Все теоремы параллелограмма – Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма

Содержание

Изучение теоремы "Свойство параллелограмма"

Слайд 1

Теорема: в параллелограмме противоположные углы равны

Этап

Актуализация необходимых знаний

Слайд 2

Задача

В параллелограмме АВСD проведена диагональ ВD. Доказать, что АВD=ВDC и А= С.

1)АВD=ВDC, т.к. они накрест лежащие при параллельных прямых АВ и СD.

2)ВDA=CВD, т.к. они накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD.

3)ВD-общая сторона, следовательно треугольники равны по второму признаку.(сторона и два прилежащих угла).

4) А= С, т.к. они лежат в равных треугольниках АВD и ВСD против стороны ВD.

Наведение на факт

Слайд 3

1)Нарисуйте в тетради параллелограмм АВСD.

2)С помощью транспортира измерьте углы А и С.

3)Какой результат получился?

Они имеют одинаковую градусную меру.

4)Какой из этого вывод?

Они равны.

5)Измерьте углы В и D.

6)Какой результат получился?

Они тоже имеют одинаковую градусную меру.

7)Какой вывод?

Они тоже равны.

8)Давайте подытожим полученное выше.

Вывод: в параллелограмме противоположные углы равны.

Условие теоремы

Слайд 4

Теорема

В параллелограмме противоположные углы равны

Слайд 5

О чем говорится в теореме?

О противоположных углах параллелограмма.

Дано:

АВСD-параллелограмм

А и С-противоположные углы

В и D-противоположные углы

Слайд 6

Что именно говорится о них?

Они равны.

Дано:

АВСD-параллелограмм

А и С-противоположные углы

В и D-противоположные углы

Доказать:

А =С

В =D

Слайд 7

Что нам нужно доказать?

Нам нужно доказать, что А= С, В= D. То есть выделим два пункта плана:

1)Докажем равенство углов А и С

2)Докажем равенство углов В и D

Диалог + доказательство

Слайд 8

Перейдем к первому пункту плана. Как доказать равенство углов А и С?

Нужно показать, что эти углы лежат в равных треугольниках против равных сторон. Для этого выделим два треугольника АВD и ВСD, проведя диагональ ВD.

Слайд 9

Как показать, что эти треугольники равны?

1)1= 2 (они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и СD секущей ВD).

2)3= 4 (они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и АD секущей ВD).

3)АВD= ВСD по 2 признаку(ВD-общая, 1= 2 , 3= 4 ).

Слайд 10

Какой из этого вывод?

А= С

Слайд 11

Объединим предыдущие действия в целое доказательство

1) выделим два треугольника АВD и ВСD, проведя диагональ ВD.

2) покажем, что эти треугольники равны по 2-му признаку (1= 2, т.к. они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и СD секущей ВD; 3= 4, т.к. они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и АD секущей ВD; ВD-общая сторона).

3) из равенства треугольников сделаем вывод, что А= С.

Слайд 12

Первый пункт плана выполнен, теперь перейдем ко 2 пункту.

Как мы докажем равенство углов В и D?

Для этого нужно показать, что они равны какому-либо третьему углу, например 2+4 .

Слайд 13

Как нам это сделать?

Покажем, что они равны этому углу.

В= 2+ 4 (если луч делит угол В на два угла 2 и 4, то градусная мера всего угла В равна сумме градусных мер углов 2 и 4).

D= 1+ 3 (если луч делит угол D на два угла 1 и 3, то градусная мера всего угла D равна сумме градусных мер углов 1 и 3).

D= 2+ 4 (т.к. по свойству числовых равенств: если 1= 2, 3= 4, то 1+ 3= 2+ 4 )

В= D (по свойству транзитивности В= 2+ 4 , 2+ 4=D, то В= D )

Слайд 14

Объединим предыдущие действия в целое доказательство пункта 2 подобно тому как мы это делали ранее.

Покажем, что углы В и D равны углу 2+4:

  • В= 2+ 4

  • D= 1+ 3

  • D= 2+ 4 (т.к. по свойству числовых равенств: если 1= 2, 3= 4, то 1+ 3= 2+ 4 )

  • В= D (по свойству транзитивности В= 2+ 4, 2+ 4=D, то В= D )

Краткая запись теоремы

Слайд 15

Запишем полное доказательство теоремы

1) выделим два треугольника АВD и ВСD, проведя диагональ ВD.

2) покажем, что эти треугольники равны по 2-му признаку (1= 2, т.к. они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых АВ и СD секущей ВD; 3= 4, т.к. они накрест лежащие при пересечении параллельных прямых ВС и АD секущей ВD; ВD-общая сторона).

3) из равенства треугольников сделаем вывод, что А= С.

4) покажем, что углы В и D равны углу 2+4:

  • В= 2+ 4

  • D= 1+ 3

  • D= 2+ 4 (т.к. по свойству числовых равенств: если 1= 2, 3= 4, то 1+ 3= 2+ 4 )

  • В= D (по свойству транзитивности В= 2+ 4, 2+ 4=D, то В= D )

5) сделаем вывод

Слайд 16

Вывод

Оба пункта плана выполнены, следовательно мы доказали, что в параллелограмме АВСD противоположные углы А и С, В и D равны. Но т.к. параллелограмм мы взяли произвольным образом, то теорема справедлива для всего множества параллелограммов.

Применение теоремы

Слайд 17

Задача № 376(а)

Найдите углы параллелограмма АВСD, если А=84˚.

Решение

С= А=84 ˚(т.к. они противоположные углы)

В+ D=360 ˚- C- A(т.к. сумма углов выпуклого 4-х угольника равна 360 ˚)

В= D=

infourok.ru

Признаки параллелограмма

На прошлом уроке мы с вами говорили, что параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Также мы рассмотрели некоторые свойства параллелограмма. Вспомним их.

Свойство 1. Сумма углов при соседних вершинах параллелограмма равна .

Свойство 2. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.

Свойство 3. У параллелограмма противоположные стороны равны.

Свойство 4. У параллелограмма противоположные углы равны.

Свойство 5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

На этом уроке мы рассмотрим три признака параллелограмма. Отметим, что свойство – это то, чем обладает данная фигура. А признак – это то, чем фигура отличается от других, то есть черты, по которым мы можем отличить данную фигуру от других.

Теорема. 1-й признак параллелограмма. Если у четырёхугольника две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Докажем это.

Рассмотрим  и .

,.

Сторона  – общая, по условию,как накр. лежащие при и секущей .

по первому признаку. Следовательно, . , – накр. лежащие при  и  и секущей .

Так как , то .

, ,следовательно,  – параллелограмм.

Теорема доказана.

Теорема. 2-й признак. Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство.

 Пусть в четырёхугольнике ABCD сторона,.

 Проведём диагональ AC, которая разделяет четырёхугольник на два треугольника ABC и CDA.

Рассмотрим  и .

Сторона  – общая, по условию, по условию.

по третьему признаку.

Следовательно, .

Так как , – накр. лежащие при  и  и секущей ,то .

,,тогда по 1-му признаку  – параллелограмм.

Теорема доказана.

Теорема. 3-й признак. Если у четырёхугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Доказательство.

Пусть в четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Рассмотрим  и .

 по условию, по условию, как вертикальные.

по первому признаку.

Следовательно, ,.Так как , – накр. лежащие при  и  и секущей ,то .

,,тогда по 1-му признаку  – параллелограмм.

Теорема доказана.

Теперь решим несколько задач.

Задача. Докажите, что четырёхугольник  является параллелограммом, если  – диагональ, а  и .

Доказательство.

, – накр. лежащие при  и и секущей .

Так как , то .

, – накр. лежащие при  и и секущей .

Так как , то ., ,следовательно,  – параллелограмм.

Решим эту задачу ещё одним способом.

Рассмотрим  и .Сторона  – общая, ,по условию.

по второму признаку, следовательно, ,.

Тогда – параллелограмм по 2-му признаку.

Что и требовалось доказать.

Задача. Отрезки  и  – диагонали четырёхугольника , которые пересекаются в точке . , а . Докажите, что четырёхугольник  – параллелограмм.

Доказательство.

Рассмотрим  и .

 по условию,

 по условию,

как вертикальные.

по второму признаку.

Следовательно, .

Тогда  – параллелограмм по 3-му признаку.

Что и требовалось доказать.

videouroki.net

8 класс. Геометрия. Площадь параллелограмма. - Площадь параллелограмма.

Комментарии преподавателя

Теорема о площади параллелограмма

На сегодняшнем уроке мы изучим формулу для нахождения площади параллелограмма. Для удобства введем следующую терминологию: одну из сторон параллелограмма будем называть основанием параллелограмма, а перпендикуляр, проведенный из противоположной вершины к этой стороне, высотой параллелограмма.

Вспомним определения и основные свойства параллелограмма.

Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (рис. 1).

Рис. 1. Параллелограмм 

Основные свойства параллелограмма:

Теорема. О площади параллелограмма. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Доказательство. Изобразим рисунок 2 с элементами, которые нам пригодятся в ходе доказательства.

 

Рис. 2. Иллюстрация к теореме

Рассмотрим параллелограмм . В нем  – основание,  и  – высоты. Обратим внимание на прямоугольную трапецию , она состоит из двух фигур: параллелограмма  и треугольника . С другой стороны, эта же трапеция разбивается на две другие фигуры: треугольник  и прямоугольник . Исходя из этого, запишем третье свойство площади:

 

Рассмотрим треугольники  и :

 как два прямоугольных треугольника, по гипотенузе и острому углу. Следовательно, по второму свойству площади: .

Если вернуться к полученным соотношениям для площади выбранной трапеции и учесть равенство площадей треугольников, то получим: . Но из предыдущего урока мы уже знаем, что площадь прямоугольника, а т. к. , по свойству параллелограмма, то , что и требовалось доказать.

Доказано.

Примеры на расчет площадей параллелограмма

Пример 1. Смежные стороны параллелограмма равны 10 см и 12 см, а его острый угол равен . Найдите площадь параллелограмма.

Решение. Изобразим все на рисунке 3.

 

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Имеем следующие данные: . Проведем высоту  и получим прямоугольный треугольник .

Рассмотрим 

www.kursoteka.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *