Векторы i j k: Векторы i j k называются. Определение векторного произведения

Векторное произведение

Векторное произведение

В. Г. Автор. Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников

Суперобложка / Обложка / Содержание

От автора Введение Векторы .Геометрическое определение вектора .Алгебраические операции над направленными отрезками ..Сложение направленных отрезков ..Умножение направленных отрезков на число .Проекции вектора ..Параллельное проектирование вектора в пространстве ..Параллельное проектирование вектора в пространстве …Проекция точки на плоскость …Проекция вектора на плоскость . .Ортогональная проекция вектора в пространстве …Ортогональная проекция вектора на плоскость …Ортогональная проекция вектора на прямую и направленную ось .Метод координат ..Коллинеарные векторы ..Компланарные векторы ..Векторы в трехмерном геометрическом пространстве ..Линейная зависимость векторов и размерность пространства .Декартова система координат ..Различные формы записи векторов ..Линейные операции над векторами в координатной форме ..Скалярное умножение векторов …Свойства скалярного умножения …Скалярное умножение в декартовых координатах ..Некоторые примеры использования скалярного умножения .Измерение площадей и объемов ..Площадь параллелограмма, построенного на векторах . .Свойства определителя второго порядка ..Задачи на применение определителей ..Объем параллелепипеда, построенного на векторах ..Определитель третьего порядка и его свойства ..Векторное произведение векторов ..Векторное умножение векторов базиса декартовой системы координат На подступах к тензорам .Преобразования координат .Скалярное умножение векторов в произвольных косоугольных координатах .Метрический тензор .Взаимный координатный базис .Ковариантные и контравариантные координаты вектора .Площадь и объем в косоугольных координатах ..Индексная форма записи для выражений с определителями ..Символы Веблена ..Свойства символов Веблена ..Тензор Леви-Чивиты ..Операция векторного умножения в произвольных косоугольных координатах . Линейные преобразования или операторы .Линейный оператор и его матрица ..Примеры линейных операторов .Доказательство теоремы об определителе Тензоры .Определение тензора .Общие определения алгебраических операций с тензорами .Примеры на применение тензоров в физике ..Тензор инерции ..Тензор напряжений .Задачи ..Задачи на тождественные преобразования Методические комментарии Литература

..Векторное произведение векторов

 

 

Мы уже знаем несколько операций, которые можно выполнять с векторами: векторы можно складывать, умножать на число, умножать друг на друга скалярно.

Каждое новое понятие в любой науке возникает в силу необходимости отразить некоторый новый элемент наших знаний. Создание новых элементов языка – это процесс творческий. Если бы это было не так, на Земле не было бы столько национальных языков. И на всех существующих языках легко и свободно может быть выражена вся та информация, которая на сегодняшний день является достоянием всего . Однако иногда бывает, что какое-то открытие, новое явление или просто принципиально новую идею невозможно объяснить – не хватает слов. Если открытие, явление или идея действительно важны, то через какое-то время язык с этими проблемами обязательно справляется. Если нам есть, что сказать, то необходимые для этого языковые возможности обязательно появятся. Но никому не приходит в голову побеспокоиться об этом заранее. Никогда не ставилась цель изобрести язык, на котором можно было бы не только правильно и непротиворечиво отразить все то, что мы знаем, но и то, что мы когда-либо сможем узнать.

Мало того, что это невозможно, но это еще и неудобно. Языком, который обременен всеми будущими проблемами, которые к тому же могут и не возникнуть, никто не захочет пользоваться. Он обречен на забвение.

Абсолютно все то же самое можно сказать и о научном языке, который является расширением языка естественного. Любая новая информация обязательно находит средства для своего выражения на языке той или иной науки. Не является исключением и язык математики. С одной стороны, он является результатом творчества многих ученых. С другой стороны, каждое новое понятие в математике, обязательно связано с необходимостью правильно отобразить наше сегодняшнее понимание природы и ее законов.

Математика – это наука о наиболее общих, а следовательно, и наиболее абстрактных, законах природы, и именно для выражения этих законов и конструируется ее язык. Другими словами, сначала – новые знания и новые идеи, и только потом – новый язык. При изучении же математики мы вынуждены почти всегда идти в обратном направлении: сначала – определения новых понятий, затем – теоремы и их следствия, и только после этого – приложения (и то, только если на это остается время). В результате, иногда складывается неверное представление о том, что математика развивается совершенно независимо от всего остального естествознания. Можно даже услышать мнение, будто бы

 

«математика является блестящим примером чистого разума, удачно расширяющегося самопроизвольно, без применения опыта».

Мы не собираемся вступать здесь в полемику по этому вопросу. Проблема эта бесконечная. Мы хотим только выразить нашу точку зрения, которая заключается в том, что все, что мы можем сказать на любом языке, так или иначе связано с природой, и если кто-то сможет сказать что-то сверх того, то вряд ли он сам поймет, что он такое сказал. И раз мы до сих пор понимаем, о чем мы говорим, следовательно, мы говорим о природе или, по крайней мере, о языке, на котором можно что-либо полезное о ней сказать.

До сих пор у нас не было повода для разговора об отношении математики к опыту. В дальнейшем же мы не намерены больше к этому возвращаться, поскольку это непростой самостоятельный вопрос. То, что мы решили сказать хотя бы несколько слов об этом сейчас, связано с векторным умножением. Векторное умножение – это первое понятие векторной алгебры, необходимость введения которого трудно осознать, не выходя за рамки математической теории. Это понятие своими корнями уходит в естествознание и, прежде всего, в механику. У нас же нет возможности об этом говорить. Мы вынуждены ввести это понятие каким-то другим способом, который ничего общего не имеет с действительными причинами его возникновения. Конечно, мы постараемся, чтобы это понятие не возникло, как кролик из шляпы фокусника. Но, как это ни парадоксально, для лучшего понимания математики необходимо изучать ее историю и, конечно, естествознание, хотя это отдельная тема и, соответственно, другие книги.

Итак, векторное умножение. Еще одно. Мы уже знаем два вида умножения, которые можно выполнять с векторами.

Можно вектор умножить на число, и при этом мы снова получим вектор. При скалярном умножении перемножаются два вектора, а в результате мы получаем число. Векторное умножение – это чисто векторная операция: перемножаются два вектора, и в результате снова получается вектор.

Операция векторного умножения в скрытой или, как говорят, в латентной форме уже содержится в понятии ориентированного объема. Покажем, как ее можно извлечь оттуда на свет божий.

Начнем с формулы для ориентированного объема, которую мы получили в предыдущем разделе.

Формально используя правило скалярного умножения векторов в декартовой системе координат, мы можем продолжить:

Следовательно:

.

Мы получили, что с формальной точки зрения ориентированный объем равен скалярному произведению вектора на некоторый вектор, который в свою очередь определяется векторами и . Этот формальный вектор и называется векторным произведением векторов и и обозначается .

Следовательно, векторным произведением векторов и называется вектор

.

Вот он уже и появился, хотя и не в той форме, в которой он традиционно записывается – поэтому продолжим преобразования.

Раскладывая каждый из определителей по первому столбцу, мы можем упростить выражение:

.

В таком виде оно выглядит менее громоздко, зато труднее запоминается. Можно еще упростить выражение, если заметить, что формально оно представляет собой результат разложения определителя третьего порядка по первому столбцу.

, следовательно, совсем коротко можно записать:

.

Алгебраическое определение векторного умножения в декартовой системе координат

Определение (26)

Выражение и его краткая форма могут быть приняты за определение для векторного умножения в декартовой системе координат.

В дальнейшем мы получим выражение для векторного умножения в произвольных косоугольных координатах. Но даже если придерживаться только ортонормированных систем, можно заметить особенность данного вектора. Если мы поменяем местами два любых вектора базиса, скажем i и j , векторное произведение изменит направление на противоположное.

В самом деле,

, где

– векторное произведение в базисе {ijk}, а

– векторное произведение в базисе {jik}.

То есть .

Но если придерживаться только правых декартовых систем координат, то векторное произведение определяется однозначно.

С использованием векторного умножения формула для ориентированного объема приобретает следующий вид:

.

Выражение в векторной алгебре называется смешанным умножением векторов, и оно, следовательно, равно:

.

Смешанное произведение равно ориентированному объему. Отсюда вытекают и все его свойства.

Свойства смешанного умножения векторов

1. Знаки скалярного и векторного умножения можно менять местами

.

2. При перестановке любых двух сомножителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный.

3. Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

4. Если смешанное произведение векторов больше нуля, то векторы образуют правую тройку векторов.

Для смешанного произведения часто вводится специальное обозначение, например, [10, с. 110] или [12, с. 65]. Однако, нам кажется, что более удачным обозначением, если оно вообще необходимо, является следующее: . По крайней мере, оно вполне логично вытекает из связи смешанного произведения, ориентированного объема и его выражения через определитель.

Поскольку со смешанным произведением все более или менее ясно, вернемся к векторному умножению.

До сих пор мы придерживались геометрической теории векторов. Геометрический вектор для нас был первичным понятием. Вводя в векторном пространстве тот или иной базис, мы могли выразить вектор через его координаты. Этот шаг часто является удобным, но до сих пор никогда не был обязательным. Принятое нами определение непосредственно исходит из координатного представления векторов. Здесь возникает важный вопрос: является ли наше определение инвариантным по отношению к произвольному выбору координатной системы? А что если мы в качестве базисных выберем другие векторы; получим ли мы в результате векторного умножения тот же самый вектор? На эти вопросы мы сразу даем отрицательный ответ. Наше определение справедливо только для декартовых систем координат. Для любых других систем оно не годится. Для того чтобы прийти к более универсальному определению, выясним геометрический смысл, содержащийся в том, которое у нас есть.

Рис. 37

Во-первых, из того, что

и, аналогично: – откуда следует, что векторное произведение ортогонально к вектору и к вектору . Следовательно, оно ортогонально плоскости параллелограмма, построенного на этих векторах (рис. 37).

Во-вторых, ,

где h – высота параллелепипеда.

С другой стороны:

,

где , как обычно, – площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Следовательно, модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. А сам вектор направлен вдоль прямой n–n, перпендикулярной плоскости параллелограмма. Но мы пока еще не знаем, в какую сторону вдоль этой прямой он направлен.

Если векторы , и образуют правую тройку, то

.

А если векторы , и образуют левую тройку, то

.

Но это возможно только, если векторы , и образуют правую тройку.

Теперь мы готовы дать геометрическое определение векторного умножения.

Геометрическое определение векторного произведения (27)

Вектор называется векторным произведением векторов и , если: 1. Он ортогонален к обоим этим векторам. 2. Его модуль равен площади параллелограмма построенного на векторах и . 3. Векторы , и образуют правую тройку векторов.

Расшифровывая данное определение, мы можем выразить площадь параллелограмма через его стороны и угол (рис. 37). В этом случае пункт два определения будет звучать так:

2(а). Модуль векторного произведения равен произведению модулей векторов на синус угла между ними .

Данное определение является чисто геометрическим и не зависит от произвола в выборе систем координат. Но и у него есть слабое место. В самом деле, что означает понятие «правая тройка векторов» на языке математики? Правую тройку от левой мы можем отличить только благодаря тому, что по неизвестной на сегодняшний день причине правшей на Земле больше, чем левшей. Не существует математических средств для того, чтобы одну из систем координат идентифицировать, как правую. Не существует таких средств и в классической физике. Такие средства появляются только в технике, поскольку правши наточили больше правых винтов, чем левши левых.

Поэтому для векторного произведения имеется альтернативное определение.

Альтернативное определение векторного умножения (28)

Вектор называется векторным произведением векторов и в некотором базисе, если: 1. Он ортогонален к обоим этим векторам. 2. Его модуль равен площади параллелограмма построенного на векторах и . 3. Векторы , и образуют тройку векторов того же самого типа (правую или левую), что и векторы базиса.

До тех пор пока мы в качестве базиса выбираем только правые тройки векторов, оба определения приводят к одному и тому же результату. Но стоит только перейти к левому базису, и вектор, построенный в соответствии с альтернативным определением, поменяет направление на противоположное. Такие векторы называются относительными, псевдовекторами или аксиальными векторами, в отличие от обычных (полярных) векторов. Единственное преимущество такого определения – полная эквивалентность его алгебраическому определению, что удобно при выполнении алгебраических преобразований в координатной форме. Можно не заботиться о том левая или правая тройка векторов выбрана в качестве базиса – алгебраическое выражение для векторного произведения от этого не зависит. Единственное беспокойство вызывает вопрос: существует ли такая геометрическая и физическая реальность, для описания которой могут быть использованы псевдовекторы? Очень даже существует. Например, для задания свойств вращательного движения можно использовать вектор. Для этого его достаточно совместить с осью вращения и величину скорости связать в его модулем. А вот каким образом связать два возможных направления его вдоль оси с двумя возможными направлениями вращения вокруг этой оси – это все равно. А раз все равно, то вполне можно использовать для этих целей аксиальные векторы. По крайней мере, они правильно отражают то свойство подобных процессов, что направление вектора вдоль выбранной оси не имеет физического или геометрического смысла и выбирается по соглашению.

В математике примерно одинаково часто используются оба определения. Мы будем в дальнейшем придерживаться второго.

Свойства векторного умножения

Все свойства проще всего выводятся из первого его алгебраического определения.

1. Векторное произведение векторов и равно нулю тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны.

В самом деле, если

, то и все определители равны нулю, и, следовательно, столбцы пропорциональны:

; ; .

Отсюда следует, что

, что и означает коллинеарность векторов.

Обратное утверждение автоматически следует из пропорциональности координат коллинеарных векторов.

2. При изменении порядка сомножителей векторное произведение изменяет знак на противоположный. В отношении этого свойства говорят, что векторное произведение антикоммутативно.

.

3. Векторное умножение ассоциативно относительно числового множителя.

, где λ произвольное действительное число.

4. Векторное умножение дистрибутивно относительно сложения векторов.

.

Докажем последнее свойство.

Из свойств определителей сразу вытекает, что

.

..Векторное умножение векторов базиса декартовой системы координат

При выполнении алгебраических операций полезно иметь таблицу умножения для базисных векторов декартовой системы координат, аналогичную той, которую мы в свое время получили для скалярного умножения.

Из свойств векторного умножения сразу следует, что

, далее ,

и, аналогично,

, .

Разберемся с направлениями векторов.

Вектор ортогонален к каждому из векторов i и j, следовательно, он направлен по оси z. Поскольку он должен составлять с этими векторами правую тройку, он должен быть направлен в положительном направлении оси z. Отсюда следует, что

, и, аналогично,

;

.

Составим таблицу умножения, учитывая при этом, что при изменении порядка сомножителей, знак произведения изменяется на противоположный.

×	i	j	k
i	0	k	-j
j	-k	0	i
k	j	-i	0

Для запоминания таблицы умножения удобно пользоваться правилом циклической подстановки или «правилом треугольника» (рис.  38).

Рис. 38

Обход треугольника, в вершинах которого изображены векторы базиса, можно производить, начиная с любой вершины. При этом, если обход совершается против часовой стрелки, то произведение вектора, с которого начинается обход, на вектор следующий за ним, равно третьему вектору. Если же обход совершается по часовой стрелке, то результирующий вектор следует умножить на  1.

Умножим два вектора друг на друга, используя правила перемножения базисных векторов. Для этого разложим векторы по векторам базиса и используем свойства векторного умножения.

.

Результат вполне ожидаемый и, тем более приятный.

Д	остоинство алгебры в том, что она работает подобно хорошо отлаженному механизму, который достаточно только слегка подтолкнуть, а дальше он все сделает сам.

 

 

 

К оглавлению

Координаты вектора в декартовой системе координат: векторные координаты, радиус вектор

Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.

Определение 1

Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.

Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач

Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается Oxy, где Ox и Oy – оси коорднат. Ось Ox называют осью абсцисс, а ось Oy – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось Oz, которая перпендикулярна и Ox и Oy).

Пример 1

Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат Oxy на плоскости если мы отложим от начала координат векторы i→ и j→ , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей Ox и Oy , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае i→ и j→ являются координатными векторами.

Координатные векторы

Определение 2

Векторы i→ и j→ называются координатными векторами для заданной системы координат.

Пример 2

Откладываем от начала координат произвольный вектор a→ . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор a→ может быть представлен в виде a→=ax·i→+ay·j→ , где коэффициенты ax и ay — единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.

Разложение вектора

Определение 3

Разложением вектора a→ по координатным векторам i→ и j→ на плоскости называется представление вида a→=ax·i→+ay·j→.

Определение 4

Коэффициенты ax и ay называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись a→=(2;-3) означает, что вектор a→ имеет координаты (2;-3) в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам i→ и j→ какa→=2·i→-3·j→.

Замечание

Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.

Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы i→ и j→ имеют координаты (1;0) и (0;1) соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений i→=1·i→+0·j→; j→=0·i→+1·j→.

Также имеет место быть нулевой вектор 0→ с координатами (0;0) и разложением 0→=0·i→+0·j→.

Равные и противоположные векторы

Определение 5

Векторыa→иb→равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.

Определение 6

Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.

Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, -a→=(-ax;-ay).

Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов i→,j→,k→, а произвольный вектор a→ раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид a→=ax·i→+ay·j→+az·k→, а коэффициенты этого разложения (ax;ay;az) называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.

Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты i→=(1;0;0) ,   j→=(0;1;0),   k→=(0;0;1), координаты нулевого вектора также равны нулю 0→=(0;0;0) , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равныa→=b→⇔ax=bx, ay=by, az=bz , и координаты противоположного вектора a→ противоположны соответствующим координатам вектора a→ , то есть,-a→=(-ax;-ay; -az) .

Координаты радиус-вектора точки

Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.

Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат Oxy и на ней задана произвольная точка M с координатами M(xM;yM).

Определение 7

Вектор OM→ называется радиус-вектором точки M.

Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки

Вектор OM→ имеет вид суммы OM→=OMx→+OMy→=xM·i→+yM·j→, где точки Mx и My это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а i→ и j→ — координатные векторы, следовательно, вектор OM→ имеет координаты (xM;yM) в данной системе координат.

Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.

Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки M(xM;yM;zM) разлагается по координатным векторам как OM→=OMx→+OMy→+OMz→=xM·i→+yM·j→+zM·k→, следовательно, OM→=(xM;yM;zM).

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Почему мы используем $ijk$ для векторов?

Ответить

Проверено

157,8 тыс.+ просмотров

Подсказка: В этом вопросе нам задали вопрос о причине использования $ijk$ для векторов. Из основных представлений о векторах мы знаем, что $i,j,k$ — это единичные векторы вдоль осей x, y и z соответственно. В декартовой системе координат любой вектор обычно представляется в терминах его единичных векторов.

Полное пошаговое решение:
Теперь, рассматривая вопрос, нам задали вопрос о причине использования $ijk$ для векторов.
 Из основных представлений о векторах мы знаем, что $i,j,k$ — это единичные векторы вдоль осей x, y и z соответственно.
В декартовой системе координат любой вектор обычно представляется в терминах его единичных векторов.
Здесь единичные векторы представляют направление вектора.
Мы знаем, что вектор — это физическая величина, имеющая как величину, так и направление. 9{2}}}$ .
Обычно величина любого единичного вектора всегда равна единице. Вот почему для них придумано название единичного вектора. Единичный вектор также известен как вектор направления.

Примечание: При ответе на вопросы этого типа нас попросили обсудить всю концепцию, поэтому наша концепция должна быть ясной. Любой вектор можно представить в пространстве с помощью единичных векторов. Единичный вектор, лежащий вдоль направления $\vec{P}$, задается как $\hat{p}=\dfrac{{\vec{P}}}{\left| {\vec{P}} \right|}$ .

Недавно обновленные страницы

Если ab и c единичные векторы, то left ab2 right+bc2+ca2 математика класса 12 JEE_Main

Стержень AB длиной 4 единицы перемещается горизонтально, когда математика класса 11 JEE_Main

Оценить значение intlimits0pi cos 3xdx A 0 B 1 класс 12 математика JEE_Main

Что из следующего верно цианид с А Этиловый спирт класс 12 по химии JEE_Main

Если ab и c единичные векторы, то влево ab2 right+bc2+ca2 математика класса 12 JEE_Main

Стержень AB длиной 4 единицы перемещается горизонтально, когда математика класса 11 JEE_Main

Вычислить значение intlimits0pi cos 3xdx A 0 B 1 математика класса 12 JEE_Main

Что из следующего является правильным 1 nleft S чашка T справа класс 10 математика JEE_Main

Какова площадь треугольника с вершинами Aleft математика класса 11 JEE_Main

KCN легко реагирует с образованием цианида с A Этил спирт 12 класс химия JEE_Main

Актуальные сомнения

Студенты также читают

Почему мы дышим?

Почему мы болеем

Почему у нас два глаза?

How Much Water Do We Use

Vectors

Coplanar Vectors

Addition of Vectors

Coplanarity of Vectors

Types of Vector

Angle Between Two Vectors

Vectors

Contents

• Entering vectors in MATLAB
• Комментарии к стилю
• Векторная арифметика
• Скалярное произведение
• Перекрестное произведение

Ввод векторов в MATLAB

столбцы). Итак, чтобы войти в векторы A = -3 I — 4 J — K , B = 6 I + 2 J + 3 K и U = x J + 3 K и U = x J + 3 K и U = x J + 3 K и U = x J + 3 K и U = x . я + у j + z k введите

 a = [-3, -4, -1]
 

а =

    -3 -4 -1

 

 б = [6, 2, 3]
 

б =

     6 2 3

 

и

 символов x y z
и = [х, у, г]
 

ты =
 
[х, у, г]
 
 

Команда syms необходима, чтобы сообщить MATLAB, что x,y,z являются символическими. Если вы забудете это сделать, вы получите сообщение об ошибке, говорящее о том, что у вас есть неопределенная функция или переменная. 92

Векторная арифметика

Вы можете складывать и вычитать их, а также умножать на скаляры.

 а + б
 

ответ =

     3 -2 2

 

 5*а
 

ответ =

   -15 -20 -5

 

Скалярное произведение

Вы можете вычислить скалярное произведение двух векторов с помощью команды точка .