S окружности: Формулы, как найти площадь круга

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности 9 класс

Тема 7: Длина окружности и площадь круга

Урок 2: Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности

• Видео
• Тренажер
• Теория

Заметили ошибку?

Тема 34.

Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности.

Пусть S— площадь правильного n — угольника, a_n – его сторона,

P – периметр, а r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей. Докажем, что S=12Pr

Соединим центр данного многоугольника с его вершинами

Тогда многоугольник разобьется на n равных треугольников, площадь каждого из которых равна

S=12anh, в данном случае h = r

S=12anr

Следовательно, площадь n — угольника равна

S=n⋅12anr

S=12nαnr

S=12Pr

Выведем далее формулы:

an=2Rsin⁡180°n

r=Rcos⁡180°n

Рассмотрим правильный n — угольник A₁A₂A₃…A_n, где О – центр данного многоугольника.

Рассмотрим ∆OA₁H₁

∠A1=αn2=n-22n⋅180°=90°-180°n

∆OA₁H_{1– прямоугольный, следовательно}

cos⁡A1=A1h2OA1

OA₁= Rcos⁡A1=A1h2R

A₁H₁ = R cos A₁

A1h2=Rcos⁡90°-180°n=Rsin⁡180°n

an=A1A2=2A1h2=2Rsin⁡180°n

r=Oh2=OA1∙sin⁡A1=Rsin90°-180°n=Rcos180°n

Далее из формулы an=2Rsin⁡180°n выразим стороны правильного треугольника, четырехугольника и шестиугольника. Для этого вместо

n подставим числа 3,4 и 6, получим:

a3=2Rsin⁡180°4=2Rsin⁡60°=2R⋅32=R3

a4=2Rsin⁡180°4=2Rsin⁡45°=2R⋅22=R2,

a6=2Rsin⁡180°6=2Rsin⁡30°=2R⋅12=R

Рассмотрим пример.

Найдем площадь правильного шестиугольника, если радиус вписанной в него окружности равен 9 см.

Воспользуемся формулой: S=12Pr

Найдем периметр данного шестиугольника. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности, то есть a₆ = R

r=Rcos180°n

9=Rcos⁡180°6

9=Rcos⁡30°

9=R32

R=9÷32=9∙23=1833=63

a6=R=63 см

P=6∙63=363 см

S=12363∙9=1623 см²

Ответ :1623 см²

Заметили ошибку?

Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.

Как найти площадь окружности зная радиус. Площадь круга

Инструкция

Используйте число Пи для нахождения радиуса по известной площади круга. Эта константа задает пропорцию между диаметром круга и длиной его границы (окружности). Длина окружности максимальную площадь плоскости, которую возможно с ее помощью охватить, а диаметр равняется двум радиусам, поэтому и площадь с радиусом тоже соотносятся друг с другом с пропорцией, которую можно выразить через число Пи. Эта константа (π) определяется как площади (S) и возведенного в квадрат радиус (r) круга. Из этого вытекает, что радиус можно выразить, как квадратный корень из частного от деления площади на число Пи: r=√(S/π).

Долгое время Эрастофен возглавлял Александрийскую библиотеку, самую знаменитую библиотеку древнего мира. Помимо того, что он вычислил размер нашей планеты, сделал еще ряд важных изобретений и открытий. Изобрел нехитрый метод определять простые числа, называемый теперь «решето Эрастофена».

Нарисовал «карту мира», в которой показал все части света, известные на тот момент древним грекам. Карта считалась одной из лучших для своего времени. Разработал систему долготы и широты и календарь, включавший високосные годы. Изобрел армиллярную сферу, механическое устройство, используемое ранними астрономами, чтобы демонстрировать и предсказывать видимое движение звезд на небе. Также составил звездный каталог, включавший в себя 675 звезд.

Источники:

• Греческий ученый Эратосфен Киренский впервые в мире вычислил радиус Земли
• Eratosthenes» Calculation of Earth»s Circumference
• Eratosthenes

Как найти площадь круга? Сначала найдите радиус. Учитесь решать простые и сложные задачи.

Круг — это замкнутая кривая. Любая точка на линии окружности будет находиться на одинаковом расстоянии от центральной точки. Круг — это плоская фигура, поэтому решать задачи с нахождением площади просто. В этой статье мы рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в треугольник, трапецию, квадрат, и описанного около этих фигур.

Чтобы найти площадь данной фигуры, нужно знать, что такое радиус, диаметр и число π.

Радиус R — это расстояние, ограниченное центром окружности. Длины всех R-радиусов одной окружности будут равными.

Диаметр D — это линия между двумя любыми точками окружности, которая проходит через центральную точку. Длина этого отрезка равна длине R-радиуса, умноженной на 2.

Число π — это неизменная величина, которая равна 3,1415926. В математике обычно это число округляется до 3,14.

Формула нахождения площади круга через радиус:

Примеры решения заданий по нахождению S-площади круга через R-радиус:

Задача: Найдите площадь окружности, если ее радиус равен 7 см.

Решение: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 см².

Ответ: Площадь окружности равна 153,86 см².

Формула нахождения S-площади круга через D-диаметр:

Примеры решения заданий по нахождению S, если известен D:

————————————————————————————————————————-

Задача: Найдите S круга, если его D равен 10 см.

Решение: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 см².

Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 78,5 см².

Нахождение S круга, если известна длина окружности:

Сначала находим, чему равен радиус. Длина окружности рассчитывается по формуле: L=2πR, соответственно радиус R будет равен L/2π. Теперь находим площадь круга по формуле через R.

Рассмотрим решение на примере задачи:

———————————————————————————————————————-

Задача: Найдите площадь круга, если известна длина окружности L — 12 см.

Решение: Сначала находим радиус: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.

Теперь находим площадь через радиус: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 см².

Ответ: Площадь круга равна 11,46 см².

Найти площадь круга, вписанного в квадрат просто. Сторона квадрата — это диаметр круга. Чтобы найти радиус, нужно сторону разделить на 2.

Формула нахождения площади круга, вписанного в квадрат:

Примеры решения задач по нахождению площади круга, вписанного в квадрат:

———————————————————————————————————————

Задача №1: Известна сторона квадратной фигуры, которая равна 6 сантиметров. Найдите S-площадь вписанной окружности.

Решение: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 см².

Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 28,26 см².

————————————————————————————————————————

Задача №2 : Найдите S круга, вписанного в квадратную фигуру и его радиус, если одна сторона равна a=4 см.

Решайте так : Сначала найдем R=a/2=4/2=2 см.

Теперь найдем площадь окружности S=3,14*2²=3,14*4=12,56 см².

Ответ: Площадь плоской круглой фигуры равна 12,56 см².

Немного сложнее находить площадь круглой фигуры, описанной около квадрата. Но, зная формулу, можно быстро подсчитать данное значение.

Формула нахождения S круга, описанного около квадратной фигуры:

Примеры решения заданий по нахождению площади окружности, описанной около квадратной фигуры:

Задача

Окружность, которая вписана в треугольную фигуру — это круг, который касается всех трех сторон треугольника. В любую треугольную фигуру можно вписать круг, но только один. Центром круга будет точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Формула нахождения площади круга, вписанного в равнобедренный треугольник:

Когда будет известен радиус, площадь можно вычислить по формуле: S=πR².

Формула нахождения площади круга, вписанного в прямоугольный треугольник:

Примеры решения заданий:

Задача №1

Если в этой задаче нужно найти еще и площадь круга с радиусом 4 см, то сделать это можно по формуле: S=πR²

Задача №2

Решение:

Теперь, когда известен радиус, можно найти площадь круга через радиус. Формулу смотрите выше по тексту.

Задача №3

Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника: формула, примеры решения задач

Все формулы по нахождению площади круга сводятся к тому, что сначала нужно найти его радиус. Когда известен радиус, то найти площадь просто, как было описано выше.

Площадь круга, описанного около прямоугольного и равнобедренного треугольника находится по такой формуле:

Примеры решения задач:

Вот еще пример решения задачи с использованием формулы Герона.

Решать подобные задачи сложно, но их можно осилить, если знать все формулы. Такие задачи школьники решают в 9 классе.

Площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию: формула, примеры решения задач

У равнобедренной трапеции две стороны равны. У прямоугольной трапеции один угол равен 90º. Рассмотрим, как найти площадь круга, вписанного в прямоугольную и равнобедренную трапецию на примере решения задач.

Например, в равнобедренную трапецию вписана окружность, которая в точке касания делит одну сторону на отрезки m и n.

Для решения этой задачи нужно использовать такие формулы:

Нахождение площади окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, производится по следующей формуле:

Если известна боковая сторона, то можно найти радиус через это значение. Высота боковой стороны трапеции равна диаметру окружности, а радиус — это половина диаметра. Соответственно, радиус равен R=d/2.

Примеры решения задач:

Трапецию можно вписать в окружность, когда сумма ее противолежащих углов равна 180º. Поэтому вписать можно только равнобокую трапецию. Радиус для вычисления площадь круга, описанного около прямоугольной или равнобедренной трапеции, рассчитывается по таким формулам:

Примеры решения задач:

Решение: Большое основание в данном случае проходит через центр, так как в окружность вписана равнобедренная трапеция. Центр делит это основание ровно пополам. Если основание АВ равно 12, тогда радиус R можно найти так: R=12/2=6.

Ответ: Радиус равен 6.

В геометрии важно знать формулы. Но все их невозможно запомнить, поэтому даже на многих экзаменах разрешается пользоваться специальным формуляром. Однако важно уметь находить правильную формулу для решения той или иной задачи. Тренируйтесь в решении разных задач на нахождение радиуса и площади окружности, чтобы уметь правильно подставлять формулы и получать точные ответы.

Видео: Математика | Вычисление площадей круга и его частей

Круг – это видимая совокупность множества точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра. Чтобы найти его площадь, необходимо знать, что такое радиус, диаметр, число π и окружность.

Величины, участвующие в расчете площади круга

Расстояние, ограниченное центральной точкой круга и любой из точек окружности, называется радиусом этой геометрической фигуры. Длины всех радиусов одного круга одинаковы. 2. Другими словами диаметр во 2 степени равен стороне квадрата во 2 степени, умноженной на 2.

Вычислив значение длины диаметра круга, можно узнать и его радиус, после чего воспользоваться одной их формул определения площади круга.

Площадь сектора круга

Сектор – это часть круга, ограниченная 2 радиусами и дугой между ними. Чтобы узнать его площадь, нужно измерить угол сектора. После этого необходимо составить дробь, в числителе которой будет значение угла сектора, а в знаменателе – 360. Чтобы высчитать площадь сектора, значение, полученное в результате деления дроби, нужно умножить на площадь круга, вычисленную по одной из вышеперечисленных формул.

– это плоская фигура, которая представляет собой множество точек равноудаленных от центра. Все они находятся на одинаковом расстоянии и образуют собой окружность.

Отрезок, который соединяет центр круга с точками его окружности, называется радиусом . В каждой окружности все радиусы равны между собой. Прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр называется диаметром . Формула площади круга рассчитывается с помощью математической константы – числа π..

Это интересно : Число π. представляет собой соотношение длины окружности к длине ее диаметра и является постоянной величиной. Значение π = 3,1415926 получило применение после работ Л. Эйлера в 1737 г.

Площадь окружности можно вычислить через константу π. и радиус окружности. Формула площади круга через радиус выглядит так:

Рассмотрим пример расчета площади круга через радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Найдем площадь фигуры.

Площадь нашей окружности будет равна 50,24 кв. см.

Существует формула площади круга через диаметр . Она также широко применяется для вычисления необходимых параметров. Данные формулы можно использовать для нахождения .

Рассмотрим пример расчета площади круга через диаметр, зная его радиус. Пусть дана окружность с радиусом R = 4 см. Для начала найдем диаметр, который, как известно, в два раза больше радиуса.

Теперь используем данные для примера расчета площади круга по приведенной выше формуле:

Как видим, в результате получаем тот же ответ, что и при первых расчетах.

Знания стандартных формул расчета площади круга помогут в дальнейшем легко определять площадь секторов и легко находить недостающие величины.

Мы уже знаем, что формула площади круга рассчитывается через произведение постоянной величины π на квадрат радиуса окружности. Радиус можно выразить через длину окружности и подставить выражение в формулу площади круга через длину окружности:
Теперь подставим это равенство в формулу расчета площади круга и получим формулу нахождения площади круга, через длину окружности

Рассмотрим пример расчета площади круга через длину окружности. Пусть дана окружность с длиной l = 8 см. Подставим значение в выведенную формулу:

Итого площадь круга будет равна 5 кв. см.

Площадь круга описанного вокруг квадрата

Очень легко можно найти площадь круга описанного вокруг квадрата.

Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности. Зная сторону a ее можно найти по теореме Пифагора: отсюда .
После того, как найдем диагональ – мы сможем рассчитать радиус: .
И после подставим все в основную формулу площади круга описанного вокруг квадрата:

Окружности — свойства, формулы, части, примеры

Окружность представляет собой изогнутую плоскую фигуру. Каждая точка на окружности равноудалена от фиксированной точки, известной как центр окружности. Это двухмерная форма, измеряемая в терминах радиуса. Слово «круг» происходит от латинского слова «circulus», означающего маленькое кольцо.

1.	Что такое круг?
2.	Части круга
3.	Свойства круга
4.	Формула круга
5.	Часто задаваемые вопросы о кругах

Что такое круг?

Окружность – это двумерная фигура, образованная набором точек, находящихся на постоянном или фиксированном расстоянии (радиусе) от фиксированной точки (центра) на плоскости. Фиксированная точка называется началом или центром окружности, а фиксированное расстояние точек от начала координат называется радиусом.

Части круга

Есть много частей или компонентов круга, которые мы должны знать, чтобы понять его свойства. Круг состоит в основном из следующих частей:

Окружность: Также называется периметром круга и может быть определен как расстояние вокруг границы круга.

Радиус круга: Радиус — это расстояние от центра круга до любой точки на его границе. Круг имеет много радиусов, так как это расстояние от центра и касается границы круга в разных точках.

Диаметр: Диаметр — это прямая линия, проходящая через центр и соединяющая две точки на границе окружности. Отметим, что диаметров в окружности может быть несколько, но они должны:

• проходить через центр.
• — прямые линии.
• касаются границы круга в двух различных точках, лежащих друг напротив друга.

Хорда окружности: Хорда — это любой отрезок, касающийся окружности в двух разных точках на ее границе. Самая длинная хорда в окружности — это ее диаметр, который проходит через центр и делит ее на две равные части.

Касательная: Касательная — это линия, которая касается окружности в единственной точке и лежит вне окружности.

Секанс: Линия, пересекающая две точки на дуге/окружности окружности, называется секущей.

Дуга окружности: Дугой окружности называют кривую, то есть часть или часть ее окружности.

Отрезок окружности: Площадь, ограниченная хордой и соответствующей дугой окружности, называется отрезком. Сегменты бывают двух типов — малый сегмент и большой сегмент.

Сектор окружности: Сектор окружности определяется как площадь, ограниченная двумя радиусами и соответствующей дугой окружности. Существует два типа секторов — второстепенный сектор и основной сектор.

Для лучшего понимания рассмотрите данное изображение, изображающее все части круга.

Свойства круга

Давайте двигаться вперед и узнать о некоторых интересных свойствах кругов, которые отличают их от других геометрических фигур. Вот список свойств круга:

• Окружность — это замкнутая 2D-форма, не являющаяся многоугольником. У него одна изогнутая грань.
• Две окружности можно назвать конгруэнтными, если они имеют одинаковый радиус.
• Равные хорды всегда равноудалены от центра окружности.
• Биссектриса хорды проходит через центр окружности.
• При пересечении двух окружностей линия, соединяющая точки пересечения, будет перпендикулярна линии, соединяющей их центральные точки.
• Касательные, проведенные в конечных точках диаметра, параллельны друг другу.

Круговые формулы

Давайте посмотрим список важных формул, относящихся к любому кругу.

• Площадь круга Формула: Площадь круга относится к количеству пространства, покрытого кругом. Это полностью зависит от длины его радиуса → Площадь = πr ² квадратных единиц.
• Длина окружности Формула: Окружность — это общая длина границы круга → Окружность = 2πr единиц.
• Длина дуги Формула: Дуга – это сечение (часть) окружности. Длина дуги = θ × r. Здесь θ в радианах.
• Площадь сектора Формула: Если сектор образует угол θ (измеряется в радианах) в центре, то площадь сектора круга = (θ × r ² ) ÷ 2. Здесь θ равно в радианах.
• Формула длины хорды: Можно вычислить, если известен угол, образуемый хордой в центре, и значение радиуса. Длина хорды = 2 r sin(θ/2). Здесь θ в радианах.
• Площадь сегмента Формула: Сегмент окружности – это область, образованная хордой и соответствующей дугой, охватываемой сегментом. Площадь сегмента = r ² (θ − sinθ) ÷ 2. Здесь θ указано в радианах.

Похожие темы

Проверьте эти интересные статьи, связанные с кругами в математике.

• Построение кругов
• Калькулятор длины окружности
• Калькулятор уравнения окружности
• Симметрия любого круга
• Хорды ​​и диаметры

 

Примеры на кругах

1. Пример 1: Если радиус круглого бассейна составляет 20 единиц. Какова длина диаметра бассейна?

   Решение:

   Дано: Радиус = 20 единиц ⇒ Диаметр бассейна (окружности) = 2 × r. Следовательно, длина диаметра круглого бассейна = 2 × 20 = 40 единиц.

2. Пример 2: Джон плавал в круглом бассейне. После плавания он пробежал один круг вдоль границы бассейна. Если радиус бассейна равен 35 футам, можете ли вы найти расстояние, которое Джон пробежал вокруг бассейна?

   Решение:

   Чтобы найти расстояние, которое пробежал Джон, нам нужно знать длину окружности (бассейна). Для этого нам нужно знать значение π и r, где r — радиус бассейна. Дано: r = 35 футов и π = 22/7. Используя формулу, Окружность (C) = 2πr ⇒ C = 2 × 22/7 × 35 = 220 футов. Следовательно, Джон пробежал 220 футов.

3. Пример 3: Вы хотите украсить столешницу в форме круга красочной наклейкой. Если радиус столешницы равен 21 дюйму, найдите количество бумаги, необходимое для покрытия ее верхней поверхности.

   Решение:

   Дано: r = 21 дюйм, π = 22/7. Используя формулу, Площадь = πr ² ⇒ A = 22/7 × 21 × 21 = 1386 квадратных дюймов. Следовательно, площадь столешницы составляет 1386 квадратных дюймов.

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Есть вопросы по основным математическим понятиям?

Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, почему стоит математика, с сертифицированными экспертами ourCuemath.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по кругу

 

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы о кругах

Что такое круг в геометрии?

Круг — это круглая двухмерная фигура. Это замкнутая форма с расстоянием от центра до окружности, называемым радиусом «r», и расстоянием от одной точки окружности до другой точки, проходящей через центр, называемой диаметром «d». Одним из лучших примеров круга в реальном мире является основа для пиццы.

Насколько круг двумерен?

Окружность — это замкнутая двумерная фигура, в которой множество всех точек плоскости находится на одинаковом расстоянии от центра окружности. Его реальные примеры включают плоские поверхности или изображения колес, пиццы, орбиты и т. д.

Что такое формулы окружностей?

Формулы, относящиеся к кругам:

• Диаметр круга ⇒ D = 2 × r единиц.
• Окружность ⇒ C = 2 × π × r единиц.
• Площадь ⇒ A = π × r ² квадратных единиц.

Как называется полукруг в геометрии?

В геометрии полукругом называют половину круга. Диаметр делит окружность на две равные части, которые являются полуокружностями.

Что такое хорда в круге?

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки внутри окружности на ее дуге. Поскольку диаметр также имеет две точки на окружности, значит, это самая длинная хорда. Все углы, отмеченные в окружности, опирающейся на одну и ту же хорду, равны.

Каковы основные части круга?

Список различных частей окружности включает касательную, хорду, радиус, диаметр, малую дугу, большую дугу, малый сегмент, большой сегмент, малый сектор и большой сектор.

Что такое длина окружности?

Окружность круга определяется как линейное расстояние вокруг его границы, или мы можем сказать, что если круг разомкнуть, чтобы сформировать прямую линию, то длина этой линии будет окружностью круга.

Каковы свойства кругов?

Ниже приведены некоторые свойства кругов:

• Два круга с одинаковым радиусом конгруэнтны по своей природе.
• Диаметр — это самая длинная хорда окружности, которая делит окружность на две равные части.
• Радиус окружности делит хорду пополам, если он проведен перпендикулярно хорде.

Скачать БЕСПЛАТНЫЕ учебные материалы

Рабочие листы по кругам

Что такое метод CIRCLES?

Что такое метод CIRCLES?

Метод CIRCLES — это система решения проблем, которая помогает менеджерам по продуктам (PM) дать исчерпывающий и вдумчивый ответ на любой вопрос дизайна.

Семь линейных шагов процесса образуют аббревиатуру КРУГИ: C понять ситуацию; i идентифицировать клиента; r отчет о потребностях клиента; c ут, через приоритизацию; л ист растворы; e оценивают компромиссы, а s обобщают ваши рекомендации.

Ключевые концепции метода CIRCLES

Последовательная структура метода CIRCLES позволяет проектировщикам отвечать на основные вопросы, чтобы полностью понять, что необходимо разработать и почему. Некоторые считают метод CIRCLES контрольным списком для постановки правильных вопросов при формировании исчерпывающего и структурированного ответа на вопрос дизайна.

Согласно Льюису С. Лину, автору книги «Расшифруй и властвуй» и создателю метода КРУГИ, первый важный шаг — осмысление ситуации — представляет собой тройственный процесс, который включает:

1. Уточнение цели (например, увеличение дохода, доли рынка или вовлеченности).
2. Понимание ограничений для решения проблемы заранее (например, сколько у вас есть времени, сколько инженерных ресурсов доступно и т. д.).
3. Понимание контекста ситуации, которая дает вам фундаментальные знания (т. е. не стройте догадки и не делайте предположений — вместо этого задавайте вопросы, которые помогут вам понять, например «Что это?» и «Для кого это?»).

Послушайте, как Льюис С. Лин рассказывает о методе КРУГИ.

Вот семь шагов к методу КРУГИ:

	C понять ситуацию (Что? Почему? Кто? Как?)
	I идентифицировать клиента
	R сообщение о потребностях клиента
	C ут, через приоритизацию
	Л растворы ист
	E оценка компромиссов
	S обобщить вашу рекомендацию

Алисия Ньюман из Learn Worthy пишет:

«Структура CIRCLES составлена ​​таким образом, что вы можете использовать мысленные подсказки для структурирования своего ответа на вопрос о дизайне продукта. Знание основы фреймворка гарантирует, что как только вы получите этот вопрос о дизайне продукта, вы будете знать, какие элементы включить в свой ответ, независимо от того, что это за продукт».