Таблица углов косинусов синусов тангенсов: Углы 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270°,360°,(π/6,π/4,π/3,π/2,π,3π/2,2π). Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов 30°,45°,60°,90°,180°,270°,360.

Содержание

Таблица тригонометрических функций.

Таблица тригонометрических функций — это записанные в таблицу посчитанные значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов от 0° до 360°. Используя таблицу тригонометрических функций Вы сможете провести расчеты даже если под руками не окажется инженерного калькулятора. Чтобы узнать значение тригонометрических функций от нужного Вам угла достаточно найти их в таблице.

Таблица тригонометрических функций углов от 0° до 90°

αsin αcos αtg αctg α
010
0.0174520.9998480.01745557.289962
0.034899
0.034921
28.636253
0.0523360.998630.05240819.081137
0.0697560.9975640.06992714.300666
0.0871560.9961950.08748911.430052
0.1045280.9945220.1051049.514364
0.1218690.992546 122785″>0.1227858.144346
0.1391730.9902680.1405417.11537
0.1564340.9876880.1583846.313752
10°0.1736480.9848080.1763275.671282
11°0.1908090.9816270.194385.144554
12°0.207912
0.978148
0.2125570.2249510.974370.2308684.331476
14°0.2419220.9702960.2493284.010781
15°0.2588190.9659260.2679493.732051
16°0.2756370.961262
0.286745
3.487414
17°0.2923720.9563050.3057313. 270853
18°0.3090170.9510570.324923.077684
19°0.3255680.9455190.3443282.904211
20°0.342020.9396930.363972.747477
21°
0.358368
0.933580.3838642.605089
22°0.3746070.9271840.4040262.475087
23°0.9205050.4244752.355852
24°0.4067370.9135450.4452292.246037
25°0.4226180.906308
0.466308
2.144507
26°0.4383710.8987940.4877332.050304
27°0.453990.8910070.5095251.962611
28°0. 4694720.8829480.5317091.880726
29°0.484810.874620.5543091.804048
30°
0.5
0.8660250.577351.732051
31°0.5150380.8571670.6008611.664279
32°0.5299190.8480480.6248691.600335
33°0.5446390.6494081.539865
34°0.5591930.829038
0.674509
1.482561
35°0.5735760.8191520.7002081.428148
36°0.5877850.8090170.7265431.376382
37°0.6018150.7986360.7535541.327045
38°0.6156610. 7880110.7812861.279942
39°0.629320.7771460.8097841.234897
40°0.6427880.7660440.83911.191754
41°0.6560590.754710.8692871.150368
42°0.6691310.7431450.9004041.110613
43°0.6819980.731354 932515″>0.9325151.072369
44°0.6946580.719340.9656891.03553
45°0.7071070.70710711
46°0.719340.6946581.035530.965689
47°0.7313540.6819981.0723690.932515
48°0.7431450.6691311.1106130.754710.6560591.1503680.869287
50°0.7660440.6427881.1917540.8391
51°0.7771460.629321.2348970.809784
52°0.7880110.6156611.2799420.781286
53°0.7986360.6018151.3270450. 753554
54°0.8090170.5877851.3763820.726543
55°0.8191520.5735761.4281480.700208
56°0.8290380.5591931.4825610.674509
57°0.8386710.5446391.5398650.649408
58°0.8480480.5299191.6003350.624869
59°0.5150381.6642790.600861
60°0.8660250.51.7320510.57735
61°0.874620.484811.8040480.554309
62°0.8829480.4694721.8807260.531709
63°0.8910070.453991.9626110.509525
64°0.8987942.0503040.487733
65°0.9063080.4226182.1445070.466308
66°0.9135450.4067372.2460370.445229
67°0.9205050.3907312.3558520.424475
68°0.9271840.3746072.4750870.404026
69°0.933580. 3583682.6050890.383864
70°0.9396930.342022.7474770.36397
71°0.9455190.3255682.9042110.344328
72°0.9510570.3090173.0776840.32492
73°0.9563050.2923723.2708530.305731
74°0.9612620.2756370.286745
75°0.9659260.2588193.7320510.267949
76°0.9702960.2419224.0107810.249328
77°0.974370.2249514.3314760.230868
78°0.9781480.2079124.704630.212557
79°0.9816270.1908095. 1445540.19438
80°0.9848080.1736485.6712820.176327
81°0.9876880.1564346.3137520.158384
82°0.9902680.1391737.115370.140541
83°0.9925460.1218698.1443460.122785
84°0.9945220.1045289.5143640.9961950.08715611.4300520.087489
86°0.9975640.06975614.3006660.069927
87°0.998630.05233619.0811370.052408
88°0.9993910.03489928.6362530.034921
89°0.9998480.01745257.289962100

Таблица тригонометрических функций углов от 91° до 180°

αsin αcos αtg αctg α
91°0.999848-0.017452-57.289962-0.017455
92°0.999391-0.034899-28.636253-0.034921
93°0.99863-0.052336-19.081137-0.052408
94°-0.069756-14.300666-0.069927
95°0.996195-0.087156-11.430052-0.087489
96°0.994522-0.104528-9.514364-0.105104
97°0.992546-0.121869-8.144346-0.122785
98°0.990268-0.139173-7.11537-0.140541
99°-0.156434-6.313752-0.158384
100°0.984808-0.173648-5.671282-0.176327
101°0.981627-0.190809-5.144554-0.19438
102°0.978148-0.207912-4.70463-0.212557
103°0.97437-0.224951-4.331476-0.230868
104°-0.241922-4.010781-0.249328
105°0.965926-0.258819-3.732051-0.267949
106°0.961262-0.275637-3.487414-0.286745
107°0.956305-0.292372-3.270853-0.305731
108°0.951057-0.309017-3.077684-0.32492
109°-0.325568-2.904211-0.344328
110°0.939693-0.34202-2.747477-0.36397
111°0.93358-0.358368-2.605089-0.383864
112°0.927184-0.374607-2.475087-0.404026
113°0.920505-0.390731-2.355852-0.424475
114°-0.406737-2.246037-0.445229
115°0.906308-0.422618-2.144507-0.466308
116°0.898794-0.438371-2.050304-0.487733
117°0.891007-0.45399-1.962611-0.509525
118°0.882948-0.469472-1.880726-0.531709
119°-0.48481-1.804048-0.554309
120°0.866025-0.5-1.732051-0.57735
121°0.857167-0.515038-1.664279-0.600861
122°0.848048-0.529919-1.600335-0.624869
123°0.838671-0.544639-1.539865-0.649408
124°-0.559193-1.482561-0.674509
125°0.819152-0.573576-1.428148-0.700208
126°0.809017-0.587785-1.376382-0.726543
127°0.798636-0.601815-1.327045-0.753554
128°0.788011-0.615661-1.279942-0.781286
129°-0.62932-1.234897-0.809784
130°0.766044-0.642788-1.191754-0.8391
131°0.75471-0.656059-1.150368-0.869287
132°0.743145-0.669131-1.110613-0.900404
133°0.731354-0.681998-1.072369-0.932515
134°-0.694658-1.03553-0.965689
135°0.707107-0.707107-1-1
136°0.694658-0.71934-0.965689-1.03553
137°0.681998-0.731354-0.932515-1.072369
138°0.669131-0.743145-0.900404-1.110613
139°-0.75471-0.869287-1.150368
140°0.642788-0.766044-0.8391-1.191754
141°0.62932-0.777146-0.809784-1.234897
142°0.615661-0.788011-0.781286-1.279942
143°0.601815-0.798636-0.753554-1.327045
144°-0.809017-0.726543-1.376382
145°0.573576-0.819152-0.700208-1.428148
146°0.559193-0.829038-0.674509-1.482561
147°0.544639-0.838671-0.649408-1.539865
148°0.529919-0.848048-0.624869-1.600335
149°-0.857167-0.600861-1.664279
150°0.5-0.866025-0.57735-1.732051
151°0.48481-0.87462-0.554309-1.804048
152°0.469472-0.882948-0.531709-1.880726
153°0.45399-0.891007-0.509525-1.962611
154°-0.898794-0.487733-2.050304
155°0.422618-0.906308-0.466308-2.144507
156°0.406737-0.913545-0.445229-2.246037
157°0.390731-0.920505-0.424475-2.355852
158°0.374607-0.927184-0.404026-2.475087
159°-0.93358-0.383864-2.605089
160°0.34202-0.939693-0.36397-2.747477
161°0.325568-0.945519-0.344328-2.904211
162°0.309017-0.951057-0.32492-3.077684
163°0.292372-0.956305-0.305731-3.270853
164°-0.961262-0.286745-3.487414
165°0.258819-0.965926-0.267949-3.732051
166°0.241922-0.970296-0.249328-4.010781
167°0.224951-0.97437-0.230868-4.331476
168°0.207912-0.978148-0.212557-4.70463
169°-0.981627-0.19438-5.144554
170°0.173648-0.984808-0.176327-5.671282
171°0.156434-0.987688-0.158384-6.313752
172°0.139173-0.990268-0.140541-7.11537
173°0.121869-0.992546-0.122785-8.144346
174°-0.994522-0.105104-9.514364
175°0.087156-0.996195-0.087489-11.430052
176°0.069756-0.997564-0.069927-14.300666
177°0.052336-0.99863-0.052408-19.081137
178°0.034899-0.999391-0.034921-28. 636253
179°0.017452-0.999848-0.017455-57.289962
180°0-10

Таблица тригонометрических функций углов от 181° до 270°

αsin αcos αtg αctg α
181°-0.017452-0.9998480.01745557.289962
182°-0.034899-0.9993910.03492128.636253
183°-0.998630.05240819.081137
184°-0.069756-0.9975640.06992714.300666
185°-0.087156-0.9961950.08748911.430052
186°-0.104528-0.9945220.1051049.514364
187°-0.121869-0.9925460.1227858.144346
188°-0.9902680.1405417.11537
189°-0.156434-0.9876880.1583846.313752
190°-0.173648-0.9848080.1763275.671282
191°-0.190809-0.9816270.194385.144554
192°-0.207912-0.9781480.2125574.70463
193°-0.974370.2308684.331476
194°-0.241922-0.9702960.2493284.010781
195°-0.258819-0.9659260.2679493.732051
196°-0.275637-0.9612620.2867453.487414
197°-0.292372-0.9563050.3057313.270853
198°-0.9510570.324923.077684
199°-0.325568-0.9455190.3443282.904211
200°-0.34202-0.9396930.363972.747477
201°-0.358368-0.933580.3838642.605089
202°-0.374607-0.9271840.4040262.475087
203°-0.9205050.4244752.355852
204°-0.406737-0.9135450.4452292.246037
205°-0.422618-0.9063080.4663082.144507
206°-0.438371-0.8987940.4877332.050304
207°-0.45399-0.8910070.5095251.962611
208°-0.8829480.5317091.880726
209°-0.48481-0.874620.5543091.804048
210°-0.5-0.8660250.577351.732051
211°-0.515038-0.8571670.6008611.664279
212°-0.529919-0.8480480.6248691.600335
213°-0.8386710.6494081.539865
214°-0.559193-0.8290380.6745091.482561
215°-0.573576-0.8191520.7002081.428148
216°-0.587785-0.8090170.7265431.376382
217°-0.601815-0.7986360.7535541.327045
218°-0.7880110.7812861.279942
219°-0.62932-0.7771460.8097841.234897
220°-0.642788-0.7660440.83911.191754
221°-0.656059-0.754710.8692871.150368
222°-0.669131-0.7431450.9004041.110613
223°-0.7313540.9325151.072369
224°-0.694658-0.719340.9656891.03553
225°-0.707107-0.70710711
226°-0.71934-0.6946581.035530.965689
227°-0.731354-0.6819981.0723690.932515
228°-0.6691311.1106130.900404
229°-0.75471-0.6560591.1503680.869287
230°-0.766044-0.6427881.1917540.8391
231°-0.777146-0.629321.2348970.809784
232°-0.788011-0.6156611.2799420.781286
233°-0.6018151.3270450.753554
234°-0.809017-0.5877851.3763820.726543
235°-0.819152-0.5735761.4281480.700208
236°-0.829038-0.5591931.4825610.674509
237°-0.838671-0.5446391.5398650.649408
238°-0.5299191.6003350.624869
239°-0.857167-0.5150381.6642790.600861
240°-0.866025-0.51.7320510.57735
241°-0.87462-0.484811.8040480.554309
242°-0.882948-0.4694721.8807260.531709
243°-0.453991.9626110.509525
244°-0.898794-0.4383712.0503040.487733
245°-0.906308-0.4226182.1445070.466308
246°-0.913545-0.4067372.2460370.445229
247°-0.920505-0.3907312.3558520.424475
248°-0.3746072.4750870.404026
249°-0.93358-0.3583682.6050890.383864
250°-0.939693-0.342022.7474770.36397
251°-0.945519-0.3255682.9042110.344328
252°-0.951057-0.3090173.0776840.32492
253°-0.2923723.2708530.305731
254°-0.961262-0.2756373.4874140.286745
255°-0.965926-0.2588193.7320510.267949
256°-0.970296-0.2419224.0107810.249328
257°-0.97437-0.2249514.3314760.230868
258°-0.2079124.704630.212557
259°-0.981627-0.1908095.1445540.19438
260°-0.984808-0.1736485.6712820.176327
261°-0.987688-0.1564346.3137520.158384
262°-0.990268-0.1391737.115370.140541
263°-0.1218698.1443460.122785
264°-0.994522-0.1045289.5143640.105104
265°-0.996195-0.08715611.4300520.087489
266°-0.997564-0.06975614.3006660.069927
267°-0.99863-0.05233619.0811370.052408
268°-0.03489928.6362530.034921
269°-0.999848-0.01745257.2899620.017455
270°-100

Таблица тригонометрических функций углов от 271° до 360°

αsin αcos αtg αctg α
271°-0.9998480.017452-57.289962-0.017455
272°-0.999391-28.636253-0.034921
273°-0.998630.052336-19.081137-0.052408
274°-0.9975640.069756-14.300666-0.069927
275°-0.9961950.087156-11.430052-0.087489
276°-0.9945220.104528-9.514364-0.105104
277°0.121869-8.144346-0.122785
278°-0.9902680.139173-7.11537-0.140541
279°-0.9876880.156434-6.313752-0.158384
280°-0.9848080.173648-5.671282-0.176327
281°-0.9816270.190809-5.144554-0.19438
282°0.207912-4.70463-0.212557
283°-0.974370.224951-4.331476-0.230868
284°-0.9702960.241922-4.010781-0.249328
285°-0.9659260.258819-3.732051-0.267949
286°-0.9612620.275637-3.487414-0.286745
287°0.292372-3.270853-0.305731
288°-0.9510570.309017-3.077684-0.32492
289°-0.9455190.325568-2.904211-0.344328
290°-0.9396930.34202-2.747477-0.36397
291°-0.933580.358368-2.605089-0.383864
292°0.374607-2.475087-0.404026
293°-0.9205050.390731-2.355852-0.424475
294°-0.9135450.406737-2.246037-0.445229
295°-0.9063080.422618-2.144507-0.466308
296°-0.8987940.438371-2.050304-0.487733
297°0.45399-1.962611-0.509525
298°-0.8829480.469472-1.880726-0.531709
299°-0.874620.48481-1.804048-0.554309
300°-0.8660250.5-1.732051-0.57735
301°-0.8571670.515038-1.664279-0.600861
302°0.529919-1.600335-0.624869
303°-0.8386710.544639-1.539865-0.649408
304°-0.8290380.559193-1.482561-0.674509
305°-0.8191520.573576-1.428148-0.700208
306°-0.8090170.587785-1.376382-0.726543
307°0.601815-1.327045-0.753554
308°-0.7880110.615661-1.279942-0.781286
309°-0.7771460.62932-1.234897-0.809784
310°-0.7660440.642788-1.191754-0.8391
311°-0.754710.656059-1.150368-0.869287
312°0.669131-1.110613-0.900404
313°-0.7313540.681998-1.072369-0.932515
314°-0.719340.694658-1.03553-0.965689
315°-0.7071070.707107-1-1
316°-0.6946580.71934-0.965689-1.03553
317°0.731354-0.932515-1.072369
318°-0.6691310.743145-0.900404-1.110613
319°-0.6560590.75471-0.869287-1.150368
320°-0.6427880.766044-0.8391-1.191754
321°-0.629320.777146-0.809784-1.234897
322°0.788011-0.781286-1.279942
323°-0.6018150.798636-0.753554-1.327045
324°-0.5877850.809017-0.726543-1.376382
325°-0.5735760.819152-0.700208-1.428148
326°-0.5591930.829038-0.674509-1.482561
327°0.838671-0.649408-1.539865
328°-0.5299190.848048-0.624869-1.600335
329°-0.5150380.857167-0.600861-1.664279
330°-0.50.866025-0.57735-1.732051
331°-0.484810.87462-0.554309-1.804048
332°0.882948-0.531709-1.880726
333°-0.453990.891007-0.509525-1.962611
334°-0.4383710.898794-0.487733-2.050304
335°-0.4226180.906308-0.466308-2.144507
336°-0.4067370.913545-0.445229-2.246037
337°0.920505-0.424475-2.355852
338°-0.3746070.927184-0.404026-2.475087
339°-0.3583680.93358-0.383864-2.605089
340°-0.342020.939693-0.36397-2.747477
341°-0.3255680.945519-0.344328-2.904211
342°0.951057-0.32492-3.077684
343°-0.2923720.956305-0.305731-3.270853
344°-0.2756370.961262-0.286745-3.487414
345°-0.2588190.965926-0.267949-3.732051
346°-0.2419220.970296-0.249328-4.010781
347°0.97437-0.230868-4.331476
348°-0.2079120.978148-0.212557-4.70463
349°-0.1908090.981627-0.19438-5.144554
350°-0.1736480.984808-0.176327-5.671282
351°-0.1564340.987688-0.158384-6.313752
352°0.990268-0.140541-7.11537
353°-0.1218690.992546-0.122785-8.144346
354°-0.1045280.994522-0.105104-9.514364
355°-0.0871560.996195-0.087489-11.430052
356°-0.0697560.997564-0.069927-14.300666
357°0.99863-0.052408-19.081137
358°-0.0348990.999391-0.034921-28.636253
359°-0.0174520.999848-0.017455-57.289962
360°010

Таблицы значений тригонометрических функций Таблицу синусов Таблица косинусов Таблица тангенсов Таблица котангенсов

Тригонометрические формулы

Все таблицы и формулы

Таблица синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов

Таблица синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов содержит вычисленные значения тригонометрических функций для определенного угла от 0 до 360 градусов в виде простой таблицы и в виде таблицы Брадиса. Так же приведены значения тригонометрических функций в радианах для наиболее распространённых углов, применяемых при вычислениях.

Таблицы с вычисленными значениями sin, cos, tg, ctg применяются для упрощения и ускорения математических вычислений, когда нет возможности воспользоваться калькулятором или компьютером.

  • sin
  • cos
  • tg
  • ctg
  • триг. функции
  • Брадиса sin и cos
  • Брадиса tg и ctg

sin 0° = sin 360° = 0

α° sin α α° sin α α° sin α α° sin α

α° sin α α° sin α α° sin α α° sin α

cos 0° = cos 360° = 1

α° cos α α° cos α α° cos α α° cos α

α° cos α α° cos α α° cos α α° cos α

tg 0° = tg 360° = 0

α° tg α α° tg α α° tg α α° tg α

α° tg α α° tg α α° tg α α° tg α

ctg 0° = ctg 360° = ∞

α° ctg α α° ctg α α° ctg α α° ctg α

α° ctg α α° ctg α α° ctg α α° ctg α

Значения тригонометрических функций в радианах для наиболее распространённых углов.



Таблица Брадиса для синусов и косинусов

sin 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ cos 1′ 2′ 3′
0.0000 90°
0.0000 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 89° 3 6 9
0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88° 3 6 9
0349 0366 0384 0401 0419 0436 0454 0471 0488 0506 0523 87° 3 6 9
0523 0541 0558 0576 0593 0610 0628 0645 0663 0680 0698 86° 3 6 9
0698 0715 0732 0750 0767 0785 0802 0819 0837 0854 0. 0872 85° 3 6 9
0.0872 0889 0906 0924 0941 0958 0976 0993 1011 1028 1045 84° 3 6 9
1045 1063 1080 1097 1115 1132 1149 1167 1184 1201 1219 83° 3 6 9
1219 1236 1253 1271 1288 1305 1323 1340 1357 1374 1392 82° 3 6 9
1392 1409 1426 1444 1461 1478 1495 1513 1530 1547 1564 81° 3 6 9
1564 1582 1599 1616 1633 1650 1668 1685 1702 1719 0. 1736 80° 3 6 9
10° 0.1736 1754 1771 1788 1805 1822 1840 1857 1874 1891 1908 79° 3 6 9
11° 1908 1925 1942 1959 1977 1994 2011 2028 2045 2062 2079 78° 3 6 9
12° 2079 2096 2113 2130 2147 2164 2181 2198 2215 2233 2250 77° 3 6 9
13° 2250 2267 2284 2300 2317 2334 2351 2368 2385 2402 2419 76° 3 6 8
14° 2419 2436 2453 2470 2487 2504 2521 2538 2554 2571 0. 2588 75° 3 6 8
15° 0.2588 2605 2622 2639 2656 2672 2689 2706 2723 2740 2756 74° 3 6 8
16° 2756 2773 2790 2807 2823 2840 2857 2874 2890 2907 2924 73° 3 6 8
17° 2924 2940 2957 2974 2990 3007 3024 3040 3057 3074 3090 72° 3 6 8
18° 3090 3107 3123 3140 3156 3173 3190 3206 3223 3239 3256 71° 3 6 8
19° 3256 3272 3289 3305 3322 3338 3355 3371 3387 3404 0. 3420 70° 3 5 8
20° 0.3420 3437 3453 3469 3486 3502 3518 3535 3551 3567 3584 69° 3 5 8
21° 3584 3600 3616 3633 3649 3665 3681 3697 3714 3730 3746 68° 3 5 8
22° 3746 3762 3778 3795 3811 3827 3843 3859 3875 3891 3907 67° 3 5 8
23° 3907 3923 3939 3955 3971 3987 4003 4019 4035 4051 4067 66° 3 5 8
24° 4067 4083 4099 4115 4131 4147 4163 4179 4195 4210 0. 4226 65° 3 5 8
25° 0.4226 4242 4258 4274 4289 4305 4321 4337 4352 4368 4384 64° 3 5 8
26° 4384 4399 4415 4431 4446 4462 4478 4493 4509 4524 4540 63° 3 5 8
27° 4540 4555 4571 4586 4602 4617 4633 4648 4664 4679 4695 62° 3 5 8
28° 4695 4710 4726 4741 4756 4772 4787 4802 4818 4833 4848 61° 3 5 8
29° 4848 4863 4879 4894 4909 4924 4939 4955 4970 4985 0. 5000 60° 3 5 8
30° 0.5000 5015 5030 5045 5060 5075 5090 5105 5120 5135 5150 59° 3 5 8
31° 5150 5165 5180 5195 5210 5225 5240 5255 5270 5284 5299 58° 2 5 7
32° 5299 5314 5329 5344 5358 5373 5388 5402 5417 5432 5446 57° 2 5 7
33° 5446 5461 5476 5490 5505 5519 5534 5548 5563 5577 5592 56° 2 5 7
34° 5592 5606 5621 5635 5650 5664 5678 5693 5707 5721 0. 5736 55° 2 5 7
35° 0.5736 5750 5764 5779 5793 5807 5821 5835 5850 5864 0.5878 54° 2 5 7
36° 5878 5892 5906 5920 5934 5948 5962 5976 5990 6004 6018 53° 2 5 7
37° 6018 6032 6046 6060 6074 6088 6101 6115 6129 6143 6157 52° 2 5 7
38° 6157 6170 6184 6198 6211 6225 6239 6252 6266 6280 6293 51° 2 5 7
39° 6293 6307 6320 6334 6347 6361 6374 6388 6401 6414 0. 6428 50° 2 4 7
40° 0.6428 6441 6455 6468 6481 6494 6508 6521 6534 6547 6561 49° 2 4 7
41° 6561 6574 6587 6600 6613 6626 6639 6652 6665 6678 6691 48° 2 4 7
42° 6691 6704 6717 6730 6743 6756 6769 6782 6794 6807 6820 47° 2 4 6
43° 6820 6833 6845 6858 6871 6884 6896 8909 6921 6934 6947 46° 2 4 6
44° 6947 6959 6972 6984 6997 7009 7022 7034 7046 7059 0. 7071 45° 2 4 6
45° 0.7071 7083 7096 7108 7120 7133 7145 7157 7169 7181 7193 44° 2 4 6
46° 7193 7206 7218 7230 7242 7254 7266 7278 7290 7302 7314 43° 2 4 6
47° 7314 7325 7337 7349 7361 7373 7385 7396 7408 7420 7431 42° 2 4 6
48° 7431 7443 7455 7466 7478 7490 7501 7513 7524 7536 7547 41° 2 4 6
49° 7547 7559 7570 7581 7593 7604 7615 7627 7638 7649 0. 7660 40° 2 4 6
50° 0.7660 7672 7683 7694 7705 7716 7727 7738 7749 7760 7771 39° 2 4 6
51° 7771 7782 7793 7804 7815 7826 7837 7848 7859 7869 7880 38° 2 4 5
52° 7880 7891 7902 7912 7923 7934 7944 7955 7965 7976 7986 37° 2 4 5
53° 7986 7997 8007 8018 8028 8039 8049 8059 8070 8080 8090 36° 2 3 5
54° 8090 8100 8111 8121 8131 8141 8151 8161 8171 8181 0. 8192 35° 2 3 5
55° 0.8192 8202 8211 8221 8231 8241 8251 8261 8271 8281 8290 34° 2 3 5
56° 8290 8300 8310 8320 8329 8339 8348 8358 8368 8377 8387 33° 2 3 5
57° 8387 8396 8406 8415 8425 8434 8443 8453 8462 8471 8480 32° 2 3 5
58° 8480 8490 8499 8508 8517 8526 8536 8545 8554 8563 8572 31° 2 3 5
59° 8572 8581 8590 8599 8607 8616 8625 8634 8643 8652 0. 8660 30° 1 3 4
60° 0.8660 8669 8678 8686 8695 8704 8712 8721 8729 8738 8746 29° 1 3 4
61° 8746 8755 8763 8771 8780 8788 8796 8805 8813 8821 8829 28° 1 3 4
62° 8829 8838 8846 8854 8862 8870 8878 8886 8894 8902 8910 27° 1 3 4
63° 8910 8918 8926 8934 8942 8949 8957 8965 8973 8980 8988 26° 1 3 4
64° 8988 8996 9003 9011 9018 9026 9033 9041 9048 9056 0. 9063 25° 1 3 4
65° 0.9063 9070 9078 9085 9092 9100 9107 9114 9121 9128 9135 24° 1 2 4
66° 9135 9143 9150 9157 9164 9171 9178 9184 9191 9198 9205 23° 1 2 3
67° 9205 9212 9219 9225 9232 9239 9245 9252 9259 9256 9272 22° 1 2 3
68° 9272 9278 9285 9291 9298 9304 9311 9317 9323 9330 9336 21° 1 2 3
69° 9336 9342 9348 9354 9361 9367 9373 9379 9383 9391 0. 9397 20° 1 2 3
70° 9397 9403 9409 9415 9421 9426 9432 9438 9444 9449 0.9455 19° 1 2 3
71° 9455 9461 9466 9472 9478 9483 9489 9494 9500 9505 9511 18° 1 2 3
72° 9511 9516 9521 9527 9532 9537 9542 9548 9553 9558 9563 17° 1 2 3
73° 9563 9568 9573 9578 9583 9588 9593 9598 9603 9608 9613 16° 1 2 2
74° 9613 9617 9622 9627 9632 9636 9641 9646 9650 9655 0. 9659 15° 1 2 2
75° 9659 9664 9668 9673 9677 9681 9686 9690 9694 9699 9703 14° 1 1 2
76° 9703 9707 9711 9715 9720 9724 9728 9732 9736 9740 9744 13° 1 1 2
77° 9744 9748 9751 9755 9759 9763 9767 9770 9774 9778 9781 12° 1 1 2
78° 9781 9785 9789 9792 9796 9799 9803 9806 9810 9813 9816 11° 1 1 2
79° 9816 9820 9823 9826 9829 9833 9836 9839 9842 9845 0. 9848 10° 1 1 2
80° 0.9848 9851 9854 9857 9860 9863 9866 9869 9871 9874 9877 0 1 1
81° 9877 9880 9882 9885 9888 9890 9893 9895 9898 9900 9903 0 1 1
82° 9903 9905 9907 9910 9912 9914 9917 9919 9921 9923 9925 0 1 1
83° 9925 9928 9930 9932 9934 9936 9938 9940 9942 9943 9945 0 1 1
84° 9945 9947 9949 9951 9952 9954 9956 9957 9959 9960 9962 0 1 1
85° 9962 9963 9965 9966 9968 9969 9971 9972 9973 9974 9976 0 0 1
86° 9976 9977 9978 9979 9980 9981 9982 9983 9984 9985 9986 0 0 0
87° 9986 9987 9988 9989 9990 9990 9991 9992 9993 9993 9994 0 0 0
88° 9994 9995 9995 9996 9996 9997 9997 9997 9998 9998 0. 9998 0 0 0
89° 9998 9999 9999 9999 9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0
90° 1.0000
sin 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ cos 1′ 2′ 3′

Таблица Брадиса для тангенсов и котангенсов

tg 0′ 6′ 12′ 18′ 24′ 30′ 36′ 42′ 48′ 54′ 60′ ctg 1′ 2′ 3′
0 90°
0,000 0017 0035 0052 0070 0087 0105 0122 0140 0157 0175 89° 3 6 9
0175 0192 0209 0227 0244 0262 0279 0297 0314 0332 0349 88° 3 6 9
0349 0367 0384 0402 0419 0437 0454 0472 0489 0507 0524 87° 3 6 9
0524 0542 0559 0577 0594 0612 0629 0647 0664 0682 0699 86° 3 6 9
0699 0717 0734 0752 0769 0787 0805 0822 0840 0857 0,0875 85° 3 6 9
0,0875 0892 0910 0928 0945 0963 0981 0998 1016 1033 1051 84° 3 6 9
1051 1069 1086 1104 1122 1139 1157 1175 1192 1210 1228 83° 3 6 9
1228 1246 1263 1281 1299 1317 1334 1352 1370 1388 1405 82° 3 6 9
1405 1423 1441 1459 1477 1495 1512 1530 1548 1566 1584 81° 3 6 9
1584 1602 1620 1638 1655 1673 1691 1709 1727 1745 0,1763 80° 3 6 9
10° 0,1763 1781 1799 1817 1835 1853 1871 1890 1908 1926 1944 79° 3 6 9
11° 1944 1962 1980 1998 2016 2035 2053 2071 2089 2107 2126 78° 3 6 9
12° 2126 2144 2162 2180 2199 2217 2235 2254 2272 2290 2309 77° 3 6 9
13° 2309 2327 2345 2364 2382 2401 2419 2438 2456 2475 2493 76° 3 6 9
14° 2493 2512 2530 2549 2568 2586 2605 2623 2642 2661 0,2679 75° 3 6 9
15° 0,2679 2698 2717 2736 2754 2773 2792 2811 2830 2849 2867 74° 3 6 9
16° 2867 2886 2905 2924 2943 2962 2981 3000 3019 3038 3057 73° 3 6 9
17° 3057 3076 3096 3115 3134 3153 3172 3191 3211 3230 3249 72° 3 6 10
18° 3249 3269 3288 3307 3327 3346 3365 3385 3404 3424 3443 71° 3 6 10
19° 3443 3463 3482 3502 3522 3541 3561 3581 3600 3620 0,3640 70° 3 7 10
20° 0,3640 3659 3679 3699 3719 3739 3759 3779 3799 3819 3839 69° 3 7 10
21° 3839 3859 3879 3899 3919 3939 3959 3979 4000 4020 4040 68° 3 7 10
22° 4040 4061 4081 4101 4122 4142 4163 4183 4204 4224 4245 67° 3 7 10
23° 4245 4265 4286 4307 4327 4348 4369 4390 4411 4431 4452 66° 3 7 10
24° 4452 4473 4494 4515 4536 4557 4578 4599 4621 4642 0,4663 65° 4 7 11
25° 0,4663 4684 4706 4727 4748 4770 4791 4813 4834 4856 4877 64° 4 7 11
26° 4877 4899 4921 4942 4964 4986 5008 5029 5051 5073 5095 63° 4 7 11
27° 5095 5117 5139 5161 5184 5206 5228 5250 5272 5295 5317 62° 4 7 11
28° 5317 5340 5362 5384 5407 5430 5452 5475 5498 5520 5543 61° 4 8 11
29° 5543 5566 5589 5612 5635 5658 5681 5704 5727 5750 0,5774 60° 4 8 12
30° 0,5774 5797 5820 5844 5867 5890 5914 5938 5961 5985 6009 59° 4 8 12
31° 6009 6032 6056 6080 6104 6128 6152 6176 6200 6224 6249 58° 4 8 12
32° 6249 6273 6297 6322 6346 6371 6395 6420 6445 6469 6494 57° 4 8 12
33° 6494 6519 6544 6569 6594 6619 6644 6669 6694 6720 6745 56° 4 8 13
34° 6745 6771 6796 6822 6847 6873 6899 6924 6950 6976 0,7002 55° 4 9 13
35° 0,7002 7028 7054 7080 7107 7133 7159 7186 7212 7239 7265 54° 4 8 13
36° 7265 7292 7319 7346 7373 7400 7427 7454 7481 7508 7536 53° 5 9 14°
37° 7536 7563 7590 7618 7646 7673 7701 7729 7757 7785 7813 52° 5 9 14
38° 7813 7841 7869 7898 7926 7954 7983 8012 8040 8069 8098 51° 5 9 14
39° 8098 8127 8156 8185 8214 8243 8273 8302 8332 8361 0,8391 50° 5 10 15
40° 0,8391 8421 8451 8481 8511 8541 8571 8601 8632 8662 0,8693 49° 5 10 15
41° 8693 8724 8754 8785 8816 8847 8878 8910 8941 8972 9004 48° 5 10 16
42° 9004 9036 9067 9099 9131 9163 9195 9228 9260 9293 9325 47° 6 11 16
43° 9325 9358 9391 9424 9457 9490 9523 9556 9590 9623 0,9657 46° 6 11 17
44° 9657 9691 9725 9759 9793 9827 9861 9896 9930 9965 1,0000 45° 6 11 17
45° 1,0000 0035 0070 0105 0141 0176 0212 0247 0283 0319 0355 44° 6 12 18
46° 0355 0392 0428 0464 0501 0538 0575 0612 0649 0686 0724 43° 6 12 18
47° 0724 0761 0799 0837 0875 0913 0951 0990 1028 1067 1106 42° 6 13 19
48° 1106 1145 1184 1224 1263 1303 1343 1383 1423 1463 1504 41° 7 13 20
49° 1504 1544 1585 1626 1667 1708 1750 1792 1833 1875 1,1918 40° 7 14 21
50° 1,1918 1960 2002 2045 2088 2131 2174 2218 2261 2305 2349 39° 7 14 22
51° 2349 2393 2437 2482 2527 2572 2617 2662 2708 2753 2799 38° 8 15 23
52° 2799 2846 2892 2938 2985 3032 3079 3127 3175 3222 3270 37° 8 16 24
53° 3270 3319 3367 3416 3465 3514 3564 3613 3663 3713 3764 36° 8 16 25
54° 3764 3814 3865 3916 3968 4019 4071 4124 4176 4229 1,4281 35° 9 17 26
55° 1,4281 4335 4388 4442 4496 4550 4605 4659 4715 4770 4826 34° 9 18 27
56° 4826 4882 4938 4994 5051 5108 5166 5224 5282 5340 5399 33° 10 19 29
57° 5399 5458 5517 5577 5637 5697 5757 5818 5880 5941 6003 32° 10 20 30
58° 6003 6066 6128 6191 6255 6319 6383 6447 6512 6577 6643 31° 11 21 32
59° 6643 6709 6775 6842 6909 6977 7045 7113 7182 7251 1,7321 30° 11 23 34
60° 1,732 1,739 1,746 1,753 1,760 1,767 1,775 1,782 1,789 1,797 1,804 29° 1 2 4
61° 1,804 1,811 1,819 1,827 1,834 1,842 1,849 1,857 1,865 1,873 1,881 28° 1 3 4
62° 1,881 1,889 1,897 1,905 1,913 1,921 1,929 1,937 1,946 1,954 1,963 27° 1 3 4
63° 1,963 1,971 1,980 1,988 1,997 2,006 2,014 2,023 2,032 2,041 2,05 26° 1 3 4
64° 2,050 2,059 2,069 2,078 2,087 2,097 2,106 2,116 2,125 2,135 2,145 25° 2 3 5
65° 2,145 2,154 2,164 2,174 2,184 2,194 2,204 2,215 2,225 2,236 2,246 24° 2 3 5
66° 2,246 2,257 2,267 2,278 2,289 2,3 2,311 2,322 2,333 2,344 2,356 23° 2 4 5
67° 2,356 2,367 2,379 2,391 2,402 2,414 2,426 2,438 2,450 2,463 2,475 22° 2 4 6
68° 2,475 2,488 2,5 2,513 2,526 2,539 2,552 2,565 2,578 2,592 2,605 21° 2 4 6
69° 2,605 2,619 2,633 2,646 2,66 2,675 2,689 2,703 2,718 2,733 2,747 20° 2 5 7
70° 2,747 2,762 2,778 2,793 2,808 2,824 2,840 2,856 2,872 2,888 2,904 19° 3 5 8
71° 2,904 2,921 2,937 2,954 2,971 2,989 3,006 3,024 3,042 3,06 3,078 18° 3 6 9
72° 3,078 3,096 3,115 3,133 3,152 3,172 3,191 3,211 3,230 3,251 3,271 17° 3 6 10
73° 3,271 3,291 3,312 3,333 3,354 3,376 3 7 10
3,398 3,42 3,442 3,465 3,487 16° 4 7 11
74° 3,487 3,511 3,534 3,558 3,582 3,606 4 8 12
3,630 3,655 3,681 3,706 3,732 15° 4 8 13
75° 3,732 3,758 3,785 3,812 3,839 3,867 4 9 13
3,895 3,923 3,952 3,981 4,011 14° 5 10 14
tg 60′ 54′ 48′ 42′ 36′ 30′ 24′ 18′ 12′ 6′ 0′ ctg 1′ 2′ 3′

Тригонометрия – раздел математики, изучающий зависимости углов и сторон треугольников, которые выражены функциями, называемыми тригонометрическими.

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя линиями, не лежащими на одной прямой и выходящими или пересекающимися в одной точке.

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

В зависимости от соотношения сторон и углов, треугольники можно разделить на группы:

гипотенуза – сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла и являющаяся самой длинной стороной прямоугольного треугольника.

катет – одна из сторон прямоугольного треугольника, образующая прямой угол треугольника. Может называться противолежащим или прилежащим. Противолежащий – это катет, расположенный напротив рассматриваемого угла треугольника, прилежащий – это катет, прилежащий к рассматриваемому углу треугольника.

Чтобы вычислить какой-либо неизвестный элемент (сторону или угол) имеющегося треугольника, зная часть элементов того же треугольника, используют определенные зависимости (правила) между величинами углов и длинами сторон этого треугольника. Такие зависимости называют тригонометрическими функциями.

То есть, тригонометрические функций позволяют, зная какой-либо угол и сторону, вычислить значения других неизвестных элементов треугольника.

Для ускорения расчетов, когда нет под рукой калькулятора, смартфона или компьютера, раньше были очень популярны таблицы с заранее вычисленными соотношениями сторон треугольников, выраженными в вычисленных значениях sin, cos, tg.

Например, зная из таблицы значения вычисленных заранее тригонометрических функций известного угла треугольника и длину одной из его сторон, можно быстро вычислить длины других сторон треугольника и величины неизвестных углов.

Таблица синусов и косинусов в радианах. Тригонометрические функции

Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.

Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.

В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.

Основные величины тригонометрии

Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.

В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.

Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:

Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:

Тригонометрический круг

Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:

Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.

Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.

Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.

Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π в таблицах стоит для радиан. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.

Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:

Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.

Свойства тригонометрических функций: синус и косинус

Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.

Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:

Синусоида Косинусоида
y = sin x y = cos x
ОДЗ [-1; 1] ОДЗ [-1; 1]
sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z cos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z
sin x = 1, при x = π/2 + 2πk, где k ϵ Z cos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z
sin x = — 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Z cos x = — 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z
sin (-x) = — sin x, т. е. функция нечетная cos (-x) = cos x, т. е. функция четная
функция периодическая, наименьший период — 2π
sin x › 0, при x принадлежащем I и II четвертям или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk) cos x › 0, при x принадлежащем I и IV четвертям или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, при x принадлежащем III и IV четвертям или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) cos x ‹ 0, при x принадлежащем II и III четвертям или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
возрастает на промежутке [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] возрастает на промежутке [-π + 2πk, 2πk]
убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] убывает на промежутках
производная (sin x)’ = cos x производная (cos x)’ = — sin x

Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.

Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:

Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.

Свойства тангенсоиды и котангенсоиды

Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.

  1. Y = tg x.
  2. Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
  3. Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
  4. Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
  5. Tg x = 0, при x = πk.
  6. Функция является возрастающей.
  7. Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
  8. Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
  9. Производная (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x .

Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.

Основные свойства котангенсоиды:

  1. Y = ctg x.
  2. В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
  3. Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
  4. Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
  5. Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
  6. Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
  7. Функция является убывающей.
  8. Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
  9. Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
  10. Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 ⁡x Исправить

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Таблица значений тригонометрических функций составлена для углов в 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 и 360 градусов и соответствующих им значений углов врадианах. Из тригонометрических функций в таблице приведены синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс. Для удобства решения школьных примеров значения тригонометрических функций в таблице записаны в виде дроби с сохранением знаков извлечения корня квадратного из чисел, что очень часто помогает сокращать сложные математические выражения. Для тангенса и котангенса значения некоторых углов не могут быть определены. Для значений тангенса и котангенса таких углов в таблице значений тригонометрических функций стоит прочерк. Принято считать, что тангенс и котангенс таких углов равняется бесконечности. На отдельной странице находятся формулы приведения тригонометрических функций.

В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 в градусной мере, что соответствует sin 0 пи, sin пи/6, sin пи/4, sin пи/3, sin пи/2, sin пи, sin 3 пи/2, sin 2 пи в радианной мере углов. Школьная таблица синусов.

Для тригонометрической функции косинус в таблице приведены значения для следующих углов: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 в градусной мере, что соответствует cos 0 пи, cos пи на 6, cos пи на 4, cos пи на 3, cos пи на 2, cos пи, cos 3 пи на 2, cos 2 пи в радианной мере углов. Школьная таблица косинусов.

Тригонометрическая таблица для тригонометрической функции тангенс приводит значения для следующих углов: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 в градусной мере, что соответствует tg 0 пи, tg пи/6, tg пи/4, tg пи/3, tg пи, tg 2 пи в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций тангенса не определены tg 90, tg 270, tg пи/2, tg 3 пи/2 и считаются равными бесконечности.

Для тригонометрической функции котангенс в тригонометрической таблице даны значения следующих углов: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 в градусной мере, что соответствует ctg пи/6, ctg пи/4, ctg пи/3, tg пи/2, tg 3 пи/2 в радианной мере углов. Следующие значения тригонометрических функций котангенса не определены ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 пи, ctg пи, ctg 2 пи и считаются равными бесконечности.

Значения тригонометрических функций секанс и косеканс приведены для таких же углов в градусах и радианах, что и синус, косинус, тангенс, котангенс.

В таблице значений тригонометрических функций нестандартных углов приводятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов в градусах 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 градусов и в радианах пи/12, пи/10, пи/8, пи/5, 3пи/8, 2пи/5 радиан. Значения тригонометрических функций выражены через дроби и корни квадратные для упрощения сокращения дробей в школьных примерах.

Еще три монстра тригонометрии. Первый — это тангенс 1,5 полутора градусов или пи деленное на 120. Второй — косинус пи деленное на 240, пи/240. Самый длинный — косинус пи деленное на 17, пи/17.

Тригонометрический круг значений функций синус и косинус наглядно представляет знаки синуса и косинуса в зависимости от величины угла. Специально для блондинок значения косинуса подчеркнуты зелененькой черточкой,чтоб меньше путаться. Так же очень наглядно представлен перевод градусов в радианы, когда радианы выражены через пи.

Эта тригонометрическая таблица представляет значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов от 0 нуля до 90 девяносто градусов с интервалом через один градус. Для первых сорока пяти градусов названия тригонометрических функций необходимо смотреть в верхней части таблицы. В первом столбце указаны градусы, значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов записаны в следующих четырех столбцах.

Для углов от сорока пяти градусов до девяноста градусов названия тригонометрических функций записаны в нижней части таблицы. В последнем столбце указаны градусы, значения косинусов, синусов, котангенсов и тангенсов записаны в предыдущих четырех столбцах. Следует быть внимательными, поскольку в нижней части тригонометрической таблицы названия тригонометрических функций отличаются от названий в верхней части таблицы. Синусы и косинусы меняются местами, точно так же, как тангенс и котангенс. Это связано с симметричностью значений тригонометрических функций.

Знаки тригонометрических функций представлены на рисунке выше. Синус имеет положительные значения от 0 до 180 градусов или от 0 до пи. Отрицательные значения синус имеет от 180 до 360 градусов или от пи до 2 пи. Значения косинуса положительны от 0 до 90 и от 270 до 360 градусов или от 0 до 1/2 пи и от 3/2 до 2 пи. Тангенс и котангенс имеют положительные значения от 0 до 90 градусов и от 180 до 270 градусов, что соответствует значениям от 0 до 1/2 пи и от пи до 3/2 пи. Отрицательные значения тангенс и котангенс имеют от 90 до 180 градусов и от 270 до 360 градусов или от 1/2 пи до пи и от 3/2 пи до 2 пи. При определении знаков тригонометрических функций для углов больше 360 градусов или 2 пи следует использовать свойства периодичности этих функций.

Тригонометрические функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями. Значения этих функций для отрицательных углов будут отрицательными. Косинус является четной тригонометрической функцией — значение косинуса для отрицательного угла будет положительным. При умножении и делении тригонометрических функций необходимо соблюдать правила знаков.

  1. В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов

    Документ

    Отдельной странице находятся формулы приведения тригонометрических функций . В таблице значений для тригонометрической функции синус приведены значения для следующих углов : sin 0, sin 30, sin 45 …

  2. Предлагаемый математический аппарат является полным аналогом комплексного исчисления для n-мерных гиперкомплексных чисел с любым числом степеней свободы n и предназначен для математического моделирования нелинейных

    Документ

    функции равно функции изображения. Из этой теоремы сле­дует , что для нахождения координат U, V достаточно вычислить функцию … геометрии; полинарные функции (многомерные аналоги двухмерных тригонометрических функций ), их свойства, таблицы и применение; . ..

  3. Внимание!
    К этой теме имеются дополнительные
    материалы в Особом разделе 555.
    Для тех, кто сильно «не очень…»
    И для тех, кто «очень даже…»)

    Прежде всего напомню простой, но очень полезный вывод из урока «Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?»

    Вот этот вывод:

    Синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны со своими углами. Знаем одно — значит, знаем и другое.

    Другими словами, у каждого угла есть свой неизменный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Почему почти? Об этом ниже.

    Это знание здорово помогает в учёбе! Существует масса заданий, где требуется перейти от синусов к углам и наоборот. Для этого существует таблица синусов. Аналогично, для заданий с косинусом — таблица косинусов. И, как вы уже догадались, существует таблица тангенсов и таблица котангенсов. )

    Таблицы бывают разные. Длинные, где можно посмотреть, чему равен, скажем, sin37°6’. Раскрываем таблицы Брадиса, ищем угол тридцать семь градусов шесть минут и видим значение 0,6032. Понятное дело, запоминать это число (и тысячи других табличных значений) совершенно не требуется.

    В сущности, в наше время длинные таблицы косинусов синусов тангенсов котангенсов не особо-то и нужны. Один хороший калькулятор заменяет их полностью. Но знать о существовании таких таблиц не мешает. Для общей эрудиции.)

    И зачем тогда этот урок?! — спросите вы.

    А вот зачем. Среди бесконечного количества углов существуют особые, о которых вы должны знать всё . На этих углах построена вся школьная геометрия и тригонометрия. Это, своего рода, «таблица умножения» тригонометрии. Если вы не знаете, чему равен, например, sin50°, никто вас не осудит.) Но если вы не знаете, чему равен sin30°, будьте готовы получить заслуженную двойку…

    Таких особых углов тоже прилично набирается. Школьные учебники обычно любезно предлагают к запоминанию таблицу синусов и таблицу косинусов для семнадцати углов. Ну и, разумеется, таблицу тангенсов и таблицу котангенсов для тех же семнадцати углов… Т.е. предлагается запомнить 68 значений. Которые, между прочим, очень похожи между собой, то и дело повторяются и меняют знаки. Для человека без идеальной зрительной памяти — та ещё задачка…)

    Мы пойдём другим путём. Заменим механическое запоминание на логику и смекалку. Тогда нам придётся зазубрить 3 (три!) значения для таблицы синусов и таблицы косинусов. И 3 (три!) значения для таблицы тангенсов и таблицы котангенсов. И всё. Шесть значений запомнить легче, чем 68, мне кажется…)

    Все остальные необходимые значения мы будем получать из этих шести с помощью мощной законной шпаргалки — тригонометрического круга. Если вы не изучали эту тему, сходите по ссылочке, не ленитесь. Этот круг не только для этого урока нужен. Он незаменим для всей тригонометрии сразу . Не пользоваться таким инструментом просто грех! Не хотите? Дело ваше. Заучивайте таблицу синусов. Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов. Таблицу котангенсов. Все 68 значений для разнообразных углов.)

    Итак, начнём. Для начала разобьём все эти особые углы на три группы.

    Первая группа углов.

    Рассмотрим первую группа углов из семнадцати особых . Это 5 углов: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

    Вот так выглядит таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов:

    Угол х


    (в градусах)

    0

    90

    180

    270

    360

    Угол х


    (в радианах)

    0

    sin x

    0

    1

    0

    -1

    0

    cos x

    1

    0

    -1

    0

    1

    tg x

    0

    не сущ.

    0

    не сущ.

    0

    ctg x

    не сущ.

    0

    не сущ.

    0

    не сущ.

    Желающие запомнить — запоминайте. Но сразу скажу, что все эти единички и нолики очень путаются в голове. Гораздо сильнее, чем хочется.) Поэтому включаем логику и тригонометрический круг.

    Рисуем круг и отмечаем на нём эти самые углы: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Я эти углы отметил красными точками:

    Сразу видно, в чём особенность этих углов. Да! Это углы, которые попадают точно на оси координат! Собственно, поэтому-то и путается народ… Но мы путаться не будем. Разберёмся, как находить тригонометрические функции этих углов без особого запоминания.

    Кстати, положение угла в 0 градусов полностью совпадает с положением угла в 360 градусов. Это значит, что синусы, косинусы, тангенсы у этих углов совершенно одинаковы. Угол в 360 градусов я отметил, чтобы замкнуть круг.

    Предположим, в сложной стрессовой обстановке ЕГЭ вы как-то засомневались… Чему равен синус 0 градусов? Вроде ноль… А вдруг единица?! Механическое запоминание такая штука. В суровых условиях сомнения грызть начинают…)

    Спокойствие, только спокойствие!) Я подскажу вам практический приём, который выдаст стопроцентно правильный ответ и начисто уберёт все сомнения.

    В качестве примера разберёмся, как чётко и надёжно определить, скажем, синус 0 градусов. А заодно, и косинус 0. Именно в этих значениях, как ни странно, частенько люди путаются.

    Для этого на круге нарисуем произвольный угол х . В первой четверти, чтобы недалеко от 0 градусов было. Отметим на осях синус и косинус этого угла х, всё чин-чинарём. Вот так:

    А теперь — внимание! Уменьшим угол х , приблизим подвижную сторону к оси ОХ. Наведите курсор на картинку (или коснитесь картинки на планшете) и всё увидите.

    Теперь включаем элементарную логику!. Смотрим и размышляем: как ведёт себя sinx при уменьшении угла х? При приближении угла к нулю? Он уменьшается! А cosx — увеличивается! Остаётся сообразить, что станет с синусом, когда угол схлопнется совсем? Когда подвижная сторона угла (точка А) уляжется на ось ОХ и угол станет равным нулю? Очевидно, и синус угла уйдёт в ноль. А косинус увеличится до… до… Чему равна длина подвижной стороны угла (радиус тригонометрического круга)? Единице!

    Вот и ответ. Синус 0 градусов равен 0. Косинус 0 градусов равен 1. Совершенно железно и безо всяких сомнений!) Просто потому, что иначе быть не может.

    Совершенно аналогично можно узнать (или уточнить) синус 270 градусов, например. Или косинус 180. Нарисовать круг, произвольный угол в четверти рядышком с интересующей нас осью координат, мысленно подвигать сторону угла и уловить, чем станет синус и косинус, когда сторона угла уляжется на ось. Вот и всё.

    Как видите, для этой группы углов ничего заучивать не надо. Не нужна здесь таблица синусов… Да и таблица косинусов — тоже.) Кстати, после нескольких применений тригонометрического круга все эти значения запомнятся сами по себе. А если забудутся — нарисовал за 5 секунд круг и уточнил. Куда проще, чем звонить другу из туалета с риском для аттестата, правда?)

    Что касается тангенса и котангенса — всё то же самое. Рисуем на круге линию тангенса (котангенса) — и всё сразу видно. Где они равны нулю, а где — не существуют. Что, не знаете про линии тангенса и котангенса? Это печально, но поправимо.) Посетили Раздел 555 Тангенс и котангенс на тригонометрическом круге — и нет проблем!

    Если вы поняли, как чётко определить синус, косинус, тангенс и котангенс для этих пяти углов — я вас поздравляю! На всякий случай сообщаю, что вы теперь можете определять функции любых углов, попадающих на оси. А это и 450°, и 540°, и 1800°, и ещё бесконечное количество. ..) Отсчитал (правильно!) угол на круге — и нет проблем с функциями.

    Но, как раз, с отсчётом углов и случаются проблемы да ошибки… Как их избежать, написано в уроке: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в градусах. Элементарно, но очень помогает в борьбе с ошибками.)

    А вот урок: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в радианах — покруче будет. В смысле возможностей. Скажем, определить на какую из четырёх полуосей попадает угол

    вы сможете за пару секунд. Я не шучу! Именно за пару секунд. Ну конечно, не только 345 «пи»…) И 121, и 16, и -1345. Любой целый коэффициент годится для мгновенного ответа.

    А если угол

    Подумаешь! Верный ответ получается секунд за 10. Для любого дробного значения радианов с двойкой в знаменателе.

    Собственно, этим и хорош тригонометрический круг. Тем, что умение работать с некоторыми углами он автоматически расширяет на бесконечное множество углов.

    Итак, с пятью углами из семнадцати — разобрались.

    Вторая группа углов.

    Следующая группа углов — это углы 30°, 45° и 60°. Почему именно эти, а не, к примеру, 20, 50 и 80? Да как-то сложилось так… Исторически.) Дальше будет видно, чем хороши эти углы.

    Таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов выглядит так:

    Угол х


    (в градусах)

    0

    30

    45

    60

    90

    Угол х


    (в радианах)

    0

    sin x

    0

    1

    cos x

    1

    0

    tg x

    0

    1

    не сущ.

    ctg x

    не сущ.

    1

    0

    Я оставил значения для 0° и 90° из предыдущей таблицы для завершённости картины.) Чтобы было видно, что эти углы лежат в первой четверти и возрастают. От 0 до 90. Это пригодится нам дальше.

    Значения таблицы для углов 30°, 45° и 60° надо запомнить. Зазубрить, если хотите. Но и здесь есть возможность облегчить себе жизнь.) Обратите внимание на значения таблицы синусов этих углов. И сравните со значениями таблицы косинусов…

    Да! Они одни и те же! Только расположены в обратном порядке. Углы возрастают (0, 30, 45, 60, 90) — и значения синуса возрастают от 0 до 1. Можете убедиться с калькулятором. А значения косинуса — убывают от 1 до нуля. Причём, сами значения одни и те же. Для углов 20, 50, 80 так бы не получилось…

    Отсюда полезный вывод. Достаточно выучить три значения для углов 30, 45, 60 градусов. И помнить, что у синуса они возрастают, а у косинуса — убывают. Навстречу синусу.) На половине пути (45°) они встречаются, т.е синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов. А дальше опять расходятся… Три значения можно выучить, правда?

    С тангенсами — котангенсами картина исключительно та же самая. Один в один. Только значения другие. Эти значения (ещё три!) тоже надо выучить.

    Ну вот, практически всё запоминание и закончилось. Вы поняли (надеюсь), как определять значения для пяти углов попадающих на оси и выучили значения для углов 30, 45, 60 градусов. Всего 8.

    Осталось разобраться с последней группой из 9 углов.

    Вот эти углы:
    120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Для этих углов надо железно знать таблицу синусов, таблицу косинусов и т.д.

    Кошмар, правда?)

    А если добавить сюда углы, типа: 405°, 600°, или 3000° и много-много такого же красивого?)

    Или углы в радианах? Например, про углы:

    и многие другие, вы должны знать всё .

    Самое забавное, что знать это всё невозможно в принципе. Если использовать механическую память.

    И очень легко, фактически элементарно — если использовать тригонометрический круг. Если вы освоите практическую работу с тригонометрическим кругом, все эти ужасные углы в градусах будут легко и элегантно сводиться к старым добрым:

    Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

    Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

    можно познакомиться с функциями и производными.

    В статье, мы полностью разберемся, как выглядит таблица тригонометрических значений, синуса, косинуса, тангенса и котангенса . Рассмотрим основное значение тригонометрических функций, от угла в 0,30,45,60,90,…,360 градусов. И посмотрим как пользоваться данными таблицами в вычислении значения тригонометрических функций.
    Первой рассмотрим таблицу косинуса, синуса, тангенса и котангенса от угла в 0, 30, 45, 60, 90,. . градусов. Определение данных величин дают определить значение функций углов в 0 и 90 градусов:

    sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 00 = 0, котангенс от 00 будет неопределенным
    sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0,тангенс от 90 0 будет неопределенным

    Если взять прямоугольные треугольники углы которых от 30 до 90 градусов. Получим:

    sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tg 30 0 = √3/3, ctg 30 0 = √3
    sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tg 45 0 = 1, ctg 45 0 = 1
    sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3 , ctg 60 0 = √3/3

    Изобразим все полученные значения в виде тригонометрической таблицы :

    Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов!

    Если использовать формулу приведения, наша таблица увеличится, добавятся значения для углов до 360 градусов. Выглядеть она будет как:

    Так же исходя из свойств периодичности таблицу можно увеличить, если заменим углы на 0 0 +360 0 *z …. 330 0 +360 0 *z, в котором z является целым числом. В данной таблице возможно вычислить значение всех углов, соответствующими точками в единой окружности.

    Разберем наглядно как использовать таблицу в решении.
    Все очень прост. Так как нужное нам значение лежит в точке пересечения нужных нам ячеек. К примеру возьмем cos угла 60 градусов, в таблице это будет выглядеть как:

    В итоговой таблице основных значений тригонометрических функций, действуем так же. Но в данной таблице возможно узнать сколько составит тангенс от угла в 1020 градусов, он = -√3 Проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Найдем по таблице.

    Таблица Брадиса. Для синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

    Таблицы Брадиса поделены на несколько частей, состоят из таблиц косинуса и синуса, тангенса и котангенса — которая поделена на две части (tg угла до 90 градусов и ctg малых углов).

    Синус и косинус

    tg угла начиная с 00 заканчивая 760, ctg угла начиная с 140 заканчивая 900.

    tg до 900 и ctg малых углов.


    Разберемся как пользоваться таблицами Брадиса в решении задач.

    Найдем обозначение sin (обозначение в столбце с левого края) 42 минут (обозначение находится на верхней строчке). Путем пересечения ищем обозначение, оно = 0,3040.

    Величины минут указаны с промежутком в шесть минут, как быть если нужное нам значение попадет именно в этот промежуток. Возьмем 44 минуты, а в таблице есть только 42. Берем за основу 42 и воспользуемся добавочными столбцами в правой стороне, берем 2 поправку и добавляем к 0,3040 + 0,0006 получаем 0,3046.

    При sin 47 мин, берем за основу 48 мин и отнимаем от нее 1 поправку, т.е 0,3057 — 0,0003 = 0,3054

    При вычислении cos работаем аналогично sin только за основу берем нижнюю строку таблицы. К примеру cos 20 0 = 0.9397

    Значения tg угла до 90 0 и cot малого угла, верны и поправок в них нет. К примеру, найти tg 78 0 37мин = 4,967


    а ctg 20 0 13мин = 25,83

    Ну вот мы и рассмотрели основные тригонометрические таблицы. Надеемся это информация была для вас крайне полезной. Свои вопросы по таблицам, если они появились, обязательно пишите в комментариях!

    Заметка: Стеновые отбойники — отбойная доска для защиты стен. Перейдите по ссылке настенные отбойники бескаркасные (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/) и узнайте подробнее.

    В пятом веке до нашей эры древнегреческий философ Зенон Элейский сформулировал свои знаменитые апории, самой известной из которых является апория «Ахиллес и черепаха». Вот как она звучит:

    Допустим, Ахиллес бежит в десять раз быстрее, чем черепаха, и находится позади неё на расстоянии в тысячу шагов. За то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. Когда Ахиллес пробежит сто шагов, черепаха проползёт ещё десять шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес так никогда и не догонит черепаху.

    Это рассуждение стало логическим шоком для всех последующих поколений. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт. .. Все они так или иначе рассматривали апории Зенона. Шок оказался настолько сильным, что «… дискуссии продолжаются и в настоящее время, прийти к общему мнению о сущности парадоксов научному сообществу пока не удалось… к исследованию вопроса привлекались математический анализ, теория множеств, новые физические и философские подходы; ни один из них не стал общепризнанным решением вопроса… » [Википедия, » Апории Зенона «]. Все понимают, что их дурят, но никто не понимает, в чем заключается обман.

    С точки зрения математики, Зенон в своей апории наглядно продемонстрировал переход от величины к . Этот переход подразумевает применение вместо постоянных. Насколько я понимаю, математический аппарат применения переменных единиц измерения либо ещё не разработан, либо его не применяли к апории Зенона. Применение же нашей обычной логики приводит нас в ловушку. Мы, по инерции мышления, применяем постоянные единицы измерения времени к обратной величине. С физической точки зрения это выглядит, как замедление времени до его полной остановки в момент, когда Ахиллес поравняется с черепахой. Если время останавливается, Ахиллес уже не может перегнать черепаху.

    Если перевернуть привычную нам логику, всё становится на свои места. Ахиллес бежит с постоянной скоростью. Каждый последующий отрезок его пути в десять раз короче предыдущего. Соответственно, и время, затрачиваемое на его преодоление, в десять раз меньше предыдущего. Если применять понятие «бесконечность» в этой ситуации, то правильно будет говорить «Ахиллес бесконечно быстро догонит черепаху».

    Как избежать этой логической ловушки? Оставаться в постоянных единицах измерения времени и не переходить к обратным величинам. На языке Зенона это выглядит так:

    За то время, за которое Ахиллес пробежит тысячу шагов, черепаха в ту же сторону проползёт сто шагов. За следующий интервал времени, равный первому, Ахиллес пробежит ещё тысячу шагов, а черепаха проползет сто шагов. Теперь Ахиллес на восемьсот шагов опережает черепаху.

    Этот подход адекватно описывает реальность без всяких логических парадоксов. Но это не полное решение проблемы. На Зеноновскую апорию «Ахиллес и черепаха» очень похоже утверждение Эйнштейна о непреодолимости скорости света. Эту проблему нам ещё предстоит изучить, переосмыслить и решить. И решение нужно искать не в бесконечно больших числах, а в единицах измерения.

    Другая интересная апория Зенона повествует о летящей стреле:

    Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она покоится, а поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится всегда.

    В этой апории логический парадокс преодолевается очень просто — достаточно уточнить, что в каждый момент времени летящая стрела покоится в разных точках пространства, что, собственно, и является движением. Здесь нужно отметить другой момент. По одной фотографии автомобиля на дороге невозможно определить ни факт его движения, ни расстояние до него. Для определения факта движения автомобиля нужны две фотографии, сделанные из одной точки в разные моменты времени, но по ним нельзя определить расстояние. Для определения расстояния до автомобиля нужны две фотографии, сделанные из разных точек пространства в один момент времени, но по ним нельзя определить факт движения (естественно, ещё нужны дополнительные данные для расчетов, тригонометрия вам в помощь). На что я хочу обратить особое внимание, так это на то, что две точки во времени и две точки в пространстве — это разные вещи, которые не стоит путать, ведь они предоставляют разные возможности для исследования.

    среда, 4 июля 2018 г.

    Очень хорошо различия между множеством и мультимножеством описаны в Википедии . Смотрим.

    Как видите, «во множестве не может быть двух идентичных элементов», но если идентичные элементы во множестве есть, такое множество называется «мультимножество». Подобную логику абсурда разумным существам не понять никогда. Это уровень говорящих попугаев и дрессированных обезьян, у которых разум отсутствует от слова «совсем». Математики выступают в роли обычных дрессировщиков, проповедуя нам свои абсурдные идеи.

    Когда-то инженеры, построившие мост, во время испытаний моста находились в лодке под мостом. Если мост обрушивался, бездарный инженер погибал под обломками своего творения. Если мост выдерживал нагрузку, талантливый инженер строил другие мосты.

    Как бы математики не прятались за фразой «чур, я в домике», точнее «математика изучает абстрактные понятия», есть одна пуповина, которая неразрывно связывает их с реальностью. Этой пуповиной являются деньги. Применим математическую теорию множеств к самим математикам.

    Мы очень хорошо учили математику и сейчас сидим в кассе, выдаем зарплату. Вот приходит к нам математик за своими деньгами. Отсчитываем ему всю сумму и раскладываем у себя на столе на разные стопки, в которые складываем купюры одного достоинства. Затем берем с каждой стопки по одной купюре и вручаем математику его «математическое множество зарплаты». Поясняем математику, что остальные купюры он получит только тогда, когда докажет, что множество без одинаковых элементов не равно множеству с одинаковыми элементами. Вот здесь начнется самое интересное.

    В первую очередь, сработает логика депутатов: «к другим это применять можно, ко мне — низьзя!». Дальше начнутся уверения нас в том, что на купюрах одинакового достоинства имеются разные номера купюр, а значит их нельзя считать одинаковыми элементами. Хорошо, отсчитываем зарплату монетами — на монетах нет номеров. Здесь математик начнет судорожно вспоминать физику: на разных монетах имеется разное количество грязи, кристаллическая структура и расположение атомов у каждой монеты уникально…

    А теперь у меня самый интересный вопрос: где проходит та грань, за которой элементы мультимножества превращаются в элементы множества и наоборот? Такой грани не существует — всё решают шаманы, наука здесь и близко не валялась.

    Вот смотрите. Мы отбираем футбольные стадионы с одинаковой площадью поля. Площадь полей одинакова — значит у нас получилось мультимножество. Но если рассматривать названия этих же стадионов — у нас получается множество, ведь названия разные. Как видите, один и тот же набор элементов одновременно является и множеством, и мультимножеством. Как правильно? А вот здесь математик-шаман-шуллер достает из рукава козырный туз и начинает нам рассказывать либо о множестве, либо о мультимножестве. В любом случае он убедит нас в своей правоте.

    Чтобы понять, как современные шаманы оперируют теорией множеств, привязывая её к реальности, достаточно ответить на один вопрос: чем элементы одного множества отличаются от элементов другого множества? Я вам покажу, без всяких «мыслимое как не единое целое» или «не мыслимое как единое целое».

    воскресенье, 18 марта 2018 г.

    Сумма цифр числа — это пляска шаманов с бубном, которая к математике никакого отношения не имеет. Да, на уроках математики нас учат находить сумму цифр числа и пользоваться нею, но на то они и шаманы, чтобы обучать потомков своим навыкам и премудростям, иначе шаманы просто вымрут.

    Вам нужны доказательства? Откройте Википедию и попробуйте найти страницу «Сумма цифр числа». Её не существует. Нет в математике формулы, по которой можно найти сумму цифр любого числа. Ведь цифры — это графические символы, при помощи которых мы записываем числа и на языке математики задача звучит так: «Найти сумму графических символов, изображающих любое число». Математики эту задачу решить не могут, а вот шаманы — элементарно.

    Давайте разберемся, что и как мы делаем для того, чтобы найти сумму цифр заданного числа. И так, пусть у нас есть число 12345. Что нужно сделать для того, чтобы найти сумму цифр этого числа? Рассмотрим все шаги по порядку.

    1. Записываем число на бумажке. Что же мы сделали? Мы преобразовали число в графический символ числа. Это не математическое действие.

    2. Разрезаем одну полученную картинку на несколько картинок, содержащих отдельные цифры. Разрезание картинки — это не математическое действие.

    3. Преобразовываем отдельные графические символы в числа. Это не математическое действие.

    4. Складываем полученные числа. Вот это уже математика.

    Сумма цифр числа 12345 равна 15. Вот такие вот «курсы кройки и шитья» от шаманов применяют математики. Но это ещё не всё.

    С точки зрения математики не имеет значения, в какой системе счисления мы записываем число. Так вот, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа будет разной. В математике система счисления указывается в виде нижнего индекса справа от числа. С большим числом 12345 я не хочу голову морочить, рассмотрим число 26 из статьи про . Запишем это число в двоичной, восьмеричной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления. Мы не будем рассматривать каждый шаг под микроскопом, это мы уже сделали. Посмотрим на результат.

    Как видите, в разных системах счисления сумма цифр одного и того же числа получается разной. Подобный результат к математике никакого отношения не имеет. Это всё равно, что при определении площади прямоугольника в метрах и сантиметрах вы получали бы совершенно разные результаты.

    Ноль во всех системах счисления выглядит одинаково и суммы цифр не имеет. Это ещё один аргумент в пользу того, что . Вопрос к математикам: как в математике обозначается то, что не является числом? Что, для математиков ничего, кроме чисел, не существует? Для шаманов я могу такое допустить, но для ученых — нет. Реальность состоит не только из чисел.

    Полученный результат следует рассматривать как доказательство того, что системы счисления являются единицами измерения чисел. Ведь мы не можем сравнивать числа с разными единицами измерения. Если одни и те же действия с разными единицами измерения одной и той же величины приводят к разным результатам после их сравнения, значит это не имеет ничего общего с математикой.

    Что же такое настоящая математика? Это когда результат математического действия не зависит от величины числа, применяемой единицы измерения и от того, кто это действие выполняет.

    Табличка на двери Открывает дверь и говорит:

    Ой! А это разве не женский туалет?
    — Девушка! Это лаборатория по изучению индефильной святости душ при вознесении на небеса! Нимб сверху и стрелочка вверх. Какой еще туалет?

    Женский… Нимб сверху и стрелочка вниз — это мужской.

    Если у вас перед глазами несколько раз в день мелькает вот такое вот произведение дизайнерского искусства,

    Тогда не удивительно, что в своем автомобиле вы вдруг обнаруживаете странный значок:

    Лично я делаю над собой усилие, чтобы в какающем человеке (одна картинка), увидеть минус четыре градуса (композиция из нескольких картинок: знак минус, цифра четыре, обозначение градусов). И я не считаю эту девушку дурой, не знающей физику. Просто у неё дугой стереотип восприятия графических образов. И математики нас этому постоянно учат. Вот пример.

    1А — это не «минус четыре градуса» или «один а». Это «какающий человек» или число «двадцать шесть» в шестнадцатеричной системе счисления. Те люди, которые постоянно работают в этой системе счисления, автоматически воспринимают цифру и букву как один графический символ.

Таблица косинусов от 0 до 180 градусов. Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

Прежде всего напомню простой, но очень полезный вывод из урока «Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс?»

Вот этот вывод:

Синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны со своими углами. Знаем одно — значит, знаем и другое.

Другими словами, у каждого угла есть свой неизменный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Почему почти? Об этом ниже.

Это знание здорово помогает в учёбе! Существует масса заданий, где требуется перейти от синусов к углам и наоборот. Для этого существует таблица синусов. Аналогично, для заданий с косинусом — таблица косинусов. И, как вы уже догадались, существует таблица тангенсов и таблица котангенсов. )

Таблицы бывают разные. Длинные, где можно посмотреть, чему равен, скажем, sin37°6’. Раскрываем таблицы Брадиса, ищем угол тридцать семь градусов шесть минут и видим значение 0,6032. Понятное дело, запоминать это число (и тысячи других табличных значений) совершенно не требуется.

В сущности, в наше время длинные таблицы косинусов синусов тангенсов котангенсов не особо-то и нужны. Один хороший калькулятор заменяет их полностью. Но знать о существовании таких таблиц не мешает. Для общей эрудиции.)

И зачем тогда этот урок?! — спросите вы.

А вот зачем. Среди бесконечного количества углов существуют особые, о которых вы должны знать всё . На этих углах построена вся школьная геометрия и тригонометрия. Это, своего рода, «таблица умножения» тригонометрии. Если вы не знаете, чему равен, например, sin50°, никто вас не осудит.) Но если вы не знаете, чему равен sin30°, будьте готовы получить заслуженную двойку…

Таких особых углов тоже прилично набирается. Школьные учебники обычно любезно предлагают к запоминанию таблицу синусов и таблицу косинусов для семнадцати углов. Ну и, разумеется, таблицу тангенсов и таблицу котангенсов для тех же семнадцати углов. .. Т.е. предлагается запомнить 68 значений. Которые, между прочим, очень похожи между собой, то и дело повторяются и меняют знаки. Для человека без идеальной зрительной памяти — та ещё задачка…)

Мы пойдём другим путём. Заменим механическое запоминание на логику и смекалку. Тогда нам придётся зазубрить 3 (три!) значения для таблицы синусов и таблицы косинусов. И 3 (три!) значения для таблицы тангенсов и таблицы котангенсов. И всё. Шесть значений запомнить легче, чем 68, мне кажется…)

Все остальные необходимые значения мы будем получать из этих шести с помощью мощной законной шпаргалки — тригонометрического круга. Если вы не изучали эту тему, сходите по ссылочке, не ленитесь. Этот круг не только для этого урока нужен. Он незаменим для всей тригонометрии сразу . Не пользоваться таким инструментом просто грех! Не хотите? Дело ваше. Заучивайте таблицу синусов. Таблицу косинусов. Таблицу тангенсов. Таблицу котангенсов. Все 68 значений для разнообразных углов. )

Итак, начнём. Для начала разобьём все эти особые углы на три группы.

Первая группа углов.

Рассмотрим первую группа углов из семнадцати особых . Это 5 углов: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Вот так выглядит таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов:

Угол х


(в градусах)

0

90

180

270

360

Угол х


(в радианах)

0

sin x

0

1

0

-1

0

cos x

1

0

-1

0

1

tg x

0

не сущ.

0

не сущ.

0

ctg x

не сущ.

0

не сущ.

0

не сущ.

Желающие запомнить — запоминайте. Но сразу скажу, что все эти единички и нолики очень путаются в голове. Гораздо сильнее, чем хочется.) Поэтому включаем логику и тригонометрический круг.

Рисуем круг и отмечаем на нём эти самые углы: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Я эти углы отметил красными точками:

Сразу видно, в чём особенность этих углов. Да! Это углы, которые попадают точно на оси координат! Собственно, поэтому-то и путается народ… Но мы путаться не будем. Разберёмся, как находить тригонометрические функции этих углов без особого запоминания.

Кстати, положение угла в 0 градусов полностью совпадает с положением угла в 360 градусов. Это значит, что синусы, косинусы, тангенсы у этих углов совершенно одинаковы. Угол в 360 градусов я отметил, чтобы замкнуть круг.

Предположим, в сложной стрессовой обстановке ЕГЭ вы как-то засомневались… Чему равен синус 0 градусов? Вроде ноль… А вдруг единица?! Механическое запоминание такая штука. В суровых условиях сомнения грызть начинают…)

Спокойствие, только спокойствие!) Я подскажу вам практический приём, который выдаст стопроцентно правильный ответ и начисто уберёт все сомнения.

В качестве примера разберёмся, как чётко и надёжно определить, скажем, синус 0 градусов. А заодно, и косинус 0. Именно в этих значениях, как ни странно, частенько люди путаются.

Для этого на круге нарисуем произвольный угол х . В первой четверти, чтобы недалеко от 0 градусов было. Отметим на осях синус и косинус этого угла х, всё чин-чинарём. Вот так:

А теперь — внимание! Уменьшим угол х , приблизим подвижную сторону к оси ОХ. Наведите курсор на картинку (или коснитесь картинки на планшете) и всё увидите.

Теперь включаем элементарную логику!. Смотрим и размышляем: как ведёт себя sinx при уменьшении угла х? При приближении угла к нулю? Он уменьшается! А cosx — увеличивается! Остаётся сообразить, что станет с синусом, когда угол схлопнется совсем? Когда подвижная сторона угла (точка А) уляжется на ось ОХ и угол станет равным нулю? Очевидно, и синус угла уйдёт в ноль. А косинус увеличится до… до… Чему равна длина подвижной стороны угла (радиус тригонометрического круга)? Единице!

Вот и ответ. Синус 0 градусов равен 0. Косинус 0 градусов равен 1. Совершенно железно и безо всяких сомнений!) Просто потому, что иначе быть не может.

Совершенно аналогично можно узнать (или уточнить) синус 270 градусов, например. Или косинус 180. Нарисовать круг, произвольный угол в четверти рядышком с интересующей нас осью координат, мысленно подвигать сторону угла и уловить, чем станет синус и косинус, когда сторона угла уляжется на ось. Вот и всё.

Как видите, для этой группы углов ничего заучивать не надо. Не нужна здесь таблица синусов… Да и таблица косинусов — тоже.) Кстати, после нескольких применений тригонометрического круга все эти значения запомнятся сами по себе. А если забудутся — нарисовал за 5 секунд круг и уточнил. Куда проще, чем звонить другу из туалета с риском для аттестата, правда?)

Что касается тангенса и котангенса — всё то же самое. Рисуем на круге линию тангенса (котангенса) — и всё сразу видно. Где они равны нулю, а где — не существуют. Что, не знаете про линии тангенса и котангенса? Это печально, но поправимо.) Посетили Раздел 555 Тангенс и котангенс на тригонометрическом круге — и нет проблем!

Если вы поняли, как чётко определить синус, косинус, тангенс и котангенс для этих пяти углов — я вас поздравляю! На всякий случай сообщаю, что вы теперь можете определять функции любых углов, попадающих на оси. А это и 450°, и 540°, и 1800°, и ещё бесконечное количество. ..) Отсчитал (правильно!) угол на круге — и нет проблем с функциями.

Но, как раз, с отсчётом углов и случаются проблемы да ошибки… Как их избежать, написано в уроке: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в градусах. Элементарно, но очень помогает в борьбе с ошибками.)

А вот урок: Как нарисовать (отсчитать) любой угол на тригонометрическом круге в радианах — покруче будет. В смысле возможностей. Скажем, определить на какую из четырёх полуосей попадает угол

вы сможете за пару секунд. Я не шучу! Именно за пару секунд. Ну конечно, не только 345 «пи»…) И 121, и 16, и -1345. Любой целый коэффициент годится для мгновенного ответа.

А если угол

Подумаешь! Верный ответ получается секунд за 10. Для любого дробного значения радианов с двойкой в знаменателе.

Собственно, этим и хорош тригонометрический круг. Тем, что умение работать с некоторыми углами он автоматически расширяет на бесконечное множество углов.

Итак, с пятью углами из семнадцати — разобрались.

Вторая группа углов.

Следующая группа углов — это углы 30°, 45° и 60°. Почему именно эти, а не, к примеру, 20, 50 и 80? Да как-то сложилось так… Исторически.) Дальше будет видно, чем хороши эти углы.

Таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов выглядит так:

Угол х


(в градусах)

0

30

45

60

90

Угол х


(в радианах)

0

sin x

0

1

cos x

1

0

tg x

0

1

не сущ.

ctg x

не сущ.

1

0

Я оставил значения для 0° и 90° из предыдущей таблицы для завершённости картины.) Чтобы было видно, что эти углы лежат в первой четверти и возрастают. От 0 до 90. Это пригодится нам дальше.

Значения таблицы для углов 30°, 45° и 60° надо запомнить. Зазубрить, если хотите. Но и здесь есть возможность облегчить себе жизнь.) Обратите внимание на значения таблицы синусов этих углов. И сравните со значениями таблицы косинусов…

Да! Они одни и те же! Только расположены в обратном порядке. Углы возрастают (0, 30, 45, 60, 90) — и значения синуса возрастают от 0 до 1. Можете убедиться с калькулятором. А значения косинуса — убывают от 1 до нуля. Причём, сами значения одни и те же. Для углов 20, 50, 80 так бы не получилось…

Отсюда полезный вывод. Достаточно выучить три значения для углов 30, 45, 60 градусов. И помнить, что у синуса они возрастают, а у косинуса — убывают. Навстречу синусу.) На половине пути (45°) они встречаются, т.е синус 45 градусов равен косинусу 45 градусов. А дальше опять расходятся… Три значения можно выучить, правда?

С тангенсами — котангенсами картина исключительно та же самая. Один в один. Только значения другие. Эти значения (ещё три!) тоже надо выучить.

Ну вот, практически всё запоминание и закончилось. Вы поняли (надеюсь), как определять значения для пяти углов попадающих на оси и выучили значения для углов 30, 45, 60 градусов. Всего 8.

Осталось разобраться с последней группой из 9 углов.

Вот эти углы:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Для этих углов надо железно знать таблицу синусов, таблицу косинусов и т.д.

Кошмар, правда?)

А если добавить сюда углы, типа: 405°, 600°, или 3000° и много-много такого же красивого?)

Или углы в радианах? Например, про углы:

и многие другие, вы должны знать всё . °}=\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos⁡\)\(\frac{π}{3}\) \(=\)\(\frac{1}{2}\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Аргумент и значение

Косинус острого угла

Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

Пример :

1) Пусть дан угол и нужно определить косинус этого угла.


2) Достроим на этом угле любой прямоугольный треугольник.


3) Измерив, нужные стороны, можем вычислить косинус.



Косинус острого угла больше \(0\) и меньше \(1\)

Если при решении задачи косинус острого угла получился больше 1 или отрицательным, то значит где-то в решении есть ошибка.

Косинус числа

Числовая окружность позволяет определить косинус любого числа, но обычно находят косинус чисел как-то связанных с : \(\frac{π}{2}\) , \(\frac{3π}{4}\) , \(-2π\).

Например, для числа \(\frac{π}{6}\) — косинус будет равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) . А для числа \(-\)\(\frac{3π}{4}\) он будет равен \(-\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) (приблизительно \(-0,71\)).


Косинус для других часто встречающихся в практике чисел смотри в .

Значение косинуса всегда лежит в пределах от \(-1\) до \(1\). При этом вычислен косинус может быть для абсолютно любого угла и числа.

Косинус любого угла

Благодаря числовой окружности можно определять косинус не только острого угла, но и тупого, отрицательного, и даже большего, чем \(360°\) (полный оборот). Как это делать — проще один раз увидеть, чем \(100\) раз услышать, поэтому смотрите картинку.


Теперь пояснение: пусть нужно определить косинус угла КОА с градусной мерой в \(150°\). Совмещаем точку О с центром окружности, а сторону ОК – с осью \(x\). После этого откладываем \(150°\) против часовой стрелки. Тогда ордината точки А покажет нам косинус этого угла.

Если же нас интересует угол с градусной мерой, например, в \(-60°\) (угол КОВ ), делаем также, но \(60°\) откладываем по часовой стрелке.


И, наконец, угол больше \(360°\) (угол КОС ) — всё аналогично тупому, только пройдя по часовой стрелке полный оборот, отправляемся на второй круг и «добираем нехватку градусов». Конкретно в нашем случае угол \(405°\) отложен как \(360° + 45°\).


Несложно догадаться, что для откладывания угла, например, в \(960°\), надо сделать уже два оборота (\(360°+360°+240°\)), а для угла в \(2640°\) — целых семь.

Стоит запомнить, что:

Косинус прямого угла равен нулю. Косинус тупого угла — отрицателен.

Знаки косинуса по четвертям

С помощью оси косинусов (то есть, оси абсцисс, выделенной на рисунке красным цветом) легко определить знаки косинусов по числовой (тригонометрической) окружности:

Там, где значения на оси от \(0\) до \(1\), косинус будет иметь знак плюс (I и IV четверти – зеленая область),
— там, где значения на оси от \(0\) до \(-1\), косинус будет иметь знак минус (II и III четверти – фиолетовая область). 2⁡x}\)
— и синусом того же угла (или числа): формулой \(ctgx=\)\(\frac{\cos{x}}{\sin⁡x}\)
Другие наиболее часто применяемые формулы смотри .

Функция \(y=\cos{x}\)

Если отложить по оси \(x\) углы в радианах, а по оси \(y\) — соответствующие этим углам значения косинуса, мы получим следующий график:


График данной называется и обладает следующими свойствами:

Область определения – любое значение икса: \(D(\cos{⁡x})=R\)
— область значений – от \(-1\) до \(1\) включительно: \(E(\cos{x})=[-1;1]\)
— четная: \(\cos⁡(-x)=\cos{x}\)
— периодическая с периодом \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos{x}\)
— точки пересечения с осями координат:
ось абсцисс: \((\)\(\frac{π}{2}\) \(+πn\),\(;0)\), где \(n ϵ Z\)
ось ординат: \((0;1)\)
— промежутки знакопостоянства:
функция положительна на интервалах: \((-\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πn;\) \(\frac{π}{2}\) \(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция отрицательна на интервалах: \((\)\(\frac{π}{2}\) \(+2πn;\)\(\frac{3π}{2}\) \(+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— промежутки возрастания и убывания:
функция возрастает на интервалах: \((π+2πn;2π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
функция убывает на интервалах: \((2πn;π+2πn)\), где \(n ϵ Z\)
— максимумы и минимумы функции:
функция имеет максимальное значение \(y=1\) в точках \(x=2πn\), где \(n ϵ Z\)
функция имеет минимальное значение \(y=-1\) в точках \(x=π+2πn\), где \(n ϵ Z\).

Таблица синусов углов, вычислить синус угла

Она содержит рассчитанные значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов углов, начиная с 0° до 360°. Воспользовавшись таблицей тригонометрических функций, можно производить расчеты и без инженерного калькулятора. В таблице можно легко найти значение тригонометрических функций от заданного Вам угла.

Как известно, прямоугольный треугольник имеет три угла, два катета и гипотенузу. Отношения сторон выражаются некоторыми числами. Отношение величины противолежащего от острого угла катета к величине гипотенузы называется синусом угла.

Для того, чтобы найти синус заданного угла, достаточно просто воспользоваться таблицей тригонометрических функций. В данной таблице помещены величины синусов всех углов, начиная с 0° до 360°. При решении многих задач требуется найти величину стороны треугольника, если известны противолежащий угол и гипотенуза. Воспользовавшись таблицей, находим синус угла, а потом требуемую сторону. Онлайн калькулятор вам поможет быстро и правильно совершить необходимые расчеты. Для этого вам потребуется лишь внести исходные данные.

sin (1°) 0,017452
sin (2°) 0,034899
sin (3°) 0,052336
sin (4°) 0,069756
sin (5°) 0,087156
sin (6°) 0,104528
sin (7°) 0,121869
sin (8°) 0,139173
sin (9°) 0,156434
sin (10°) 0,173648
sin (11°) 0,190809
sin (12°) 0,207912
sin (13°) 0,224951
sin (14°) 0,241922
sin (15°) 0,258819
sin (16°) 0,275637
sin (17°) 0,292372
sin (18°) 0,309017
sin (19°) 0,325568
sin (20°) 0,342020
sin (21°) 0,358368
sin (22°) 0,374607
sin (23°) 0,390731
sin (24°) 0,406737
sin (25°) 0,422618
sin (26°) 0,438371
sin (27°) 0,453990
sin (28°) 0,469472
sin (29°) 0,484810
sin (30°) 0,5
sin (31°) 0,515038
sin (32°) 0,529919
sin (33°) 0,544639
sin (34°) 0,559193
sin (35°) 0,573576
sin (36°) 0,587785
sin (37°) 0,601815
sin (38°) 0,615661
sin (39°) 0,629320
sin (40°) 0,642788
sin (41°) 0,656059
sin (42°) 0,669131
sin (43°) 0,681998
sin (44°) 0,694658
sin (45°) 0,707107
sin (46°) 0,719340
sin (47°) 0,731354
sin (48°) 0,743145
sin (49°) 0,754710
sin (50°) 0,766044
sin (51°) 0,777146
sin (52°) 0,788011
sin (53°) 0,798636
sin (54°) 0,809017
sin (55°) 0,819152
sin (56°) 0,829038
sin (57°) 0,838671
sin (58°) 0,848048
sin (59°) 0,857167
sin (60°) 0,866025
sin (61°) 0,874620
sin (62°) 0,882948
sin (63°) 0,891007
sin (64°) 0,898794
sin (65°) 0,906308
sin (66°) 0,913545
sin (67°) 0,920505
sin (68°) 0,927184
sin (69°) 0,933580
sin (70°) 0,939693
sin (71°) 0,945519
sin (72°) 0,951057
sin (73°) 0,956305
sin (74°) 0,961262
sin (75°) 0,965926
sin (76°) 0,970296
sin (77°) 0,974370
sin (78°) 0,978148
sin (79°) 0,981627
sin (80°) 0,984808
sin (81°) 0,987688
sin (82°) 0,990268
sin (83°) 0,992546
sin (84°) 0,994522
sin (85°) 0,996195
sin (86°) 0,997564
sin (87°) 0,998630
sin (88°) 0,999391
sin (89°) 0,999848
sin (90°) 1
sin (91°) 0,999848
sin (92°) 0,999391
sin (93°) 0,998630
sin (94°) 0,997564
sin (95°) 0,996195
sin (96°) 0,994522
sin (97°) 0,992546
sin (98°) 0,990268
sin (99°) 0,987688
sin (100°) 0,984808
sin (101°) 0,981627
sin (102°) 0,978148
sin (103°) 0,974370
sin (104°) 0,970296
sin (105°) 0,965926
sin (106°) 0,961262
sin (107°) 0,956305
sin (108°) 0,951057
sin (109°) 0,945519
sin (110°) 0,939693
sin (111°) 0,933580
sin (112°) 0,927184
sin (113°) 0,920505
sin (114°) 0,913545
sin (115°) 0,906308
sin (116°) 0,898794
sin (117°) 0,891007
sin (118°) 0,882948
sin (119°) 0,874620
sin (120°) 0,866025
sin (121°) 0,857167
sin (122°) 0,848048
sin (123°) 0,838671
sin (124°) 0,829038
sin (125°) 0,819152
sin (126°) 0,809017
sin (127°) 0,798636
sin (128°) 0,788011
sin (129°) 0,777146
sin (130°) 0,766044
sin (131°) 0,754710
sin (132°) 0,743145
sin (133°) 0,731354
sin (134°) 0,719340
sin (135°) 0,707107
sin (136°) 0,694658
sin (137°) 0,681998
sin (138°) 0,669131
sin (139°) 0,656059
sin (140°) 0,642788
sin (141°) 0,629320
sin (142°) 0,615661
sin (143°) 0,601815
sin (144°) 0,587785
sin (145°) 0,573576
sin (146°) 0,559193
sin (147°) 0,544639
sin (148°) 0,529919
sin (149°) 0,515038
sin (150°) 0,5
sin (151°) 0,48481
sin (152°) 0,469472
sin (153°) 0,453990
sin (154°) 0,438371
sin (155°) 0,422618
sin (156°) 0,406737
sin (157°) 0,390731
sin (158°) 0,374607
sin (159°) 0,358368
sin (160°) 0,342020
sin (161°) 0,325568
sin (162°) 0,309017
sin (163°) 0,292372
sin (164°) 0,275637
sin (165°) 0,258819
sin (166°) 0,241922
sin (167°) 0,224951
sin (168°) 0,207912
sin (169°) 0,190809
sin (170°) 0,173648
sin (171°) 0,156434
sin (172°) 0,139173
sin (173°) 0,121869
sin (174°) 0,104528
sin (175°) 0,087156
sin (176°) 0,069756
sin (177°) 0,052336
sin (178°) 0,034899
sin (179°) 0,017452
sin (180°) 0
sin (181°) -0,017452
sin (182°) -0,034899
sin (183°) -0,052336
sin (184°) -0,069756
sin (185°) -0,087156
sin (186°) -0,104528
sin (187°) -0,121869
sin (188°) -0,139173
sin (189°) -0,156434
sin (190°) -0,173648
sin (191°) -0,190809
sin (192°) -0,207912
sin (193°) -0,224951
sin (194°) -0,241922
sin (195°) -0,258819
sin (196°) -0,275637
sin (197°) -0,292372
sin (198°) -0,309017
sin (199°) -0,325568
sin (200°) -0,342020
sin (201°) -0,358368
sin (202°) -0,374607
sin (203°) -0,390731
sin (204°) -0,406737
sin (205°) -0,422618
sin (206°) -0,438371
sin (207°) -0,453990
sin (208°) -0,469472
sin (209°) -0,484810
sin (210°) -0,5
sin (211°) -0,515038
sin (212°) -0,529919
sin (213°) -0,544639
sin (214°) -0,559193
sin (215°) -0,573576
sin (216°) -0,587785
sin (217°) -0,601815
sin (218°) -0,615661
sin (219°) -0,629320
sin (220°) -0,642788
sin (221°) -0,656059
sin (222°) -0,669131
sin (223°) -0,681998
sin (224°) -0,694658
sin (225°) -0,707107
sin (226°) -0,719340
sin (227°) -0,731354
sin (228°) -0,743145
sin (229°) -0,754710
sin (230°) -0,766044
sin (231°) -0,777146
sin (232°) -0,788011
sin (233°) -0,798636
sin (234°) -0,809017
sin (235°) -0,819152
sin (236°) -0,829038
sin (237°) -0,838671
sin (238°) -0,848048
sin (239°) -0,857167
sin (240°) -0,866025
sin (241°) -0,874620
sin (242°) -0,882948
sin (243°) -0,891007
sin (244°) -0,898794
sin (245°) -0,906308
sin (246°) -0,913545
sin (247°) -0,920505
sin (248°) -0,927184
sin (249°) -0,933580
sin (250°) -0,939693
sin (251°) -0,945519
sin (252°) -0,951057
sin (253°) -0,956305
sin (254°) -0,961262
sin (255°) -0,965926
sin (256°) -0,970296
sin (257°) -0,974370
sin (258°) -0,978148
sin (259°) -0,981627
sin (260°) -0,984808
sin (261°) -0,987688
sin (262°) -0,990268
sin (263°) -0,992546
sin (264°) -0,994522
sin (265°) -0,996195
sin (266°) -0,997564
sin (267°) -0,998630
sin (268°) -0,999391
sin (269°) -0,999848
sin (270°) -1
sin (271°) -0,999848
sin (272°) -0,999391
sin (273°) -0,998630
sin (274°) -0,997564
sin (275°) -0,996195
sin (276°) -0,994522
sin (277°) -0,992546
sin (278°) -0,990268
sin (279°) -0,987688
sin (280°) -0,984808
sin (281°) -0,981627
sin (282°) -0,978148
sin (283°) -0,974370
sin (284°) -0,970296
sin (285°) -0,965926
sin (286°) -0,961262
sin (287°) -0,956305
sin (288°) -0,951057
sin (289°) -0,945519
sin (290°) -0,939693
sin (291°) -0,933580
sin (292°) -0,927184
sin (293°) -0,920505
sin (294°) -0,913545
sin (295°) -0,906308
sin (296°) -0,898794
sin (297°) -0,891007
sin (298°) -0,882948
sin (299°) -0,874620
sin (300°) -0,866025
sin (301°) -0,857167
sin (302°) -0,848048
sin (303°) -0,838671
sin (304°) -0,829038
sin (305°) -0,819152
sin (306°) -0,809017
sin (307°) -0,798636
sin (308°) -0,788011
sin (309°) -0,777146
sin (310°) -0,766044
sin (311°) -0,754710
sin (312°) -0,743145
sin (313°) -0,731354
sin (314°) -0,719340
sin (315°) -0,707107
sin (316°) -0,694658
sin (317°) -0,681998
sin (318°) -0,669131
sin (319°) -0,656059
sin (320°) -0,642788
sin (321°) -0,629320
sin (322°) -0,615661
sin (323°) -0,601815
sin (324°) -0,587785
sin (325°) -0,573576
sin (326°) -0,559193
sin (327°) -0,544639
sin (328°) -0,529919
sin (329°) -0,515038
sin (330°) -0,5
sin (331°) -0,484810
sin (332°) -0,469472
sin (333°) -0,453990
sin (334°) -0,438371
sin (335°) -0,422618
sin (336°) -0,406737
sin (337°) -0,390731
sin (338°) -0,374607
sin (339°) -0,358368
sin (340°) -0,342020
sin (341°) -0,325568
sin (342°) -0,309017
sin (343°) -0,292372
sin (344°) -0,275637
sin (345°) -0,258819
sin (346°) -0,241922
sin (347°) -0,224951
sin (348°) -0,207912
sin (349°) -0,190809
sin (350°) -0,173648
sin (351°) -0,156434
sin (352°) -0,139173
sin (353°) -0,121869
sin (354°) -0,104528
sin (355°) -0,087156
sin (356°) -0,069756
sin (357°) -0,052336
sin (358°) -0,034899
sin (359°) -0,017452
sin (360°) 0

Таблица основных значений синусов косинусов тангенсов котангенсов – Telegraph

Таблица основных значений синусов косинусов тангенсов котангенсов

Таблицы значений тригонометрических функций.

=== Скачать файл ===

Тригонометрическая таблица

Таблица Брадиса: синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы

К этой теме имеются дополнительные материалы в Особом разделе Для тех, кто сильно ‘не очень Прежде всего напомню простой, но очень полезный вывод из урока ‘Что такое синус и косинус? Что такое тангенс и котангенс? Синус, косинус, тангенс и котангенс накрепко связаны со своими углами. Знаем одно — значит, знаем и другое. Другими словами, у каждого угла есть свой неизменный синус и косинус. И почти у каждого — свой тангенс и котангенс. Это знание здорово помогает в учёбе! Существует масса заданий, где требуется перейти от синусов к углам и наоборот. Для этого существует таблица синусов. Аналогично, для заданий с косинусом — таблица косинусов. И, как вы уже догадались, существует таблица тангенсов и таблица котангенсов. Раскрываем таблицы Брадиса, ищем угол тридцать семь градусов шесть минут и видим значение 0, Понятное дело, запоминать это число и тысячи других табличных значений совершенно не требуется. В сущности, в наше время длинные таблицы косинусов синусов тангенсов котангенсов не особо-то и нужны. Один хороший калькулятор заменяет их полностью. Но знать о существовании таких таблиц не мешает. Среди бесконечного количества углов существуют особые, о которых вы должны знать всё. На этих углах построена вся школьная геометрия и тригонометрия. Это, своего рода, ‘таблица умножения’ тригонометрии. Таких особых углов тоже прилично набирается. Школьные учебники обычно любезно предлагают к запоминанию таблицу синусов и таблицу косинусов для семнадцати углов. Ну и, разумеется, таблицу тангенсов и таблицу котангенсов для тех же семнадцати углов Которые, между прочим, очень похожи между собой, то и дело повторяются и меняют знаки. Для человека без идеальной зрительной памяти — та ещё задачка Мы пойдём другим путём. Заменим механическое запоминание на логику и смекалку. Тогда нам придётся зазубрить 3 три! Шесть значений запомнить легче, чем 68, мне кажется Все остальные необходимые значения мы будем получать из этих шести с помощью мощной законной шпаргалки — тригонометрического круга. Если вы не изучали эту тему, сходите по ссылочке, не ленитесь. Этот круг не только для этого урока нужен. Он незаменим для всей тригонометрии сразу. Не пользоваться таким инструментом просто грех! Все 68 значений для разнообразных углов. Рассмотрим первую группа углов из семнадцати особых. Желающие запомнить — запоминайте. Но сразу скажу, что все эти единички и нолики очень путаются в голове. Гораздо сильнее, чем хочется. Поэтому включаем логику и тригонометрический круг. Рисуем круг и отмечаем на нём эти самые углы: Я эти углы отметил красными точками:. Сразу видно, в чём особенность этих углов. Это углы, которые попадают точно на оси координат! Собственно, поэтому-то и путается народ Но мы путаться не будем. Разберёмся, как находить тригонометрические функции этих углов без особого запоминания. Кстати, положение угла в 0 градусов полностью совпадает с положением угла в градусов. Это значит, что синусы, косинусы, тангенсы у этих углов совершенно одинаковы. Угол в градусов я отметил, чтобы замкнуть круг. Предположим, в сложной стрессовой обстановке ЕГЭ вы как-то засомневались Чему равен синус 0 градусов? Механическое запоминание такая штука. В суровых условиях сомнения грызть начинают Я подскажу вам практический приём, который выдаст стопроцентно правильный ответ и начисто уберёт все сомнения. В качестве примера разберёмся, как чётко и надёжно определить, скажем, синус 0 градусов. А заодно, и косинус 0. Именно в этих значениях, как ни странно, частенько люди путаются. Для этого на круге нарисуем произвольный угол х. В первой четверти, чтобы недалеко от 0 градусов было. Отметим на осях синус и косинус этого угла х, всё чин-чинарём. А теперь — внимание! Уменьшим угол х , приблизим подвижную сторону к оси ОХ. Наведите курсор на картинку или коснитесь картинки на планшете и всё увидите. Теперь включаем элементарную логику!. При приближении угла к нулю? А cosx — увеличивается! Остаётся сообразить, что станет с синусом, когда угол схлопнется совсем? Когда подвижная сторона угла точка А уляжется на ось ОХ и угол станет равным нулю? Очевидно, и синус угла уйдёт в ноль. А косинус увеличится до Чему равна длина подвижной стороны угла радиус тригонометрического круга? Синус 0 градусов равен 0. Косинус 0 градусов равен 1. Совершенно железно и безо всяких сомнений! Просто потому, что иначе быть не может. Совершенно аналогично можно узнать или уточнить синус градусов, например. Нарисовать круг, произвольный угол в четверти рядышком с интересующей нас осью координат, мысленно подвигать сторону угла и уловить, чем станет синус и косинус, когда сторона угла уляжется на ось. Как видите, для этой группы углов ничего заучивать не надо. Не нужна здесь таблица синусов Да и таблица косинусов — тоже. Кстати, после нескольких применений тригонометрического круга все эти значения запомнятся сами по себе. А если забудутся — нарисовал за 5 секунд круг и уточнил. Куда проще, чем звонить другу из туалета с риском для аттестата, правда? Что касается тангенса и котангенса — всё то же самое. Рисуем на круге линию тангенса котангенса — и всё сразу видно. Где они равны нулю, а где — не существуют. Что, не знаете про линии тангенса и котангенса? Это печально, но поправимо. Посетили Раздел Тангенс и котангенс на тригонометрическом круге — и нет проблем! Если вы поняли, как чётко определить синус, косинус, тангенс и котангенс для этих пяти углов — я вас поздравляю! На всякий случай сообщаю, что вы теперь можете определять функции любых углов, попадающих на оси. Но, как раз, с отсчётом углов и случаются проблемы да ошибки Как их избежать, написано в уроке: Как нарисовать отсчитать любой угол на тригонометрическом круге в градусах. Элементарно, но очень помогает в борьбе с ошибками. Как нарисовать отсчитать любой угол на тригонометрическом круге в радианах — покруче будет. Скажем, определить на какую из четырёх полуосей попадает угол. Именно за пару секунд. Ну конечно, не только ‘пи’ И , и 16, и Любой целый коэффициент годится для мгновенного ответа. Верный ответ получается секунд за Для любого дробного значения радианов с двойкой в знаменателе. Собственно, этим и хорош тригонометрический круг. Тем, что умение работать с некоторыми углами он автоматически расширяет на бесконечное множество углов. Почему именно эти, а не, к примеру, 20, 50 и 80? Да как-то сложилось так Дальше будет видно, чем хороши эти углы. Чтобы было видно, что эти углы лежат в первой четверти и возрастают. От 0 до Это пригодится нам дальше. Но и здесь есть возможность облегчить себе жизнь. Обратите внимание на значения таблицы синусов этих углов. И сравните со значениями таблицы косинусов Они одни и те же! Только расположены в обратном порядке. Углы возрастают 0, 30, 45, 60, 90 — и значения синуса возрастают от 0 до 1. Можете убедиться с калькулятором. А значения косинуса — убывают от 1 до нуля. Причём, сами значения одни и те же. Для углов 20, 50, 80 так бы не получилось Достаточно выучить три значения для углов 30, 45, 60 градусов. И помнить, что у синуса они возрастают, а у косинуса — убывают. А дальше опять расходятся Три значения можно выучить, правда? С тангенсами — котангенсами картина исключительно та же самая. Эти значения ещё три! Ну вот, практически всё запоминание и закончилось. Вы поняли надеюсь , как определять значения для пяти углов попадающих на оси и выучили значения для углов 30, 45, 60 градусов. Для этих углов надо железно знать таблицу синусов, таблицу косинусов и т. Самое забавное, что знать это всё — невозможно в принципе. Если использовать механическую память. И очень легко, фактически элементарно — если использовать тригонометрический круг. Если вы освоите практическую работу с тригонометрическим кругом, все эти ужасные углы в градусах будут легко и элегантно сводиться к старым добрым:. Плюс к тому, умение рисовать углы на круге позволяет элементарно разобраться с последней, третьей группой углов. Как и таблица тангенсов-котангенсов. Все тайны последней, третьей группы особенных углов и секреты уверенной работы с ними — в следующем уроке. Перевод градусов в радианы и обратно. Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом! А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными. Hовое на сайте В разделе Решение задач на формулу n-го члена. Основа для решения заданий. Способы решения, приёмы упрощения, ловушки в заданиях. Что такое математическая модель? Как решать дробные уравнения? Содержание сайта Раздел 1. Таблица тангенсов и котангенсов. И зачем тогда этот урок?! Для начала разобьём все эти особые углы на три группы. Вот так выглядит таблица синусов косинусов тангенсов котангенсов для этих углов: Угол х в градусах. Копирование материалов разрешается только при указании работающей ссылки на этот сайт. Иное использование материалов допускается с разрешения автора. Нарушение авторских прав влечёт за собой административную и уголовную ответственность в соответствии с законодательством Российской Федерации.

Мичуринск сочи расписание поездов

Вязание пледа из остатков пряжи

Инструкция по охране труда для работников офиса

Сколько выдерживать вино на дубовой щепе

Карта троллейбусов екатеринбург

Как наказать девушку за непослушание

Войны после второй мировой войны таблица

Геосибирь 2015 сборник статей

Древняя история ставрополя

55 грамм это сколько столовых ложек

Расписание занятий пашковский колледж

Потеря тяги двигателя причины

Стихи с днем свадьбы годовщина

Где можно отдохнуть в минске недорого

Winter balls enabled перевод

Заявление о доступе к личному кабинету налогоплательщика

Шапка для новорожденного крючком схема и описание

Разобрать слова по составу смелость

Сколько калорий в салате с пекинской капустой

Новости руки вверх

Что такое синус, косинус и тангенс?

Знаете ли вы, что сказали друг другу два угла, живущие внутри одного и того же прямоугольного треугольника? Первый ракурс звучит так: «Эй, Тельма (или это Тета?), я не хочу отклоняться от темы, но какой у тебя синус?» На что второй угол отвечает: «Фил (или это Фи?), я не знаю, почему ты вообще спрашиваешь, мой синус, очевидно, совпадает с твоим косинусом!»

Ладно, возможно, это не самая лучшая шутка в мире, но как только вы понимаете синусы и косинусы, это довольно забавно. Конечно, это означает, что если вы не не знаешь разницы между синусом и косинусом, ты в настоящее время остаешься в метафорическом холоде.

Очевидно, мы не можем этого допустить — и не позволим! Потому что сегодня мы узнаем все о синусе, косинусе и тангенсе.

Резюме: тригонометрия и треугольники

Когда мы говорили о мире тригонометрии, мы узнали, что часть математики, называемая тригонометрией, имеет дело с треугольниками. И, в частности, это та часть математики, которая занимается выяснением отношений между тремя сторонами и тремя углами, составляющими каждый треугольник.

Особый интерес для нас представляет особый тип треугольников, известный как прямоугольные треугольники. У каждого прямоугольного треугольника есть один угол в 90 градусов (например, угол квадрата или прямоугольника) и два угла, каждый из которых находится в диапазоне от большего, чем 0 градусов, до меньшего, чем 90 градусов (при этом, как мы поговорим в будущем, сумма всех трех углов равна 180 градусов).

Для нашего обсуждения синуса, косинуса и тангенса (которые, не волнуйтесь, не так сложны, как кажутся), важно, чтобы у нас был способ обозначать стороны прямоугольных треугольников.

Как мы узнали в прошлый раз, самая длинная сторона треугольника называется его «гипотенуза». Сторона, противоположная углу, на который мы смотрим, известна как «противоположная» сторона (логически). А сторона, примыкающая к углу, на который мы смотрим (та, которая не является гипотенузой), известна как «прилегающая» сторона.

Синус, косинус и тангенс

Теперь, когда все эти предварительные сведения счастливо плещутся в нашем растущем бассейне математических знаний, мы, наконец, готовы разобраться со значением синуса, косинуса и тангенса. Вот ключевая идея:

Отношения сторон прямоугольного треугольника полностью определяются его углами.

Отношения сторон прямоугольного треугольника полностью определяются его углами.

Другими словами, значение, которое вы получаете, когда делите длины любых двух сторон прямоугольного треугольника — скажем, длину стороны, противолежащей одному из его углов, деленную на его гипотенузу, — полностью высечено в камне, как только углы высечены в камне.

Почему? Что ж, если углы фиксированы, увеличение или уменьшение треугольника не влияет на относительную длину его сторон. Но изменение углов треугольника, даже незначительное, имеет значение! Если вам нужно какое-то убеждение, попробуйте нарисовать несколько треугольников самостоятельно, и вы убедитесь, что это действительно так.

Тот факт, что у треугольника три стороны, означает, что существуют также три возможных отношения длин сторон треугольника. И, как вы уже могли догадаться, эти три отношения есть не что иное, как знаменитые тригонометрические функции синуса, косинуса и тангенса.

Что такое SOH-CAH-TOA?

Синус одного из углов прямоугольного треугольника (часто сокращенно «sin») — это отношение длины стороны треугольника, противоположной углу, к длине гипотенузы треугольника. Косинус (часто сокращенно «cos») — это отношение длины стороны, примыкающей к углу, к длине гипотенузы. А тангенс (часто сокращенно «тан») — это отношение длины стороны, противоположной углу, к длине стороны, примыкающей.

Поскольку это слишком сложно для запоминания, добрые люди на протяжении веков придумали удобную мнемонику, которая поможет вам (и бесчисленным поколениям детей в школе) разобраться. Все, что вам нужно помнить, это SOH-CAH-TOA. Другими словами:

  • SOH → sin = «противоположное» / «гипотенуза»
  • .
  • CAH → cos = «прилегающий» / «гипотенуза»
  • TOA → tan = «противоположный» / «соседний»

Тригонометрия в реальном мире

Вам может быть интересно, как тригонометрия применима в реальной жизни. Как вы будете использовать синус, косинус и тангенс вне классной комнаты и почему это важно?

Есть несколько карьерных путей, которые приводят к постоянному использованию этих уравнений. Например, предположим, что вы звукорежиссер, работающий над созданием нового альбома популярного исполнителя. Вы знаете, что звук распространяется волнами, и инженеры могут манипулировать этими волнами (измеряя и применяя тригонометрию) для создания различных компьютерных звуков.

Что делать, если вы архитектор, которому нужно знать высоту существующего здания в районе, который вам назначен? Вы можете использовать расстояние от здания и угол возвышения, чтобы определить высоту. Вы даже можете использовать триггер, чтобы определить, под каким углом солнце будет светить в здание или комнату.

Строители также используют синус, косинус и тангенс таким же образом. Им необходимо измерить размеры участков, углы крыши, высоту стен и ширину пола и многое другое.

Криминалисты используют тригонометрию для определения углов траектории пули, причины аварии или направления упавшего предмета.

А как насчет места преступления? Следователи могут использовать тригонометрию для определения углов траектории пули, причины аварии или направления упавшего предмета.

НАСА использует синус, косинус и тангенс. Его физики и астронавты часто используют роботизированные руки для выполнения заданий в космосе и используют тригонометрию, чтобы определить, куда и как двигать руку для выполнения своей задачи.

Думаете об изучении морской биологии? В этой карьере синус, косинус и тангенс иногда используются для определения размеров крупных морских существ на расстоянии, а также для расчета уровней освещенности на определенных глубинах, чтобы увидеть, как они влияют на фотосинтез.

Есть десятки профессий, которые используют тригонометрию в своих повседневных задачах. Таким образом, вы можете перестать говорить что-то вроде: «Я никогда не буду использовать тригонометрию в настоящий мир ».

Что дальше?

Хотя все эти разговоры об углах и сторонах прямоугольных треугольников и их соответствии друг другу посредством красоты и великолепия тригонометрии действительно прекрасны, они могут заставить вас немного задуматься о том, «Почему?» «Какая?» и когда?» всего этого. Под этим я подразумеваю:

  • Почему именно это полезно в реальном мире?
  • Для чего нужны кнопки sin, cos и tan на моем калькуляторе? (И как они работают?)
  • Когда мне действительно может понадобиться вычислить синус или косинус?

Очевидно, это очень важные (и очень разумные) вопросы. И это также очень важные вопросы, на которые нужно ответить. Именно за эту задачу мы и начнем браться в следующий раз.

Синус, косинус и тангенс — объяснение, таблица, примеры решений и часто задаваемые вопросы треугольника к отношениям длин двух сторон. Обратными величинами синуса, косинуса и тангенса являются секанс, косеканс и котангенс соответственно. Каждая из шести тригонометрических функций имеет соответствующие обратные функции (также известные как обратные тригонометрические функции). Тригонометрические функции, также известные как круговые функции, угловые функции или гониометрические функции, широко используются во всех областях науки, связанных с геометрией, таких как навигация, небесная механика, механика твердого тела и т. д.

Прочтите ниже, чтобы узнать, что такое функция синуса, функция косинуса и функция тангенса.

Синус Косинус Тангенс Определение

Прямоугольный треугольник включает один угол в 90 градусов и два острых угла. Каждый острый угол прямоугольного треугольника сохраняет свойство синуса косинуса тангенса. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника определяются как отношение двух из трех сторон прямоугольного треугольника.

Как мы знаем, синус, косинус и тангенс основаны на прямоугольном треугольнике, было бы полезно дать имена каждому из треугольников, чтобы избежать путаницы.

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

  • «Сторона гипотенузы» — самая длинная сторона.

  • «Смежная сторона» — это сторона, следующая за углом θ.

  • «Противоположная сторона» — сторона, противоположная углу θ.

Соответственно,

Sin θ = Противоположная сторона/Гипотенуза

Cos θ = Прилегающая/Гипотенуза

Tan θ = Противоположная/Прилегающая

Что такое функция синуса?

В прямоугольном треугольнике функция синуса определяется как отношение длины противоположной стороны к длине стороны гипотенузы.

Sin θ = противолежащая сторона/сторона гипотенузы.

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

Например, функция синуса треугольника ABC с углом θ выражается как:

Sin θ = a/c

Что такое функция косинуса?

В прямоугольном треугольнике функция косинуса определяется как отношение длины прилежащей стороны к длине стороны гипотенузы.

Cos θ = смежная сторона/сторона гипотенузы

Пример:

Учитывая рисунок, приведенный выше, функция косинуса треугольника ABC с углом θ выражается как:

Cos θ = b/c

Что такое функция касательной?

В прямоугольном треугольнике функция касательной определяется как отношение длины противоположной стороны к длине прилежащей стороны.

Tan θ = Противоположная сторона/Смежная сторона

Пример:

Учитывая рисунок, приведенный выше, функция косинуса треугольника ABC с углом θ выражается как:

Tan θ = a/b

Синус Косинус Тангенс Таблица

Значения тригонометрических соотношений, таких как синус, косинус и тангенс, для некоторых стандартных углов, таких как 0°, 30°, 45°, 60° и 90 ° можно легко определить с помощью таблицы синус-косинус-тангенса, приведенной ниже. Эти значения очень важны для решения тригонометрических задач. Следовательно, важно знать значения тригонометрических отношений этих стандартных углов.

Приведенная ниже таблица синусов, косинусов и тангенсов включает значения стандартных углов, таких как 0°, 30°, 45°, 60° и 90°.

Углы в градусах

30°

45°

60°

90°

Sin

0

1/2

1/√2

√3/2

1

Cos

1

√3/2

1/√2

1/2

0

Tan

0

1/√3

1

√3

Not Defined

Знаете ли вы?

  • Синус и косинус были введены Арьябхаттой, тогда как функция тангенса была введена Мухаммадом ибн Мусой аль-Хорезми (782 г. н.э. — 850 г. н.э.).

  • Формулы синуса, косинуса и тангенса можно легко выучить с помощью SOHCATOA. Поскольку синус — это сторона, противоположная стороне гипотенузы, косинус — сторона, примыкающая к стороне гипотенузы, а тангенс — сторона, противоположная стороне, примыкающей к стороне.

Решенные примеры:

1. Найдите Cos θ относительно следующего треугольника.

Ответ: Чтобы найти Cos θ, нам нужны и прилежащая сторона, и гипотенуза.

(Изображение будет загружено в ближайшее время)

Прилегающая сторона в приведенном выше треугольнике равна BC = 8 см

Но сторона гипотенузы, т.е. AC, не указана.

Чтобы найти сторону гипотенузы, воспользуемся теоремой Пифагора

AC² = AB² + BC²  =  6² + 8² = 1000003

Cos θ = Adjacent/Hypotenuse = 8/10

                               = 4/5

Следовательно, Cos θ = 4/5

2. Найдите значение 

Решение. Используя приведенную выше тригонометрическую таблицу, имеем:

Sin 45° = 1/√2

Cos 60° = 1/2

Tan 45° = 1

Чему равны синус, косинус и касательная?

Решение треугольников

Purplemath

Прямоугольные треугольники красивы и аккуратны, хорошо себя ведут, их длины сторон подчиняются теореме Пифагора; а именно, для любого прямоугольного треугольника длины его сторон a , b и c , где c — самая длинная из трех сторон, всегда верно, что a 2  +; b 2  =  c 2 .

Для любых двух прямоугольных треугольников, у которых меры (то есть размеры) двух других (то есть непрямых) углов одинаковы, говорят, что они «подобны», в техническом смысле, что их соответствующие стороны в пропорции.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Основные тригонометрические отношения

Например, следующие два треугольника (, а не , нарисованные в масштабе) имеют все одинаковые углы, поэтому они подобны, и, следовательно, соответствующие пары их сторон пропорциональны :

Когда мы говорим, что «соответствующие пары длин их сторон пропорциональны», мы имеем в виду, что мы можем создавать дроби, взяв длину стороны одного из подобных треугольников (скажем, большего, в данном случае ) и разделите его на длину соответствующей стороны другого подобного треугольника (в данном случае на меньшую). Выполнив это деление, мы обнаружим, что каждая из этих дробей приводит к одному и тому же значению для данной пары подобных треугольников.

Для приведенной выше пары подобных треугольников, сначала составив дробь из пары длин сторон гипотенузы (длина гипотенузы большего треугольника делится на длину гипотенузы меньшего треугольника), пары длин сторон основания и линии высоты пары, мы всегда получаем одно и то же значение 2, как показано ниже:

отношения соответствующих сторон: 10/5 = 8/4 = 6/3 = 2

другое значение обыкновенного отношения. Значение не так важно, как тот факт, что все дроби будут равны, что является свойством подобных треугольников.)


Мы также можем составить отношения, разделив одну сторону одного из подобных треугольников на одну из двух других сторон того же самого треугольника. Когда мы используем те же стороны в том же порядке, чтобы сформировать соответствующее отношение для другого из подобных треугольников, две дроби уменьшатся до одного и того же значения. Для наших двух треугольников выше (и снова используя значения большего треугольника в качестве наших числителей и деля на значения меньшего треугольника), мы получаем:

отношение гипотенузы к основанию: 10/8 = 5/4 = 1,25

отношение гипотенузы к высоте: 10/6 = 5/3 = 1,666… ​​

отношение высоты к основанию: 6/8 = 3/4 = 0,75

Конечно, мы могли бы произвести деление и в другом порядке; это дает нам величины, обратные предыдущим отношениям, но дело в том, что совпадающие деления по-прежнему имеют соответствующие значения отношения:

отношение основания к гипотенузе: 8/10 = 4/5 = 0,8

отношение высоты к гипотенузе : 6/10 = 3/5 = 0,6

отношение основания к высоте: 8/6 = 4/3 = 1,333…

Полученные дроби обратны предыдущим значениям, но суть здесь заключается в том, что отношения двух треугольников все еще совпадают. Это также показывает, что на самом деле существует шести отношений пар сторон, которые мы можем составить для любых двух заданных подобных треугольников, и их значения будут согласованы.

Шесть соотношений совпадают не только для этих двух подобных треугольников, но и для любых и всех прямоугольных треугольников, подобных этим двум. Чтобы проиллюстрировать это, я вложил два треугольника выше, перекрывая их под углом основания; затем я продлил (вправо) линии основания и гипотенузы. Затем я провел несколько вертикальных (темно-зеленых) линий от линии гипотенузы до базовой линии, получив изображение ниже:

Вертикальные линии — это линии высот (или высот) лишь нескольких из бесконечно многих подобных прямоугольных треугольников, которые можно составить из одного угла при основании. Подобным треугольникам, имеющим один и тот же угол при основании, буквально нет конца. И каждый из них будет иметь одинаковые значения соотношения.


Где-то в четвертом или пятом веке нашей эры кто-то очень умный, живший в Индии или ее окрестностях, заметил эту согласованность в пропорциях сходных прямоугольных треугольников (то есть согласованность значений шести различных отношений прямоугольных треугольников, разделяющих одинаковый размер основного угла) и начал работать над таблицами отношений, соответствующих этим основным углам. Был бы один набор отношений для угла в один градус во всех 1-89.-90 треугольников, другой набор соотношений для угла в два градуса во всех треугольниках 2-88-90 и так далее. Эти соотношения называются «тригонометрическими» соотношениями прямоугольного треугольника.

Эти таблицы значений отношений очень длинные, отчасти потому, что они также включают значения для многих углов с размерами между целыми числами градусов; и занять некоторое время, чтобы использовать. В зависимости от того, насколько точным должен быть ваш ответ для инструктора (или приложения на рабочем месте), вы можете просмотреть более двадцати страниц триггерных таблиц (например, в этой книге) и 9 страниц.0005 все еще нужно использовать интерполяцию или различные формулы, чтобы получить числа, которые вам действительно нужны.

Зачем им нужны были эти триггерные таблицы? Потому что вычисления, необходимые для получения этих значений (вручную), длинные и сложные. (Обсуждение в Quora) Работа с распечатанными таблицами, возможно, в конце учебника или в карманном справочном руководстве, была единственным практическим способом выполнения тригонометрии до того, как электронные калькуляторы стали широко доступны. (Некоторые люди все еще используют карманные ссылки на работе, «в реальной жизни», даже сейчас, как показано здесь.)

Профессор колледжа, который у меня был на занятиях по тригонометрии, однажды даже упомянул, что в прошлом экзамены по тригонометрии должны были быть очень короткими, чтобы у студентов было все время, которое они должны были бы тратить на механический процесс таблицы. поиск значения. Так что очень радуйтесь, что у вас всегда есть калькулятор в кармане в виде смартфона. Откройте приложение-калькулятор, поверните телефон на бок и просто посмотрите на все причудливые вещи, которые вы можете сделать! Но экзамены по тригонометрии, как заметил профессор Горовара с огоньком в глазах, в наши дни могут быть намного длиннее, так что… смешанная ситуация, я полагаю?


Дан прямоугольный треугольник с углом при основании, обозначенным как θ («THAY-tuh»), мы можем обозначить гипотенузу (всегда сторона, противоположная прямому углу), а затем обозначить две другие стороны «относительно θ» ( то есть по отношению к базовому углу θ, с которым мы работаем), в том числе и для значений между целыми числами градусов.

Сторона, противолежащая углу θ, является «противоположной» стороной, а другая сторона, являющаяся основанием, является «прилегающей» стороной.

Теперь рассмотрим другой непрямой угол того же треугольника; а именно, угол в правом верхнем углу треугольника. Мы назовем его β («БАЙ-тьфу»). Что касается угла β, стороны будут обозначены по-разному. Основание теперь будет «противоположной» стороной, а линия высоты будет «примыкающей» стороной, как показано ниже:

Как видите, метки «противоположная» и «примыкающая» относятся к рассматриваемому углу. . Если вы переключитесь на другой угол (это не правильный угол), метки ног тоже будут переключены.


Давайте вернемся к первой маркировке, которую мы рассмотрели, с использованием угла θ в левом нижнем углу:

Вместо того, чтобы бросать вам все сразу, давайте пойдем шаг за шагом.

У этого прямоугольного треугольника три стороны; а именно, гипотенуза, линия высоты (сторона, противоположная углу) и основание внизу (сторона, прилегающая к углу). Есть шесть способов составить отношения трех сторон этого треугольника. В следующих таблицах я буду сокращать названия от «гипотенуза», «смежный» и «противоположный» до «hyp», «adj» и «opp» соответственно. В приведенных ниже таблицах показаны шесть коэффициентов в центральных столбцах.

Соотношения в строках одного цвета каждой таблицы обратны друг другу. Например, соотношение в розовой строке в первой таблице — это «adj/hyp», а соотношение в розовой строке во второй таблице — это его обратная дробь «hyp/adj».

Каждое из этих соотношений имеет формальное название. Эти имена были добавлены в левые столбцы таблиц ниже:

Каждое из названий этих соотношений имеет сокращенное обозначение, которое включает указание угла, с которым вы работаете, с использованием обозначения функции, как показано на правые столбцы заполненных таблиц ниже:

Отношения синуса, косинуса и тангенса являются «обычными» триггерными отношениями; косеканс, секанс и котангенс — их соответствующие обратные отношения (то есть значения перевернутых дробей для «правильных» отношений).

Между прочим, нет требования, чтобы греческие буквы использовались в качестве аргумента (то есть ввода) триггерной функции. Например, вполне нормально использовать x , если хотите.


Что означает SOH-CAH-TOA?

Многие учащиеся используют мнемонику «SOH-CAH-TOA» (произносится как «SOH-kuh-TOH-uh»), чтобы запомнить, как составлять соотношения для синуса, косинуса и тангенса прямоугольного треугольника. Буквы в этой мнемонике означают:

  • S ine is O pposite over H ypotenuse
  • C озин is A djacent over H ypotenuse
  • T угол O напротив А дальний

Как соотносятся косинус, -секанс и -тангенс?

Если два отношения имеют одно и то же имя, кроме «ко-» в начале одного из них, пара называется «ко-функциями». Пары кофункций связаны по форме их графиков; график каждой кофункции имеет ту же форму, что и исходная функция, за исключением того, что он был переведен или преобразован (то есть кроме того, что он был перемещен вбок или немного перевернут).

В частности, косинус выглядит точно так же, как и синус, но немного смещен влево; косеканс — сдвиг секущей влево; котангенс — это тангенс после переворачивания его вверх дном и последующего сдвига результата немного влево.

(Примечание: пропорции не получали своих нынешних европейских названий до XII века или около того, в результате того, что европейцы допустили некоторые ошибки при переводе арабских текстов. История тригонометрии довольно запутана. [источник])


URL: https://www.purplemath.com/modules/basirati.htm

Page 2

Формула синуса, косинуса, тангенса — GeeksforGeeks

Тригонометрия — это раздел математики, который связывает длину стороны с углом прямоугольного треугольника. Тригонометрия имеет дело с некоторыми специфическими функциями углов и их приложениями. Тригонометрия является важной частью математики. Тригонометрия имеет различные формулы, которые используются в разных областях. Эта статья посвящена самым основам тригонометрии, то есть функциям синуса, косинуса и тангенса, а также их формуле и объяснению. Эти тригонометрические функции имеют формулы, которые легко понять и применить. Эти формулы тригонометрических функций получены из сторон прямоугольного треугольника.

Треугольник, один из углов которого равен 90°, называется прямоугольным. У него есть стороны, называемые основанием, перпендикуляром (высотой) и гипотенузой. Прямоугольный треугольник следует теореме Пифагора.

  • Основание: Сторона, содержащая угол, называется основанием треугольника.
  • Перпендикуляр (высота): Сторона, образующая 90° с основанием, называется перпендикуляром или высотой треугольника.
  • Гипотенуза: Самая длинная сторона треугольника называется гипотенузой треугольника.

 

Что такое тригонометрические функции?

Тригонометрические функции также называются тригонометрическими отношениями. Существуют три основные и важные тригонометрические функции: синус, косинус и тангенс.

  • Тригонометрическая функция синуса записывается как sin , косинус как cos, и тангенс как tan в тригонометрии.
  • Есть еще три тригонометрические функции: cosec , sec и cot, которые являются обратными sin , cos , и tan .
  • Эти функции можно вычислить для прямоугольного треугольника.

Пусть прямоугольный треугольник с основанием b, перпендикуляром p и гипотенузой h образует с основанием угол θ. Тогда тригонометрические функции задаются следующим образом:

Тригонометрические функции

Формула тригонометрических функций

SIN θ

  • SINuCLICLICLAIL h)

cos θ

  • cosθ = base/hypotenuse  
  • cosθ = b / h  or  θ = cos -1 ( b / h)

tan θ = sin θ/cos θ

  • tanθ = perpendicular/base 
  • tanθ = p / b  or  θ = tan -1 ( p / b)

cosecθ = 1 /sin θ

  • cosecθ = гипотенуза /перпендикулярный
  • secθ = гипотенуза / основание  
  • secθ = h / b  или θ = sec -1 (h / b)

cotθ = 1/tan θ

  • cotθ = base/perpendicular
  • cotθ = b / p  or  θ = cot -1( b / P)

Сокращение для тригонометрических функций Формула 8 производить красота

Запомнить

6

. 0178

У некоторых людей sinθ (некоторые) = перпендикуляр(люди)/гипотенуза(имеют)
вьющиеся черные волосы cosθ (кудрявый)= основание(черный)/гипотенуза(волосы)  
tanθ (к) = перпендикуляр (производство)/основание (красота)

Тригонометрические функции для некоторых основных углов

В тригонометрии у нас есть основные углы 0°, 30°, 45°, 60°, и 90°. В таблице ниже приведены значения тригонометрических функций для основных углов:

 θ 30° 45° 60° 90°
sin 0 1/2 1/√2 √ 3/2 1
cos 1 √3/2 1/√2 1/2 0
tan 0 1/√3 1 √3
косек 2 √2 2/√3 1
sec 1 2/√3 √2 2
cot  √3 1 1/√3 0

SINE, COSINE и TANGENT FUNDARS в Крадэнтах

  • СИНАНСКИ третий и четвертый квадранты.
  • Функции косинуса и секанса положительны в первом и четвертом квадрантах и ​​отрицательны во втором и третьем квадрантах.
  • Функции тангенса и котангенса положительны в первом и третьем квадрантах и ​​отрицательны во втором и четвертом квадрантах.
.0566

Признак COSEC

СИНКА SEC

СИНКА КОМПЕР

0 °

0 °

0 °.

+ (положительный)

+ (положительный)

+ (положительный)

+ (положительный)

+ (положительный)

9018 2

+ (положительный)

9018 2

+ (положитель0179

90° to 180°

 2 nd quadrant 

+ (positive)

– (negative)

– (negative)

+ (positive)

– (negative)

– (negative)

 180° to 270° 

3 rd quadrant

– (negative)

– (negative)

+ (positive)

– (negative)

– (negative)

+ (positive)

270° to 360°

4 th Quadrant

— (отрицательный)

+ (положительный)

— (отрицательный)

— (отрицательный)

+ (положительный

Взаимные тождества

Функция косеканса является обратной функцией синуса и наоборот. Точно так же функция секанса является обратной функцией функции косинуса, а функция котангенса является обратной функцией функции тангенса.

  • sin θ = 1/cosec θ
  • cos θ = 1/sec θ
  • tan θ = 1/cot θ
  • cosec θ = 1/sin θ
  • с θ = 1/cos θ
  • cot θ. = 1/тангенс θ

Pythagorean Identities

  • SIN 2 θ + COS 2 θ = 1
  • SEC 2 θ — TAN 2 θ
  • 8848 θ — TAN 2 θ 8848 θ — TAN 2 θ θ 2 . 1

Идентификация отрицательного угла

Отрицательный угол функции косинуса всегда равен положительному косинусу угла, тогда как отрицательный угол функции синуса и тангенса равен отрицательному синусу и тангенсу угла.

  • sin (– θ) = – sin θ
  • cos (– θ) = cos θ
  • tan (– θ) = – tan θ

Решенные примеры по формуле синус-косинус-тангенса

91:375 Стороны Основание прямоугольного треугольника = 3 см, перпендикуляр = 4 см, гипотенуза = 5 см. Найдите значение sinθ, cosθ и tanθ.

Решение:  

Учитывая, что

Основание (b) = 3 см,

Перпендикуляр (p) = 4 см и

гипотенуза (h) = 5 см

Из формулы тригонометрических функций:

sinθ = p/h = 4/5

cosθ = b/h = 3/5

tanθ = p/b = 25 6 30075 7 4/3 9003 Пример 2: Стороны прямоугольного треугольника: основание = 3 см, перпендикуляр = 4 см и гипотенуза = 5 см. Найдите значение cosecθ, secθ и cotθ.

Решение: 

Учитывая, что основание (b) = 3 см, перпендикуляр (p) = 4 см и гипотенуза (h) = 5 см

Из формулы тригонометрических функций:

cosecθ = 1/sinθ = h / p = 5/4

secθ = 1/cosθ = h / b = 5/3

cotθ = 1/tanθ = b / p = 3/4

Пример 3. Найдите θ, если основание = √3 и перпендикуляр = 1 прямоугольного треугольника.

Решение: 

Поскольку перпендикуляр и основание прямоугольного треугольника заданы, используется tanθ.

tanθ = перпендикуляр/основание

= 1/√3

θ = tan -1 (1/√3) [Из таблицы основных углов тригонометрической функции]

θ = 30°

Пример 4: Найдите θ, если основание = √2 и гипотенуза прямоугольного треугольника.

Решение: 

Поскольку основание и гипотенуза прямоугольного треугольника заданы, используется cosθ.

cosθ = основание/гипотенуза

cosθ = √3/2

θ = cos -1 (√3/2) [Из таблицы основных углов тригонометрической функции]

= 30°

Пример 5. Найдите θ, если перпендикуляр = 1 и гипотенуза = 2 прямоугольного треугольника.

Решение: 

Так как перпендикуляр и гипотенуза прямоугольного треугольника заданы, поэтому используется sinθ.

sinθ = перпендикуляр/гипотенуза

sinθ = 1/2

θ = sin -1 (1/2) [Из таблицы основных углов тригонометрической функции]

= 30°


Как работают синус, косинус и тангенс?

МАТЕМАТИКА — Геометрия

Задумывались ли вы когда-нибудь.

..
  • Что такое тригонометрия?
  • Что такое синус, косинус и тангенс?
  • Как найти синус, косинус и тангенс?
Теги:

Просмотреть все теги

  • Математика,
  • Геометрия,
  • Тригонометрия,
  • Функция,
  • Синус,
  • Косинус,
  • Тангенс,
  • Треугольник,
  • Прямоугольный треугольник,
  • Формула,
  • Угол,
  • Гипотенуза

Сегодняшнее чудо дня было вдохновлено Саем. Sai Wonders , “ Как работают синус, косинус и тангенс? ”Спасибо, что ДУМАЕТЕ вместе с нами, Сай!

Многие из наших чудесных друзей уже знают о теореме Пифагора. Возможно, они читали о треугольнике Паскаля. Они могут даже знать другие типы треугольников. Сегодня нас интересует еще одна тема, связанная с треугольниками. О чем мы говорим? Синус, косинус и тангенс, конечно!

Что такое синус, косинус и тангенс? Это три основные функции в тригонометрии. Возможно, вы уже слышали о них на уроках математики. Тригонометрия связана с геометрией и другими разделами математики. Это может помочь нам лучше понять связи между сторонами и углами прямоугольников.

Синус, косинус и тангенс важны для изучения прямоугольных треугольников. Вы когда-нибудь видели такой треугольник? Если да, то вы знаете, что один из трех его углов всегда равен 90° (прямой угол). Два других угла могут иметь любые измерения, если сумма всех трех углов составляет 180°.

Как математики находят синус, косинус и тангенс? Начнем с одного из непрямых углов прямоугольного треугольника. Обычно они обозначают этот угол как тета (Θ). Затем они обозначают три стороны треугольника.

Сторона треугольника, расположенная непосредственно напротив прямого угла, называется гипотенузой. Это самая длинная сторона треугольника. Сторона напротив теты называется «противоположной». Это довольно легко запомнить — это на противоположной стороне от тета-угла! Наконец, сторона, которая касается теты, но не является гипотенузой, называется «прилегающей».

Правильное обозначение сторон очень важно при нахождении синуса, косинуса и тангенса. Это потому, что у каждого есть формула, которая делит длину одной стороны на длину другой. Вот формулы для поиска каждой из этих функций:

  • SINE θ = противоположность ÷ гипотенуза

  • косинус θ = прилегающий ÷ гипотеновый формулы могут показаться трудными для запоминания. Тем не менее, запоминание полезной мнемоники может помочь. При нахождении синуса, косинуса и тангенса просто помните SOHCATOA (sō-kŭ-tō-ŭ). В этом примере S, C и T обозначают синус, косинус и тангенс. O, A и H обозначают противоположность, смежность и гипотенузу.

    Запомнив SOHCATOA, вы сможете правильно писать формулы для синуса, косинуса и тангенса. Затем просто введите правильные числа, и все готово! Чтобы найти эти функции, нужно запомнить формулы и использовать правильные измерения сторон. Многие люди считают полезным пометить треугольник перед тем, как начать.

    Можете ли вы найти синус, косинус и тангенс угла? Мы уверены, что вы можете! Однако поначалу новые математические темы могут быть трудными. С практикой и помощью учителя или друга мы знаем, что скоро вы многое узнаете о тригонометрии!

    Common Core, Научные стандарты следующего поколения и Национальный совет по социальным исследованиям. »> Стандарты: CCSS.MATH.HSF.TF.A.2, CCRA.R.1, CCRA.R.2, CCRA.R.4, CCRA.R.10, CCRA.L.1, CCRA.L.2, CCRA .L.3, CCRA.L.6, CCRA.W.2, CCRA.W.4, CCRA.W.9, CCRA.W.10, CCRA.SL.1, CCRA.SL.2

    Интересно, что дальше?

    Сегодняшнее чудо дня обычно выходит только ночью.

    Попробуйте

    Готовы продолжать учиться? Проверьте действия ниже с помощью друга или члена семьи!

    • Узнайте больше о синусе, косинусе и тангенсе, а также посмотрите полезные диаграммы на веб-сайте Math Is Fun. Помогло ли это вам глубже понять эти функции? Обобщите то, что вы узнали сегодня, для друга или члена семьи.
    • Теперь, когда у вас есть мнемоника, которая поможет вам запомнить формулы синуса, косинуса и тангенса, сделайте плакат, который поможет другим запомнить. Используйте мнемонику SOHCAHTOA и включите любые изображения или диаграммы, которые, по вашему мнению, помогут вашим друзьям или членам семьи научиться находить эти функции. Не забудьте также указать правильные формулы!
    • Чувствуете себя лукавым? Узнайте больше о геометрических фигурах и проявите творческий подход, создавая свои собственные! Вы можете попробовать сделать некоторые фигуры самостоятельно или следовать этому видео, чтобы научиться создавать трехмерные фигуры, используя только бумагу и ножницы. Убедитесь, что взрослый помогает вам, и получайте удовольствие, создавая свои фигуры.

    Wonder Sources

    • https://www.khanacademy.org/math/geometry-home/right-triangles-topic/intro-to-the-trig-ratios-geo/v/basic-trigonometry
    • https ://www.mathsisfun.com/sine-cosine-tangent.html
    • https://www.livescience.com/51026-what-is-trigonometry.html
    • https://learnersdictionary.com/

    Ты понял?

    Проверьте свои знания

    Wonder Words

    • ответвления
    • углы
    • этикетка
    • функций
    • формулы
    • измерений
    • тригонометрия
    • геометрия
    • математики

    Примите участие в конкурсе Wonder Word

    Оцените это чудо
    Поделись этим чудом
    ×
    ПОЛУЧАЙТЕ СВОЕ ЧУДО ЕЖЕДНЕВНО

    Подпишитесь на Wonderopolis и получайте Wonder of the Day® по электронной почте или SMS

    Присоединяйтесь к Buzz

    Не пропустите наши специальные предложения, подарки и рекламные акции. Узнай первым!

    Поделись со всем миром

    Расскажите всем о Вандополисе и его чудесах.

    Поделиться Wonderopolis
    Wonderopolis Widget

    Хотите делиться информацией о Wonderopolis® каждый день? Хотите добавить немного чуда на свой сайт? Помогите распространить чудо семейного обучения вместе.

    Добавить виджет

    Ты понял!

    Продолжить

    Не совсем!

    Попробуйте еще раз

    Эпизод о тригонометрии | Советы и рекомендации MCAT

    Последнее обновление: 23 июня 2022 г., Лора Тернер

    Я предполагаю, что к этому моменту подготовки к MCAT вы чувствуете себя так, как будто припарковали самосвал, полный информации, рядом со своим столом и закидываете факты в свой мозг, пока он не готов взорваться. А потом вы столкнулись с проблемой физики. Тот, который требует от вас знания синуса или косинуса? – 60 градусов.

    Вы ищете на жестком диске своего разума ссылки на тригонометрию. Что-то есть в SOH CAH TOA… и в 2 и в 2 . О, Боже. Еще кое-что, что можно добавить в список «для запоминания», который разрастается до толщины вашего учебника по органической химии.

    Об объявлениях

    Существует множество видео и статей о приемах запоминания значений синуса и косинуса, и они являются хорошей отправной точкой, но на самом деле они не так уж полезны для MCAT. (позже мы увидим, почему). Все, что вам действительно нужно запомнить, чтобы выполнять какие-либо тригонометрические вычисления в день экзамена, это «синус — точка 5, точка 7, точка 9».». Вот и все! Давайте посмотрим, как это работает…

    В разделе физики MCAT вам нужно будет уметь выполнять вычисления с синусом, косинусом и тангенсом пяти градусных мер — 0°, 30°, 45°, 60° и 90°. Если учащиеся что-нибудь помнят о тригонометрии, то это, вероятно, SOH CAH TOA (см. ниже), что напоминает нам о том, что синус (S) угла равен длине противоположной стороны треугольника (O), деленной на гипотенузу (H ), косинус (C) угла равен прилежащей стороне (A), деленной на гипотенузу (H), а тангенс (T) равен противолежащей стороне (O), деленной на прилежащую сторону (A).

    На рисунке ниже мы видим два прямоугольных треугольника, вписанных в единичную окружность: один с гипотенузой под углом 30° к оси x, а другой с гипотенузой под углом 60° к оси x. Поскольку синус = противоположность/гипотенуза (SOH), синус угла связывает длину стороны треугольника в направлении y с гипотенузой. Чтобы запомнить это, может быть полезно подумать о том, что «sine» и «y» имеют похожие звуки. Вот почему мы пишем «синус» как «син» в рифме.

    По мере увеличения степени угла длина треугольника в направлении Y увеличивается, как и синус угла. Sin(0°) = 0, потому что «треугольник» не будет иметь длины в направлении y, и sin(90°) = 1, потому что «треугольник» будет иметь всю свою длину в направлении y.

    Косинус описывает отношение длины треугольника в направлении x и следует аналогичной схеме, но в обратном направлении. По мере увеличения угла длина треугольника в направлении x уменьшается, как и косинус угла. Косинус 0° = 1 и косинус 90° = 0,

    Как насчет значений синуса и косинуса для остальных углов? Здесь вступают в действие точки 5, точки 7, точки 9 рифмы.

    Начнем с синуса или «сина» из рифмы. Уловка, которой часто учат запоминать синус обыкновенных углов, состоит в том, чтобы начать с написания пустого знака квадратного корня, деленного на 2.

    Теперь под знаком квадратного корня напишите числа 0, 1, 2, 3 и 4. в целях.

    Некоторые из этих дробей легко упрощаются до десятичных, но синус 45° и 60° — нет.

    Большинство видео и статей, посвященных этой теме, оставляют вас здесь, но поскольку вы не можете позволить себе роскошь работать с калькулятором, запоминание величин, например, не очень помогает. Вместо этого лучше запомнить десятичные аппроксимации и , где и появляется рифма. ≈ 0,7 и ≈ 0,9.

    Если вам нужно вычислить триггер с синусоидой, вы можете быстро записать sin(0°) = 0, sin(90°) = 1 и запомнить рифму, «синус – точка 5, точка 7, точка 9(опять же «синус», потому что синус говорит нам о направлении треугольника по оси Y).

    Если вы посмотрите на единичный круг, вы увидите, что значения косинуса для каждого из этих углов являются обратными значениям синуса. Таким образом, косинус 0° = 1, косинус 30° = 0,9 и т. д. Если вам нужен косинус, вы можете просто записать значения синуса, а затем расположить их в обратном порядке, запоминание не требуется.

    Наконец, если вам нужен тангенс, разделите синус на косинус. Если у вас возникли проблемы с запоминанием, что на что делить, синус в таблице уже выше косинуса, поэтому вы можете думать о разделительной линии между ними как о дробной черте.

    Тангенс 0°, 45° и 90° легко вычислить. Для тангенса 30° и 60° вы можете получить «достаточно близкий» ответ, аппроксимировав 0,9 с 1.

    Фактическое значение тангенса (30°) ≈ 0,57 и тангенса (60°) ≈ 1,7.

    Вот это да. Имея все это в памяти, давайте решим примерную задачу:  

    Ребенок начинает тянуть игрушку за собой с силой 8 Н под углом 45° к земле. Начальное ускорение игрушки 2 м/с 2 . Какова масса игрушки?

    a) 1,63 кг
    b) 2,84 кг
    c) 4,00 кг
    d) 6,21 кг

    Формула, связывающая силу, массу и ускорение: F = Ma. Поскольку мы хотим использовать силу и ускорение, чтобы найти массу, мы делим обе части на ускорение, чтобы получить формулу M = F/a.

    Как и во многих физических задачах, полезно нарисовать схему того, что происходит. Вот ребенок тянет игрушку… гм… что-то такое.

    В задаче даны сила и ускорение; однако сила 8 Н, приложенная к игрушке, находится под углом 45 °. Часть этой силы тянет игрушку в направлении y, а часть силы тянет ее в направлении x. Поскольку задача состоит в том, чтобы тянуть игрушку по земле, а не вверх, нас интересует х-компонент силы.

    Сначала мы вспоминаем нашу рифму «синус — точка 5, точка 7, точка 9» и знаем, что в этой задаче будем использовать косинус, а не синус. Следовательно, чтобы вычислить x-составляющую силы, мы имеем F x = F * косинус (45°). Беглый взгляд на нашу таблицу значений синуса и косинуса показывает, что cos(45°) = 0,7, поэтому F x = F * косинус (45°) = 8 * 0,7 = 5,6. (Знайте свои таблицы умножения!)

    Заполнение формулы M = F/a нашим новым вычисленным F х из задачи получаем М = 5,6/2 ≈ 6/2 = 3кг, что ближе всего к ответу б) 2,84кг.

    Другой пример:

    Эвакуатор тянет автомобиль массой 25 000 кг с помощью буксировочного крюка, который встречает автомобиль под углом 30° к земле. Какую силу должен приложить эвакуатор, чтобы тянуть автомобиль с начальным ускорением 3 м/с 2 ?

    a) 33,612N
    b) 50,319N
    c) 75,000N
    d) 86,206N

    Вот краткое изображение нашего сценария.

    Здесь силу, необходимую для тяги автомобиля в направлении x, можно рассчитать по формуле F x = Ма.

    В этом сценарии нам даны масса автомобиля и ускорение в задаче. Требуемая сила в направлении x равна F x = 25 000 кг * 3 м/с 90 347 2 90 348 = 75 000 Н. В экспоненциальном представлении это 7,5 x 10 4 Н.  

    автомобиль в обоих направлениях x и y.

    В предыдущей задаче мы видели, что F x = F * cos(Θ), где Θ — градус угла, который в данном случае равен 30°. Просмотрев нашу таблицу значений синуса и косинуса, мы видим, что cos(30°) ≈ 0,9.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.