Решите уравнение 3 4 x: 1 1/3 ; 2) 2/x−0,4= 1/0,4 ; 3) 2/x−1/3= 1/2 ; 4) 3/4= x−1/3,2 ; 30 ; 1/12.

x+1 — Учеба и наука

Содержание

Лучший ответ по мнению автора


24. 02.17
Лучший ответ по мнению автора

Михаил Александров

Читать ответы

Андрей Андреевич

Читать ответы

Eleonora Gabrielyan

Читать ответы

Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика

Похожие вопросы

Решено

В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, AB = 4, tg А=0. 75 . Найдите АС.

Данный пример использовался на экзамене upsc в декабре 2013 и лишь один человек смог решить его … 1,3,5,7,9,11,13,15 нужно взять 3 числа и только сложением получить 30.

Решено

в зоопарке живут крокодилы и страусы. В сумме у них 40 голов и 94 ноги. Сколько там крокодилов и страусов?

Решено

дана арифмитическая прогрессия (аn)в которой a9=-22,2,a23=-41,8 найдите разность прогрессии

Имеется два сосуда, содержащие 30 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 81%

Пользуйтесь нашим приложением

Уравнения с параметром

Справочный материал

Уравнение вида f(x; a) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а.

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1. ах = 0

  1. Если а = 0, то 0х = 0
                              х – любое действительное число
  2. Если а 0, то х =
                             х = 0

Пример 2. ах = а

  1. Если а = 0, то 0х = 0
                             
    х
    – любое действительное число
  2. Если а 0, то х =
                            х = 1

Пример 3.

х + 2 = ах
х – ах = -2
х(1 – а) = -2

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

(а2 – 1) х = 2а2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)

Если а = 1, то 0

х = 0
                          х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
                          Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х.

Например:

если а = 5, то х = = ;

если а = 0, то х = 3 и т. д.

Дидактический материал

1. ах = х + 3

2. 4 + ах = 3х – 1

3. а = +

4. + 3(х+1)

5. = –

6. =

Ответы:

  1. При а 1 х =;

при а = 1 корней нет.

  1. При а 3 х = ;

при а = 3 корней нет.

  1. При а 1, а -1, а 0 х = ;

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

при а = -1, а = 0 решений нет.

  1. При а 2, а 0 х = ;

при а = 0, а = 2 решений нет.

  1. При а -3, а -2, а 0, 5 х =

при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет

  1. При а + с 0, с 0 х = ;

при а = —с, с = 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

(а – 1)х2 = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0

При а = 1    6х + 7 = 0

х = –

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1))2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а2 + 16а + 4 – 4(4а2 + 3а – 4а – 3) = 16а2 + 16а + 4 – 16а2 + 4а + 12 = 20а + 16

20а + 16 = 0

20а = -16

a =

a =

Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.

Если а > -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

Если а = 4/5, то Д = 0,

х = – = –

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

Д = 4(а + 1)2 – 4(9а – 5) = 4а2 – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)

4(а – 1)(а – 6) > 0

по т. Виета: х1 + х2 = -2(а + 1)
                     х1х2 = 9а – 5

По условию х1 < 0, х2 < 0 то –2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0

В итоге 4(а – 1)(а – 6) > 0
— 2(а + 1) < 0
9а – 5 > 0
а < 1: а > 6
а > — 1
а > 5/9

(Рис. 1)

< a < 1, либо a > 6

Пример 3. Найдите значения а, при которых данное уравнение имеет решение.

х2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0

Д = 4(а – 1)2 – 4(2а + 10 = 4а2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а2 – 16а

4а2 – 16 0

4а(а – 4) 0

а(а – 4)) 0

а(а – 4) = 0

а = 0 или а – 4 = 0
                 а = 4

(Рис. 2)

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а2 – 6а + 8) х2 + (а2 – 4) х + (10 – 3аа2) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х2 + ха = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х2 +ах + 1 = 0 и х2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

Ответы:

1. При а = — 1/7, а = 0, а = 1

2. При а = 0

3. При а = 2

4. При а = 10

5. При а = — 2

Показательные уравнения с параметром

Пример 1. Найти все значения а, при которых уравнение

9х – (а + 2)*3х-1/х +2а*3-2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 32/х, получим равносильное уравнение

32(х+1/х) – (а + 2)*3х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3х+1/х = у, тогда уравнение (2) примет вид у2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

(у – 2)(уа) = 0, откуда у1 =2, у2 = а.

Если у = 2, т.е. 3х+1/х = 2 то х + 1/х = log32 , или х2хlog32 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log232 – 4 < 0.

Если у = а, т.е. 3х+1/х = а то х + 1/х = log3а, или х2 хlog3а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log232 – 4 > 0, или |log3а| > 2.

Если log3а > 2, то а > 9, а если log3а < -2, то 0 < а < 1/9.

Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.

Пример 2. При каких значениях а уравнение 2– (а – 3) 2х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х1 = -3, х2 = а = >

а – положительное число.

Ответ: при а > 0

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25х – (2а + 5)*5х-1/х + 10а * 5-2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2(а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4х — (5а-3)2х +4а2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Ответ:

  1. 0 < а < 1/50, а > 25/2
  2. при а = 1, а = -2,2
  3. 0 < а 3/4 и а = 1

Логарифмические уравнения с параметром

Пример 1. Найти все значения а, при которых уравнение

log4x(1 + ах) = 1/2 (1)

имеет единственное решение.

Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

1 + ах = 2х при х > 0, х 1/4 (3)

х = у

ау2у + 1 = 0 (4)

Если а = 0, то – 2у + 1 = 0
2у = 1
у = 1/2
х = 1/2
х = 1/4

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.

Если Д = 0 (а = 1), то (4) имеет единственный положительный корень х = 1, удовлетворяющий условиям (3).

Пусть Д > 0 (а < 1), тогда уравнение (4) имеет два различных корня. Так как у = х 0, то в случае Д > 0 уравнение (4) имеет действительные корни разных знаков. Это условие выполняется тогда и только тогда, когда Д > 0 и 1/а < 0, т.е. при а < 0.

Пример 2. Найти все значения а, при которых уравнение

log5(x = 2-a ) – log1/5(a-1-x) = log259 имеет решение.

Решение. log5(x + 2-a) –log5(f – 1 – x) = log53

(1) х + 2 – а = 3(а – 1 – х), если

(2) а – 1 > х

Выражая х из (1) и подставляя в (2), получаем неравенство

2 – а > 1 – а (3)

Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций у = 2 – а и у = 1 – а.

Рис. 3

Решения неравенства (3) образуют промежуток (а0; 2), где а0 < 0 и а0 – корень уравнения 2 – а = 1 – а.

Тогда 2 – а = (1– а)2

а2 – а – 1 = 0

а0 =

Ответ: < a 2

Дидактический материал

  1. Найдите, при каких значениях а уравнение log 3 (9x + 9a3)= x имеет ровно два корня.
  2. Найдите, при каких значениях а уравнение log 2 (4xa) = x имеет единственный корень.
  3. При каких значениях а уравнение х – log 3 (2а – 9х) = 0 не имеет корней.

 

Ответы:

  1. при а < 1/3 36
  2. при а = -1/4
  3. при а < -1/8

Литература

Гусев В. А., Мордкович А.Г. Математика. Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1990.

  • Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1990
  • Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990.
  • Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре. – М.: Просвещение, 1994.
  • Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Алгебра и начала анализа. Решение экзаменационных задач. – М.: Дрофа, 1998.
  • Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материалы по алгебре 7, 8, 9 кл. – М.: Просвещение, 2001.
  • Саакян С.И., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов. – М.: Просвещение, 1990.
  • Журналы “Математика в школе”.
  • Л. С. Лаппо и др. ЕГЭ. Учебное пособие. – М.: Экзамен, 2001–2008.
  • ГДЗ по математике 3 класс учебник Моро, Волкова 1 часть


    • Тип: ГДЗ, Решебник.
    • Автор: Моро М. И., Волкова С. И., Бантова М. А.
    • Год: 2020.
    • Серия: Школа России (ФГОС).
    • Издательство: Просвещение.

    ❤️️Ответ к странице 8. Математика 3 класс учебник 1 часть. Автор: М.И. Моро.

    Решебник — страница 8Готовое домашнее задание

    Номер 7.

    На клумбе расцвели 15 красных астр, розовых на 3 меньше, а белых астр столько, сколько красных и розовых вместе. Сколько белых астр?

    Ответ:


    1) 15 − 3 = 12 (ас.) – розовых. 2) 15 + 12 = 27 (ас.) – белых. Ответ: 27 астр белых.

    Номер 8.

    Ответ:

    48 + 49 + 2 = 48 + 2 + 49 = 50 + 49 = 99 56 + 27 + 3 = 27 + 3 + 56 = 30 + 56 = 86
    69 − (26 + 24) = 69 − 50 = 19 69 − 26 + 24 = 43 + 24 = 67
    30 − 22 = 8 44 − 30 = 14
    80 − 4 = 76 84 − 5 = 79

    Номер 9.

    Какой из двух отрезков длиннее? Определи на глаз, а затем проверь измерением.

    Ответ:

    Синий отрезок – 4 см. Красный отрезок – 4 см. Отрезки равные друг другу.

    Задание внизу страницы

    Найди среди записей уравнение и реши его.

    Ответ:

    x − 6 = 54 x = 54 + 6 x = 60 Проверка 60 − 6 = 54 54 = 54
    Уравнение: x − 6 = 54

    Задание на полях страницы

    Занимательные рамки:

    Ответ:

    Рейтинг

    Выберите другую страницу

    1 часть

    Учебник Моро 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111

    2 часть

    4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111

    К постижению (не)эффективности преподавания математики

    The reasonable man adapts himself to the world: the unreasonable one persists in trying to adapt the world to himself. Therefore all progress depends on the unreasonable man.

    George Bernard Shaw1

    Сергей Лыткин (hse.ru)

    Статья Александра Шеня «О непостижимой (не)эффективности преподавания математики» , год назад опубликованная в ТрВ-Наука2, затрагивала ряд важных проблем в современном математическом образовании. После ее прочтения, однако, оставалось некоторое неудовлетворение: не вполне ясно, кто же виноват в текущем положении дел, и уж совсем непонятно, что делать. Так почему же «математика идет так плохо», и поддается ли это лечению?

    Из очевидного: неприятие школьной и вузовской математики есть прямое следствие кричащей бесполезности и архаичности контента. Глядя на варианты ЕГЭ (причем не только по математике), хорошо понимаешь смысл фразы «забудьте всё, чему вас учили в школе». Не связывающие свое будущее с математикой школьники забудут ее на следующий день после сдачи ЕГЭ. И правильно сделают: такая математика во взрослой жизни им не пригодится примерно никогда. Парадокс в том, что многое из того, что спрашивается на ЕГЭ по математике, не пригодится и тем, кто пойдет в IT, естественные науки или даже в математику! 3 Неудивительно, что школьники регулярно задают вопрос «зачем мне учить математику?» и саботируют этот процесс, не получая вразумительного ответа.

    Не лучше обстоит дело с высшей математикой в вузах. Сопровождение студента со стороны преподавателя уменьшается по сравнению с тем, что было в школе, материал становится сложнее, а его практическая польза еще менее ясна. Устаревшие программы не обновляются должным образом из-за бюрократии и консерватизма, что приводит к хроническому отставанию от потребностей рынка труда. В итоге выпускники математических специальностей зачастую вынуждены много чему доучиваться или даже переучиваться, чтобы устроиться на работу (в которой математики может оказаться очень мало или даже не быть совсем). Спрашивается, зачем тогда надо было тратить столько времени на всякий «хлам» вроде вычисления пределов или неопределенных интегралов? 4 Тем более, что для этих целей давно уже создан Wolfram 5.

    Тут мне могут возразить, например, в таком духе:

    • «математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит» 6;
    • нейронные связи, выработанные и натренированные годами изучения математики, в будущем позволят человеку с легкостью освоить что угодно другое;
    • экзамены тренируют стрессоустойчивость человека и формируют навык продуктивной работы в условиях жестких дедлайнов;
    • штудирование безумно сложно написанных учебников и прорешивание массы задач не очень понятного назначения готовит к аналогичным трудностям на реальной работе («тяжело в учении — легко в бою»).

    Всё это может работать только для очень узкого класса так называемых когнитивных атлетов, отличающихся быстротой усвоения материала и большой работоспособностью. На таком уровне дела в целом обстоят неплохо: есть и сильные школы с прекрасными учителями, проводятся олимпиады и специальные мастер-классы от лучших ученых страны, индустрия и бизнес организуют собственные образовательные мероприятия и программы с целью привлечь к себе в будущем лучшие кадры. Только вот какой процент от общего числа составляют эти когнитивные атлеты? Процентов 5–10, вряд ли больше. И то, если брать в расчет не только самый топ, но и просто сколько-нибудь приличный уровень. А для остальных мы получаем «образование», метко описанное Ричардом Фейнманом 7:

    Обучение, даже университетское, приводит студентов к состоянию «самораспространяющейся псевдообразованности», при котором никто ничего толком не понимает, а только может успешно сдавать экзамены.

    Такое «образование» по сути является вредительством, поскольку затраченное количество времени, денег и человеко-часов всеми участниками процесса совершенно непропорционально полученному на выходе результату. До определенного возраста человеку кажется, что впереди бесконечность, и поэтому у него практически отсутствуют сожаления о времени, потраченном на всякую ерунду. Этим психологическим фактором и злоупотребляют составители различных программ по математике. По сути школьная (да и вузовская) математика в нынешнем виде — это навязанная услуга со стороны государства, оказываемая в принудительном порядке весьма неэффективным способом и поэтому практически не достигающая целей, которые должно ставить перед собой качественное образование.

    В современном быстро меняющемся мире основную ценность представляют не знания сами по себе (для этого есть Google, а на случай блокировки — «Яндекс») и не вычислительные навыки (для этого есть компьютеры). На рынке труда больше всего ценятся специалисты, способные быстро и эффективно решать поставленные задачи. Виртуозное умение решать квадратные уравнения или знание наизусть таблицы простых чисел до миллиона тут совершенно бесполезно. Критически важно же обладать ясным пониманием сущностных основ различных математических концепций и способностью распознать, какие из них целесообразнее всего применять при решении реальных практических задач. Вот этому как раз таки особо и не учат.

    Также нельзя исключать, что сингулярность 8 уже близко, и недалек тот день, когда знания будут по требованию непосредственно перетекать в мозг. Пока же можно констатировать, что объемы и потоки информации сегодня настолько возросли, что можно смело похоронить идею единоразового получения всех необходимых знаний и умений в школе и вузе. Чтобы оставаться успешными и востребованными в будущем, нынешним школьникам и студентам придется периодически усваивать всё новые и новые порции информации, в том числе и порции математики. Нет никаких рациональных причин пичкать среднего школьника десять лет подряд ненужной и непонятной ему математикой, кроме бюрократической необходимости хорошо написать контрольную или набрать некоторое число баллов на ЕГЭ/ОГЭ. Гораздо продуктивнее ограничиться самым базовым набором математических понятий, и обязательно добиться того, чтобы ученик реально их осознал и освоил. Тогда, если в будущем возникнет необходимость расширить и углубить познания в математике, у него не должно возникнуть непреодолимых препятствий к этому.

    Тут мы вплотную подошли к вопросу о природе математического познания. Объективная сложность изучения математики заключается в том, что она имеет дело исключительно с абстракциями, представления о которых вырабатываются субъектом познания в результате рефлексии после взаимодействия с реальным миром. Есть много разных метафор, характеризующих процесс математического познания. Одна из самых метких трактует изучение математики как движение по спирали познания, поскольку к одному и тому же понятию ученик возвращается неоднократно, каждый раз находясь на более высоком уровне по сравнению с предыдущим обращением 9. Переход на следующий уровень возможен только после решения некоторого числа задач, необходимое количество и скорость выполнения которых сугубо индивидуальны. Именно по этой причине лучшие математические школы вынуждены устраивать жесткий конкурс с целью отбора наиболее сильных когнитивных атлетов, способных взбираться по спирали познания с примерно одинаковой и довольно высокой скоростью.

    В начальной школе витки спирали познания довольно короткие и легкие для освоения, ведь с маленькими детьми по-другому и нельзя. С проникновением в глубь математики соответствующие различным понятиям спирали расширяются и частично переплетаются между собой. Достаточно взглянуть на программу школьной математики, чтобы понять ошибочность утверждения «школьный курс математики, в общем-то, довольно прост». Так может казаться с высоты птичьего полета профессора или когнитивного атлета. Десятки математических понятий образуют хитрым образом сцепленные спирали с десятками витков, причем часть этих спиралей еще и торчит наружу в сторону смежных дисциплин. Всё вместе это означает сотни и тысячи элементарных единиц материала.

    Фрагмент границы множества Мандельброта в цветном варианте. Илл. Wolfgang Beyer (Ultra Fractal 3)

    Неотработанные витки спирали познания ставят под угрозу дальнейшего продвижение ученика. К старшим классам, когда материал усложняется, а лакуны и обрывы у многочисленных спиралей познания достигают критической массы, большинство школьников и их родителей смиряются с неизбежным: надо срочно нанять репетитора, чтобы в спешном порядке залатать дыры и кое-как сдать ЕГЭ. Речи о понимании и познании математики уже не идет.

    Тех, кто пережил 10 школьный курс математики, может ожидать еще более серьезное испытание в институте. Методическая проработка пособий по высшей математике традиционно слабее, чем школьных; бытует также мнение, что студенты уже не дети и сами разберутся и всё поймут, раз выбрали математическую специальность. А некоторые чрезмерно увлеченные преподаватели злоупотребляют своим положением и заставляют студентов решать сложные узконаправленные задачи, игнорируя отработку базового материала. Какая уж тут спираль, больше похоже на экспоненту.

    Суммируя всё выше сказанное, можно констатировать, что в математическом образовании прежде всего не хватает тщательной методической проработки различных аспектов обучения. Не претендуя на исчерпывающую полноту, перечислим некоторые из них.

    • Инвентаризация. Все элементы математических программ требуют тщательной ревизии, которая должна внятно и аргументированно ответить на вопросы, чему и как учить. Незачем обучать тому, что вряд ли когда-то пригодится. А если элемент признан достойным внимания, надо предусмотреть различные подходы и методики для его изучения. Также вполне может оказаться, что чего-то важного не хватает.
    • Адаптивность. Когнитивные возможности у всех разные. Там, где когнитивный атлет быстро проскочит, решив пару задач, ученик средних способностей может застрять надолго. Каждое изучаемое понятие должно быть «разжевано» без существенных потерь в содержании до такого состояния, в котором ученик сможет его переварить. А чтобы когнитивные атлеты тем временем не скучали, для них следует предусмотреть задания более высокого уровня.
    • Адекватный контроль. Оценки, зачеты и экзамены представляют собой довольно посредственные и разреженные прокси-метрики для выявления реальных знаний учащегося. Требуется выработать набор инструментов и критериев, по которым можно непрерывно и с приемлемым уровнем точности судить о текущем прогрессе ученика. Это позволит быстрее и эффективнее достигать образовательного результата, оперативно внося необходимые коррективы при необходимости.
    • Интеграция математики в другие области. Физику нужна одна математика, программисту — другая, экономисту — третья. И каждая имеет свои специфические отличия от «чистой математики»! Между тем учебники набиты абстрактными задачами ради задач, а прикладные задачи зачастую выглядят искусственно и откровенно притянутыми за уши. Если математика действительно настолько непостижимо эффективна 11 в естественных науках, так покажите товар лицом! Обеспечение возможности бесшовного перехода в смежные дисциплины повысит мотивацию и послужит дополнительной иллюстрацией практической полезности математики.
    • История математики. Этот компонент практически игнорируется в математическом образовании, которое в значительной степени сводится к предоставлению обучаемому уже готовых истин. Между тем ко многим их них математики шли веками и даже тысячелетиями. Прослеживание (подчас весьма извилистого) пути развития того или иного понятия интересно не только с познавательной точки зрения; оно помогает лучше осознать, почему математика устроена именно так, а не иначе, а также служит источником для методических находок. Ведь прогресс обычно движется от простого к сложному, следовательно, ранее открытые математические истины, как правило, проще и доступнее для понимания, нежели последующие. А вот преподавание, скажем, математического анализа, построено в противоестественном обратном направлении. Сначала студентов обучают действительным числам и теории пределов (эти понятия устаканились лишь к середине XIX века), а затем переходят к производным и интегралам 12, которые вошли в математику почти на 200 лет раньше благодаря трудам Ньютона и Лейбница. Стоит ли удивляться, что матан традиционно считается самым убойным предметом высшей математики?
    • Метакогнитивные навыки. Студентов не учат, как надо учиться. Например, в книге «Думай как математик» Барбара Оукли 13, опираясь на исследования о том, как работает наш мозг, дает ряд ценных советов и приводит несколько полезных практик для повышения эффективности изучения математики и других наук. Много ли внимания уделяется этому важному моменту в школах и вузах?
    • Обучение взрослых. Это направление особо не прорабатывалось в прошлом за ненадобностью. Современный тренд на автоматизацию ручного и рутинного труда приводит к тому, что люди вынуждены всё чаще обращаться к более интеллектуальным сферам деятельности. К примеру, в последние годы особую популярность набрало такое направление, как машинное обучение и data science, а в Интернете появилось множество коммерческих предложений типа «Обучаем с нуля профессии дата-сатаниста». Желающих перекатиться в новомодную область тоже немало, но многих отпугивает имеющаяся там математика 14, которой они не знают. Это в свою очередь привело к появлению некоторого количества курсов а-ля «Изучи математику для ML/DS» 15. Главное тут — не переобучиться 16.
    • Математика и компьютеры. Среди ортодоксальных математиков встречается весьма пренебрежительное отношение к компьютерам. Дескать, настоящему математику нужны только проверенные веками средства: ручка, бумага и голова. А решение математических задач, полученное с помощью навороченных калькуляторов, является неполноценным.

    Вряд ли стоит много говорить о близорукости и ущербности подобного взгляда. Уже упоминавшееся машинное обучение представляет собой яркий пример синтеза передовых компьютерных технологий и весьма сложной математики. Общее число программистов в мире удваивается каждые пять лет 17. IT-сфера давно стала главной областью приложения математики, и, по-видимому, эта тенденция будет только нарастать, а посему должна обязательно учитываться при разработке методических программ по математике. Конечно, не дело вычислять производную от функции xn с помощью компьютера, но и отработка формулы Тейлора путем ручного разложения функций до десятого порядка — чрезмерный фанатизм, эту задачу лучше предоставить компьютеру.

    По этому перечню ясно, что методической (и не только) работы тут непочатый край, причем ее ни в коем случае нельзя поручать «методистам» 18 в привычном смысле этого слова. Я ни в коей мере не призываю ни к перекраиванию всех школьных и вузовских программ, ни к написанию новых учебников по математике, памятуя о предостережении Н. И. Лобачевского: «Новая книга начал математики не должна напрасно умножать число существующих, потому что их и без того уже много» 19. Полагаю, что все утвержденные программы и пособия разрабатывались действительно лучшими методистами, и если они (программы и пособия) такие, какие они есть, то это лишь потому, что «других писателей у нас для вас нет» 20. И вряд ли они волшебным образом одномоментно возникнут откуда-либо. К тому же всякая надежда на быстрые изменения в крайне инерционной системе образования выглядит утопично. Государству нынче явно не до образования, оно занято более важными делами, поэтому спасение утопающих — дело рук самих утопающих.

    Об одном пути «спасения» имеет смысл сказать отдельно. Бытует ультраконсервативная точка зрения, согласно которой всё зло — от реформ последних тридцати лет, и поэтому надо срочно вернуться в «золотой век» советского образования, год эдак в 1937-й 21. Дескать, лучшие учебники — это те, по которым учились наши дедушки и бабушки, а все дальнейшие реформы образования вели только к его неуклонной деградации. А уж всякие современные электронные прибамбасы надо срочно запретить как средство дебилизации населения. Утверждается, что к имущественному расслоению добавилось интеллектуальное (умные умнеют, глупые глупеют), и всевозможные онлайн-платформы и самоучители предоставляют дешевое и некачественное образование «для бедных». Хорошо научить может только живой учитель, поэтому надо срочно наладить их выпуск, подняв престиж профессии.

    Еще недавно можно было бы снисходительно посмеяться над очередным стариковским брюзжанием в стиле «раньше было и солнце ярче, и трава зеленее». Казалось очевидным, что нельзя войти дважды в одну и ту же реку, и новые динамично меняющиеся времена ставят перед образованием совсем иные задачи, которые не решить средствами столетней давности. Но теперь подобный ретроградский охранительский стиль мышления идеально попадает в тренд. Верной дорогой идете, товарищи!

    Да, искусственный интеллект в области образования еще не созрел; есть много платформ, сочетающих обучающий и развлекательный математический контент 22, однако в основном они занимаются тем, что развлекают, но не учат. Но современные технологии развиваются стремительно. Лучшие шахматные программы до конца 1970-х годов не могли составить сколько-нибудь серьезной конкуренции гроссмейстеру, однако, в конце XX века компьютер победил чемпиона мира по шахматам. Еще более сложная игра го, считавшаяся неприступной на десятилетия вперед, пала под натиском нейронных сетей 23. В последние годы у искусственного интеллекта появилось множество достижений и в других областях, поэтому есть все основания полагать, что в недалеком будущем цифровой учитель превзойдет белкового. Если не лучших из лучших, но наиболее массовый средний уровень — почти наверняка. Все технологии для этого уже есть, надо лишь соединить их вместе.

    Сергей Лыткин, канд.физ.-мат. наук


    1 «Благоразумный человек приспосабливается к миру, неблагоразумный — упорно пытается приспособить мир к себе. Поэтому прогресс зависит от неблагоразумных людей» (Бернард Шоу).

    2 trv-science. ru/2021/06/o-nepostizhimoj-neeffektivnosti-prepodavaniya-matematiki

    3 Я закончил школу до появления ЕГЭ, но содержание математики старших классов тогда не сильно отличалось от теперешнего. И хоть я и стал немного математиком, не могу не признать, что практически весь этот зоопарк уравнений и неравенств, хитрых стереометрических задач и задач с параметром, которые я с успехом нарешивал в 10–11 классах, не имеет применений за пределами школьной математики. Конечно, это помогло мне поступить на мехмат МГУ, а впоследствии проверять олимпиадные работы и заниматься репетиторством школьников. Однако по сути это всего лишь воспроизводство того же самого контента, которым меня питали в школе. Задачи ради задач.

    4 Мне неоднократно приходилось слышать весьма нелестные мнения выпускников мехмата МГУ о бессмысленно прожитых там годах. Мол, лучше бы потратили время на изучение чего-нибудь действительно полезного.

    5 wolframalpha.com

    6 Эти слова приписывают М. В. Ломоносову.

    7 Эта цитата из книги В. И. Арнольда «Математическое понимание природы» (mccme.ru/free-books/arnold/VIA-mpp.pdf) перефразирует слова Фейнмана из книги «Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!» (lib.ru/ANEKDOTY/FEINMAN/feinman.txt_with-big-pictures.html). Необходимо заметить, что сказаны они были о бразильской системе образования, где Фейнман преподавал в послевоенные годы. Вряд ли можно отрицать, впрочем, что данное утверждение в той или иной степени верно относительно любой образовательной системы.

    8 Ray Kurzweil. The Singularity is Near (en.wikipedia.org/wiki/The_Singularity_Is_Near).

    9 Возможно, эта метафора была вдохновлена одним из законов диалектики Гегеля.

    10 Кого еще не «кокнули», если выражаться языком А. М. Райгородского.

    11 Как утверждается в классической статье E. Wigner. The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, Comm. Pure and Appl. Math. 131, 1 (1960). Русский перевод см ogs-seminar.narod.ru/materials/effectiveness_of_mathematics.pdf.

    12 В свое время я был сильно удивлен, обнаружив, что тема первой лекции в MIT по предмету Single Variable Calculus — производная! Как же они ее вычисляют без строго понятия предела? Немного поразмыслив, однако, я пришел к выводу, что ничего страшного в этом нет. Вполне можно сначала позаниматься интегралами и производными без полной математической строгости, а потом вернуться к ним еще раз на следующем уровне после изучения понятия предела. Спираль познания в действии.

    13 Oakley B. A Mind For Numbers (barbaraoakley.com/books/a-mind-for-numbers/). По мотивам этой книги запущен один из самых популярных курсов на Coursera (coursera.org/learn/learning-how-to-learn).

    14 И это при том, что в подобных онлайн-курсах математику стараются по возможности обойти стороной. Доходит до смешного. В каком-то курсе рассказывалось о бизнес-экономике и предлагалась такая задача. У маленького бизнеса есть постоянные издержки, а каждый новый клиент приносит ему одинаковую дополнительную прибыль. Спрашивается: если число клиентов растет, в какой момент бизнес перестанет быть убыточным и выйдет в ноль? Любому мало-мальски сведущему в математике человеку ясно, что тут идет речь о точке пересечения двух прямых (горизонтальной и наклонной), которую легко можно найти, решив линейное уравнение. Однако авторы курса боялись математики как огня и потому предлагали студенту решить задачу перебором (!) с помощью компьютера.

    15 ML = Machine Learning, DS = Data Science.

    16 «Переобучение» — специальный термин из машинного обучения, обозначающий типичную ситуацию, когда модель очень плохо работает.

    17 Такую оценку дает Роберт Мартин (blog.cleancoder.com/uncle-bob/2014/06/20/MyLawn.html).

    18 Людям, которые «не умеют ни делать, ни учить, как делать, а потому им остается лишь учить, как учить».

    19 Если их уже было много в XIX веке, то как же тогда охарактеризовать их количество в веке XXI?

    20 Эти слова приписывают И. В. Сталину.

    21 См., например, Костенко И. П. Не ошибка, а целенаправленное многолетнее разрушение // Математическое образование, 4 (100), 2021, с. 58–62 — matob.ru/files/nomer100–01.pdf

    22 Для этого даже придумано новое слово: edutainment, от EDUcation и enterTAINMENT.

    23 В 2016 году программа AlphaGo (deepmind.com/research/highlighted-research/alphago) победила чемпиона мира по го Ли Седоля.

    Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter.

    См. также:
    3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

    Решение рациональных уравнений — ChiliMath

    Рациональное уравнение — это тип уравнения, в котором используется хотя бы одно рациональное выражение, причудливое название дроби . Наилучший подход к решению этого типа уравнения состоит в том, чтобы исключить все знаменатели, используя идею LCD (наименьший общий знаменатель). При этом остаточное уравнение, с которым приходится иметь дело, обычно либо линейное, либо квадратичное.

    В этом уроке я хочу пройтись по десяти (10) проработанным примерам разного уровня сложности. Я считаю, что большинство из нас изучает математику, рассматривая множество примеров. Вот так!


    Пример 1: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и обязательно проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Было бы неплохо, если бы не было знаменателей? Ну, мы не можем просто стереть их без какого-либо действительного алгебраического шага. Подход заключается в том, чтобы найти наименьший общий знаменатель (также известный как наименьшее общее кратное) и использовать его для умножения обеих частей рационального уравнения. Это приводит к удалению знаменателей, оставляя нам обычные уравнения, которые мы уже знаем, как решать, такие как линейные и квадратные. В этом суть решения рациональных уравнений.

    • ЖК-дисплей 6x. Я умножу обе части рационального уравнения в 6 раз, чтобы исключить знаменатели. В любом случае, это наша цель – сделать нашу жизнь намного проще.
    • У вас должно получиться что-то подобное после раздачи LCD.
    • Я решил оставить переменную x справа. Поэтому удалите -5x слева, добавив обе стороны в 5x.
    • Упрощение. Теперь очевидно, как решить это одношаговое уравнение. Разделите обе части на коэффициент 5x.
    • Ага! Окончательный ответ: x = 2 после проверки исходного рационального уравнения. Это дает истинное утверждение.

    Всегда сверяйте свои «решенные ответы» с исходным уравнением, чтобы исключить посторонние решения. Это критический аспект общего подхода при решении таких задач, как рациональные уравнения и радикальные уравнения.


    Пример 2: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и обязательно проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Первым шагом в решении рационального уравнения всегда является поиск «серебряной пули», известной как LCD. Итак, для этой проблемы найти ЖК-дисплей просто.

    Поехали.

    Попробуйте выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и/или членов.

    Умножьте числа с наивысшими показателями для каждого уникального простого числа, переменной и/или термина, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

    • ЖК-дисплей с 9-кратным увеличением. Распределите его по обеим частям уравнения, чтобы исключить знаменатели.
    • Упрощение.
    • Чтобы оставить переменные в левой части, вычтите обе части на 63. Разделите обе части на коэффициент при x.
    • Вот оно! Проверьте значение x = — \,39 обратно в основное рациональное уравнение, и оно должно убедить вас, что оно работает.

    Пример 3: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и обязательно проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Похоже ЖК уже отдан. У нас есть уникальный и общий член \left( {x — 3} \right) для обоих знаменателей. Число 9 имеет тривиальный знаменатель 1, поэтому я не буду его учитывать. Поэтому LCD должен быть \left( {x — 3} \right).

    • ЖК-дисплей здесь \left( {x — 3} \right). Используйте его как множитель для обеих частей рационального уравнения.
    • Я надеюсь, что вы получите это линейное уравнение после некоторых сокращений.

    Распределить константу 9в \left( {x — 3} \right).

    • Объедините константы в левой части уравнения.
    • Упростить
    • Переместите все числа вправо, добавив 21 к обеим сторонам.
    • Упрощение
    • Не так уж плохо. Снова сделайте привычкой проверять решенный «ответ» из исходного уравнения.

    Это должно работать, так что да, x = 2 — это окончательный ответ.


    Пример 4: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и убедитесь, что вы проверили свои ответы на наличие посторонних значений.

    Я надеюсь, что теперь вы можете сказать, какой ЖК-дисплей для этой проблемы при осмотре. Если нет, вы будете в порядке. Просто продолжайте повторять несколько примеров, и по мере продвижения они будут иметь больше смысла.

    Попробуйте выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и/или членов.

    Умножьте числа с наивысшими показателями для каждого уникального простое число, переменная и/или термины, чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

    • ЖК-дисплей 4\влево({x + 2}\вправо). Умножьте на него каждую часть уравнений.
    • После тщательного распределения ЖК-дисплея в рациональном уравнении, надеюсь, у вас есть и это линейное уравнение.

    Краткое примечание : Если вы когда-либо сталкивались с остатками в знаменателе после умножения, это означает, что у вас неправильный ЖК-дисплей.

    Теперь распределите константы в скобках с обеих сторон.

    • Объедините константы в левой части для упрощения.
    • На этом этапе примите решение, где хранить переменную.
    • Сохранение x слева означает, что мы вычтем обе стороны на 4.
    • Упростить
    • Сложить обе стороны в 3 раза.
    • Вот и все. Проверьте свой ответ, чтобы убедиться в его достоверности.

    Пример 5: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и обязательно проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

    Ориентируясь на знаменатели, ЖК-дисплей должен быть 6x. Почему?

    Не забудьте умножить «каждую копию» простых чисел или переменных с наивысшими степенями.

    • ЖК-дисплей с 6-кратным увеличением. Распределите по обеим частям данного рационального уравнения.
    • Так должно выглядеть после тщательного исключения подобных терминов.

    Распределите константу в скобках.

    • Переменная x может быть объединена в левой части уравнения. 2} + 4x — 5 = \left( {x + 5} \right)\left( {x — 1} \right). Не так уж плохо?

      Поиск ЖК-дисплея, как и в предыдущих задачах.

      Попробуйте выразить каждый знаменатель как уникальных степеней простых чисел, переменных и/или членов. В этом случае у нас есть термины в виде биномов.

      Умножьте числа с наивысшими показателями для каждой уникальной копии простого числа, переменной и/или термина, чтобы получить требуемый LCD.

      • Прежде чем я разложу LCD на рациональные уравнения, полностью вынесем знаменатели.

      Это помогает позже отменить условия общего пользования.

      • Умножьте каждую сторону на LCD.
      • Вау! Удивительно, как быстро был убран «беспорядок» исходной проблемы.
      • Избавьтесь от скобок по распределительному свойству.

      Вы должны решить очень простое уравнение.


      Пример 7: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и убедитесь, что вы проверили свои ответы на наличие посторонних значений.

      Поскольку знаменатели представляют собой два уникальных бинома, вполне логично, что ЖК-экран — это всего лишь их продукт.

      • ЖК-дисплей \left( {x + 5} \right)\left( {x — 5} \right). Распределите это в рациональное уравнение.
      • Получается произведение двух двучленов с обеих сторон уравнения.

      Имеет смысл использовать метод FOIL. Это звонит в колокол?

      • Я расширил обе части уравнения, используя FOIL. До этого момента у вас должна быть аналогичная установка. Теперь объедините одинаковые члены (x) в обеих частях уравнения. 92}.
      • Задача сводится к регулярному линейному уравнению из квадратного.
      • Чтобы изолировать переменную x в левой части, необходимо добавить обе части в 6x.
      • Переместить все константы вправо.
      • Добавьте обе стороны на 30.
      • Наконец, разделите обе стороны на 5, и все готово.

      Пример 8: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и обязательно проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

      Выглядит немного устрашающе. Но если мы будем придерживаться основ, таких как правильный поиск ЖК-дисплея и тщательное умножение его в уравнении, мы должны понять, что можем довольно легко управлять этим «зверем».

      Выражение каждого знаменателя в виде уникальных степеней слагаемых

      Умножение каждого уникального слагаемого с наибольшей степенью для получения LCD

      • Вынесите знаменатели на множители.
      • Умножьте обе стороны на ЖК-дисплей, полученный выше.

      Будьте осторожны с отменой.

      • У вас должно получиться что-то подобное, если все сделано правильно.
      • Следующий шаг, распределите константы в скобках.

      С каждым шагом становится все проще!

      Я бы объединил одинаковые термины с обеих сторон также для дальнейшего упрощения.

      • Это просто многоступенчатое уравнение с переменными с обеих сторон. Легкий!
      • Чтобы оставить x слева, вычтите обе стороны на 10x.
      • Переместите все чистые числа в правую сторону.
      • Вычтите обе части на 15.
      • Простое одношаговое уравнение.
      • Разделите обе части на 5, чтобы получить окончательный ответ. Опять же, не забудьте проверить значение обратно в исходное уравнение для проверки.

      Пример 9: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и обязательно проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

      Давайте найдем ЖК-дисплей для этой задачи и используем его, чтобы избавиться от всех знаменателей.

      Выразите каждый знаменатель в виде уникальных степеней термов.

      Умножьте каждый уникальный член с наивысшей степенью, чтобы определить ЖКД.

      • Полностью вынесите знаменатели на множители
      • Распределите найденный выше ЖК в данное рациональное уравнение, чтобы исключить все знаменатели.
      • Мы свели задачу к очень простому линейному уравнению. Это «магия» использования LCD.

      Умножьте константы в скобках.

      • Объединить похожие термины
      • Упростить
      • Сохраните переменную слева, вычитая x с обеих сторон.
      • Сохраняйте константы справа.
      • Добавьте обе части по 8, чтобы найти x. Сделанный!

      Пример 10: Решите приведенное ниже рациональное уравнение и обязательно проверьте свои ответы на наличие посторонних значений.

      Начните с определения ЖК-дисплея. Выразите каждый знаменатель в виде степени уникальных терминов. Затем перемножьте выражения с самых высоких показателей для каждого уникального термина , чтобы получить требуемый ЖК-дисплей.

      Итак, мы имеем

      • Полностью вычитаем знаменатели.
      • Распределите ЖК, найденный выше, в рациональное уравнение, чтобы исключить все знаменатели.
      • Распределите константу в скобках.
      • Критический шаг : Здесь мы имеем дело с квадратным уравнением. Поэтому держите все (как переменные, так и константы) на одной стороне, заставляя противоположную сторону равняться нулю. 92} — 5x + 4 = \влево( {x — 1} \вправо)\влево( {x — 4} \вправо). Проверить это можно методом ФОЛЬГИ.
      • Используйте свойство Zero Product для нахождения x.

      Установите каждый коэффициент равным нулю, затем решите каждое простое одношаговое уравнение.

      Опять же, всегда сверяйте решенные ответы с исходными уравнениями, чтобы убедиться, что они верны.


      Вас также может заинтересовать:

      Сложение и вычитание рациональных выражений

      Умножение рациональных выражений

      Решение рациональных неравенств

      Вопросы по алгебре с решениями и пояснениями для 9 класса

      Представлены подробные решения и полные пояснения к вопросам по алгебре для 9 класса.

      1. Упростите следующие алгебраические выражения.
        1. — 6х + 5 + 12х -6
        2. 2(х — 9) + 6(-х + 2) + 4х
        3. 3x 2 + 12 + 9х — 20 + 6х 2 — х
        4. (х + 2) (х + 4) + (х + 5) (-х — 1)
        5. 1,2(х — 9) — 2,3(х + 4)
        6. 2 у)(ху 2 )
        7. (-x 2 y 2 )(xy 2 )
        Раствор
        1. Сгруппируйте похожие термины и упростите.
          — 6х + 5 + 12х -6 = (- 6х + 12х) + (5 — 6)
          = 6х — 1
        2. Раскройте скобки.
          2(х — 9) + 6(-х + 2) + 4х = 2х — 18 — 6х + 12 + 4х
          Сгруппируйте похожие термины и упростите.
          = (2x — 6x + 4x) + (- 18 + 12) = — 6
        3. Сгруппируйте похожие термины и упростите.
          3x 2 + 12 + 9x — 20 + 6x 2 — x
          = (3x 2 + 6x 2 ) + (9x — x) + (12 — 20)
          = 9х 2 + 8х — 8
        4. Раскройте скобки.
          (х + 2)(х + 4) + (х + 5)(- х — 1)
          = х 2 + 4х + 2х + 8 — х 2 — х — 5х — 5
          Групповые термины.
          = (х 2 — х 2 ) + (4х + 2х — х — 5х) + (8 — 5)
          = 3
        5. Разверните и сгруппируйте.
          1,2(х — 9) — 2,3(х + 4)
          = 1,2х — 10,8 — 2,3х — 9,2
          = -1,1x — 20
        6. Перепишите следующим образом.
          2 у) (ху 2 ) = (х 2 х) (у у 2 )
          Используйте правила экспоненты.
          = х 3 у 3
        7. Перепишите выражение следующим образом.
          (-x 2 y 2 )(xy 2 ) = -(x 2 х)(у 2 у 2 )
          Используйте правила экспоненты.
          = — х 3 у 4

      2. Упростите выражения.
        1. (а б 2 )(а 3 б) / (а 2 б 3 )
        2. (21 х 5 ) / (3 х 4 )
        3. (6 x 4 )(4 года 2 ) / [ (3 x 2 )(16 лет) ]
        4. (4x — 12) / 4
        5. (-5x — 10) / (x + 2)
        6. 2 — 4х — 12) / (х 2 — 2 х — 24)
        Решение
        1. Сначала используйте правила экспоненты, чтобы упростить числитель.
          (а б 2 )(а 3 б) / (а 2 б 3 ) = (а 4 б 3 ) / (а 4 2
        2. )
          Перепишите следующим образом.
          4 / а 2 ) (б 3 / б 3 )
          Используйте правило отношения экспонент для упрощения.
          = а 2
        3. Перепишите следующим образом.
          (21 х 5 ) / (3 х 4 ) = (21 / 3) (х 5 / х 4 )
          Упростить.
          = 7 х
        4. (6 x 4 )(4 года 2 ) / [ (3 x 2 )(16 лет) ]
          Умножьте члены в числителе и знаменателе и упростите.
          (6 x 4 )(4 года 2 ) / [ (3 x 2 )(16 лет) ] = (24 x 4 y 2 ) / (48 x 2 91)
          Перепишите следующим образом.
          = (24/48)(х 4 2 )(у 2 /у)
          Упростить.
          = (1 / 2) х 2 г
        5. Умножьте 4 в числителе.
          (4x — 12) / 4 = 4 (x — 3) / 4
          Упростить.
          = х — 3
        6. Умножьте -5 в числителе.
          (-5x — 10) / (x + 2) = — 5 (x + 2) / (x + 2)
          Упростить.
          = — 5
        7. Коэффициент числитель и знаменатель следующим образом.
          2 — 4х — 12) / (х 2 — 2х — 24) = [(х — 6)(х + 2)] / [(х — 6)(х + 4)]
          Упростить.
          = (x + 2) / (x + 4) , для всех x, не равных 6

      3. Решите для x следующие линейные уравнения.
        1. 2х = 6
        2. 6х — 8 = 4х + 4
        3. 4(х — 2) = 2(х + 3) + 7
        4. 0,1 х — 1,6 = 0,2 х + 2,3
        5. — х/5 = 2
        6. (х — 4) / (- 6) = 3
        7. (-3x + 1) / (x — 2) = -3
        8. х / 5 + (х — 1) / 3 = 1/5
        Раствор
        1. Разделите обе части уравнения на 2 и упростите.
          2x/2 = 6/2
          х = 3
        2. Добавьте 8 с обеих сторон и сгруппируйте похожие термины.
          6х — 8 + 8 = 4х + 4 + 8
          6х = 4х + 12
          Добавить — 4 раза в обе стороны и сгруппировать похожие термины.
          6х — 4х = 4х + 12 — 4х
          2x = 12
          Разделите обе части на 2 и упростите.
          х = 6
        3. Раскройте скобки.
          4x — 8 = 2x + 6 + 7
          Добавьте 8 к обеим сторонам и сгруппируйте похожие термины.
          4x — 8 + 8 = 2x + 6 + 7 + 8
          4x = 2x + 21
          Добавить — 2 раза в обе стороны и сгруппировать похожие термины.
          4x — 2x = 2x + 21 — 2x
          2x = 21
          Разделите обе части на 2.
          х = 21/2
        4. Добавьте 1,6 к обеим сторонам и упростите.
          0,1 х — 1,6 = 0,2 х + 2,3
          0,1 х — 1,6 + 1,6 = 0,2 х + 2,3 + 1,6
          0,1 х = 0,2 х + 3,9
          Добавить — 0,2 x в обе стороны и упростить.
          0,1 х — 0,2 х = 0,2 х + 3,9 — 0,2 х
          — 0,1 х = 3,9
          Разделите обе части на — 0,1 и упростите.
          х = — 39
        5. Умножьте обе части на — 5 и упростите.
          — 5(- х / 5) = — 5(2)
          х = — 10
        6. Умножьте обе части на — 6 и упростите.
          (-6)(х-4) / (-6) = (-6)3
          х — 4 = — 18
          Добавьте 4 к обеим сторонам и упростите.
          х = — 14
        7. Умножьте обе части на (x — 2) и упростите.
          (х — 2) (-3х + 1) / (х — 2) = -3 (х — 2)
          Разверните правый термин.
          -3x + 1 = -3x + 6
          Добавьте 3x к обеим сторонам и упростите.
          — 3х + 1 + 3х = — 3х + 6 + 3х
          1 = 6
          Последнее утверждение неверно и уравнение не имеет решений.
        8. Умножьте все члены на LCM 5 и 3, что равно 15.
          15(х/5) + 15(х — 1)/3 = 15(1/5)
          Упростить и расширить.
          3х + 15х — 15 = 3
          Сгруппируйте похожие термины и решите.
          18 х = 3 + 15
          18 х = 18
          х = 1

      4. Найдите любые действительные решения для следующих квадратных уравнений.
        1. 2 х 2 — 8 = 0
        2. х 2 = -5
        3. 2x 2 + 5x — 7 = 0
        4. (х — 2) (х + 3) = 0
        5. (х + 7) (х — 1) = 9
        6. х(х — 6) = -9
        Раствор
        1. Разделите все члены на 2.
          2 x 2 / 2 — 8 / 2 = 0 / 2
          и упростить
          х 2 — 4 = 0
          Фактор правой стороны.
          (х — 2) (х + 2) = 0
          Найдите x.
          х — 2 = 0 или х = 2
          х + 2 = 0 или х = -2
          Набор решений {-2 , 2}
        2. Данное уравнение x 2 = -5 не имеет действительного решения, так как квадрат действительных чисел никогда не бывает отрицательным.
        3. Фактор левой стороны следующим образом.
          2x 2 + 5x — 7 = 0
          Фактор
          (2x + 7)(x — 1) = 0
          Найдите x.
          2x + 7 = 0 или x — 1 = 0
          x = — 7/2 , x = 1, набор решений: {-7/2 , 1}
        4. Решите для х.
          (х — 2) (х + 3) = 0
          х — 2 = 0 или х + 3 = 0 Набор решений
          : {-3, 2}
        5. Развернуть левую сторону.
          х 2 + 6х — 7 = 9
          Перепишите приведенное выше уравнение так, чтобы правая часть была равна 0.
          х 2 + 6х — 16 = 0
          Фактор левой стороны.
          (х + 8) (х — 2) = 0
          Найдите x.
          х + 8 = 0 или х — 2 = 0 Набор решений
          : {-8 , 2}
        6. Расширьте левую часть и перепишите так, чтобы правая часть была равна нулю.
          х 2 — 6х + 9 = 0
          Фактор с левой стороны.
          (х — 3) 2 = 0
          Найдите x.
          х — 3 = 0 Набор решений
          : {3}

      5. Найдите любые действительные решения для следующих уравнений.
        1. х 3 — 1728 = 0
        2. х 3 = — 64
        3. √х = -1
        4. √х = 5
        5. √(х/100) = 4
        6. √(200/х) = 2
        Раствор
        1. Перепишите уравнение как.
          х 3 = 1728
          Извлеките кубический корень из каждой стороны.
          (x 3 ) 1/3 = (1728) 1/3
          Упростить.
          х = (1728) 1/3 = 12
        2. Извлеките кубический корень из каждой стороны.
          3 ) 1/3 = (- 64) 1/3
          Упрощение.
          х = — 4
        3. Уравнение √x= — 1 не имеет действительного решения, так как квадрат действительного числа больше или равен нулю.
        4. Подровняйте обе стороны.
          (√x) 2 = 5 2
          Упростить.
          х = 25
        5. Подровняйте обе стороны.
          (√(x/100)) 2 = 4 2
          Упростить.
          х / 100 = 16
          Умножьте обе части на 100 и упростите.
          х = 1600
        6. Подровняйте обе стороны.
          (√(200/x)) 2 = 2 2
          Упростить.
          200 / х = 4
          Умножьте обе части на x и упростите.
          х (200 / х) = 4 х
          200 = 4 х
          Найдите x.
          х = 50

      6. Вычислите для заданных значений a и b .
        1. a 2 + b 2 , для a = 2 и b = 2
          |2а — 3б| , для а = -3 и б = 5
        2. 3 — 4б 4 , для a = -1 и b = -2
        Раствор
        1. Замените a и b их значениями и оцените.
          для a = 2 и b = 2
          а 2 + б 2 = 2 2 + 2 2 = 8
        2. Установите a = — 3 и b = 5 в заданном выражении и оцените.
          | 2а — 3б | = | 2(-3) — 3(5) | = | -6 — 15 | = | -21 | = 21
        3. Установите a = — 1 и b = -2 в данном выражении и оцените.
          3 — 4б 4 = 3(-1) 3 — 4(-2) 4 = 3(-1) — 4(16) = — 3 — 64 = — 67

      7. Решите следующие неравенства.
        1. х + 3 < 0
        2. х + 1 > -х + 5
        3. 2(х — 2) < -(х + 7)
        Раствор
        1. Добавьте -3 к обеим частям неравенства и упростите.
          х + 3 — 3 < 0 - 3
          х < -3
        2. Добавьте x к обеим частям неравенства и упростите.
          х + 1 + х > — х + 5 + х
          2x + 1 > 5
          Добавьте -1 к обеим частям неравенства и упростите.
          2x + 1 — 1 > 5 — 1
          2x > 4
          Разделите обе части на 2.
          х > 2
        3. Раскройте скобки и сгруппируйте похожие термины.
          2x — 4 < - x - 7
          Добавьте 4 к обеим сторонам и упростите.
          2x — 4 + 4 < - x - 7 + 4
          2x < - x - 3
          Добавьте x с обеих сторон и упростите.
          2х + х < - х - 3 + х
          3x < - 3
          Разделите обе части на 3 и упростите.
          х < - 1

      8. При каком значении константы k квадратное уравнение x 2 +2x = — 2k имеет два различных действительных решения?
        Решение
        Сначала находим данное уравнение, правая часть которого равна нулю.
        х 2 +2х + 2к = 0
        Теперь вычислим дискриминант D квадратного уравнения.
        D = b 2 — 4 a c = 2 2 — 4 (1)(2k) = 4 — 8 k
        Чтобы решение имело два различных действительных решения, D должно быть положительным. Следовательно
        4 — 8 к > 0
        Решите неравенство, чтобы получить
        к < 1/2
      9. При каком значении константы b линейное уравнение 2 x + b y = 2 имеет наклон, равный 2?
        Решение
        Найдите у и определите наклон
        b у = — 2 х + 2
        у = (- 2 / б) х + 2 / б
        наклон = (- 2 / b) = 2
        Решите уравнение (- 2 / b) = 2 для б
        (- 2 / б) = 2
        -2 = 2 б
        б = — 1
      10. Каков y перехват линии — 4 х + 6 у = — 12 ?
        Решение
        Установите x = 0 в уравнении и найдите y.
        — 4 (0) + 6 у = — 12
        6 г = — 12
        г = — 2
        г перехват: (0 , — 2)
      11. Чему равен x перехват строки — 3 x + y = 3 ?
        Решение
        Установите y = 0 в уравнении и найдите x.
        — 3 х + 0 = 3
        х = -1
        х перехват: (-1, 0)
      12. Что такое точка пересечения линий х — у = 3 и — 5 х — 2 у = — 22 ?
        Решение
        Точка пересечения двух прямых является решением уравнений обеих прямых. Чтобы найти точку пересечения двух прямых, нам нужно решить систему уравнений x — y = 3 и -5 x — 2 y = -22 одновременно. Уравнение x — y = 3 может быть решено для x, чтобы дать
        х = 3 + у
        Замените x на 3 + y в уравнении — 5 x — 2 y = -22 и найдите y
        -5 (3 + у) — 2 у = — 22
        -15 — 5 лет — 2 года = — 22
        -7 г = — 22 + 15
        -7 у = — 7
        г = 1
        Замените x на 3 + y в уравнении -5 x — 2 y = — 22 и найдите y
        х = 3 + у = 3 + 1 = 4
        Точка пересечения: (4 , 1)
      13. При каком значении константы k прямая — 4 x + k y = 2 проходит через точку (2,-3) ?
        Решение
        Чтобы прямая проходила через точку (2,-3) , упорядоченная пара (2,-3) должна быть решением уравнения прямой. Заменим x на 2 abd y на -3 в уравнении.
        — 4(2) + к(-3) = 2
        Решите для k, чтобы получить
        к = — 10/3
      14. Каков наклон линии с уравнением y — 4 = 10 ?
        Решение
        Запишите данное уравнение в форме пересечения наклона y = m x + b и определите наклон m.
        г = 14
        Это горизонтальная линия, поэтому наклон равен 0.
      15. Каков наклон линии уравнения 2 x = -8 ?
        Решение
        Приведенное выше уравнение может быть записано как
        х = — 4
        Это вертикальная линия, поэтому ее наклон не определен.
      16. Найдите точки пересечения x и y линии с уравнением x = — 3 ?
        Решение
        Выше показана вертикальная линия с точкой пересечения x, заданная только
        (-3, 0)
      17. Найдите точки пересечения x и y линии с уравнением 3 y — 6 = 3 ?
        Решение
        Данное уравнение можно записать в виде
        г = 3
        Выше показана горизонтальная линия с точкой пересечения y, заданная только
        (0 , 3)
      18. Каков наклон прямой, параллельной оси x?
        Решение
        Линия, параллельная оси x, является горизонтальной линией, и ее наклон равен 0.
      19. Каков наклон прямой, перпендикулярной оси x?
        Решение
        Линия, перпендикулярная оси X, является вертикальной линией, и ее наклон не определен.

      Математика в средней школе (6, 7, 8, 9 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами
      Математика в средней школе (10, 11 и 12 классы) — бесплатные вопросы и задачи с ответами
      Начальная математика (классы) 4 и 5) с бесплатными вопросами и задачами с ответами
      Домашняя страница

      сообщите об этом объявлении

      Q1 Решите i x 2 6 ii x 6 2 iii y 8 5 iv x 4 3 v y 2 8 vi b 25 42 vii p 46 85 viii y 32 65 ix a 89 126.

      ..

      Перейти к

      • Упражнение 22 (А)
      • Упражнение 22(Б)
      • Упражнение 22 (С)
      • Упражнение 22(Г)
      • Повторное упражнение
      • Система счисления (закрепление чувства числа)
      • Предварительный расчет
      • Числа в Индии и международной системе (со сравнением)
      • Место Значение
      • Натуральные числа и целые числа (включая шаблоны)
      • Отрицательные числа и целые числа
      • Номер строки
      • HCF и LCM
      • Игра с числами
      • Наборы
      • Соотношение
      • Доля (включая словесные задачи)
      • Унитарный метод
      • Фракции
      • Десятичные дроби
      • Процент (Процент)
      • Представление о скорости, расстоянии и времени
      • Основные понятия (алгебра)
      • Основные операции (связанные с алгебраическими выражениями)
      • Замена (включая использование скобок в качестве группирующих символов)
      • Обрамление алгебраических выражений (включая вычисление)
      • Простые (линейные) уравнения (включая текстовые задачи)
      • Основные понятия (геометрия)
      • Углы (с их типами)
      • Свойства углов и линий (включая параллельные линии)
      • Треугольники (включая типы, свойства и конструкцию)
      • четырехугольник
      • Полигоны
      • Круг
      • Повторное упражнение по симметрии (включая построения по симметрии)
      • Распознавание твердых тел
      • Периметр и площадь плоских фигур
      • Обработка данных (включая пиктограмму и гистограмму)
      • Среднее и медиана

      Главная > Селина Солюшнс Класс 6 Математика > Глава 22. Простые (линейные) уравнения (включая текстовые задачи) > Упражнение 22 (А) > Вопрос 1

      Вопрос 1 Упражнение 22(А)

      Q1) Решите:

      (i) x + 2 = 6

      (ii) x + 6 = 2

      (iii) y + 8 = 5

      (iv) x + 4 = — 3

      ( v) y + 2 = — 8

      (vi) b + 2,5 = 4,2

      (vii) p + 4,6 = 8,5

      (viii) y + 3,2 = — 6,5

      (ix) a + 8,9 = — 12,6

      (x) x + 2\frac{1}{3} = 5

      (xi) z + 2 = 4\frac{1}{5}

      (xii) m + 3\frac{1}{ 2}=4\frac{1}{4}

      (xiii) x + 2 = 1\frac{1}{4}

      (xiv) y + 5\frac{1}{3}= 4

      (xv) a + 3\frac{1}{5}=1\frac{1}{2}

      Ответ:

      Решение 1:

      (i) x + 2 = 6

      x = 6 — 2

      х = 4

      (ii) х + 6 = 2

      х = 2 — 6

      х = -4

      (iii) у + 8 = 5

      у = 5 — 8

      1 9 = -3

      (iv) x + 4 = -3

      x = -3 -4

      x = -7

      (v) y + 2 = -8

      y = -8 -2

      y = -10

      (vi) б + 2,5 = 4,2

      б = 4,2 — 2,5

      b = 1. 7

      (vii) p + 4.6 = 8.5

      p = 8.5 — 4.6

      p = 3.9

      (viii) y + 3.2 = -6.5

      y = -6.5 -3.2

      y = -9,7

      (ix) a + 8,9 = -12,6

      a = -12,6 -8,9

      a = -21,5

      (x) x + 2\frac{1}{3} = 5

      x + \ frac{7}{3}=5

      x = 5-\frac{7}{3}=\frac{15-7}{3}=\frac{8}{3}

      x = 2\frac {2}{3}

      (xi) z + 2 = 4\frac{1}{5}

      z + 2 = \frac{21}{5}

      z = \frac{21}{5}-2=\frac{21-10}{5}=\frac{11}{5}

      z = 2\frac{1}{5}

      ( xii) m + 3\frac{1}{2}=4\frac{1}{4}

      m + \frac{7}{2}=\frac{17}{4}

      m = \frac {17}{4}-\frac{7}{2}=\frac{17-14}{4}=\frac{3}{4}

      (xiii) x + 2 = 1\frac{1} {4}

      x + 2 = \frac{5}{4}

      x = \frac{5}{4}-2=\frac{5-8}{4}=\frac{-3}{ 4}

      x = -\frac{3}{4}

      (xiv) y + 5\frac{1}{3}= 4

      y + \frac{16}{3}=4

      y = 4-\frac{16}{3}=\frac{12-16}{3}=\frac{-4}{3}

      y = -1\frac{1}{3}

      (xv) a + 3\frac{1}{5}=1\frac{1}{2}

      a + \frac{16}{ 5}=\frac{3}{2}

      a = \frac{3}{2}-\frac{16}{5}=\frac{15-32}{10}=\frac{-17} {10}

      a = -1\frac{7}{10}