Примеры вычисления полей в Python—ArcGIS Pro
Ввод значений с клавиатуры – не единственный способ редактирования значений в таблице. В некоторых случаях вам может потребоваться выполнить математические вычисления для получения значения поля отдельной записи или даже всех записей. Можно выполнять как простые, так и сложные вычисления над всеми либо только выбранными записями. Кроме того, в полях атрибутивных таблиц можно вычислить длину, периметр и прочие геометрические свойства. В разделах ниже приводятся примеры использования калькулятора поля. Вычисления выполняются с помощью Python, SQL и Arcade.
Этот раздел описывает примеры скриптов Python для Вычисления поля. Более подробно о выражениях Arcade, см. Руководство ArcGIS Arcade. Более подробно о выражениях SQL можно узнать в разделе Вычисление поля.
- Синтаксис Python требует правильного использования отступов. Для определения каждого логического уровня используются от двух до четырех пробелов. Приводите в соответствие начало и конец каждого блока, и будьте последовательны.
- Поля в выражениях вычислений Python заключаются в восклицательные знаки (!!).
- При наименовании переменных следует помнить, что Python чувствителен к регистру, поэтому имя value не равнозначно имени Value.
- Завершив ввод, можно нажать кнопку Экспортировать, если вы хотите записать введенные данные в файл. С помощью кнопки Импортировать вы сможете найти и выбрать из имеющихся файл с выражением для вычисления.
Простые вычисления
Ряд вычислений можно производить, используя только короткое выражение.
Примеры простых строчек
Строки поддерживаются несколькими строковыми функциями Python, в том числе capitalize, rstrip и replace.
Сделать заглавной первую букву текста в поле CITY_NAME.
!CITY_NAME!.capitalize()
Убрать все пробелы на концах строк в поле CITY_NAME .
!CITY_NAME!.rstrip()
Заменить написание «california» на «California» в поле STATE_NAME.
!STATE_NAME!.replace("california", "California")
Доступ к символам в текстовом поле осуществляется путем индексации и разделения в Python. Индексация возвращает символы в индексном местоположении; разделение – группу символов. В следующей таблице предположим, что это строковое поле !fieldname! со значением «abcde».
Пример | Объяснение | Результат |
---|---|---|
!fieldname![0] | Первый символ | «a» |
!fieldname![-2] | Второй символ с конца | «d» |
!fieldname![1:4] | Второй, третий и четвертый символы | «bcd» |
Python также поддерживает форматирование строк с использованием метода format().
Скомбинировать поля FieldA и FieldB, разделенные двоеточием.
"{}:{}".format(!FieldA!, !FieldB!)
- Часто используемые текстовые операции Python
Простые математические примеры
Python предоставляет инструменты для обработки чисел. Python также поддерживает ряд числовых и математических функций, в том числе, math, cmath, decimal, random, itertools, functools и operator.
Оператор | Объяснение | Пример | Результат |
---|---|---|---|
x + y | x плюс y | 1,5 + 2,5 | 4.0 |
x – y | x минус y | 3,3 – 2,2 | 1. 1 |
x * y | x умножить на y | 2,0 * 2,2 | 4.4 |
x / y | x разделить на y | 4,0 / 1,25 | 3.2 |
x // y | x разделить на y (с округлением) | 4.0 // 1.25 | 3.0 |
x % y | x по модулю y | 8 % 3 | 2 |
-x | отрицательное выражение от x | x = 5 -x | -5 |
+x | x остается без изменений | x = 5 +x | 5 |
x ** y | x возвести в степень y | 2 ** 3 | 8 |
Умножить
!Rank! * 2
Вычислить объем сферы по заданному полю с радиусами.
4.0 / 3.0 * math.pi * !Radius! ** 3
Прежние версии:
В ArcGIS Pro используется Python 3, а в ArcGIS Desktop – Python 2. В Python 2 используются математические целые числа, то есть деление двух целочисленных значений всегда дает в результате целочисленное значение (3 / 2 = 1). В Python 3 при делении целочисленных значений результат будет числом с плавающей точкой (3 / 2 = 1.5).
Встроенные функции Python
Python содержит ряд встроенных функций, включая max, min, round и sum.
- Встроенные функции Python
Вычисление максимального значения для каждой записи в списке полей.
max([!field1!, !field2!, !field3!])
Вычисление суммы для каждой записи в списке полей.
sum([!field1!, !field2!, !field3!])
Использование блоков кода
С помощью выражений Python и параметра Блок кода вы можете сделать следующее:
- Используйте в выражении любые функции Python.
- Получать доступ к функциям и объектам геообработки.
- Получать доступ к свойствам геометрии
- Получать доступ к новому оператору случайных значений.
- Переклассифицировать значения с использованием логики if-then-else.
Тип выражения | Блок кода |
---|---|
Python 3 | Поддерживает функциональные возможности Python. Блок кода задается с помощью функций Python (def). Свойства геометрии выражаются с помощью объектов геообработки, например объекты point, где применимо. |
Arcade | Поддерживает функциональные возможности Arcade. |
SQL | Поддерживает выражения SQL. SQL-выражения были реализованы для лучшей поддержки вычислений с использованием сервисов объектов и многопользовательских баз геоданных, особенно в отношении производительности. Вместо того, чтобы выполнять вычисления для одного объекта или строки одновременно, один запрос отправляется к базе данных или сервису объектов. |
Прежние версии:
В ArcGIS Desktop инструмент Вычислить поле поддерживает типы выражений VB, PYTHON и PYTHON_9.3. Тип выражения VB, поддерживаемый в некоторых продуктах, не поддерживается в 64-битных продуктах, и в том числе в ArcGIS Pro.
Ключевые слова PYTHON и PYTHON_9.3 все еще поддерживаются в ArcGIS Pro для сохранения обратной совместимости, но не указываются в списке выбора. Скрипты Python, использующие ключевые слова, продолжат работать корректно.
Единственное различие между типом выражения Python 3 и устаревшим ключевым словом PYTHON_9.3 заключается в том, что Python 3 возвращает значения в полях данных как объекты Python datetime.
Тип выражения Python 3 не связан с версией Python, установленной с ArcGIS Pro. Это просто исторически связанное с Python стороннее ключевое слово (после PYTHON и PYTHON_9.3).
Функции Python задаются с помощью ключевого слова def, за которым идет имя функции и ее входные аргументы. Можно написать функцию Python, которая будет принимать любое число входных аргументов (в т.ч. их может и не быть). Значение возвращается из функции с помощью выражения return. Имя функции остаётся на ваш выбор (не используйте пробелы и не начинайте с цифр).
Если функция с выражением return не возвращает значения, будет возвращено None.
Помните, что отступы являются частью синтаксиса Python. Для определения каждого логического уровня используются четыре пробела. Приводите в соответствие начало и конец каждого блока, и будьте последовательны.
Примеры кода – math
Для использования всех приведенных ниже математических примеров используйте тип выражения Python 3.
Округлить значения поля до двух десятичных знаков.
Expression: round(!area!, 2)
Используйте модуль math для конвертации метров в футы. Конвертация возводит в степень 2 и умножает на площадь.
Expression: MetersToFeet((float(!shape.area!))) Code Block: import math def MetersToFeet(area): return math.pow(3.2808, 2) * area
Вычисления полей с использованием логики Python
Логические структуры могут быть включены в блок кода через выражения if, else и elif.
Классифицировать на основании значений поля.
Expression: Reclass(!WELL_YIELD!) Code Block: def Reclass(WellYield): if (WellYield >= 0 and WellYield <= 10): return 1 elif (WellYield > 10 and WellYield <= 20): return 2 elif (WellYield > 20 and WellYield <= 30): return 3 elif (WellYield > 30): return 4
Примеры кода – геометрия
Помимо следующих примеров кода см. раздел Преобразование геометрических единиц, расположенный ниже, для получения дополнительной информации о преобразовании геометрических единиц.
Вычислить площадь объекта.
Expression: !shape.area!
Вычислить максимальную x-координату объекта.
Expression: !shape.extent.XMax!
Вычислить количество вершин объекта.
Expression: MySub(!shape!) Code Block: def MySub(feat): partnum = 0 # Count the number of points in the current multipart feature partcount = feat.partCount pntcount = 0 # Enter while loop for each part in the feature (if a singlepart # feature, this will occur only once) while partnum < partcount: part = feat.getPart(partnum) pnt = part.next() # Enter while loop for each vertex while pnt: pntcount += 1 pnt = part.next() # If pnt is null, either the part is finished or there # is an interior ring if not pnt: pnt = part.next() partnum += 1 return pntcount
Для точечного класса пространственных объектов сдвинуть x-координату каждой точки на 100.
Expression: shiftXCoordinate(!SHAPE!) Code Block: def shiftXCoordinate(shape): shiftValue = 100 point = shape.getPart(0) point.X += shiftValue return point
Информация о единицах измерения геометрии
Свойства площади и длины в поле геометрии можно изменить с помощью типов единиц, обозначаемых знаком @.
- Единицы площади для ключевых слов измерений:
- ACRES | ARES | HECTARES | SQUARECENTIMETERS | SQUAREDECIMETERS | SQUAREINCHES | SQUAREFEET | SQUAREKILOMETERS | SQUAREMETERS | SQUAREMILES | SQUAREMILLIMETERS | SQUAREYARDS | SQUAREMAPUNITS | UNKNOWN
- Линейные диницы для ключевых слов измерений:
- CENTIMETERS | DECIMALDEGREES | DECIMETERS | FEET | INCHES | KILOMETERS | METERS | MILES | MILLIMETERS | NAUTICALMILES | POINTS | UNKNOWN | YARDS
Если данные хранятся в географической системе координат и поддерживаются линейные единицы (например, футы), вычисления длин будут конвертированы по геодезическому алгоритму.
Внимание:
Преобразование единиц площади в географическую систему координат даёт сомнительные результаты, так как десятичные градусы в разных частях глобуса имеют разную длину.
Вычислить длину пространственного объекта в ярдах.
Expression: !shape.length@yards!
Вычислить длину пространственного объекта в акрах.
Expression: !shape.area@acres!
Геодезическая площадь и длина также может быть вычислена с помощью свойств geodesicArea и geodesicLength, с помощью символа @, следующего за ключевым словом единицы измерения.
Вычисление геодезической длины пространственного объекта в ярдах.
Expression: !shape.geodesicLength@yards!
Вычисление геодезической площади пространственного объекта в акрах.
Expression: !shape.geodesicArea@acres!
Примеры кода – даты
Дату и время можно вычислить с помощью модулей datetime и time.
Вычислить текущую дату.
Expression: time.strftime("%d/%m/%Y")
Вычислить текущие дату и время.
Expression: datetime.datetime.now()
Вычислить дату как 31 декабря 2000.
Expression: datetime.datetime(2000, 12, 31)
Вычислить количество дней между текущей датой и значением в поле.
Expression: (datetime.datetime.now() - !field1!).days
Вычислить дату, прибавив 100 дней к значению даты в поле.
Expression: !field1! + datetime.timedelta(days=100)
Вычислить строку, представляющую дату, используя метод ctime в модуле datetime. В примере создается строка в формате: ‘Mon Feb 22 10:15:00 2021’.
Expression: !field1!.ctime()
Вычислить день недели (например, воскресенье) для значения даты в поле.
Expression: !field1!.strftime('%A')
Вычислить отформатированную строку из поля даты, используя метод strftime модуля datetime и строку явного формата. В примере создается строка в формате: ’02/22/2021, 10:15:00′.
Expression: !field1!.strftime("%m/%d/%Y, %H:%M:%S")
Примеры кода – текст
Строковые вычисления могут выполняться с использованием различных шаблонов кодирования Python.
Вернуть три самых правых символа.
Expression: !SUB_REGION![-3:]
Заменить все вхождения заглавной буквы P на прописную p.
Expression: !STATE_NAME!.replace("P","p")
Конкатенировать два поля, разделив их пробелом.
Expression: !SUB_REGION! + " " + !STATE_ABBR!
Конвертация в нужный регистр
В этих примерах показаны различные способы конвертации слов таким образом, чтобы каждое слово начиналось с большой буквы, а остальные буквы были прописными.
Expression: ' '.join([i.capitalize() for i in !STATE_NAME!.split(' ')])
Expression: !STATE_NAME!.title()
Регулярные выражения
Модуль Python re содержит операции сопоставления регулярных выражений, которые используются для сопоставления сложных примеров и правил замещения для строк.
- re – операции регулярных выражений
- Регулярные выражения
Замена St или St. перед новым словом в конце строки словом Street.
Expression: update_street(!ADDRESS!) Code Block: import re def update_street(street_name): return re. sub(r"""\b(St|St.)\Z""", 'Street', street_name)
Накопительные и последовательные вычисления
Накопительные и последовательные вычисления могут выполняться с использованием глобальных переменных.
Вычислить последовательные идентификаторы ID или порядковые номера на основании интервала.
Expression: autoIncrement() Code Block: rec=0 def autoIncrement(): global rec pStart = 1 # adjust start value, if req'd pInterval = 1 # adjust interval value, if req'd if (rec == 0): rec = pStart else: rec = rec + pInterval return rec
Вычислить накопительные значения числового поля.
Expression: accumulate(!FieldA!) Code Block: total = 0 def accumulate(increment): global total if total: total += increment else: total = increment return total
Вычислить процентное приращение числового поля.
Expression: percentIncrease(float(!FieldA!)) Code Block: lastValue = 0 def percentIncrease(newValue): global lastValue if lastValue: percentage = ((newValue - lastValue) / lastValue) * 100 else: percentage = 0 lastValue = newValue return percentage
Случайные значения
Случайные значения можно получить с помощью модуля random.
Используйте пакет numpy для вычисления случайных значений с плавающей точкой от 0.0 до 1.0.
Expression: getRandomValue() Code Block: import numpy def getRandomValue(): return numpy.random.random()
Используйте модуль random случайных чисел для вычисления случайных целочисленных значений от 0 до 10.
Expression: random.randint(0, 10) Code Block: import random
Вычисление значений null
В выражении Python пустые значения (null) можно вычислить, используя Python None.
Следующее вычисление будет работать, только если поле может содержать нулевые значения.
Используйте Python None для вычисления пустых значений.
Expression: None
Связанные разделы
Отзыв по этому разделу?
Математические вычисления в Python 3
30 ноября, 2016 11:48 дп 54 630 views | 1 комментарийPython | Amber | 1 Comment
Программирование невозможно представить без работы с числами. Размеры экрана, выбор цвета путем присвоения числовых кодов, географическое расположение, деньги и очки, продолжительность видео – для всего этого используются числа.
Потому умение выполнять математические операции очень важно для программирования. Конечно, чем выше у вас навык математических вычислений, тем лучше для вас; однако совсем не обязательно уметь выполнять сложнейшие вычисления, чтобы быть хорошим программистом. Если у вас нет опыта работы в области математики, старайтесь представлять математику как инструмент или как способ улучшить ваше логическое мышление.
Данное руководство научит вас работать с двумя наиболее распространёнными числовыми типами данных Python:
- целыми числами (бывают положительными, отрицательными или равными нулю (…, -1, 0, 1, …)).
- и числами с плавающей точкой (числа с десятичными знаками (например, 9.0 или -2.25)).
Читайте также: Типы данных в Python 3
Операторы Python
Оператор – это символ или функция, которая выполняет то или иное действие над данными. К примеру, символ + – это оператор сложения.
В Python присутствуют как общие, так и специальные математические операторы.
Ниже приведена таблица наиболее распространённых математических операторов Python.
Операция | Результат |
x + y | Сложение (сумма x и y) |
x – y | Вычитание (разница между x и y) |
-x | Смена знака x |
+x | Тождественность x |
x * y | Умножение x на y |
x / y | Деление x на y |
x // y | Получение целой части от деления x на y |
x % y | Остаток от деления x / y |
x ** y | Возведение в степень |
Также руководство охватывает использование операторов присваивания.
Сложение и вычитание
Операции сложения и вычитания в Python выполняются точно так же, как и в обычной математике.
Например:
print(1 + 5)
6
Также вы можете объявить переменные и указать их в функции print:
a = 88
b = 103
print(a + b)
191
Целые числа бывают положительными и отрицательными. Попробуйте сложить следующие числа:
c = -36
d = 25
print(c + d)
-11
Числа с плавающей точкой складываются аналогичным образом:
e = 5.5
f = 2.5
print(e + f)
8.0
В результате сложения чисел с плавающей точкой также получается число с плавающей точкой, потому Python выводит 8.0, а не 8.
Синтаксис вычитания отличается от сложения только оператором. Попробуйте отнять 32 из 75.67:
g = 75.67
h = 32
print(g - h)
43.67
Примечание: Если в операции присутствует хотя бы одно число с плавающей точкой, в результате Python также выведет число с плавающей точкой.
Унарные арифметические операции
Унарное математическое выражение состоит только из одного компонента или элемента. В Python плюс и минус вместе со значением могут быть использованы в качестве одного элемента, это позволяет показать тождественность значения (+) или изменить его знак (-).
Тождественность используется нечасто. Плюс можно использовать с положительными числами:
i = 3.3
print(+i)
3.3
Если вы используете плюс с отрицательным числом, он также вернёт тождественное (в этом случае – отрицательное) число.
j = -19
print(+j)
-19
Минус позволяет изменить знак. Если вы добавите минус к положительному значению, в результате будет отображено отрицательное значение:
i = 3.3
print(-i)
-3.3
Если добавить минус к отрицательному значению, в результате получится положительное число:
j = -19
print(-j)
19
Умножение и деление
Операции умножения и деления, как сложение и вычитание, выполняются в Python так же, как в обычной математике. Для умножения Python использует *, для деления – /.
Например:
k = 100.1
l = 10.1
print(k * l)
1011.0099999999999
При делении в Python 3 частное всегда возвращается в виде числа с плавающей точкой, даже если вы делите целые числа:
m = 80
n = 5
print(m / n)
16.0
Это одно из главных различий между Python 2 и Python 3. Python 3 возвращает дробный результат, потому при делении 11 на 2 вы получите 5.5. В Python 2 деление привязано к типам данных, потому при делении целого числа невозможно получить число с плавающей точкой; поэтому при делении 11 на 2 Python 2 возвращает 5.
Читайте также: Python 2 vs Python 3
Когда числа по обе стороны символа деления являются целыми, выполняется деление floor, то есть, для фактора х Python 2 возвращает наибольшее целое число меньше или равное х. К примеру, при делении 5 / 2 таким числом будет 2.
Чтобы выполнить деление floor и получить только целую часть числа, Python 3 использует оператор //. К примеру, разделив 100//40, вы получите 2.
Деление по модулю
Оператор % – это модуль, который возвращает остаток от деления. К примеру, это позволяет найти числа, кратные одному и тому же числу.
Например:
o = 85
p = 15
print(o % p)
10
При делении 85 на 15 получается 5 и 10 в остатке.
Попробуйте разделить числа с плавающей точкой:
q = 36.0
r = 6.0
print(o % p)
0.0
Число 36.0 делится на 6.0 без остатка, потому в результате получился 0.0.
Возведение в степень
Оператор ** в Python возводит число в степень. Например, выражение 5 ** 3 значит, что 5 нужно возвести в третью степень. В математике это выглядит так: 5³. В Python можно получить тот же результат (125), умножив 5*5*5.
Например:
s = 52.25
t = 7
print(s ** t)
1063173305051.292
Приоритет операций
Как и в математике, в Python нужно помнить о том, что операции выполняются в порядке их приоритета, а не по порядку справа налево.
К примеру:
u = 10 + 10 * 5
Сначала выполняется умножение (10*5=50), а затем сложение (10+50). Потому результат будет такой:
print(u)
60
Чтобы сначала выполнить операцию сложения, а затем умножить полученный результат на 5, нужно взять сложение в скобки:
u = (10 + 10) * 5
print(u)
100
Математические операции имеют такой приоритет:
- Выражение в скобках;
- Экспоненты;
- Умножение;
- Деление;
- Сложение;
- Вычитание.
Операторы присваивания
Наиболее распространённым оператором присваивания является знак равенства (=). Он присваивает переменной слева значение справа. К примеру, в выражении v = 23 переменной v было присвоено значение 23.
В программировании часто используются составные операторы присваивания, которые выполняют операцию со значением переменной, а затем присваивают этой переменной полученное новое значение. Составные операторы объединяют арифметический оператор с оператором =. Например:
w = 5
w += 1
print(w)
6
Составной оператор += выполнил сложение, а затем присвоил переменной w, значение, полученное в результате сложения.
Составные операторы часто используются в циклах.
for x in range (0, 7):
x *= 2
print(x)
0
2
4
6
8
10
12
Это позволяет автоматизировать процесс умножения чисел в заданном диапазоне.
В Python есть составные операторы присваивания для каждой математической операции:
y += 1 # сложение и присваивание
y -= 1 # вычитание и присваивание
y *= 2 # умножение и присваивание
y /= 3 # деление и присваивание
y // = 5 # деление floor и присваивание
y **= 2 # возведение в степень и присваивание
y %= 3 # вывод остатка и присваивание
Операторы присваивания позволяют постепенно увеличить или уменьшить значение, а также автоматизировать некоторые вычисления.
Заключение
Теперь вы умеете выполнять вычисления в Python. Читайте также:
- Типы данных в Python 3
- Преобразование типов данных в Python 3
Как умножать в Excel. Инструкция, как сделать умножение в Эксель
Автор Елизавета КМ На чтение 8 мин Опубликовано
Табличный процессор Эксель – это многофункциональная программа, позволяющая реализовывать большое число разнообразных вычислений. Программа выполняет как простые арифметические действия, так и сложнейшие математические расчеты. В этой статье будет рассмотрено несколько способов реализации умножения в табличном процессоре.
Содержание
- Выполнение умножения в программе
- Пример 1: умножаем число на число
- Пример 2: умножаем ячейку на число
- Пример 3: умножаем ячейку на ячейку
- Пример 4: умножаем столбец на число
- Пример 5: умножаем столбец на столбец
- Пример 6: умножаем столбец на ячейку
- Оператор ПРОИЗВЕД
- Видео по операциям умножения в Excel
- Заключение
Выполнение умножения в программе
Всем нам прекрасно известно, как на бумаге выполняется такое арифметическое действие, как умножение. В табличном процессоре эта процедура тоже является несложной. Главное – знать правильный алгоритм действий, чтобы не совершить ошибок при расчётах во время работы с большими объёмами информации.
«*» — знак звёздочки выполняет роль умножения в Экселе, однако вместо него можно использовать и специальную функцию. Для того чтобы лучше разобраться в вопросе, рассмотрим процесс умножения на конкретных примерах.
Пример 1: умножаем число на число
Произведение 2-х значений – это стандартный и наглядный пример арифметической операции в табличном процессоре. В этом примере программа выступает в качестве стандартного калькулятора. Пошаговое руководство выглядит следующим образом:
- Устанавливаем курсор на любую свободную ячейку и выбираем её при помощи нажатия левой кнопки мыши.
- Вводим в неё знак «=», а затем пишем 1-е число.
- Ставим знак произведения в виде звездочки – «*».
- Вводим 2-е число.
- Жмем на клавиатуре клавишу «Enter».
- Готово! В секторе, в котором вы ввели простейшую формулу, отобразился результат умножения.
Важно! В табличном процессоре Эксель при работе с вычислениями действуют те же самые правила приоритета, что и в обычной математике. Иными словами, сначала реализуется деление или произведение, а затем вычитание или умножение.
Когда мы производим запись на бумаге выражения со скобками, знак умножения обычно не пишется. В Экселе же в обязательном порядке всегда ставится знак умножения. К примеру, возьмем значение: 32+28(5+7). В сектор табличного процессора мы записываем это выражение в следующем виде: =32+28*(5+7).
3Кликнув на клавиатуре клавишу «Enter», мы выведем результат в ячейке.
4Пример 2: умножаем ячейку на число
Этот способ работает по тем же правилам, что и вышеописанный пример. Главное отличие – произведение не двух обычный чисел, а умножение числа на значение, находящееся в другой ячейке табличного процессора. К примеру, мы имеем табличку, в которой отображена цена единицы какой-либо продукции. Мы должны высчитать цену при количестве пяти штук. Пошаговое руководство выглядит следующим образом:
- Устанавливаем курсор в том секторе, в котором необходимо произвести умножение. В рассматриваемом примере – это ячейка С2.
- Ставим символ «=».
- Вбиваем адрес той ячейки, в котором находится первое число. В рассматриваемом примере это ячейка В2. Существует два способа указания данной ячейки. Первый – самостоятельный ввод при помощи клавиатуры, а второй – нажатие по этой ячейке, находясь в строке для ввода формул.
- Вводим символ умножения в виде звездочки – «*».
- Вводим число 5.
- Жмем на клавиатуре клавишу «Enter» и получаем итоговый результат вычисления.
Пример 3: умножаем ячейку на ячейку
Представим, что мы имеем табличку с данными, указывающими количество продукции и её цену. Нам необходимо высчитать сумму. Последовательность действий для вычисления суммы практически ничем не отличается от вышеописанного способа. Главное отличие состоит в том, что теперь мы самостоятельно не вводим никаких чисел, а для вычислений используем только данные из ячеек таблицы. Пошаговое руководство выглядит следующим образом:
- Устанавливаем курсор в сектор D2 и нажатием левой кнопки мыши выбираем его.
- Вводим в строку формул следующее выражение: =B2*С2.
- Нажимаем клавишу «Enter» и получаем итоговый результат вычисления.
9Важно! Процедуру произведения можно сочетать с различными арифметическими операциями. Формула может иметь огромное количество вычислений, используемых ячеек и различных числовых значений. Ограничений никаких нет. Главное – внимательно записывать формулы сложных выражений, так как можно запутаться и произвести неверный расчёт.
Пример 4: умножаем столбец на число
Данный пример – продолжение второго примера, который располагается выше в этой статье. Мы уже имеем вычисленный результат умножения числового значения и сектора для ячейки С2. Теперь необходимо высчитать значения в строках, располагающихся ниже, путем растяжения формулы. Разберемся в этом более подробно. Пошаговое руководство выглядит следующим образом:
- Перемещаем курсор мышки на нижний правый угол сектора с выведенным результатом. В данном случае это ячейка С2.
- При наведении курсор превратился в значок, имеющий вид маленького плюса. Зажимаем левую кнопку мыши и перетягиваем его до самой нижней строки таблицы.
- Отпускаем левую кнопку мыши, достигнув последней строки.
- Готово! Мы получили результат произведения значений из столбца В на число 5.
Пример 5: умножаем столбец на столбец
Этот пример является продолжением третьего примера, рассмотренного выше в данной статье. В примере 3 был рассмотрен процесс умножения одного сектора на другой. Алгоритм действий практически ничем не отличается от предыдущего примера. Пошаговое руководство выглядит следующим образом:
- Перемещаем курсор мышки на нижний правый угол сектора с выведенным результатом. В данном случае это ячейка D
- При наведении курсор превратился в значок, имеющий вид маленького плюса. Зажимаем левую кнопку мыши и перетягиваем его до самой нижней строки таблицы.
- Отпускаем левую кнопку мыши, достигнув последней строки.
- Готово! Мы получили результат произведения столбика В на столбик С.
Стоит обратить внимание на то, как работает процесс растягивания формулы, описанный в двух примерах. К примеру, в ячейке С1 находится формула =А1*В1. При перетягивании формулы в нижнюю ячейку С2 она примет вид =А2*В2. Иными словами, координаты ячеек меняются вместе с расположением выведенного результата.
Пример 6: умножаем столбец на ячейку
Разберем процедуру умножения столбца на ячейку. К примеру, необходимо высчитать скидку по перечню продукции, расположенному в столбике В. В секторе Е2 располагается показатель скидки. Пошаговое руководство выглядит следующим образом:
- Первоначально в столбец С2 прописываем формулу произведения сектора В2 на Е2. Формула имеет следующий вид: =В2*Е2.
- Не стоит сразу же кликать на кнопку «Enter», так как на данный момент в формуле применяются относительные ссылки, то есть при процедуре копирования в другие секторы произойдет, рассмотренное ранее, смещение координат (сектор В3 умножится на Е3). В ячейке Е2 располагается значение скидки, а значит этот адрес необходимо зафиксировать при помощи абсолютной ссылки. Для реализации этой процедуры необходимо нажать на клавишу «F4».
- Мы создали абсолютную ссылку, так как теперь в формуле появился значок “$”.
- После создания абсолютных ссылок жмем на клавишу «Enter».
- Теперь, как в вышеописанных примерах, растягиваем формулу на нижние ячейки, используя маркер заполнения.
- Готово! Можно проверить правильность вычислений, заглянув в формулу ячейки С9. Здесь, как и было необходимо, умножение производится на сектор Е2.
Оператор ПРОИЗВЕД
В табличном процессоре Эксель произведение показателей можно реализовать не только при помощи прописывания формул. В редакторе существует особая функция, которая называется ПРОИЗВЕД, реализующая умножение значений. Пошаговое руководство выглядит следующим образом:
- Кликаем на сектор, в котором желаем реализовать подсчеты и щелкаем на элемент «Вставить функцию», располагающийся около строчки для ввода формул.
- На экране отобразилось окошко «Мастер функций». Раскрываем список около надписи «Категория:» и выбираем элемент «Математические». В блоке «Выберите функцию:» находим команду ПРОИЗВЕД, выбираем её и кликаем на кнопку «ОК».
- Открылось окно с аргументами. Здесь можно указать обычные числа, относительные и абсолютные ссылки, а также комбинированные аргументы. Вводить данные можно самостоятельно при помощи ручного ввода или же путём указания ссылок на ячейки, путем нажатия по ним левой кнопкой мыши на рабочем листе.
- Заполняем все аргументы и кликаем на «ОК». В результате мы получили произведение ячеек.
Важно! «Мастер функций» можно не использовать, если пользователь табличного процессора Эксель знает, как вводить формулу для вычисления выражения вручную.
Видео по операциям умножения в Excel
Если вышеописанные инструкции и примеры не помогли вам реализовать умножение в табличном процессоре, то вам может помочь просмотр следующего видеоролика:
В видеозаписи на конкретных примерах рассказывается о нескольких способах умножения в программе, поэтому её стоит просмотреть для того, чтобы наглядно увидеть, как реализуются данные процессы.
Заключение
Реализовать умножение в табличном процессоре Эксель возможно огромным количеством способов. Можно перемножать значение ячеек, умножать число на сектор, использовать относительные и абсолютные ссылки, а также применять математическую функцию ПРОИЗВЕД. Благодаря такому обширному выбору каждый пользователь может подобрать наиболее удобный для себя способ и применять его при работе с данными в табличном процессоре.
Оцените качество статьи. Нам важно ваше мнение:
Прохождение программы курса математики 5–6-х классов за 1,5 учебных года
Математическое образование в нашей стране получают все школьники, начиная с первого года обучения и до последнего. Само собой разумеется, что лишь небольшая часть обучающихся впоследствии станет сама развивать математику. Но применять математические знания и методы станут все. Очень важно, чтобы учащиеся видели прикладные возможности всех разделов математики и почувствовали значение строгих логических рассуждений для всех видов деятельности.
Как же строится школьный курс математики?
В начальной школе дети изучают самый древний раздел науки — арифметику, т.е. основы начального курса математики, получают представления о натуральном числе и нуле, о четырех арифметических действиях с целыми неотрицательными числами и важнейших их свойствах. Также учащиеся на выходе из начальной школы должны уметь решать простейшие уравнения и задачи.
В курсе математики для V-XI кл. с учётом возрастных особенностей выделяются три ступени обучения: V-VI, VII-IX, X-XI классы.
На первой из этих ступеней изучается один предмет математического цикла – «Математика». На следующих ступенях предполагаются два предмета- «Алгебра»и «Геометрия» — в VII-IX классах; «Алгебра и начала анализа» и «Геометрия» — в X-XI классах. В последние годы в школьном курсе появился еще один предмет математического цикла – «Теория вероятностей и математическая статистика».
Главная цель изучения курса «Математика» в V-VI классах — это подготовка учащихся к изучению систематических курсов алгебры и геометрии.
В ходе изучения курса учащиеся развивают навыки вычислений с натуральными числами, овладевают навыками действий с обыкновенными и десятичными дробями, с положительными и отрицательными числами, знакомятся с буквенными выражениями, учатся составлять по условию текстовой задачи несложные линейные уравнения и решать их.
Следует отметить, что в V классе слишком много времени уделяется (по стандартной программе) повторению изученного в начальной школе.
Чтобы преодолеть такое положение вещей, делаются различные попытки, одной из которых является разработанная Г.Г. Левитасом переходная программа. Она рассчитана на изучение курса V-VI классов за один учебный год при пяти часах математики в неделю. Изучение этой программы предложено вести по учебникам Н.Я. Виленкина. При этом в течении каждой четверти программа строится из расчёта один пятиурочный цикл в неделю.
- I четверть — изучение десятичных дробей, начало работы над решением текстовых задач и над процентами.
- II четверть — изучение обыкновенных дробей, повторение десятичных дробей, продолжение работы над текстовыми задачами и процентами.
- III четверть — изучение рациональных чисел, повторение десятичных и обыкновенных дробей, завершение работы над текстовыми задачами и процентами.
- IV четверть — введение в геометрию и повторение всего пройденного в I-III четвертях.
Нами было разработано планирование, рассчитанное на изучение математики в V кл. при четырёх часах в неделю, а в VI кл. при пяти часах в неделю. В пятом классе пятый час в неделю может быть использован учителем на свое усмотрение. В зависимости от уровня математической подготовки учащихся, им могут быть предложены задания развивающего характера или задания на ликвидацию пробелов по изучаемой теме. Программа рассчитана на изучение материала V-VI классов за 1,5 учебных года, и поэтому в VI классе со II полугодия необходимо приступать к изучению материала VII класса.
В рамках V класса изучаются следующие темы: натуральные числа (повторение изученного в начальной школе), обыкновенные и десятичные дроби.
В VI классе: отрицательные и положительные числа, пропорции и проценты, решение уравнений и координатная плоскость.
5 КЛАССI четверть — посвящена целиком повторению изученного в начальнойшколе: действия с натуральными числами, свойства действий, решение уравнений и текстовых задач.
II четверть — традиционно изучаются обыкновенные дроби. Но на нашвзгляд, детям легче изучать десятичные дроби, нежели обыкновенные дроби сразу после натуральных чисел. Ведь сложение, вычитание и сравнение десятичных дробей аналогично действиям с натуральными числами — по разрядам! И так, за II четверть полностью изучаются десятичные дроби (за исключением темы «Проценты»).
III четверть — начинается с изучения новой темы «Обыкновенные дроби». Учащиеся полностью изучают сравнение, сложение и вычитание обыкновенных дробей, сокращение дробей, работу с координатным лучом, а также умножение и деление обыкновенных дробей.
IV четверть — начинается с изучения следующих тем: смешанные числа, задачи на дроби, решение уравнений (нахождение неизвестных множителей, делимого и делителя). Далее изучаются проценты, учащиеся решают текстовые задачи на проценты и на составление уравнений. После прохождения всех выше перечисленных тем, начинается заключительный этап учебного процесса по математике, а именно обобщение всего изученного и подведение итогов за год.
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА» В 5-КЛАССЕ (ПО ЧЕТВЕРТЯМ).
I четверть 9*4 ч.=З6 ч.
№ уроков | Содержание | Кол-во уроков |
1-12 | Действия с натуральными числами. | 12 |
13-16 | Свойства действий с натуральными числами. | 4 |
17-20 | Решение уравнений. | 4 |
21-30 | Решение задач (типа «во ск.», «на ск.», больше-меньше; «на», «в», на движение). | 10 |
31 | Подготовка к контрольной работе. | 1 |
32 | Контрольная работа №1 | 1 |
33-36 | Десятичная система исчисления, меры длины. | 4 |
II четверть 7*4 ч.=28 ч.
№ уроков | Содержание | Кол-во уроков |
36-39 | Что такое десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей. | 4 |
40-43 | Сложение и вычитание десятичных дробей. | 4 |
44-46 | Решение уравнений. | 3 |
47 | Подготовка к контрольной работе. | 1 |
48 | Контрольная работа № 2. | 1 |
49-52 | Умножение десятичных дробей. | 4 |
53-56 | Деление десятичных дробей. | 4 |
57-59 | Решение уравнений. | 3 |
60 | Подготовка к контрольной работе. | 1 |
61 | Контрольная работа № 3. | 1 |
62-63 | Округление десятичных дробей. Прикидка | 2 |
III четверть 10*4 ч.=40 ч.
№ уроков | Содержание | Кол-во уроков |
64-66 | Обыкновенная дробь. Сравнение на луче. | 3 |
67-68 | Правильные и неправильные дроби. Сравнение с 1. | 2 |
69-72 | Признаки делимости. Разложение на простые множители. НОД. | 4 |
73-76 | Основное свойство. Сокращение дробей. | 4 |
77-80 | Сложение, вычитание и сравнение дробей с одинаковыми знаменателями. | 4 |
81 | Подготовка к контрольной работе. | 1 |
82 | Контрольная работа №4. | 1 |
83-86 | НОК. Приведение к общему знаменателю. | 4 |
87-90 | Сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. | 4 |
91-93 | Решение уравнений. | 3 |
94 | Подготовка к контрольной работе. | 1 |
95 | Контрольная работа №5. | 1 |
96-99 | Умножение обыкновенных дробей. | 4 |
100-104 | Деление обыкновенных дробей. | 4 |
IV четверть 8*4 ч.=32ч.
№ уроков | Содержание | Кол-во уроков |
105-107 | Решение уравнений. | 3 |
108 | Подготовка к контрольной работе. | 1 |
109 | Контрольная работа №6. | 1 |
110-113 | Смешанные числа. | 4 |
114-117 | Три задачи на дроби. | 4 |
118-121 | Решение текстовых задач (составление уравнений, проценты). | 4 |
122 | Подготовка к контрольной работе. | 1 |
123 | Контрольная работа №7. | 1 |
124-127 | Все действия обыкновенными и десятичными дробями. | 4 |
128-134 | Повторение. Итоговая контрольная работа. | 7 |
Из программы 6 класса осталось пройти следующие темы: «Положительные и отрицательные числа», «Решение уравнений», «Координатная плоскость», «Пропорция».
За I четверть изучаются положительные и отрицательные числа, координатная плоскость. Первые уроки четверти посвящаются повторению пройденного в 5 классе.
II четверть начинается с изучения темы: «Решение уравнений», а затем до конца четверти учащиеся занимаются нахождением неизвестного члена пропорции и решают задачи на прямую и обратную пропорциональную зависимость.
С окончанием II четверти заканчивается изучение материала 6-го класса.
ПРИМЕРНОЕ ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА ПО КУРСУ «МАТЕМАТИКА» В 6-КЛАССЕ НА I — II четверти.
I четверть 9*5 ч.=45 ч.
№ уроков | Содержание | Кол-во уроков |
1-3 | Натуральные числа. | 3 |
4-6 | Десятичные дроби. | 3 |
7-9 | Обыкновенные дроби. | 3 |
10-12 | Совместимые действия. | 3 |
13 | Подготовка к контрольной работе. | 1 |
14 | Контрольная работа №1. | 1 |
15-18 | Положительные и отрицательные числа. | 4 |
19-22 | Координатная плоскость. | 4 |
23-26 | Модуль числа. | 4 |
27-30 | Сложение рациональных чисел. | 4 |
31-34 | Вычитание рациональных чисел. | 4 |
35-38 | Умножение рациональных чисел. Законы умножения. Деление. | 4 |
39-42 | Задачи на все действия. | 4 |
43 | Подготовка к контрольной работе. | 1 |
44 | Контрольная работа №2. | 1 |
45 | Анализ контрольной работы. | 1 |
II четверть 7*5ч.=35ч.
№ уроков | Содержание | Кол-во уроков |
46-49 | Раскрытие скобок. | 4 |
50-51 | Коэффициент. | 2 |
52-55 | Приведение подобных слагаемых. | 4 |
56-59 | Решение уравнений. | 4 |
60 | Подготовка к контрольной работе. | 1 |
61 | Контрольная работа №3. | 1 |
62-65 | Отношения. | 4 |
66-69 | Пропорция. Основное свойство пропорции. | 4 |
70-73 | Нахождение неизвестного члена пропорции. | 4 |
74-77 | Прямая и обратная пропорциональная зависимость. | 4 |
78 | Подготовка к контрольной работе. | 1 |
79 | Контрольная работа №4. | 1 |
80 | Анализ контрольной работы. | 1 |
«Властелин колец. Кольца власти». Каким получился рекордно дорогой сериал
Сериалы
02 сентября, 12:34
. Проект Amazon, в котором эльфы еще очень молодыОбновлено 02 сентября 2022, 15:33
Amazon Prime Video
Второго сентября на Amazon Prime Video состоялась премьера сериала «Властелин колец. Кольца власти» по легендариуму Дж. Р. Р. Толкина. Вышли два эпизода — «Призраки прошлого» и «По течению». Последующие шесть будут выходить раз в неделю. Первый сезон сняли за $715 млн — бюджет, эквивалентный сумме 5 млн подписок на сервис, больше чем в два раза превышающий сумму, выложенную Amazon за права на франшизу «Властелин колец». Каждый эпизод обошелся в $89 млн — это в три раза больше, чем стоит одна серия «Очень странных дел», абсолютного хита конкурентной платформы Netflix.
Но о «Кольцах власти» хочется поговорить не только с позиции денег.
