1 | Найти точное значение | sin(30) | |
2 | Найти точное значение | sin(45) | |
3 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
4 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
5 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
6 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
7 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
8 | cos(pi/4) | ||
9 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
10 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
11 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
12 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
13 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
14 | Найти точное значение | tan(60) | |
15 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
16 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
17 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
18 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
19 | Найти точное значение | cos(150) | |
20 | Найти точное значение | sin(60) | |
21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
22 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
24 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
25 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
26 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
27 | Найти точное значение | sin(0) | |
28 | Найти точное значение | sin(120) | |
29 | Найти точное значение | cos(90) | |
30 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
31 | Найти точное значение | tan(30) | |
32 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
33 | Найти точное значение | cos(45) | |
34 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
35 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
36 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
37 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
38 | Найти точное значение | arctan(0) | |
39 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
40 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
44 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
45 | Найти точное значение | sin(300) | |
46 | Найти точное значение | cos(30) | |
47 | Найти точное значение | cos(60) | |
48 | Найти точное значение | cos(0) | |
49 | Найти точное значение | cos(135) | |
50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
51 | Найти точное значение | cos(210) | |
52 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
53 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
54 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
55 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
58 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
59 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
60 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
61 | Найти точное значение | sin(150) | |
62 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
63 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
65 | Найти точное значение | sin(225) | |
66 | Найти точное значение | sin(240) | |
67 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
68 | Найти точное значение | tan(45) | |
69 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
70 | Найти точное значение | sec(0) | |
71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
72 | Найти точное значение | csc(30) | |
73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
74 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
75 | Найти точное значение | tan(0) | |
76 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
80 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
82 | Найти точное значение | csc(45) | |
83 | Упростить | arctan( квадратный корень из 3) | |
84 | Найти точное значение | sin(135) | |
85 | Найти точное значение | sin(105) | |
86 | Найти точное значение | sin(150 град. ) | |
87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
88 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
89 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/4 | |
90 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
91 | Найти точное значение | sec(45) | |
92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
94 | Найти точное значение | arcsin(0) | |
95 | Найти точное значение | sin(120 град. ) | |
96 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
97 | Найти точное значение | cos(270) | |
98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
100 | Преобразовать из градусов в радианы | 88 град. |
решить уравнение sin 7x/2 sin x/2 + cos 7x/2 cos x/2 = cos23x
Пример 1.
а) Решить уравнение cos4x+cos2x=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-π; π/3].
Решение.
а) Решаем уравнение cos4x+cos2x=0.
Применим формулу
Tогда данное уравнение примет вид: 2cos3x⋅cosx=0. Отсюда следует, что либо cos3x=0 либо cosx=0.
- Если cos3x=0, то 3х=π/2+πn, отсюда х=π/6+πn/3, где nϵZ.
- Если cosx=0, то х=π/2+πn, где nϵZ.
Заметим, что решения уравнения cosx=0 входят в решения уравнения cos3x=0, поэтому общим решением данного уравнения будут числа x=π/6+πn/3, где nϵZ.
б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-π; π/3].
Рассмотрим общее решение x=π/6+πn/3, где nϵZ на единичной окружности. Здесь значение πn/3 означает, что нужно брать n раз угол π/3. Отмечаем угол π/6, а затем углы, полученные поворотом угла π/6 на π/3, полученный таким образом угол π/2 опять повернём на π/3, получится угол 5π/6, затем угол 5π/6+ π/3=7π/6, следующий угол
7π/6+ π/3=9π/6=3π/2, и, наконец, 3π/2+ π/3=11π/6. Смотрите рисунок 1.
Все отмеченные углы рассмотрим на отрезке [-π; π/3]. Смотрим рисунок 2. Получились числа -5π/6; -π/2; -π/6; π/6.
Ответ: а) π/6+πn/3, где nϵZ; б) -5π/6; -π/2; -π/6; π/6.
Пример 2.
а) Решить уравнение cos4x-sin2x=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; π].
Решение.
а) Применим формулу 1-cos2α=2sin2α; тогда данное уравнение примет вид:
1-2sin22x-sin2x=0; 2sin22x+sin2x-1=0. Сделаем замену: sin2x=t.
Получаем равенство: 2t2+t-1=0.
У нас a-b+c=0, поэтому по методу коэффициентов t1=-1, t2=1/2.
- При sin2x=-1 получаем 2х=-π/2+2πn, отсюда х=-π/4+πn, где nϵZ.
- При sin2x=1/2 получаем 2х=π/6+2πn и 2х=5π/6+2πn, где nϵZ.
Тогда х=π/12+πn и х=5π/12+πn, где nϵZ.
Рассмотрим решения 2х=-π/2+2πn, 2х=π/6+2πn и 2х=5π/6+2πn на единичной окружности. Возьмём значения 2х при n=0. Углы -π/2, π/6 и 5π/6 отличаются друг от друга на значение 2π/3. Тогда общим решением будут являться числа
2х=π/6+(2π/3)n, отсюда общим решением данного уравнения будут
значения х=π/12+(π/3)n, где nϵZ.
