У х 1 3 х: Mathway | Популярные задачи

2

Показательные уравнения и неравенства

Показательными уравнениями и неравенствами считают такие уравнения и неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

Решение показательных уравнений часто сводится к решению уравнения а^х = а^b, где а > 0, а ≠ 1, х – неизвестное. Это уравнение имеет единственный корень х = b, так как справедлива следующая теорема:

Теорема. Если а > 0, а ≠ 1 и а^х1 = а^х2, то х₁ = х₂.

Обоснуем рассмотренное утверждение.

Предположим, что равенство х₁ = х₂ не выполняется, т.е. х₁ < х₂ или х₁ = х₂. Пусть, например, х₁ < х₂. Тогда если а > 1, то показательная функция у = а^х возрастает и поэтому должно выполняться неравенство а^х1 < а^х2; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а

х¹ > а^х2. В обоих случаях мы получили противоречие условию а^х1 = а^х2.

Рассмотрим несколько задач.

Задача 1.

Решить уравнение 4 ∙ 2^х = 1.

Решение.

Запишем уравнение в виде 2² ∙ 2^х = 2⁰ – 2^х+2 = 2⁰, откуда получаем х + 2 = 0, т.е. х = -2.

Ответ. х = -2.

Задача 2.

Решить уравнение 2^3х ∙ 3^х = 576.

Решение.

Так как 2^3х = (2³)^х = 8^х, 576 = 24², то уравнение можно записать в виде 8^х ∙ 3^х = 24² или в виде 24^х = 24².

Отсюда получаем х = 2.

Ответ. х = 2.

Задача 3.

Решить уравнение 3^х+1 – 2∙3^{х — 2}

= 25.

Решение.

Вынося в левой части за скобки общий множитель 3^{х — 2}, получаем 3^{х — 2} ∙ (3³ – 2) = 25 – 3^{х — 2}∙ 25 = 25,

откуда 3^{х — 2} = 1, т. е. х – 2 = 0, х = 2.

Ответ. х = 2.

Задача 4.

Решить уравнение 3^х = 7^х.

Решение.

Так как 7^х ≠ 0, то уравнение можно записать в виде 3^х/7^х = 1, откуда (3/7)^х = 1, х = 0.

Ответ. х = 0.

Задача 5.

Решить уравнение 9^х – 4 ∙ 3^х – 45 = 0.

Решение.

Заменой 3^х = а данное уравнение сводится к квадратному уравнению а² – 4а – 45 = 0.

Решая это уравнение, находим его корни: а₁ = 9, а₂ = -5, откуда 3^х = 9, 3^х = -5.

Уравнение 3^х = 9 имеет корень 2, а уравнение 3^х = -5 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

Ответ. х = 2.

Решение показательных неравенств часто сводится к решению неравенств а^х > а^b или а^х < а^b. Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Рассмотрим некоторые задачи.

Задача 1.

Решить неравенство 3^х < 81.

Решение.

Запишем неравенство в виде 3^х < 3⁴. Так как 3 > 1, то функция у = 3^х является возрастающей.

Следовательно, при х < 4 выполняется неравенство 3^х < 3⁴, а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3^х ≥ 3⁴.

Таким образом, при х < 4 неравенство 3

х < 3⁴ является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3^х < 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Ответ. х < 4.

Задача 2.

Решить неравенство 16^х +4^х – 2 > 0.

Решение.

Обозначим 4^х = t, тогда получим квадратное неравенство t2 + t – 2 > 0.

Это неравенство выполняется при t < -2 и при t > 1.

Так как t = 4^х, то получим два неравенства 4^х < -2, 4^х > 1.

Первое неравенство не имеет решений, так как 4^х > 0 при всех х € R.

Второе неравенство запишем в виде 4^х > 4⁰, откуда х > 0.

Ответ. х > 0.

Задача 3.

Графически решить уравнение (1/3)^х = х – 2/3.

Решение.

1) Построим графики функций у = (1/3)^х и у = х – 2/3.

2) Опираясь на наш рисунок, можно сделать вывод, что графики рассмотренных функций пересекаются в точке с абсциссой х ≈ 1. Проверка доказывает, что

х = 1 – корень данного уравнения:

(1/3)¹ = 1/3 и 1 – 2/3 = 1/3.

Иными словами, мы нашли один из корней уравнения.

3) Найдем другие корни или докажем, что таковых нет. Функция (1/3)^х убывающая, а функция у = х – 2/3 возрастающая. Следовательно, при х > 1 значения первой функции меньше 1/3, а второй – больше 1/3; при х < 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х > 1 и х < 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Ответ. х = 1.

!!! Заметим, что из решения этой задачи, в частности, следует, что неравенство (1/3)

х > х – 2/3 выполняется при х < 1, а неравенство (1/3)^х < х – 2/3 – при х > 1.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

3-8 9 Оценить квадратный корень из 12 10 Оценить квадратный корень из 20 11 Оценить квадратный корень из 50 94 18 Оценить квадратный корень из 45 19 Оценить квадратный корень из 32 20 Оценить квадратный корень из 18 92

Мэтуэй | Популярные задачи

92+5х+6=0 92-9=0

1	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 50
2	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 45
3	Оценка	5+5
4	Оценить	7*7
5	Найти простую факторизацию	24
6	Преобразование в смешанный номер	52/6
7	Преобразование в смешанный номер	93/8
8	Преобразование в смешанный номер	34/5
9	График	у=х+1
10	Оценить, используя заданное значение	квадратный корень из 128
11	Найдите площадь поверхности	сфера (3)	
12	Оценить	54-6÷2+6
13	График	г=-2x
14	Оценить	8*8
15	Преобразование в десятичное число	5/9
16	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 180
17	График	у=2
18	Преобразование в смешанный номер	7/8
19	Оценить	9*9
20	Решите для C	С=5/9*(Ф-32)
21	Упростить	1/3+1 1/12
22	График	у=х+4
23	График	г=-3
24	График	х+у=3
25	График	х=5
26	Оценить	6*6
27	Оценка	2*2
28	Оценить	4*4
29	Оценить	1/2+(2/3)÷(3/4)-(4/5*5/6)
30	Оценить	1/3+13/12
31	Оценить	5*5
32	Решить для d	2д=5в(о)-вр
33	Преобразование в смешанный номер	3/7
34	График	г=-2
35	Найдите склон	у=6
36	Преобразование в проценты	9
37	График	у=2х+2
41	Преобразование в смешанный номер	1/6
42	Преобразование в десятичное число	9%
43	Найти n	12н-24=14н+28
44	Оценить	16*4
45	Упростить	кубический корень из 125
46	Преобразование в упрощенную дробь	43%
47	График	х=1
48	График	у=6
49	График	г=-7
50	График	у=4х+2
51	Найдите склон	у=7
52	График	у=3х+4
53	График	у=х+5
54	График
58	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 192
59	Оценка с использованием заданного значения	квадратный корень из 25/36
60	Найти простую факторизацию	14
61	Преобразование в смешанный номер	7/10
62	Решите для	(-5а)/2=75
63	Упростить	х
64	Оценить	6*4
65	Оценить	6+6
66	Оценить	-3-5
67	Оценить	-2-2
68	Упростить	квадратный корень из 1
69	Упростить	квадратный корень из 4
70	Найди обратное	1/3
71	Преобразование в смешанный номер	20. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт