ЭБ СПбПУ — Теория вероятностей: учебное пособие
|
Разрешенные действия: Прочитать Загрузить (1,1 Мб) Группа: Анонимные пользователи Сеть: Интернет |
Аннотация
Пособие написано на основе курса лекций по теории вероятностей, читаемого автором студентам третьего курса С.
-Петербургского государственного политехнического университета, обучающимся по направлениям подготовки бакалавров «Системный анализ и управление» и «Информационные системы и технологии».
Данное пособие охватывает первую часть курса, а именно основные классические разделы дискретной теории вероятностей. Большое внимание уделяется логическим основам теории и характерным особенностям практического применения вероятностных методов. В книге достаточно много подробно разобранных примеров, иллюстрирующих основные понятия и методы теории вероятностей. Основной материал книги не предполагает знакомство читателя с полным вузовским курсом высшей математики, однако ориентируется на читателя, обладающего определенной математической культурой.
Бόльшая часть пособия будет полезна студентам вузов с сокращенной программой по высшей математике, а также лицам, желающим познакомиться с основными идеями и методами теории вероятностей самостоятельно.
Права на использование объекта хранения
| Место доступа | Группа пользователей | Действие | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Локальная сеть ИБК СПбПУ | Все | |||||
| Интернет | Все |
Оглавление
- ПРЕДИСЛОВИЕ
- ВВЕДЕНИЕ
- § 1.
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ- 1.1. Понятие случайного события
- 1.2. Вероятность случайного события
- 1.3. Алгебра событий
- 1.4. Основные свойства вероятности
- 1.5. Классическая модель вероятности
- § 2. УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. НЕЗАВИСИМОСТЬ. ФОРМУЛА БАЙЕСА
- 2.1. Условная вероятность
- 2.2. Независимые события
- 2.3. Формула полной вероятности
- 2.4. Формула Байеса
- § 3. ОБОБЩЕНИЕ: ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ ВЕРОЯТНОСТИ
- 3.2. Дискретное вероятностное пространство
- § 4. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
- 4.1. Обобщенная теорема умножения
- 4.2. Примеры
- § 5. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
- 5.1. Основные определения
- 5.2. Основное правило комбинаторики
- 5.3. Размещения, перестановки, сочетания
- 5.4. Примеры
- §6. ИСПЫТАНИЯ БЕРНУЛЛИ. ФОРМУЛА ПУАССОНА
- 6.1. Схема независимых испытаний Бернулли
- 6.2. Обобщенная схема Бернулли
- 6.3. Некоторые следствия
- 6.4. Формула Пуассона
- § 6д. Приложения
- 6д.1. Доказательство теоремы Пуассона
- 6д.2. Теорема Муавра–Лапласа и ее приложения
- 6д.3. Последовательности зависимых испытаний. Цепи Маркова
- § 7. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
- 7.1. Основные понятия и определения
- 7.3. Дисперсия
- 7.4. Независимые случайные величины
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ И ИХ ВЕРОЯТНОСТИ
ИСПЫТАНИЯ БЕРНУЛЛИ. ФОРМУЛА ПУАССОНАСтатистика использования
Читать онлайн «Невероятная теория вероятностей», Дмитрий Кудрец – ЛитРес
© Дмитрий Кудрец, 2021
ISBN 978-5-0055-7263-9
Создано в интеллектуальной издательской системе Ridero
Предисловие
Большинство из нас практически не читают предисловие к книгам. И совершенно напрасно.
Во-первых, предисловие служит как бы пояснением того, о чем идет речь в самой книге.
Во-вторых, в предисловии можно указать кое-какие факты, которые выбиваются из общего контекста книги.
В-третьих, … А впрочем, дальше можно и не продолжать. Как бы то ни было, предисловие должно быть кратким. И я буду придерживаться этого правила.
К тому же в данном предисловии мне хочется ответить всего на два вопроса. Первый вопрос: кому вообще нужна эта теория вероятностей? Второй – зачем, собственно, я написал эту книгу?
Начну по порядку. Вопрос первый: кому вообще нужна эта теория вероятностей? Подобные вопросы мне приходится слышать довольно часто. Зачем нам сдалась эта математика? А Вам в жизни пригодилась теорема Пифагора? А синусы и косинусы Вам позволяют больше зарабатывать? И так далее и тому подобное. Конечно, можно вступить в дискуссию, попытаться доказать необходимость знания теоремы Пифагора или законов теории вероятностей, привести примеры из жизни или научные доводы и потратить на это драгоценное время и, увы, не стальные нервы. Обычно на такие вопросы я отвечаю так: если тебе не нужен камень, валяющийся у дороги, это не значит, что он никому не нужен.
Но догадываться о назначении камня ты все-таки должен. Аргумент, конечно, сомнительный, но срабатывает.
Но если подойти к этому вопросу более серьезно, то теория вероятностей, хотим мы этого или нет, является постоянным спутником нашей жизни. Самый простой пример – многие люди склонны думать, что шансов погибнуть в авиакатастрофе больше, чем в автомобильной аварии. Но если изучить статистические данные, на самом деле окажется, что это не так. Вероятность погибнуть в авиакатастрофе составляет 1/8000000. Для того чтобы погибнуть, ежедневно садясь на случайный рейс, пассажиру понадобится 21 тысяча лет.
Другой пример – от падения кокосов погибает около 150 человек. Это в десятки раз больше, чем от укуса акул. Следовательно, вероятность быть укушенным акулой в десятки раз меньше, чем получить кокосом по голове. И таких примеров можно приводить бесконечно.
Как бы там ни было, практически вся современная экономика базируется на теории вероятностей. Выпуская новый товар, грамотный бизнесмен должен учесть вероятность продажи продукции на рынке.
Также теория вероятностей широко используется в биологии, химии, истории и других областях деятельности человека.
Что касается второго вопроса: зачем, собственно, я написал эту книгу, то здесь все гораздо проще. Как ни странно, мы постоянно пытаемся все усложнить, особенно если это касается науки. Даже имея высшее образование, я иногда не понимаю, почему ту или иную теорию нужно излагать довольно скучным научным языком, если это можно объяснить проще и понятнее. Но упрощение научных выкладок никоим образом не должно противоречить принципу научности. Ведь даже за простейшими вычислениями стоят проверенные временем и практикой правила и законы. Просто их можно изложить немножко иначе, без лишних выкладок, гипотез и доказательств.
Немного о случайных событиях
Ученику седьмого класса Владимиру Савельеву совершенно не хотелось идти к репетитору по математике. С большим удовольствием он бы погонял мяч с ребятами во дворе. Но с футболом у Владимира Савельева все было в порядке, в отличие от математики, по которой он периодически получал двойки.
Спорить с мамой было бесполезно и, скрепя сердце, Вовка отправился на занятия. Погода была великолепная, а настроение противное.
– И почему этот репетитор живет в соседнем доме? – возмущался Вовка. – Вот бы было замечательно, если бы он жил на другом конце города. Тогда можно было бы как бы случайно опоздать на занятия. Вроде и пришел, а уже домой пора.
Так, рассуждая, Вовка не заметил, как очутился посреди лужи.
– И откуда она тут взялась? – недоумевал Вовка. – Дождя не было почти неделю.
Первое, что пришло Вовке в голову – это развернуться и пойти домой, тем более что для этого у него уже была уважительная причина. Но предчувствуя нерадостный разговор с мамой, Вовка вылез из лужи и нехотя направился к соседнему дому.
Также нехотя он поднялся на второй этаж и также без особого энтузиазма нажал кнопку звонка. За дверью что-то жалобно заурчало.
– Хоть бы профессора не было дома, – тешил себя последней надеждой Вовка.
Но дверь открылась, и Вовкина надежда испарилась, так утренний туман.
На пороге стоял профессор. Хотя какой он был профессор? Обычный учитель математики. Иван Петрович. Профессором его прозвал Вовка. Вовка вообще называл профессорами всех, кто был умнее его.
– Здрасьте, – грустно пробормотал Вовка, убирая палец со звонка.
– Добрый день, молодой человек, – ответил Иван Петрович, внимательно осматривая посетителя. – Проходите.
Вовка сделал шаг вперед.
– Разуваться не обязательно, хотя… – Иван Петрович бросил взгляд на Вовкины мокрые кроссовки. – Хотя, вам не мешало бы переобуться во что-нибудь сухое.
Профессор достал из шкафа тапочки и протянул их Вовке.
– И где только ты умудрился промочить ноги?
– Да так, – отмахнулся Вовка. – Так получилось.
– Ну-с, молодой человек, переобувайтесь и проходите в комнату.
Вовка неохотно последовал за Иваном Петровичем. Вошел в комнату и замер. Все стены от пола до потолка были заняты полками с книгами.
– Ничего себе! – удивленно пробормотал Вовка. – Неужели Вы все это прочитали?
– Почти, – улыбнулся Иван Петрович.
– Присаживайся.
И Иван Петрович пододвинул Вовке стул. Вовка послушно сел.
– Ну-с, с чего начнем? – Иван Петрович сел напротив Вовки.
Вовка нерешительно пожал плечами.
– Я так понимаю, что у вас возникли проблемы с математикой? – предположил Иван Петрович.
– Как вы догадались? – удивился Вовка.
– Иначе бы ты ко мне не пришел, – Иван Петрович снова улыбнулся.
– Проблемы! – согласился Вовка. – Да еще какие!
– А еще, – добавил профессор, – у тебя вдобавок проблемы с вниманием.
– В каком смысле? – не понял Вовка.
– Промочить ноги в такую сушь! И где ты только умудрился отыскать лужу? Невероятно, но факт!
– Факт, – подтвердил Вовка.
– Но я немного отвлекся, – Иван Петрович достал из ящика стола стопку бумаги. – Перейдем непосредственно к делу, то есть к математике. Ну, так что вы теперь проходите?
– А так, – махнул рукой Вовка. – Какую-то теорию вероятности.
– Просто замечательно! И что ты можешь мне о ней рассказать?
– Ну, – Вовка напряг мозг, пытаясь вспомнить, о чем говорили в школе, – теория вероятности изучает… Изучает… Вероятность…
– Не совсем точно, – покачал головой Иван Петрович.
– Теория вероятностей изучает закономерности случайных явлений или событий, их свойства и действия над ними. Основными объектами теории вероятностей являются случайные величины или случайные события. В жизни мы постоянно сталкиваемся со случайными явлениями. К примеру, то, что ты сегодня попал в лужу – это случайность. Но, если допустить то, что ты по пути сюда считал ворон и просто не заметил лужи, то эту случайность можно считать закономерностью. Все события можно условно разделить на достоверные и невозможные. Если при испытании событие произошло, то такое событие можно считать достоверным. А если при испытании событие произойти не может, то оно считается невозможным. Я понятно объясняю?
– Вроде да, – согласился Вовка.
– А если, – продолжил Иван Петрович, – событие не является достоверным или невозможным, то оно называется случайным. Следует отметить, что теория вероятностей изучает не всякие события, а только те, которые рассматриваются в рамках исследования. Самый простой пример – подбрасывание монеты.
Здесь рассматриваются два варианта – монета упадет орлом вверх или монета упадет вверх решкой…
– Но ведь монета может упасть и на ребро, – возразил Вовка, – или закатиться под стол…
– Вполне допустимо, – согласился Иван Петрович, – но в данном эксперименте мы эти случаи не рассматриваем. Понятно?
– Не очень, – покачал головой Вовка.
– Хорошо! – Иван Петрович тяжело вздохнул. – Попробуем иначе. Какой сегодня день недели?
– Вторник.
– Следовательно, то, что сегодня вторник – достоверное событие. Согласен?
– Согласен.
– А то, что завтра будет четверг…
– Невозможное событие, – предположил Вовка.
– Совершенно верно. Но если предположить, что по каким-то причинам сегодня отменят среду, то завтра наступит четверг и это событие будет…
– Случайным! – радостно воскликнул Вовка.
– Вы абсолютно правы, молодой человек. Рассмотрим другой случай. Ты любишь играть в футбол?
– А как же!
– Когда ты забиваешь гол – это какое событие? Достоверное, невозможное или случайное?
– Если гол уже забит, то это, скорее всего достоверное событие, – рискнул предположить Вовка.
– А если перед воротами стоит кирпичная стена, сможешь ли ты забить гол?
– Пробить мячом стену! – воскликнул Вовка. – Это ж сколько нужно силы! Нет, такое невозможно! Если только мяч случайно не перелетит стену или кто-нибудь не поможет…
– Но мы рассматриваем только голы, забитые тобою лично.
– Тогда это невозможно!
– Но элемент случайности все-таки не исключается, – улыбнулся Иван Петрович. – Ну, я думаю на сегодня достаточно. Продолжим в следующий раз. Надеюсь, что в следующий раз ты будешь более внимательным и обойдешь злополучную лужу.
– Я тоже надеюсь, – грустно вздохнул Вовка.
Попрощавшись с профессором, Владимир Савельев отправился домой. Разумеется, он не все понял из объяснений Ивана Петровича, но Вовка утешал себя, что это всего лишь первый раз. В дальнейшем, возможно, будет более понятно. И что более всего радовало семиклассника Владимира Савельева, что профессор не оказался обычным занудой, не мучил Вовку кучей задач и зубрежкой никому не понятных определений и формул.
Читать «Занимательная теория вероятности» — Китайгородский Александр Исаакович — Страница 1
Александр Китайгородский
Занимательная теория вероятности
© Китайгородский А. И., наследники, 2017
© Оформление. ООО «Издательство «Пальмира», АО «Т8 Издательские Технологии», 2017
Вместо предисловия
– Ну я пошел. – Мой друг Александр Саввич решительно взялся за пальто.
– Посиди еще, – попросил я. – Ведь нет еще двенадцати. А я расскажу тебе о плане своей новой книги.
– Ну ладно, – согласился гость без энтузиазма. Его сейчас занимала проблема, где провести отпуск – на Кавказе или в Крыму.
– Это будет книга о случайных событиях, о вероятном и невозможном, о том, как случайности приводят к закономерностям, о применении правил вероятности в самых различных областях житейской практики и науки.
– Таких книг вышли уже сотни, – кисло сказал Александр.
– Возможно. Но ты же не отвергаешь нового романа на том основании, что его сюжетом является безответная любовь Коли к Маше, которая любит Петю.
– Гм… Справедливо.
– Ты понимаешь, – продолжал я, не обращая внимания на интонацию этого «гм», – ведь речь идет о чрезвычайно широкой теме. Великий Лаплас еще полтораста лет назад сказал, что в конечном счете все наиболее важные жизненные проблемы – это проблемы вероятностные. И право же, это не преувеличение.
– А как же говорят: наука – враг случайностей? – зевая, сказал друг.
– Противоречия тут нет. Но ты попал в точку. Случайные события действительно приводят к неукоснительно выполняющимся законам природы. Вероятностные законы – это железные правила. Надо только ясно понимать, к чему они относятся. «Средние значения»; «средние отклонения от среднего»; «частота более или менее резких отклонений от среднего» – вот главная тема теории вероятностей.
– Очень интересная тема. – В голосе Александра явственно слышалась ирония. – Очень интересная, если учесть, что каждого человека очень занимает судьба его самого. Ты изложишь читателю проблемы средней продолжительности жизни, а его интересует продолжительность своей жизни.
Ты ему сообщишь, что в возрасте семидесяти лет его шансы отправиться в лучший мир в течение ближайших пяти лет достаточно велики, а он скажет, что его мало интересуют твои выводы о «среднем старике», поскольку он совсем не такой, как другие, так как обладает железным здоровьем, принимает по утрам холодный душ и не курит с детства.
– Не так агрессивно. – Я стал уже горячиться. – Во-первых, книга вовсе не посвящается демографической статистике, хотя об этом немного будет сказано. Я собираюсь обсудить проблемы физики, химии и биологии, имею намерение уделить несколько страниц проникновению статистических методов в психологию и в эстетику. Но даже если бы всего этого не было и разговор шел только о законах случая в житейской практике, то ты все равно не прав.
– Не чувствую.
– Видишь ли, по своему характеру люди отличаются достаточно резко, и отношения к случаю, к риску, к счастливому выигрышу у них очень различны. Нет, конечно, такого человека, который не рассчитывал бы на счастливый случай, где-то в глубине своей души не надеялся бы, что везение наложится на естественный ход событий и поможет ему в достижении его целей.
Но, с одной стороны, было бы глупо полагаться только на везение, и не менее неразумно было бы совсем на него не рассчитывать. Обе крайности нецелесообразны. У меня есть робкая надежда, что моя книжка поможет читателю найти правильную среднюю линию поведения.
– Это за счет чего же?
– За счет того, что она даст ему представление о том, что вероятно, а что невозможно. По-моему, любому из нас следует приблизительно представлять себе, какое поведение равносильно броску монеты, а какое оправдано не более чем ожидание выигрыша автомобиля по лотерее.
– Цифровая твоя рационалистическая душа, – искренне возмутился Александр. – Твой герой раньше, чем совершить поступок, должен на логарифмической линейке рассчитать вероятность удачи. Тебе неизвестны, значит, случаи, когда поступить можно только единственным образом, вне зависимости от шансов не только на удачу, но и на жизнь.
– Известны. Но все же согласись, что в большинстве случаев, прежде чем делать, стоит подумать. И вот тогда понимание, что такое случайность, и правильное представление о вероятности события будут очень полезными.
– Любой здравомыслящий человек превосходно оценивает вероятность события, не зная теории.
– Ты думаешь? Тогда скажи мне, пожалуйста, вот что. Представь себе, что ты попал в игорный дом. Не возмущайся, это лишь риторический прием. У тебя есть десять франков и очень большое желание выиграть. Ты следишь за колесом рулетки и видишь, что черное вышло семь раз подряд. На какое поле ты бросишь теперь монету?
– Ответ очевиден. Тут есть какой-нибудь подвох?
– Никакого подвоха. Значит, ты бросишь монету на красное?
– Конечно!
– Так вот, мой дорогой. Шансы на то, что после семи черных выпадет черное или красное, одинаковы и равны половине. У рулетки нет памяти о прошлых событиях. И что происходило до того броска, который решает участь твоих денег, роли не играет.
– Ах да! – недовольно сказал друг. – Я помню это рассуждение, но что-то тут не так.
– Тут все так. Но, чтобы заставить читателя отказаться от ряда заблуждений и мистических представлений о шансе, придется повести неторопливый разговор, и, согласись, разговор этот не лишний.
– Как ты назовешь книгу? – чтобы переменить тему, спросил Александр Саввич.
– Книга будет называться «Невероятно – не факт»[1]. Часто говорят «невероятно, но факт». Эта фраза имеет лишь эмоциональное содержание. Сказать «невероятно, но факт» – это то же самое, что сказать «невозможно, но будет возможно». На самом же деле признание невероятности события равносильно признанию его полной невозможности. Более строго это утверждение может быть сформулировано так: события с достаточно малой вероятностью никогда не происходят, они невозможны.
– Но…
– Разумеется, – перебил я. – Одной из важных задач книги и является разъяснение того, что же считать «достаточно малой вероятностью».
– С чего же ты начнешь?
– С азартных игр. Надеюсь, читатели меня извинят. Теория вероятностей началась с азартных игр, которые занимали ум, время и, главное, страсти многих поколений. Сюжет достаточно интересен, а основные понятия, с которыми нам придется иметь дело в этой книге, наиболее просто вводятся с помощью игральных карт.
– Желаю удачи!
Часть первая
Игра
Орел или решка
Азартные игры появились на заре человечества. Их история начинается с игральных костей. Изобретение этого развлечения, источника радостей и несчастий, приписывается и индийцам, и египтянам, и грекам в лице Паламеда. При раскопках в Египте находили игральные кости разной формы – четырехгранные, двенадцатигранные и даже двадцатигранные. Но, разумеется, больше всего находили шестигранные, то есть кубы. Главная причина преимущественного их распространения – простота изготовления. Удобно и то, что цифры от единицы до шести не слишком малы и не слишком велики. Действительно, оперирование, скажем, с двадцатигранниками потребовало бы уже умственных напряжений для производства арифметических действий. Поэтому кости иной формы, чем кубы, применялись в основном для предсказания судьбы.
Впрочем, двадцатигранники нашли в последние годы себе применение в науке. Японские фирмы выпустили кость, на которой противоположные грани обозначены одним числом.
Таким образом при бросании выпадают цифры от 0 до 9. Бросая кость, мы можем создавать ряды случайных цифр, которые нужны (об этом мы расскажем позже) для проведения весьма серьезных расчетов так называемым методом Монте-Карло.
Учебник Теория вероятности — Самойленко, Кузнецов
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ХАРЬКОВСКАЯ НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ ГОРОДСКОГО ХОЗЯЙСТВА
Н.И. Самойленко, А.И. Кузнецов, А.Б. Костенко
ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Рекомендовано Министерством образования и науки Украины в качестве учебника для студентов высших учебных заведений
Издательство «НТМТ»
Харьков – 2009
УДК 519.21 (075.8) | Самойленко М.І., Кузнєцов А.І., Костенко О.Б. Теорія |
С17 | ймовірностей: Підручник. – Х.: Видавництво «НТМТ», |
ББК 22.171я73 | ХНАМГ, 2009. – 200 с. (рос. мовою). |
Самойленко Н.
«НТМТ», ХНАГХ. – 2009. – 200 с.
Гриф выдан Министерством образования и науки Украины, решение № 1.4.18-Г-286 от 29 января 2008 г.
Рецензенты:
Мамалуй А.А., заведующий кафедрой общей и экспериментальной физики Национального технического университета “ХПИ”, доктор физикоматематических наук, профессор.
Колосов А.И. заведующий кафедрой высшей математики Харьковской национальной академии городского хозяйства, доктор технических наук, профессор.
Левыкин В.М., заведующий кафедрой информационных управляющих систем Харьковского национального университета радиоэлектроники, доктор технических наук, профессор.
Учебник знакомит с основными понятиями и методами теории вероятностей. Приведенные методы иллюстрируются типовыми примерами. Каждая тема заканчивается практическим разделом для самостоятельного приобретения навыков по использованию методов теории вероятностей при решении стохастических задач.
Учебник снабжен двуязычной электронной версией, включающей динамические фрагменты представления сложного учебного материала и имеющей возможность постановки учебных экспериментов.
Для студентов высших учебных заведений. Табл.: 8. Ил.: 55. Библиограф. наименований: 15.
ISBN 978-966-8603-70-6
© ХНАГХ, Н.И.Самойленко, А.И.Кузнецов, А.Б.Костенко, 2009
Содержание
С О Д Е Р Ж А Н И Е
ПРЕДИСЛОВИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 7 |
ВВЕДЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 8 |
1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 10 |
1.1. Классическое определение вероятности. . . . . . . . . . . . . . . | 10 |
1.1.1.Необходимость и случайность . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.
1.2.Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3.Классическое определение вероятности . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.Элементы комбинаторики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1.Основные принципы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1.1. Правило сложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1.2. Правило умножения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2.Основные виды комбинаторных соединений . . . . . . . . . . . 18
1.2.2.1.Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2.2.Размещения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2.2.3.Сочетания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.3. | Примеры комбинаторных задач . | 21 | ||
1.3. | Алгебра событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 22 | ||
1.3.1. | Пространство событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 22 | ||
1.3.2. | Операции над событиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 24 | ||
| 1.3.2.1. | Сумма событий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 25 | |
| 1.3.2.2. | Произведение событий . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 26 | |
1.3.3. | Свойства операций сложения и умножения . . . . . . . . . . . | 26 | ||
1. | Практикум и вопросы для самоконтроля. . . . . . . . . . . . . . . | 27 | ||
. . . . . . . . . . . . . . .
4.2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.Основные теоремы теории вероятностей . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.1.Вероятность суммы событий . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.2.Полная группа событий и противоположные события . . . . . . . 36
2.1.3.Зависимые и независимые события . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.4.Условная вероятность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.1.5. Вероятность произведения событий . . . . . . . . . . . . . . | 39 |
2.2. Модели надежности технических систем . . . . . . . . . . . . . . | 41 |
3
Теория вероятностей
2.2.1.Надежность технических систем . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.2.Последовательное соединение элементов .
. . . . . . . . . . . 43
2.2.3.Параллельное соединение элементов . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.4. | Смешанное соединение элементов . . . . . . . . . . . . . . . | 46 | |
2.3. | Практикум и вопросы для самоконтроля. . . . . . . . . . . . . . . | 47 | |
3. ПРИЛОЖЕНИЯ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . | 50 | ||
3.1. | Алгебра гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 50 | |
3.1.1. | Формула полной вероятности . . . . . . . . . . . . . . . . . | 50 | |
3.1.2. | Формула Байеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 53 | |
3. | Надежность систем с мостовым соединением элементов . . . . . . | 55 | |
3.2. | Повторение опыта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 57 | |
3.2.1. | Задачи на повторение независимых опытов. . . . . . . . . . . . | 57 | |
3.2.2. | Формула Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 59 | |
1.3.3.2.3.Локальная теорема Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2.4.Интегральная теорема Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.5.Наивероятнейшее число наступления событий . . . . . . . . . . 63
3.3. Практикум и вопросы для самоконтроля. . . . . . . . . . . . . . . 66
4. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 69 |
4. | 69 |
4.1.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 69 |
1. Формы задания дискретных случайных величин . . . . . . . . . . .4.1.2.Формы задания закона распределения дискретной случайной величины. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.2.1.Ряд распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.2.2.Интегральная функция распределения . . . . . . . . . . . . 71
4.1.3.Пример построения закона распределения . . . . . . . . . . . . 72
4.1.4.Вероятность попадания случайной величины на заданный участок. . 74
4.2.Формы задания непрерывной случайной величины и её свойства . . . . 76
4.2.1.Интегральная функция распределения. . . . . . . . . . . . . . 76
4.2.2.Вероятность конкретного значения непрерывной случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.2.3.Плотность распределения вероятности . . . .
. . . . . . . . . 78
4.2.4.Свойства плотности распределения вероятности . . . . . . . . . 79
4.2.5.Вероятность попадания непрерывной случайной величины на
заданный участок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 80 |
4.3.Числовые характеристики случайных величин . . . . . . . . . . . . 81
4.3.1.Характеристики положения случайной величины на числовой оси. . 81
4.3.1.1.Математическое ожидание. . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.1.2.Мода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.1.3.Медиана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.2.Моменты случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.2.1.Начальные моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.3.2.2. Центральные моменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3.3.Свойства моментов случайных величин . . . . . . . . . . . . . 85
4.
3.3.1.Первый начальный момент. . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4
Содержание
4.3.3.2.Первый центральный момент. . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.3.3.Второй начальный момент. . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.3.4.Второй центральный момент . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.3.5.Связь дисперсии с начальными моментами . . . . . . . . . . 88
4.3.4.Среднее квадратичное отклонение . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3.5.Моменты высоких порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.3.5.1.Третий центральный момент и коэффициент асимметрии. . . . 89
4.3.5.2.Четвертый центральный момент и величина эксцесс . . . . . . 90
4.4. Практикум и вопросы для самоконтроля. . . . . . . . . . . . . . . 91
5.ЧАСТНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.1.Законы распределения дискретных случайных величин . . . . . . . . 100
5.1.1.Биномиальный закон распределения . . . . . . . . . . . . . . 100
5.
1.1.1.Общая характеристика биномиальной случайной величины . . . 100
5.1.1.2.Числовые характеристики биномиальной случайной величины . 101
5.1.2.Закон распределения Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1.2.1.Простейший поток событий . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.1.2.2.Общая характеристика пуассоновской случайной величины. . . 104
5.1.2.3.Числовые характеристики пуассоновской случайной величины . 106
5.1.2.4.Вероятность попадания пуассоновской случайной величины на
заданный участок. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2.Законы распределения непрерывных случайных величин . . . . . . . 108
5.2.1.Равномерный закон распределения . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2.1.1.Общая характеристика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2.1.2.Числовые характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2.1.3.Вероятность попадания случайной величины на заданный участок . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 111
5.2.2. Показательный закон распределения . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.2.1.Общая характеристика . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.2.2.Числовые характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.2.2.3.Вероятность попадания случайной величины на заданный участок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.2.3.Нормальный закон распределения . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2.3.1.Общая характеристика. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.2.3.2.Числовые характеристики . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.2.3.3.Вероятность попадания случайной величины на заданный участок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2.3.4. Правило трех сигм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3.Распределения, производные от нормального распределения . . . . . . 120
5.3.1.Распределение Пирсона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.3.2.Распределение Стьюдента.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.3. Распределение Фишера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 121 |
5.4. Практикум и вопросы для самоконтроля. . . . . . . . . . . . . . . | 122 |
6.СЛУЧАЙНЫЕ ВЕКТОРЫ И ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ . . 128
6.1.Случайные векторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5
Теория вероятностей
6.1.1.Интегральная функция распределения случайного вектора . . . . . 128
6.1.2.Вероятность попадания случайного вектора на заданный участок . . 130
6.1.3. Плотность распределения случайного вектора . . . . . . . . . . 131
6.1.4.Условные законы распределения . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.1.5.Числовые характеристики случайного вектора . . . . . . . . . . 133
6.2.Функции случайных аргументов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.2.1.Числовые характеристики функции случайных аргументов .
. . . . 135
6.2.2.Теоремы о числовых характеристиках функции случайных аргументов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2.3.Закон распределения функции случайных аргументов . . . . . . . 141
6.3. Практикум и вопросы для самоконтроля . . . . . . . . . . . . . . 143
7.ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.1.Закон больших чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
7.1.1. | Теорема Бернулли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 146 | |
7.1.2. | Закон больших чисел в форме Чебышева. . . . . . . . . . . . . | 147 | |
7.1.2.1. | Неравенство Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 147 | |
7. | Теорема Чебышева . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . | 147 | |
7.1.2.3. | Проверка закона больших чисел . . . . . . . . . . . . . . | 148 | |
1.2.2.7.1.2.4.Сжатие распределения с ростом числа слагаемых . . . . . . . 150
7.2.Усиленный закон больших чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.2.1.Теорема Бореля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.2.2.Теорема Колмогорова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.2.3.Основная теорема статистики . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.3.Центральная предельная теорема. . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.3.1.Содержание центральной предельной теоремы . . . . . . . . . . 156
7.3.2.Теорема Линдеберга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.3.3. Теорема Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.3.4.Сумма одинаково распределенных случайных величин.
. . . . . . 158
7.4.Практикум и вопросы для самоконтроля. . . . . . . . . . . . . . . 161
ОТВЕТЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ. СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ . . . . . . . . . . . 184
БИБЛИОГРАФИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 ПРИЛОЖЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Приложение А. Значения функции Гаусса . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Приложение В. Значения функции Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . 195 Приложение С. Математические формулы для справок. . . . . . . . . . . 196 Приложение D. Основные формулы дифференциального исчисления . . . . 197 Приложение E. Основные формулы интегрального исчисления . . . . . . . 198 Приложение G. Электронная версия учебника . . . . . . . . . . . . . . 199
6
Предисловие
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий учебник предназначен для студентов специальностей менеджмента и экономики высших учебных заведений дневной, заочной и дистанционной форм обучения, которые прослушали общий курс высшей математики.
Основная цель учебника – способствовать дальнейшему повышению уровня фундаментальной математической подготовки студентов, а также формированию у них теоретических знаний и практических навыков по использованию вероятностно-статистического аппарата для решения прикладных задач экономики и менеджмента.
Основной задачей изучения дисциплины является предоставление студентам сведений об основных понятиях, положениях, ключевых теоремах теории стохастических явлений и процессов, а также формирование умений:
выполнять качественный и количественный анализ случайных событий, случайных величин и систем таких величин;
использовать элементы дисперсионного анализа и теории корреляции в исследовании систем случайных величин;
включать результаты исследований в математические модели задач экономики и менеджмента.
Основная особенность учебника – наличие электронной версии, позволяющей студентам изучать «Теорию вероятностей» без непосредственного участия преподавателя.
По мнению авторов, электронный учебник является доминирующим в процессе изучения дисциплины, поскольку предполагает использование элементов современных информационных технологий. Электронная версия учебника включает ряд динамических фрагментов, которые в процессе обучения предоставляют студенту возможность проводить учебные эксперименты, наблюдать процессы решения типовых задач и управлять ими, отслеживать решение многоэтапных задач по схеме алгоритма, строить графики и диаграммы, графически интерпретировать математические операции и пр. Гипертекстовая организация учебного материала, наличие гипертекстового словаря терминов, совмещенного с предметным указателем, возможность многократно воспроизводить динамические фрагменты и управлять ими делают электронный учебник более предпочтительным по сравнению с традиционным учебником. Но, чтобы избежать длительных сеансов работы с электронной версией дисциплины, последняя должна иметь традиционный вариант учебника. На любом этапе обучения у студента должна быть возможность выбора способа изучения дисциплины: с помощью персонального компьютера или без него.
Поэтому данная книга является органическим дополнением электронного учебника в информационно-методическом обеспечении самостоятельного изучения дисциплины студентами любой формы обучения.
7
Теория вероятностей
В В Е Д Е Н И Е
Интенсивное развитие экономики страны непосредственно связано с использованием математической теории в прикладной сфере деятельности человека. Решающую роль в обеспечении высоко эффективной экономики должны сыграть специалисты, хорошо владеющие математическими методами и имеющие достаточный опыт их использования в решении практических задач. Теоретическая подготовка таких специалистов ложится на плечи высшей школы.
«Теория вероятностей» является прикладным разделом высшей математики. Это значит, что знания и умения, приобретаемые обучающимися в результате изучения курса, понадобятся им для решения конкретных задач в будущей профессиональной деятельности. Прикладная ориентация дисциплины не ограничивается только профессиональной деятельностью.
Данная наука с успехом может и должна быть использована для решения задач, которые часто возникают в повседневной жизни – в быту и на работе. Особенно полезны знания по теории вероятностей при оценке выбора действий, способных привести к материальному выигрышу или потерям. Нельзя считать человека образованным, если он не может дать количественной оценки, например, целесообразности участия в той или иной денежно-вещевой лотерее, а тем более объяснить выбор принимаемого решения по оперативному управлению производством.
Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники:
•теории надежности;
•теории массового обслуживания;
•теоретической физике;
•геодезии;
•астрономии;
•теории стрельбы;
•теории ошибок наблюдений;
•теории автоматизированного управления;
•общей теории связи;
•медицинской и технической диагностиках;
•теории распознавания образов;
•радиолокационной технике;
8
Введение
•стохастическом программировании;
•во многих других теоретических и прикладных науках.
«Теория вероятностей» лежит в основе другой прикладной дисциплины – «Математической статистики», которая, в свою очередь, используются при планировании и организации производства, анализе технологических процессов, планово-предупредительном ремонте, контроле качества продукции и для многих других целей. «Математическая статистика» является органическим дополнением «Теории вероятностей».
Краткая историческая справка. Первые работы, в которых зарождались основные понятия «Теории вероятностей», представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль,
Ферма и др. в XVI-XVII вв.).
Следующий этап развития «Теории вероятностей» связан с именем Якова Бернулли (1654-1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.
Дальнейшими успехами «Теория вероятностей» обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.
Новый период связан с именами П. Л.Чебышева (1821-1894) и его учеников А.А.Маркова и А.М.Ляпунова (1857-1918). В этот период «Теория вероятностей» становится стройной математической наукой.
Как своим зарождением, так и развитием «Теория вероятностей» во многом обязана азартным играм. Именно при анализе результатов азартных игр было замечено, что достаточно большое число однородных событий, независимо от их конкретной природы, подчинено определенным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается «Теория вероятностей».
Предметом «Теории вероятностей» является изучение закономерностей, которым подчиняются однородные случайные явления.
Знание закономерностей, которым подчиняются случайные массовые события, позволяют предвидеть, как эти события будут протекать в дальнейшем.
В целом «Теория вероятностей и математическая статистика»
представляет собой математическую дисциплину, которая изучает количественные и качественные методы и средства анализа закономерностей эволюции систем прикладного характера, развивающихся в условиях стохастической неопределенности.
9
Теория вероятностей и математическая статистика — Образовательная платформа «Юрайт». Для вузов и ссузов.
- Скопировать в буфер библиографическое описание
Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник для прикладного бакалавриата / В. Е. Гмурман. — 12-е изд. — Москва : Издательство Юрайт, 2014. — 479 с. — (Бакалавр. Прикладной курс). — ISBN 978-5-9916-3461-8. — Текст : электронный // Образовательная платформа Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/378233 (дата обращения: 18.09.2022).
- Добавить в избранное
12-е изд. Учебник для прикладного бакалавриата
- Нравится
- 2 Посмотреть кому понравилось
- Поделиться
- Описание
- Программа курса
- Видео: 1
- Тесты: 25
- Выбор редакции
- Нет в мобильном приложении
- Аннотация
- Программа курса
- Медиаматериалы 1
- Тесты 25
- Комплекты 1
Многие поколения студентов как в нашей стране, так и за рубежом хорошо знают это пособие, ставшее классическим учебным изданием. Его ценность заключается в том, что сложные вопросы теории вероятностей и математической статистики изложены в логической последовательности и доступной форме. Большое количество примеров позволяет лучше усвоить материал, а задачи, приведенные в конце каждой главы, закрепить полученные знания.
Элементарное введение в теорию вероятностей.
Борис Владимирович Гнеденко, Александр Яковлевич Хинчин
М., Наука, 1970. 168 с.
Тираж 100000 экз.
| |||||||||||
Настоящая книжка двух советских математиков выдержала несколько издании в нашей стране и переведена во многих странах: Франции, ГДР, США, Польше, Венгрии, Чехословакии, Румынии, Аргенгнне, Японии, Испании, КНР. Повсюду она встретила благожелательное отношение читателей.
Эта книжка предъявляет минимальные требования к математическим знаниям читателя. Математического образования в объеме средней школы вполне достаточно для свободного понимания всех ее разделов. Изложение ведется на базе рассмотрения примеров практического содержания. При этом, однако, авторы не стремятся углубиться в детали специально технические, чтобы не затемнять суть рассматриваемых теоретико-вероятностных вопросов.
Седьмое издание отличается от шестого исправлением замеченных опечаток и добавлением новой главы, посвященной изложению элементов теории случайных процессов, получившей уже право называться одним из основных математических орудий современной практики.
Содержание
Предисловие к седьмому изданию.
Предисловие к пятому изданию.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.
ВЕРОЯТНОСТИ.
Глава 1. Вероятности событий.
§ 1. Понятие вероятности.
§ 2. Невозможные и достоверные события.
§ 3. Задача.
Глава 2. Правило сложения вероятностен.
§ 4. Вывод правила сложения вероятностен.
§ 5. Полная система событий.
§ 6. Примеры.
Глава 3. Условные вероятности и правило умножения.
§ 7. Понятие условной вероятности.
§ 8. Вывод правила умножения вероятностей.
§ 9. Независимые события.
Глава 4. Следствия правил сложения и умножения.
§ 10. Вывод некоторых неравенств.
§ 11. Формула полной вероятности.
§ 12. Формула Бапеса.
Глава 5. Схема Бернулли.
§ 13. Примеры.
§ 14. Формулы Бериулли.
§ 15. Наивероятнейшее число наступлений события.
Глава 6. Теорема Бернулли.
§ 16. Содержание теоремы Бериулли.
§ 17. Доказательство теоремы Бернулли.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ.
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
Глава 7. Случайная величина и закон распределения.
§ 18. Понятие случайной величины.
§ 19. Понятие закона распределения.
Глава 8. Средние значения.
§ 20. Определение среднего значения случайной величины.
Глава 9. Средине значения суммы и произведения.
§ 21. Теорема о среднем значении суммы.
§ 22. Теорема о среднем значении произведения.
Глава 10. Рассеяние и средние уклонения.
§ 23. Недостаточность среднего значения для характеристики случайной величины.
§ 24. Различные способы измерения рассеяния случайной величины.
§ 25. Теоремы о среднем квадратическом уклонении.
Глава 11. Закон больших чисел.
§ 26. Неравенство Чебышева.
§ 27. Закон больших чисел.
§ 28. Доказательство закона больших чисел.
Глава 12. Нормальные законы.
§ 29. Постановка задачи.
§ 30. Понятие кривой распределения.
§ 31. Свойства нормальных кривых распределения.
§ 32. Решение задач.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ.
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ.
Глава 13. Введение в теорию случайных процессов.
§ 33. Представление о случайном процессе.
§ 34. Понятие случайного процесса. Разные типы случайных процессов.
§ 35. Простейший поток событии.
§ 36. Одна задача теории массового обслуживания.
§ 37. Об одной задаче теории надежности.
Заключение.
Приложение. Таблица значении величины Φ(а).
| |||||||||||
Постоянный адрес этой страницы: http://math.ru/lib/106
Базовая теория вероятностей и статистика | Параг Радке
Я хочу обсудить некоторые очень фундаментальные термины/понятия, связанные с вероятностью и статистикой, которые часто встречаются в любой литературе, связанной с машинным обучением и ИИ.
R andom Experiment
Случайный эксперимент — это физическая ситуация, результат которой нельзя предсказать, пока он не будет наблюдаться.
S достаточное пространство
Выборочное пространство — это набор всех возможных результатов случайного эксперимента.
R andom Переменные
A случайная величина , является переменной, возможные значения которой являются числовыми результатами случайного эксперимента . Есть два типа случайных величин.
1. D iscrete Случайная переменная — это переменная, которая может принимать только счетное число различных значений, таких как 0,1,2,3,4,…….. Дискретные случайные величины обычно (но не обязательно) считает.
2. C непрерывная случайная величина принимает бесконечное число возможных значений. Непрерывные случайные величины обычно являются измерениями.
P вероятность
Вероятность — это мера вероятности того, что событие произойдет в случайном эксперименте. Вероятность количественно определяется числом от 0 до 1, где, грубо говоря, 0 означает невозможность, а 1 — уверенность. Чем выше вероятность события, тем больше вероятность того, что событие произойдет.
Пример
Простой пример — подбрасывание честной (беспристрастной) монеты. Поскольку монета честная, оба исхода («орел» и «решка») равновероятны; вероятность «орла» равна вероятности «решки»; а поскольку другие исходы невозможны, вероятность выпадения «орла» или «решки» равна 1/2 (что также можно записать как 0,5 или 50%).
C Условная вероятность
Условная вероятность – это мера вероятности события при условии, что (по предположению, презумпции, утверждению или доказательствам) другое событие уже произошло. Если интересующим событием является А, а событие В известно или предполагается, что оно произошло, «условная вероятность А при заданном В» обычно записывается как P(A|B).
I ndependence
Два события называются независимыми друг от друга, если вероятность того, что одно событие произойдет, никоим образом не влияет на вероятность появления другого события, или, другими словами, если у нас есть наблюдение об одном событии, оно не не влияет на вероятность другого. Для независимых событий A и B ниже верно
Пример
Предположим, вы бросили кубик и подбросили монету. Вероятность выпадения любого числа на кубике никоим образом не влияет на вероятность выпадения орла или решки на монете.
C условная независимость
Два события A и B условно независимы при наличии третьего события C точно в том случае, если появление A и появление B являются независимыми событиями в их условном распределении вероятностей при заданном C. Другими словами, A и B условно независимы при заданном C тогда и только тогда, когда при знании того, что C уже произошло, знание о том, происходит ли A, не дает дополнительной информации о вероятности возникновения B, а знание о том, происходит ли B, не дает дополнительной информации о вероятности возникновения A.
Пример
В коробке две монеты, обычная монета и одна фальшивая двуглавая монета (P(H)=1P(H)=1). Я выбираю монету наугад и подбрасываю ее дважды.
Пусть
A = При первом подбрасывании монеты выпал HH.
B = При втором подбрасывании монеты выпадает HH.
C = Выбрана монета 1 (обычная).
Если C уже наблюдается, т.е. мы уже знаем, выбрана обычная монета или нет, события A и B становятся независимыми, так как исход 1 не влияет на исход другого события.
E ожидание
Ожидание случайной величины X записывается как E(X). Если мы наблюдаем N случайных значений X, то среднее значение N будет приблизительно равно E(X) для больших N. Говоря более конкретно, ожидание — это то, что вы ожидаете от результата эксперимента на среднее, если повторять эксперимент большое количество раз.
V ariance
Дисперсия случайной величины X является мерой концентрации распределения случайной величины X вокруг ее среднего значения. Он определяется как
P Распределение вероятности
Это математическая функция, которая отображает все возможные результаты случайного эксперимента с соответствующей вероятностью. Это зависит от случайной переменной X, является ли она дискретной или непрерывной.
1. Дискретное распределение вероятностей : Математическое определение дискретной функции вероятности p(x) — это функция, удовлетворяющая следующим свойствам. Это называется Функция массы вероятности .
2. Непрерывное распределение вероятностей : Математическое определение непрерывной функции вероятности f(x) — это функция, удовлетворяющая следующим свойствам. Это упоминается как функция плотности вероятности .
J oint Распределение вероятностей
Если X и Y — две случайные величины, то распределение вероятностей, определяющее их одновременное поведение во время результатов случайного эксперимента, называется совместным распределением вероятностей. Совместная функция распределения X и Y, определяемая как 9n строк в таблице.
C условное вероятностное распределение (CPD)
Если Z является случайной величиной, зависящей от других переменных X и Y, то распределение P(Z|X,Y) называется CPD Z относительно X и Y. Это означает для каждой возможной комбинации случайных величин X, Y мы представляем распределение вероятностей по Z.
Пример
Есть студент, у которого есть свойство под названием « Интеллект », которое может быть либо низким ( I_0 ), либо высоким ( И_1 ). Он/она записывается на курс. Курс имеет свойство под названием « Сложность », которое может принимать двоичные значения легко (D_0)/сложно (D_1). И студент получает « Оценка » по курсу на основе его успеваемости, и оценка может принимать 3 значения G_1 (Лучший)/( G_2 )/( G_3 )(Худший). Тогда CPD P(G|I,D) выглядит следующим образом:
Существует ряд операций, которые можно выполнить над любым распределением вероятностей, чтобы получить интересные результаты. Ниже приведены некоторые важные операции.
- Кондиционирование/Редукция
Если у нас есть распределение вероятностей n случайных величин X1, X2 … Xn, и мы делаем наблюдение относительно k переменных, что они приобрели определенные значения a1, a2, …, ak. Это означает, что мы уже знаем их назначение. Тогда строки в JD, которые не согласуются с наблюдением, просто могут быть удалены, и у нас останется меньшее количество строк. Эта операция известна как редукция.
2. Маргинализация
Эта операция берет распределение вероятностей по большому набору случайных величин и создает распределение вероятностей по меньшему подмножеству переменных. Эта операция известна как маргинализация подмножества случайных величин. Эта операция очень полезна, когда у нас есть большой набор случайных переменных в качестве функций, и нас интересует меньший набор переменных и то, как это влияет на результат. Например
F актор
Фактор — это функция или таблица, которая принимает несколько случайных величин {X_1, X_2,…,X_n} в качестве аргумента и выдает действительное число на выходе. Набор входных случайных величин называется размахом фактора. Например, совместное распределение вероятностей — это фактор, который принимает все возможные комбинации случайных величин в качестве входных данных и дает значение вероятности для этого набора переменных, которое является действительным числом. Факторы являются фундаментальным блоком для представления распределений в больших измерениях и поддерживают все основные операции, с которыми можно работать с объединениями распределений, такие как произведение, сокращение и маргинализация.
Факторный продукт
Мы можем производить факторные продукты, и результат также будет фактором. Например,
Список для чтения по основам вероятности и статистики
Продолжающаяся сага о путешествиях во времени в квантовой вселенной была отложена, потому что я усердно работал над написанием статьи. Будьте уверены, это произойдет в ближайшие неделю или две. На данный момент меня больше интересуют основы вероятности и статистики. Точнее говоря, я всегда интересовался (и был самоуверен) по этому вопросу, но в последнее время я стал интересоваться более широким чтением по этому вопросу в надежде, что я действительно узнаю, о чем я говорю. Литература по этому вопросу обширна, поэтому я решил сосредоточиться на аргументах в пользу различных концепций вероятности и на том, как они используются для обоснования статистической методологии. Я также решил сосредоточиться на книгах и сборниках, а не перечислять ссылки на оригинальные статьи, за исключением нескольких случаев, когда мне не удавалось найти собрание, содержащее важную статью. Ссылки, как правило, относятся к самым последним изданиям текстов, а не к оригиналам. Я добавил комментарии к ссылкам, о которых мне что-то известно, и буду добавлять новые по мере их прочтения. Если кто-то считает, что я пропустил что-то важное, пожалуйста, напишите об этом в комментариях.
Раскрытие информации: Все ссылки на Amazon являются партнерскими ссылками.
Общие сведения
- Т. Л. Файн, Теории вероятностей (Academic Press, 1973)
- ПРОЧИТАЙТЕ Это отличная книга, но она не для слабого сердца. Файн не считает ни один из основных подходов к теории вероятностей адекватным, поэтому некоторые части книги несколько многословны, но лично я люблю хорошие разглагольствования. Он охватывает большинство основных подходов к теории вероятностей со всеми кровавыми математическими подробностями. Сюда входят аксиоматический, относительная частота, алгоритмическая сложность, классический, логический и субъективный подходы. Довольно уникальным для этого текста является всестороннее рассмотрение сравнительной вероятности, где вы просто имеете отношение «более вероятно, чем», а не количественную меру вероятности. Это происходит в самом начале книги и может оттолкнуть некоторых читателей, поскольку это чрезвычайно техническое и незнакомое описание. Однако, как только Файн попадает на более знакомую территорию количественной вероятности, книга становится намного более читабельной. Если вас интересуют математические основы вероятности, то лучшей книги вы не найдете. И последнее предупреждение: некоторые разделы книги немного устарели, поскольку она была написана в 19 веке.70-х годов, и с тех пор в некоторых областях был достигнут значительный прогресс, например. в методах максимальной энтропии и алгоритмической сложности. Тем не менее, со времени выхода этой книги никто не проделал такой всеобъемлющей работы по освещению математики.
- Мария Галавотти, Философское введение в теорию вероятности (Стэнфорд: Центр изучения языка и информационных публикаций, 2005 г.)
- ПРОЧИТАТЬ Лучшее название для этой книги было бы «Историко-философское введение в теорию вероятностей». Галавотти охватывает все стандартные интерпретации вероятности: классическую, частотную, предрасположенность, логическую, субъективную; но она делает это, сосредотачиваясь на людях, которые разработали эти взгляды. Каждая глава состоит из разделов, посвященных отдельным исследователям основ вероятности, начиная с подробной биографии, за которой следует описание их точки зрения. Это контрастирует с другими вводными текстами, которые, как правило, сосредоточены на конкретной версии каждой точки зрения, например. Теория частотности фон Мизеса обычно подробно обсуждается, лишь вскользь упоминаются другие сторонники, такие как Венн и Райхенбах. Этот исторический подход полезен как точка входа в историческую литературу и имеет то преимущество, что он охватывает более широкий спектр мнений, чем другие вводные тексты. Есть несколько человек, которые часто упоминаются в современной литературе, но обычно без подробного описания их взглядов. С этой точки зрения я нашел отчеты Рейхенбаха, Джеффриса и Рамзи очень полезными. Рейхенбах был сторонником частот, но применял байесовский подход к статистическим выводам. Учитывая тесную связь между частотностью и классической статистикой, с одной стороны, и субъективизмом и байесовской статистикой, с другой, легко упустить возможность позиции Райхенбаха и рассматривать критику классической статистики как критику частотности вообще. Трактовка Рамзи особенно хороша, так как это область, в которой Галавотти провел значительную учебу. Рамзи — один из создателей субъективного взгляда на вероятность, но его обычно считают плюралистом в отношении вероятности, потому что в опубликованном им эссе он сделал замечания о том, что для науки требуется другое объяснение вероятности. К сожалению, Рамсей умер, не успев закончить свой отчет о вероятности в естественных науках. Используя неопубликованные записные книжки в качестве источников, Галавотти утверждает, что Рамзи не был плюралистом и что его объяснение научной вероятности основывалось бы на стабильности субъективных вероятностей. Это не совсем убедительно, но представляет собой интересную альтернативу обычному изложению точки зрения Рамзи.
Однако в этой книге подход Галавотти содержит три отрицательных момента. Во-первых, учитывая количество точек зрения, которые она обсуждает, многие из обсуждений слишком кратки, чтобы дать реальное понимание вовлеченных тонкостей. Во-вторых, ее изложение основных особенностей теории вероятностей в начале книги довольно неуклюже и может сбить с толку того, кто никогда раньше не сталкивался с вероятностью (отчасти неуклюжесть может быть связана с тем, что это перевод итальянского оригинала). В-третьих, в этой книге избегается математика, даже там, где она была бы чрезвычайно полезна. В некоторых случаях основные возражения против точки зрения заключаются в том, что математика не говорит того, что ее сторонники хотели бы сказать, и невозможно отдать должное этим аргументам, не написав пару уравнений. Поэтому, несмотря на то, что в названии этой книги есть «Введение», я не могу рекомендовать ее в качестве первого учебника по предмету.
Было бы лучше сначала прочитать что-нибудь вроде «Хакинга» или «Гиллиса», а затем использовать это в качестве дополнительного чтения, чтобы получить некоторый исторический контекст. В целом, это самобытная и оригинальная работа, представляющая собой полезное дополнение к более традиционным учебникам по этому предмету. - Дональд Гиллис, Философские теории вероятности (Routledge 2000)
- ПРОЧИТАТЬ Это лучший вводный учебник по основам вероятности с точки зрения философии, который я читал. В первой части книги рассматривается большинство наиболее известных теорий вероятностей: классическая, логическая, частотная, субъективная байесовская теория и теории склонностей. Единственная общепринятая интерпретация, которой не хватает, — это обсуждение концепции объективных шансов и основного принципа Льюиса. Это позор, поскольку в настоящее время он является одним из самых модных, особенно среди философов квантовой теории, с которыми я общаюсь. Гиллис хорошо объясняет различие между объективным и субъективным подходами к вероятности, и обсуждение достоинств и критических замечаний каждой точки зрения в значительной степени сбалансировано и взвешенно. Точно описаны места, где возникают математические тонкости, такие как бесконечные выборочные пространства и предельные теоремы. Несмотря на то, что математические тонкости опущены, как и подобает во вводной книге, то, что он говорит о них, является концептуально точным. Во второй части книги излагаются собственные взгляды автора на вероятность, которые включают защиту плюралистического подхода, при котором разные интерпретации вероятности подходят для разных предметных областей. Он склоняется в пользу взгляда объективных шансов на долгосрочную частоту склонности и субъективистского взгляда на другие вероятности, со спектром других промежуточных возможностей. В этой части книги я со многим не согласен, но это не большая критика, потому что почти все философские учебники становятся спорными, когда автор обсуждает свои собственные взгляды. Для полноты приведу основные моменты, с которыми я не согласен:
- Я думаю, что аргумент о том, что взаимозаменяемость не может оправдать статистическую методологию, основан на двойном стандарте в отношении степени, в которой интерпретации вероятности могут быть приблизительными. Фреквентистские теории получают гораздо больше снисходительности в той степени, в которой они должны лишь приближаться к реальности.
- Я не думаю, что «интерсубъективная» интерпретация вероятности отличается от обычной субъективной. Различие основано на непонимании того, что такое «агент» в субъективной теории. Это не обязательно отдельный человек, но может быть хорошо запрограммированный компьютер или сообщество, имеющее приблизительно общие ценности. Таким образом, интерсубъективная теория есть лишь частный случай обычной субъективной.
- Я не согласен с плюралистическим взглядом на вероятность. Например, аргумент о том, что вероятности в экономике коренным образом отличаются от вероятностей в естественных науках, основан на нашей способности проводить повторяемые эксперименты. Это свойство нашей эпистемологической ситуации, а не свойство реальности. Например, мы могли бы представить себе расу инопланетян, способных создать множество копий планеты Земля, идентичных по всем факторам, имеющим значение для экономики. Затем они могли бы проводить эксперименты по экономике, которые имеют тот же статус, что и эксперименты, которые мы проводим в физике. Я также думаю, что различие Гиллиса не учитывает то, как вероятности используются в современных предметах, таких как квантовая теория информации, где у вас наверняка есть субъективные вероятности, заражающие наше описание естественных физических систем.
Несмотря на эту критику, для полного объяснения которой потребовалась бы целая статья, это по-прежнему очень хороший вводный текст.
- Я думаю, что аргумент о том, что взаимозаменяемость не может оправдать статистическую методологию, основан на двойном стандарте в отношении степени, в которой интерпретации вероятности могут быть приблизительными.
- Ян Хакинг, Введение в теорию вероятностей и индуктивную логику (CUP 2001)
- ПРОЧИТАТЬ Общее введение, предназначенное для изучающих философию. Подойдет для старшекурсников, не знакомых с вероятностью, но, возможно, немного логики и/или наивной теории множеств. Немного упрощенно для тех, у кого более сильный опыт, но последующие главы могут быть полезны тем, кто не знаком с различными философскими подходами к теории вероятностей.
- Алан Хайек, Интерпретации вероятности , Стэнфордская философская энциклопедия (издание весной 2010 г.), Эдвард Н. Залта (редактор), http://plato.stanford.edu/archives/spr2010/entries/probability-interpret/
- ПРОЧИТАЙТЕ Как обычно для Стэнфордской энциклопедии философии, это хорошее резюме и отправная точка для ссылок.
- Д. Х. Меллор, Вероятность: философское введение (Routledge 2005)
- ПРОЧИТАЙТЕ Должен признаться, что этот учебник по философии вероятностей оставил во мне еще большее замешательство, чем когда я начал его читать. Возможно, это потому, что это определенно учебник философии, а Меллор время от времени не уклоняется от философского жаргона, например. «Юмовская теория причинности». Что мне понравилось в подходе, использованном в этой книге, так это то, что Меллор вводит три вида вероятности — объективные шансы, эпистемическую вероятность и достоверность — в самом начале, а затем переходит к обсуждению того, как их интерпретирует каждая интерпретация вероятности. Это контрастирует с большинством других методов лечения, которые проводят широкое различие между объективными и субъективными интерпретациями, а затем продолжают обсуждать каждую интерпретацию отдельно без какой-либо общей темы. Подход Меллора лучше, потому что каждая из интерпретаций вероятности имеет свою область применения, т.е. фон Мизес отрицает релевантность чего-либо, кроме случайностей, а субъективисты отрицают все, кроме доверия, поэтому становится ясно, когда разные интерпретации обсуждают одно и то же и когда они пытаются свести одно понятие к другому. Единственная проблема с этим подходом заключается в том, что он предполагает, что определенно существует три типа вероятности, и, следовательно, фактически предполагает необходимость плюралистического подхода. Я бы предпочел сказать, что в языке, который мы используем для обсуждения теории, существует три типа утверждений о вероятности, и что интерпретация вероятности должна придавать смысл каждому виду утверждений, не предполагая с самого начала, что различные типы утверждений действительно соответствуют различным понятиям. В отличие от Гиллиса, эта книга включает подробное обсуждение основного принципа и его родственников, и это хорошо. Однако я обнаружил, что обсуждение Меллором таких вещей, как пределы и бесконечные пространства выборок, вводит в заблуждение гораздо больше, чем обсуждение у Гиллиса. Например, когда он вводит понятие предела, он приводит пример функции, стремящейся к своему пределу равномерно и с одной стороны. Это отличается от вероятностных пределов, которые могут подвергаться большим колебаниям. Он также предполагает в какой-то момент, что единственные вероятности, которые имеют смысл в бесконечном выборочном пространстве, равны нулю и единице, прежде чем исправиться. Несмотря на то, что в конце концов он правильно понимает концепции, такого рода утверждения могут сбить с толку. Теперь, во вводном философском тексте, я не ожидаю, что каждое математическое понятие будет рассмотрено со всей строгостью, но Гиллис показывает, что можно обсуждать эти понятия на эвристическом уровне, не говоря ничего неточного. Наконец, Меллор склонен предполагать, что математика действительно говорит то, что от нее хотят сказать сторонники каждой интерпретации, а затем переходит к критике на более концептуальном уровне, тогда как я думаю, что некоторые из наиболее эффективных аргументов против интерпретаций вероятности таковы. просто математика не говорит того, что им нужно сказать. По всем этим причинам я бы рекомендовал ее в качестве дополнительного текста, особенно для философов, но не в качестве первого вводного текста по этому вопросу.
Общие сборники
Это сборники документов, которые не относятся к какому-то одному подходу. Сборники по конкретным подходам перечислены в соответствующих разделах.
- Энтони Игл (ред.), Философия вероятности: современные чтения (Routledge 2010). Должен быть опубликован 19 ноября.
- НЕПРОЧИТАНО Содержит множество классических статей, включая де Финетти, Поппера и Льюиса, а также современные комментарии.
История
- Ян Хакинг, Возникновение вероятности: философское исследование ранних представлений о вероятности, индукции и статистическом выводе , 2-е издание (CUP 2006)
- ПРОЧИТАЙТЕ В этой книге Хакинг рассматривает появление концепции вероятности во время просветления. История восходит к доказательству Бернулли первой предельной теоремы. Целью хакерства при взгляде на историю является защита философского тезиса. Современные дебаты об основаниях вероятности и статистики сосредоточены на том, следует ли рассматривать вероятность как объективную физическую концепцию (то, что Хакинг называет алеаторной вероятностью), обычно оформленную в терминах частот или склонностей, или как эпистемическую концепцию, касающуюся наших знаний и убеждений. Хакинг утверждает, что для развития концепции вероятности было важно, чтобы обе эти идеи возникли в тандеме. История увлекательна, и аргументы Хакинга дают много контекста для современных дебатов.
- Ян Хакинг, Укрощение удачи (CUP 1990).
- НЕПРОЧИТАННО У меня сложилось впечатление, что он охватывает более поздний период истории, чем предыдущий текст.
- Дэвид Салсбург, Леди, пробующая чай: как статистика произвела революцию в науке в двадцатом веке (Холт Макдугал, 2002)
- ПРОЧИТАЙТЕ Это популярная книга по математической статистике. Это очень сложная тема для написания популярной книги. Большинство научно-популярных книг посвящено странным и удивительным вещам, которые мы открыли в реальности, но эта книга посвящена эволюции методов, которые мы используем для обоснования таких открытий, и, следовательно, она на один уровень более абстрактна. Действительно трудно передать содержание различных подходов, не используя много математики. Подход Зальсбурга исторический, и он в основном рассматривает события в хронологическом порядке. Первая половина книги посвящена Пирсону, Фишеру и Нейману-Пирсону (II) и изобретению математической статистики в двадцатом веке. Он рисует яркую картину вовлеченных личностей и передает, как их идеи произвели революцию в научном методе. Я многому научился из этой части книги. В частности, я не понимал, в какой степени попытка доказать дарвиновскую эволюцию была движущей силой в развитии математической статистики, и я также не осознавал, насколько важной была UCL на раннем этапе развития предмета. Вторая часть книги охватывает более современные разработки и менее удачна. Причина этого в том, что исследования в области статистики распространились на огромное количество различных направлений и все еще продолжаются. Поэтому неясно, какие события будущие поколения сочтут наиболее важными. Зальсбург решает эту проблему, основывая большинство оставшихся глав на жизни и теории отдельных статистиков. Однако эти наброски слишком кратки, чтобы произвести на читателя сильное впечатление. Существует также краткое обсуждение классической и байесовской статистики. В то время как байесовская методология пользуется некоторым доверием, Зальсбург довольно прочно принадлежит к классическому лагерю, и отказ от байесианства, по сути, сводится к тому факту, что он считает его слишком субъективным. Хотелось бы увидеть более взвешенное обсуждение этого вопроса. В целом, это интересная книга, и я рекомендую ее всем, кто интересуется основами вероятности и статистики, в качестве дополнительного чтения. Залсбург заслуживает восхищения за попытку популяризации такой важной темы, но я сомневаюсь, что читатели, не имеющие опыта работы со статистикой, смогут извлечь из этой книги много пользы.
- Стивен М. Стиглер, История статистики: измерение неопределенности до 1900 г. (Harvard University Press, 1986)
- НЕПРОЧИТАНО Очень хорошо зарекомендовавшая себя трактовка ранней истории статистики.
- Ян фон Платон, Создание современной вероятности: ее математика, физика и философия в исторической перспективе (CUP 1994)
- UNREAD Говорят, что он избирательно относится к истории. Попытки объединить фон Мизеса с де Финетти в конце книги.
@scidata указал мне на эту переписку (pdf) между Ферма и Паскалем, в которой записаны ранние идеи о вероятности.
Классический (лапласианский) подход к теории вероятностей
- Пьер Симон Маркиз де Лаплас, Философский очерк вероятностей (Dover 1996)
- НЕПРОЧИТАНО Одна из первых попыток изложить теорию вероятностей. Происхождение принципа безразличия.
Частотность
- Ричард фон Мизес, Вероятность, статистика и правда (Дувр, 1981)
- НЕПРОЧИТАНО Каноническая работа по ансамблевому частотному подходу к вероятности.
Субъективное/персоналистское байесианство
Как вы можете заметить из структуры списка, это мой любимый подход, и я особенно люблю работы де Финетти и Джеффри. Это может измениться, когда я буду читать дальше по теме.
- Хосе М. Бернардо и Адриан Ф. М. Смит, Байесовская теория (Wiley 2000)
- ПРОЧИТАЙТЕ (ну хотя бы первые несколько глав). Современная техническая «библия» субъективного байесовства. Содержит очень сложный теоретический вывод теории вероятностей, который намного сложнее, чем Сэвидж, а также практически все теоремы, возникающие в субъективных основаниях.
- Бруно де Финетти, Теория вероятностей: критическое введение , 2 тома (Wiley 1990)
- ПРОЧИТАТЬ. Несмотря на название, это не совсем подходит для тех, кто не знаком с теорией вероятностей или фундаментальными дебатами. Содержит подход функции потерь, при котором предположения (субъективный коррелят значений ожиданий) принимаются как фундаментальные, а не как вероятности. Также содержит подробное обсуждение дебатов о конечной и счетной аддитивности и теоремы де Финетти о представлении.
- Бруно де Финетти, Вероятность (1989), Erkenntnis, 31:169-223.
- ЧАСТИЧНО ПРОЧИТАНО. Английский перевод Probabilismo , первой работы де Финетти по субъективной вероятности 1937 года. Необходимо читать вместе с Richard Jeffrey, Reading Probabilismo (1989), Erkenntnis, 31:225-237.
- Бруно де Финетти, Философские лекции о вероятности , под редакцией Альберто Мура (Springer 2008)
- ПРОЧИТАТЬ Основано на стенограммах курсов для выпускников, прочитанных де Финетти в 1979 году. Это только для несгибаемых поклонников де Финетти. Он, очевидно, был довольно старшим, когда читал этот курс, и было много повторений. Это полезно, если вы ученый, который хочет точно определить, какими были идеи позднего де Финетти по фундаментальным вопросам. Вместо этого всем остальным следует читать учебник де Финетти.
- Ричард Джеффри, Субъективная вероятность: реальная вещь (CUP 2004). Бесплатная pdf-версия
- ПРОЧИТАЙТЕ Очень читаемое введение в основы субъективного подхода. Также обсуждается обусловливание Джеффри (обобщение правила Байеса) и приложения к теории подтверждения.
- Ричард Джеффри, Логика решения 2-е издание (University of Chicago Press, 1990)
- ПРОЧИТАЙТЕ Философский взгляд на теоретические основы принятия решений субъективной вероятности. Подход Джеффри к основам теории принятия решений отличается от более часто используемого подхода Сэвиджа тем, что он приписывает как вероятности, так и полезности предложениям, тогда как Сэвидж приписывает вероятности «состояниям мира», а полезности — «действиям». В общем, Джеффри также позволяет утилитам изменяться по мере изменения состояния убеждений, что помогает решать проблемы с байесовской трактовкой таких вещей, как дилемма заключенного и парадокс Ньюкомба. Теоремы представления в подходе Джеффри не так сильны, как в подходе Сэвиджа, т. е. функция вероятности не вполне уникальна, если полезности не ограничены. Тем не менее, это интересный и, возможно, более реалистичный подход к теории принятия решений, поскольку он должен применяться в реальном мире. Наконец, эта книга содержит всестороннее рассмотрение обусловленности Джеффри, которая представляет собой обобщение байесовской обусловленности на случай, когда наблюдение не делает какое-либо событие в пространстве выборки достоверным.
- Х. Э. Кибург и Ховард Э. Смоклер (ред.), Исследования субъективной вероятности (Wiley 1964)
- ПРОЧИТАТЬ Эта коллекция, на мой взгляд, представляет в основном исторический интерес. Наиболее релевантной для современного байесанизма является статья де Финетти, доступная из множества других источников. Сборник начинается с отрывка из книги Венна, который закладывает основу, излагая общие возражения против субъективных подходов к вероятности (Венн был одним из первых, кто представил подробную теорию относительной частоты). Другая статья, которая показалась мне интересной, принадлежит Рэмси, так как это была первая статья, в которой представлен современный субъективный подход к вероятности, основанный на голландской книге и аргументах теории принятия решений.
- Леонард Дж. Сэвидж, Основы статистики (Дувр, 1972)
- ПРОЧИТАТЬ Каноническая работа по теоретико-решающим основам субъективного подхода.
Логические вероятности
- Рудольф Карнап, Логические основы вероятности (University of Chicago Press, 1950)
- НЕПРОЧИТАНО Предположительно, одно из наиболее разработанных трактовок логической вероятности.
- Джон Мейнард Кейнс, Трактат о вероятности (MacMillan 1921) — бесплатная электронная книга доступна в проекте Guttenberg .
- UNREAD Предположительно более читаемый, чем Carnap. ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ. Поскольку эта книга не защищена авторскими правами, в книжных интернет-магазинах доступно множество изданий сомнительного качества. Вот почему я не даю ссылок ни на одну из десятков версий на Amazon. Лучший совет — использовать электронную книгу Гуттенберга или поискать издание от уважаемого издателя в обычном книжном магазине. (Неважный факт: по словам моей матери, моя бабушка по материнской линии работала горничной у Кейнса.)
Объективное байесианство и MaxEnt
Возможно, объективное байесовство — это то же самое, что и логические вероятности, но поскольку я редко слышу, чтобы люди упоминали Джейнса и Кокса в одном ряду с Карнапом и Кейнсом, я решил выделить первым отдельный раздел. Джейнс, в частности, гораздо больше сосредоточился на методологии и приложениях, чем предыдущие авторы.
- Ричард Т. Кокс, Алгебра вероятностного вывода (издательство Джона Хопкинса 1961)
- НЕПРОЧИТАНО Содержит аксиомы Кокса, которые характеризуют теорию вероятностей как расширение логики.
- Соломон Куллбак, Теория информации и статистика (Дувр, 1968)
- UNREAD Происхождение минимизации относительной энтропии как правила обновления в статистике. Тесно связан с MaxEnt.
- Эдвин Т. Джейнс, Теория вероятностей: логика науки
(CUP 2003) - НЕПРОЧИТАНО Старейшина MaxEnt, по его собственным словам.
Склонности и объективные шансы
- Чарльз Сандерс Пирс, Философские труды Пирса
, под редакцией Юстуса Бухлера (Дувр, 1955) - НЕПРОЧИТАННО Пирс предвосхищает концепцию склонности Поппера в статьях 11-14.
- Карл Р. Поппер, Интерпретация склонности исчисления вероятности и квантовой теории (1957) в S. Körner (ed.), The Colston Papers , 9: 65–70 и Интерпретация склонности вероятности (1959) Британский журнал философии науки, 10: 25–42
- UNREAD Вводит идею склонностей. Интересно, что для Поппера квантовая механика обеспечивает сильную мотивацию необходимости единичных вероятностей.
- Карл Р. Поппер, Логика научного открытия
(Routledge Classics 2002) - НЕПРОЧИТАНО Глава 8 объясняет его взгляды на вероятность в сравнении с другими подходами.
- Дэвид Льюис, Philosophical Papers: Volume II
(ОУП 1986 г.). Также доступно онлайн, если у вас есть подписка на Oxford Scholarship Online. - UNREAD Содержит перепечатку статьи 1980 года, в которой был представлен основной принцип, а также статью об условных вероятностях.
Применение к проблеме индукции и философии науки
Большинство вводных текстов по философии посвящены этой теме, но эти тексты специально сосредоточены на понимании научного метода.
- Джон Эрман, Байес или бюст? Критический анализ байесовской теории подтверждения
(MIT Press, 1992) - ПРОЧИТАТЬ Это знаковая книга в философии байесовского вывода как подхода к подтверждению научных теорий. Эрман является байесианцем (по крайней мере, иногда) и дает честную оценку успехам и неудачам байесианства в этом контексте. Книга начинается с анализа оригинальной статьи Байеса, которую я лично не нашел очень интересной, потому что меня больше интересует современная теория, чем исторический анализ. Во второй главе дается хороший обзор байесовской методологии. В оставшейся части книги обсуждаются успехи и неудачи байесовского подхода. Я нашел обсуждение результатов «сходимости к истине», проведенное с точки зрения мартингальной теории, особенно поучительным, поскольку ранее я видел, что это обсуждалось только с точки зрения взаимозаменяемости, а допущения в мартингальном подходе кажутся более разумными (по крайней мере, для нестатистические гипотезы, это все, что обсуждает Эрман). Эрман утверждает, что «проблема старых свидетельств» сводится к более общей проблеме того, как включить новые теории в байесовский анализ. Именно последнее является реальным препятствием для достижения научной объективности в байесовском подходе. Также интересным является обсуждение роли более сложной версии элиминативной индукции в стиле Шерлока Холмса в науке, проиллюстрированное примерами экспериментальных проверок общей теории относительности. В конце книги байесовский подход сравнивается с формальной теорией обучения, но ни одна из них не выигрывает битву. С учетом математической гипотезы Эрман показывает, что формальная теория обучения на самом деле не имеет ничего общего с байесианством. Теория обучения претерпела значительные изменения с момента публикации этой книги, поэтому было бы интересно посмотреть, как обстоит дело сегодня. Заключение книги довольно пессимистично. Байесианство, кажется, обеспечивает лучшее объяснение научных выводов, чем его конкуренты, но на самом деле оно не дает права на научную объективность.
- Колин Хоусон и Питер Урбах, Научное обоснование: байесовский подход
, 2-е издание (Open Court 1993) - ПРОЧИТАЙТЕ Это замечательная книга, в которой аргументируется байесовский подход к научной методологии. Большинство других основных подходов к теории вероятностей подверглись резкой критике, и она хорошо читается как введение во всю эту область. Мне бы хотелось увидеть больше математических деталей в некоторых разделах, но эта книга предназначена для студентов-философов, и в ней есть хорошие указатели на литературу, где вы можете уточнить детали. Особенно познавательны главы, критикующие классическую статистическую методологию, т.е. оценки, доверительные интервалы, регрессия наименьших квадратов и т. д. Это выходит далеко за рамки обычного близорукого внимания к идеализированным подбрасываниям монеты и охватывает многие темы, имеющие отношение к планированию реальных научных экспериментов, например. рандомизация, выборка и т. д. Единственное, на что я жалуюсь, это то, что в конце книги они как бы замолкают, приводя доводы в пользу интерпретации относительной частоты объективных шансов в стиле фон Мизеса, связывая ее с байесовскими вероятностями с помощью асимптотического аргумента из голландской книги, согласно которому Я нашел неубедительным, потому что это не относится к пари, исход которого может быть решен (аналогичные замечания применимы к аргументу счетной аддитивности). Несмотря на эту оговорку, эта книга является ценным оружием для исследователей, которые хотят быть байесовцами во всем.
- Брайан Скирмс, Выбор и шанс: введение в индуктивную логику
, 4-е издание (Wadsworth 1999) - ПРОЧИТАЙТЕ Это текст не о вероятности как таковой, а о том, как сформулировать исчисление индуктивного вывода, близкое к исчислению дедуктивной логики. Обычные проблемы индукции широко обсуждаются, так что это было бы отличным дополнением к первому курсу философии науки. Вероятность представлена ближе к концу книги, и, конечно же, весь подход, используемый в этой книге, смещает обсуждение в сторону логических (Кейнс/Карнап) подходов к вероятности. В конечном счете, я думаю, что проблемы, затронутые в этой книге, лучше всего решаются с помощью субъективного байесовского подхода и что построение объективного исчисления индукции обречено на неудачу. Тем не менее, из этой попытки можно многое узнать, поэтому я искренне рекомендую эту книгу новым студентам, изучающим основы научной методологии.
Критика
- Кшиштоф Бурдзи, В поисках достоверности: о столкновении науки и философии вероятности
(World Scientific 2009) - НЕПРОЧИТАНО Я люблю хорошие разглагольствования, и у Бурдзи, похоже, их много в запасе, когда речь заходит об основах вероятности. Он утверждает, что ни частотная, ни субъективистская основа не могут объяснить практику настоящих вероятностников и статистиков. Он также предлагает свою собственную версию, но критика, кажется, является основным моментом.
Mathematical Foundations
В конце концов, потребуется немного строгой теоретико-мерной вероятности, поэтому…
- А. Н. Колмогоров, Основы теории вероятностей
, Second English Edition (Chelsea 1956) - НЕПРОЧИТАНО Классический текст от создателя теоретико-мерной вероятности.
- Дэвид Уильямс, Вероятность с мартингалами
(CUP 1991) - НЕПРОЧИТАНО Живая современная интерпретация строгой теории вероятностей, которую мне много раз рекомендовали.
Теория вероятностей. Это второй пост в серии… | Бруно Гонсалвеш
Фото Эрики Ли на UnsplashПричинно-следственный вывод
Это второй пост из серии, в которой мы прорабатываем «Причинно-следственный вывод в статистике» — хороший учебник для начинающих, соавтором которого является сам Джудея Перл.
Партнерская ссылка Amazon: https://amzn. to/3gsFlkOВы можете найти первый пост здесь и весь соответствующий код Python в сопутствующем репозитории GitHub:
DataForScience/Causality
Внесите свой вклад в разработку DataForScience/Causality, создав учетную запись на GitHub.
github.com
Хотя я сделаю все возможное, чтобы представить содержание в ясной и доступной форме, я настоятельно рекомендую вам получить книгу самостоятельно и следовать ей. Итак, без лишних слов, приступим!
В этом разделе Перл продолжает знакомить нас с вводной информацией, которая понадобится нам позже, сосредоточившись на основах теории вероятностей и статистического анализа.
Он начинает с определения нескольких полезных терминов:
- Переменная — любое свойство или дескриптор, которые могут принимать несколько значений. Примерами могут быть пол, образование и т. д.
- Событие — присвоение значения или набора значений переменной или набору переменных. Одним из примеров может быть «субъект — выпускник колледжа мужского пола».
Как справедливо отмечает Перл, «вероятность — это то, как мы выражаем неопределенность», что делает ее краеугольным камнем причинно-следственной связи и слишком важной, чтобы ее игнорировать. Здесь я предлагаю сделать шаг назад, чтобы освежить нашу память об основных принципах вероятности, прежде чем перейти к условной вероятности, предполагая базовое знакомство с базовой вероятностью.
Андрей Колмогоров, один из основателей теории вероятностей, определил вероятность, используя 3 аксиомы:
- Аксиома 1: Вероятность – это действительное число, большее или равное 0.
- Аксиома 2: Суммарная вероятность равна 0
- Аксиома 3: Вероятность взаимоисключающих событий есть сумма вероятностей.
Это означает, что интуитивно мы можем думать о вероятности как о области. Общая площадь (с учетом всех возможностей) имеет размер 1, где вероятность каждого возможного события является долей этой общей площади. Наконец, взаимоисключающие события представлены непересекающимися областями, а не взаимоисключающие события перекрываются. Или, более наглядно:
Давайте теперь рассмотрим простой пример (таблица 1.5 в книге):
Численность мужчин и женщин по уровню образованияМы быстро видим, что у нас есть 2 переменные: пол и образование, и всего 8 возможные события, по одному для каждой строки в таблице. Для каждого события дано также количество раз, когда оно произошло в популяции 2440 человек. Это называется таблицей частотного распределения и обычно создается путем анализа отдельных записей и табулирования результатов.
Альтернативный способ представления приведенной выше таблицы:
Сводная версия предыдущей таблицы, где мы просто свернули в столбце Education. Это известно как таблица непредвиденных обстоятельств . Значения, выделенные фиолетовым цветом, представляют собой итоговые значения для каждой строки/столбца и обычно называются маргинальными значениями (поскольку они написаны на полях таблицы :), а зеленая ячейка — это общая численность населения.
Вероятность каждого события можно легко рассчитать, просто разделив соответствующее число на общую численность населения, поэтому
Где N представляет число вхождений из таблицы. С другой стороны, вероятность того, что случайно выбранный индивидуум является мужчиной, составляет:
Другой способ вычисления того же значения состоит в том, чтобы рассматривать каждое подмножество мужчин отдельно:
Этот подход суммирования по всем подмножествам переменной известен. как , маргинализируя по этой переменной. Вы можете увидеть, как относится к выполнению расчета по строкам/столбцам таблицы непредвиденных обстоятельств выше.
И наоборот, поскольку мы знаем, что общая вероятность должна быть равна единице, мы имеем:
Более интересный пример может быть, если нам нужна вероятность того, что случайно выбранный человек является выпускником средней школы ИЛИ женщиной. В этом случае у нас есть перекрывающиеся результаты:
1.3.3 — Условная вероятность
Теперь, когда мы освежили нашу память в отношении основ вероятности, мы можем догнать Перла и перейти к условной вероятности. Жемчуг определяет P(A|B) , условная вероятность A при данном B, как «Вероятность того, что произойдет какое-то событие A, при условии, что мы знаем, что произошло какое-то другое событие B.
На практике это означает, что для таблицы, подобной приведенной выше, какова вероятность A после того, как вы отфильтруете исходную таблицу так, что у вас будет только подмножество данных, для которого B верно.
Математически мы можем записать:
Условная вероятностьИтак, если мы хотим P(выпускник | женщина), мы имеем:
Концептуально это то же самое, что свести нашу исходную таблицу только к женским строкам:
И вычислить P(высшую школу) в этой сокращенной вселенной возможностей. В этом случае мы использовали бы только вторую строку нашей таблицы непредвиденных обстоятельств, чтобы найти:
И наоборот,
И, используя таблицу непредвиденных обстоятельств, также тривиально вычислить:
Какие доли мужчин и женщин в общем Население аспирантуры.
Как мы видим, обусловливание вероятностей просто эквивалентно переопределению наших возможных результатов, чтобы они были просто подмножеством исходных.
1.3.4 — Независимость
Мы можем сказать, что A не зависит от B, если
НезависимостьДругими словами, знание о B (соответствующая подгруппа нашего набора данных) не меняет вероятность A.
Простое обобщение этой идеи является концепция Условной Независимости . Мы говорим, что два события А и В условно независимы при наличии третьего события С, если знания С достаточно, чтобы сделать А и В независимыми. Другими словами:
Условная независимость Стоит потратить некоторое время на ознакомление с этими концепциями, так как они будут иметь основополагающее значение для того, что будет дальше. Итак, давайте рассмотрим простой пример игры с подбрасыванием монеты, где мы подбрасываем две честных монет , назовем их A и B, и вы выигрываете игру, если выпадает хотя бы один орёл.
Четыре возможных результата подбрасывания монеты показаны слева, а результат игры справа.
Игра «Подбрасывание монеты»Легко видеть, что результаты подбрасывания монеты А или монеты В независимы:
Аналогично для случая, когда A=решка.
С другой стороны, когда мы смотрим на то, кто выигрывает при проигрыше, ситуация меняется. Общая вероятность выигрыша:
Пока:
Показывая, что выигрыш не зависит от B, так как мы знаем, что если B=орел, то мы автоматически выигрываем.
Теорема Байеса
Этого уже достаточно для одного поста, но давайте сделаем еще один шаг, чтобы завершить нашу теоретическую картину.
Продолжая нашу игру с подбрасыванием монеты, мы также можем легко вычислить, что:
Однако мы ожидаем, что P(Win|B=Heads) должно быть связано с P(B=Heads | Win).
Действительно, уже на нашем первом изображении мы видели:
И из нашего определения условной вероятности мы знаем, что:
Приравнивая два выражения для P(C), находим:
Теорема Байеса Известная теорема Байеса, первая предложенный преподобным Томасом Байесом в 1763 году, и который в последние годы привел к развитию байесовской статистики, из которой берет начало подход Перла к причинно-следственным связям.
Каждый термин в выражении теоремы Байеса имеет конкретное имя:
Где мы можем думать о апостериорных как об обновленном значении предшествующих с учетом доступных свидетельств и их правдоподобия.
Применяя это выражение к приведенному выше примеру, мы находим:
и подставляем числа, которые мы вычислили выше:
Как и раньше.
Из этого простого примера вы уже можете увидеть силу теоремы Байеса. Это не только позволяет нам изменить порядок обусловливания выражения, но и позволяет обновить наши представления о мире. Мы пошли от начального ( Prior ) ожидание, что P(B=орел)=1/2 обновленному (апостериорному) ожиданию, что P(B=орел)=2/3, основанное на том факте, что мы *знаем*, что конечный результат игры был Победа.
В следующем посте мы рассмотрим еще много примеров использования теоремы Байеса и ее применения в причинно-следственном выводе.
Наконец, я надеюсь, вам понравился этот пример из этой серии и краткое погружение в теорию вероятностей.
Следующий пост из этой серии уже вышел, и вы должны его проверить:
Причинно-следственный вывод, часть III — Графики
Это третий пост в серии, которую мы прорабатываем через «Причинно-следственный вывод в статистике», хороший учебник для начинающих в соавторстве…
medium.com
Как всегда, вы можете найдите код для приведенных выше примеров в нашем репозитории GitHub:
DataForScience/Causality
Внесите свой вклад в разработку DataForScience/Causality, создав учетную запись на GitHub.
github.com
И если вы хотите получать уведомления о выходе следующего сообщения, вы можете подписаться на информационный бюллетень The Sunday Briefing:
Библиотека теории вероятностей Нассима Талеба — Монте Фишер
Автор: Монте Фишер
Последнее обновление: 29 марта 2020 г.
Я очень уважаю опыт Нассима Талеба в области теории вероятностей. Я собрал здесь несколько книг по теории вероятностей, рекомендованных Талебом, вместе с его комментариями (при их наличии).
Основы
- Феллер, Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Vol. 1 и 2
- Папулис, Вероятность, случайные величины и случайные процессы
Когда читатели и студенты просят у меня полезную книгу для нематематиков, чтобы изучить вероятность (или вероятностный подход к статистике), прежде чем приступить к более глубоким проблемам, я предлагаю эту книгу покойного А. Папулиса. Я даже рекомендую его математикам, так как их обучение часто заставляет их тратить слишком много времени на предельные теоремы и очень мало на настоящую «сантехнику».
В трактовке нет теории измерения, она переходит к делу и может использоваться в качестве настольного справочника. Если вам нужна теория меры, потратьте некоторое время на чтение Биллингсли. Глубокое понимание теории меры не обязательно для научных и инженерных приложений; это не нужно тем, кто не хочет работать над теоремами и техническими доказательствами.
Я заметил несколько жалоб в разделе комментариев от людей, которые были разочарованы обращением: не обращайте на них внимания.
Игнорируй их. Трудна сама тема, а не эта книга. Книга, на самом деле, замечательная и всеобъемлющая, учитывая нынешнее состояние дел.Я использую эту книгу в качестве ориентира при написании собственного, но более сложного учебника (об ошибках в использовании статистических моделей). Все, что выведено и представлено в Papoulis, я могу пропустить. И когда студенты спрашивают меня, что им нужно в качестве предварительного условия, чтобы посещать мои занятия или читать мою книгу, я отвечаю: Папулис, если вы ученый, Варадхан, если вы более абстрактны.
- Лоэв, Теория вероятностей I и II
- Биллингсли, Вероятность и мера (Борель)
- Варадхан, Теория вероятностей (Конспект лекций Куранта)
Я знаю, какие книги я ценю, когда в конечном итоге покупаю второй экземпляр после потери первого. В этой книге дается полный обзор основ теории вероятностей с некоторыми основаниями теории меры и представлены основные доказательства.
Он примечателен своей краткостью и полнотой: видно, что проф Варадхан читал лекции по этим заметкам и продолжал их улучшать, пока мы не получили эту жемчужину. Нет ни одного лишнего предложения, но ничего не упущено.Для тех, кто не знает, кто он такой, Варадхан считается одним из величайших вероятностников всех времен. Учиться у него вероятности все равно, что учиться у Аристотеля.
Varadhan имеет два других подобных тома, один из которых посвящен стохастическим процессам, а другой посвящен теории больших отклонений, Large Deviations (Courant Lecture Notes) (хотя и старше, чем этот текущий текст). Книга по стохастическим процессам, Стохастические процессы (Courant Lecture Notes) должна быть в паре с этой.
- Борель, Les probabilités dénombrables et leurs application arithmétiques, 1909. Для общей интуиции.
- Колмогоров, О логических основаниях теории вероятностей.
Стохастические процессы
- Карацас и Шрив, Броуновское движение и стохастическое исчисление
- Дуб, Случайные процессы
- Оксендаль, Стохастические дифференциальные уравнения , 2013.
- Варадхан, Стохастические процессы, 2007.
Теория информации
- Ковер и Томас, Элементы теории информации
Теория экстремальных значений
- Embrechts et al., Моделирование экстремальных событий: для страхования и финансов
Математика экстремальных явлений или удаленных частей вероятностных распределений является самостоятельной дисциплиной, более важной, чем любая другая, в отношении риска и решений, поскольку в некоторых областях преобладают экстремальные явления: для класса субэкспоненциальных (и конечно для подкласса степенных законов) хвосты ЭТО история.
Теперь эта книга — библия для поля. Он был тщательно обновлен. Он завершен в том смысле, что нет ничего важного, что не упоминается, не рассматривается или не упоминается в тексте. Мой бизнес — это скрытый риск, который начинается там, где заканчивается эта книга, и для этого мне нужен максимально полный текст.
Несмотря на исключительную важность этой области, очень небольшое число математиков занимается хвостовыми событиями; из них есть меньшая группа, которая находится как внутри, так и вне «условий Крамера» (интуитивно, с тонким хвостом или экспоненциальным снижением).
Это также книга, которая растет на вас. Я бы дал ему 5 звезд, когда начал его использовать; сегодня я даю ему 6 звезд, и, конечно, 7 в следующем году.
Покупаю второй экземпляр для офиса. Если бы мне пришлось отправиться на необитаемый остров с двумя книгами по вероятностям, я бы взял два тома Феллера (написанных >40 лет назад) и этот.
Уборка дома: покупайте книгу в твердом переплете, а не в мягкой обложке, поскольку в последней качество чернил хуже.
- Де Хаан и Ферейра, Теория экстремальных значений: введение
Предельные теоремы
- Гнеденко и Колмогоров, Предельные распределения для сумм независимых случайных величин
Стабильные распределения
- Учайкин и Золотарев, Шанс и стабильность, устойчивые распределения и их приложения
- Самородницкий и Такку, Устойчивые негауссовские случайные процессы: стохастические модели с бесконечной дисперсией , 1994.
- Золотарев, Одномерные устойчивые распределения, 1986.
Субэкспоненциальность (статьи)
- Питман, Субэкспоненциальные функции распределения, 1980.
- Эмбрехтс и Голди, О сверточных хвостах, 1982.
- Эмбрехтс и др., Субэкспоненциальность и бесконечная делимость, 1979.
- Чистяков, Теорема о суммах независимых положительных случайных величин и ее приложение к ветвящимся случайным процессам, 1964.
- Голди, Субэкспоненциальные распределения и хвосты с доминирующей вариацией, 1978.
- Тойгельс, Класс субэкспоненциальных распределений, 1975.
Философия
Талеб также отметил в Твиттере, что «Стоянов, Контрпримеры в вероятности » хорошо читается.
Источники
Многие из вышеперечисленных книг взяты из одного из твитов Талеба и страницы 87 его Статистических последствий жирных хвостов , 2020. Другим источником являются рекомендации Талеба на Amazon.
Очень хорошая подборка всех рекомендаций Талеба на Amazon (по состоянию на 2012 год) доступна на Farnam Street. Здесь я ограничил выбор только теорией вероятностей; последние обзоры по математическим финансам, статистике, философии и т. д. см. на Farnum Street или на странице Taleb’s Amazon (например, Hastie, Elements of Statistical Learning и Goodfellow, Deep Learning ).
Описание модулей — Университет Рединга
Поставщик модуля: Математика и статистика
Количество кредитов: 10 [5 кредитов ECTS]
Уровень: 5
Условия, в которых преподавались: Осенне-летний семестровый модуль
Предварительные требования: MA1FMs Promatics Foundation и MathebPS Foundation и статистика
Немодульные предварительные условия:
Со-реквизиты:
Исключенные модули: ST2PST Теория вероятностей и статистики
Текущий от: 2018/9
Руководитель модуля: Д-р Ричард Эверитт
Электронная почта: r. [email protected]
Тип модуля:
Краткое описание модуля:
Модуль строго знакомит с основными понятиями вероятности с математической точки зрения. Он направлен на то, чтобы дать учащимся базовые знания о вероятности, которые раскроют взаимодействие между теорией вероятностей и фундаментальными областями математики, позволят учащимся сформулировать общие реальные или абстрактные проблемы в вероятностной модели и раскроют основы, на которых построены статистические методы. на. Более подробно модуль будет разработан вокруг понятий распределения вероятностей, случайных величин, независимости, сумм случайных величин, предельных законов и их применения (центральная предельная теорема и законы больших чисел), а также структур, которые зависят от настоящего для изучения. будущая эволюция стохастических явлений (цепи Маркова).
Цели:
Этот модуль направлен на то, чтобы познакомить студентов с некоторыми фундаментальными понятиями и результатами теории вероятностей. Он охватывает случайные величины вместе с распределениями вероятностей как фундаментальные объекты теории вероятностей, понятие зависимости/независимости, которые затем приводят к фундаментальным асимптотическим результатам, а также к первому введению случайных процессов, таких как цепи Маркова.
Оцениваемые результаты обучения:
Ожидается, что к концу модуля студенты будут в состоянии:
• Определить и продемонстрировать понимание основных понятий и определений теории вероятностей;
• Без помощи примечаний изложить все и доказать некоторые основные результаты;
• Выявлять и формулировать проблемы с точки зрения вероятности и решать их для построения простой стохастической модели;
• Используйте основные результаты для выполнения различных приближений.
Дополнительные исходы:
В конце модуля студенты получат некоторое представление о взаимосвязи между другими математическими модулями и вероятностью, а также об их актуальности для приложений.
Краткое содержание:
Случайные величины с равномерным распределением, непрерывные и дискретные, распределения с плотностью и весом, математическое ожидание случайных величин, понятие независимости, суммы независимых случайных величин, понятия сходимости случайных величин, зависимые случайные величины и условные распределения, цепи Маркова, графические модели и байесовская статистика.
Краткое описание методов преподавания и обучения:
Лекции, подкрепленные листами задач и учебными пособиями на основе лекций.
Часы работы:
Методы итоговой оценки:
| Метод | Процент |
| Письменный экзамен | 70 |
| Упражнение | 30 |
Суммарное оценивание- Экзамены:
2 часа.
Суммативное оценивание – Курсовая работа и контрольные работы:
Два задания и один экзамен
Методы формирующего оценивания:
Проблемные листы.
Штрафы за опоздание:
Организатор модуля применит следующие штрафы за работу, представленную с опозданием:
Заявление Университета о политике в отношении штрафов за несвоевременную подачу документов можно найти по адресу: http://www. reading.ac.uk/web/FILES/qualitysupport/penaltiesforlatesubmission.pdf
.
Настоятельно рекомендуется позаботиться о том, чтобы курсовая работа была отправлена в установленный срок. Вы должны отметить, что рекомендуется отправлять работу в незавершенном состоянии, а не не отправлять какую-либо работу.
Требования к оценке для прохождения:
Общий балл 40%.
Организация переоценки:
Одна экзаменационная работа продолжительностью 2 часа в августе/сентябре — оценка модуля повторной сдачи будет наибольшей из оценки за экзамен (экзамен 100%) и оценки за экзамен плюс предыдущие оценки курсовой работы (70% экзамен, 30% курсовая работа).
Дополнительные расходы (указать, где применимо):
1) Требуемые учебники:
2) Специальное оборудование или материалы:
3) Специальная одежда, обувь или головной убор:
4) Печать и переплет:
5) Компьютеры и устройства с определенной спецификацией:
6) Проезд, проживание и проживание:
Последнее обновление: 20 апреля 2018 г.
ИНФОРМАЦИЯ, СОДЕРЖАЩАЯСЯ В ОПИСАНИИ ЭТОГО МОДУЛЯ, НЕ ЯВЛЯЕТСЯ КАКОЙ-ЛИБО ЧАСТЬЮ СТУДЕНЧЕСКОГО КОНТРАКТА.
Математика 262: Теория вероятностей — Расписание
Пятница
6 сентября
Введение
Что такое вероятность?
- Пройти викторину по учебной программе.
- Прочитайте §1.1 и §1.2 (по крайней мере, до страницы 10) и ответьте на вопросы в Руководстве по чтению (также на обратной стороне вашего рабочего листа из класса). Принесите заполненное Руководство по чтению с собой на следующее занятие.
- Приступайте к домашнему заданию 1.
Понедельник
9 сентября
конспекты занятий
Примеры пространств и событий
Аксиомы вероятности
- Прочитайте §1.3 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Завершить домашнее задание 1 (сдать в среду в 16:00 в почтовый ящик для домашних заданий).
Среда
11 сентября
конспекты занятий
Методы подсчета
Перестановки и комбинации
Домашнее задание 1
сдать сегодня
- Прочитайте эту статью Кэрол Дуэк и ответьте на вопросы в Руководстве по чтению. Также сделайте предположение о проблеме с файлами cookie в Руководстве по чтению.
- Приступить к домашнему заданию 2 (сдать в 16:00 понедельника).
Пятница
13 сентября
конспекты занятий
Дополнительные методы подсчета
- Прочтите §1.4 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Завершить домашнее задание 2 (к 16:00 понедельника).
Понедельник
16 сентября
Конспекты занятий
Условная вероятность
Теорема Байеса
Домашнее задание 2
к сдаче сегодня
- Прочтите (или перечитайте) раздел 1.4.3, затем прочитайте §1.5. Ответьте на вопросы в Руководстве по чтению.
- Приступить к домашнему заданию 3 (сдать в 16:00 пятницы).
Среда
18 сентября
конспекты занятий
Независимость
- Прочитайте §1.6 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Завершить домашнее задание 3 (к 16:00 пятницы).
- Если возможно, принесите ноутбук с R и RStudio на занятие в пятницу. Вы можете скачать R здесь и скачать RStudio здесь.
пятница
20 сентября
конспекты занятий
Моделирование случайных событий
Домашнее задание 3
сдать сегодня
- Прочитайте §2.1 и §2.2 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Приступить к домашнему заданию 4 (сдать в 16:00 среды).
Понедельник
23 сентября
конспекты занятий
Случайные величины
Дискретные распределения
- Прочитайте §2.3 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Завершить домашнее задание 4 (к 16:00 среды).
Среда
25 сентября
конспекты занятий
Ожидаемое значение
Дисперсия и стандартное отклонение
Домашнее задание 4
к сдаче сегодня
- Прочитайте §2.4 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Приступайте к домашнему заданию 5.
Пятница
27 сентября
конспекты занятий
Биномиальное распределение
- Прочитайте §2. 5 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Работа над домашним заданием 5 (сдать до 16:00 среды).
Понедельник
30 сентября
Конспекты занятий
Распределение Пуассона
- Завершить домашнее задание 5 (сдать в 16:00 в среду).
- На среду нет задания по чтению, но сейчас самое время просмотреть §2.1–2.4.
Среда
2 октября
конспекты занятий
Повторение экзамена
Домашнее задание 5
сдать сегодня
Дополнительный кредит 19:00 в кинотеатре Carleton Weitz Cinema) и ответьте на эти два вопроса в Moodle, чтобы заработать два дополнительных балла за домашнее задание.
Пятница
4 октября
Экзамен 1
- Этот экзамен охватывает разделы с 1.1 по 1.5 и с 2.1 по 2.3.
- Калькуляторы будут разрешены, но, вероятно, не очень полезны и уж точно не нужны.
- Книги, заметки и устройства с выходом в Интернет не допускаются во время экзамена.
- Страница обзора с предлагаемыми проблемами доступна здесь.
- Взгляните на Домашнее задание 6 (сдать в 16:00 в следующую пятницу).
Понедельник
7 октября
конспекты занятий
Распределение Пуассона
- Прочтите §2.6.1 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Работа над домашним заданием 6 (сдать до 16:00 пятницы).
Среда
9 октября
конспекты занятий
Гипергеометрическое распределение
- Прочитайте §2.6.2 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Завершить домашнее задание 6 (к 16:00 пятницы).
Пятница
11 октября
Конспекты занятий
Отрицательное биномиальное распределение
Геометрическое распределение
Домашнее задание 6
сдать сегодня
Осенние каникулы! Занятий не будет Понедельник, 14 октября.
- Чтение §2.7 и ответьте на вопросы в Руководстве по чтению.
- Приступить к домашнему заданию 7 (сдать в 16:00 пятницы).
Среда
16 октября
Примечания к занятиям
Функции создания моментов
- Перечитайте §2.7. Этот раздел должен иметь больше смысла сейчас, чем в первый раз, когда вы его читаете. На среду нет руководства по чтению.
- Завершить домашнее задание 7 (к 16:00 пятницы).
Пятница
18 октября
конспекты занятий
Функции создания моментов
Домашнее задание 7
к сдаче сегодня
- Прочитайте §2.8 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Приступить к домашнему заданию 8 (сдать в 16:00 среды).
- Если возможно, принесите компьютер с R и RStudio на занятие в понедельник.
Понедельник
21 октября
конспекты занятий
Моделирование дискретных случайных величин
- Прочитайте §3.1 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Завершить домашнее задание 8 (к 16:00 среды).
Среда
23 октября
Конспекты занятий
Непрерывные случайные величины
Равномерное распределение
Домашнее задание 8
к оплате сегодня
- Прочтите §3.2 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Приступить к домашнему заданию 9 (сдать в 16:00 понедельника).
Пятница
25 октября
конспекты занятий
Ожидаемые значения и производящие функции моментов непрерывных распределений
- Прочитайте §3.3 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Завершить домашнее задание 9 (к 16:00 понедельника).
Понедельник
28 октября
конспекты занятий
Нормальное распределение
Домашнее задание 9
сдать сегодня
- Прочтите §3.4.1 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Приступайте к домашнему заданию 10.
Среда
30 октября
конспекты занятий
Экспоненциальное распределение
- Прочитайте §3. 4.2 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Завершить домашнее задание 10.
Пятница
1 ноября
конспекты занятий
Гамма-распределение
Домашнее задание 10
сдать сегодня
- Прочитайте §3.7 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Начать домашнее задание 11.
Понедельник
4 ноября
конспекты занятий
Преобразования непрерывных случайных величин
- Перечитайте §3.7, сосредоточив внимание на примерах 3.39–3.41.
- Работа над домашним заданием 11.
Среда
6 ноября
конспекты занятий
Трансформация и моделирование
- Завершить домашнее задание 11.
- Прочитайте информацию об экзамене 2. Повторите, что вы узнали о распределениях вероятностей в главах 2 и 3 текста.
Пятница
8 ноября
Классные заметки
Повторение к экзамену
Экзаменационные задачи на дом
Домашнее задание 11
сдать сегодня
Понедельник
11 ноября
07
- Этот экзамен охватывает разделы с 2. 1 по 2.7 и с 3.1 по 3.4.
- Калькуляторы будут разрешены, но, вероятно, не очень полезны и уж точно не нужны.
- Книги, заметки и устройства с выходом в Интернет не допускаются во время экзамена в классе.
- Щелкните здесь для получения дополнительной информации и предлагаемых проблем проверки.
- Прочтите §4.1 и ответьте на вопросы Руководства по чтению. 901:31 Приступить к домашнему заданию 12 (сдать в 16:00 пятницы).
Среда
13 ноября
конспекты занятий
Совместная раздача
- Прочитайте §4.2 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Завершить домашнее задание 12 (к 16:00 пятницы).
Пятница
15 ноября
конспекты занятий
Ожидаемые значения
Ковариация и корреляция
Домашнее задание 12
к выполнению сегодня Второе издание текста). Ответьте на вопросы в Руководстве по чтению.
Понедельник
18 ноября
Конспекты занятий
Линейные комбинации случайных величин
- Прочтите §4.3.1 и §4.3.2. Ответьте на вопросы в Руководстве по чтению.
- Завершить домашнее задание 13 (к 16:00 среды).
Среда
20 ноября
конспекты занятий
Свойства линейных комбинаций
Домашнее задание 13
сдать сегодня
- Прочтите §4.4 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Приступить к домашнему заданию 14 (сдать в 16:00 понедельника).
Пятница
22 ноября
Конспекты занятий
Условные распределения и ожидание
- Прочтите §4.5.1 и §4.5.2. Ответьте на вопросы в Руководстве по чтению.
- Завершить домашнее задание 14 (к 16:00 понедельника).
- Если возможно, принесите компьютер с R в класс в понедельник.
Понедельник
25 ноября
Классные заметки
Предельные теоремы
Домашнее задание 14
сдать сегодня
День благодарения! 27 или 29 ноября занятий нет.
- Прочитайте §4.5.3 и §4.5.4. Ответьте на вопросы в Руководстве по чтению.
- Приступайте к домашнему заданию 15.
Понедельник
2 декабря
конспекты занятий
Предельные теоремы
- Прочитайте §4.6 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Работа над домашним заданием 15.
Среда
4 декабря
конспекты занятий
Преобразования случайных величин
Метод функции распределения
- Перечитайте §4.6. На среду нет нового руководства по чтению.
- Завершить домашнее задание 15.
Пятница
6 декабря
Конспект занятия
Преобразования случайных величин
Теорема двумерного преобразования
Домашнее задание 15
к оплате сегодня
- Прочтите §4.9 и ответьте на вопросы Руководства по чтению.
- Приступайте к домашнему заданию 16.
- Дополнительные упражнения по преобразованиям случайных величин см. в разделе Практические задачи и решения по преобразованиям.
Понедельник
9 декабря
Конспекты занятий
Статистика заказов
- Завершить домашнее задание 16.
Среда
11 декабря
заметки о занятиях
Контрольный день
Домашнее задание 16
сдать сегодня
Пятница
13 декабря
Заключительный экзамен, 9–11 утра
- Этот экзамен будет накопительным, с упором на главу 4.
- Экзамен будет состоять из очной части и короткой домашней части.
- Часть, которую можно взять домой, будет выдана 11 декабря и должна быть сдана во время заключительного экзамена 13 декабря. Для этой части экзамена вы можете использовать свой учебник, свои заметки, веб-сайт курса, калькулятор, R , Mathematica и Wolfram Alpha , но не другие люди, веб-сайты, книги и т. д. Помните о кодексе чести!
- Для занятий в классе: книги, заметки и устройства с доступом в Интернет не допускаются.