Сложение и вычитание одинаковых чисел с разными степенями: Сложение и вычитание степеней ⬅️

Сложение и вычитание степеней ⬅️

Сегодня будем разбираться, что такое степень, каковы её свойства и применение в математике. Рассмотрим складывание степеней, а также, как вычитать степени. Как всегда, разберем теорию на понятных примерах и обязательно порешаем задачки на сложение и вычитание степеней.

Что такое степень числа

В учебниках по математике можно встретить такое определение: 

Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называют произведение n множителей, каждый из которых равен а.

• aⁿ — степень,

где

a — основание степени

n — показатель степени

Соответственно, aⁿ= a·a·a·a. ..·a

Читается такое выражение, как a в степени n.

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить данное число (основание степени) на само себя. А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например число 2, то решается она довольно просто:

• 2³ = 2·2·2, где

2 — основание степени

3 — показатель степени

Демо урок по математике

Узнайте, какие темы у вас «хромают», а после — разбирайте их без зубрежки формул и скучных лекций.

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).

Число	Вторая степень	Третья степень
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	729
10	100	1000

Свойства степеней: когда складывать, а когда вычитать

Степень в математике с натуральным показателем имеет несколько важных свойств, которые позволяют упрощать вычисления. Всего их пять штук — давайте их рассмотрим.

Свойство 1: произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание мы оставляем без изменений, а показатели степеней складываем:

• a^m · aⁿ = a^m+n

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа.

Свойство 2: частное степеней

Когда мы делим степени с одинаковыми основаниями, то основание остается без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Свойство 3: возведение степени в степень

Когда возводим степень в степень, то основание степени остается неизмененным, а показатели степеней умножаются друг на друга.

• (aⁿ)^m = a^{n · m}

a — основание степени (не равное нулю)

m, n — показатели степени, натуральное число

Свойство 4: степень произведения

При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

• (a · b)ⁿ = a
  n · bⁿ

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

Свойство 5: степень частного

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

• (a : b)ⁿ = aⁿ : bⁿ

a, b — основание степени (не равное нулю), любые рациональные числа, b ≠ 0, 

n — показатель степени, натуральное число

 

Шпаргалки по математике родителей

Все формулы по математике под рукой

Сложение неизвестных с разными степенями.

Действия с одночленами. Краткое изложение раздела и основные формулы

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Онлайн-калькулятор возведения в степень

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом:

a n = a * a * a * …a n .

Например:

• 2 3 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло	2-ая ст-нь	3-я ст-нь
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

• a n * a m = (a) (n+m) ;
• a n: a m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Проверим на примерах:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично: 2 3: 2 2 = 8 / 4 =2. Иначе 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. А если по-другому? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием ? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 — 3) 2 = 2 2 = 4.

А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях ? Порядок тот же:

• при наличии скобок – начинать нужно с них;
• затем возведение в степень;
• потом выполнять действия умножения, деления;
• после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

1. Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: a m / n .
2. При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
3. При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b) n = a n * b n .
4. При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
5. Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
6. Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается :

A (- n) = 1 / A n , 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

И наоборот:

1 / A (- n) = A n , 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

А если дробь?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…и т. д.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…и т. д.

Кроме того, если (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: A m / n . Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

• А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – рациональные числа;

• 0˂А˂1.

В этом случае наоборот: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

r 1 – в этом случае равно 3;

r 2 – будет равно 4.

Тогда, при А = 1, 1 π = 1.

А = 2, то 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

А = 1/2, то (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги — для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое. 3=8$.

Понятие степени в математике вводится еще в 7 классе на уроке алгебры. И в дальнейшем на протяжении всего курса изучения математики это понятие активно используется в различных своих видах. Степени — достаточно трудная тема, требующая запоминания значений и умения правильно и быстро сосчитать. Для более быстрой и качественной работы со степенями математики придумали свойства степени. Они помогают сократить большие вычисления, преобразовать огромный пример в одно число в какой-либо степени. Свойств не так уж и много, и все они легко запоминаются и применяются на практике. Поэтому в статье рассмотрены основные свойства степени, а также то, где они применяются.

Свойства степени

Мы рассмотрим 12 свойств степени, в том числе и свойства степеней с одинаковыми основаниями, и к каждому свойству приведем пример. Каждое из этих свойств поможет вам быстрее решать задания со степенями, а так же спасет вас от многочисленных вычислительных ошибок.

1-е свойство.

Про это свойство многие очень часто забывают, делают ошибки, представляя число в нулевой степени как ноль.

2-е свойство.

3-е свойство.

Нужно помнить, что это свойство можно применять только при произведении чисел, при сумме оно не работает! И нельзя забывать, что это, и следующее, свойства применяются только к степеням с одинаковыми основаниями.

4-е свойство.

Если в знаменателе число возведено в отрицательную степень, то при вычитании степень знаменателя берется в скобки для правильной замены знака при дальнейших вычислениях.

Свойство работает только при делении, при вычитании не применяется!

5-е свойство.

6-е свойство.

Это свойство можно применить и в обратную сторону. Единица деленная на число в какой-то степени есть это число в минусовой степени.

7-е свойство.

Это свойство нельзя применять к сумме и разности! При возведении в степень суммы или разности используются формулы сокращенного умножения, а не свойства степени.

8-е свойство.

9-е свойство.

Это свойство работает для любой дробной степени с числителем, равным единице, формула будет та же, только степень корня будет меняться в зависимости от знаменателя степени.

Также это свойство часто используют в обратном порядке. Корень любой степени из числа можно представить, как это число в степени единица деленная на степень корня. Это свойство очень полезно в случаях, если корень из числа не извлекается.

10-е свойство.

Это свойство работает не только с квадратным корнем и второй степенью. Если степень корня и степень, в которую возводят этот корень, совпадают, то ответом будет подкоренное выражение.

11-е свойство.

Это свойство нужно уметь вовремя увидеть при решении, чтобы избавить себя от огромных вычислений.

12-е свойство.

Каждое из этих свойств не раз встретится вам в заданиях, оно может быть дано в чистом виде, а может требовать некоторых преобразований и применения других формул. Поэтому для правильного решения мало знать только свойства, нужно практиковаться и подключать остальные математические знания.

Применение степеней и их свойств

Они активно применяются в алгебре и геометрии. Степени в математике имеют отдельное, важное место. С их помощью решаются показательные уравнения и неравенства, а так же степенями часто усложняют уравнения и примеры, относящиеся к другим разделам математики. Степени помогают избежать больших и долгих расчетов, степени легче сокращать и вычислять. Но для работы с большими степенями, либо со степенями больших чисел, нужно знать не только свойства степени, а грамотно работать и с основаниями, уметь их разложить, чтобы облегчить себе задачу. Для удобства следует знать еще и значение чисел, возведенных в степень. Это сократит ваше время при решении, исключив необходимость долгих вычислений.

Особую роль понятие степени играет в логарифмах. Так как логарифм, по сути своей, и есть степень числа.

Формулы сокращенного умножения — еще один пример использования степеней. В них нельзя применять свойства степеней, они раскладываются по особым правилам, но в каждой формуле сокращенного умножения неизменно присутствуют степени.

Так же степени активно используются в физике и информатике. Все переводы в систему СИ производятся с помощью степеней, а в дальнейшем при решении задач применяются свойства степени. В информатике активно используются степени двойки, для удобства счета и упрощения восприятия чисел. Дальнейшие расчеты по переводам единиц измерения или же расчеты задач, так же, как и в физике, происходят с использованием свойств степени.

Еще степени очень полезны в астрономии, там редко можно встретить применение свойств степени, но сами степени активно используются для сокращения записи различных величин и расстояний.

Степени применяют и в обычной жизни, при расчетах площадей, объемов, расстояний.

С помощью степеней записывают очень большие и очень маленькие величины в любых сферах науки.

Показательные уравнения и неравенства

Особое место свойства степени занимают именно в показательных уравнениях и неравенствах. Эти задания очень часто встречаются, как в школьном курсе, так и на экзаменах. Все они решаются за счет применения свойств степени. Неизвестное всегда находится в самой степени, поэтому зная все свойства, решить такое уравнение или неравенство не составит труда.

В предыдущей статье мы рассказали, что из себя представляют одночлены. В этом материале разберем, как решать примеры и задачи, в которых они применяются. Здесь будут рассмотрены такие действия, как вычитание, сложение, умножение, деление одночленов и возведение их в степень с натуральным показателем. Мы покажем, как определяются такие операции, обозначим основные правила их выполнения и то, что должно получится в результате. Все теоретические положения, как обычно, будут проиллюстрированы примерами задач с описаниями решений.

Удобнее всего работать со стандартной записью одночленов, поэтому все выражения, которые будут использованы в статье, мы приводим в стандартном виде. Если изначально они заданы иначе, рекомендуется сначала привести их к общепринятой форме.

Правила сложения и вычитания одночленов

Наиболее простые действия, которые можно проводить с одночленами – это вычитание и сложение. В общем случае результатом этих действий будет являться многочлен (одночлен возможен в некоторых частных случаях).

Когда мы складываем или вычитаем одночлены, сначала записываем в общепринятой форме соответствующую сумму и разность, после чего упрощаем получившееся выражение. Если есть подобные слагаемые, их нужно привести, скобки – раскрыть. Поясним на примере.

Пример 1

Условие: выполните сложение одночленов − 3 · x и 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Решение

Запишем сумму исходных выражений. Добавим скобки и поставим между ними плюс. У нас получится следующее:

(− 3 · x) + (2 , 72 · x 3 · y 5 · z)

Когда мы выполним раскрытие скобок, получится — 3 · x + 2 , 72 · x 3 · y 5 · z . Это многочлен, записанный в стандартной форме, который и будет результатом сложения данных одночленов.

Ответ: (− 3 · x) + (2 , 72 · x 3 · y 5 · z) = − 3 · x + 2 , 72 · x 3 · y 5 · z .

Если у нас задано три, четыре и больше слагаемых, мы осуществляем это действие точно так же.

Пример 2

Условие: проведите в правильном порядке указанные действия с многочленами

3 · a 2 — (- 4 · a · c) + a 2 — 7 · a 2 + 4 9 — 2 2 3 · a · c

Решение

Начнем с раскрытия скобок.

3 · a 2 + 4 · a · c + a 2 — 7 · a 2 + 4 9 — 2 2 3 · a · c

Мы видим, что полученное выражение можно упростить путем приведения подобных слагаемых:

3 · a 2 + 4 · a · c + a 2 — 7 · a 2 + 4 9 — 2 2 3 · a · c = = (3 · a 2 + a 2 — 7 · a 2) + 4 · a · c — 2 2 3 · a · c + 4 9 = = — 3 · a 2 + 1 1 3 · a · c + 4 9

У нас получился многочлен, который и будет результатом данного действия.

Ответ: 3 · a 2 — (- 4 · a · c) + a 2 — 7 · a 2 + 4 9 — 2 2 3 · a · c = — 3 · a 2 + 1 1 3 · a · c + 4 9

В принципе, мы можем выполнить сложение и вычитание двух одночленов с некоторыми ограничениями так, чтобы получить в итоге одночлен. Для этого нужно соблюсти некоторые условия, касающиеся слагаемых и вычитаемых одночленов. О том, как это делается, мы расскажем в отдельной статье.

Правила умножения одночленов

Действие умножения не налагает никаких ограничений на множители. Умножаемые одночлены не должны соответствовать никаким дополнительным условиям, чтобы в результате получится одночлен.

Чтобы выполнить умножение одночленов, нужно выполнить следующие шаги:

1. Правильно записать произведение.
2. Раскрыть скобки в полученном выражении.
3. Сгруппировать по возможности множители с одинаковыми переменными и числовые множители отдельно.
4. Выполнить необходимые действия с числами и применить к оставшимся множителям свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями.

Посмотрим, как это делается на практике.

Пример 3

Условие: выполните умножение одночленов 2 · x 4 · y · z и — 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 .

Решение

Начнем с составления произведения.

Раскрываем в нем скобки и получаем следующее:

2 · x 4 · y · z · — 7 16 · t 2 · x 2 · z 11

2 · — 7 16 · t 2 · x 4 · x 2 · y · z 3 · z 11

Все, что нам осталось сделать – это умножить числа в первых скобках и применить свойство степеней для вторых. В итоге получим следующее:

2 · — 7 16 · t 2 · x 4 · x 2 · y · z 3 · z 11 = — 7 8 · t 2 · x 4 + 2 · y · z 3 + 11 = = — 7 8 · t 2 · x 6 · y · z 14

Ответ: 2 · x 4 · y · z · — 7 16 · t 2 · x 2 · z 11 = — 7 8 · t 2 · x 6 · y · z 14 .

Если у нас в условии стоят три многочлена и больше, мы умножаем их по точно такому же алгоритму. Более подробно вопрос умножения одночленов мы рассмотрим в рамках отдельного материала.

Правила возведения одночлена в степень

Мы знаем, что степенью с натуральным показателем называют произведение некоторого числа одинаковых множителей. На их количество указывает число в показателе. Согласно этому определению, возведение одночлена в степень равнозначно умножению указанного числа одинаковых одночленов. Посмотрим, как это делается.

Пример 4

Условие: выполните возведение одночлена − 2 · a · b 4 в степень 3 .

Решение

Мы можем заменить возведение в степень на умножение 3 -х одночленов − 2 · a · b 4 . Запишем и получим нужный ответ:

(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) = = ((− 2) · (− 2) · (− 2)) · (a · a · a) · (b 4 · b 4 · b 4) = − 8 · a 3 · b 12

Ответ: (− 2 · a · b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

А как быть в том случае, когда степень имеет большой показатель? Записывать большое количество множителей неудобно. Тогда для решения такой задачи нам надо применить свойства степени, а именно свойство степени произведения и свойство степени в степени.

Решим задачу, которую мы привели выше, указанным способом.

Пример 5

Условие: выполните возведение − 2 · a · b 4 в третью степень.

Решение

Зная свойство степени в степени, мы можем перейти к выражению следующего вида:

(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2) 3 · a 3 · (b 4) 3 .

После этого мы возводим в степень — 2 и применяем свойство степени в степени:

(− 2) 3 · (a) 3 · (b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 4 · 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

Ответ: − 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Возведению одночлена в степень мы также посвятили отдельную статью.

Правила деления одночленов

Последнее действие с одночленами, которое мы разберем в данном материале, – деление одночлена на одночлен. В результате мы должны получить рациональную (алгебраическую) дробь (в некоторых случаях возможно получение одночлена). Сразу уточним, что деление на нулевой одночлен не определяется, поскольку не определяется деление на 0.

Для выполнения деления нам нужно записать указанные одночлены в форме дроби и сократить ее, если есть такая возможность.

Пример 6

Условие: выполните деление одночлена − 9 · x 4 · y 3 · z 7 на − 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 .

Решение

Начнем с записи одночленов в форме дроби.

9 · x 4 · y 3 · z 7 — 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2

Эту дробь можно сократить. После выполнения этого действия получим:

3 · x 2 · y · z 7 2 · p 3 · t 5

Ответ: — 9 · x 4 · y 3 · z 7 — 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 = 3 · x 2 · y · z 7 2 · p 3 · t 5 .

Условия, при которых в результате деления одночленов мы получим одночлен, приводятся в отдельной статье.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1

Произведение степеней

Запомните!

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

• Упростить выражение.
  b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Представить в виде степени.
  6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
• Представить в виде степени.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Важно!

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

Свойство № 2

Частное степеней

Запомните!

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

= 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44

Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Ответ: t = 3 4 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

• Пример. Упростить выражение.
  4 5m + 6 · 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.
  = = =2 9 + 2

  2 5

  =2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Важно!

  Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

  Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

  Будьте внимательны!

  Свойство № 3

  
  Возведение степени в степень

  Запомните!

  При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

  (a n) m = a n · m , где «a » — любое число, а «m », «n » — любые натуральные числа.

  
  

  Свойства 4

  
  Степень произведения

  Запомните!

  При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.

  (a · b) n = a n · b n , где «a », «b » — любые рациональные числа; «n » — любое натуральное число.

  • Пример 1.
    (6 · a 2 · b 3 · c) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
    
  • Пример 2.
    (−x 2 · y) 6 = ((−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6) = x 12 · y 6

  Важно!

  Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

  (a n · b n)= (a · b) n

  То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить.
    2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Пример. Вычислить.
    0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1

  В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

  Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
  

  Пример возведения в степень десятичной дроби.

  4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

  Свойства 5

  
  Степень частного (дроби)

  Запомните!

  Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

  (a: b) n = a n: b n , где «a », «b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Правила экспоненты

Существует множество свойств и правил экспоненты, которые можно использовать для упрощения алгебраических уравнений. Ниже приведены некоторые из наиболее часто используемых. Обратите внимание, что термины «показатель степени» и «степень» часто используются взаимозаменяемо для обозначения верхних индексов в выражении. Например, в термине Qb ⁿ Q — это коэффициент, b — основание, а n — показатель степени или степень, как показано на рисунке ниже.

Сложение и вычитание

Чтобы складывать или вычитать термины, содержащие экспоненты, они должны иметь одинаковое основание и одинаковую степень. В противном случае термины не могут быть добавлены. Если основание и мощность одинаковы, то коэффициенты при основаниях можно складывать или вычитать, сохраняя при этом основание и мощность одинаковыми. Учитывая, что P и Q являются постоянными коэффициентами, это можно выразить как:

Примеры

1. 3 (3 ² ) + 3 ² :

3 (3 ² ) + 3 ² = (3 + 1) (3 ² ) = 4. (3 ² ) = 36

2. 3x ⁵ — 6x ⁵ :

3x ⁵ — 6x ⁵ = (3 — 6) x ⁵ = -3x ⁵

Умножение

Для умножения терминов, содержащих показатели степени, термины должны иметь одинаковое основание и/или одинаковую степень. Чтобы умножить термины с одним и тем же основанием, оставьте одно и то же основание и сложите степени вместе. Чтобы умножить члены с разными основаниями, но одинаковой степенью, возведите произведение оснований в степень. Это можно выразить так:

Если к основаниям показателей степени прикреплены коэффициенты, перемножьте коэффициенты. Коэффициенты можно перемножать, даже если показатели степени имеют разные основания.

Примеры

1. 3 ² × 3 ³ :

3 ² × 3 ³ = 3 ²⁺³ = 3 ⁵

2. 4 ² × 6. ² :

4 ² × 6 ² = (4 × 6) ² = 24 ² = 576

Если показатели степени имеют одинаковую степень и одно и то же основание, выражение можно упростить, используя любое из приведенных выше правил: ² × 5 ² = 5 ²⁺² = 5 ⁴ = 625

или

5 ² × 5 ² = (5 * 5) ² = 25 ² = 625

Деление

Чтобы разделить слагаемые в выражении с показателями степени, они должны иметь одинаковое основание и/или одинаковую степень. Чтобы разделить показатели степени с одинаковым основанием, сохраните одно и то же основание и вычтите степень знаменателя из степени числителя. Если члены выражения имеют одинаковую степень, но разные основания, разделите основания, а затем возведите результат в степень. Если у показателей степени есть коэффициенты, прикрепленные к их основаниям, разделите коэффициенты. Коэффициенты можно делить, даже если показатели степени имеют разные основания.

Примеры

1. :

2. :

Если показатель степени имеет отрицательную степень, вам все равно нужно сохранить тот же знак и вычесть степень.

3. :

Отрицательные показатели степени

Отрицательная степень означает просто взять обратное основание, а затем возвести его в положительную положительную степень. Это можно записать как:

Пример

Полномочия

При возведении степени в другую степень важно обращать внимание на порядок операций.