными. Тогда уравнение запишется как y’+P(x)·y=Q(x)·y⇔y’=Q(x)-P(x)·y.
Для того, чтобы решить такое уравнение, необходимо первоначально привести к линейному неоднородному дифференциальному уравнению 1 порядка с новой переменной вида z=y1-n. Проделав замену, получаем, что y=z11-n⇒y’=11-n·zn1-n·z’.
Отсюда вид уравнения Бернулли меняется:
y’+P(x)·y=Q(x)·yn11-n·z11-n·z’+P(x)·z11-n=Q(x)·z11-nz’+(1-n)·P(x)·z=(1-n)·Q(x)
Этот процесс вычисления и подстановки способствует приведению к линейному неоднородному дифференциальному уравнению первого порядка. В итоге проводим замену и получаем его решение.
Найти общее решение для уравнения вида y’+xy=(1+x)·e-x·y2.
Решение
По условию имеем, что n=2, P(x)=x, Q(x)=(1+x)·e-x. Необходимо ввести новую переменную z=y1-n=y1-2=1y, отсюда получим, что y=1z⇒y’=-z’z2. Провести замену переменных и получить ЛНДУ первого порядка. Запишем, как
y’+xy=(1+x)·e-x·y2-z’z2+xz=(1+x)·e-x·1z2z’-xz=-(1+x)·e-x
Следует проводить решение при помощи метода вариации произвольной постоянной.
Проводим нахождение общего решения дифференциального уравнения вида:
dzdx-xz=0⇔dzz=xdx, z≠0∫dzz=∫xdxlnz+C1=x22+C2elnz+C1=ex22+C2z=C·ex22, C=eC2-C1
Где z=0, тогда решение дифференциального уравнения считается z’-xz=0, потому как тождество становится равным нулю при нулевой функции z. Данный случай записывается как z=C(x)·ex22, где С=0. Отсюда имеем, что общим решением дифференциального уравнения z’-xz=0 считается выражение z=C·ex22 при С являющейся произвольной постоянной.
Необходимо варьировать переменную для того, чтобы можно было принять
z=C(x)·ex22 как общее решение дифференциального уравнения вида z’-xz=-(1+x)·e-x.
Отсюда следует, что производится подстановка вида
C(x)·ex22′-x·C(x)·ex22=-(1+x)·e-xC'(x)·ex22+C(x)·ex22′-x·C(x)·ex22=-1+x·e-xC'(x)·ex22+C(x)·x·ex22-x·C(x)·ex22=-(1+x)·e-xC'(x)·ex22=-(1+x)·e-x22-xC(x)=∫-(1+x)·e-x22-xdx=∫e-x22-xd-x22-x=e-x2x-x+C3
С3принимает значение произвольной постоянной. Следовательно:
z=Cx·ex22=e-x22-x+C3·ex22=e-x+C3·ex22
Дальше производится обратная замена. Следует, что z=1y считается за y=1z=1e-x+C3·ex22.
Ответ: это решение считается решением исходного дифференциального уравнения Бернулли.
Представление произведением функций u(x) и v(x)
Имеется другой метод решения дифференциального уравнения Бернулли, который основывается на том, что функцию представляют при помощи произведения функций u(x) и v(x).
Тогда получаем, что y’=(u·v)’=u’·v+u·v’. Производим подстановку в уравнение Бернулли y’+P(x)·y=Q(x)·yn и упростим выражение:
u’·v+u·v’+P(x)·u·v=Q(x)·u·vnu’·v+u·(v’+P(x)·v)=Q(x)·u·vn
Когда в качестве функции берут ненулевое частное решение дифференциального уравнения v’+P(x)·v=0, тогда придем к равенству такого вида
u’·v+u·(v’+P(x)·v)=Q(x)·(u·v)n⇔u’·v=Q(x)·(u·v)n.
Отсюда следует определить функцию u.
Пример 2Решить задачу Коши 1+x2·y’+y=y2·arctg x, y(0) = 1.
Решение
Переходим к нахождению дифференциального уравнения вида 1+x2·y’=y·arctg x, которое удовлетворяет условию y(0)=1.
Обе части неравенства необходимо поделить на x2 + 1, после чего получим дифференциальное уравнение Бернулли y’+yx2+1=y2·arctg xx2+1.
Перейдем к поиску общего решения.
Принимаем y=u·v, отсюда получаем, что y’=u·v’=u’·v+u·v’ и уравнение запишем в виде
y’+yx2+1=y2·arctg xx2+1u’·v+u·v’+u·vx2+1=u·v2·arctg xx2+1u’·v+u·v’+vx2+1=u2·v2·arctg xx2+1
Проведем поиск частного решения с наличием разделяющих переменных v’+vx2+1=0, отличных от нуля. Получим, что
dvv=-dxx2+1, v≠0∫dvv=-∫dxx2+1lnv+C1=-arctg x+C2v=C·e-arctg x, C=eC2-C1
В качестве частного решения необходимо брать выражение вида v=e-arcrg x. Преобразуем и получим, что
u’·v+u·v’+vx2+1=u2·v2·arcrg xx2+1u’·v+u·0=u2·v2·arctg xx2+1u’=u2·v·arctg xx2+1u’=u2·e-arctg x·arctg xx2+1⇔duu2=e-arctg x·arctg xx2+1dx, u≠0∫duu2=∫e-arctg x·arctg xx2+1dx∫duu2=∫e-arctg x·arctg x d(arctg x)
Имеем, что u=0 рассматривается как решение дифференциального уравнения.
Далее необходимо решить каждый из полученных интегралов по отдельности.
Интеграл с левой стороны, имеющего вид ∫duu2, необходимо найти по таблице первообразных. Получаем, что
∫duu2=-1u+C3.
Чтобы найти интеграл вида ∫e-arctg x·arctg x d(arctg x), принимаем значение arctg x=z и применяем метод интегрирования по частям. Тогда имеем, что
∫e-arctg x·arctg x d(arctg x)=arctg x=z==∫e-z·z dz=u1=z, dv1=e-zdzdu1=dz, v1=-e-z==-z·e-z+∫e-zdz=-z·e-z-e-z+C4==-e-z·(z+1)+C4=-e-arctg x·(arctg x+1)+C4
Следовательно
-1u+C3=-e-arctg x·arctg x+1+C41u=e-arcrg x·arctg x+1+C3-C4u=1e-arcrg x·(arctg x+1)+C
Отсюда находим, что
y=u·v=e-arctg xe-arcrg x·(arctg x+1)+C и y=0·v=0·e-arcrg x=0 являются решениями дифференциального уравнения Бернулли вида y’+yx2+1=y2·arctg xx2+1.
На данном этапе следует переходить к поиску частного решения, которое удовлетворяет начальному условию. Получим, что
y=e-arctg xe-arctg x·arctg x+1+C, тогда запись примет вид y0=e-arctg 0e-arctg 0·arctg 0+1+C=11+C.
Очевидно, что 11+C=1⇔C=0. Тогда искомой задачей Коши будет являться полученное уравнение вида y=e-arctg xe-arctg x·arctg x+1+0=1arctg x+1.
Решение задач
от 1 дня / от 150 р.
Курсовая работа
от 5 дней / от 1800 р.
Реферат
от 1 дня / от 700 р.
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Навигация по статьям
Предыдущая статья
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Следующая статья
Деление одночлена на одночлен
- Виды дифференциальных уравнений
- Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
- Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
- Все темы по математике
- Дипломные работы
- Курсовые работы
- Рефераты
- Контрольные работы
- Отчет по практике
- Эссе
Узнать подробнее
Свойства информационных поводов применительно к организациям использующих религиозный фактор
Курсовая работа
Выполнена:
24 сентября 2022 г.
Стоимость:
2 200 руб
Заказать такую же работу
Основы информационных технологий в строительстве
Заказать такую же работу
расчет схемы каскада РПУ
Вид работы:
Домашняя работа
Выполнена:
23 июня 2022 г.
Стоимость:
3 000 руб
Заказать такую же работу
Цифровые двойники технологического оборудования
Вид работы:
Реферат
Выполнена:
6 мая 2022 г.
Стоимость:
2 000 руб
Заказать такую же работу
Сопровождение и администрирование компьютерной сети предприятия
Вид работы:
Рецензия
Выполнена:
29 января 2022 г.
Стоимость:
1 200 руб
Заказать такую же работу
Дистанционный экзамен семестр задолженость не ниже балов
Заказать такую же работу
Смотреть все работы по информационной безопасности
Уравнение Бернулли
Уравнение Бернулли в первую очередь, уравнение дифференциальное первого порядка.
Выглядит как :
в нем Q и P не прерывающаяся данная функция исходящая из Х.
а — неизменное число. Если ввести новую функцию z = у -0+1, то уравнение Бернулли придет к аналогичному линейному уравнению. Выведен данное вычисление в 1695 году.
Во вторую очередь является основой в уравнениях гидродинамики, она связывает (уже в готовой движущейся жидкости): V скорость + Р давление + h высота минимальной величины жидкости к участку отсчета. Данный метод был выведен в 1738 году, применяется для не горящим жидкостям имеющие постоянную плотность Р и которые находятся исключительно под силой тяжести. Выглядит данное уравнение как:
v2/2 + p/p + gh = const.
в нем g есть ускорение. При умножении данного уравнения на p, первый член выступит в качестве кинетической энергии в единице количества жидкости, другие два члена — в качестве потенциальной энергии.
частично обусловленной с одной стороны как сила тяжести (крайнее значение) и давление с другой стороны. В этом виде и выходит закон о сохранении энергии. Во время когда по струе жидкости одна энергия к примеру кинетическая, возрастает, в это же время также падает потенциальная. Так когда поток в трубопроводе сужается, а его скорость возрастает (потому что за одинаковое время как через большое так и через маленькое сечение протекает одинаковый объем жидкости) и падает давление.
В уравнении Бернулли есть несколько важных моментов:
— Когда под силой тяжести из не закрытой емкости вытекает жидкость (изображено на первом рисунке)
что доказывает единую скорость как во время падения жидкость, так и при выходе в выходное отверстие.
-Когда в спокойном потоке со скоростью V0 и давлением р0, встречается на пути проблема или препятствие, как изображено на втором рисунке, то жидкость по действием давления подпирает данное препятствие и как следствие замедляется сам поток; что интересно в подпоре, во время давления потока жидкости, в самом центре (назовем его — критическая точка) скорость равна 0.
Вывод давление на критическую точку р1=р0+рV20/2. Присоединяем давление к ней, которое равно р1 + р0 = рv20/2, является динамическое давление либо напор скорости. Струя любой жидкости в потоке не сохраняет механическую энергию, расходует ее на силы трения и рассеивает на тепло. Нужно брать во внимание потери сопротивления, при использовании уравнения Бернулли в реальной жидкости.
Если ты молод и ищешь дополнительный заработок, но не знаешь где. Перейди по ссылке, заработок в интернете для подростка (http://odostatke.ru/zarabotat-podrostok.html) , там все подробно написано.
Теорема Бернулли Калькулятор расчетной формулы
Теорема Бернулли Калькулятор расчетной формулы — скорость в точке 1 ГидромеханикаВходные данные:
Преобразования:
Статическая головка или высота (Z1)
= 0
МЕТР
Статическая головка или высота (Z2)
= 0
Давление (P1)
= 0
Давление (P1)
= 0
= 0
паскаль
давление (P2)
= 0
2
Потеря головки (H)
= 0
метра
Решение:
Скорость (V1)
= Не рассчитанное
Другие единицы:
Уравнение изменений
111111
Примечание примечание Бернулли предполагает:
1. | Поток — это оптимизация |
| 2. | Стативное состояние |
| 3. | Iviscid Flud |
| 3. | Iviscid Fluid |
| 3. | |
| 3. | .0075 несжимаемая жидкость |
Select to solve for a different unknown
| Solve for head loss | |
| Solve for static head or elevation at point 1 | |
| Solve for pressure at point 1 | |
| Решите для скорости в точке 1 |
Где
| ч | = | потеря напора |
| Z | = | static head or elevation |
| P | = | Pressure |
| V | = | fluid velocity |
| p | = | fluid density |
| г | = | ускорение свободного падения |
| Q | = | скорость потока |
2
2
Справочник — Книги:
1) П.
Аарне Весилинд, Дж. Джеффри Пирс и Рут Ф. Вайнер. 1994. Экологическая инженерия. Баттерворт Хайнеманн. 3-е изд.
Графики роста младенцев — Процентили для младенцев Калькулятор оплаты сверхурочной работы Конвертер зарплаты в почасовую оплату — Вакансии Скидка в процентах — Калькулятор скидок при продаже Калькулятор повышения заработной платы Калькулятор линейной интерполяции Калькулятор возраста собаки Калькулятор закона идеального газа Калькулятор импульса импульса Калькулятор уравнений Дарси-Вейсбаха Калькулятор расхода отверстия Калькулятор насоса — водная гидравлика Буксировка: сцепное устройство для распределения веса расходомер Вентури Калькулятор плотности Второй закон Ньютона Калькулятор гидроудара Водный баланс плавательного бассейна pH Калькулятор уравнений кругового движения Калькулятор ветрогенератора Калькулятор уравнения непрерывности Калькулятор уравнений окружности Калькулятор треугольника Калькулятор кредитных убытков от вакансий Калькулятор мультипликатора валовой арендной платы Калькулятор уравнений облачной базы Калькулятор уравнений удельного веса
Онлайн-веб-приложения, Богатые интернет-приложения, Технические инструменты, Спецификации, Практические руководства, Обучение, Приложения, Примеры, Учебники, Обзоры, Ответы, Ресурсы для просмотра тестов, Анализ, Решения для домашних заданий, Рабочие листы, Справка, Данные и информация для инженеров, Техники, преподаватели, репетиторы, исследователи, образование K-12, учащиеся колледжей и старших классов, проекты научной ярмарки и ученые
Джимми Рэймонд
Контакт: aj@ajdesigner.
com
Политика конфиденциальности, отказ от ответственности и условия
Copyright 2002-2015
Используйте уравнение Бернулли для расчета разницы давлений между двумя точками
Поскольку уравнение Бернулли связывает давление, скорость жидкости и высоту, вы можете использовать это важное физическое уравнение, чтобы найти разницу давления жидкости между двумя точками. Все, что вам нужно знать, это скорость и высота жидкости в этих двух точках.
Уравнение Бернулли связывает давление, плотность, скорость и высоту движущейся жидкости из точки 1 в точку 2 следующим образом:
Вот что обозначают переменные в этом уравнении (где нижние индексы указывают, говорите ли вы о точке 1 или о точке 2):
В уравнении предполагается, что вы работаете со стационарным потоком несжимаемой, безвихревой, невязкой жидкости.
Одна вещь, которую вы можете сразу же извлечь из этого уравнения, — это то, что называется принципом Бернулли, который гласит, что увеличение скорости жидкости может привести к снижению давления.
Вместе уравнение непрерывности
и уравнение Бернулли позволяют связать давление в трубах с изменением их диаметра. Вы часто используете уравнение неразрывности, которое говорит вам, что определенный объем жидкости течет с постоянным массовым расходом, чтобы найти скорости, которые вы используете в уравнении Бернулли, которое связывает скорость с давлением.
Вот пример: операционная замолкает, когда вас вводят. На операционном столе лежит очень важный человек, у которого аневризма аорты, главной артерии, идущей от сердца. Аневризма представляет собой расширение кровеносного сосуда, стенки которого ослабли.
Врачи говорят вам: «Площадь поперечного сечения аневризмы составляет 2,0 A, , где A — площадь поперечного сечения нормальной аорты. Мы хотим оперировать, но сначала нам нужно узнать, насколько выше давление в аневризме, прежде чем мы ее разрежем».
Хм, вы думаете. Вы знаете, что нормальная скорость крови через аорту человека составляет 0,40 метра в секунду, а плотность крови равна 1060 кг/м 3 .
Но будет ли этой информации достаточно?
Вы хотели бы использовать здесь уравнение Бернулли, потому что оно связывает давление и скорость:
Уравнение Бернулли можно упростить, поскольку пациент лежит на операционном столе горизонтально, а это означает, что y 1 = y 2 , поэтому уравнение Бернулли принимает следующий вид:
Вы хотите знать, насколько больше давление в аневризме, чем в нормальной аорте, поэтому ищете P 2 – P 1 . Переставьте уравнение:
Выглядит лучше; ты уже знаешь
и v 1 (скорость крови в аорте нормального человека). Но чему равна v 2 скорость крови внутри аневризмы? Вы напряженно думаете — и у вас появляется вдохновение: Уравнение непрерывности может прийти на помощь, потому что оно связывает скорости с площадями поперечного сечения:
Поскольку плотность крови одинакова в точках 1 и 2, в нормальной аорте и внутри аневризмы можно разделить плотность, чтобы получить:
А 1 v 1 = А 2 v 2
Решение для v 2 дает вам следующее:
Теперь подставьте числа.