Возведение матрицы в квадрат: Возведение матрицы в степень | Мозган калькулятор онлайн

7.3.4. Возведение квадратной матрицы в степень MathCAD 12 руководство

RADIOMASTER

Лучшие смартфоны на Android в 2022 году

Серия iPhone от Apple редко чем удивляет. Когда вы получаете новый iPhone, общее впечатление, скорее всего, будет очень похожим на ваше предыдущее устройство. Однако всё совсем не так в лагере владельцев устройств на Android. Существуют телефоны Android всех форм и размеров, не говоря уже о разных ценовых категориях. Другими словами, Android-телефон может подойти многим. Однако поиск лучших телефонов на Android может быть сложной задачей.

Документация Схемотехника CAD / CAM Статьи

MathCAD 12 MatLab OrCAD P CAD AutoCAD MathCAD 8 — 11

  • Главная
  • /
  • База знаний
  • /
  • CAD / CAM
  • /
  • org/Breadcrumb»>MathCAD 12
  • Линейная алгебра
  • 7.1. Простейшие матричные операции
    • 7.1.1. Транспонирование
    • 7.1.2. Сложение и вычитание
    • 7.1.3. Умножение
  • 7.2. Векторная алгебра
    • 7.2.1. Модуль вектора
    • 7.2.2. Скалярное произведение
    • 7.2.3. Векторное произведение
    • 7.2.4. Векторизация массива
  • 7.3. Вычисление определителей и обращение квадратных матриц
    • 7.3.1. Определитель квадратной матрицы
    • 7.3.2. Ранг матрицы
    • 7.3.3. Обращение квадратной матрицы
    • 7.3.4. Возведение квадратной матрицы в степень
    • 7.3.5. Матричные нормы
    • 7.3.6. Число обусловленности квадратной матрицы
  • 7.4. Вспомогательные матричные функции
    • 7.4.1. Автоматическая генерация матриц
    • 7.4.2. Разбиение и слияние матриц
    • 7. 4.3. Сортировка элементов матриц
    • 7.4.4. Вывод размера матрицы

К квадратным матрицам можно формально применять операцию возведения в степень п. Для этого n должно быть целым числом. Результат данной операции приведен в табл. 7.1. Ввести оператор возведения матрицы м в степень n можно точно так же, как и для скалярной величины: нажав кнопку Raise to Power (Возвести в степень) на панели Calculator (Калькулятор) или нажав клавишу <А>. После появления местозаполнителя в него следует ввести значение степени n.

Таблица 7.1. Правила возведения матрицы в степень


n

Мn

0

Единичная матрица размерности матрицы M

1

Сама матрица M

-1

M-1 — матрица, обратная M

2,3,. ..

MM, (MM)M, . . .


Примеры возведения матрицы в степень приведены в листинге 7.17.

Листинг 7.17. Возведение квадратной матрицы в целую степень

Теги MathCad САПР

Сюжеты MathCad

Глава 1 Основы работы с системой Mathcad 11

9893 0

Глава 10 Работа с информационными ресурсами Mathcad 11

6924 0

Глава 2 Работа с файлами Mathcad 11

12340 0

Комментарии (0)

Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

Вход

О проекте Использование материалов Контакты

Новости Статьи База знаний

Радиомастер
© 2005–2022 radiomaster.ru

При использовании материалов данного сайта прямая и явная ссылка на сайт radiomaster.ru обязательна. 0.2129 s

linalg.matrix_power | NumPy

numpy.linalg.matrix_power(a, n)

Функция linalg. matrix_power() возводит матрицу в степень указанного целого числа.

Для натуральных чисел n степень матрицы вычисляется путем повторного возведения в квадрат и умножения матриц. Для n = 0 возвращается единичная матрица, с той же формой, что и a. Для n < 0 сначала вычисляется обратная матрица, а зотем она возводится в степень

np.abs(n).

Данная функция может принимать многомерные массивы с двумя одинаковыми последними осями, и находить степень каждого такого подмассива отдельно, после чего она возвращает массив той же формы со степенями подмассивов по последним двум осям исходного массива.

Параметры:
a — массив NumPy или подобный массиву объект.
Входные данные.
n — целое число.
Степень в которую возводится матрица.
Возвращает:
результат — массив NumPy
Результат возведения матрицы a в степень n, с той же формой, что и a. Для n > 0 и n = 0 тип данных не преобразуется, для n < 0 тип данных всегда преобразуется к float. Если входной массив это последовательность квадратных матриц, то возвращается последовательность степеней его подмассивов.

Замечание

Если матрица не является квадратной или если матрица является вырожденной (определитель равен 0) и возводится в отрицательную степень то вызывается исключение LinAlgError.

Смотрите так же:

matmul, linalg.multi_dot, dot, vdot


Примеры

>>> import numpy as np
>>> 
>>> a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
>>> 
>>> np.linalg.matrix_power(a, 0)
array([[1, 0],
       [0, 1]])
>>> 
>>> np.linalg.matrix_power(a, 2)
array([[ 7, 10],
       [15, 22]])
>>> 
>>> np.linalg.matrix_power(a, 3)
array([[ 37,  54],
       [ 81, 118]])
>>> 
>>> np.linalg.matrix_power(a, -3)
array([[-14.75 ,   6.75 ],
       [ 10.125,  -4.625]])
>>> 
>>> 
>>> b = np.arange(12).reshape(3, 2, 2)
>>> 
>>> np.linalg.matrix_power(b, 2)
array([[[  2,   3],
        [  6,  11]],
       [[ 46,  55],
        [ 66,  79]],
       [[154, 171],
        [190, 211]]])
>>> 
>>> np.
linalg.matrix_power(b[0], 2) array([[ 2, 3], [ 6, 11]])



→ kron()
← einsum_path()




Квадратная матрица

— объяснение и примеры

Квадратная матрица — это особый тип матрицы, в которой количество строк равно количеству столбцов. В эстетике он принимает форму квадрата. Во-первых, давайте проверим формальное определение квадратной матрицы.

Матрица, имеющая одинаковое количество строк и столбцов, называется квадратной матрицей.

В этой статье мы подробно рассмотрим, что такое квадратные матрицы, как возвести матрицу в квадрат, свойства квадратной матрицы и определитель квадратной матрицы. Давайте начнем!

Что такое квадратная матрица?

Квадратная матрица — это особый тип матрицы, в которой количество строк равно количеству столбцов. Если квадратная матрица имеет $n$ строк и $n$ столбцов, говорят, что она имеет порядок $n$.

Эстетически, как следует из названия, матрица выглядит как квадрат. Квадратные матрицы могут быть порядка $1$, $2$ или любого числа, $n$. Теоретически у нас может быть квадратная матрица порядка $100$! Но практически тяжело работать с квадратными матрицами порядка $11$ и выше.

Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных квадратных матриц.

$ \begin{bmatrix} a \end{bmatrix} $

Это $ 1 \times 1 $ матрица. Он имеет строку $1$ и столбец $1$. Это простейшая квадратная матрица.

Далее,

$ \begin{bmatrix} s & t \\ u & { v } \end {bmatrix} $

Это $ 2 \times 2 $ матрица. Он имеет $2$ строк и $2$ столбцов. Эта матрица имеет порядок $2$.

Наконец, у нас есть:

$ \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ { – 1 } & { -3 } & 4 \\ { – 2 } & { – 8 } & 1 \end {bmatrix } $

Это матрица $ 3 x 3 $. Он имеет $3$ строк и $3$ столбцов. Эта матрица имеет порядок $3$.

Конечно, у нас могут быть квадратные матрицы порядка $4$, $5$ и выше, но они не встречаются до линейной алгебры более высокого порядка. Для целей этой статьи мы будем придерживаться только квадратных матриц порядка $1$, $2$ и $3$.

Матрица идентичности

Это особый тип квадратной матрицы, в которой значения квадратной матрицы, кроме ее диагонали, равны нулю. Ниже мы приводим единичные матрицы порядка $1$, $2$ и $3$.

Матрица идентичности порядка $ 1 $

$  \begin{bmatrix}  1  \end{bmatrix} $

Матрица идентичности порядка $ 2 $

$  \begin{bmatrix0} 1 } \\ { 0 } & 1 \end {bmatrix} $

Идентификационная матрица порядка $ 3 $

$  \begin{bmatrix} 1 & { 0 } & { 0 }  \\ { 0 } & 1 & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & 1 \end {bmatrix} $

Единичная матрица является матричным эквивалентом числа «1».

Как возвести в квадрат матрицу

Квадратная матрица представляет собой матрицу типа .

Но когда мы говорим о возведении в квадрат матрицы, мы фактически выполняем операцию умножения матрицы самой по себе. Итак, как возвести матрицу в квадрат?

Если бы мы возвели в квадрат матрицу $A$, мы бы умножили матрицу $A$ саму на себя. Он будет следовать процессу умножения матриц. Ниже показано возведение в квадрат матрицы $ 2 \times 2 $. 9{2} = \begin{bmatrix} 4 & { – 1 } \\ { – 3 } & {7} \end{bmatrix} $

Если вы хотите узнать, как мы выполняли умножение, прочтите статью . умножение матриц .

Свойства квадратных матриц

У квадратных матриц есть несколько свойств, но для целей этой статьи мы рассмотрим некоторые из свойств, которые входят в предмет этого урока.

Свойство 1:

Квадратная матрица называется0008 симметричная матрица , если элементы матрицы симметричны относительно главной диагонали.

Примеры $ 2 \times 2 $ и $ 3 \times 3 $ симметричных матриц показаны ниже:

$  \begin{bmatrix} 1 & 7  \\ 7 & 5 \end {bmatrix} $

$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 5  \\ 1 & 3 & 4 \\ 5 & 4 & 2 \end {bmatrix} $

Свойство 2:

Квадратная матрица называется кососимметричной матрицей , если элементы матрицы отрицательно симметричны относительно главной диагонали.

Примеры   $ 2 \times 2 $ и $ 3 \times 3 $ кососимметричных матриц показаны ниже:

$  \begin{bmatrix} 1 & { – 1 }  \\ 1 & 3 \end {bmatrix } $

$  \begin{bmatrix} 1 & 3 & { – 2 }  \\ { – 3 } & 1 & { 0 } \\ 2 & { 0 } & 4 \end {bmatrix} $

Свойство 3 :

Говорят, что квадратная матрица равна 9{T}$ — транспонирование матрицы, а $I$ — единичная матрица.

Свойство 5:

Если $B$ — квадратная матрица порядка $n$, то ее след , обозначаемый $tr(B)$, представляет собой сумму элементов ее главной диагонали.

Определитель квадратной матрицы

Определитель квадратной матрицы представляет собой скалярное значение, которое можно вычислить из элементов матрицы. Посмотрим на определитель матрицы $2\times 2$.

Возьмем матрицу $ A $, показанную ниже:

$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end {bmatrix} $

Тогда определитель этой матрицы равен:

$ det(A) = ad – bc $

Определитель матрицы $ 3 x 3 $ немного сложен, и вы можете посмотреть его здесь.

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы прояснить наше понимание квадратных матриц.

Пример 1

Приведите пример квадратной матрицы порядка $4$.

Решение

Мы не рассматривали квадратную матрицу порядка $4$. Но выписать его довольно просто. Просто выпишите матрицу из $4$ строк и $4$ столбцов с шестнадцатью элементами внутри нее. Ниже показано:

$ T = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \end { pmatrix} $

Пример 2

Квадратная матрица $B$ показана ниже: 9{2} = \begin{bmatrix} { – 16 } & 8 \\ { – 8 } & { – 12 } \end{bmatrix} $

Пример 3

Вычислить определитель матрицы $ P $ .

$ P = \begin{bmatrix} { – 9 } & { – 5 } \\ { 0 } & 4 \end {bmatrix} $

Решение

Матрица $ P $ является квадратной матрицей порядка $ 2 $ . Мы вычисляем определитель матрицы $P$, используя формулу определителя матрицы $ 2 \times 2$.

