Упростите выражение с корнями: Выражения с квадратными корнями — урок. Алгебра, 8 класс.

2

определение, примеры решения и свойства

Содержание:

1. Иррациональные выражения
2. Простейшие преобразования арифметических корней (радикалов)
3. Тождество
4. Преобразование иррациональных выражений

Иррациональные выражения — это выражения, которые имеют корень. То есть это выражения, имеющие радикалы. Выражения, содержащие корень, который нельзя извлечь, называются иррациональными или радикальными. При сложении или вычитании иррациональных выражений их пишут одно за другим с сохранением их знаков.

Простейшие преобразования арифметических корней (радикалов)

Рассмотрим несколько примеров на применение свойств арифметических корней для простейших преобразований радикалов. При этом все переменные будем считать принимающими только неотрицательные значения.

Пример 1.

Извлечь корень из произведения 

Решение: 

Применив свойство 1°, получим 

Пример 2.

Вынести множитель из-под знака корня 

Решение: 

Имеем

Такое преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня. Цель преобразования — упростить подкоренное выражение.

Пример 3.

Упростить

Решение:

По свойству 3° имеем

Обычно стараются подкоренное выражение упростить, для чего выносят множители за знак корня. Имеем Итак,

Пример 4.

Упростить 

Решение: 

Преобразуем выражение  внеся множитель под знак корня:  По свойству 4° имеем

Пример 5.

Упростить 

Решение: 

По свойству 5° мы имеем право показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделить на одно и то же натуральное число. Если в рассматриваемом примере разделить указанные показатели на 3, то получим

Пример 6.

Упростить выражения: 

Решение: 

а) По свойству 1° получаем, что для перемножения корней одной и той же степени достаточно перемножить подкоренные выражения и из полученного результата извлечь корень той же степени. Значит,

б)    Прежде всего мы должны привести радикалы к одному показателю. Согласно свойству 5° мы можем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить на одно и тоже натуральное число. Поэтому Далее имеем  А теперь в полученном результате разделим показатели корня и степени подкоренного вьфажения на 3:

Итак,

в)    Приведем радикалы к одному показателю. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное чисел 8 и 12, т. е. К (8, 12) = 24. Далее показатели корня и степени подкоренного выражения для первого из перемножаемых радикалов следует умножить на 3, а для второго — на 2. Получим

На практике при выполнении действий над радикалами довольно часто переходят к дробным показателям. Например,

Тождество

Упростим выражение . Здесь могут представиться два случая: или Если , то например, Если же то например, Итак,

Но точно так же определяется модуль действительного числа (см. п. 26). Таким образом,

Например,  Вообще, если — четное число, т. е. то 

Пример: 

Упростить выражение

Решение: 

Имеем:

Поскольку заданное выражение содержит слагаемое то откуда находим, что

Значит, х — 3 < 0, а потому Итак, и мы получаем

Преобразование иррациональных выражений

Для преобразования иррациональных выражений используются свойства радикалов (см. п. 35) и свойства степени с рациональным показателем (см. п. 38).

Пример: 

Упростить выражение

 

Решение:

Обычно стараются записать ответ так, чтобы в знаменателе не содержалась иррациональность. Для избавления от иррациональности в знаменателе дроби умножим и числитель, и знаменатель на — это выражение называют сопряженным для выражения Получим

 

 

 

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

• Математика решение заданий и задач

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Упрощение выражений с квадратными корнями | Преалгебра |

Результаты обучения

• Упростить выражения с квадратными корнями, используя порядок операций
• Упрощение выражений с квадратными корнями, которые содержат переменные

Квадратные корни и порядок операций

При использовании порядка операций для упрощения выражения с квадратными корнями мы рассматриваем знак корня как символ группировки. Мы упрощаем любые выражения под знаком радикала перед выполнением других операций.

пример

Упростить: ⓐ

25+144 \ sqrt {25}+\ sqrt {144} 25

+144

ⓑ

25+144 \ SQRT {25+144} 25+144

.

Решение

ⓐ Используйте порядок действий.
25+144\sqrt{25}+\sqrt{144}25 ​+144 ​
Упростите каждый радикал.	5+125+125+12
Доп.	171717

ⓑ Используйте порядок действий.
25+144\кв{25+144}25+144 ​
Добавить под знаком корня.	169\кв{169}169 ​
Упрощение.	131313

попробуй

Обратите внимание на разные ответы в частях ⓐ и ⓑ приведенного выше примера. Важно правильно соблюдать порядок действий. В ⓐ мы сначала извлекли каждый квадратный корень, а затем сложили их. В ⓑ мы сначала добавили под знаком радикала, а затем нашли квадратный корень. 9{2}Поскольку (6xy)2=36x2y2

6xy6xy6xy

попробуй

Лицензии и атрибуции

Лицензионный контент CC, конкретное атрибуция

• Преалгебра.
  Предоставлено : OpenStax. Лицензия : CC BY: Attribution . Условия лицензии.0001

  Правила, которые мы используем для упрощения подкоренных выражений

  Когда мы работаем с подкоренными выражениями, мы столкнемся со всеми видами подкоренных выражений, и мы захотим использовать правила, которые мы изучили для работы с подкоренными, чтобы упростить их .

  Это может включать любую комбинацию сложения, вычитания, умножения и деления радикалов.

  Привет! Я Криста.

  Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Прочитайте больше.

  Просто чтобы мы помнили, вот несколько правил для радикалов, которые мы будем использовать:

  ???\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}???

  ???\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}???

  ???\sqrt{a}\sqrt{a}=a???

  Как упростить радикальные выражения

  Пройти курс

  Хотите узнать больше о Pre-Algebra? У меня есть пошаговый курс для этого.

  🙂

  Учить больше

  Добавление и вычитание радикалов

  Пример

  Упростите выражение радикалов.

  ???3\sqrt2+6\sqrt8-\sqrt{18}???

  Чтобы складывать или вычитать термины, содержащие квадратные корни, подкоренные должны быть одинаковыми. В противном случае эти термины не похожи на термины, и мы не можем упростить сумму или разность.

  Несмотря на то, что подкоренные в квадратных корнях в этом выражении не совпадают, мы можем упростить некоторые из них, чтобы получить одинаковые подкоренные. С ???8??? и ???18??? можно разложить как ???4\cdot2??? и ???9\cdot2???, соответственно, мы могли бы переписать выражение как

  ???3\sqrt2+6\sqrt{4\cdot2}-\sqrt{9\cdot2}???

  Это может включать любую комбинацию сложения, вычитания, умножения и деления радикалов.

  Мы знаем, что квадратный корень произведения равен произведению квадратных корней с отдельными множителями в качестве подкоренных.

  No related posts.