б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; π]. Для этого в общее решение х=π/12+(π/3)n, где nϵZ будем подставлять такие целые значения nϵZ,
чтобы хϵ[0; π].
Возьмём n=0, тогда х=π/12 ϵ[0; π].
При n=1 получим х= π/12+π/3= π/12+4π/12=5π/12 ϵ[0; π].
При n=2 получим х= π/12+2π/3= π/12+8π/12=9π/12=3π/4 ϵ[0; π].
При n=3 получим х= π/12+π, и это значение не входит в заданный отрезок [0; π].
Ответ: а) π/12+(π/3)n, где nϵZ; б) π/12, 5π/12, 3π/4.
Пример 3.
а) Решить уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 3π/2].
Решение.
а) Применим формулу cos(α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ; тогда данное уравнение примет вид:
cos3x=cos23x; cos23x-cos3x=0; cos3x(cos3x-1)=0;
cos3x=0 или cos3x-1=0.
- Если cos3x=0, то 3х=π/2+πn, тогда х= π/6+(π/3)n, где nϵZ.
- Если cos3x-1=0, то cos3x=1, тогда 3х=2πm, тогда х=(2π/3)m, где mϵZ.
Общие решения данного уравнения: х=π/6+(π/3)n, где nϵZ и х=(2π/3)m, где mϵZ.
б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 3π/2].
Мы получили значения 3х=π/2+πn и 3х=2πm. Отметим их на единичной окружности, сделав замену 3х=t. Смотрите рисунок 3.
Необходимо выполнение условие хϵ[π; 3π/2]. Отсюда следует, что 3хϵ[3π; 9π/2].
Все отмеченные углы рассмотрим на отрезке [3π; 9π/2]. Смотрим рисунок 4. Получились числа 7π/2; 4π; 9π/2. Так как это значения 3х, то делим каждое из них на 3. Получим: 7π/6; 4π/3; 3π/2.
Ответ: а) π/6+(π/3)n, где nϵZ; (2π/3)m, где mϵZ.
б) 7π/6; 4π/3; 3π/2.
1 | Найти точное значение | грех(30) | |
2 | Найти точное значение | грех(45) | |
3 | Найти точное значение | грех(30 градусов) | |
4 | Найти точное значение | грех(60 градусов) | |
5 | Найти точное значение | загар (30 градусов) | |
6 | Найти точное значение | угловой синус(-1) | |
7 | Найти точное значение | грех(пи/6) | |
8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
9 | Найти точное значение | грех(45 градусов) | |
10 | Найти точное значение | грех(пи/3) | |
11 | Найти точное значение | арктан(-1) | |
12 | Найти точное значение | cos(45 градусов) | |
13 | Найти точное значение | cos(30 градусов) | |
14 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(60) | |
15 | Найти точное значение | csc(45 градусов) | |
16 | Найти точное значение | загар (60 градусов) | |
17 | Найти точное значение | сек(30 градусов) | |
18 | Найти точное значение | cos(60 градусов) | |
19 | Найти точное значение | cos(150) | |
20 | Найти точное значение | грех(60) | |
21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
22 | Найти точное значение | загар (45 градусов) | |
23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
24 | Найти точное значение | csc(60 градусов) | |
25 | Найти точное значение | сек(45 градусов) | |
26 | Найти точное значение | csc(30 градусов) | |
27 | Найти точное значение | грех(0) | |
28 | Найти точное значение | грех(120) | |
29 | Найти точное значение | соз(90) | |
30 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/3 | |
31 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(30) | |
32 | 92|||
35 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/6 | |
36 | Найти точное значение | детская кроватка(30 градусов) | |
37 | Найти точное значение | арккос(-1) | |
38 | Найти точное значение | арктан(0) | |
39 | Найти точное значение | детская кроватка(60 градусов) | |
40 | Преобразование градусов в радианы | 30 | |
41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2 шт. )/3 | |
42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
44 | Найти точное значение | тан(пи/2) | |
45 | Найти точное значение | грех(300) | |
46 | Найти точное значение | соз(30) | |
47 | Найти точное значение | соз(60) | |
48 | Найти точное значение | соз(0) | |
49 | Найти точное значение | соз(135) | |
50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
51 | Найти точное значение | cos(210) | |
52 | Найти точное значение | сек(60 градусов) | |
53 | Найти точное значение | грех(300 градусов) | |
54 | Преобразование градусов в радианы | 135 | |
55 | Преобразование градусов в радианы | 150 | |
56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/6 | |
57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/3 | |
58 | Преобразование градусов в радианы | 89 градусов | |
59 | Преобразование градусов в радианы | 60 | |
60 | Найти точное значение | грех(135 градусов) | |
61 | Найти точное значение | грех(150) | |
62 | Найти точное значение | грех(240 градусов) | |
63 | Найти точное значение | детская кроватка(45 градусов) | |
64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/4 | |
65 | Найти точное значение | грех(225) | |
66 | Найти точное значение | грех(240) | |
67 | Найти точное значение | cos(150 градусов) | |
68 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(45) | |
69 | Оценить | грех(30 градусов) | |
70 | Найти точное значение | сек(0) | |
71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
72 | Найти точное значение | КСК(30) | |
73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
74 | Найти точное значение | загар((5pi)/3) | |
75 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(0) | |
76 | Оценить | грех(60 градусов) | |
77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3 пи)/4 | |
79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
80 | Найти точное значение | угловой синус(-1/2) | |
81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
82 | Найти точное значение | КСК(45) | |
83 | Упростить | арктан(квадратный корень из 3) | |
84 | Найти точное значение | грех(135) | |
85 | Найти точное значение | грех(105) | |
86 | Найти точное значение | грех(150 градусов) | |
87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
88 | Найти точное значение | загар((2pi)/3) | |
89 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/4 | |
90 | Найти точное значение | грех(пи/2) | |
91 | Найти точное значение | сек(45) | |
92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
94 | Найти точное значение | угловой синус(0) | |
95 | Найти точное значение | грех(120 градусов) | |
96 | Найти точное значение | желтовато-коричневый ((7pi)/6) | |
97 | Найти точное значение | соз(270) | |
98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
100 | Преобразование градусов в радианы | 88 градусов |
Докажите, что 2 cos x — 2 cos3 x = sin x sin 2 x
Само название тригонометрия говорит о том, что это предмет, который занимается геометрией треугольников, и он очень полезен в ситуациях, когда нужно найти, когда есть некоторые заданные стороны, и нам нужны отношения между сторонами или углы между сторонами. В тригонометрии у нас есть различные соотношения: sin A, cos A, tan A, cot A, sec A, cosec A, с помощью которых можно получить отношение между сторонами и угол между сторонами треугольника.
Тригонометрические функции
Тригонометрические функции определяют отношение между сторонами и углами, примерами являются sin A, cos A, tan A, cot A, sec A, cosec A. Связь между различными тригонометрическими функциями представляет собой тригонометрическое тождество . Тождества очень полезны для проверки неравенства в тригонометрических уравнениях.
Примеры:
- Tan A= sin A/cos A
- sin A = 1/cosec A
- cos A= 1/sec A
- Tan A= 1/cot A
Докажите, что 2 cos x – 2 cos
3 x = sin x sin 2xСуществуют основные тождества, необходимые для решения приведенной выше постановки задачи. Давайте рассмотрим некоторые из основных тождеств 6 тригонометрических функций.
Необходимые условия Тождества, использованные в доказательстве 2 х = грех 2 x , данное тригонометрическое уравнение 2 COS X — 2 COS 3 x = SIN H = x = SINH x = SINH x = SINH 9090S 909. 2 cos x- 2 cos 3 x RHS = SIN X SIN 2X Полученные доказательства из LHS данный LHS 2 COS X – 2
7777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777779н. 1
Взяв 2 cos x, которые являются общими для обоих терминов
= 2cos x (1-cos 2 x)
Step-2
Заместитель 1-COS 2 x, который равен SIN 2 X
x, который равен SIN 2 X x, который равен SIN 2 X x, который равен SIN 2 xx, который равен SIN 2 x
x, который равен SIN 2 x . x)= (sin x) × (2 × sinx × cos x)
Шаг-3
Замена 2 × sin x × cos x, что равно sin 2x
= sin x × sin 2x
Из шага 3 можно сделать вывод, что LHS =sin x × sin 2x , что равно RHS, и, таким образом,
sin x × sin 2x=sin x × sin 2x
LHS = RHS
Отсюда доказано.
, получение доказательства из RHS
Учитывает RHS
SIN X SIN 2X
STEP-
STEP-
STEP-
. sinx cos x)
= 2 × sin 2 x × cosx
Шаг-2
Подстановка формулы sin 2 x равной 1-cos 2 x
= 2 × (1-cos 2 x) × cos x
= 2cos x – cos 3 x
Из шага 2 можно сделать вывод, что RHS = 2cos x-cos 3 x , что равно LHS и, таким образом,
2cos x-cos 3 x = 2cos x-cos 3 x
LHS = RHS
Отсюда доказано.
Примеры задач
Вопрос 1. Решите тригонометрическое тождество: 4cos 2 x-4cos 4 x+cos 2 2x
Solution:
- Taking 2cosx common in the first two terms we get
= 2cosx (2cosx-2cos 3 x) + cos 2 2x
- From the Выше вывод 2COSX — 2COS 3 X = SINXSIN2X
= 2COSX (SINXSIN2X) + COS 2 2x
- Из стандартной идентичности 2
- из стандартной идентификации 2
- .