$ det(P) = ({ – 9 })(4) – ({ 0 })({ – 5 }) $

$ = { – 36 }$

Практические вопросы
  1. Напишите пример каждого из следующих:
  2. $ 3 \times 3$ симметричная матрица
  3. $ 2 \times 2$ кососимметричная матрица
  • Чему равен квадрат матрицы $ C $, показанной ниже:
    $ C = \begin{bmatrix} 1 & { 0 }  \\ { – 2 } & 8 \end {bmatrix} $
  • Что такое  след  матрицы $ 3 \times 3 $, показанной ниже:
    $  S = \begin{bmatrix} 1 & { – 1 } & 9  \\ { 0 } & { – 4 } & 1 \ \ 11 & { – 3 } & 1 \end {bmatrix} $
  • Вычислить определитель матрицы $ 2 \times 2 $, показанной ниже:
    $ G = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ { – 2 } & 8 \end{pmatrix} $
  • Ответы
    1. Пример каждого из следующих показан ниже:
      1. $ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0  \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & { – 9 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 11 \end {pmatrix } $
      2. $  \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0  \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} $
      3. $  \begin{bmatrix} 1 & 1 & 7  \\ 1 & 4 & 2 \\ 7 & 2 & 3 \end {bmatrix} $
      4. $ \begin{bmatrix} { 3 } & { 4 }  \\ { -4 } & { – 3 } \end {bmatrix} $
      9{2} = \begin{bmatrix} 1 & { 0 } \\ { – 18 } & { 64 } \end{bmatrix} $

    2. Мы знаем, что трасса представляет собой сумму элементов главной диагонали квадратная матрица. Таким образом, мы вычисляем след, как показано ниже:

      $ tr( S ) = 1 + ({ – 4 }) + 1 = { – 2 } $

      След матрицы $ S $ равен 2.

    3. Матрица $G$ представляет собой квадратную матрицу порядка $2$. Мы вычисляем определитель матрицы $ G $, используя формулу определителя матрицы $ 2 \times 2 $.

      $ det (G) = ( 3 )( 8 ) – ({ – 2 })( 6 ) $
      $ det (G) = 24 + 12 $
      $ det (G) = 36 $

    Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

    Квадратные матрицы — Концепция — Предварительное исчисление Видео от Brightstorm

    Когда мы изучаем матрицы и матричные операции, одной из первых вещей, которые нам нужно изучить, являются квадратные матрицы. Квадратные матрицы имеют множество применений в реальном мире. Квадратные матрицы могут использоваться для представления и решения систем уравнений, могут быть обратимыми и иметь определители. Определители квадратных матриц можно использовать для нахождения площадей и ортогональных векторов.

    матрицы ряды столбцы измерение матрица умножение

    Давайте быстро просмотрим матрицы. У меня есть две матрицы здесь a и b. Матрица a имеет 2 строки и 3 столбца, матрица b имеет 2 столбца и 3 строки. Всегда помните, что количество строк равно количеству горизонтальных строк, столбцы вертикальны, поэтому мы бы сказали, что размеры матрицы a — это количество строк, умноженное на количество столбцов, поэтому 2 на 3, а размеры b 3 на 2. Это действительно важно уметь распознавать размеры матрицы, потому что это то, что определяет, можете ли вы умножить 2 матрицы, поэтому давайте рассмотрим проблему здесь.
    Я хочу умножить а и b, а затем b и а, вот опять это матрица а и это а 2 на 3, позвольте мне записать это здесь 2 на 3, а матрица b это 3 на 2.

    Вы можете только умножьте две матрицы, когда эти два внутренних числа одинаковы, поэтому они должны быть одинаковыми, и результат умножения будет иметь размеры, равные 2 умножить на 2, поэтому мы собираемся получить матрицу 2 на 2 из этого умножения это важно знать. Хорошо, давайте сделаем умножение, так что помните, когда вы умножаете, вы умножаете вдоль и вниз, так что это будет -2 + 16 + 18, это будет одна запись -2 + 16 + 18, а затем -1-2 + 15, так что Я делаю это каждый раз, когда я умножаю не так ли? Умножая -1 на 2, 2 на 8, 3 на 6, так что я продолжу, я получаю 4 на 2 8 плюс 0 плюс 30, 8+30, а затем для этой записи 4+0+25, 4+25 и Итак, вот мои 2 на 2, как и было предсказано, и я собираюсь получить это 16 + 16 32, это -3 + 15 12, 38 и 29.Хорошо, это мой продукт.
    Теперь давайте сделаем в обратном порядке: мы коммутируем a и b, давайте умножим их таким образом, обратите внимание, что теперь это 3 на 2, а это 2 на 3, поэтому 3 на 2 умножить на 2 на 3. Прежде всего, обратите внимание, что мы может умножаться, потому что два внутренних числа одинаковы, а результатом произведения будет матрица 3 на 3.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *