Упростите выражение дроби: Упрощение выражений · Калькулятор Онлайн

{3}}=-125\end{array}\)

Хорошо, это все просто.

Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?

Нет, это то же самое!

Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных, сложение дробей, сокращение дробей и так далее.

Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять формулы сокращенного умножения или просто выносить общий множитель за скобки.

Обычно наша цель – представить выражение в виде произведения или частного.

Например:

Упростим выражение \( \displaystyle \left( \frac{x}{y}-\frac{y}{x} \right)\cdot \frac{5xy}{x+y}\).

1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель – представить ее как произведение или частное.2+ab+ac+bc)}{(b+c)(a+c)(a+b)} = \frac{a(a+b)+c(a+b)}{(a+c)(a+b)} = \frac{(a+c)(a+b)}{(a+c)(a+b)} = 1$$

Что и требовалось доказать.

Содержание

Как упростить выражение с дробями. Как упростить математическое выражение

Алгебраическое выражение в записи которого наряду с действиями сложения, вычитания и умножения используют также деление на буквенные выражения, называется дробным алгебраическим выражением. Таковы, например, выражения

Алгебраической дробью мы называем алгебраическое выражение, имеющее вид частного от деления двух целых алгебраических выражений (например, одночленов или многочленов). Таковы, например, выражения

Третье из выражений ).

Тождественные преобразования дробных алгебраических выражений имеют по большей части своей целью представить их в виде алгебраической дроби. Для отыскания общего знаменателя используется разложение на множители знаменателей дробей - слагаемых с целью отыскания их наименьшего общего кратного. При сокращении алгебраических дробей может нарушаться строгая тождественность выражений: необходимо исключать значения величин, при которых множитель, на который производится сокращение, обращается в нуль.

Приведем примеры тождественных преобразований дробных алгебраических выражений.

Пример 1. Упростить выражение

Все слагаемые можно привести к общему знаменателю (удобно при этом изменить знак в знаменателе последнего слагаемого и знак перед ним):

Наше выражение равно единице при всех значениях кроме этих значениях оно не определено и сокращение дроби незаконно).

Пример 2. Представить в виде алгебраической дроби выражение

Решение. За общий знаменатель можно принять выражение . Находим последовательно:

Упражнения

1. Найти значения алгебраических выражений при указанных значениях параметров:

2. Разложить на множители.

Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными. Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Что представляют собой степенные выражения?

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ. В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении.

Определение 1

Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 · a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . А также степени с нулевым показателем: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . И степени с целыми отрицательными степенями: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2 , 2 3 , 5 · 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 · a 1 2 - 2 · a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

В качестве показателя может выступать переменная 3 x - 54 - 7 · 3 x - 58 или логарифм x 2 · l g x − 5 · x l g x .

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались. Теперь займемся их преобразованием.

Основные виды преобразований степенных выражений

В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Пример 1

Вычислите значение степенного выражения 2 3 · (4 2 − 12) .

Решение

Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел. Имеем 2 3 · (4 2 − 12) = 2 3 · (16 − 12) = 2 3 · 4 .

Нам остается заменить степень 2 3 ее значением 8 и вычислить произведение 8 · 4 = 32 . Вот наш ответ.

Ответ: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Пример 2

Упростите выражение со степенями 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 .

Решение

Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Ответ: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Пример 3

Представьте выражение со степенями 9 - b 3 · π - 1 2 в виде произведения.

Решение

Представим число 9 как степень 3 2

и применим формулу сокращенного умножения:

9 - b 3 · π - 1 2 = 3 2 - b 3 · π - 1 2 = = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1

Ответ: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

А теперь перейдем к разбору тождественных преобразований, которые могут применяться именно в отношении степенных выражений.

Работа с основанием и показателем степени

Степень в основании или показателе может иметь и числа, и переменные, и некоторые выражения. Например, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 и . Работать с такими записями сложно. Намного проще заменить выражение в основании степени или выражение в показателе тождественно равным выражением.

Проводятся преобразования степени и показателя по известным нам правилам отдельно друг от друга. Самое главное, чтобы в результате преобразований получилось выражение, тождественное исходному.

Цель преобразований – упростить исходное выражение или получить решение задачи. Например, в примере, который мы привели выше, (2 + 0 , 3 · 7) 5 − 3 , 7 можно выполнить действия для перехода к степени 4 , 1 1 , 3 . Раскрыв скобки, мы можем привести подобные слагаемые в основании степени (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)

и получить степенное выражение более простого вида a 2 · (x + 1) .

Использование свойств степеней

Свойства степеней, записанные в виде равенств, являются одним из главных инструментов преобразования выражений со степенями. Приведем здесь основные из них, учитывая, что a и b – это любые положительные числа, а r и s - произвольные действительные числа:

Определение 2

  • a r · a s = a r + s ;
  • a r: a s = a r − s ;
  • (a · b) r = a r · b r ;
  • (a: b) r = a r: b r ;
  • (a r) s = a r · s .

В тех случаях, когда мы имеем дело с натуральными, целыми, положительными показателями степени, ограничения на числа a и b могут быть гораздо менее строгими. Так, например, если рассмотреть равенство a m · a n = a m + n , где m и n – натуральные числа, то оно будет верно для любых значений a , как положительных, так и отрицательных, а также для a = 0 .

Применять свойства степеней без ограничений можно в тех случаях, когда основания степеней положительные или содержат переменные, область допустимых значений которых такова, что на ней основания принимают лишь положительные значения. Фактически, в рамках школьной программы по математике задачей учащегося является выбор подходящего свойства и правильное его применение.

При подготовке к поступлению в Вузы могут встречаться задачи, в которых неаккуратное применение свойств будет приводить к сужению ОДЗ и другим сложностям с решением. В данном разделе мы разберем всего два таких случая. Больше информации по вопросу можно найти в теме «Преобразование выражений с использованием свойств степеней».

Пример 4

Представьте выражение a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 в виде степени с основанием a .

Решение

Для начала используем свойство возведения в степень и преобразуем по нему второй множитель (a 2) − 3 . Затем используем свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

Ответ: a 2 , 5 · (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Преобразование степенных выражений согласно свойству степеней может производиться как слева направо, так и в обратном направлении.

Пример 5

Найти значение степенного выражения 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Решение

Если мы применим равенство (a · b) r = a r · b r , справа налево, то получим произведение вида 3 · 7 1 3 · 21 2 3 и дальше 21 1 3 · 21 2 3 . Сложим показатели при умножении степеней с одинаковыми основаниями: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .

Есть еще один способ провести преобразования:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 · 7 1 3 · 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 · 7 1 3 + 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

Ответ: 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 · 7 1 = 21

Пример 6

Дано степенное выражение a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 , введите новую переменную t = a 0 , 5 .

Решение

Представим степень a 1 , 5 как a 0 , 5 · 3 . Используем свойство степени в степени (a r) s = a r · s справа налево и получим (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6 = (a 0 , 5) 3 − a 0 , 5 − 6 . В полученное выражение можно без проблем вводить новую переменную t = a 0 , 5 : получаем t 3 − t − 6 .

Ответ: t 3 − t − 6 .

Преобразование дробей, содержащих степени

Обычно мы имеем дело с двумя вариантами степенных выражений с дробями: выражение представляет собой дробь со степенью или содержит такую дробь. К таким выражениям применимы все основные преобразования дробей без ограничений. Их можно сокращать, приводить к новому знаменателю, работать отдельно с числителем и знаменателем. Проиллюстрируем это примерами.

Пример 7

Упростить степенное выражение 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Решение

Мы имеем дело с дробью, поэтому проведем преобразования и в числителе, и в знаменателе:

3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 = 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 3 · 5 2 3 · 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 · 5 2 3 + 1 3 - 3 · 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 · 5 1 - 3 · 5 0 - 2 - x 2

Поместим минус перед дробью для того, чтобы изменить знак знаменателя: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Ответ: 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 = - 12 2 + x 2

Дроби, содержащие степени, приводятся к новому знаменателю точно также, как и рациональные дроби. Для этого необходимо найти дополнительный множитель и умножить на него числитель и знаменатель дроби. Подбирать дополнительный множитель необходимо таким образом, чтобы он не обращался в нуль ни при каких значениях переменных из ОДЗ переменных для исходного выражения.

Пример 8

Приведите дроби к новому знаменателю: а) a + 1 a 0 , 7 к знаменателю a , б) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 к знаменателю x + 8 · y 1 2 .

Решение

а) Подберем множитель, который позволит нам произвести приведение к новому знаменателю. a 0 , 7 · a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , следовательно, в качестве дополнительного множителя мы возьмем a 0 , 3 . Область допустимых значений переменной а включает множество всех положительных действительных чисел. В этой области степень a 0 , 3 не обращается в нуль.

Выполним умножение числителя и знаменателя дроби на a 0 , 3 :

a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a 0 , 7 · a 0 , 3 = a + 1 · a 0 , 3 a

б) Обратим внимание на знаменатель:

x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 · 2 · y 1 6 + 2 · y 1 6 2

Умножим это выражение на x 1 3 + 2 · y 1 6 , получим сумму кубов x 1 3 и 2 · y 1 6 , т.е. x + 8 · y 1 2 . Это наш новый знаменатель, к которому нам надо привести исходную дробь.

Так мы нашли дополнительный множитель x 1 3 + 2 · y 1 6 . На области допустимых значений переменных x и y выражение x 1 3 + 2 · y 1 6 не обращается в нуль, поэтому, мы можем умножить на него числитель и знаменатель дроби:
1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 + 2 · y 1 6 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = = x 1 3 + 2 · y 1 6 x 1 3 3 + 2 · y 1 6 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2

Ответ: а) a + 1 a 0 , 7 = a + 1 · a 0 , 3 a , б) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 = x 1 3 + 2 · y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Пример 9

Сократите дробь: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 , б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 .

Решение

а) Используем наибольший общий знаменатель (НОД), на который можно сократить числитель и знаменатель. Для чисел 30 и 45 это 15 . Также мы можем произвести сокращение на x 0 , 5 + 1 и на x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Получаем:

30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1)

б) Здесь наличие одинаковых множителей неочевидно. Придется выполнить некоторые преобразования для того, чтобы получить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Для этого разложим знаменатель, используя формулу разности квадратов:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 · a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Ответ: а) 30 · x 3 · (x 0 , 5 + 1) · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 45 · x 0 , 5 + 1 2 · x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , б) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

К числу основных действий с дробями относится приведение к новому знаменателю и сокращение дробей. Оба действия выполняют с соблюдением ряда правил. При сложении и вычитании дробей сначала дроби приводятся к общему знаменателю, после чего проводятся действия (сложение или вычитание) с числителями. Знаменатель остается прежним. Результатом наших действий является новая дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель есть произведение знаменателей.

Пример 10

Выполните действия x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Решение

Начнем с вычитания дробей, которые располагаются в скобках. Приведем их к общему знаменателю:

x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1

Вычтем числители:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 · x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · x 1 2 - 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 · x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 · x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2

Теперь умножаем дроби:

4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = = 4 · x 1 2 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 · x 1 2

Произведем сокращение на степень x 1 2 , получим 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Дополнительно можно упростить степенное выражение в знаменателе, используя формулу разности квадратов: квадратов: 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Ответ: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 = 4 x - 1

Пример 11

Упростите степенное выражение x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 .
Решение

Мы можем произвести сокращение дроби на (x 2 , 7 + 1) 2 . Получаем дробь x 3 4 x - 5 8 · x 2 , 7 + 1 .

Продолжим преобразования степеней икса x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Теперь можно использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 = x 1 1 8 · 1 x 2 , 7 + 1 .

Переходим от последнего произведения к дроби x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Ответ: x 3 4 · x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 · x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Множители с отрицательными показателями степени в большинстве случаев удобнее переносить из числителя в знаменатель и обратно, изменяя знак показателя. Это действие позволяет упростить дальнейшее решение. Приведем пример: степенное выражение (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 можно заменить на x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Преобразование выражений с корнями и степенями

В задачах встречаются степенные выражения, которые содержат не только степени с дробными показателями, но и корни. Такие выражения желательно привести только к корням или только к степеням. Переход к степеням предпочтительнее, так как с ними проще работать. Такой переход является особенно предпочтительным, когда ОДЗ переменных для исходного выражения позволяет заменить корни степенями без необходимости обращаться к модулю или разбивать ОДЗ на несколько промежутков.

Пример 12

Представьте выражение x 1 9 · x · x 3 6 в виде степени.

Решение

Область допустимых значений переменной x определяется двумя неравенствами x ≥ 0 и x · x 3 ≥ 0 , которые задают множество [ 0 , + ∞) .

На этом множестве мы имеем право перейти от корней к степеням:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Используя свойства степеней, упростим полученное степенное выражение.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 · x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Ответ: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Преобразование степеней с переменными в показателе

Данные преобразования достаточно просто произвести, если грамотно использовать свойства степени. Например, 5 2 · x + 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x − 1 = 0 .

Мы можем заменить произведением степени, в показателях которых находится сумма некоторой переменной и числа. В левой части это можно проделать с первым и последним слагаемыми левой части выражения:

5 2 · x · 5 1 − 3 · 5 x · 7 x − 14 · 7 2 · x · 7 − 1 = 0 , 5 · 5 2 · x − 3 · 5 x · 7 x − 2 · 7 2 · x = 0 .

Теперь поделим обе части равенства на 7 2 · x . Это выражение на ОДЗ переменной x принимает только положительные значения:

5 · 5 - 3 · 5 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 7 2 · x , 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 2 · x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0 , 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x · 7 x 7 x · 7 x - 2 · 7 2 · x 7 2 · x = 0

Сократим дроби со степенями, получим: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0 .

Наконец, отношение степеней с одинаковыми показателями заменяется степенями отношений, что приводит к уравнению 5 · 5 7 2 · x - 3 · 5 7 x - 2 = 0 , которое равносильно 5 · 5 7 x 2 - 3 · 5 7 x - 2 = 0 .

Введем новую переменную t = 5 7 x , что сводит решение исходного показательного уравнения к решению квадратного уравнения 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Преобразование выражений со степенями и логарифмами

Выражения, содержащие с записи степени и логарифмы, также встречаются в задачах. Примером таких выражений могут служить: 1 4 1 - 5 · log 2 3 или log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3 . Преобразование подобных выражений проводится с использованием разобранных выше подходов и свойств логарифмов, которые мы подробно разобрали в теме «Преобразование логарифмических выражений».

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов.3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \(a^2 - b^2 \), т.2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно - правые части левыми. Самое трудное при этом - увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Зачастую в задачах требуется привести упрощенный ответ. Хотя и упрощенный, и неупрощенный ответы являются верными, преподаватель может снизить вашу оценку, если вы не упростите ответ. Более того, с упрощенным математическим выражением гораздо легче работать. Поэтому очень важно научиться упрощать выражения.

Шаги

Правильный порядок выполнения математических операций

  1. Запомните правильный порядок выполнения математических операций. При упрощении математического выражения необходимо соблюдать определенный порядок действий, так как некоторые математические операции имеют приоритет над другими и должны быть сделаны в первую очередь (на самом деле несоблюдение правильного порядка выполнения операций приведет вас к неправильному результату). Запомните следующий порядок выполнения математических операций: выражение в скобках, возведение в степень, умножение, деление, сложение, вычитание.

    • Обратите внимание, что знание правильного порядка выполнения операций позволит вам упростить большинство простейших выражений, но для упрощения многочлена (выражения с переменной) необходимо знать специальные приемы (смотрите следующий раздел).
  2. Начните с решения выражения в скобках. В математике скобки указывают на то, что заключенное в них выражение должно быть выполнено в первую очередь. Поэтому при упрощении любого математического выражения начинайте с решения выражения, заключенного в скобки (при этом неважно, какие операции нужно выполнить внутри скобок). Но помните, что работая с выражением, заключенным в скобки, следует соблюдать порядок проведения операций, то есть члены в скобках сначала перемножаются, делятся, складываются, вычитаются и так далее.

    • Например, упростим выражение 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2) . Здесь начнем с выражений в скобках: 5 + 2 = 7 и 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
      • Выражение во второй паре скобок упрощается до 5, потому что сначала нужно разделить 4/2 (согласно правильному порядку выполнения операций). Если не соблюдать этот порядок, то вы получите неправильный ответ: 3 + 4 = 7 и 7 ÷ 2 = 7/2.
    • Если в скобках есть еще одна пара скобок, начните упрощение с решения выражения во внутренних скобках, а затем переходите к решению выражения во внешних скобках.
  3. Возведите в степень. Решив выражения в скобках, перейдите к возведению в степень (помните, что у степени есть показатель степени и основание степени). Возведите соответствующее выражение (или число) в степень и подставьте результат в данное вам выражение.

    • В нашем примере единственным выражением (числом) в степени является 3 2: 3 2 = 9. В данном вам выражении вместо 3 2 подставьте 9 и вы получите: 2x + 4(7) + 9 - 5.
  4. Умножьте. Помните, что операция умножения может обозначаться следующими символами: «х», «∙» или «*». Но если между числом и переменной (например, 2х) или между числом и числом в скобках (например, 4(7)) нет никаких символов, то это также является операцией умножения.

    • В нашем примере присутствуют две операции умножения: 2x (два умножить на переменную «х») и 4(7) (четыре умножить на семь). Мы не знаем значения х, поэтому выражение 2х оставим как есть. 4(7) = 4 х 7 = 28. Теперь вы можете переписать данное вам выражение так: 2x + 28 + 9 - 5.
  5. Разделите. Помните, что операция деления может обозначаться следующими символами: «/», «÷» или «–» (последний символ вы можете встретить в дробях). Например 3/4 – это три, деленное на четыре.

    • В нашем примере операции деления больше нет, так как вы уже разделили 4 на 2 (4/2) при решении выражения в скобках. Поэтому вы можете перейти к следующему шагу. Помните, что в большинстве выражений нет сразу всех математических операций (только некоторые из них).
  6. Сложите. При сложении членов выражения вы можете начать с самого крайнего (слева) члена, или можете сначала сложить те члены выражения, которые легко складываются. Например, в выражении 49 + 29 + 51 +71 сначала легче сложить 49 + 51 = 100, потом 29 + 71 = 100 и, наконец, 100 + 100 = 200. Гораздо сложнее складывать так: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

    • В нашем примере 2x + 28 + 9 + 5 присутствуют две операции сложения. Начнем с самого крайнего (слева) члена: 2x + 28; вы не можете сложить 2х и 28, потому что не знаете значения переменной «х». Поэтому сложите 28 + 9 = 37. Теперь выражение можно переписать так: 2х + 37 - 5.
  7. Вычтите. Это последняя операция в правильном порядке выполнения математических операций. На этом этапе вы также можете прибавлять отрицательные числа или же делать это на этапе сложения членов – это никак не отразится на конечном результате.

    • В нашем примере 2х + 37 - 5 присутствует только одна операция вычитания: 37 - 5 = 32.
  8. На этом этапе, проделав все математические операции, вы должны получить упрощенное выражение. Но если данное вам выражение содержит одну или несколько переменных, то помните, что член с переменной останется таким, как есть. Решение (а не упрощение) выражения с переменной подразумевает нахождение значения этой переменной. Иногда выражения с переменной можно упростить, используя специальные методы (смотрите следующий раздел).

    • В нашем примере окончательный ответ: 2х + 32. Вы не сможете сложить два члена, пока не узнаете значение переменной «х». Узнав значение переменной, вы с легкостью упростите этот двучлен.

    Упрощение сложных выражений

    1. Сложение подобных членов. Помните, что вычитать и складывать можно исключительно подобные члены, то есть члены с одинаковой переменной и одинаковым показателем степени. Например, можно сложить 7x и 5x, но нельзя складывать 7x и 5x 2 (так как здесь показатели степени разные).

      • Это правило распространяется и на члены с несколькими переменными. Например, можно сложить 2xy 2 и -3xy 2 , но нельзя складывать 2xy 2 и -3x 2 y или 2xy 2 и -3y 2 .
      • Рассмотрим пример: x 2 + 3x + 6 - 8x. Здесь подобными членами являются 3x и 8x, поэтому их можно сложить. Упрощенное выражение выглядит так: x 2 - 5x + 6.
    2. Упростите числовую дробь. В такой дроби и в числителе, и в знаменателе находятся числа (без переменной). Числовая дробь упрощается несколькими способами. Во-первых, просто разделите знаменатель на числитель. Во-вторых, разложите числитель и знаменатель на множители и сократите одинаковые множители (так как при делении числа на само себя вы получите 1). Другими словами, если и у числителя, и у знаменателя есть один и тот же множитель, его можно отбросить и получить упрощенную дробь.

      • Например, рассмотрим дробь 36/60. При помощи калькулятора разделите 36 на 60 и получите 0,6. Но вы можете упростить эту дробь и по-другому, разложив числитель и знаменатель на множители: 36/60 = (6х6)/(6х10) = (6/6)*(6/10). Так как 6/6 = 1, то упрощенная дробь: 1 х 6/10 = 6/10. Но эту дробь также можно упростить: 6/10 = (2х3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.
    3. Если дробь содержит переменную, можно сократить одинаковые множители с переменной. Разложите и числитель, и знаменатель на множители и сократите одинаковые множители, даже если они содержат переменную (помните, что здесь одинаковые множители могут содержать или не содержать переменную).

      • Рассмотрим пример: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Это выражение можно переписать (разложить на множители) в виде: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). Так как член 3x находится и в числителе, и в знаменателе, его можно сократить, и вы получите упрощенное выражение: (х + 1)/(5 - х). Рассмотрим другой пример: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Обратите внимание, что вы не можете сокращать любые члены – сокращаются только одинаковые множители, которые присутствуют как в числителе, так и в знаменателе. Например, в выражении (х(х + 2))/х переменная (множитель) «х» находится и в числителе, и в знаменателе, поэтому «х» можно сократить и получить упрощенное выражение: (х + 2)/1 = х + 2. Тем не менее, в выражении (х + 2)/х переменную «х» сокращать нельзя (так как в числителе «х» не является множителем).
    4. Раскройте скобки. Для этого умножьте член, стоящий за скобкой, на каждый член в скобках. Иногда это помогает упростить сложное выражение. Это относится как к членам, которые являются простыми числами, так и к членам, которые содержат переменную.

      • Например, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24, а 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Обратите внимание, что в дробных выражениях скобки раскрывать не нужно, если и в числителе, и в знаменателе присутствует одинаковый множитель. Например, в выражении (3(x 2 + 8))/3x скобки раскрывать не нужно, так как здесь можно сократить множитель 3 и получить упрощенное выражение (x 2 + 8)/x. С этим выражением легче работать; если бы вы раскрыли скобки, то получили бы следующее сложное выражение: (3x 3 + 24x)/3x.
    5. Разложите на множители многочлены. При помощи этого метода можно упростить некоторые выражения и многочлены. Разложение на множители – это операция, противоположная раскрытию скобок, то есть выражение записывается в виде произведения двух выражений, каждое из которых заключено в скобки. В некоторых случаях разложение на множители позволяет сократить одинаковое выражение. В особых случаях (как правило, с квадратными уравнениями) разложение на множители позволит вам решить уравнение.

      • Рассмотрим выражение x 2 - 5x + 6. Оно раскладывается на множители: (x - 3)(x - 2). Таким образом, если, например, дано выражение (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)), то вы можете переписать его в виде (x - 3)(x - 2)/(2(x - 2)), сократить выражение (х - 2) и получить упрощенное выражение (х - 3)/2.
      • Разложение многочленов на множители применяется для решения (нахождения корней) уравнений (уравнение – это многочлен, приравненный к 0). Например, рассмотрим уравнение x 2 - 5x + 6 = 0. Разложив его на множители, вы получите (х - 3)(х - 2) = 0. Так как любое выражение, умноженное на 0, равно 0, то мы можем записать так: х - 3 = 0 и х - 2 = 0. Таким образом, х = 3 и х = 2, то есть вы нашли два корня данного вам уравнения.

Известно, что в математике никак не обойтись без упрощения выражений. Это необходимо для правильного и быстрого решения самых разнообразных задач, а также различного рода уравнений. Обсуждаемое упрощение подразумевает под собой уменьшение количества действий, необходимых для достижения поставленной цели. В результате вычисления заметным образом облегчаются, а время существенно экономится. Но, как упростить выражение? Для этого используются установленные математические соотношения, часто именуемые формулами, либо же законами, которые позволяют делать выражения гораздо короче, упрощая тем самым расчеты.

Не секрет, что состоянием на сегодняшний день не представляет труда упростить выражение онлайн. Приведем ссылки на некоторые наиболее популярные из них:

Однако обойтись так можно далеко не с каждым выражением. Поэтому рассмотрим подробнее более традиционные методы.

Вынесение общего делителя

В том случае, когда в одном выражении присутствуют одночлены, обладающие одинаковыми множителями, можно находить при них сумму коэффициентов, а потом умножать на общий для них множитель. Эта операция также носит название "вынесения общего делителя". Последовательно используя данный метод, порою можно достаточно существенно упростить выражение. Алгебра ведь вообще, в целом, построена на группировке и перегруппировке множителей и делителей.

Простейшие формулы сокращенного умножения

Одним из следствий ранее описанного метода являются формулы сокращенного умножения. Как упрощать выражения с их помощью гораздо понятнее тем, кто даже не вызубрил эти формулы наизусть, а знает, которым образом они выводятся, то есть, откуда берутся, а соответственно их математическую природу. В принципе, предыдущее высказывание сохраняет свою силу во всей современной математике, начиная от первого класса и заканчивая высшими курсами механико-математических факультетов. Разность квадратов, квадрат разности и суммы, сумма и разность кубов – все эти формулы повсеместно используются в элементарной, а также высшей математике в тех случаях, когда для решения поставленных задач необходимо упростить выражение. Примеры таких преобразований можно без труда найти в любом школьном учебнике по алгебре, либо же, что еще проще, на просторах всемирной сети.

Степени корни

Элементарная математика, если посмотреть на нее в целом, вооружена не так уж и многими способами, при помощи которых можно упростить выражение. Степени и действия с ними, как правило, удаются большинству учащихся сравнительно легко. Только вот у многих современных школьников и студентов возникают немалые трудности, когда необходимо упростить выражение с корнями. И это совершенно безосновательно. Потому как математическая природа корней ничем не отличается от природы тех же степеней, с которыми, как правило, трудностей гораздо меньше. Известно, что квадратный корень от числа, переменной или выражения представляет собой ничто иное как то же число, переменную или выражение в степени "одна вторая", кубический корень – то же самое в степени "одна третья" и так далее по соответствию.

Упрощения выражений с дробями

Рассмотрим также часто встречающийся пример того, как упростить выражение с дробями. В тех случаях, когда выражения представляют собой натуральные дроби, следует выделять из знаменателя и числителя общий множитель, а затем сокращать дробь на него. Когда же одночлены обладают одинаковыми множителями, возведенными в степени, необходимо следить при их суммировании за равенством степеней.

Упрощение простейших тригонометрических выражений

Некоторым особняком стоит разговор о том, как упростить тригонометрическое выражение. Широчайший раздел тригонометрии является, пожалуй, первым этапом, на котором изучающим математику предстоит столкнуться с несколько абстрактными понятиями, задачами и методами их решения. Здесь существуют свои соответствующие формулы, первой из которых является основное тригонометрическое тождество. Имея достаточный математический склад ума, можно проследить планомерное выведение из этого тождества всех основных тригонометрических тождеств и формул, среди которых формулы разности и суммы аргументов, двойных, тройных аргументов, формулы приведения и многие другие. Разумеется, что забывать здесь не стоит и самые первые методы, наподобие вынесения общего множителя, которые в полной мере используются наряду с новыми способами и формулами.

Для подведения итогов, предоставим читателю несколько советов общего характера:

  • Многочлены следует раскладывать на множители, то есть представлять их в форме произведения некоторого количества сомножителей – одночленов и многочленов. Если существует такая возможность, необходимо выносить за скобки общий множитель.
  • Лучше все-таки выучить на память все без исключения формулы сокращенного умножения. Их не так уж и много, но именно они при этом являются основой при упрощении математических выражений. Не стоит также забывать о способе выделения полных квадратов в трехчленах, являющемся обратным действием к одной из формул сокращенного умножения.
  • Все существующие в выражении дроби следует сокращать как можно чаще. При этом не забывайте, что сокращаются только множители. В том случае, когда знаменатель и числитель алгебраических дробей умножается на одно и то же самое число, которое отличается от нуля, значения дробей не меняются.
  • В целом все выражения можно преобразовывать по действиям, либо ж цепочкой. Первый способ более предпочтителен, т.к. результаты промежуточных действий проверяются легче.
  • Достаточно часто в математических выражениях приходиться извлекать корни. Следует помнить, что корни четных степеней могут извлекаться только лишь из неотрицательного числа или выражения, а корни нечетных степеней совершенно из любых выражений или чисел.

Надеемся, наша статья поможет Вам, в дальнейнем, разбираться в математических формулах и научит применять их на практике.

1 упростите выражение

Вы искали 1 упростите выражение? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и 2 упростите выражение, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «1 упростите выражение».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 1 упростите выражение,2 упростите выражение,2 упростить выражение 1 2,3 4x 2 5 упростить,3 упростить выражение,4 упростите выражение,4 упростить выражение,7 класс алгебра упростить выражение онлайн калькулятор,x y x упростить,алгебра как упростить выражение,алгебра упрощение выражений,алгебраическое выражение упростить,вы упростите,выражение онлайн,выражение решить онлайн,выражения решение онлайн,выразить из формулы онлайн,выразить онлайн,выразить онлайн переменную,выразить формулу онлайн,дроби упростить выражение,дробное выражение как упростить,как правильно упрощать выражения,как решать упростите выражение,как решать упростить выражение,как упростить,как упростить выражение,как упростить выражение алгебра,как упростить выражение дробное,как упростить выражения,как упростить дробное выражение,как упростить пример,как упростить уравнение,как упрощать,как упрощать выражение,как упрощать выражения,как упрощать уравнения,калькулятор алгебраических выражений,калькулятор алгебраических выражений онлайн калькулятор,калькулятор алгебраических выражений с буквами,калькулятор буквенных выражений,калькулятор буквенных выражений онлайн,калькулятор выражений,калькулятор выражений с буквами,калькулятор для упрощения выражений,калькулятор для упрощения выражений с дробями,калькулятор дробей упрощение выражений,калькулятор онлайн буквенных выражений,калькулятор онлайн подобные слагаемые,калькулятор онлайн упростить выражение,калькулятор онлайн упрощение выражений,калькулятор онлайн упрощение дробных выражений,калькулятор онлайн упрощения выражений,калькулятор подобных слагаемых,калькулятор преобразования выражений,калькулятор раскрытие скобок,калькулятор раскрытие скобок онлайн,калькулятор раскрытия скобок онлайн,калькулятор рациональных выражений с решением онлайн,калькулятор тождественных выражений,калькулятор упростите выражение,калькулятор упростите выражение с дробями,калькулятор упростите выражение с корнями,калькулятор упростить,калькулятор упростить выражение,калькулятор упростить выражение онлайн с дробями,калькулятор упростить выражение онлайн с дробями с буквами,калькулятор упрощение выражений,калькулятор упрощение выражений дробей,калькулятор упрощение выражений онлайн,калькулятор упрощение выражений с дробями,калькулятор упрощение выражений со степенями онлайн,калькулятор упрощение многочлена онлайн,калькулятор упрощения,калькулятор упрощения выражений,калькулятор упрощения выражений онлайн,калькулятор упрощения выражений онлайн калькулятор,калькулятор упрощения выражений с буквами,калькулятор упрощения выражений с буквами и степенями и дробями,калькулятор упрощения выражений с дробями,калькулятор упрощения выражений с дробями и степенями и буквами,калькулятор упрощения выражений с дробями и степенями и с буквами,калькулятор упрощения выражения,калькулятор упрощения дробей с буквами и степенями,математика выражение упростить,онлайн выражение,онлайн выражение формул,онлайн выразить,онлайн калькулятор буквенных выражений,онлайн калькулятор преобразование рациональных выражений,онлайн калькулятор раскрытие скобок,онлайн калькулятор раскрытия скобок,онлайн калькулятор спростить вираз,онлайн калькулятор упростите выражение,онлайн калькулятор упростить выражение,онлайн калькулятор упрощение выражений,онлайн калькулятор упрощение выражений с дробями,онлайн калькулятор упрощение выражений со степенями,онлайн калькулятор упрощение дробных выражений,онлайн калькулятор упрощение многочлена,онлайн калькулятор упрощения выражений,онлайн преобразование выражений,онлайн преобразование тригонометрических выражений,онлайн преобразователь в многочлен,онлайн преобразователь формул,онлайн раскройте скобки,онлайн раскрытие скобок,онлайн решение алгебраических выражений,онлайн решение выражений,онлайн решение выражения,онлайн решение рациональных выражений,онлайн решения выражений,онлайн сокращение выражений,онлайн сокращение многочленов,онлайн упроститель выражений,онлайн упростить,онлайн упростить выражение со степенями,онлайн упростить дробное выражение,онлайн упрощение выражений с дробями,онлайн упрощение выражений с корнями,онлайн упрощение выражений со степенями,онлайн упрощение дробных выражений,онлайн упрощение многочленов,онлайн упрощения выражений,подобные слагаемые калькулятор онлайн,подобные слагаемые онлайн калькулятор,преобразование выражений онлайн,преобразование иррациональных выражений онлайн калькулятор,преобразование рациональных выражений калькулятор онлайн,преобразование рациональных выражений онлайн калькулятор,преобразование формул онлайн,преобразования выражений калькулятор,преобразовать в многочлен выражение онлайн,преобразовать выражение в многочлен онлайн,преобразовать выражение онлайн,преобразовать многочлен в выражение онлайн,преобразуйте в дробь выражение онлайн,преобразуйте в многочлен выражение онлайн калькулятор,преобразуйте дробь в выражение онлайн,приведи подобные слагаемые онлайн калькулятор,пример упростить,пример упростить выражение,примеры упростите выражение,примеры упрощение выражений,примеры упрощения,раскрытие скобок калькулятор,раскрытие скобок калькулятор онлайн,раскрытие скобок онлайн,раскрытие скобок онлайн калькулятор,раскрытия скобок онлайн калькулятор,раскрыть скобки онлайн,раскрыть скобки онлайн калькулятор,рациональных выражений онлайн калькулятор с решением,решение алгебраических выражений онлайн,решение выражений,решение выражений онлайн,решение выражения,решение выражения онлайн,решение онлайн алгебраических выражений,решение онлайн выражения,решение примеров на упрощение выражений,решение упростите выражение,решения выражений онлайн,решите выражение,решить выражение,решить выражение онлайн,решить выражение онлайн со степенями,решить онлайн выражение,сократить выражение,сократить выражение онлайн,сократить выражение онлайн с подробным решением,сократить многочлен онлайн,сократить онлайн выражение,сократить уравнение онлайн,сокращение выражений,сокращение выражений онлайн,сокращение многочленов онлайн,сокращение уравнений онлайн,способы упрощения выражений,спростити вираз,спростити вираз онлайн,спростити вираз онлайн калькулятор,спростити вираз приклади,спростить вираз,спростить вираз онлайн калькулятор,спростіть вираз,спрощення виразів,упрости,упрости выражение,упрости выражения,упростите,упростите 3 4х 2 5,упростите алгебраическое выражение,упростите вы,упростите выражение,упростите выражение 1,упростите выражение 2,упростите выражение 2 3x 2,упростите выражение 3,упростите выражение a,упростите выражение x,упростите выражение x 2 x 8 x,упростите выражение x 3 x 4,упростите выражение а,упростите выражение дроби,упростите выражение дробное,упростите выражение дробь,упростите выражение и,упростите выражение калькулятор,упростите выражение калькулятор онлайн,упростите выражение калькулятор онлайн с решением,упростите выражение калькулятор с дробями,упростите выражение калькулятор с дробями и степенями,упростите выражение калькулятор с степенями,упростите выражение калькулятор с степенями и дробями,упростите выражение онлайн,упростите выражение онлайн калькулятор,упростите выражение онлайн калькулятор с решением,упростите выражение онлайн с дробями,упростите выражение онлайн с дробями и степенями,упростите выражение онлайн с дробями и степенями с решением,упростите выражение онлайн с корнями,упростите выражение примеры,упростите выражение решение,упростите выражение с дробями,упростите выражение с дробями онлайн,упростите выражение с корнями калькулятор,упростите выражение с корнями онлайн,упростите выражения,упростите выражения а,упростите выражения калькулятор,упростите выражения калькулятор онлайн,упростите выражения онлайн,упростите дробное выражение,упростите уравнение,упростите уравнение онлайн,упроститель выражений,упроститель выражений онлайн,упростить 2x 4 6x 6,упростить x 2 x,упростить алгебраическое выражение,упростить векторное выражение онлайн,упростить выражение,упростить выражение 3,упростить выражение алгебра как,упростить выражение алгебраическое,упростить выражение дроби,упростить выражение дробное,упростить выражение дробное онлайн,упростить выражение дробное онлайн калькулятор с решением,упростить выражение как решать,упростить выражение калькулятор,упростить выражение калькулятор онлайн,упростить выражение онлайн,упростить выражение онлайн калькулятор,упростить выражение онлайн калькулятор с дробями,упростить выражение онлайн калькулятор с дробями и буквами,упростить выражение онлайн калькулятор с корнями,упростить выражение онлайн калькулятор с решением,упростить выражение онлайн калькулятор с решением с дробями,упростить выражение онлайн калькулятор с решением с дробями и буквами,упростить выражение онлайн калькулятор с решением с дробями и корнями,упростить выражение онлайн калькулятор с решением с корнями,упростить выражение онлайн калькулятор с решением со степенями,упростить выражение онлайн калькулятор со степенями,упростить выражение онлайн калькулятор со степенями с решением,упростить выражение онлайн с дробями,упростить выражение онлайн с дробями буквами и степенями онлайн,упростить выражение онлайн с дробями и буквами,упростить выражение онлайн с дробями и буквами 8 класс,упростить выражение онлайн с дробями и буквами калькулятор,упростить выражение онлайн с дробями и степенями,упростить выражение онлайн с дробями калькулятор,упростить выражение онлайн с корнями,упростить выражение онлайн с корнями и степенями,упростить выражение онлайн с корнями калькулятор,упростить выражение онлайн с решением,упростить выражение онлайн со степенями,упростить выражение примеры,упростить выражение с дробями,упростить выражение с дробями и буквами,упростить выражение с дробями и буквами 8 класс онлайн,упростить выражение с дробями и буквами онлайн калькулятор,упростить выражение с дробями и с степенями онлайн,упростить выражение с дробями и степенями онлайн,упростить выражение с дробями онлайн,упростить выражение с дробями онлайн калькулятор,упростить выражение с дробями онлайн калькулятор с решением,упростить выражение с корнями онлайн,упростить выражение с корнями онлайн калькулятор,упростить выражение с корнями онлайн калькулятор с решением,упростить выражение с корнями онлайн калькулятор с решением с дробями,упростить выражение со степенями онлайн,упростить выражение со степенями онлайн калькулятор,упростить выражение со степенями онлайн калькулятор с решением,упростить выражение что такое,упростить выражения,упростить выражения онлайн,упростить дробное выражение,упростить дробное выражение онлайн,упростить дробное выражение онлайн калькулятор с решением,упростить дробь онлайн с буквами,упростить дробь онлайн с буквами и степенями,упростить дробь с буквами онлайн,упростить как,упростить калькулятор,упростить многочлен онлайн,упростить онлайн,упростить онлайн выражение с корнями,упростить онлайн выражение со степенями,упростить тригонометрическое выражение онлайн,упростить тригонометрическое выражение онлайн калькулятор с решением,упростить уравнение,упростить уравнение онлайн,упростить уравнение онлайн с решением,упрощать как,упрощение алгебраические выражения,упрощение алгебраических выражений,упрощение выражений,упрощение выражений алгебра,упрощение выражений дробей,упрощение выражений дробей калькулятор,упрощение выражений дробных,упрощение выражений дробных онлайн,упрощение выражений калькулятор,упрощение выражений калькулятор онлайн,упрощение выражений калькулятор онлайн с корнями,упрощение выражений онлайн,упрощение выражений онлайн калькулятор,упрощение выражений онлайн калькулятор с дробями,упрощение выражений онлайн калькулятор с решением,упрощение выражений онлайн калькулятор со степенями,упрощение выражений онлайн с дробями,упрощение выражений онлайн с корнями,упрощение выражений онлайн с решением,упрощение выражений примеры,упрощение выражений с дробями,упрощение выражений с дробями калькулятор,упрощение выражений с дробями онлайн,упрощение выражений с дробями онлайн калькулятор,упрощение выражений с корнями онлайн,упрощение выражений с решением онлайн,упрощение выражений со степенями калькулятор онлайн,упрощение выражений со степенями онлайн калькулятор,упрощение дробей онлайн с буквами,упрощение дробей онлайн со степенями и буквами,упрощение дробей с буквами онлайн,упрощение дробных выражений,упрощение дробных выражений калькулятор онлайн,упрощение дробных выражений онлайн,упрощение дробных выражений онлайн калькулятор,упрощение корней онлайн,упрощение многочленов онлайн,упрощение онлайн,упрощение тригонометрических выражений онлайн,упрощение уравнений,упрощение уравнений онлайн,упрощение уравнения,упрощения,упрощения выражений,упрощения выражений онлайн калькулятор,упрощения выражений примеры,упрощения выражения калькулятор,формула упрощения выражения,формулы для упрощения выражений,формулы упрощения,формулы упрощения выражений,формулы упрощения выражения,что такое упростить выражение. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 1 упростите выражение. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, 2 упростить выражение 1 2).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 1 упростите выражение Онлайн?

Решить задачу 1 упростите выражение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Упрощение выражений на тестах по математике. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Простейшие примеры

Упрощение выражений на тестах по математике. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Простейшие примеры

Упрощение выражений на тестах по математике.  Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Простейшие примеры. Упростить выражение примеры Изменяем порядок действий. Выносим знак минус из произведения. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Изменяем порядок действий. Выносим знак минус из произведения. Сдавая тесты по математике, указываем ответ: В следующем примере Решим еще один пример, в котором в знаменателе стоит не только буквенное выражение, но и числа Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. После того, как сделали упрощение выражения, указываем правильный ответ Решим еще один подобный пример Изменяем порядок действий. Выносим знак минус из произведения. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Изменяем порядок действий. Выносим знак минус из произведения. Таким образом, после упрощения этого выражения получили такой ответ Решим пример, в котором общий знаменатель тоже составляется и частей знаменетелей разных дробей Меняем слагаемые местами Выносим знак минус из произведения. Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Меняем слагаемые местами Разложим числитель дроби на множители. Производим сокращение. После того, как сделали упрощение выражения, то указываем правильный ответ: В следующем примере общим знаменателем дроби является знаменатель второй дроби Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки с учетом правила раскрытия скобок. Если перед скобкой минус, то все знаки меняются на противоположные. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Разложим числитель дроби на множители. Ответ: А в этом примере общим знаменателем будет знаменатель первой дроби Пример , упростить выражение Приводим дроби к общему знаменателю. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Раскрываем скобки. Раскрываем скобки. Приводим подобные члены. Выполняя упрощение выражения, мы получили окончательный  ответ:

Буквенные выражения

Буквенное выражение (или выражение с переменными) — это математическое выражение, которое состоит из чисел, букв и знаков математических операций. Например, следующее выражение является буквенным:

a + b + 4

С помощью буквенных выражений можно записывать законы, формулы, уравнения и функции. Умение манипулировать буквенными выражениями — залог хорошего знания алгебры и высшей математики.

Любая серьёзная задача в математике свóдится к решению уравнений. А чтобы уметь решать уравнения, нужно уметь работать с буквенными выражениями.

Чтобы работать с буквенными выражениями, нужно хорошо изучить базовую арифметику: сложение, вычитание, умножение, деление, основные законы математики, дроби, действия с дробями, пропорции. И не просто изучить, а понять досконально.

Переменные

Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными.

Например, в выражении a + b + 4 переменными являются буквы a и b. Если вместо этих переменных подставить любые числа, то буквенное выражение a + b + 4 обратится в числовое выражение, значение которого можно будет найти.

Числа, которые подставляют вместо переменных называют значениями переменных. Например, изменим значения переменных a и b. Для изменения значений используется знак равенства

a = 2, b = 3

Мы изменили значения переменных a и b. Переменной a присвоили значение 2, переменной b присвоили значение 3. В результате буквенное выражение a + b + 4 обращается в обычное числовое выражение 2 + 3 + 4, значение которого можно найти:

2 + 3 + 4 = 9

Когда происходит умножение переменных, то они записываются вместе. Например, запись ab означает то же самое, что и запись a × b. Если подставить вместо переменных a и b числа 2 и 3, то мы получим 6

2 × 3 = 6

Слитно также можно записать умножение числа на выражение в скобках. Например, вместо a × (b + c) можно записать a(b + c). Применив распределительный закон умножения, получим a(b + c) = ab + ac.


Коэффициенты

В буквенных выражениях часто можно встретить запись, в которой число и переменная записаны вместе, например 3a. На самом деле это короткая запись умножения числа 3 на переменную a и эта запись выглядит как 3 × a.

Другими словами, выражение 3a является произведением числа 3 и переменной a. Число 3 в этом произведении называют коэффициентом. Этот коэффициент показывает во сколько раз будет увеличена переменная a. Данное выражение можно прочитать как «a три раза» или «трижды а«, или «увеличить значение переменной a в три раза», но наиболее часто читается как «три a«

К примеру, если переменная a равна 5, то значение выражения 3a будет равно 15.

3 × 5 = 15

Говоря простым языком, коэффициент это число, которое стоит перед буквой (перед переменной).

Букв может быть несколько, например 5abc. Здесь коэффициентом является число 5. Данный коэффициент показывает, что произведение переменных abc увеличивается в пять раз. Это выражение можно прочитать как «abc пять раз» либо «увеличить значение выражения abc в пять раз», либо «пять abc«.

Если вместо переменных abc подставить числа 2, 3 и 4, то значение выражения 5abc будет равно 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

Можно мысленно представить, как сначала перемнóжились числа 2, 3 и 4, и полученное значение увеличилось в пять раз:

Знак коэффициента отнóсится только к коэффициенту, и не отнóсится к переменным!

Рассмотрим выражение 6b. Минус, стоящий перед коэффициентом 6, отнóсится только к коэффициенту 6, и не отнóсится к переменной b. Понимание этого факта позвóлит не ошибаться в будущем со знаками.

Найдем значение выражения 6b при b = 3.

6b это короткая форма записи от × b. Для наглядности запишем выражение 6b в развёрнутом виде и подставим значение переменной b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18


Пример 2. Найти значение выражения 6b при b = −5

Запишем выражение −6b в развёрнутом виде

−6b = −6 × b

и далее подставим значение переменной b

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30


Пример 3. Найти значение выражения −5a + b при a = 3 и b = 2

−5a + b это короткая форма записи от −5 × a + b, поэтому для наглядности запишем выражение −5 × a + b в развёрнутом виде и подстáвим значения переменных a и b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13


Иногда буквы записаны без коэффициента, например a или ab. В этом случае коэффициентом является единица:

1a, 1ab

но единицу по традиции не записывают, поэтому просто пишут a или ab

Если перед буквой стоит минус, то коэффициентом является число 1. Например, выражение −a на самом деле выглядит как −1a. Это произведение минус единицы и переменной a. Оно получилось следующим образом:

−1 × a = −1a

Здесь крóется небольшой подвох. В выражении −a минус, стоящий перед переменной a на самом деле относится к невидимой единице, а не к переменной a. Поэтому при решении задач следует быть внимательным.

К примеру, если дано выражение −a и нас прóсят найти его значение при a = 2, то в школе мы подставляли двойку вместо переменной a и получали ответ 2, не особо зацикливаясь на том, как это получалось. На самом деле происходило умножение минус единицы на положительное число 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Если дано выражение −a и требуется найти его значение при a = −2, то мы подставляем −2 вместо переменной a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Чтобы не допускать ошибок, первое время невидимые единицы можно записывать явно.

Пример 4. Найти значение выражения abc при a=2, b=3 и c=4

Выражение abc это короткая форма записи от 1×a×b×c. Для наглядности запишем выражение abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a, b и c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24


Пример 5. Найти значение выражения abc при a=−2, b=−3 и c=−4

Запишем выражение abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a, b и c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24


Пример 6. Найти значение выражения abc при a=3, b=5 и c=7

Выражение abc это короткая форма записи от −1×a×b×c. Для наглядности запишем выражение abc в развёрнутом виде и подставим значения переменных a, b и c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105


Пример 7. Найти значение выражения abc при a=−2, b=−4 и c=−3

Запишем выражение abc в развёрнутом виде:

−abc = −1 × a × b × c

Подставим значение переменных a, b и c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24


Как определить коэффициент

Иногда требуется решить задачу, в которой требуется определить коэффициент выражения. В принципе, данная задача очень простá. Достаточно уметь правильно умножать числа.

Чтобы определить коэффициент в выражении, нужно отдельно перемножить числа, входящие в это выражение, и отдельно перемножить буквы. Получившийся числовой сомножитель и будет коэффициентом.

Пример 1. Определить коэффициент в выражении: 7m×5a×(−3)×n

Выражение состоит из нескольких сомножителей. Это можно отчетливо увидеть, если записать выражение в развёрнутом виде. То есть произведения 7m и 5a записать в виде 7×m и 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Применим сочетательный закон умножения, который позволяет перемножать сомножители в любом порядке. А именно, отдельно перемнóжим числа и отдельно перемнóжим буквы (переменные):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Коэффициент равен −105. После завершения буквенную часть желательно расположить в алфавитном порядке:

−105amn


Пример 2. Определить коэффициент в выражении: −a×(−3)×2

Перемножим отдельно числа и буквы:

−a × (−3 ) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Коэффициент равен 6.


Пример 3. Определить коэффициент в выражении:

Перемножим отдельно числа и буквы:

Коэффициент равен −1. Обратите внимание, что единица не записана, поскольку коэффициент 1 принято не записывать.

Эти казалось бы простейшие задачи могут сыграть с нами очень злую шутку. Часто выясняется, что знак коэффициента поставлен не верно: либо пропущен минус либо наоборот он поставлен зря. Чтобы избежать этих досадных ошибок, тема умножения целых чисел должна быть изучена на хорошем уровне.


Слагаемые в буквенных выражениях

При сложении нескольких чисел получается сумма этих чисел. Числа, которые складывают называют слагаемыми. Слагаемых может быть несколько, например:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Когда выражение состоит из слагаемых, вычислять его намного проще, поскольку складывать легче, чем вычитать. Но в выражении может присутствовать не только сложение, но и вычитание, например:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

В этом выражении числа 3 и 5 являются вычитаемыми, а не слагаемыми. Но нам ничего не мешает, заменить вычитание сложением. Тогда мы снова получим выражение, состоящее из слагаемых:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Не суть, что числа −3 и −5 теперь со знаком минус. Главное, что все числа в данном выражении соединены знаком сложения, то есть выражение является суммой.

Оба выражения 1 + 2 − 3 + 4 − 5 и 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) равны одному и тому значению — минус единице:

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Таким образом, значение выражения не пострадает от того, что мы где-то заменим вычитание сложением.

Заменять вычитание сложением можно и в буквенных выражениях. Например, рассмотрим следующее выражение:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

При любых значениях переменных a, b, c, d и s выражения 7a + 6b − 3c + 2d − 4s и 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) будут равны одному и тому же значению.

Вы должны быть готовы к тому, что учитель в школе или преподаватель в институте может называть слагаемыми даже те числа (или переменные), которые ими не являются.

Например, если на доске будет записана разность a − b, то учитель не будет говорить, что a — это уменьшаемое, а b — вычитаемое. Обе переменные он назовет одним общим словом — слагаемые. А всё потому, что выражение вида a − b математик видит, как сумму a + (−b). В таком случае выражение становится суммой, а переменные a и (−b) станóвятся слагаемыми.


Подобные слагаемые

Подобные слагаемые — это слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.

Например, рассмотрим выражение 7a + 6b + 2a. Слагаемые 7a и 2a имеют одинаковую буквенную часть — переменную a. Значит слагаемые 7a и 2a являются подобными.

Обычно подобные слагаемые складывают, чтобы упростить выражение или решить какое-нибудь уравнение. Это действие называют приведéнием подобных слагаемых.

Чтобы привести подобные слагаемые, нужно сложить коэффициенты этих слагаемых, и полученный результат умножить на общую буквенную часть.

Например, приведём подобные слагаемые в выражении 3a + 4a + 5a. В данном случае подобными являются все слагаемые. Слóжим их коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть — на переменную a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Подобные слагаемые обычно привóдят в уме и результат записывают сразу:

3a + 4a + 5a = 12a

Также, можно рассуждать следующим образом:

Было 3 переменные a, к ним прибавили еще 4 переменные a и ещё 5 переменных a. В итоге получили 12 переменных a

Если подсчитать на рисунке количество переменных a, то насчитается 12.

Рассмотрим несколько примеров на приведение подобных слагаемых. Учитывая, что данная тема очень важна, на первых порах будем записывать подробно каждую мелочь. Несмотря на то, что здесь всё очень просто, большинство людей допускают множество ошибок. В основном по невнимательности, а не по незнанию.

Пример 1. Привести подобные слагаемые в выражении 3a + 2a + 6a + 8a

Сложим коэффициенты в данном выражении и полученный результат умножим на общую буквенную часть:

3a + 2a + 6a + 8a= (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

Конструкцию (3 + 2 + 6 + 8) × a можно не записывать, поэтому сразу запишем ответ

3a + 2a + 6a + 8a = 19a


Пример 2. Привести подобные слагаемые в выражении 2a + a

Второе слагаемое a записано без коэффициента, но на самом деле перед ним стоит коэффициент 1, который мы не видим по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:

2a + 1a

Теперь приведем подобные слагаемые. То есть сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Запишем решение покороче:

2a + a = 3a

Приводя подобные слагаемые в выражении 2a+a, можно рассуждать и по-другому:

Было 2 переменные a, добавили ещё одну переменную a, в итоге получилось 3 переменные a.


Пример 3. Привести подобные слагаемые в выражении 2a − a

Заменим вычитание сложением:

2a + (−a)

Второе слагаемое (−a) записано без коэффициента, но на самом деле оно выглядит как (−1a). Коэффициент −1 опять же невидимый по причине того, что его не записывают. Стало быть, выражение выглядит следующим образом:

2a + (−1a)

Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Обычно записывают короче:

2a − a = a

Приводя подобные слагаемые в выражении 2a−a можно рассуждать и по-другому:

Было 2 переменные a, вычли одну переменную a, в итоге осталась одна единственная переменная a


Пример 4. Привести подобные слагаемые в выражении 6a − 3a + 4a − 8a

Заменим вычитание сложение там, где это можно:

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Теперь приведем подобные слагаемые. Сложим коэффициенты и результат умножим на общую буквенную часть

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Запишем решение покороче:

6a − 3a + 4a − 8a = −a


Встречаются выражения, которые содержат несколько различных групп подобных слагаемых. Например, 3a + 3b + 7a + 2b. Для таких выражений справедливы те же правила, что и для остальных, а именно складывание коэффициентов и умножение полученного результата на общую буквенную часть. Но чтобы не допустить ошибок, удобно разные группы слагаемых подчеркнуть разными линиями.

Например, в выражении 3a + 3b + 7a + 2b те слагаемые, которые содержат переменную a, можно подчеркнуть одной линией, а те слагаемые которые содержат переменную b, можно подчеркнуть двумя линиями:

Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть. Сделать это нужно для обеих групп слагаемых: для слагаемых, содержащих переменную a и для слагаемых содержащих переменную b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Опять же повторимся, выражение несложное, и подобные слагаемые можно приводить в уме:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b


Пример 5. Привести подобные слагаемые в выражении 5a − 6a −7b + b

Заменим вычитание сложение там, где это можно:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Подчеркнём подобные слагаемые разными линиями. Слагаемые, содержащие переменные a подчеркнем одной линией, а слагаемые содержащие переменные b, подчеркнем двумя линиями:

Теперь можно привести подобные слагаемые. То есть сложить коэффициенты и полученный результат умножить на общую буквенную часть:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)


Если в выражении содержатся обычные числа без буквенных сомножителей, то они складываются отдельно.

Пример 6. Привести подобные слагаемые в выражении 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Приведем подобные слагаемые. Числа −5 и 7 не имеют буквенных сомножителей, но они являются подобными слагаемыми — их необходимо просто сложить. А слагаемое 2b останется без изменений, поскольку оно единственное в данном выражении, имеющее буквенный сомножитель b, и его не с чем складывать:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Запишем решение покороче:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2


Слагаемые можно упорядочивать, чтобы те слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть, располагались в одной части выражения.

Пример 7. Привести подобные слагаемые в выражении 5t+2x+3x+5t+x

Поскольку выражение является суммой из нескольких слагаемых, это позволяет нам вычислять его в любом порядке. Поэтому слагаемые, содержащие переменную t, можно записать в начале выражения, а слагаемые содержащие переменную x в конце выражения:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Теперь можно привести подобные слагаемые:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Запишем решение покороче:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x


Сумма противоположных чисел равна нулю. Это правило работает и для буквенных выражений. Если в выражении встретятся одинаковые слагаемые, но с противоположными знаками, то от них можно избавиться на этапе приведения подобных слагаемых. Иными словами, просто вычеркнуть их из выражения, поскольку их сумма равна нулю.

Пример 8. Привести подобные слагаемые в выражении 3t − 4t − 3t + 2t

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Слагаемые 3t и (−3t) являются противоположными. Сумма противоположных слагаемых равна нулю. Если убрать этот ноль из выражения, то значение выражения не изменится, поэтому мы его и уберём. А уберём мы его обычным вычеркиванием слагаемых 3t и (−3t)

В итоге у нас останется выражение (−4t) + 2t. В данном выражении можно привести подобные слагаемые и получить окончательный ответ:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Запишем решение покороче:


Упрощение выражений

Часто можно встретить задание, в котором сказано «упростите выражение» и далее приводится выражение, которое требуется упростить. Упростить выражение значит сделать его прóще и корóче.

На самом деле мы уже занимались упрощением выражений, когда сокращали дроби. После сокращения дробь становилась короче и проще для восприятия.

Рассмотрим следующий пример. Упростить выражение .

Это задание буквально можно понять так: «Примените к данному выражению любые допустимые действия, но сделайте его прóще».

В данном случае можно осуществить сокращение дроби, а именно разделить числитель и знаменатель дроби на 2:

Что ещё можно сделать? Можно вычислить полученную дробь . Тогда мы получим десятичную дробь 0,5

В итоге дробь упростилась до 0,5.

Первый вопрос, который нужно себе задавать при решении подобных задач, должен быть: «а что можно сделать?». Потому что есть действия, которые можно делать, и есть действия, которые делать нельзя.

Ещё один важный момент, о котором нужно помнить, заключается в том что значение выражение не должно измениться после упрощения выражения. Вернемся к выражению . Данное выражение представляет собой деление, которое можно выполнить. Выполнив это деление, мы получаем значение данного выражения, которое равно 0,5

Но мы упростили выражение и получили новое упрощённое выражение . Значение нового упрощённого выражения по-прежнему равно 0,5

Но выражение мы тоже попытались упростить, вычислив его. В итоге получили окончательный ответ 0,5.

Таким образом, как бы мы не упрощали выражение, значение получаемых выражений по-прежнему равно 0,5. Значит упрощение выполнялось верно на каждом этапе. Именно к этому нужно стремиться при упрощении выражений — значение выражения не должно пострадать от наших действий.

Часто требуется упрощать буквенные выражения. Для них справедливы те же правила упрощения, что и для числовых выражений. Можно выполнять любые допустимые действия, лишь бы не изменилось значение выражения.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Упростить выражение 5,21s × t × 2,5

Чтобы упростить данное выражение, можно отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы. Это задание очень похоже на то, которое мы рассматривали, когда учились определять коэффициент:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Таким образом, выражение 5,21s × t × 2,5 упростилось до 13,025st.


Пример 2. Упростить выражение −0,4 × (−6,3b) × 2

Второе произведение (−6,3b) можно перевести в понятный для нас вид, а именно записать в виде (−6,3)×b, затем отдельно перемножить числа и отдельно перемножить буквы:

0,4 × (−6,3b) × 2 = 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Таким образом, выражение −0,4 × (−6,3b) × 2 упростилось до 5,04b


Пример 3. Упростить выражение

Распишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:

Теперь отдельно перемножим числа и отдельно перемножим буквы:

Таким образом, выражение упростилось до −abc. Данное решение можно записать покороче:

При упрощении выражений, дроби можно сокращать в процессе решения, а не в самом конце, как мы это делали с обычными дробями. Например, если в ходе решения мы наткнёмся на выражение вида , то вовсе необязательно вычислять числитель и знаменатель и делать что-то вроде этого:

Дробь можно сократить, выбирая по множителю в числителе и в знаменателе и сокращать эти множители на их наибольший общий делитель. Другими словами, использовать короткую версию сокращения дроби, в которой мы не расписываем подробно на что был разделен числитель и знаменатель.

Например, в числителе множитель 12 и в знаменателе множитель 4 можно сократить на 4. Четвёрку храним в уме, а разделив 12 и 4 на эту четвёрку, ответы записываем рядом с этими числами, предварительно зачеркнув их

Далее в числителе множитель 9 и в знаменателе множитель 3 можно сократить на 3

Далее в числителе множитель 6 и в знаменателе множитель 2 можно сократить на 2

Теперь можно перемножить получившиеся маленькие множители. В данном случае их немного и можно перемножить в уме:

Со временем можно обнаружить, что решая ту или иную задачу, выражения начинают «толстеть», поэтому желательно приучиться к быстрым вычислениям. То, что можно вычислить в уме, нужно вычислять в уме. То, что можно быстро сократить, нужно быстро сокращать.

Пример 4. Упростить выражение

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы:

Таким образом, выражение упростилось до


Пример 5. Упростить выражение

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы:

Таким образом, выражение упростилось до mn.


Пример 6. Упростить выражение

Запишем данное выражение более подробно, чтобы хорошо увидеть, где числа, а где буквы:

Теперь отдельно перемножим числа и отдельно буквы. Для удобства вычислений десятичную дробь −6,4 и смешанное число можно перевести в обыкновенные дроби:

Таким образом, выражение  упростилось до

Решение для данного примера можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:


Пример 7. Упростить выражение

Перемножим отдельно числа и отдельно буквы. Для удобства вычисления смешанное число и десятичные дроби 0,1 и 0,6 можно перевести в обыкновенные дроби:

Таким образом, выражение упростилось до abcd. Если пропустить подробности, то данное решение можно записать значительно короче:

Обратите внимание на то, как сократилась дробь. Новые множители, которые получаются в результате сокращения предыдущих множителей, тоже допускается сокращать.

Теперь поговорим о том, чего делать нельзя. При упрощении выражений категорически нельзя перемножать числа и буквы, если выражение является суммой, а не произведением.

Например, если требуется упростить выражение 5a + 4b, то нельзя записывать следующим образом:

Это равносильно тому, что если бы нас попросили сложить два числа, а мы бы их перемножали вместо того, чтобы складывать.

При подстановке любых значений переменных a и b выражение 5a  +4b обращается в обыкновенное числовое выражение. Предположим, что переменные a и b имеют следующие значения:

a = 2, b = 3

Тогда значение выражения будет равно 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Сначала выполняется умножение, а затем полученные результаты складывают. А если бы мы попытались упростить данное выражение, перемножив числа и буквы, то получилось бы следующее:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Получается совсем другое значение выражения. В первом случае получилось 22, во втором случае 120. Это означает, что упрощение выражения 5a + 4b было выполнено неверно.

После упрощения выражения, его значение не должно изменяться при одних и тех же значениях переменных. Если при подстановке в изначальное выражение любых значений переменных получается одно значение, то после упрощения выражения должно получаться то же самое значение, что и до упрощения.

С выражением 5a + 4b на самом деле ничего делать нельзя. Оно не упрощается.

Если в выражении содержатся подобные слагаемые, то их можно сложить, если нашей целью является упрощение выражения.

Пример 8. Упростить выражение 0,3a−0,4a+a

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

или покороче: 0,3a − 0,4a + a = 0,9a

Таким образом, выражение 0,3a−0,4a+a упростилось до 0,9a


Пример 9. Упростить выражение −7,5a − 2,5b + 4a

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

или покороче −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Слагаемое (−2,5b) осталось без изменений, поскольку его не с чем было складывать.


Пример 10. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Коэффициент был переведён в неправильную дробь для удобства вычисления.

Таким образом, выражение упростилось до


Пример 11. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Таким образом, выражение упростилось до .

В данном примере целесообразнее было бы сложить первый и последний коэффициент в первую очередь. В этом случае мы получили бы короткое решение. Выглядело бы оно следующим образом:


Пример 12. Упростить выражение

Чтобы упростить данное выражение можно привести подобные слагаемые:

Таким образом, выражение упростилось до.

Слагаемое осталось без изменения, поскольку его не с чем было складывать.

Данное решение можно записать значительно короче. Выглядеть оно будет следующим образом:

В коротком решении пропущены этапы замены вычитания сложением и подробная запись, как дроби приводились к общему знаменателю.

Ещё одно различие заключается в том, что в подробном решении ответ выглядит как , а в коротком как . На самом деле, это одно и то же выражение. Различие в том, что в первом случае вычитание заменено сложением, поскольку в начале когда мы записывали решение в подробном виде, мы везде где можно заменили вычитание сложением, и эта замена сохранилась и для ответа.


Тождества. Тождественно равные выражения

После того как мы упростили какое-нибудь выражение, оно станóвится проще и короче. Чтобы проверить верно ли упрощено выражение, достаточно подстáвить любые значения переменных сначала в предыдущее выражение, которое требовалось упростить, а затем в новое, которое упростили. Если значение в обоих выражениях будет одинаковым, то это означает, что выражение упрощено верно.

Рассмотрим простейший пример. Пусть требуется упростить выражение 2a × 7b. Чтобы упростить данное выражение, можно по-отдельности перемнóжить числа и буквы:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Проверим верно ли мы упростили выражение. Для этого подставим любые значения переменных a и b сначала в первое выражение, которое требовалось упростить, а затем во второе, которое упростили.

Пусть значения переменных a, b будут следующими:

a = 4
b = 5

Подстáвим их в первое выражение 2a × 7b

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

Теперь подстáвим те же значения переменных в выражение, которое получилось в результате упрощения выражения 2× 7b, а именно в выражение 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Видим, что при a = 4 и b = 5 значение первого выражения 2× 7b и значение второго выражения 14ab равны

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

То же самое произойдет и для любых других значений. Например, пусть a = 1 и b = 2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Таким образом, выражения 2× 7b и 14ab при любых значениях переменных равны одному и тому же значению. Такие выражения называют тождественно равными.

Делаем вывод, что между выражениями 2× 7b и 14ab можно поставить знак равенства, поскольку они равны одному и тому же значению:

2× 7b = 14ab

Равенством называют любое выражение, которые соединено знаком равенства (=).

А равенство вида 2× 7b = 14ab называют тождеством.

Тождеством называют равенство, которое верно при любых значениях переменных.

Другие примеры тождеств:

a + b = b + a

a(b + c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Да, законы математики, которые мы изучали, являются тождествами.

Верные числовые равенства тоже являются тождествами. Например:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Решая сложную задачу, чтобы облегчить себе вычисление, сложное выражение заменяют на более простое выражение, тождественно равное предыдущему. Такую замену называют тождественным преобразованием выражения или просто преобразованием выражения.

Например, мы упростили выражение 2× 7b, и получили более простое выражение 14ab. Это упрощение можно называть тождественным преобразованием.

Часто можно встретить задание, в котором сказано «докажите, что равенство является тождеством» и далее приводится равенство, которое требуется доказать. Обычно это равенство состоит из двух частей: левой и правой части равенства. Наша задача состоит в том, чтобы выполнить тождественные преобразования с одной из частей равенства и получить другую часть. Либо выполнить тождественные преобразования с обеими частями равенства и сделать так, чтобы в обеих частях равенства оказались одинаковые выражения.

Например, докажем, что равенство 0,5a × 5b = 2,5ab является тождеством.

Упростим левую часть этого равенства. Для этого перемножим числа и буквы по отдельности:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

В результате небольшого тождественного преобразования, левая часть равенства стала равна правой части равенства. Значит мы доказали, что равенство 0,5a × 5b = 2,5ab является тождеством.

Из тождественных преобразований мы научились складывать, вычитать, умножать и делить числа, сокращать дроби, приводить подобные слагаемые, а также упрощать некоторые выражения.

Но это далеко не все тождественные преобразования, которые существуют в математике. Тождественных преобразований намного больше. В будущем мы ещё не раз в этом убедимся.

Задания для самостоятельного решения: Задание 1. Найдите значение выражения при и Задание 2. Найдите значение выражения при Задание 4. Найдите значение выражения при и

Задание 5. Запишите в виде буквенного выражения следующую последовательность действий:

  • Число a умножить на три, и из этого произведения вычесть пятнадцать
  • Число t умножить на девять, и к полученному произведению прибавить тридцать пять

Задание 6. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Задание 7. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Задание 8. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Задание 9. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Задание 10. Приведите подобные слагаемые в следующем выражении:

Задание 11. Упростите выражение:

Задание 12. Упростите выражение:

Задание 13. Упростите выражение:

Задание 14. Упростите выражение:

Задание 15. Упростите выражение:

Задание 16. Упростите выражение:

Задание 17. Упростите выражение:

Задание 18. Упростите выражение:

Задание 19. Упростите выражение:

Задание 20. Упростите выражение:


Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

8 класс. Алгебра. Алгебраические дроби. - Преобразование рациональных выражений.

Комментарии преподавателя

Урок: Пре­об­ра­зо­ва­ние ра­ци­о­наль­ных вы­ра­же­ний

Вспом­ним сна­ча­ла опре­де­ле­ние ра­ци­о­наль­но­го вы­ра­же­ния.

Опре­де­ле­ние. Ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние – ал­геб­ра­и­че­ское вы­ра­же­ние, не со­дер­жа­щее кор­ней и вклю­ча­ю­щее толь­ко дей­ствия сло­же­ния, вы­чи­та­ния, умно­же­ния и де­ле­ния (воз­ве­де­ния в сте­пень).

Под по­ня­ти­ем «пре­об­ра­зо­вать ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние» мы имеем в виду, пре­жде всего, его упро­ще­ние. А это осу­ществ­ля­ет­ся в из­вест­ном нам по­ряд­ке дей­ствий: сна­ча­ла дей­ствия в скоб­ках, затем про­из­ве­де­ние чисел (воз­ве­де­ние в сте­пень), де­ле­ние чисел, а затем дей­ствия сло­же­ния/вы­чи­та­ния.

Ос­нов­ной целью се­го­дняш­не­го урока будет при­об­ре­те­ние опыта при ре­ше­нии более слож­ных задач на упро­ще­ние ра­ци­о­наль­ных вы­ра­же­ний.

При­мер 1. Упро­стить ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние .

Ре­ше­ние. Сна­ча­ла может по­ка­зать­ся, что ука­зан­ные дроби можно со­кра­тить, т. к. вы­ра­же­ния в чис­ли­те­лях дро­бей очень по­хо­жи на фор­му­лы пол­ных квад­ра­тов со­от­вет­ству­ю­щих им зна­ме­на­те­лей. В дан­ном слу­чае важно не спе­шить, а от­дель­но про­ве­рить, так ли это.

Про­ве­рим чис­ли­тель пер­вой дроби: . Те­перь чис­ли­тель вто­рой: .

Как видно, наши ожи­да­ния не оправ­да­лись, и вы­ра­же­ния в чис­ли­те­лях не яв­ля­ют­ся пол­ны­ми квад­ра­та­ми, т. к. у них от­сут­ству­ет удво­е­ние про­из­ве­де­ния. Такие вы­ра­же­ния, если вспом­нить курс 7 клас­са, на­зы­ва­ют непол­ны­ми квад­ра­та­ми. Сле­ду­ет быть очень вни­ма­тель­ны­ми в таких слу­ча­ях, т. к. пе­ре­пу­ты­ва­ние фор­му­лы пол­но­го квад­ра­та с непол­ным – очень частая ошиб­ка, а по­доб­ные при­ме­ры про­ве­ря­ют вни­ма­тель­ность уча­ще­го­ся.

По­сколь­ку со­кра­ще­ние невоз­мож­но, то вы­пол­ним сло­же­ние дро­бей. У зна­ме­на­те­лей нет общих мно­жи­те­лей, по­это­му они про­сто пе­ре­мно­жа­ют­ся для по­лу­че­ния наи­мень­ше­го об­ще­го зна­ме­на­те­ля, а до­пол­ни­тель­ным мно­жи­те­лем для каж­дой из дро­бей яв­ля­ет­ся зна­ме­на­тель дру­гой дроби.

 

Ко­неч­но же, далее можно рас­крыть скоб­ки и при­ве­сти затем по­доб­ные сла­га­е­мые, од­на­ко, в дан­ном слу­чае можно обой­тись мень­ши­ми за­тра­та­ми сил и за­ме­тить, что в чис­ли­те­ле пер­вое сла­га­е­мое яв­ля­ет­ся фор­му­лой суммы кубов, а вто­рое – раз­но­сти кубов. Для удоб­ства вспом­ним эти фор­му­лы в общем виде:

 и .

В нашем же слу­чае вы­ра­же­ния в чис­ли­те­ле сво­ра­чи­ва­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

вто­рое вы­ра­же­ние ана­ло­гич­но. Имеем:

.

Ответ. .

При­мер 2. Упро­стить ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние .

Ре­ше­ние. Дан­ный при­мер похож на преды­ду­щий, но здесь сразу видно, что в чис­ли­те­лях дро­бей на­хо­дят­ся непол­ные квад­ра­ты, по­это­му со­кра­ще­ние на на­чаль­ном этапе ре­ше­ния невоз­мож­но. Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му при­ме­ру скла­ды­ва­ем дроби:

, здесь мы ана­ло­гич­но спо­со­бу, ука­зан­но­му выше, за­ме­ти­ли и свер­ну­ли вы­ра­же­ния по фор­му­лам суммы и раз­но­сти кубов.

Ответ. .

При­мер 3. Упро­стить ра­ци­о­наль­ное вы­ра­же­ние .

Ре­ше­ние. Можно за­ме­тить, что зна­ме­на­тель вто­рой дроби рас­кла­ды­ва­ет­ся на мно­жи­те­ли по фор­му­ле суммы кубов. Как мы уже знаем, раз­ло­же­ние зна­ме­на­те­лей на мно­жи­те­ли яв­ля­ет­ся по­лез­ным для даль­ней­ше­го по­ис­ка наи­мень­ше­го об­ще­го зна­ме­на­те­ля дро­бей.

.

Ука­жем наи­мень­ший общий зна­ме­на­тель дро­бей, он равен: , т. к. де­лит­ся на зна­ме­на­тель тре­тьей дроби, а пер­вое вы­ра­же­ние во­об­ще яв­ля­ет­ся целым, и для него по­дой­дет любой зна­ме­на­тель. Ука­зав оче­вид­ные до­пол­ни­тель­ные мно­жи­те­ли, за­пи­шем:

.

Ответ.

Рас­смот­рим более слож­ный при­мер с «мно­го­этаж­ны­ми» дро­бя­ми.

При­мер 4. До­ка­зать тож­де­ство  при всех до­пу­сти­мых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной.

До­ка­за­тель­ство. Для до­ка­за­тель­ства ука­зан­но­го тож­де­ства по­ста­ра­ем­ся упро­стить его левую часть (слож­ную) до того про­сто­го вида, ко­то­рый от нас тре­бу­ет­ся. Для этого вы­пол­ним все дей­ствия с дро­бя­ми в чис­ли­те­ле и зна­ме­на­те­ле, а затем раз­де­лим дроби и упро­стим ре­зуль­тат.

. До­ка­за­но при всех до­пу­сти­мых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной.

До­ка­за­но.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/algebraicheskie-drobi-arifmeticheskie-operacii-nad-algebraicheskimi-drobyami/preobrazovanie-ratsionalnyh-vyrazheniy?konspekt&chapter_id=13

 

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=Mtxotj-mhiQ

Уменьшайте простые или сложные дроби с помощью пошагового решения математических задач

ИЗДЕЛИЯ ФРАКЦИЙ

Произведение двух дробей определяется следующим образом.

Произведение двух дробей - это дробь, числитель которой является произведением числителей, а знаменатель - произведением знаменателей данных дробей.

в символах,

Любой общий множитель, встречающийся как в числителе, так и в знаменателе любой дроби, может быть разделен до или после умножения.

Пример 1 Найдите продукт

Решение

Те же процедуры применяются к дробям, содержащим переменные.

Пример 2 Найдите произведение

Решение Сначала мы разделим числитель и знаменатель на общие множители, чтобы получить

.

Теперь, умножая оставшиеся множители числителей и знаменателей, получаем

.

Если к какому-либо из факторов добавлен отрицательный знак, рекомендуется действовать так, как если бы все факторы были положительными, а затем прикрепить соответствующий знак к результату.Положительный знак прилагается, если на факторах нет отрицательных знаков или четного количества отрицательных знаков; отрицательный знак ставится, если у факторов нечетное количество отрицательных знаков.

Пример 3

Если дроби содержат алгебраические выражения, необходимо по возможности разложить множители и разделить общие множители перед умножением.

Пример 4 Найдите произведение.

Решение Во-первых, мы должны разложить числители и знаменатели на множители, чтобы получить

.

Теперь, разделив общие множители, получим

.

Теперь умножим оставшиеся множители числителей и знаменателей, чтобы получить

Обратите внимание, что при написании дробных ответов мы умножаем числитель и оставляем знаменатель в факторизованном виде.Очень часто в таком виде более полезны дроби.

В алгебре мы часто переписываем выражение, например, как эквивалентное выражение. Используйте ту форму, которая наиболее удобна для конкретной задачи.

Пример 5

Распространенные ошибки: помните, что мы можем разделять только общие факторы, а не общие термины! Например,

, потому что x - это термин, который нельзя разделить. Аналогично

, потому что 3 не является множителем всего числителя 3y + 2.

КОЛИЧЕСТВО ФРАКЦИЙ

При делении одной дроби на другую мы ищем число, умножение которого на делитель дает делимое. Это в точности то же самое понятие, что и деление одного целого числа на другое; a ÷ b - это число q, частное, такое, что bq = a.

Чтобы найти, ищем такое число q, что. Чтобы решить это уравнение относительно q, мы умножаем каждый член уравнения на. Таким образом,

В приведенном выше примере мы называем число обратной величиной числа.В общем, дробь является обратной величиной. То есть, мы получаем обратную дробь, «инвертируя» дробь. В целом

Частное двух дробей равно произведению дивиденда на обратную величину делителя.

То есть, чтобы разделить одну дробь на другую, мы инвертируем делитель и умножаем. В символах,

Пример 1

Как и при умножении, когда дроби в частном имеют знаки, рекомендуется продолжить решение проблемы, как если бы все факторы были положительными, а затем прикрепить соответствующий знак к решению.

Пример 2

Некоторые частные встречаются так часто, что полезно распознать эквивалентные формы напрямую. Один футляр

В целом

Пример 3

Когда дроби в частном включают алгебраические выражения, необходимо по возможности разложить на множители и разделить общие множители перед умножением.

Пример 4

СУММЫ И РАЗЛИЧИЯ ФРАКЦИЙ С ПОДОБНЫМИ ДЕНОМИНАТОРАМИ

Сумма двух или более арифметических или алгебраических дробей определяется следующим образом:
Сумма двух или более дробей с общими знаменателями - это дробь с одинаковым знаменателем и числителем, равная сумме числителей исходных дробей.

В целом

Пример 1

Если используется вычитание, перед сложением полезно перейти к стандартной форме.

Пример 2

Мы должны быть особенно осторожны с биномиальными числителями. Например, мы должны переписать

, где весь числитель заключен в круглые скобки.

СУММЫ ДОЛЖНОСТЕЙ С НЕПОДХОДЯЩИМИ ЗНАМЕНАМИ

В разделе 6.3 мы добавили дроби с одинаковыми знаменателями. В этом разделе мы добавим дроби с разными знаменателями.

НАИМЕНЕЕ ОБЩЕЕ ЗНАЧЕНИЕ

Как правило, наименьшее натуральное число, кратное каждому знаменателю набора дробей, называется наименьшим общим знаменателем (ЖКД) набора дробей. Иногда мы можем получить ЖК-дисплей путем осмотра. Если ЖК-дисплей не виден сразу, мы можем использовать специальную процедуру, чтобы найти его.

Чтобы найти ЖК-дисплей:

  1. Полностью разложите каждый знаменатель на множители, по возможности выровняв общие множители.
  2. Включите в ЖК-дисплей каждый из этих множителей, максимальное количество раз, когда он встречается в любом единственном знаменателе.

Пример 1 Найдите наименьший общий знаменатель дробей

Решение Наименьший общий знаменатель для содержит среди своих факторов множители 12, 10 и 6.

Таким образом, на ЖК-дисплее отображается 60. (Это наименьшее натуральное число, которое делится на 12, 10 и 6.)

ЖК-дисплей набора алгебраических дробей - это простейшее алгебраическое выражение, кратное каждому знаменателю в наборе.Таким образом, ЖКД дроби

, потому что это простейшее выражение, кратное каждому знаменателю.

Пример 2 Найдите ЖКИ дробей

Решение Следуя методике из Примера 1, получаем

Таким образом, ЖК-дисплей равен x 2 (x + l) (x - 1).

Мы можем складывать дроби с разными знаменателями, сначала преобразовывая дроби в эквивалентные дроби с одинаковыми знаменателями, а затем складывая.

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями:

  1. Найдите ЖК-дисплей набора дробей.
  2. Преобразуйте каждую дробь в эквивалентную дробь с ЖК-дисплеем в качестве знаменателя.
  3. Сложите дроби, используя свойство

Пример 3 Запишите суммы и как отдельные члены.

Решение В каждом случае ЖК-дисплей равен 10. Мы строим каждую дробь до дроби со знаменателем 10. Таким образом,

эквивалентно

, из которого получаем

Иногда знаменатели дробей являются двучленами.

Пример 4 Запишите сумму в виде одного члена.

Решение На ЖК-дисплее (x + 2) (x - 1). Строим каждую дробь до дроби со знаменателем (x + 2) (x - 1), вставляя круглые скобки по мере необходимости, и получаем

Теперь, когда у нас есть одинаковые знаменатели, мы можем сложить числители, упростить и получить

Пример 5 Запишите сумму в виде одного члена.

Решение Сначала мы разложим знаменатели на множители, чтобы получить ЖК-дисплей.

Теперь мы преобразовываем каждую дробь в дроби с этим знаменателем и получаем

Теперь мы можем сложить числители, упростить и получить

Общие ошибки Обратите внимание, что мы можем складывать только дроби с одинаковыми знаменателями.Таким образом,

Кроме того, мы добавляем только числители дробей с одинаковыми знаменателями. Таким образом,

РАЗЛИЧИЯ ФРАКЦИЙ С НЕДОСТАТОЧНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

Мы вычитаем дроби с разными знаменателями аналогично сложению дробей. Однако сначала запишем каждую дробь в стандартном виде. Таким образом, любая дробь в виде

сначала записывается как

Теперь мы можем складывать дроби.

Пример 1 Запишите разницу в виде одного члена.

Решение Начнем с записи в стандартной форме как. ЖК-дисплей 12x. Мы строим каждую дробь до эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

Теперь, сложив числители, получаем

Опять же, следует проявлять особую осторожность с биномиальными числителями.

Пример 2 Запишите разницу в виде одного члена.

Решение сначала следует записать как

, где весь числитель заключен в круглые скобки.Затем мы получаем ЖК-дисплей 6 и строим каждую дробь до дробей со знаминателем 6, складываем числители и упрощаем.

В следующих примерах используются биномиальные знаменатели.

Пример 3 Запишите разницу в виде одного члена.

Решение Начнем с записи в стандартной форме как. ЖК-дисплей равен (x - l) (x + 2), и мы строим каждую дробь до эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

Теперь добавляем числители и упрощаем результаты

Пример 4 Запишите разницу

как единый термин

Решение. Сначала разложим знаменатели на множители и запишем дроби в стандартной форме, чтобы получить

.

Мы находим ЖК-дисплей (x + 7) (x - 3) (x + 3) и строим каждую дробь до эквивалентной дроби с этим знаменателем, чтобы получить

Теперь добавляем числители и упрощаем yield

КОМПЛЕКСНЫЕ ФРАКЦИИ

Дробь, содержащая одну или несколько дробей либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих, называется комплексной дробью.Например,

- сложные дроби. Как и простые дроби, сложные дроби представляют собой частные. Например,

В случаях, подобных уравнению (1), в котором числитель и знаменатель комплексной дроби не содержат сумм или разностей, мы можем просто инвертировать делитель и умножить. То есть

В случаях, подобных уравнению (2), в котором числитель или знаменатель комплексной дроби содержит суммы или разности, мы не можем просто инвертировать делитель и умножить.Однако мы можем использовать фундаментальный принцип дробей для упрощения сложных дробей. Фактически, мы также можем использовать фундаментальный принцип для упрощения сложных дробей приведенной выше формы (1).

Пример 1 Упростите, используя фундаментальный принцип дробей.

Решение Умножаем числитель и знаменатель на ЖК-дисплей всех дробей в числителе и знаменателе; в этом случае на ЖК-дисплее отображается 4. Результат - простая дробь, эквивалентная данной сложной дроби.

В следующем примере показано упрощение уравнения (2) на стр. 255.

Пример 2 Упростить

Решение Умножаем числитель и знаменатель на ЖК-дисплей всех дробей в числителе и знаменателе; в данном случае LCD 6. Получаем

ДРОБНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Чтобы решить уравнение, содержащее дроби, обычно проще всего сначала найти эквивалентное уравнение, не содержащее дробей. Мы делаем это, умножая каждый член уравнения на наименьший общий знаменатель дробей.

Хотя мы можем применять изученные нами алгебраические свойства в любом порядке, следующие шаги показывают порядок, наиболее полезный при решении уравнения, когда решение неочевидно. Конечно, не всегда все шаги необходимы.

Чтобы решить уравнение:

  1. Очистите дроби, если они есть, умножив каждый член уравнения на ЖК-дисплей.
  2. Запишите любое выражение, содержащее круглые скобки, как выражение без скобок.
  3. Объедините любые одинаковые термины в любом элементе.
  4. Получить все термины, содержащие переменную в одном члене, и все термины, не содержащие переменную в другом члене.
  5. Разделите каждый член на коэффициент переменной, если он отличается от 1.
  6. Проверьте ответ, был ли каждый член уравнения умножен на выражение, содержащее переменную.

Пример 1 Решить.

Решение Мы умножаем каждый член на ЖК-дисплей 15, чтобы получить эквивалентное уравнение, не содержащее дроби.

Свойство умножения равенства (раздел 3.4) позволяет нам умножить каждый член уравнения на ненулевое значение, чтобы получить эквивалентное уравнение. Таким образом, для решения уравнения

, мы умножим каждый член на ЖКД 4 (x - 5). Отметим, что x не может равняться 5, поскольку 4 (x - 5) равно 0, если x = 5. Полное решение показано в следующем примере.

Пример 2 Решить.

Решение Мы умножаем каждый член на ЖКД 4 (x - 5), чтобы получить

Применяя распределительное свойство, получаем

Решение относительно x дает

-21x = -189; х = 9

Обратите внимание, что 4 (x - 5) не равно нулю для a = 9.Таким образом, a = 9 является допустимым решением уравнения.

Когда уравнения содержат более одной переменной, иногда желательно решить одну переменную с точки зрения другой переменной (переменных).

Пример 3 Решите относительно a через a, b и c.

Решение Умножаем каждый член на LDC 3xc, чтобы получить

Теперь, разделив каждый член на 2x, мы получим

ПРИЛОЖЕНИЯ

Проблемы со словами в следующих упражнениях приводят к уравнениям с дробями.В это время вы можете просмотреть шаги, предлагаемые для решения задач со словами, и шаги, предлагаемые на странице 260, для решения уравнений, содержащих дроби.

Пример 1 Если к числу прибавить определенное число, то получится 11. Найдите число.

Решение

Шаги 1-2 Сначала мы записываем то, что хотим найти (число), в виде словосочетания. Затем мы представляем число в виде переменной.
Номер: x

Шаг 3 Эскиз не применим.

Шаг 4 Теперь мы можем написать уравнение. Помните, что «of» означает умножение.

Шаг 5 Решение уравнения дает

Шаг 6 Число 12.

Уравнения для задач, связанных с движением, иногда включают дроби. Основная идея задач движения состоит в том, что пройденное расстояние d равно произведению скорости перемещения r и времени путешествия t. Таким образом, d = rt. Мы можем решить эту формулу относительно r или t, чтобы получить:

Таблица, подобная показанной в следующем примере, полезна при решении проблем с движением.

Пример 2 Экспресс проходит 180 миль за то же время, что и грузовой поезд - 120 миль. Если экспресс идет на 20 миль в час быстрее, чем груз, найдите скорость каждого из них.

Шаги решения 1-2. Мы представляем две неизвестные величины, которые мы хотим найти, в виде словосочетаний. Затем мы представляем словосочетания в терминах одной переменной.

Скорость грузового поезда: r

Скорость экспресса: r + 20

Шаг 3 Затем мы составляем таблицу, в которой указаны расстояния, скорости и время.

Шаг 4 Поскольку времена обоих поездов одинаковы, мы можем приравнять выражения для времени, чтобы получить

Шаг 5 Теперь мы можем решить для r, сначала умножив каждый член на ЖК-дисплей r (r + 120), и мы получим

Шаг 6 Скорость грузового поезда составляет 40 миль в час, а скорость экспресса - 40 + 20, или 60 миль в час.

СООТНОШЕНИЕ И ПРОПОРЦИЯ

Частное двух чисел a ÷ b или иногда называют отношением и читают как «отношение a к b»."Это удобный способ сравнить два числа.

Пример 1 Выразите в виде отношения.

а. От 3 до 5 дюймов
b. От 8 до 12 метров
c. С 6 по 10

Решения

Утверждение, что два отношения равны, например

называется пропорцией и читается как «2 равно 3, как 4 равно 6» и «a соответствует b, как c соответствует d». Числа a, b, c и d называются первым, вторым, третьим и четвертым членами пропорции соответственно. Первый и четвертый члены называются крайними точками пропорции, а второй и третий члены называются средними значениями пропорции.

Пример 2 Выразите пропорцией.

Если каждое соотношение в пропорции

умножаем на bd, получаем

Таким образом,

В любой пропорции произведение крайностей равно произведению средних.

Доля - это особый тип дробного уравнения. Приведенное выше правило получения эквивалентного уравнения без знаменателей является частным случаем нашего общего подхода.

Пример 3 Решите пропорцию.

Решение Применяя свойство (1) выше, мы получаем

КОНВЕРСИИ

Мы можем использовать пропорции для преобразования английских единиц измерения в метрические единицы и наоборот. Следующие ниже базовые отношения будут полезны при настройке соответствующих пропорций для конверсий.

1 метр (м) = 39,37 дюйма (дюйм)

1 килограмм (кг) = 2,2 фунта (фунта)

1 километр (км) = 0,62 мили (миль)

1 литр (1) = 1,06 кварты (кварты)

1 фунт (фунт) = 454 грамма (г)

1 дюйм (дюйм.) = 2,54 см (см)

При преобразовании единиц проще всего выполнить шесть описанных шагов.

Пример 4 Измените 8 дюймов на сантиметры.

Решение

Шаги 1-2 Представьте, что нужно найти (в сантиметрах), в словосочетании и в терминах переменной.
Сантиметров: x

Шаг 3 Составьте таблицу, показывающую основные отношения между дюймами и сантиметрами.

Шаг 4 Используя таблицу из шага 3, запишите соотношение дюймов к сантиметрам.

Шаг 5 Решите относительно x, приравняв произведение средних к произведению крайних значений.

8 (2,54) = 1 · x
20,32 = x

Step 6 Восемь дюймов равны 20,32 сантиметра.

РЕЗЮМЕ ГЛАВЫ

  1. Следующие свойства используются для перезаписи произведений и частных дробей.

  2. Наименьшее натуральное число, кратное каждому знаменателю набора дробей, называется наименьшим общим знаменателем (ЖКД) дробей.Следующие свойства используются для перезаписи сумм и разностей дробей.

  3. Дробь, содержащая одну или несколько дробей либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих, называется комплексной дробью . Мы можем упростить сложную дробь, умножив числитель и знаменатель на ЖК-дисплей всех дробей в числителе и знаменателе.

  4. Мы можем решить уравнение, содержащее дроби, получив эквивалентное уравнение, в котором решение очевидно при осмотре.Как правило, лучше всего получить эквивалентное уравнение, не содержащее дробей, умножив каждый член уравнения на ЖКД дробей.

  5. Частное двух чисел называется отношением ; утверждение, что два соотношения равны, называется соотношением . В пропорции

    a и d называются крайностями пропорции, а b и c называются средними . В любой пропорции этой формы

    ad = bc

Рациональные выражения: упрощение

Рациональный Выражения: упрощение (стр. 2 из 3)

Разделы: Поиск область, Упрощение рациональных выражений


Вспоминая, когда вы имели дело с целым числом дроби, вы первым делом упростили их: Вы «отменили» факторы, которые были общими между числитель и знаменатель.Вы могли сделать это, потому что разделив любое число сам по себе дает вам только "1", и вы можете игнорировать множитель «1».

Используя те же рассуждения и методы, давайте упростим некоторые рациональные выражения.

  • Упростите следующее выражение:

    Для упрощения числового дробь, я бы исключил любые общие числовые множители.За это рациональное выражение (эта полиномиальная дробь), я могу аналогичным образом отменить от любого общего числа или переменная факторов.

    Числитель множится как (2) ( x ); знаменатель множится как ( x ) ( x ). Все, что разделено само по себе, равно «1», поэтому я могу вычеркнуть любые факторы, общие как для числителя, так и для знаменатель.Учитывая множители в этой конкретной дроби, я получаю:

    Тогда упрощенная форма выражения:

  • Упростите следующее рациональное выражение:

    Как мило! Этот уже учтено для меня! Однако (предупреждение!) Обычно требуется сделайте факторизацию самостоятельно, поэтому убедитесь, что вам удобно процесс!

    Единственный общий фактор вот " x + 3", так что я отмените это и получите:

    Тогда упрощенная форма это:

Предупреждение: обычное искушение на этом этапе стоит попытаться продолжить, отменив 2 с помощью 4.Но вы не можете этого сделать. Всякий раз, когда вы складываете термины, там понимаются круглые скобки вокруг них, например:

Можно только отменить факторы (то есть целые выражения, содержащиеся в круглых скобках), а не термины (то есть не просто часть содержимого пары круглых скобок). Перейти в круглые скобки и попытаться убрать часть содержимого это все равно что отрывать руки и ноги бедному маленькому многочлену в ловушке внутри.Он будет кровоточить, сочиться и шлепаться по полу, жалобно хныкает, грустно глядя на вас большими карими глазами ...

Ну ладно; возможно, нет. Но пытаться отменить только часть фактора - все равно что пытаться для этого:

66/63 равно 2? Конечно, нет. И если вышеуказанная «отмена» незаконна, Тогда так же и этот:

...и это незаконно ТОЧНО по той же причине, что и предыдущий. Хотя это не совсем настолько очевидно, что вы делаете что-то не так во втором случае с переменных, эти две "отмены" не допускаются, потому что вы достигаете внутренних факторов (66 и 63 выше, и x + 4 и x + 2 здесь) и копируете от их части, а не от целого фактора.

Вы можно отменить только факторы, а не условия!


Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы практиковать упрощение рационального выражения.Попробуйте введенное упражнение, или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку "бумажный самолетик", чтобы сравнить Ваш ответ Матвею. (Или пропустите виджет и продолжите урок.)

(Нажав на «Нажмите, чтобы просмотреть шаги» на экране ответа виджета приведет вас на сайт Mathway для платного обновления .)


Есть один технический соображение, которое часто упускается из виду в алгебре, но всплывает позже в исчислении.В приведенном выше упражнении, когда я перешел от исходного выражения:

... в упрощенном виде: Авторские права © Элизабет Стапель 2003-2011 Все права защищены.

... Я удалил "деление" по нулю "проблема. То есть в исходной дроби я не мог вставили значение x = –3, потому что это вызвало бы деление на ноль.Но в сокращенной дроби x разрешалось равным –3. Но если два выражения имеют разные домены, могут ли они действительно быть равный? Нет, не совсем так. В зависимости от текста, который вы используете, эта техническая с доменом можно игнорировать или замалчивать, иначе вам может потребоваться отметить это. В частности, многие (большинство?) Учебников принимают в качестве ответа:

...но некоторые книги (и инструкторы) потребуют, чтобы ваша упрощенная форма была скорректирована по мере необходимости, чтобы иметь тот же домен, что и исходная форма, поэтому технически полный ответ будет:

В зависимости от вашей книги и инструктор, вам может не понадобиться "пока x не равно –3" часть. Если вы не уверены, какой ответ ожидает ваш инструктор, спросите сейчас (перед тестом).

<< Предыдущий Наверх | 1 | 2 | 3 | Возвращение к указателю Вперед >>

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета. «Рациональные выражения: упрощение». Purplemath . Доступна с
https: // www.purplemath.com/modules/rtnldefs2.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

Упрощение выражения с помощью дроби

Результаты обучения

  • Определить эквивалентные отрицательные дроби, учитывая, что их отрицательный знак находится в другом месте
  • Упростите выражения, содержащие дробные черты, используя порядок операций

Где идет знак минуса в дроби? Обычно перед дробью ставится знак минус, но иногда можно увидеть дробь с отрицательным числителем или знаменателем.Помните, что дроби представляют собой деление. Дробь [latex] - \ frac {1} {3} [/ latex] может быть результатом деления [latex] \ frac {-1} {3} [/ latex], отрицательного на положительный или деления [latex] \ frac {1} {- 3} [/ latex], положительное за отрицательным. Когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, частное отрицательное.


Если и числитель, и знаменатель отрицательны, тогда сама дробь положительна, потому что мы делим отрицательное на отрицательное.

[латекс] \ frac {-1} {- 3} = \ frac {1} {3} \ frac {\ text {negative}} {\ text {negative}} = \ text {positive} [/ latex]

Знак минус в дробной части

Для любых положительных чисел [латекс] a \ text {и} b [/ latex],

[латекс] \ frac {-a} {b} = \ frac {a} {- b} = - \ frac {a} {b} [/ latex]

Пример

Какая из следующих фракций эквивалентна [latex] \ frac {7} {- 8}? [/ Latex]

[латекс] \ frac {-7} {- 8}, \ frac {-7} {8}, \ frac {7} {8}, - \ frac {7} {8} [/ latex]

Решение:
Частное положительного и отрицательного отрицательного, поэтому [latex] \ frac {7} {- 8} [/ latex] отрицательное.Из перечисленных фракций [latex] \ frac {-7} {8} \ text {и} - \ frac {7} {8} [/ latex] также отрицательны.

Упрощение выражения с помощью дроби

Полоски дроби действуют как символы группировки. Выражения над и под дробной чертой следует рассматривать так, как если бы они были заключены в круглые скобки. Например, [латекс] \ frac {4 + 8} {5 - 3} [/ latex] означает [латекс] \ left (4 + 8 \ right) \ div \ left (5 - 3 \ right) [/ latex] . Порядок операций говорит нам сначала упростить числитель и знаменатель - как если бы были круглые скобки - перед тем, как делить.
Мы добавим дробные черты к нашему набору символов группировки из раздела «Использование языка алгебры», чтобы получить здесь более полный набор.

Группировка символов

Упростите выражение с помощью дробной линейки

  1. Упростим числитель.
  2. Упростим знаменатель.
  3. Упростите дробь.

Пример

Упростить: [латекс] \ frac {4 + 8} {5 - 3} [/ латекс]

Показать решение

Решение:

[латекс] \ frac {4 + 8} {5 - 3} [/ латекс]
Упростите выражение в числителе. {2} +2} [/ latex]
Используйте порядок операций.{2}} {64 - 16} [/ латекс]
Упростим числитель и знаменатель. [латекс] \ frac {16} {48} [/ латекс]
Упростите дробь. [латекс] \ frac {1} {3} [/ латекс]

Пример

Упростить: [латекс] \ frac {4 \ left (-3 \ right) +6 \ left (-2 \ right)} {- 3 \ left (2 \ right) -2} [/ latex]

Показать решение

Решение:

[латекс] \ frac {4 \ left (-3 \ right) +6 \ left (-2 \ right)} {- 3 \ left (2 \ right) -2} [/ латекс]
Умножить. [латекс] \ frac {-12+ \ left (-12 \ right)} {- 6 - 2} [/ latex]
Упростить. [латекс] \ frac {-24} {- 8} [/ латекс]
Разделить. [латекс] 3 [/ латекс]

Посмотрите это видео, чтобы увидеть еще один пример того, как упростить выражение с помощью дробной линейки, содержащей несколько различных операций.

Упрощение рациональных выражений - объяснения и примеры

Теперь, когда вы понимаете, что такое рациональные числа, следующая тема этой статьи - это рациональных выражений и способы их упрощения .Для вашей же пользы мы определяем рациональное число как число, выраженное в форме p / q, где оно не равно нулю.

Другими словами, мы можем сказать, что рациональное число - это не что иное, как дробь, в которой числитель и знаменатель являются целыми числами. Примеры рациональных чисел: 5/7, 4/9/1/2, 0/3, 0/6 и т. Д.

С другой стороны, рациональное выражение - это алгебраическое выражение вида f (x) / g ( x), в котором числитель или знаменатель являются многочленами, или числитель и числитель являются многочленами.

Примеры рационального выражения: 5 / x - 2, 4 / (x + 1), (x + 5) / 5, (x 2 + 5x + 4) / (x + 5), (x + 1 ) / (x + 2), (x 2 + x + 1) / 2x и т. д.

Как упростить рациональные выражения?

Упрощение рационального выражения - это процесс сокращения рационального выражения до его наименьшего возможного значения. Рациональные выражения упрощаются так же, как упрощаются числовые числа или дроби.

Чтобы упростить любые рациональные выражения, мы применяем следующие шаги:

  • Факторизуем знаменатель и числитель рационального выражения.Не забудьте записать каждое выражение в стандартной форме.
  • Уменьшите выражение, исключив общие множители в числителе и знаменателе
  • Перепишите оставшиеся множители в числителе и знаменателе.

Давайте упростим пару примеров, как показано ниже:

Пример 1

Упростить: (x 2 + 5x + 4) (x + 5) / (x 2 - 1 )

Решение

Разложив числитель и знаменатель на множители, получим;

⟹ (x + 1) (x + 4) (x + 5) / (x + 1) (x - 1)

Теперь отмените общие условия.

⟹ (x + 4) (x + 5) / (x - 1)

Пример 2

Упростить (x 2 -4) / (x 2 + 4x + 4)

Решение

Разложите на множители числитель и знаменатель, чтобы получить.

⟹ (x + 2) (x - 2) / (x + 2) (x + 2)

Теперь сократите общие множители в числителе и знаменателе, чтобы получить.

= (x - 2) / (x + 2)

Пример 3

Упростить рациональное выражение x / (x 2 - 4x)

Решение

Фактор x в знаменатель получить;

⟹x / x (x - 4)

Отбросив общие термины вверху и внизу, получим;

= 1 / (x - 4)

Пример 4

Упростить рациональное выражение (5x + 20) / (7x + 28)

Решение

Вынести за множитель GCF в обоих числителях и знаменатель;

= (5x + 20) / (7x + 28) ⟹ 5 (x + 4) / 7 (x + 4)

Отбрасывая общие условия, получаем;

= 5/7

Пример 5

Упростим рациональное выражение (x 2 + 7x + 10) / (x 2 -4)

Решение

Учесть оба верхних фактора и нижняя часть выражения.

= (x 2 + 7x + 10) / (x 2 -4) ⟹ (x + 5) (x + 2) / (x 2 -2 2 )

⟹ (x + 5) (x + 2) / (x + 2) (x - 2)

Отмените общие условия, чтобы получить;

= (x + 5) / (x - 2)

Пример 6

Упростить (3x + 9) / (3x + 15)

Решение

= (3x + 9) / (3x + 15) ⟹ 3 (x + 3) / 3 (x + 5)

= (x + 3) / (x + 5)

Пример 7

Упростим рациональное выражение (64a 3 + 125b 3 ) / (4a 2 b + 5ab 2 )

Решение

Разложите на множители числитель и верхнюю часть;

= (64a 3 + 125b 3 ) / (4a 2 b + 5ab 2 ) ⟹ [(4a) 3 + (5b) 3 ] / ab (4a + 5b)

⟹ (4a + 5b) [(4a) 2 - (4a) (5b) + (5b) 2 ] / ab (4a + 5b)

Чтобы получить;

= (16a 2 - 20ab + 25b 2 ) / ab

Пример 8

Упростите следующее рациональное выражение

(9x 2 - 25y 2 ) / (3x ) / (3 2 - 5xy)

Решение

= (9x 2 - 25 лет 2 ) / (3x 2 - 5xy) ⟹ [(3x) 2 - (5y) 2 ] / x (3x - 5y)

= [(3x + 5y) (3x - 5y)] / x (3x - 5y)

= (3x + 5y) / x

Пример 9

Упростите: (6x 2 - 54) / (x 2 + 7x + 12)

Решение

= (6x 2 - 54) / (x 2 + 7x + 12)

= 6 (x 2 - 9) / (x + 3) (x + 4)

= 6 (x 2 - 3 2 ) / (x + 3) (x + 4)

= 6 ( x + 3) (x - 3) / (x + 3) (x + 4)

= 6 (x - 3) / (x + 4)

Практика ледовые вопросы

Упростите следующие рациональные выражения:

  1. 4x 3 / 8x 2
  2. (4x 3 + 8x 2 ) / 2x
  3. (7x x 2 (x 2 + 8x + 16)
  4. (4x 2 + 4x + 1) / (2x 3 + 11x 2 + 5x)
  5. (x 2 + 2x - 15) / ( x 2 + x - 12)
  6. (x 3 + 1) / (x 2 + 7x + 6)
  7. x 2 + 10x + 24 / x 3 - x 2 - 20x
  8. x + 3 / x 2 + 12x + 27
  9. (x 3 + 4x 2 - 9x - 36) / (4x 2 + 28x + 48)
  10. (3x 2 - 9xy - 12y 2 ) / (6x 3 - 6xy 2 )
  11. (2x 4 + 9x 3 -5x 2 ) / (6x 3 + x 2 - 2x)
  12. (2x 3 + 5x 2 + 9) / (2x 2 - x + 3)
  13. (x 3 + 3x 2 ) / 2x
  14. (xy + 3x - 2y - 6) / (y 2 + y - 6)
  15. (5 м 2 - 57 мин. + 70 н. 2 ) / 2 мес. 2 - 16 мин. - 40 н. 2
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок


College Algebra
Урок 11: Сложные рациональные выражения

Цели обучения


После изучения этого руководства вы сможете:
  1. Упростите сложные дроби.

Введение


Учебник




Сложная дробь - это рациональное выражение, содержащее дробь. в числителе, знаменателе или обоих.

Другими словами, есть хотя бы одна небольшая фракция в общем доля.

Примеры сложных дробей:

и

Есть два способа упростить сложные дроби. Мы назовем их методом I и методом II.




Метод I
Упрощение сложной дроби






Объединяя только числитель, получаем:


* Переписать дроби с ЖК-дисплеем ab


Объединяя только знаменатель, получаем:


* Перезапись дробей с ЖК-дисплеем a ^ 2 b


Подставляя их обратно в сложную дробь, получаем:



* Поставить числитель над знаменателем




* Перезаписать div.как мульт. ответной

* Разделим общий множитель ab



* Исключенные значения исходной ден.


Обратите внимание, что значение, которое будет исключено из домена, равно 0. Это значение , которое делает исходный знаменатель равным 0 .





Объединяя только числитель, получаем:




* Перезапись дробей с ЖК-дисплеем ( x - 4)









Объединяя только знаменатель, получаем:




* Перезаписать дроби с ЖК-дисплеем ( x - 4)









Подставляя их обратно в сложную дробь, получаем:



* Поставить числитель над знаменателем




* Перезаписать div.как мульт. ответной


* Разделите общий множитель ( x - 4)


* Исключенные значения исходной ден.


Обратите внимание, что значения, которые будут исключены из домена: 4 и 16/5. Это значений, которые составляют исходные знаменатели. равно 0 .



Метод II
Упрощение сложной фракции






Знаменатель дроби числителя имеет следующий множитель:



Знаменатель дроби знаменателя имеет следующий вид коэффициент:



Объединяя все различные множители и используя наивысший показатель степени, получаем следующий LCD на все мелкие дроби:



Умножая числитель и знаменатель на ЖК-дисплей, получаем:



* Мног.число и ден. по ( x + 1) ( x - 1)

















* Разделите общий множитель x


* Исключенные значения исходной ден.


Обратите внимание, что значения, которые будут исключены из домена: -1, 1 и 0. Это значений, которые делают исходный знаменатель равен 0 .






Знаменатели дробей числителя имеют следующий вид факторы:




Знаменатели дробей знаменателя имеют следующий вид факторы:



Объединяя все различные множители и используя наивысший показатель степени, получаем следующий LCD на все мелкие дроби:



Умножая числитель и знаменатель на ЖК-дисплей, получаем:



* Мног.число и ден. по ( x + 5) ( x - 5)














* Исключенные значения исходной ден.


Обратите внимание, что значения, которые будут исключены из домена: -5, 5 и -13/4. Это значений, которые делают оригинал знаменатель равен 0 .




Это рациональное выражение не может быть далее упрощено.

Практические задачи


Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает как и все в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны решить проблему с . свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения для этой проблемы .По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа.

Практика Задачи 1a - 1b: Упростить.

Нужна дополнительная помощь по этим темам?





Видео на этом сайте были созданы и продюсированы Ким Сьюард и Вирджиния Уильямс Трайс.
Последний раз редактировал Ким Сьюард 15 декабря 2009 г.
Авторские права на все содержимое (C) 2002 - 2010, WTAMU и Kim Seward. Все права защищены.

Упростите сложные рациональные выражения - элементарная алгебра

Рациональные выражения и уравнения

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Упростите сложное рациональное выражение, записав его как деление
  • Упростите сложное рациональное выражение с помощью ЖК-дисплея

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Если вы пропустили проблему, вернитесь в указанный раздел и просмотрите материал.

  1. Упростить:
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
  2. Simplify:
    Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Сложные дроби - это дроби, в числителе или знаменателе которых содержится дробь. В главе 1 мы упростили сложные дроби, например:

В этом разделе мы упростим сложных рациональных выражений , которые являются рациональными выражениями с рациональными выражениями в числителе или знаменателе.

Комплексное рациональное выражение

Сложное рациональное выражение - это рациональное выражение, в числителе или знаменателе которого содержится рациональное выражение.

Вот несколько сложных рациональных выражений:

Помните, мы всегда исключаем значения, при которых любой знаменатель будет равен нулю.

Мы будем использовать два метода для упрощения сложных рациональных выражений.

Упростите сложное рациональное выражение, записав его как деление

Мы уже видели это сложное рациональное выражение ранее в этой главе.

Мы заметили, что столбцы дроби говорят нам о делении, поэтому переписали это как задачу деления

Затем мы умножили первое рациональное выражение на величину, обратную второму, точно так же, как мы это делаем, когда делим две дроби.

Это один из методов упрощения рациональных выражений. Пишем так, как будто делим две дроби.

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Полоски дроби действуют как символы группировки.Итак, чтобы следовать Порядку операций, мы максимально упрощаем числитель и знаменатель, прежде чем мы сможем выполнить деление.

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Как упростить сложное рациональное выражение, записав его как деление

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Упростите сложное рациональное выражение, записав его как деление.

  1. Упростим числитель и знаменатель.
  2. Перепишите сложное рациональное выражение как задачу деления.
  3. Разделите выражения.

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Упростите сложные рациональные выражения с помощью ЖК-дисплея

Мы «очистили» дроби путем умножения на ЖК-дисплей, когда мы решали уравнения с дробями. Здесь мы можем использовать эту стратегию для упрощения сложных рациональных выражений.Мы умножим числитель и знаменатель на ЖК всех рациональных выражений.

Давайте посмотрим на сложное рациональное выражение, которое мы упростили одним способом (рисунок). Мы упростим его здесь, умножив числитель и знаменатель на ЖК-дисплей. Когда мы умножаем на, мы умножаем на 1, поэтому значение остается прежним.

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Как упростить сложное рациональное выражение с помощью ЖК-дисплея

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Упростите сложное рациональное выражение с помощью ЖК-дисплея.

  1. Найдите ЖК-дисплей всех дробей в сложном рациональном выражении.
  2. Умножьте числитель и знаменатель на ЖК-дисплей.
  3. Упростите выражение.

Обязательно начните с факторизации всех знаменателей, чтобы найти ЖК-дисплей.

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Упростить:

Ключевые понятия

  • Чтобы упростить рациональное выражение, записав его как деление
    1. Упростим числитель и знаменатель.
    2. Перепишите сложное рациональное выражение как задачу деления.
    3. Разделите выражения.
  • Чтобы упростить сложное рациональное выражение с помощью ЖК-дисплея
    1. Найдите ЖК-дисплей всех дробей в сложном рациональном выражении.
    2. Умножьте числитель и знаменатель на ЖК-дисплей.
    3. Упростите выражение.
Практика ведет к совершенству

Упростите сложное рациональное выражение, записав его как деление

Упростите следующие упражнения.

Упростите сложные рациональные выражения с помощью ЖК-дисплея

Упростите следующие упражнения.

Упростить

В следующих упражнениях используйте любой метод.

Письменные упражнения

В этом разделе вы научились упрощать сложную дробь двумя способами:

переписывая это как задачу деления

умножение числителя и знаменателя на ЖК-дисплей

Какой метод вы предпочитаете? Почему?

Эфраим хочет начать упрощение сложной дроби с удаления переменных из числителя и знаменателя.Объясните, что не так с планом Эфраима.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ После просмотра контрольного списка, думаете ли вы, что хорошо подготовились к следующему разделу? Почему или почему нет?

Глоссарий

сложное рациональное выражение
Сложное рациональное выражение - это рациональное выражение, в числителе или знаменателе которого содержится рациональное выражение.

Упрощение сложных дробей - ChiliMath

Когда «нормальная» дробь содержит дроби либо в числителе, либо в знаменателе, либо в обоих, то мы считаем ее сложной дробью. Этот тип фракции также известен как составная фракция.

Существует двух методов , используемых для упрощения такого вида дроби.

Метод 1

Ключевые шаги :

  • Создайте единую дробь в числителе и знаменателе.
  • Примените правило деления дробей, умножив числитель на величину, обратную или обратную знаменателю.
  • При необходимости упростите.

Метод 2

Ключевые шаги :

  • Найдите наименьший общий знаменатель (LCD) всех знаменателей в комплексных дробях.
  • Умножьте этот ЖК-дисплей на числитель и знаменатель комплексной дроби.
  • При необходимости упростите.

Пройдя несколько примеров, вы должны понять, что Method 2 намного лучше, чем Method 1 , потому что почти всегда требуется меньше шагов, чтобы получить окончательный ответ.


Примеры упрощения сложных дробей

Пример 1: Упростите приведенную ниже сложную дробь.

И числитель, и знаменатель сложной дроби уже выражены как отдельные дроби. Это здорово!

Следующий шаг - применить правило деления, умножив числитель на обратную величину знаменателя. Закончите, исключив общие факторы, чтобы получить окончательный ответ.

Найдите ЖК-дисплей всей проблемы, то есть ЖК-дисплей верхнего и нижнего знаменателей.

Поскольку ЖК-дисплей 3y и 6y - это просто \ textbf {6y}, теперь мы умножим комплексный числитель и знаменатель на этот ЖК-дисплей. После этого мы можем ожидать, что проблема будет сведена к одной дроби, которую можно упростить, как обычно.


Пример 2: Упростите приведенную ниже сложную дробь.

В этом методе мы хотим создать единую дробь как в числителе, так и в знаменателе. Очевидно, эта проблема потребует от нас сделать это в первую очередь, прежде чем выполнять деление.2} Умножьте верх и низ на этот ЖК-дисплей.


Пример 3: Упростите приведенную ниже сложную дробь.

Создайте отдельные дроби в числителе и знаменателе, затем разделите дроби.

Общий ЖК-дисплей знаменателей равен \ color {красный} 6x. Используйте это, чтобы перемножить верхнее и нижнее выражения.


Пример 4: Упростите сложную дробь ниже.

Для этой задачи мы будем использовать , метод 1 только .

Задача требует, чтобы вы применили метод FOIL (умножение двух биномов) и простую факторизацию трехчлена. Поначалу это может показаться немного устрашающим; однако, если вы обратите внимание на детали, гарантирую, что все не так уж и плохо.

Если вы заметили, комплексный знаменатель уже находится в желаемой форме - с одним дробным знаком. Это означает, что нам нужно немного поработать над сложным числителем. Нашим следующим шагом будет преобразование сложного числителя в «простую» или одинарную дробь.


Пример 5: Упростите сложную дробь ниже.

Для этой задачи мы будем использовать , метод 2, только .

Обратите внимание, что ЖК-дисплей всех знаменателей равен \ color {red} 12x. Используйте это как общий множитель как для верхних, так и для нижних выражений.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *