| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 8 | cos(pi/4) | ||
| 9 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 11 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 16 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 25 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 27 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 28 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 29 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 31 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 32 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 33 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 34 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 36 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 37 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 39 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 45 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 46 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 47 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 48 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 49 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 53 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 54 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 58 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 59 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 61 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 62 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 63 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 66 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 68 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 69 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 70 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 76 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 81 | sin((4pi)/3) | ||
| 82 | Найти точное значение | csc(45) | |
| 83 | Упростить | arctan( квадратный корень из 3) | |
| 84 | Найти точное значение | sin(135) | |
| 85 | Найти точное значение | sin(105) | |
| 86 | Найти точное значение | sin(150 град. ) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/4 | |
| 90 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 91 | Найти точное значение | sec(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | arcsin(0) | |
| 95 | Найти точное значение | sin(120 град. ) | |
| 96 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | cos(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
| 100 | Преобразовать из градусов в радианы | 88 град. |
Тригонометрические функции
Косинусом угла ? называется абсцисса x точки B ? конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол ? с осью абсцисс.
cos ? = x .
Модель 2.8. Функция y = cos x
Синусом угла ? называется ордината y точки B ? конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол ? с осью абсцисс.
sin ? = y .
Модель 2.7. Функция y = sin x
Тангенсом угла ? называется отношение ординаты y к абсциссе x точки B ? конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол ? с осью абсцисс.
Модель 2.9. Функция y = tg x
Котангенсом угла ? называется отношение абсциссы x к ординате y точки B ? конца радиус-вектора единичной окружности, образующего угол ? с осью абсцисс.
Модель 2.10. Функция y = ctg x
Ясно, что для данного угла ? функции sin ?, cos ?, tg ? и ctg ?, которые называются тригонометрическими функциями , определены однозначно (поскольку каждому углу соответствует единственная точка на тригонометрической окружности).
Однако если функции sin ? и cos ? определены для любого угла ?, то функции tg ? и ctg ? определены только для тех углов, для которых не равен нулю знаменатель дробей и Значит, tg ? не определён для углов вида где ctg ? не определён для углов вида
Поскольку синус по определению равен ординате точки на единичной окружности, а косинус ? абсциссе, то знаки тригонометрических функций по четвертям будут такими:
Функция Знаки тригонометрических функций по четвертям I II III IV sin ? + + ? ? cos ? + ? ? + tg ? + ? + ? ctg ? + ? + ? Таблица 2.4.1.2
Вычисление тригонометрических функций некоторых углов
3
Рисунок 2.4.1.3.
Найдём значения тригонометрических функций некоторых наиболее часто встречающихся углов. Конец радиус-вектора, отвечающего углу 0°, точка A , имеет координаты (1; 0). Поэтому cos 0° = 1, sin 0° = 0, tg 0° = 0, ctg 0° не определён. Совершенно аналогично рассматриваются точки B (0; 1), C (–1; 0) и D (0; –1), что даёт:
sin 90° = 1, cos 90° = 0, ctg 90° = 0, tg 0° не определён.
sin 180° = 0, cos 180° = –1, tg 180° = 0, ctg 180° не определён.
sin 270° = –1, cos 270° = 0, ctg 270° = 0, tg 270° не определён.
Данные нами определения совпадают для острых углов с определениями тригонометрических функций в геометрии. В самом деле, например, синусом острого угла прямоугольного треугольника AOC (см. рис. 2.4.1.4) называлось отношение противолежащего катета к гипотенузе: Кроме того, в курсе геометрии было доказано, что значения тригонометрических функций острых углов не зависят от размеров прямоугольного треугольника.
Однако если мы поместим наш прямоугольный треугольник так, что его вершина – точка O – совпадёт с началом координат, а точка A будет лежать на единичной окружности (то есть мы выбираем тем самым гипотенузу OA = 1), то геометрическое определение синуса примет вид:
Значит, синус острого угла равен ординате точки, лежащей на тригонометрической окружности. А это как раз совпадает с нашим определением синуса.
Совершенно те же самые рассуждения приводят нас к полной эквивалентности геометрического определения тригонометрических функций с тем, что дано в настоящем разделе. Следовательно, для вычисления значений тригонометрических функций мы можем воспользоваться их геометрическим определением.
4
Рисунок 2.4.1.4.
5
Рисунок 2.4.1.5.
Рассмотрим правильный треугольник ABC со стороной, равной 1. Тогда по теореме Пифагора легко найти, что длина его высоты BH равна
6
Рисунок 2.4.1.6.
Значит, Рассматривая угол ABH , найдём, что Соответственно,
Рассмотрим теперь прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с катетами, равными CA = CB = 1, CAB = 45°. Тогда по теореме Пифагора и Следовательно,
Итак, мы вычислили значения тригонометрических функций основных углов. Составим таблицу значений тригонометрических функций, которую мы только что получили.
Функция Углы 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° Градусы 0° Радианы sin ? 0 1 0 –1 0 cos ? 1 0 –1 0 1 tg ? 0 1 – 0 – 0 ctg ? – 1 0 – 0 – Таблица 2.
4.1.3
Пример 2
Найдите значения выражений
1)
2)
Показать решение
Имеем:
1)
2)
Ответ. 1) 1; 2)
Периодические функции
Функция f называется периодической с периодом T ? 0, если для любого x из области определения функции выполнено:
Если функция f имеет период T , то она, очевидно, имеет период nT , где Поэтому говорят о наименьшем положительном периоде (НПП) функции f . Существуют периодические функции, не имеющие НПП. Так, например, f ( x ) = C , где C ? произвольная постоянная, является периодической, однако любое положительное число является её периодом. Очевидно, среди них нет наименьшего.
Пример 3
Доказать, что НПП функции y = sin x является 2?.
Показать решение
Из определения функции следует, что у точек x и x + 2? одинаковая ордината, следовательно, sin x = sin ( x + 2?), а это означает, что 2? является периодом функции sin x . Пусть T ? некоторый период функции y = sin x .
Тогда для всех x должно выполняться равенство sin x = sin ( x + T ). При x = 0 имеем sin T = 0. Значит, T может принимать значения только ? n , где Нас интересуют T < 2?. Таким периодом может быть только T = ?, однако T = ? не является периодом данной функции, так как равенство sin x = sin ( x + ?) неверно при Значит, НПП функции y = sin x является T = 2?.
Аналогично можно показать, что функция y = cos x также имеет НПП T = 2?. А функции y = tg x и y = ctg x имеют НПП T = ?.
4: Единичная окружность — функции запуска и идентификаторы
Определение: Единичная окружность — это окружность с центром в начале координат (0,0) и радиусом в одну единицу, которую можно использовать для непосредственного измерения синуса, косинуса, & тангенс.
Уравнение: x 2 + y 2 = 1 (x в квадрате + y в квадрате = 1)
Длина дуги: с =θ —> радианная мера угла θ
Длина окружности:
C
r = 2π (1) = 2π —> длина окружности 2π также является радианной мерой угла, соответствующего 360°:2π радиан = 360 градусов
π-радиан = 180 градусов
Как использовать:
1) Начните с точки 0, которая расположена на оси x между первым и квадрантом 4
2).
либо градусы, либо радианы) против часовой стрелки
3) Как только опорная точка определена, проведите линию к ближайшей оси x, чтобы получить опорный треугольник
4) С помощью эталонного треугольника определите, что вы пытаетесь решить, применяя свои знания о специальных прямоугольных треугольниках для определения значений
Понимание координат:
Для любой упорядоченной пары (x, y) на единичной окружности: cos θ = x и sin θ = y, а θ — любой центральный угол с: 1) начальной стороной = положительной оси x 2) крайняя сторона = радиус через определяемую точку
Трюк!
Используйте поговорку «Все учащиеся изучают исчисление», чтобы помнить, что соответствующие знаки используются для обозначения углов в квадранте.
Квадрант 1: Все = A = все положительные:
SIN-> Положительный
COS-> Положительный
TAN-> Положительный
Квадрат 2: Студенты = S = SINE положительный
SIN-> Положительный
COS-> Отрицательный
TAN-> Отрицательный
Квадрант 3: Take = T = Tangents положительный
SIN-> Отрицательный
COS-> Отрицательный
TAN-> Положительный
Квадрант 4: Calculus = C = косинус положительный
SIN-> Отрицательный
COS-> Положительный
TAN-> Отрицательный
Пример
Используя кружок единиц, оцените значение:
**помните cos θ= x и sin θ= y**
cos(5π/3)=
sin(5π/3)=
Ответы:
cos(5π/3)= 1/2
sin(5π/3)= -√3/2
Разбивка единичного круга
Счет на π/6 :
на π/6 каждый квадрант делится на 3 эквивалентных участка, в результате чего вся единичная окружность делится на 12 участков размером 30° каждый.
Обратите внимание, что оси x и y учитываются при подсчете по π/6.
Счет по π/3 :
При счете по π/3 единичный круг делится на 6 эквивалентных частей по 60° каждая. Примечание ТОЛЬКО ось x включается при подсчете по π/3. Также обратите внимание, что считать по π/3 не нужно, если измерения упрощаются при подсчете по π/6. Например, 2π/6 совпадает с π/3.
Счет по π/4 :
При счете по π/4 каждый квадрант делится на 2 эквивалентные части, в результате чего вся единичная окружность делится на 8 частей по 45° каждая. Обратите внимание, что оси x и y учитываются при подсчете по π/4.
Конечный продукт:
*обратите внимание, что черные линии, обозначающие ось, представляют собой упрощенные измерения, которые иногда включаются при подсчете по определенным измерениям, как указано ранее*
| math.pdf |
Нажмите выше, чтобы открыть версию для печати РАЗБИВКА ОБЪЕКТА ЕДИНИЧНЫХ ОБЪЕКТОВ
Диаграмма единичных циклов – краткое пояснение диаграммы единичных кругов
Диаграмма единичной окружности — В тригонометрии математического раздела существует единичная окружность с радиусом 1.
Она имеет уникальное значение по сравнению с другими окружностями и криволинейными формами. Это круг с радиусом, равным единице, с центром в исходной точке со значениями (0, 0). Основная цель этого единичного круга состоит в том, что он упрощает другие функции математики. Например, в тригонометрии для единичного круга под любым углом используются значения косинуса и синуса. Значения можно использовать с sin (θ) = y и cos(θ) = x, которые уникальны. В центральной точке определенные углы имеют одинаковые триггерные значения. Узнать больше о Unit Circle и Trig Identities с TrigIdentities.info.
Полуединичная окружность равна 2π. Это дуга окружности равной длины. Вы можете получить его при измерении угла, который пересекает эту среднюю дугу со значением 2π, поскольку мы знаем, что единичный радиус окружности равен единице, поэтому тригонометрические функции имеют уникальные значения для единичной окружности.
Углы единичной окружности в единичной окружности Таблица:
В единичной окружности вы измеряете положительные стороны окружности, используя первую сторону положительной оси x.
В этот момент вы мгновенно переместитесь на конечную сторону круга. На круговой диаграмме показаны положительные точки, обозначенные в радианах и градусах.
Концевые стороны угла окружности структурированы прямой линией. Несколько примеров этих оценок края: 30 и 210 градусов, 60 и 240 градусов и т. д. Прямые линии в круге имеют значение 180 градусов. Когда вы анализируете круговую диаграмму тригонометрии, вы сможете получить значения каждого угла в четырех разных квадрантах.
Понимание особенностей круговой диаграммы:
Когда вы работаете над тригонометрией, вы можете использовать круговую диаграмму. По правде говоря, это, вероятно, лучший раздел математики, который вы можете использовать. Вы можете быстро скачать единичный круг в печатном виде. Это простой подход к использованию значений. Вы даже можете сделать свою собственную круговую диаграмму. Если вы поймете эту идею, то тригонометрия значительно упростится.
Прежде чем вы сможете его получить, вы должны сначала понять исходную схему.
Единичный круг — это своего рода круг, развертка которого равна 1. Вы можете использовать эту диаграмму, чтобы обнаружить исключительные тригонометрические соотношения и функции.
Вы также можете использовать его для построения различных графиков углов. Кроме того, над единичным кругом проходит числовая линия. Он может работать как диаграмма входных значений при доступе к функциям тригонометрии.
Идея 6 основных коэффициентов триггера в единице Круг
В круговой диаграмме единиц измерения существуют различные отношения. Все коэффициенты имеют разные значения и функции. На диаграмме есть коэффициенты Sin, Sec, Tan, Cos, Csc и cot. Если вы хотите легко анализировать диаграмму while, вы также должны помнить об их функциях. Соотношения:
- sinθ = противоположность/гипотенуза
- tanθ = противоположный/примыкающий
- cosθ = смежный/гипотенуза
- cscθ = 1/sinθ
- cotθ = 1/tanθ
- секθ = 1/cosθ
Проще говоря, радиан любой формы — это способ измерения различных углов.
В любой форме радиан дает вам определенный угол, который вам нужен. Радиан имеет длину, равную длине дуги окружности. Ориентация и размер единичного круга не имеют значения. Однако, к вашему сведению, в полном круге есть 2 радиана со значением 2π. Точно так же полуединичный круг равен значению радиуса π.
Единичная окружность в тригонометрии известна, а также является распространенным инструментом в математике. Это помогает пользователям узнать об углах окружности и функциях тригонометрии. Все точки оцениваются, начиная с оси x в первом квадранте, и могут огибать единичный круг на любое число градусов.
Точки окружности соответствуют крайним сторонам каждого угла. Они задают тригонометрическую емкость ребра через свои координаты. Две центральные координаты единичного круга — cos и sin. Обратите внимание, что в тригонометрии точка может быть любого размера, положительного или отрицательного. Угол не превышает 360º, поскольку все значения находятся в пределах от 0 до 360º градусов.
Чтобы построить круговую диаграмму, требуется много практики и информации. Теперь следуйте фантастическим советам, чтобы создать собственную круговую диаграмму единиц измерения:
- Давайте начнем с создания первого квадранта на диаграмме единиц измерения. Теперь создайте 30-градусный график в первом квадранте для вашего единичного круга.
- Теперь поставьте точку и соедините ее с центром единичного круга прямой линией.
- Также убедитесь, что размер ребра действительно маленький. Это должно быть всего 33% пути где-то в диапазоне от 0 до 90 градусов.
- Затем нарисуйте противоположную линию. При этом у вас будет возможность сделать прямоугольный треугольник.
- Гипотенуза треугольника будет соответствовать развертке единичного круга. Одна из сторон угла расположена на оси x, а другой катет будет на оси y.
- Найдите длину, разделив стимул на 2.