О чем сериал
Действие происходит во Вторую эпоху Средиземья — за тысячелетия до «Братства кольца», Гэндальфа, хоббитов и Леголаса, которые всем хорошо знакомы благодаря трилогиям «Властелин колец» и «Хоббит» Питера Джексона.
Юная (всего пару веков от роду) Галадриэль (Морфидд Кларк) ведет свой отряд к Северным пустошам — туда, где был замечен последний след Саурона, лейтенанта армии Мелькора Моргота. Это главный антагонист всей истории — Толкин называл его аналогом христианского Сатаны. В битвах с его орками погибли тысячи эльфов, в том числе Финрод — брат Галадриэль, пытавшийся выследить Саурона. Подхватив эстафету, будущая владычица эльфов упрямо преследует цель. Ее отряд путает предчувствие командира о недремлющем, но затаившемся зле с ее личным желанием мести.
Верховный король эльфов Гиль-Галад (Бенджамин Уокер) и слушать не хочет о продолжении поисков и в награду за службу отправляет воительницу вместе с ее воинами на родину — в Валинор. Помня о своем долге и своей клятве, Галадриэль отвергает эту награду.
Amazon Prime Video
И не зря. Ее предчувствие буквально уводит почву из-под ног у людей в южных землях, которые не одно десятилетие охраняют эльфы, делая это без должной бдительности. Только лесной эльф Арондир (Исмаэль Крус Кордова) из-за особенной связи с людьми (конечно же, романтической) способен заметить угрозу, которая уже явилась на порог. Точнее, под порог.
В это время над Средиземьем зловещим знамением пролетает метеорит и падает в окрестностях временного пристанища кочевого племени мохноногов (далеких предков хоббитов Бильбо и Фродо Бэггинсов). Любопытная Нори находит на месте катастрофы Странника. Кто он — пока загадка. Фанаты подозревают, что это майар, как и Гэндальф.
Amazon Prime Video
Как это снято
Уже упомянутый выше бюджет восьмисерийного проекта позволил авторам развернуться на полную мощность. Грандиозный визуал, достойный больших экранов, реквизит, оформленный с душой и мастерством, постановка, проделанная благоговейно и тщательно, словно над сериалом работали сами эльфы несколько тысячелетий. Производству сыграла на руку пандемия: прервав съемки в марте 2020 года, команда использовала простой для доработки реквизита и сценария. Шутка об эльфийской тщательности имеет под собой основания.
Amazon Prime Video
С первых минут экспозиция «Колец» настраивает на молчаливое внимание: будто перед глазами разворачиваются документальные хроники реальных исторических событий. Дж. Р. Р. Толкин так и относился к своему творению — с почтением летописца, и создателям многомиллионного проекта удалось передать авторское отношение. Сериалу оставили незамутненную сказочность и одухотворенность эпоса, не осмелившись низвести их до примитивного реализма. Так что на фоне «Колец власти» признанная глотком свежего воздуха в фэнтезийном мире «Игра престолов» (вышедшая из наследия Толкина, к слову) смотрится любительской забавой жестоких детей.
Съемки проходили только в Новой Зеландии, но сериал изобилует локациями и героями — как в фильмах 2000-х, если умножить в десять раз. Первая, Валинор, открывает повествование, ослепляя великолепием и поспешно уводя во вторую — Средиземье. Оно будет показано во всех подробностях. Чтобы зритель не заплутал, камера периодически пролетает над картой континента, а важные для сюжета места обозначаются надписями на экране. Есть шанс запомнить эту географию к середине сезона.
Amazon Prime Video
Кто это снял и кто снялся
Адаптацию материалов Толкина доверили начинающим шоураннерам Патрику Маккею и Джону Д. Пейну, и они пошли сразу с козырей, напомнив о «Властелине колец» Джексона — открывает сериал Галадриэль. Эльфийка рассказывает трагическую историю противостояния ее народа с Мелькором, настраивая на серьезный лад. Постановка режиссера Хуана Антонио Байоны закрепляет пафос, демонстрируя сразу несколько эпичных кадров (особенно внимательные уже заметили отсылку к «Апофеозу войны» Верещагина в промоматериалах). Всем, у кого есть большой телевизор, Amazon устроил настоящий кинотеатральный праздник.
Amazon Prime Video
Величественная картина подкреплена музыкально: за это отвечали Говард Шор (композитор «Властелина колец» и «Хоббита») и Беар Маккрири («Звездный крейсер Галактика»). Шору досталась основная заглавная тема, Маккрири — остальные партии, над которыми он работал два месяца, получив девятичасовое произведение для восьми эпизодов. В музыку эльфов зашли «эфирные» голоса, к мохноногам — звуки природы, у гномов превалирует мужской бас, у нуменорцев (людей) — ближневосточные мотивы. Записывались все фрагменты с оркестром из 90 человек и хором из 40 в легендарной Abbey Road Studios в Лондоне, с песенными партиями на языке эльфов, синдарине. 21 июля 2020 года синглы «Галадриэль» и «Саурон» появились на Amazon Music, а после состоялся полноценный релиз саундтрека (выйдет на виниле 13 января 2023 года).
Amazon Prime Video
В актерском составе, помимо британской актрисы Морфид Кларк («Спасительница»), исполняющей роль молодой Галадриэли, и Роберта Арамайо, играющего амбициозного королевского спичрайтера Элронда, много свежих лиц.
Маркелла Кавена в роли неугомонной Нори сразу напоминает о Фродо, но сохраняет при этом свою индивидуальность; Назанин Бониади и Тайро Мухафидин, играющие мать и сына из людской деревни, воплощают двойственность человеческой натуры, которую так боятся и презирают эльфы. Отдельного внимания заслуживают гномы из Кхазад-Дуна — принцессу Дису воплотила британская телевизионная актриса София Номвете, ее мужа Дурина — Овайн Артур с огромным накладным носом в обрамлении огненно-рыжих волос. Контрастная пара источает гармонию семейного очага, разбавляя общий величественный пафос.
Amazon Prime Video
К слову, появление темнокожей гномьей женщины на постерах «Колец власти» вызвало негативную реакцию в соцсетях, как и появление других темнокожих актеров в тизере и трейлере. Недовольных было так много, что продюсерам пришлось выступить с заявлением: «Толкин писал для всех. Он рассказывал о вымышленных народах и расах, представители которых объединяются ради общего дела, когда покидают отчий дом и знакомятся с другими культурами».
Плюсы, минусы, подводные камни…
Сериал, вопреки опасению фанатов, усмотревших в трейлерах неудовлетворительную графику и несоответствие канону, стартовал вполне достойно. Оценка на Metacritic — 71 балл, на IMDb пока 6,6. Кинокритики преимущественно в восторге, в отличие от зрителей (и особенно почитателей сочинений Толкина).
Два первых эпизода сосредоточены в основном на эльфах — народе, томящемся на чужбине и мечтающем вернуться в Бессмертные земли. Пребывание в Средиземье для них — долг и служба, которые приходится блюсти веками; Валинор же — высшая награда, что становится все желаннее со временем и постепенно отвращает от миссии. Эльфы заблуждаются и закрывают глаза на признаки надвигающегося зла, пребывая в уверенности, что в Средиземье надолго воцарилось благоденствие. В этом «Кольца» входят в контраст с оригинальной трилогией, где их эльфы (в том числе Элронд) были изображены глубокомысленными и расчетливыми, наученными горьким опытом.
Amazon Prime Video
«Кольца власти» дают иной взгляд на обожествленную Толкином расу, приземляя ее ранним возрастом. Вторая эпоха лишь предшествует грядущим потрясениям, к которым эльфы вынуждены подготовиться. А для этого им придется «повзрослеть» и отринуть назойливое желание вернуться домой. Возможно, вместе с ними удастся повзрослеть и этому сериалу.
Поделиться
Материалы к статье
Авторы
Теги
Елена Фомина
Вас может заинтересовать
В трейлере сериала «Властелин колец» показали Средиземье и чудовищ
Новости
Женщины-гномы будут носить бороды в новом «Властелине колец»
Новости
Законы экспонентов
Экспоненты также называются Степени или Индексы
Показатель степени числа говорит , сколько раз нужно использовать число при умножении .
В этом примере: 8 2 = 8 × 8 = 64
Прописью: 8 2 можно назвать «8 во второй степени», «8 во второй степени» или просто «8 в квадрате»
Попробуйте сами:
изображения/экспонента-calc.js
Таким образом, экспонента избавляет нас от записи большого количества умножений!
Пример: a
7a 7 = a × a × a × a × a × a × a = aaaaaaa
Обратите внимание, как мы написали буквы вместе, чтобы означать умножение? Мы будем делать это много здесь.
Пример: x
6 = xxxxxxКлюч к законам
Написание всех букв — ключ к пониманию Законов
Пример: x
2 x 3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x 5 Что показывает, что x 2 x 3 = x9 5, но больше, что 9 на9 = x 9 5 потом! Итак, если вы сомневаетесь, просто не забудьте записать все буквы (столько, сколько вам говорит показатель степени) и посмотреть, сможете ли вы понять это. «Законы экспонентов» (также называемые «Правилами экспонентов») исходят из три идеи : Если вы их понимаете, то понимаете и экспоненты! И все законы ниже основаны на этих идеях. Вот законы
(пояснения следуют): Все, что вам нужно знать…
Показатель степени говорит сколько раз использовать число в умножении . Отрицательный показатель степени означает, что делят , потому что деление противоположно умножению. Дробная экспонента, такая как 1/n , означает, что извлекает корень n-й степени : х ( 1 п ) =
п√х Законы экспонентов
Право Пример х 1 = х 6 1 = 6 х 0 = 1 7 0 = 1 х -1 = 1/х 4 -1 = 1/4 х м х п = х м+п х 2 х 3 = х 2+3 = х 5 x м /x n = x м-n x 6 /x 2 = x 6-2 = x 4 (х м ) н = х мн (х 2 ) 3 = х 2×3 = х 6 (ху) н = х н у н (ху) 3 = х 3 у 3 (x/y) n = x n /y n (х/у) 2 = х 2 / у 2 x -n = 1/x n х -3 = 1/х 3 И закон о дробных показателях: х м/н =
n√x м
=
(n√x) м х 2/3 =
3√х 2
=
(3√x) 2
Объяснение законов
Первые три вышеприведенных закона (x 1 = x, x 0 = 1 и x -1 = 1/x) являются лишь частью естественной последовательности показателей степени. Взгляните на это:
Пример: Степени числа 5 | |||
---|---|---|---|
.. и т.д.. | |||
5 2 | 1 × 5 × 5 | 25 | |
5 1 | 1 × 5 | 5 | |
5 0 | 1 | 1 | |
5 -1 | 1 ÷ 5 | 0,2 | |
5 -2 | 1 ÷ 5 ÷ 5 | 0,04 | |
.. и т.д.. |
Некоторое время посмотрите на эту таблицу. .. обратите внимание, что положительный, нулевой или отрицательный показатель степени на самом деле являются частью одного и того же шаблона, то есть в 5 раз больше (или в 5 раз меньше) в зависимости от того, увеличивается (или уменьшается) показатель степени.
Закон о том, что x
m x n = x m+nС x m x n , сколько раз мы в итоге умножаем «x»? Ответ: сначала «m» раз, затем еще «n» раз, всего «m+n» раз.
Пример: x
2 x 3 = (xx)(xxx) = xxxxx = x 5Итак, x 2 x 3 = x = x (2+19) 900
Закон, который х
м /х н = х м-нКак и в предыдущем примере, сколько раз нам нужно умножить «x»? Ответ: «m» раз, тогда уменьшите это в «n» раз (потому что мы делим), итого в «m-n» раз.
Пример: х
4 /х 2 = (хххх) / (хх) = хх = х 2Итак, х 4 /х 2 = х 9 (01-2) х 2
(Помните, что х / x = 1, так что каждый раз, когда вы видите x «над чертой» и одну «ниже черты», вы можете отменить их. )
Этот закон также может показать вам, почему x 0 = 1 :
Пример: x
2 /x 2 = x 2-2 = x 0 =1 7 7 7Закон того, что (x
m ) n = x mnСначала вы умножаете «m» раз. Тогда у вас есть сделать это «n» раз , всего m×n раз.
Пример: (x
3 ) 4 = (xxx) 4 = (xxx)(xxx)(xxx)(xxx) = xxxxxxxxxxxx = x 12Итак, (x 3 ) 9 = х 3×4 = х 12
Закон того, что (xy)
n = x n y nЧтобы показать, как это работает, просто подумайте о перестановке всех «x» и «y», как в этом примере:
Пример: (ху)
3 = (xy)(xy)(xy) = xyxyxy = xxxyyy = (xxx)(yyy) = x 3 y 3Закон о том, что (x/y)
n = x n /y nАналогично предыдущему примеру, просто переставьте «x» и «y»
Пример: (x/y)
3 = (x/y)(x/y)(x/y) = (xxx)/(yyy) = x 3 /y 3Закон, который х
м/н = п√х м знак равно (п√х) мХорошо, это немного сложнее!
Я предлагаю вам сначала прочитать дробные экспоненты, так это имеет больше смысла.
В любом случае, важная идея заключается в том, что:
x 1/ n = n--й корень из x
Таким образом, дробная экспонента, такая как 4 3/2 , на самом деле говорит о том, что нужно сделать куб (3) и квадратный корень из (1/2) в любом порядке.
Просто запомните из дробей, что м/н = м × (1/н) :
Пример: x
( м n ) = x (м × 1 n ) = (x м ) 1/n = n√x мПорядок не имеет значения, поэтому он работает и для m/n = (1/n) × m :
Пример: x
( м n ) = х ( 1 п × м) = (x 1/n ) м = (n√x) мЭкспоненты экспонентов .
..Что насчет этого примера?
4 3 2
Мы делаем показатель степени в top first , поэтому мы вычисляем его следующим образом:
Начните с: | 4 3 2 | |
3 2 = 3×3: | 4 9 | |
4 9 = 4×4×4×4×4×4×4×4×4: | 262144 |
Вот и все!
Если вам сложно запомнить все эти правила, то запомните это:
, вы сможете понять их, когда поймете
три идеи в верхней части этой страницы:
- Показатель степени говорит сколько раз использовать число при умножении
- A отрицательный показатель степени означает деление
- Дробная экспонента, такая как 1/n , означает, что берет корень n-й степени : х ( 1 п ) = п√х
О, еще кое-что.
.. Что, если x = 0?Положительный показатель степени (n>0) | 0 п = 0 | |
Отрицательная экспонента (n<0) | 0 -n равно undefined (поскольку деление на 0 не определено) | |
Показатель степени = 0 | 0 0 … ммм … см. ниже! |
Странная история 0
0Существуют разные аргументы в пользу правильного значения 0 0
0 0 может быть 1 или, возможно, 0, поэтому некоторые люди говорят, что это действительно «неопределенно»:
х 0 = 1, значит… | 0 0 = 1 |
0 n = 0, значит. .. | 0 0 = 0 |
Если есть сомнения… | 0 0 = «неопределенный» |
323, 2215, 2306, 324, 2216, 2307, 371, 2217, 2308, 2309
«В X раз больше, чем» против «В X раз больше, чем»
Что касается сочетания математики и английского языка, математические фразы, выраженные словами, иногда могут сбивать с толку. Мы неизбежно путаем их значения или даже то, что они подразумевают. Мол, сказать «x столько раз, сколько» — это то же самое, что сказать «x раз больше, чем?» Давайте посмотрим!
Разница между «Х раз больше, чем» и «Х раз больше, чем»
Основное различие между «Х раз больше, чем» и «Х раз больше, чем» заключается в том, что «Х раз больше, чем» соотношение, в то время как последнее указывает на разницу. «Больше чем» означает прибавление к основанию, а «столько же» означает умножение основания на х.
Чтобы лучше понять разницу между двумя фразами, давайте сначала погрузимся в математические термины. Мы говорим, что «х раз больше, чем» — это отношение. Соотношение показывает отношение между двумя суммами. Допустим, предложение звучит так: «У Дерека в 5 раз больше яблок, чем у Джейми». Здесь мы рассматриваем Джейми как основу, а у Дерека предположительно в 5 раз больше, чем базы.
Это создает соотношение между Дереком и Джейми 5:1. Теперь предположим, что у Джейми есть 3 яблока. Чтобы следовать соотношению 5:1, мы умножаем 3 на 5, что дает нам сумму 15:3. Это означает, что у Дерека 15 яблок, когда у Джейми 3 яблока.
С другой стороны, мы говорим, что «Х раз больше, чем» — это разница между двумя величинами. Разница в математике — это результат вычитания двух чисел, в данном случае вычитания меньшего количества из большего. Следуя предыдущему предложению, если «У Дерека в 5 раз больше яблок, чем у Джейми», это означает, что разница между яблоками Дерека и яблоками Джейми должна быть в 5 раз больше, чем яблок у Джейми.
Допустим, у Джейми есть 3 яблока. 5 умножить на 3 будет 15. Прибавляем 15 к основанию 3 и получаем 18. Следовательно, у Дерека 18 яблок. Если мы посчитаем, 18 минус 3 будет 15, что в 5 раз больше, чем яблок у Джейми. Это означает, что если у Дерека яблок в 5 раз больше, чем у Джейми, у Дерека 18 яблок, а у Джейми 3.
Посмотреть видео: Только 1 процент от …
Пожалуйста, включите JavaScript
Посмотреть видео: Только 1 процент наших посетителей правильно ответили на эти 3 грамматических вопроса…
Являются ли «Х раз больше, чем» и «Х раз больше, чем» взаимозаменяемыми?
«В X раз больше, чем» и «В X раз больше, чем» означают две совершенно разные вещи. «Х раз больше, чем» говорит о соотношениях, в которых мы просто умножаем основание, в то время как последнее означает добавление произведения к основанию. Таким образом, в любом данном контексте эти две фразы не являются взаимозаменяемыми.
В X раз больше, чем
«Х раз больше, чем» означает, что у человека есть столько, сколько основание умножается на x. Например, если фраза звучит так: «У Брента в 5 раз больше, чем у Джулии», если у Джулии их 4, количество Джулии является базовым, а количество Брента равно 4, умноженным на 5 или 20.
Ниже приведены примеры употребления фразы «Х раз больше, чем» в предложении.
- Я видел, как Итан взял 3 конфеты, а Лия взяла в 4 раза больше, чем Итан.
- Это означает, что у Итана 3 конфеты, а у Лии (4 x 3 = 12) 12 конфет.
- Я купил только две новые пары обуви, а ты купил в два раза больше, чем я.
- Это означает, что «я» купил 2 пары, а «вы» купили (2 x 2 = 4) 4 пары.
- Я упаковал только 3 рубашки, но Рикки упаковал в 2 раза больше, чем я.
- Это означает, что «Я» упаковал 3 рубашки, а Итан упаковал (3 x 2 = 6) 6 футболок.
- Можешь одолжить мне запасной? У меня всего одна маска, а у тебя их в 5 раз больше, чем у меня.
- Это означает, что у меня есть только один очки, а у вас есть (1 x 5 = 5) 5 очков.
- Шейн сэкономила в 5 раз больше, чем сбережения Брианны, которые составили 300 долларов.
- Это означает, что Брианна сэкономила до 300 долларов, а Шейн сэкономила до (300 х 5 = 1500) 1500 долларов.
X раз больше, чем
«X раз больше, чем» означает прибавление основания в x раз к основанию. Например, если фраза звучит так: «У меня в 3 раза больше, чем у вас», если изначально у меня было 4, у вас будет 3 умножить на 4, добавленное к основанию 4, что станет 3 × 4 = 12 + 4 = 16.
Ниже приведены примеры употребления фразы «Х раз больше, чем» в предложении.
- У меня в 3 раза больше красных шариков, чем у Жанны, у которой всего 6.
- Это означает, что у Жанны 6 шариков, а у меня (6 x 3 = 18 + 6 = 24) 24 красных шарика.
- Она не спала в 4 раза больше часов, чем Ри, которая не спала всего 2 часа.
- Это означает, что Ри не спала 2 часа, в то время как «она» не спала tor (2 x 4 = 8 + 2 = 10) 10 часов.
- Я перепроверял свои ответы в 3 раза чаще, чем вы, потому что вы перепроверяли только один раз.
- Это означает, что «вы» перепроверили один раз, а я перепроверил (1 x 3 = 3 + 1 = 4) 4 раза.
- У нашей семьи теперь в 2 раза больше долга, чем в прошлом году, который составлял всего 10 000 долларов.
- Это означает, что в прошлом году у семьи был долг в 10 000 долларов, а в этом году у семьи теперь есть (10 000 x 2 = 20 000 + 10 000 = 30 000) долг в 30 000 долларов.
- У Трины в четыре раза больше пар обуви, чем у меня, у которого всего три пары.
- Это означает, что у меня три пары, а у Трины (3 x 4 = 12 + 3 = 15) 15 пар.
Что чаще всего используется?
Согласно Google Ngram Viewer , «в разы больше, чем» используется чаще, чем «в разы больше, чем». Вероятно, это связано с тем, что существует больше ситуаций, требующих сравнения, например, в «раз больше, чем». а не соотношения, как в «кратном увеличении» 9.0134
Заключительные мысли
«В Х раз больше, чем» и «Х раз больше, чем» — две совершенно разные вещи. «В Х раз больше, чем» — это просто отношение, которое умножает х на основание, тогда как последнее — это разность, которая прибавляет произведение х и основания к основанию.
1 | Найдите производную — d/dx | натуральное бревно х | 92) | |
21 | Оценить интеграл | интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x | ||
22 | Найдите производную — d/dx | грех(2x) | ||
23 | Найдите производную — d/dx | 9(3x) по отношению к x|||
41 | Оценить интеграл | интеграл от cos(2x) по x | ||
42 | Найдите производную — d/dx | 1/(корень квадратный из х) | ||
43 | Оценка интеграла 9бесконечность | |||
45 | Найдите производную — d/dx | х/2 | ||
46 | Найдите производную — d/dx | -cos(x) | ||
47 | Найдите производную — d/dx | грех(3x) | 92+1||
68 | Оценить интеграл | интеграл от sin(x) по x | ||
69 | Найдите производную — d/dx | угловой синус(х) | ||
70 | Оценить предел | предел, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х | ||
85 | Найдите производную — d/dx | лог х | ||
86 | Найдите производную — d/dx | арктан(х) | ||
87 | Найдите производную — d/dx | бревно натуральное 5х92 |
Как интерпретировать и рассчитать статистику «в X раз больше вероятности» | Лиза Чен
У курящих людей вероятность заболеть раком легких в 15–30 раз выше. Чернокожие мужчины и женщины в 1,9 раза чаще умирают от причин, связанных с COVID-19, чем их белые коллеги.
Скорее всего, вы видели одно из этих утверждений «x раз более вероятно» в заголовке или в газетной статье. Хотя многие из этих цифр хорошо изучены и информативны, определенно есть источники, которые используют отношения шансов для сенсации и нагнетания страха (например, это то, где вам 19 лет).В разы больше шансов заразиться коронавирусом 🙄). Сегодня я дам вам краткий обзор того, что представляют собой эти статистические данные, как их рассчитать, как их интерпретировать, а также расскажу о некоторых недостатках.
Эти статистические данные называются отношениями правдоподобия , и они часто используются для описания того, как определенные группы населения более или менее вероятно испытают что-либо. Некоторые преимущества отношения шансов заключаются в том, что они легко интерпретируются широкой аудиторией (т. -курильщики).
Отношение шансов иногда путают с вероятностью (например, у 10–15% курильщиков диагностируют рак легких), но это не одно и то же. Отношения шансов показывают, насколько одно событие более или менее вероятно, чем другое, а вероятность показывает, насколько вероятно событие из всех возможных исходов.
Чтобы продемонстрировать разницу, я воспользуюсь опросом YouGov, в котором приняли участие более 6500 респондентов, чтобы понять вероятность того, что американцы поверят A американцу D ream i s O btainable (A.D.i.O) для большинства жителей США.
Джек никогда не отпускал, и теперь он Джей Гэтсби #upwardMobility. Изображение из PinterestАмериканская мечта — это вера в то, что любой американец может добиться успеха и карьерного роста благодаря упорному труду и самоотверженности, независимо от расы, социального класса или религии. Это одна из основополагающих концепций Америки и тема одной из моих любимых книг — «Великий Гэтсби»!
Изображение автора.Вероятность того, что респондент думает A.D.i.O, равна Общее количество возможных ответов / Все ответы или (1383 + 1911) / 6588. Получается 51%, что означает, что примерно 1 из 2 американцев думает A.D.i.O.
Вероятность того, что респондент думает, что A.D.i.O по сравнению с тем, что его невозможно получить, составляет Общее количество достижимых ответов / общее количество недостижимых ответов или (1383 + 1911) / (1318 + 1054 + 527). Получается 1,13, что означает, что американцы скорее склонны думать A.D.i.O, чем нет.
Общая формула для расчета отношения шансов: Событий A / Событий B.
В приведенном выше примере у меня была только одна группа при расчете отношения шансов (все респонденты). Тем не менее, эти отношения лучше всего использовать при изучении влияния переменной на две разные группы. Данные опроса также зафиксировали политическую принадлежность респондента, поэтому я проверю, есть ли какие-либо изменения в отношении шансов после группировки ответов по демократам и республиканцам.
Тот же набор данных, что и выше, но на этот раз сгруппированный по политической принадлежности. Отказ от ответственности: в наборе данных не было необработанного количества ответов по сторонам, поэтому я буду использовать процент ответов для своих расчетов. Цифры не дают в сумме 100%, потому что я удалил ответы «Не знаю». Изображение автора.Первым шагом является расчет отношения шансов для демократов. Используя общую формулу Событий A / Событий B, , я получаю 0,38 / 0,57 = 0,66. Это можно интерпретировать так: на каждые 66 демократов, которые верят ADIO, приходится 100 неверующих. Судя по результатам опроса, демократы на самом деле с большей вероятностью считают, что американской мечте 9 лет.0133 недоступен для большинства жителей США.
Это только половина уравнения, и теперь мы повторяем процесс для ответов республиканцев. Используя ту же формулу, я получаю 0,79 / 0,17 = 4,64. Это довольно значительное соотношение шансов — на каждые 464 республиканца, которые верят в A.D.i.O, приходится 100 неверующих.
Последним шагом является сравнение этих коэффициентов друг с другом, потому что сейчас оба они были рассчитаны в рамках одной и той же группы (т. е. всех ответов республиканцев или демократов). Это можно сделать, получив отношение шансов республиканцев к шансам демократов, которое составляет 4,6/0,66 (6,9).6).
Изображение автора.Это означает, что республиканцы примерно в 7 раз чаще верят в американскую мечту, чем демократы, и в 4,6 раза чаще верят в американскую мечту, чем не верят.
Было бы интересно, если бы лонгитюдные данные для этого опроса были доступны, чтобы мы могли исследовать, является ли этот раскол в поддержку американской мечты недавним явлением или чем-то, что с каждым годом становится все более поляризующим.
Отношение шансов 1 или близкое к 1 означает, что ни одно событие не является более или менее вероятным, чем другое, и исследуемая переменная (например, политическая принадлежность) не имеет отношения к событию (вера в американскую мечту).
Отношение шансов больше 1 означает, что событие A более вероятно, чем событие B, и переменная, вероятно, коррелирует с событием. Тем не менее, статистическая значимость еще нуждается в проверке.
Отношение шансов меньше 1 означает, что событие А менее вероятно, чем событие В, и переменная, вероятно, коррелирует с событием. Тем не менее, статистическая значимость еще нуждается в проверке.
Предостережение при интерпретации этих соотношений заключается в том, что нельзя напрямую умножать шансы на вероятность . В нашем примере республиканцы в 6,96 раз чаще верят A.D.i.O. Вы не можете умножить процент демократов, верящих A.D.i.O (38%), на 6,96, чтобы получить процент республиканцев, верящих A.D.i.O (это приведет к 264%, что не имеет смысла). Это связано с тем, что 6,96 относится к тому, насколько шансы одного события лучше, чем шансы другого события, а не к вероятности того, что одно событие произойдет вместо другого. Упоминать об этом может показаться странным, но были случаи, когда престижные газеты неверно сообщали об отношениях шансов как о вероятностях, а позже вынуждены были отозвать свои статьи с пояснениями!
Еще один недостаток, о котором я кратко упомянул в начале этой статьи, заключается в том, что отношение шансов подвержено сенсационности. В частности, когда частота исследуемого события низка, отношение шансов может ввести вас в заблуждение, заставив поверить в то, что вероятность редкого события более распространена, чем это есть на самом деле. В моем вымышленном примере ниже шансы выпить японский йогурт и получить сверхспособности в 3 раза выше, чем шансы не пить йогурт и получить сверхспособности.
Изображение автора, данные (к сожалению) также составлены автором.Звучит неплохо, правда? На пути к ближайшему заводу Якульта. Но подождите — даже в лучшем случае мои шансы по-прежнему составляют 3/10,00,003, или 0,000029%. У меня больше шансов отправиться в научный центр и попытаться найти радиоактивного паука.
Другим недостатком является то, что отношения шансов иногда интерпретируются как причинно-следственные (т. е. переменная А вызвала событие А), но это часто не так. Отношения шансов просто подразумевают, что существует связь между переменной и событием, но может быть ряд основных переменных, некоторые из которых даже не включены в первоначальный анализ, которые на самом деле вызывают эффект.
В заключение, отношение шансов — это быстрый и эффективный способ подвести итоги исследований и поделиться ими с широкой аудиторией. Однако они также могут быть предметом сенсационности и неправильного толкования. Если вы видите отношение шансов, которое кажется слишком высоким или слишком низким, попробуйте найти исходный источник данных или аналогичное исследование с фактическим подсчетом частоты. Это даст вам лучшее представление о том, насколько вероятно событие на самом деле, по большому счету. Люди, которые делают это, имеют в 95-100 раз лучший опыт интерпретации данных 😉
Комплексные числа: умножение
Комплексные числа: умножениеАлгебраическое умножение.
Комплексное умножение — более сложная операция для понимания как с алгебраической, так и с геометрической точки зрения. Давайте сначала сделаем это алгебраически и возьмем определенные комплексные числа для умножения, скажем, 3 + 2 i и 1 + 4 i. В каждом из них по два слагаемых, поэтому, умножив их, мы получим четыре слагаемых:Теперь 12 i + 2 i упрощается до 14 i, , конечно. А как насчет 8 i 2 ? Помните, мы ввели i как сокращение от √1, квадратного корня из 1. Другими словами, i — это число, квадрат которого равен 1. Таким образом, 8 i 2 равняется 8. Следовательно, произведение (3 + 2 i )(1 + 4 i ) равно 5 + 14 i.
Если вы обобщите этот пример, вы получите общее правило умножения
Помните, что ( xu yv ), действительная часть произведения, есть произведение действительных частей минус произведение мнимых частей, но ( xv + yu ), мнимая часть произведения произведение, представляет собой сумму двух произведений одной действительной части и другой мнимой части.
Рассмотрим некоторые частные случаи умножения.
Умножение комплексного числа на действительное число
В приведенной выше формуле для умножения, если v равно нулю, вы получаете формулу для умножения комплексного числа x + yi и действительного числа u вместе:Другими словами, вы просто умножаете обе части комплексного числа на действительное число. Например, 2 умножить на 3 + i — это всего лишь 6 + 2 i. Геометрически, когда вы удваиваете комплексное число, просто удваивайте расстояние от начала координат, 0. Точно так же, когда вы умножаете комплексное число z на 1/2, результат будет на полпути между 0 и z. Умножение на 2 можно рассматривать как преобразование, которое растягивает комплексную плоскость C в 2 раза от 0; и умножение на 1/2 как преобразование, которое сжимает C до 0.
Умножение и абсолютное значение.
Несмотря на то, что мы рассмотрели только один случай умножения, этого достаточно, чтобы предположить, что абсолютное значение zw (т. е. расстояние от 0 до zw ) может быть абсолютным значением z , умноженным на абсолютное значение . ж. Это было, когда w было реальным числом u чуть выше. На самом деле, это верно в целом:Проверка этого тождества является упражнением в алгебре. Чтобы доказать это, мы докажем, что это верно для квадратов, поэтому нам не нужно иметь дело с квадратными корнями. Мы покажем | ЗВ | 2 = | с | 2 | с | 2 . Пусть z будет x + yi, и пусть w будет u + vi. Тогда по формуле умножения zw равно ( xu yv ) + ( xv + yu ) i. Напомним из раздела об абсолютных значениях, что
Точно так же у нас есть
и, поскольку zw = ( xu yv ) + ( xv + yu ) i,
Итак, чтобы показать | ZW | 2 = | с | 2 | с | 2 , все, что вам нужно сделать, это показать, что
и это простое упражнение по алгебре.
Полномочия
i. Для нашего следующего частного случая умножения рассмотрим различные степени мнимой единицы i. Мы начали с предположения, что i 2 = 1. Как насчет i 3 ? Это просто i 2 умножить на на , и это 1 умножить на i. Следовательно, i 3 = i. Вот интересно: куб и есть собственное отрицание. Далее рассмотрим i 4 . Это квадрат i 2 , то есть квадрат 1. Таким образом, i 4 = 1. Другими словами, i является корнем четвертой степени из 1. Вы можете показать, что i является еще одним корнем четвертой степени из 1. А так как 1 и 1 являются квадратными корнями из 1, теперь мы знаем все четыре корня четвертой степени из 1, а именно, 1, i, 1 и i. Это наблюдение связано с основной теоремой алгебры, поскольку уравнение z 4 = 1 является уравнением четвертой степени, поэтому должно иметь ровно четыре корня.Высшие силы I легко найти сейчас, когда мы знаем I 4 = 1. Например, I 5 — I I 4 , и что это I 4 , и это I 4 , и это I 4 , и это I 4 , и что I 4 , и что это . Вы можете уменьшить степень и на 4 и не изменить результат. Другой пример: i 11 = i 7 = i 3 = i.
Как насчет отрицательных сил и ? Чему равно число i, ?
то есть i 1 ? По той же причине, по которой вы можете вычесть 4 из степени i и не изменить результат, вы также можете прибавить 4 к степени i. Это означает i 1 = i 3 = i. Таким образом, обратное число i равно i. Представьте себе число, обратное значение которого является его собственным отрицанием! Конечно, легко проверить, что i умножить на i равно 1, так что, конечно, i и i обратны.
Корни единства.
Различные корни из 1 называются корнями из единицы. В общем, по основной теореме алгебры число n корней из единицы равно n, , так как n корней уравнения n -й степени z u 1 = 0. Квадратные корни из единицы равны 1 и 1. Четвертые корни составляют ± 1, ± 90 457 i, 90 458, как отмечалось ранее в разделе об абсолютном значении. Кроме того, в этом разделе упоминалось, что ±√2/2 ± i √2/2 были квадратными корнями из i и i, , а теперь с помощью формулы умножения это легко проверить. Следовательно, восемь восьмикореней из единицы равны ±1, ± i, и ±√2/2 ± i √2/2. Обратите внимание, как эти восемь корней единства равномерно распределены по единичному кругу. Мы можем использовать геометрию, чтобы найти некоторые другие корни из единицы, в частности кубические корни и корни шестой степени из единицы. Но давайте немного подождем их.
Умножение комплексного числа на
i. В нашей цели найти геометрическую интерпретацию комплексного умножения, давайте рассмотрим следующее умножение произвольного комплексного числа z = x + yi на i.Давайте интерпретируем это утверждение геометрически. Точка z в C расположена на х единиц правее мнимой оси и на y единиц выше действительной оси. Точка z и расположены на и юнитов левее и х юнитов вверху. Произошло то, что умножение на i привело к повороту к точке z 90° против часовой стрелки вокруг начала координат к точке z i. Говоря короче, умножение на дает поворот на 90° против часовой стрелки примерно на 0.
Таким же образом можно проанализировать, что делает умножение на i . Вы найдете это умножение на i дает вращение на 90° по часовой стрелке относительно 0. Когда мы не указываем против часовой стрелки или по часовой стрелке при обращении к поворотам или углам, мы будем следовать стандартному соглашению, согласно которому предполагается вращение против часовой стрелки. Тогда мы можем сказать, что умножение на i дает поворот на 90° относительно 0 или, если хотите, поворот на 270° относительно 0.
Геометрическая интерпретация умножения.
Чтобы полностью оправдать то, что мы собираемся увидеть, необходима тригонометрия, и это делается в необязательном разделе. А пока мы увидим результаты без обоснования. Мы видели два особых случая умножения, один на вещественные числа, что приводит к масштабированию, другой на 9.0457 и , что приводит к вращению. Общий случай представляет собой комбинацию масштабирования и поворота.Пусть z и w — точки комплексной плоскости C . Нарисуйте линии от 0 до z и от 0 до w . Длины этих линий являются абсолютными значениями | с | и | w | соответственно. Мы уже знаем, что длина строки от 0 до zw будет абсолютным значением | ZW | что равно | из | | с |. (На диаграмме | z | составляет около 1,6, а | w | составляет около 2,1, поэтому | zw | должно быть около 3,4. Обратите внимание, что единичный круг заштрихован.) Что мы не делаем знать направление линии от 0 до zw.
Ответ: «углы складываются». Мы будем определять направление линии от 0 до z по определенному углу, называемому аргументом от z , иногда обозначаемым arg( з ). Это угол, вершина которого равна 0, первая сторона — положительная действительная ось, а вторая сторона — линия от 0 до z. Другая точка w имеет угол arg( w ). Тогда произведение zw будет иметь угол, являющийся суммой углов arg( z ) + arg( w ). (На диаграмме arg( z ) составляет около 20°, а arg( w ) составляет около 45°, поэтому arg( zw ) должно быть около 65°. )
Таким образом, у нас есть два уравнения, которые определяют, где zw находится в C :
Изучите различные свойства умножения
В этом посте мы сделаем обзор свойств умножения и рассмотрим некоторые из его применений. Начнем с краткого обзора свойств умножения:
Свойства умножения
- Коммутативное свойство: Порядок множителей не меняет произведение.
3 x 5 = 5 x 3
- Ассоциативное свойство: группировка факторов не меняет результат умножения.
(2 x 9) x 5 = 2 x (9 x 5)
- Нейтральный элемент: 1 является нейтральным элементом умножения, потому что любое число, умноженное на 1, дает одно и то же число.
5 х 1 = 5
154 х 1 = 154
- Распределительное свойство: Умножение числа на сумму равно сумме произведений указанных чисел на каждое слагаемое.
3 x ( 5 + 2) = 3 x 5 + 3 x 2
Дети часто используют свойства умножения, не понимая их должным образом и не понимая, почему они работают.
С помощью этих примеров мы попытаемся лучше понять это:
Мы попросили Карлоса сложить 60 + 30, и он ответил: «60 плюс 30 равно 9».0, потому что 6 плюс 3 равно 9, а добавление нуля в конце дает мне 90».
Многие студенты учатся делать этот «трюк», и он правильный, но знаете ли вы, почему он работает? Символично, мы можем выразить его следующим образом:
60 + 30 =
Распределительное свойство: (6 x 10) + (3 x 10) =
( 6 + 3) x 10 =
9 x 10 = 90
Одно из свойств умножения, распределительное свойство, подразумевается в расчетах, вы заметили?
Теперь давайте рассмотрим другой пример: спросим братьев Чарльза, Аарона и Хьюго, сколько будет 8 x 6.
Аарон не помнил, что 8 х 6 равно 48, но знал, что это как 8 х 5 плюс 8. Поэтому он сделал: «8 умножить на 5 равно 40, я добавляю 8 к 40, и это дает мне 48. Итак, 8 умножить на 6 равно 48». Аарон прав, 8 умножить на 6 будет 48, верно?
Мы можем выразить это следующим образом:
8 x 6=
Распределительное свойство: 8 x (5 + 1)=
8 x 5 + (8 x 1) =
8 x 5 + 8 =
40 + 8 = 48
И здесь мы снова видим распределительное свойство умножения в неявном виде.
Однако Хьюго пришел к тому же решению, но по-другому.
«Я не помню, сколько будет 8 х 6, потому что я еще не знаю таблицу умножения для 8, но я знаю таблицу умножения для 6, а 6 х 8 равно 48, следовательно, 8 х 6 равно 48».
Кто-нибудь заметил, какое свойство умножения он использовал? Действительно, Хьюго использовал коммутативное свойство . Отлично!
Знание и полное понимание свойств чисел и операций помогает! Их изучение более эффективно и предоставляет различные и более гибкие способы применения того, что мы узнали, в других областях, таких как алгебра, геометрия или решение задач.
Применения свойств умножения
Когда мы применяем свойство распределения ? Среди всех приложений мы предлагаем два случая:
- Чтобы упростить умножение больших чисел.
Пример 1
102 x 5 = (100 + 2) x 5 = 100 x 5 + 2 x 5 = 500 + 10 = 510 х 2 = 200 х 2 + 25 х 2 = 400 + 50 = 450
- Решить уравнения.
Пример 3
3 x (5 + A) = 45
3 x 5 + 3 x A = 45
15 + 3 x A = 45
3 x A = 45-15
3 x A = 30
A = 10
Когда мы применяем ассоциативное свойство ?
- Для более легкого умножения более двух чисел.
Пример 4
(4 x 15) x 2 = 4 x (15 x 2) = 4 x 30 = 120
Наконец, когда мы применяем свойство коммутативности ?
- Когда мы учим таблицу умножения.