Нахождение сторон треугольника через синус. Что такое прямоугольный треугольник
Синус является одной из основных тригонометрических функций, применение которой не ограничено одной лишь геометрией. Таблицы вычисления тригонометрических функций, как и инженерные калькуляторы, не всегда под рукой, а вычисление синуса порой нужно для решения различных задач. Вообще, вычисление синуса поможет закрепить чертёжные навыки и знание тригонометрических тождеств.
Игры с линейкой и карандашом
Простая задача: как найти синус угла, нарисованного на бумаге? Для решения понадобится обычная линейка, треугольник (или циркуль) и карандаш. Простейшим способом вычислить синус угла можно, разделив дальний катет треугольника с прямым углом на длинную сторону — гипотенузу. Таким образом, сначала нужно дополнить острый угол до фигуры прямоугольного треугольника, прочертив перпендикулярную одному из лучей линию на произвольном расстоянии от вершины угла. Потребуется соблюсти угол именно 90°, для чего нам и понадобится канцелярский треугольник.
Использование циркуля немного точнее, но займёт больше времени. На одном из лучей нужно отметить 2 точки на некотором расстоянии, настроить на циркуле радиус, примерно равный расстоянию между точками, и прочертить полуокружности с центрами в этих точках до получения пересечений этих линий. Соединив точки пересечения наших окружностей между собой, мы получим строгий перпендикуляр к лучу нашего угла, остаётся лишь продлить линию до пересечения с другим лучом.
В полученном треугольнике нужно линейкой измерить сторону напротив угла и длинную сторону на одном из лучей. Отношение первого измерения ко второму и будет искомой величиной синуса острого угла.
Найти синус для угла больше 90°
Для тупого угла задача не намного сложнее. Нужно прочертить луч из вершины в противоположную сторону с помощью линейки для образования прямой с одним из лучей интересующего нас угла. С полученным острым углом следует поступать как описано выше, синусы смежных углов, образующих вместе развёрнутый угол 180°, равны.
Вычисление синуса по другим тригонометрическим функциям
Также вычисление синуса возможно, если известны значения других тригонометрических функций угла или хотя бы длины сторон треугольника. В этом нам помогут тригонометрические тождества. Разберём распространённые примеры.
Как находить синус при известном косинусе угла? Первое тригонометрическое тождество, исходящее из теоремы Пифагора, гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице.
Как находить синус при известном тангенсе угла? Тангенс получают делением дальнего катета на ближний или делением синуса на косинус. Таким образом, синусом будет произведение косинуса на тангенс, а квадратом синуса будет квадрат этого произведения. Заменяем косинус в квадрате на разность между единицей и квадратным синусом согласно первому тригонометрическому тождеству и путём нехитрых манипуляций приводим уравнение к вычислению квадратного синуса через тангенс, соответственно, для вычисления синуса придётся извлечь корень из полученного результата.
Как находить синус при известном котангенсе угла? Значение котангенса можно вычислить, разделив длину ближнего от угла катета на длину дальнего, а также поделив косинус на синус, то есть котангенс — функция, обратная тангенсу относительно числа 1. Для расчёта синуса можно вычислить тангенс по формуле tg α = 1 / ctg α и воспользоваться формулой во втором варианте. Также можно вывести прямую формулу по аналогии с тангенсом, которая будет выглядеть следующим образом.
Как находить синус по трём сторонам треугольника
Существует формула для нахождения длины неизвестной стороны любого треугольника, не только прямоугольного, по двум известным сторонам с использованием тригонометрической функции косинуса противолежащего угла. Выглядит она так.
Ну, а синус можно далее рассчитать по косинусу согласно формулам выше.
Если в задаче даны длины двух сторон треугольника и угол между ними, то можно применить формулу площади треугольника через синус.
Пример расчета площади треугольника через синус. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. По синус угла в 30° равен 0.5
Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.
Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т.к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:
Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:
Например, дан треугольник со стороной a=3 и углами γ=60°, β=60°. Вычисляем третий угол:
Подставляем данные в формулу
Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.
II. Площадь треугольника через косинус
Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать .
По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.
Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:
Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.
Пример расчета формулы площади треугольника через косинус
Дан треугольник с известными сторонами a = 3, b = 4, и углом γ= 45°. Для начала найдем недостающую сторону с . По косинус 45°=0,7. Для этого подставим данные в уравнение, выведенное из теоремы косинусов.
Теперь используя формулу, найдем
В жизни нам часто придется сталкиваться с математическими задачами: в школе, в университете, а затем помогая своему ребенку с выполнением домашнего задания. Люди определенных профессий будут сталкиваться с математикой ежедневно.
Поэтому полезно запоминать или вспоминать математические правила. В этой статье мы разберем одно из них: нахождение катета прямоугольного треугольника.
Что такое прямоугольный треугольник
Для начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник – это геометрическая фигура из трех отрезков, которые соединяют точки, не лежащие на одной прямой, и один из углов этой фигуры равен 90 градусам. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит напротив прямого угла – гипотенузой.
Находим катет прямоугольного треугольника
Существует несколько способов, позволяющих узнать длину катета. Хотелось бы рассмотреть бы их подробнее.
Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника
Если нам известны гипотенуза и катет, то мы можем найти длину неизвестного катета по теореме Пифагора. Звучит она так: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Формула: c²=a²+b², где c – гипотенуза, a и b – катеты.
Преобразовываем формулу и получаем: a²=c²-b².
Пример. Гипотенуза равна 5 см, а катет – 3 см. Преобразовываем формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далее решаем: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (см).
Тригонометрические соотношения, чтобы найти катет прямоугольного треугольника
Также можно найти неизвестный катет, если известны любая другая сторона и любой острый угол прямоугольного треугольника. Есть четыре варианта нахождения катета при помощи тригонометрических функций: по синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу. Для решения задач нам поможет таблица, которая находится чуть ниже. Рассмотрим эти варианты.
Найти катет прямоугольного треугольника при помощи синуса
Синус угла (sin) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а – катет, лежащий против данного угла, а с – гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c.
Пример. Гипотенуза равна 10 см, угол А равен 30 градусов. По таблице вычисляем синус угла А, он равен 1/2.
Затем по преобразованной формуле решаем: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).
Найти катет прямоугольного треугольника при помощи косинуса
Косинус угла (cos) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Формула: cos=b/c, где b – катет, прилежащий к данному углу, а с – гипотенуза. Преобразуем формулу и получим: b=cos*c.
Пример. Угол А равен 60 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем косинус угла А, он равен 1/2. Далее решаем: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (см).
Найти катет прямоугольного треугольника при помощи тангенса
Тангенс угла (tg) – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Формула: tg=a/b, где а – противолежащий к углу катет, а b – прилежащий. Преобразуем формулу и получаем: a=tg*b.
Пример. Угол А равен 45 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем тангенс угла А, он равен Решаем: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (см).
Найти катет прямоугольного треугольника при помощи котангенса
Котангенс угла (ctg) – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Формула: ctg=b/a, где b – прилежащий к углу катет, а – противолежащий. Иначе говоря, котангенс – это “перевернутый тангенс”. Получаем: b=ctg*a.
Пример. Угол А равен 30 градусов, противолежащий катет равен 5 см. По таблице тангенс угла А равен √3. Вычисляем: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).
Итак, теперь вы знаете, как находить катет в прямоугольном треугольнике. Как видите, это не так уж и сложно, главное – запомнить формулы.
Площадь треугольника равна половине произведения его сторон на синус угла между ними.
Доказательство:
Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть в нем сторона BC = a, сторона CA = b и S — площадь этого треугольника. Необходимо доказать, что S = (1/2)*a*b*sin(C) .
Для начала введем прямоугольную систему координат и поместим начало координат в точку С. Расположим нашу систему координат так, чтобы точка B лежала на положительном направлении оси Сх, а точка А имела бы положительную ординату.
Если все выполнить правильно, то должен получится следующий рисунок.
2. Найдите сторону AB, если AC = 15 см, угол А = 30˚.
Положим S — площадь треугольника ABC. По теореме о площади треугольника имеем:
S = (1/2)*AB*AC*sin(A).
Подставим в неё имеющиеся у нас значения:
60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.
Отсюда выражаем длину стороны AB: AB = (60*4)/15 = 16.
Сторону треугольника дозволено обнаружить не только по периметру и площади, но и по заданной стороне и углам. Для этого применяются тригонометрические функции – синус и косинус . Задачи с их применением встречаются в школьном курсе геометрии, а также в вузовском курсе аналитической геометрии и линейной алгебры.
Инструкция
1. Если знаменита одна из сторон треугольника и угол между ней и иной его стороной, воспользуйтесь тригонометрическими функциями – синус ом и косинус ом. Представьте себе прямоугольный треугольник НBC , у которого угол? равен 60 градусам. Треугольник НBC показан на рисунке.
От того что синус , как знаменито, представляет собой отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе, для решения поставленной задачи воспользуйтесь дальнейшим соотношением между этими параметрами:sin ?=НB/BCСоответственно, если вы хотите узнать катет прямоугольного треугольника, выразите его через гипотенузу дальнейшим образом:НB=BC*sin ?
2. Если в условии задачи, напротив, дан катет треугольника, обнаружьте его гипотенузу, руководствуясь дальнейшим соотношением между заданными величинами:BC=НB/sin ?По аналогии обнаружьте стороны треугольника и с применением ко синус а, изменив предыдущее выражение дальнейшим образом:cos ?=НC/BC
3. В элементарной математике существует представление теоремы синус ов. Руководствуясь фактами, которые описывает данная теорема, также дозволено обнаружить стороны треугольника. Помимо этого, она разрешает обнаружить стороны треугольника, вписанного в окружность, если знаменит вестим радиус последней.
2-2ab*cos ?
Геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не принадлежащих одной прямой называемых вершинами, и трёх попарно соединяющих их отрезков, называемых сторонами, именуется треугольником. Существует уйма задач на нахождение сторон и углов треугольника по ограниченному числу начальных данных, одна из таких задач – нахождение стороны треугольника по одной из его сторон и двум углам .
Инструкция
1. Пускай построен треугольник?ABC и знамениты – сторона BC и углы?? и??.Знаменито, что сумма углов всякого треугольника равна 180?, следственно в треугольнике?ABC угол?? будет равен?? = 180? – (?? + ??).Обнаружить стороны AC и AB дозволено применяя теорему синусов, которая гласитAB/sin?? = BC/sin?? = AC/sin?? = 2 * R, где R – радиус описанной около треугольника?ABC окружности,тогда получаемR = BC/sin??,AB = 2 * R * sin??,AC = 2 * R * sin??.Теорему синусов дозволено использовать при всяких данных 2-х углах и стороне.
2. Стороны заданно треугольника дозволено обнаружить, вычислив его площадь по формулеS = 2 * R? * sin?? * sin?? * sin??,где R вычисляется по формулеR = BC/sin??, R – радиус описанной около треугольника?ABC отсюдаТогда сторону AB дозволено обнаружить, вычислив высоту, опущенную на неёh = BC * sin??,отсель по формуле S = 1/2 * h * AB имеемAB = 2 * S/hАналогичным образом дозволено вычислить сторону AC.
3. Если в качестве углов даны внешние углы треугольника?? и??, то обнаружить внутренние углы дозволено с поддержкой соответствующих соотношений?? = 180? – ??,?? = 180? – ??,?? = 180? – (?? + ??).Дальше действуем подобно первым двум пунктам.
Постижение треугольников ведется математиками на протяжении нескольких тысячелетий. Наука о треугольниках – тригонометрия – использует особые величины: синус и косинус.
Прямоугольный треугольник
Изначально синус и косинус появились из-за необходимости рассчитывать величины в прямоугольных треугольниках. Было подмечено, что если значение градусной меры углов в прямоугольном треугольнике не менять, то соотношение сторон, насколько бы эти стороны ни изменялись в длине, остается неизменно идентичным.Именно так и были введены представления синуса и косинуса. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – прилежащего к гипотенузе.
Теоремы косинусов и синусов
Но косинусы и синусы могут использоваться не только в прямоугольных треугольниках.
Дабы обнаружить значение тупого либо острого угла, стороны всякого треугольника, довольно применить теорему косинусов и синусов.Теорема косинусов достаточно примитивна: «Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов 2-х других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними». Существует две трактовки теоремы синусов: малая и расширенная. Согласно малой: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам». Данную теорему зачастую расширяют за счет свойства описанной около треугольника окружности: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам, а их отношение равно диаметру описанной окружности».
Производные
Производная – математический инструмент, показывающий, как стремительно меняется функция касательно метаморфозы ее довода. Производные применяются в алгебре, геометрии, экономике и физике, ряде технических дисциплин. При решении задач требуется знать табличные значения производных тригонометрических функций: синуса и косинуса.
Производной синуса является косинус, а косинуса – синус, но со знаком «минус».
Применение в математике
Особенно зачастую синусы и косинусы применяются при решении прямоугольных треугольников и задач, связанных с ними. Удобство синусов и косинусов обнаружило свое отражение и в технике. Углы и стороны было примитивно оценивать по теоремам косинусов и синусов, разбивая трудные фигуры и объекты на «примитивные» треугольники. Инженеры и архитекторы, зачастую имеющие дело с расчетами соотношения сторон и градусных мер, тратили много времени и усилий для вычисления косинусов и синусов не табличных углов. Тогда «на подмогу» пришли таблицы Брадиса, содержащие тысячи значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов различных углов. В советское время некоторые преподаватели принуждали своих подопечных учить страницы таблиц Брадиса назубок.
Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В8 (2014)
Для решения задач на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника нужно вспомнить определения синуса, косинуса и тангенса.
Рассмотрим прямоугольный треугольник:
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Противолежащий катет — это тот катет, который лежит напротив угла, синус которого мы рассматриваем.
Например, для треугольника, который изображен на рисунке, ,
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Прилежащий катет — это тот катет, который является одной из сторон угла, косинус которого мы рассматриваем.
Например, для треугольника, который изображен на рисунке, ,
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Например, для треугольника, который изображен на рисунке, ,
Задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника решаются по такому алгоритму:
1. Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который нам нужно найти.
2. Смотрим, какие элементы треугольника нам известны, и с помощью какой тригонометрической функции они между собой связаны.
3. Записываем соотношение, которое связывает между собой эти элементы,
Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:
1. Задание В7 (№ 27217) В треугольнике угол равен , . Найдите
рис.1
Решим эту задачу двумя способами.
а. Так как требуется найти косинус угла, синус которого известен, мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.
б.
Введем единичный отрезок , тогда ,
По теореме Пифагора .
Тогда
Ответ:
2. Задание В7 (№27220)
В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите
Смотрим на рис.1:
Значит,
Ответ:
3. Задание В7 (№27221)
В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите
Введем единичный отрезок , тогда ,
По теореме Пифагора
Ответ:
4.
Задание В7 (№27221)
В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите AC.
Введем единичный отрезок , тогда ,
По теореме Пифагора
Найдем : — по условию.
Значит, . Отсюда
Ответ:
5. Задание В7 (№27259)
В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите AH.
Найдем из треугольника
— прилежвщий к углу катет, поэтому он связан с через
Найдем с помощью основного тригонометрического тождества:
, отсюда
Теперь рассмотрим треугольник , в котором — гипотенуза, а — катет, связанные между собой через :
, отсюда
Ответ: AH=15.
Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр «Час ЕГЭ», попробуйте скачать
Firefox
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Купить видеокурс «ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В»
Sin Theta Formula — GeeksforGeeks
Термин тригонометрия происходит от греческих слов, т.
е. тригонон и метрон, что подразумевает треугольник и меру соответственно, θ. Существует 6 тригонометрических соотношений, а именно: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Эти соотношения тригонометрии говорят о различных комбинациях в прямоугольном треугольнике.
Тригонометрические отношения
Тригонометрические отношения представляют собой отношения длин прямоугольного треугольника. Эти отношения можно использовать для определения отношений любых двух сторон из трех сторон прямоугольного треугольника.
- Функция синуса: Отношение синусов для данного угла θ в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длин его противоположной стороны к его гипотенузе.
т. е. Sinθ = AB/AC
- Функция косинуса: Отношение косинуса для заданного угла θ в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длин его прилежащей стороны к его гипотенузе.
т. е. Cosθ = BC/AC
- Касательная Функция: Отношение тангенса для заданного угла θ в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длин его противоположной стороны к прилежащей.
т. е. Tanθ = AB/BC
- Котангенс Функция: Отношение котангенса для заданного угла θ в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длин его прилежащей стороны к противоположной. Это величина, обратная коэффициенту загара.
т. е. Cotθ = BC/AB =1/Tanθ
- Секущая Функция: Отношение секущей для заданного угла θ в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длин его гипотенузы к прилежащей стороне.
т. е. Secθ = AC/BC
- Функция косеканса: Отношение косеканса для заданного угла θ в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длин его гипотенузы к противоположной стороне.
т. е. Cosecθ = AC/AB
Sin Theta Formula
В прямоугольном треугольнике функция синуса или синуса тета определяется как отношение противоположной стороны к гипотенузе треугольника. В треугольнике правило синуса помогает связать стороны и углы треугольника с его радиусом описанной окружности (R), то есть a/SinA = b/SinB = c/SinC = 2R. Где a, b и c — длины треугольника, A, B, C — углы, а R — радиус описанной окружности.
Sin θ = (противоположная сторона / гипотенуза)
. Образец.Из приведенного выше рисунка синус θ можно записать в виде
Sinθ = AB / AC
Согласно теореме Пифагора, мы знаем, что AB 2 + BC 9 2 На разделении обе стороны от AC 2
⇒ (AB/AC) 2 + (BC/AC) 2
⇒ SIN 2 θ + COS 2 θ = 1
Вопрос 1: Если стороны прямоугольного треугольника △ABC с прямым углом в точке B равны 7, 25 и 24 соответственно.
Затем найдите значение SinC?
Решение:
Как мы знаем, что SINθ = (противоположная сторона/гипотенуза)
SINC = 24/25
Вопрос 2: Если две стороны правого обли 5 то найти синус наименьшего угла треугольника?
Решение:
По теореме Пифагора другая сторона треугольника равна 4.
Поскольку меньшая сторона лежит напротив меньшего угла,
Тогда Синус меньшего угла равен 3/5.
Вопрос 3: Если sinA = 12/13 в треугольнике △ABC, то найдите наименьшие возможные длины сторон треугольника?
Решение:
Как мы знаем, Sinθ = противолежащее/гипотенуза
Здесь противолежащая сторона = 12 и гипотенуза = 13
Тогда по теореме Пифагора другая сторона треугольника равна 2 90 90 90 5 единиц Вопрос 4: Если длины сторон прямоугольного △PQR лежат в A.
Решение:
Единственная возможная пифагорейская тройка для данного условия (3, 4, 5).
Следовательно, значения синусов меньших сторон равны 3/5 и 4/5
Вопрос 5: В треугольнике △XYZ, если CosX=1/2, найдите значение SinY?
Решение:
Исходя из данных, угол X равен 60 градусам, тогда Y=30 градусов, так как это прямоугольный треугольник.
Следовательно, SinY = Sin30°
Y = 1/2
Вопрос 6: Если sinθ.Secθ = 1/5, то найдите значение Sinθ?
Решение:
As secθ = 1/cosθ
Secθ = Tanθ = 1/5.
Следовательно, противолежащая сторона = k, а прилежащая сторона равна 5k, а гипотенуза = √26 k.
Тогда Sinθ = k/√26 k
= 1/√26
Вопрос 7. В прямоугольном треугольнике, если отношение меньших углов равно 1:2, найдите сумму синусов меньших углов.
Решение:
Пусть меньшие углы равны A, B. Так как A:B = 1:2.
Итак, A = k и B = 2k. Поскольку A + B = 90.
⇒ k + 2k = 90
⇒ k = 30.
Следовательно, другие углы равны 30 и 60
Таким образом, их значения синусов равны 1/2 и √3/2
Следовательно, сумма синусов равна (1 + √3)/2
Треугольник 30°-60°-90°. Темы по тригонометрии.
Темы | Дом
8
В тригонометрии есть два особых треугольника. Один из них — треугольник 30°-60°-90°. Другой равнобедренный прямоугольный треугольник. Они особенные, потому что с помощью простой геометрии мы можем узнать отношения их сторон и, следовательно, решить любой такой треугольник.
Теорема. В треугольнике 30°-60°-90° стороны находятся в отношении 1 : 2 : .
Мы докажем это ниже.
Обратите внимание, что наименьшая сторона, 1, противоположна наименьшему углу, 30°; в то время как наибольшая сторона, 2, противоположна наибольшему углу, 90 °.
Приведенные теоремы взяты из Приложения Некоторые теоремы плоской геометрии.
Вот примеры того, как мы можем воспользоваться знанием этих соотношений. Во-первых, мы можем оценить функции 60° и 30°.
Пример 1. Определить cos 60°.
Ответить . Для любой задачи, связанной с треугольником 30°-60°-90°, учащийся не должен использовать таблицу. Учащийся должен начертить треугольник и разместить передаточное число.
Поскольку косинус — это отношение прилежащего катета к гипотенузе, мы видим, что
cos 60° = ½.
Пример 2. Вычислите sin 30°.
Ответить . Согласно свойству кофункций, sin 30° равно , равному и cos 60°. sin 30° = ½.
С другой стороны, это видно непосредственно на рисунке выше.
Задача 1. Определить sin 60° и tan 60°.
Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin 60° =
2= ½. Урок 5 Алгебры
Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему.
тангенс 60° =
1= . Задача 2. Определить cot 30° и cos 30°.
Котангенс – это отношение прилежащей стороны к противолежащей.
Поэтому при рассмотрении рисунка выше cot 30° =
1= .
Или, проще говоря, cot 30° = tan 60°.
Проблема 1
Что касается косинуса, то это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos 30° =
2= ½. Прежде чем мы перейдем к следующему примеру, вот как мы соотносим стороны и углы треугольника:
Если угол помечен заглавной буквой А, то противоположная сторона будет обозначена маленькой а . Аналогично для угла B и стороны b , угла C и стороны c .
Пример 3. Решите прямоугольный треугольник ABC, если угол A равен 60°, а сторона AB равна 10 см.
Раствор. Чтобы решить треугольник, нужно знать все три стороны и все три угла. Так как это прямоугольный треугольник и угол А равен 60°, то оставшийся угол В является его дополнением, равным 30°.
Опять же, в каждом треугольнике 30°-60°-90° стороны находятся в соотношении 1 : 2 : , как показано слева.
Когда мы знаем отношения сторон, то для решения треугольника нам не нужны ни тригонометрические функции, ни теорема Пифагора. Решим ее методом подобных фигур.
Теперь стороны, образующие равные углы, находятся в одинаковом соотношении. Пропорционально,
2 : 1 = 10 : АС.
2 — это два раза 1. Следовательно, 10 — это два раза AC. АС 5 см.
Сторона, примыкающая к 60°, мы видим, всегда равна половине гипотенузы.
По БК — пропорционально
2 : = 10 : до н.э.
Чтобы получить 10, 2 умножили на 5. Следовательно, также умножим на 5. BC равно 5 см.
Другими словами, поскольку одна сторона стандартного треугольника была умножена на 5, то каждая сторона будет умножена на 5.
1 : 2 : = 5 : 10 : 5.
Сравните пример 11 здесь.
Еще раз: Когда мы знаем отношение чисел, то для решения треугольника учащийся должен использовать этот метод подобных фигур, а не тригонометрические функции.
(В теме 10 мы будем решать прямоугольные треугольники, отношения сторон которых неизвестны.)
Задача 3.
Учащийся должен нарисовать подобный треугольник в той же ориентации. Затем убедитесь, что сторона, соответствующая , была умножена на .
Урок 26 алгебры
Следовательно, каждая сторона будет умножаться на . Сторона d будет
1 = . Сторона f будет 2.Задача 4. В прямоугольном треугольнике PQR угол P равен 30°, а сторона r равна 1 см. Какой длины стороны p и q ?
Сторона, соответствующая 2, была , разделенной на 2. . Следовательно, каждая сторона должна быть разделена на 2. Сторона p будет равна ½, а сторона q будет равна ½.
Задача 5. Решите прямоугольный треугольник ABC, если угол A равен 60°, а гипотенуза равна 18,6 см.
Сторона, примыкающая к 60°, всегда равна половине гипотенузы, следовательно, сторона b равна 9,3 см.
Но это сторона, которая соответствует 1. И она умножена на 9,3. Следовательно, стороны и будут умножены на 9,3.
Будет 9,3см.Задача 6. Докажите: Площадь A равностороннего треугольника со стороной s равна
А = ¼ с 2 .
Площадь A любого треугольника равна половине произведения синуса любого угла на произведение двух сторон, составляющих угол. (Тема 2, Задача 6.)
В равностороннем треугольнике каждая сторона равна s , а каждый угол равен 60°. Следовательно,
A = ½ sin 60° с 2 .
Поскольку sin 60° = ½,
Проблема 1
А = ½ · ½ с 2 = ¼ с 2 .
Задача 7. Докажите: Площадь A равностороннего треугольника, вписанного в окружность радиуса r, равна
А = 3
4р 2 . Три радиуса делят треугольник на три конгруэнтных треугольника.
Сторона-сторона-сторона
Следовательно, каждый радиус делит каждую вершину пополам на два угла по 30°.
Если мы продолжим радиус AO, то AD будет серединным перпендикуляром к стороне CB.Теорема 2
Треугольник OBD, следовательно, является треугольником 30-60-90.
Если мы назовем каждую сторону равностороннего треугольника с , затем в прямоугольный треугольник OBD,
½ с
r= cos 30° = ½. Следовательно,
s = r
, так что
s 2 = 9,9088 r
Теперь площадь A равностороннего треугольника равна
A = ¼ с 2 .
Problem 6
Therefore,
A = ¼ s 2 = ¼ · 3 r 2 = 3
4р 2 . Именно это мы и хотели доказать.
Задача 8. Докажите: Биссектрисы равностороннего треугольника пересекаются в точке, находящейся на расстоянии двух третей расстояния от вершины треугольника до основания.
Пусть ABC — равносторонний треугольник, AD, BF, CE — биссектрисы углов A, B, C соответственно; тогда эти биссектрисы пересекаются в точке P так, что AP составляет две трети AD.
Во-первых, треугольники BPD, APE равны.
В самом деле, поскольку треугольник равносторонний, а BF, AD — биссектрисы угла, то углы PBD, PAE равны и каждый 30°;
, а сторона BD равна стороне AE, так как в равностороннем треугольнике биссектриса угла является серединным перпендикуляром к основанию.Теорема 2
Углы PDB, AEP тогда прямые и равны.
Следовательно,
Угол-бок-угол
треугольника BPD, APE конгруэнтны.
Сейчас, БП
ПД= csc 30° = 2, Проблема 2
Следовательно, BP = 2PD.
Но AP = BP, потому что треугольники APE, BPD равны, а это стороны, лежащие против равных углов.
Следовательно, АР = 2PD.
Следовательно, AP составляет две трети всего AD.
Что мы и хотели доказать.Доказательство
Вот доказательство того, что в треугольнике 30°-60°-90° стороны относятся как 1 : 2 : . Он основан на том факте, что треугольник 30°-60°-90° составляет половин равностороннего треугольника.
Нарисуйте равносторонний треугольник ABC. Тогда каждый из его равных углов равен 60°. (теоремы 3 и 9)
Нарисуйте прямую линию AD, делящую пополам угол A на два угла по 30°.
Тогда AD является серединным перпендикуляром к BC (теорема 2). Таким образом, треугольник ABD представляет собой треугольник с углами 30°-60°-90°.Так как BD равно DC, то BD равно половине BC.
Отсюда следует, что BD также составляет половину AB, поскольку AB равно BC. То есть
BD : AB = 1 : 2
Из теоремы Пифагора мы можем найти третью сторону AD:
н.
P., то найдите значения синусов меньших углов? 
треугольника? 
(теорема 6). (Ибо 2 больше, чем . Кроме того, хотя 1 : : 2 правильно соответствует сторонам, противоположным 30°-60°-90°, многие находят последовательность 1 : 2 : легче запомнить.)
Следовательно,
В прямоугольном треугольнике DFE угол D равен 30°, а сторона DF равна 3 дюймам. Какой длины стороны d и f ?
