Слайд 1 | Теорема: в параллелограмме противоположные углы равны |
Этап | Актуализация необходимых знаний |
Слайд 2 | Задача В параллелограмме АВСD проведена диагональ ВD. Доказать, что АВD=ВDC и А= С. 1)АВD=ВDC, т.к. они накрест лежащие при параллельных прямых АВ и СD. 2)ВDA=CВD, т.к. они накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD. 3)ВD-общая сторона, следовательно треугольники равны по второму признаку.(сторона и два прилежащих угла). 4) А= С, т.к. они лежат в равных треугольниках АВD и ВСD против стороны ВD. |
Наведение на факт | |
Слайд 3 | 1)Нарисуйте в тетради параллелограмм АВСD. 2)С помощью транспортира измерьте углы А и С. 3)Какой результат получился? Они имеют одинаковую градусную меру. 4)Какой из этого вывод? Они равны. 5)Измерьте углы В и D. 6)Какой результат получился? Они тоже имеют одинаковую градусную меру. 7)Какой вывод? Они тоже равны. 8)Давайте подытожим полученное выше. Вывод: в параллелограмме противоположные углы равны. |
Условие теоремы | |
Слайд 4 | Теорема В параллелограмме противоположные углы равны |
Слайд 5 | О чем говорится в теореме? О противоположных углах параллелограмма. Дано: АВСD-параллелограмм А и С-противоположные углы В и D-противоположные углы |
Слайд 6 | Что именно говорится о них? Они равны. Дано: АВСD-параллелограмм А и С-противоположные углы В и D-противоположные углы Доказать: А =С В =D |
Слайд 7 | Что нам нужно доказать? Нам нужно доказать, что А= С, В= D. То есть выделим два пункта плана: 1)Докажем равенство углов А и С 2)Докажем равенство углов В и D |
Диалог + доказательство | |
Слайд 8 | Перейдем к первому пункту плана. Как доказать равенство углов А и С? Нужно показать, что эти углы лежат в равных треугольниках против равных сторон. Для этого выделим два треугольника АВD и ВСD, проведя диагональ ВD. |
Слайд 9 | Как показать, что эти треугольники равны? 1)1= 2 (они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и СD секущей ВD). 2)3= 4 (они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и АD секущей ВD). 3)АВD= ВСD по 2 признаку(ВD-общая, 1= 2 , 3= 4 ). |
Слайд 10 | Какой из этого вывод? А= С |
Слайд 11 | Объединим предыдущие действия в целое доказательство 1) выделим два треугольника АВD и ВСD, проведя диагональ ВD. 2) покажем, что эти треугольники равны по 2-му признаку (1= 2, т.к. они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и СD секущей ВD; 3= 4, т.к. они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и АD секущей ВD; ВD-общая сторона). 3) из равенства треугольников сделаем вывод, что А= С. |
Слайд 12 | Первый пункт плана выполнен, теперь перейдем ко 2 пункту. Как мы докажем равенство углов В и D? Для этого нужно показать, что они равны какому-либо третьему углу, например 2+4 . |
Слайд 13 | Как нам это сделать? Покажем, что они равны этому углу. В= 2+ 4 (если луч делит угол В на два угла 2 и 4, то градусная мера всего угла В равна сумме градусных мер углов 2 и 4). D= 1+ 3 (если луч делит угол D на два угла 1 и 3, то градусная мера всего угла D равна сумме градусных мер углов 1 и 3). D= 2+ 4 (т.к. по свойству числовых равенств: если 1= 2, 3= 4, то 1+ 3= 2+ 4 ) В= D (по свойству транзитивности В= 2+ 4 , 2+ 4=D, то В= D ) |
Слайд 14 | Объединим предыдущие действия в целое доказательство пункта 2 подобно тому как мы это делали ранее. Покажем, что углы В и D равны углу 2+4:
|
Краткая запись теоремы | |
Слайд 15 | Запишем полное доказательство теоремы 1) выделим два треугольника АВD и ВСD, проведя диагональ ВD. 2) покажем, что эти треугольники равны по 2-му признаку (1= 2, т.к. они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и СD секущей ВD; 3= 4, т.к. они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и АD секущей ВD; ВD-общая сторона). 3) из равенства треугольников сделаем вывод, что А= С. 4) покажем, что углы В и D равны углу 2+4:
5) сделаем вывод |
Слайд 16 | Вывод Оба пункта плана выполнены, следовательно мы доказали, что в параллелограмме АВСD противоположные углы А и С, В и D равны. Но т.к. параллелограмм мы взяли произвольным образом, то теорема справедлива для всего множества параллелограммов. |
Применение теоремы | |
Слайд 17 | Задача № 376(а) Найдите углы параллелограмма АВСD, если А=84˚. Решение С= А=84 ˚(т.к. они противоположные углы) В+ D=360 ˚- C- A(т.к. сумма углов выпуклого 4-х угольника равна 360 ˚) В= D= |
infourok.ru
Признаки параллелограмма
На прошлом уроке мы с вами говорили, что параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Также мы рассмотрели некоторые свойства параллелограмма. Вспомним их.
Свойство 1. Сумма углов при соседних вершинах параллелограмма равна .
Свойство 2. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
Свойство 3. У параллелограмма противоположные стороны равны.
Свойство 4. У параллелограмма противоположные углы равны.
Свойство 5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
На этом уроке мы рассмотрим три признака параллелограмма. Отметим, что свойство – это то, чем обладает данная фигура. А признак – это то, чем фигура отличается от других, то есть черты, по которым мы можем отличить данную фигуру от других.
Теорема. 1-й признак параллелограмма. Если у четырёхугольника две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Докажем это.
Рассмотрим и .
,.
Сторона – общая, по условию,как накр. лежащие при и секущей .
по первому признаку. Следовательно, . , – накр. лежащие при и и секущей .
Так как , то .
, ,следовательно, – параллелограмм.
Теорема доказана.
Теорема. 2-й признак. Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Доказательство.
Пусть в четырёхугольнике ABCD сторона,.
Проведём диагональ AC, которая разделяет четырёхугольник на два треугольника ABC и CDA.
Рассмотрим и .Сторона – общая, по условию, по условию.
по третьему признаку.
Следовательно, .
Так как , – накр. лежащие при и и секущей ,то .
,,тогда по 1-му признаку – параллелограмм.
Теорема доказана.
Теорема. 3-й признак. Если у четырёхугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.
Доказательство.
Пусть в четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.
Рассмотрим и .
по условию, по условию, как вертикальные.
по первому признаку.
Следовательно, ,.Так как , – накр. лежащие при и и секущей ,то .
,,тогда по 1-му признаку – параллелограмм.
Теорема доказана.
Теперь решим несколько задач.
Задача. Докажите, что четырёхугольник является параллелограммом, если – диагональ, а и .
Доказательство.
, – накр. лежащие при и и секущей .
Так как , то .
, – накр. лежащие при и и секущей .
Так как , то ., ,следовательно, – параллелограмм.
Решим эту задачу ещё одним способом.
Рассмотрим и .Сторона – общая, ,по условию.
по второму признаку, следовательно, ,.
Тогда – параллелограмм по 2-му признаку.
Что и требовалось доказать.
Задача. Отрезки и – диагонали четырёхугольника , которые пересекаются в точке . , а . Докажите, что четырёхугольник – параллелограмм.
Доказательство.
Рассмотрим и .
по условию,
по условию,
как вертикальные.
по второму признаку.
Следовательно, .
Тогда – параллелограмм по 3-му признаку.
Что и требовалось доказать.
videouroki.net
8 класс. Геометрия. Площадь параллелограмма. — Площадь параллелограмма.
Комментарии преподавателя
Теорема о площади параллелограмма
На сегодняшнем уроке мы изучим формулу для нахождения площади параллелограмма. Для удобства введем следующую терминологию: одну из сторон параллелограмма будем называть основанием параллелограмма, а перпендикуляр, проведенный из противоположной вершины к этой стороне, высотой параллелограмма.
Вспомним определения и основные свойства параллелограмма.
Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (рис. 1).
Рис. 1. Параллелограмм
Основные свойства параллелограмма:
Теорема. О площади параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Доказательство. Изобразим рисунок 2 с элементами, которые нам пригодятся в ходе доказательства.
Рис. 2. Иллюстрация к теореме
Рассмотрим параллелограмм . В нем – основание, и – высоты. Обратим внимание на прямоугольную трапецию , она состоит из двух фигур: параллелограмма и треугольника . С другой стороны, эта же трапеция разбивается на две другие фигуры: треугольник и прямоугольник . Исходя из этого, запишем третье свойство площади:
Рассмотрим треугольники и :
как два прямоугольных треугольника, по гипотенузе и острому углу. Следовательно, по второму свойству площади: .
Если вернуться к полученным соотношениям для площади выбранной трапеции и учесть равенство площадей треугольников, то получим: . Но из предыдущего урока мы уже знаем, что площадь прямоугольника, а т. к. , по свойству параллелограмма, то , что и требовалось доказать.
Доказано.
Примеры на расчет площадей параллелограмма
Пример 1. Смежные стороны параллелограмма равны 10 см и 12 см, а его острый угол равен . Найдите площадь параллелограмма.
Решение. Изобразим все на рисунке 3.
Рис. 3. Иллюстрация к примеру
Имеем следующие данные: . Проведем высоту и получим прямоугольный треугольник .
Рассмотрим
www.kursoteka.ru