7.3.4. Возведение квадратной матрицы в степень MathCAD 12 руководство
RADIOMASTER
Лучшие смартфоны на Android в 2022 году
Серия iPhone от Apple редко чем удивляет. Когда вы получаете новый iPhone, общее впечатление, скорее всего, будет очень похожим на ваше предыдущее устройство. Однако всё совсем не так в лагере владельцев устройств на Android. Существуют телефоны Android всех форм и размеров, не говоря уже о разных ценовых категориях. Другими словами, Android-телефон может подойти многим. Однако поиск лучших телефонов на Android может быть сложной задачей.
Документация Схемотехника CAD / CAM Статьи
MathCAD 12 MatLab OrCAD P CAD AutoCAD MathCAD 8 — 11
- Главная /
- База знаний /
- CAD / CAM /
- Линейная алгебра
- 7.1. Простейшие матричные операции
- 7.1.1. Транспонирование
- 7.1.2. Сложение и вычитание
- 7.1.3. Умножение
- 7.2. Векторная алгебра
- 7.2.1. Модуль вектора
- 7.2.2. Скалярное произведение
- 7.2.3. Векторное произведение
- 7.2.4. Векторизация массива
- 7.3. Вычисление определителей и обращение квадратных матриц
- 7.3.1. Определитель квадратной матрицы
- 7.3.2. Ранг матрицы
- 7.3.3. Обращение квадратной матрицы
- 7.3.4. Возведение квадратной матрицы в степень
- 7.3.5. Матричные нормы
- 7.3.6. Число обусловленности квадратной матрицы
- 7.4. Вспомогательные матричные функции
- 7.4.1. Автоматическая генерация матриц
- 7.4.2. Разбиение и слияние матриц
- 7. 4.3. Сортировка элементов матриц
- 7.4.4. Вывод размера матрицы
К квадратным матрицам можно формально применять операцию возведения в степень п. Для этого
n должно быть целым числом. Результат данной операции приведен в табл. 7.1. Ввести оператор возведения матрицы м в степень
n можно точно так же, как и для скалярной величины: нажав кнопку
Raise to Power (Возвести в степень) на панели Calculator (Калькулятор) или нажав клавишу
<А>. После появления местозаполнителя в него следует ввести значение степени
n.
Таблица 7.1. Правила возведения матрицы в степень
n |
Мn |
0 |
Единичная матрица размерности матрицы M |
1 |
Сама матрица M |
-1 |
M-1 — матрица, обратная M |
2,3,. .. |
MM, (MM)M, . . . |
Примеры возведения матрицы в степень приведены в листинге 7.17.
Листинг 7.17. Возведение квадратной матрицы в целую степень
Теги MathCad САПР
Сюжеты MathCad
Глава 1 Основы работы с системой Mathcad 11
9893 0
Глава 10 Работа с информационными ресурсами Mathcad 11
6924 0
Глава 2 Работа с файлами Mathcad 11
12340 0
Комментарии (0)
Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.
Вход
О проекте Использование материалов Контакты
Новости Статьи База знаний
Радиомастер
© 2005–2022 radiomaster.ru
При использовании материалов данного сайта прямая и явная ссылка на сайт radiomaster.ru обязательна. 0.2129 s
linalg.matrix_power | NumPy
numpy.linalg.matrix_power(a, n)
Функция linalg. matrix_power() возводит матрицу в степень указанного целого числа.
Для натуральных чисел n степень матрицы вычисляется путем повторного возведения в квадрат и умножения матриц. Для n = 0 возвращается единичная матрица, с той же формой, что и a. Для n < 0 сначала вычисляется обратная матрица, а зотем она возводится в степень
.
Данная функция может принимать многомерные массивы с двумя одинаковыми последними осями, и находить степень каждого такого подмассива отдельно, после чего она возвращает массив той же формы со степенями подмассивов по последним двум осям исходного массива.
- Параметры:
- a — массив NumPy или подобный массиву объект.
- Входные данные.
- n — целое число.
- Степень в которую возводится матрица.
- Возвращает:
- результат — массив NumPy
- Результат возведения матрицы a в степень n, с той же формой, что и a. Для n > 0 и n = 0 тип данных не преобразуется, для n < 0 тип данных всегда преобразуется к float. Если входной массив это последовательность квадратных матриц, то возвращается последовательность степеней его подмассивов.
Замечание
Если матрица не является квадратной или если матрица является вырожденной (определитель равен 0) и возводится в отрицательную степень то вызывается исключение LinAlgError.
Смотрите так же:
matmul
, linalg.multi_dot
, dot
, vdot
Примеры
>>> import numpy as np >>> >>> a = np.array([[1, 2], [3, 4]]) >>> >>> np.linalg.matrix_power(a, 0) array([[1, 0], [0, 1]]) >>> >>> np.linalg.matrix_power(a, 2) array([[ 7, 10], [15, 22]]) >>> >>> np.linalg.matrix_power(a, 3) array([[ 37, 54], [ 81, 118]]) >>> >>> np.linalg.matrix_power(a, -3) array([[-14.75 , 6.75 ], [ 10.125, -4.625]]) >>> >>> >>> b = np.arange(12).reshape(3, 2, 2) >>> >>> np.linalg.matrix_power(b, 2) array([[[ 2, 3], [ 6, 11]], [[ 46, 55], [ 66, 79]], [[154, 171], [190, 211]]]) >>> >>> np. linalg.matrix_power(b[0], 2) array([[ 2, 3], [ 6, 11]])
→ kron()
← einsum_path()
Квадратная матрица
— объяснение и примеры
Квадратная матрица — это особый тип матрицы, в которой количество строк равно количеству столбцов. В эстетике он принимает форму квадрата. Во-первых, давайте проверим формальное определение квадратной матрицы.
Матрица, имеющая одинаковое количество строк и столбцов, называется квадратной матрицей.
В этой статье мы подробно рассмотрим, что такое квадратные матрицы, как возвести матрицу в квадрат, свойства квадратной матрицы и определитель квадратной матрицы. Давайте начнем!
Что такое квадратная матрица?
Квадратная матрица — это особый тип матрицы, в которой количество строк равно количеству столбцов. Если квадратная матрица имеет $n$ строк и $n$ столбцов, говорят, что она имеет порядок $n$.
Эстетически, как следует из названия, матрица выглядит как квадрат. Квадратные матрицы могут быть порядка $1$, $2$ или любого числа, $n$. Теоретически у нас может быть квадратная матрица порядка $100$! Но практически тяжело работать с квадратными матрицами порядка $11$ и выше.
Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных квадратных матриц.
$ \begin{bmatrix} a \end{bmatrix} $
Это $ 1 \times 1 $ матрица. Он имеет строку $1$ и столбец $1$. Это простейшая квадратная матрица.
Далее,
$ \begin{bmatrix} s & t \\ u & { v } \end {bmatrix} $
Это $ 2 \times 2 $ матрица. Он имеет $2$ строк и $2$ столбцов. Эта матрица имеет порядок $2$.
Наконец, у нас есть:
$ \begin{bmatrix} 3 & 4 & 5 \\ { – 1 } & { -3 } & 4 \\ { – 2 } & { – 8 } & 1 \end {bmatrix } $
Это матрица $ 3 x 3 $. Он имеет $3$ строк и $3$ столбцов. Эта матрица имеет порядок $3$.
Конечно, у нас могут быть квадратные матрицы порядка $4$, $5$ и выше, но они не встречаются до линейной алгебры более высокого порядка. Для целей этой статьи мы будем придерживаться только квадратных матриц порядка $1$, $2$ и $3$.
Матрица идентичности
Это особый тип квадратной матрицы, в которой значения квадратной матрицы, кроме ее диагонали, равны нулю. Ниже мы приводим единичные матрицы порядка $1$, $2$ и $3$.
Матрица идентичности порядка $ 1 $
$ \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} $
Матрица идентичности порядка $ 2 $
$ \begin{bmatrix0} 1 } \\ { 0 } & 1 \end {bmatrix} $
Идентификационная матрица порядка $ 3 $
$ \begin{bmatrix} 1 & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & 1 & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & 1 \end {bmatrix} $
Единичная матрица является матричным эквивалентом числа «1».
Как возвести в квадрат матрицу
Квадратная матрица представляет собой матрицу типа .
Но когда мы говорим о возведении в квадрат матрицы, мы фактически выполняем операцию умножения матрицы самой по себе. Итак, как возвести матрицу в квадрат?
Если бы мы возвели в квадрат матрицу $A$, мы бы умножили матрицу $A$ саму на себя. Он будет следовать процессу умножения матриц. Ниже показано возведение в квадрат матрицы $ 2 \times 2 $. 9{2} = \begin{bmatrix} 4 & { – 1 } \\ { – 3 } & {7} \end{bmatrix} $
Если вы хотите узнать, как мы выполняли умножение, прочтите статью . умножение матриц .
Свойства квадратных матриц
У квадратных матриц есть несколько свойств, но для целей этой статьи мы рассмотрим некоторые из свойств, которые входят в предмет этого урока.
Свойство 1:
Квадратная матрица называется0008 симметричная матрица , если элементы матрицы симметричны относительно главной диагонали.
Примеры $ 2 \times 2 $ и $ 3 \times 3 $ симметричных матриц показаны ниже:
$ \begin{bmatrix} 1 & 7 \\ 7 & 5 \end {bmatrix} $
$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 1 & 3 & 4 \\ 5 & 4 & 2 \end {bmatrix} $
Свойство 2:
Квадратная матрица называется кососимметричной матрицей , если элементы матрицы отрицательно симметричны относительно главной диагонали.
Примеры $ 2 \times 2 $ и $ 3 \times 3 $ кососимметричных матриц показаны ниже:
$ \begin{bmatrix} 1 & { – 1 } \\ 1 & 3 \end {bmatrix } $
$ \begin{bmatrix} 1 & 3 & { – 2 } \\ { – 3 } & 1 & { 0 } \\ 2 & { 0 } & 4 \end {bmatrix} $
Свойство 3 :
Говорят, что квадратная матрица равна 9{T}$ — транспонирование матрицы, а $I$ — единичная матрица.
Свойство 5:
Если $B$ — квадратная матрица порядка $n$, то ее след , обозначаемый $tr(B)$, представляет собой сумму элементов ее главной диагонали.
Определитель квадратной матрицы
Определитель квадратной матрицы представляет собой скалярное значение, которое можно вычислить из элементов матрицы. Посмотрим на определитель матрицы $2\times 2$.
Возьмем матрицу $ A $, показанную ниже:
$ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end {bmatrix} $
Тогда определитель этой матрицы равен:
$ det(A) = ad – bc $
Определитель матрицы $ 3 x 3 $ немного сложен, и вы можете посмотреть его здесь.
Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы прояснить наше понимание квадратных матриц.
Пример 1Приведите пример квадратной матрицы порядка $4$.
Решение
Мы не рассматривали квадратную матрицу порядка $4$. Но выписать его довольно просто. Просто выпишите матрицу из $4$ строк и $4$ столбцов с шестнадцатью элементами внутри нее. Ниже показано:
$ T = \begin{pmatrix} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \end { pmatrix} $
Пример 2Квадратная матрица $B$ показана ниже: 9{2} = \begin{bmatrix} { – 16 } & 8 \\ { – 8 } & { – 12 } \end{bmatrix} $
Пример 3Вычислить определитель матрицы $ P $ .
$ P = \begin{bmatrix} { – 9 } & { – 5 } \\ { 0 } & 4 \end {bmatrix} $
Решение
Матрица $ P $ является квадратной матрицей порядка $ 2 $ . Мы вычисляем определитель матрицы $P$, используя формулу определителя матрицы $ 2 \times 2$.
$ det(P) = ({ – 9 })(4) – ({ 0 })({ – 5 }) $
$ = { – 36 }$
Практические вопросы- Напишите пример каждого из следующих:
- $ 3 \times 3$ симметричная матрица
- $ 2 \times 2$ кососимметричная матрица
$ C = \begin{bmatrix} 1 & { 0 } \\ { – 2 } & 8 \end {bmatrix} $
$ S = \begin{bmatrix} 1 & { – 1 } & 9 \\ { 0 } & { – 4 } & 1 \ \ 11 & { – 3 } & 1 \end {bmatrix} $
$ G = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ { – 2 } & 8 \end{pmatrix} $
- Пример каждого из следующих показан ниже:
- $ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & { – 9 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 11 \end {pmatrix } $
- $ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {bmatrix} $
- $ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 7 \\ 1 & 4 & 2 \\ 7 & 2 & 3 \end {bmatrix} $
- $ \begin{bmatrix} { 3 } & { 4 } \\ { -4 } & { – 3 } \end {bmatrix} $
- Мы знаем, что трасса представляет собой сумму элементов главной диагонали квадратная матрица. Таким образом, мы вычисляем след, как показано ниже:
$ tr( S ) = 1 + ({ – 4 }) + 1 = { – 2 } $
След матрицы $ S $ равен 2.
Матрица $G$ представляет собой квадратную матрицу порядка $2$. Мы вычисляем определитель матрицы $ G $, используя формулу определителя матрицы $ 2 \times 2 $.
$ det (G) = ( 3 )( 8 ) – ({ – 2 })( 6 ) $
$ det (G) = 24 + 12 $
$ det (G) = 36 $
Квадратные матрицы — Концепция — Предварительное исчисление Видео от Brightstorm
Когда мы изучаем матрицы и матричные операции, одной из первых вещей, которые нам нужно изучить, являются квадратные матрицы. Квадратные матрицы имеют множество применений в реальном мире. Квадратные матрицы могут использоваться для представления и решения систем уравнений, могут быть обратимыми и иметь определители. Определители квадратных матриц можно использовать для нахождения площадей и ортогональных векторов.
матрицы ряды столбцы измерение матрица умножение
Давайте быстро просмотрим матрицы. У меня есть две матрицы здесь a и b. Матрица a имеет 2 строки и 3 столбца, матрица b имеет 2 столбца и 3 строки. Всегда помните, что количество строк равно количеству горизонтальных строк, столбцы вертикальны, поэтому мы бы сказали, что размеры матрицы a — это количество строк, умноженное на количество столбцов, поэтому 2 на 3, а размеры b 3 на 2. Это действительно важно уметь распознавать размеры матрицы, потому что это то, что определяет, можете ли вы умножить 2 матрицы, поэтому давайте рассмотрим проблему здесь.
Я хочу умножить а и b, а затем b и а, вот опять это матрица а и это а 2 на 3, позвольте мне записать это здесь 2 на 3, а матрица b это 3 на 2.
Теперь давайте сделаем в обратном порядке: мы коммутируем a и b, давайте умножим их таким образом, обратите внимание, что теперь это 3 на 2, а это 2 на 3, поэтому 3 на 2 умножить на 2 на 3. Прежде всего, обратите внимание, что мы может умножаться, потому что два внутренних числа одинаковы, а результатом произведения будет матрица 3 на 3.