Y 0 x 3: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x³+1, x=0, x=2, y=0

2

Содержание

Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла

На этом уроке будем учиться вычислять площади плоских фигур, которые называются криволинейными трапециями.

Примеры таких фигур — на рисунке ниже.

С одной стороны, найти площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла предельно просто. Речь идёт о площади фигуры, которую сверху ограничивает некоторая кривая, снизу — ось абсцисс (Ox), а слева и справа — некоторые прямые. Простота в том, что определённый интеграл функции, которой задана кривая, и есть площадь такой фигуры (криволинейной трапеции).

Но здесь нас подстерегают некоторые важные нюансы, без понимания которых не решить большинство задач на это практическое приложение определённого интеграла. Учтём эти нюансы и будем во всеоружии.

Для вычисления площади фигуры нам понадобятся:

  1. Определённый интеграл от функции, задающей кривую, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху. И здесь возникает первый существенный нюанс: криволинейная трапеция может быть ограничена кривой не только сверху, но и снизу. Как действовать в этом случае? Просто, но это важно запомнить: интеграл в этом случае берётся со знаком минус.
  2. Пределы интегрирования a и b, которые находим из уравнений прямых, ограничивающих фигуру слева и справа: x = a, x = b, где a и b — числа.

Отдельно ещё о некоторых нюансах.

Кривая, которая ограничивает криволинейную трапецию сверху (или снизу) должна быть графиком непрерывной и неотрицательной функции

y = f(x).

Значения «икса» должны принадлежать отрезку [ab]. То есть не учитываются такие, например, линии, как разрез гриба, у которого ножка вполне вписывается в этот отрезок, а шляпка намного шире.

Боковые отрезки могут вырождаться в точки. Если вы увидели такую фигуру на чертеже, это не должно вас смущать, так как эта точка всегда имеет своё значение на оси «иксов». А значит с пределами интегрирования всё в порядке.

Теперь можно переходить к формулам и вычислениям. Итак, площадь s криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

 (1).

Если же f(x) ≤ 0 (график функции расположен ниже оси Ox), то площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле

. (2)

Есть ещё случаи, когда и верхняя, и нижняя границы фигуры — функции, соответственно y = f(x) и y = φ(x), то площадь такой фигуры вычисляется по формуле

. (3)

Начнём со случаев, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (1).

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс (Ox) и прямыми x = 1, x = 3.

Решение. Так как y = 1/x > 0 на отрезке [1; 3], то площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):

.

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью абсцисс (Ox) и прямой x = 4.

Решение. Фигура, соответствующая условию задачи — криволинейная трапеция, у которой левый отрезок выродился в точку. Пределами интегрирования служат 0 и 4. Поскольку , по формуле (1) находим площадь криволинейной трапеции:

.

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , и находящейся в 1-й четверти.

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), представим площадь фигуры, заданной условиями примера, в виде суммы площадей треугольника OAB и криволинейной трапеции ABC. При вычислении площади треугольника OAB пределами интегрирования служат абсциссы точек O и A, а для фигуры ABC — абсциссы точек A и C (A является точкой пересечения прямой OA и параболы, а C — точкой пересечения параболы с осью Ox). Решая совместно (как систему) уравнения прямой и параболы, получим (абсциссу точки

A) и (абсциссу другой точки пересечения прямой и параболы, которая для решения не нужна). Аналогично получим , (абсциссы точек C и D). Теперь у нас еть всё для нахождения площади фигуры. Находим:

Пример 5. Найти площадь криволинейной трапеции ACDB, если уравнение кривой CD и абсциссы A и B соответственно 1 и 2.

Решение. Выразим данное уравнение кривой через игрек: Площадь криволинейной трапеции находим по формуле (1):

.

Переходим к случаям, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (2).

Пример 7. Найти площадь, заключённую между осью абсцисс (Ox) и двумя соседними волнами синусоиды.

Решение. Площадь данной фигуры можем найти по формуле (2):

.

Найдём отдельно каждое слагаемое:

.

.

Окончательно находим площадь:

.

Пример 8. Найти площадь фигуры, заключённой между параболой и кривой .

Решение. Выразим уравнения линий через игрек:

Площадь по формуле (2) получим как

,

где a и b — абсциссы точек A и B. Найдём их, решая совместно уравнения:

Отсюда

Окончательно находим площадь:

И, наконец, случаи, когда площадь фигуры может быть вычислена по формуле (3).

Начало темы «Интеграл»

Угол между прямыми

Определение угла между прямыми

Две прямые называются пересекающимися, если они имеют единственную общую точку. Эта точка называется точкой пересечения прямых. Прямые разбиваются точкой пересечения на лучи, которые образуют четыре неразвернутых угла, среди которых две пары вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Если известен размер одного из углов, образованных пересекающимися прямыми, то легко определить размер остальных углов. Если один из углов прямой, то все остальные тоже прямые, а прямые перпендикулярны.

Определение Угол между прямыми — размер наименьшего из углов, образованных этими прямыми.

Угол между прямыми на плоскости

Угол между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом

Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y = k1x + b1,
y = k2x + b2,

то угол между ними можно найти, используя формулу:

tg γ = k1 — k21 + k1·k2

Если знаменатель равен нулю (1 + k1·k2 = 0), то прямые перпендикулярны.

Доказательство. Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, то легко найти углы между этими прямыми и осью OX

tg α = k1
tg β = k2

Соответственно легко найти угол между прямыми

γ = α — β

tg γ = tg (α — β) = tg α — tg β1 + tg α ·tg β = k1 — k21 + k1·k2

Угол между прямыми через направляющие векторы этих прямых

Если a — направляющий вектор первой прямой и b — направляющий вектор второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

cos φ = |a · b||a| · |b|

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + ay = m t + b

то вектор направляющей имеет вид {l; m}

Если уравнение прямой задано как

A x + B y + C = 0

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой.
Например, если C ≠ 0, A ≠ 0, C ≠ 0 , при x = 0 => y = -CB значит точка на прямой имеет координаты K(0, -CB), при y = 0 => x = -CA значит точка на прямой имеет координаты M(-CA, 0). Вектор направляющей

KM = {-CA; CB}.

Если дано каноническое уравнение прямой

x — x0l = y — y0m

то вектор направляющей имеет вид {l; m}

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b

то для вычисления направляющего вектора, можно взять две точки на прямой, например, при x = 0 => y = b значит точка на прямой имеет координаты K(0, b), при x = 1 => y = k + b значит точка на прямой имеет координаты M(1, k + b). Вектор направляющей KM = {1; k}

Угол между прямыми через векторы нормалей этих прямых

Если a — вектор нормали первой прямой и b — вектор нормали второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

cos φ = |a · b||a| · |b|

Если уравнение прямой задано как

A x + B y + C = 0

то вектор нормали имеет вид {A; B}

Если задано уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b

то вектор нормали имеет вид {1; -k}

Угол между прямыми через направляющий вектор и вектор нормали этих прямых

Если a — направляющий вектор первой прямой и b — вектор нормали второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

sin φ = |a · b||a| · |b|

Примеры задач на вычисления угла между прямыми на плоскости

Пример 1. Найти угол между прямыми y = 2x — 1 и y = -3x + 1.

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми заданными уравнениями с угловым коэффициентом:

tg γ = k1 — k21 + k1·k2 = 2 — (-3)1 + 2·(-3) = 5-5 = 1

Ответ. γ = 45°

Пример 2. Найти угол между прямыми y = 2x — 1 и x = 2t + 1y = t.

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления угла между прямыми у которых известны направляющие векторы.

Для первой прямой направляющий вектор {1; 2}, для второй прямой направляющий вектор {2; 1}

cos φ = |1 · 2 + 2 · 1|1
2
+ 22 · 22 + 12 = 45 · 5 = 0.8

Ответ. φ ≈ 36.87°

Пример 3 Найти угол между прямыми 2x + 3y = 0 и x — 23 = y4.

Решение: Для решения этой задачи можно найти направляющие векторы и вычислить угол через направляющие векторы или преобразовать уравнения в уравнения с угловым коэффициентом и вычислить угол через угловые коэффициенты.

Преобразуем имеющиеся уравнения в уравнения с угловым коэффициентом.

2x + 3y = 0 => y = -23x   (k1 = -23)

x — 23 = y4 => y = 43x — 83   (k2 = 43)

tg γ = k1 — k21 + k1·k2 = -23 — 431 + (-23)·43 = -631 — 89 = 18

Ответ. γ ≈ 86.82°

Угол между прямыми в пространстве

Если a — направляющий вектор первой прямой, а b — направляющий вектор второй прямой, то, используя скалярное произведение векторов, легко найти угол между прямыми:

cos φ = |a · b||a| · |b|

Если дано каноническое уравнение прямой

x — x0l = y — y0m = z — z0n

то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}

Если уравнение прямой задано параметрически

x = l t + ay = m t + bz = n t + c

то направляющий вектор имеет вид {l; m; n}

Пример 4. Найти угол между прямыми x = 2t + 1y = tz = -t — 1 и x = t + 2y = -2t + 1z = 1.

Решение: Так как прямые заданы параметрически, то {2; 1; -1} — направляющий вектор первой прямой, {1; -2; 0} направляющий вектор второй прямой.

cos φ = |2 · 1 + 1 · (-2) + (-1) · 0|22 + 12 + (-1)2 · 12 + (-2)2 + 02 = 06 · 5 = 0

Ответ. φ = 90°

Пример 5 Найти угол между прямыми x — 23 = y4 = z — 35 и -x — 22 = 1 — 3y = 3z — 52.

Решение: Для решения этой задачи найдем направляющие векторы этих прямых.

Уравнение первой прямой задано в канонической форме, поэтому направляющий вектор {3; 4; 5}.

Преобразуем второе уравнение к каноническому вид.

-x — 22 = x — 2-2

1 — 3y = 1 + y-1/3 = y — 1/3-1/3

3z — 52 = z — 5/32/3

Получено уравнение второй прямой в канонической форме

x — 2-2 = y — 1/3-1/3 = z — 5/32/3

{-2; -13; 23} — направляющий вектор второй прямой.

cos φ = 3·(-2) + 4·(-13) + 5·2332 + 42 + 52 · (-2)2 + (-13)2 + (23)2 = -6 — 43 + 1039 + 16 + 25 · 4 + 19 + 49 = -450 · 41/9 = 12582 = 682205

Ответ. φ ≈ 74.63°

Уравнение касательной к графику функции

Пусть дана функция f, которая в некоторой точке x0 имеет конечную производную f (x0). Тогда прямая, проходящая через точку (x0; f (x0)), имеющая угловой коэффициент f ’(x0), называется касательной.

А что будет, если производная в точке x0 не существует? Возможны два варианта:

  1. Касательная к графику тоже не существует. Классический пример — функция y = |x| в точке (0; 0).
  2. Касательная становится вертикальной. Это верно, к примеру, для функции y = arcsin x в точке (1; π/2).

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x0) · (x − x0) + f (x0)

Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x0) · (x − x0) + f(x0). Точка x0 = 2 нам дана, а вот значения f (x0) и f ’(x0) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x0) = f (2) = 23 = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x) = (x3)’ = 3x2;
Подставляем в производную x0 = 2: f ’(x0) = f ’(2) = 3 · 22 = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Задача. Составить уравнение касательной к графику функции f (x) = 2sin x + 5 в точке x0 = π/2.

В этот раз не будем подробно расписывать каждое действие — укажем лишь ключевые шаги. Имеем:

f (x0) = f (π/2) = 2sin (π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f ’(x) = (2sin x + 5)’ = 2cos x;
f ’(x0) = f ’(π/2) = 2cos (π/2) = 0;

Уравнение касательной:

y = 0 · (x − π/2) + 7 ⇒ y = 7

В последнем случае прямая оказалась горизонтальной, т.к. ее угловой коэффициент k = 0. Ничего страшного в этом нет — просто мы наткнулись на точку экстремума.

Смотрите также:

  1. Правила вычисления производных
  2. Вводный урок по вычислению производных степенной функции
  3. Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №6
  4. Площадь круга
  5. Иррациональные неравенства. Часть 1
  6. Задача B5: вычисление площади методом обводки

пересечения по оси x и y

х- и y-перехватчики


Графическая концепция x — и y -перехватов довольно просто. x -перехваты — это место, где график пересекает ось x , а точки пересечения и — это точки пересечения графика с осью и .Проблемы Начнем с того, что мы попытаемся алгебраически разобраться с перехватами.

Чтобы прояснить алгебраическую часть, подумайте еще раз о топоры. Когда вы впервые познакомились с декартовой плоскостью, вам показали обычный номер линии начальной школы (ось x ), а затем показано, как вы можете нарисовать перпендикуляр числовая прямая (ось и ) через нулевую точку на первой числовой строке. Брать При более внимательном рассмотрении вы увидите, что ось y также является линией « x = 0».В Таким же образом ось x также является линией « y = 0».

Тогда алгебраически

  • перехват x — точка на графике где y равно нулю, а
  • a y -перехват — точка на графике где x равно нулю.

Более конкретно,

  • интервал x — это точка в уравнении, где значение y равно нулю, а
  • — интервал y — это точка в уравнении, в которой значение x равно нулю.

  • Найдите x — и y -перехваты 25 x 2 + 4 y 2 = 9

    Используя определения перехватов, я действуйте следующим образом:

    x — интервал (и):

      y = 0 для интервала (ов) x , поэтому:

    Тогда x -перехват это точки ( 3 / 5 , 0) и (–3 / 5 , 0)

    y -перехват (и): Авторские права © Элизабет Стапель 1999-2011 Все права защищены

      x = 0 для интервала (ов) y , поэтому:

    Тогда y -перехват это точки (0, 3 / 2 ) и (0, –3 / 2 )

Просто помните: какой бы перехватчик вы ни искали для другая переменная устанавливается в ноль.


В дополнение к вышеуказанным соображениям вам следует считайте следующие термины взаимозаменяемыми:

Другими словами, следующие упражнения эквивалентны:

  • Найдите перехват (-ы) x из y = x 3 + 2 x 2 x — 3
  • Решить x 3 + 2 x 2 x — 3 = 0
  • Найдите нули / корни f ( x ) = x 3 + 2 x 2 x — 3

Если вы сохраните этот эквивалент на задней панели голова, многие упражнения будут иметь гораздо больше смысла.Например, если они дадут вам что-то вроде следующий график:

… и прошу вас найти «решения», вы узнаете, что они означают «найдите перехватчики x », и вы сможете ответить на вопрос, даже при том, что они неуклюже использовали математические термины, и они никогда не давали вам уравнение.

Вверх | Вернуться к индексу

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета.»пересечения по оси x и y». Фиолетовый Математик . Доступна с
https://www.purplemath.com/modules/intrcept.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.

Wolfram | Примеры альфа: пошаговые дифференциальные уравнения


Разделимые уравнения

Посмотрите, как решаются разделяемые уравнения:

Другие примеры


Линейные уравнения первого порядка

Решите линейные уравнения первого порядка:

См. Шаги, которые используют преобразования Лапласа для решения ОДУ:

Другие примеры


Точные уравнения первого порядка

Превратите в точное уравнение:

Другие примеры


Уравнения Бернулли

Научитесь решать уравнения Бернулли:

Другие примеры


Замены первого порядка

Примените линейную замену:

Решите однородное уравнение первого порядка с помощью замены:

Сделайте общие замены:

Другие примеры


Уравнения типа Чини

Решите уравнение Риккати:

Решите уравнение Абеля первого рода с постоянным инвариантом:

Решите уравнение Чини с постоянным инвариантом:

Другие примеры


Общие уравнения первого порядка

См. Шаги для решения уравнения Клеро:

Решите уравнение Даламбера:

Посмотрите, как решаются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка:

Другие примеры


Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решите линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:

Решите линейное уравнение с постоянными коэффициентами несколькими методами:

См. Шаги, которые используют преобразования Лапласа для решения ОДУ:

Другие примеры


Снижение порядка

Сведите к уравнению первого порядка:

Выведите уравнение цепной линии:

Другие примеры


Уравнения Эйлера – Коши.

Решите уравнения Эйлера – Коши:

Другие примеры


Общие уравнения второго порядка

Посмотрите, как решаются обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка:

Другие примеры


Уравнения высшего порядка

См. Шаги для уравнений высшего порядка:

Другие примеры

Объем тела вращения: цилиндрические оболочки

Иногда определение объема твердого тела вращения с использованием метода диска или шайбы затруднительно или невозможно.3} \) в форму \ (x = f \ left (y \ right), \), что непросто.

В таких случаях мы можем использовать другой метод определения объема, называемый методом цилиндрических оболочек. Этот метод рассматривает твердое тело как серию концентрических цилиндрических оболочек, охватывающих ось вращения.

Дисковым или шайбовым методами интегрируем по координатной оси, параллельной осям вращения. Методом оболочек интегрируем по оси координат, перпендикулярной оси вращения.b {xf \ left (x \ right) dx}, \]

, где \ (2 \ pi x \) означает длину окружности элементарной оболочки, \ ({f \ left (x \ right)} \) — высоту оболочки, а \ (dx \) — ее толщину.

Если область ограничена двумя кривыми \ (y = f \ left (x \ right) \) и \ (y = g \ left (x \ right) \) на интервале \ (\ left [{a, b } \ right], \) где \ (0 \ le g \ left (x \ right) \ le f \ left (x \ right), \), то объем твердого тела, полученный вращением области вокруг \ (y — \) ось выражается интегралом разности двух функций:

\ [V = 2 \ pi \ int \ limits_a ^ b {x \ left [{f \ left (x \ right) — g \ left (x \ right)} \ right] dx}. 2} — 4 \ cdot 2 \ cdot 2 = 9,} \; \; \ Rightarrow {{x_ {1,2}} = \ frac {{5 \ pm \ sqrt 9}} {4}} = {\ frac {1} {2}, \, 2.1} = {2 \ pi \ left [{2 — \ frac {1} {2} + \ frac {2} {3} — \ frac {1} {4}} \ right]} = {\ frac {{ 23 \ pi}} {6}.} \]

Нахождение пересечений по оси x и оси y | Колледж алгебры

точек пересечения графика — это точки, в которых график пересекает оси. Пересечение x- — это точка, в которой график пересекает ось x- . На данный момент координата y- равна нулю. Пересечение y- — это точка, в которой график пересекает ось y- .На данный момент координата x- равна нулю.

Чтобы определить точку пересечения x- , мы устанавливаем y равным нулю и решаем для x . Точно так же, чтобы определить точку пересечения y- , мы устанавливаем x равным нулю и решаем относительно y . Например, давайте найдем точки пересечения уравнения [латекс] y = 3x — 1 [/ latex].

Чтобы найти точку пересечения x- , установите [latex] y = 0 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {ll} y = 3x — 1 \ hfill & \ hfill \\ 0 = 3x — 1 \ hfill & \ hfill \\ 1 = 3x \ hfill & \ hfill \\ \ frac {1 } {3} = x \ hfill & \ hfill \\ \ left (\ frac {1} {3}, 0 \ right) \ hfill & x \ text {-intercept} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Чтобы найти точку пересечения y- , установите [latex] x = 0 [/ latex].

[латекс] \ begin {array} {l} y = 3x — 1 \ hfill \\ y = 3 \ left (0 \ right) -1 \ hfill \\ y = -1 \ hfill \\ \ left (0, -1 \ right) y \ text {-intercept} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Мы можем подтвердить, что наши результаты имеют смысл, наблюдая за графиком уравнения, показанным на рисунке 10. Обратите внимание, что график пересекает оси там, где мы и предполагали.

Рисунок 12

Как: по уравнению найти точки пересечения.

  1. Найдите точку пересечения x , установив [latex] y = 0 [/ latex] и решив для [latex] x [/ latex].
  2. Найдите точку пересечения y- , установив [latex] x = 0 [/ latex] и решив для [latex] y [/ latex].

Пример 4: Нахождение точек пересечения данного уравнения

Найдите точки пересечения уравнения [латекс] y = -3x — 4 [/ latex]. Затем нарисуйте график, используя только точки пересечения.

Решение

Установите [latex] y = 0 [/ latex], чтобы найти точку пересечения x- .

[латекс] \ begin {array} {l} y = -3x — 4 \ hfill \\ 0 = -3x — 4 \ hfill \\ 4 = -3x \ hfill \\ — \ frac {4} {3} = x \ hfill \\ \ left (- \ frac {4} {3}, 0 \ right) x \ text {-intercept} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Установите [latex] x = 0 [/ latex], чтобы найти точку пересечения y- .

[латекс] \ begin {array} {l} y = -3x — 4 \ hfill \\ y = -3 \ left (0 \ right) -4 \ hfill \\ y = -4 \ hfill \\ \ left ( 0, -4 \ right) y \ text {-intercept} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Постройте обе точки и проведите через них линию, как показано на рисунке 11.

Рисунок 13

Попробуй 1

Найдите точки пересечения уравнения и нарисуйте график: [latex] y = — \ frac {3} {4} x + 3 [/ latex].

Решение

Как построить график y = 0 — Видео и стенограмма урока

Вставка значений

Второй метод включает построение нескольких точек, чтобы увидеть, как ведет себя график.Давайте пройдемся по этим шагам сейчас.

  • 1. Подставьте несколько значений для x, а затем найдите, что равно y. Вы можете использовать x = -2, x = -1, x = 0, x = 1 и x = 2.
  • 2. Отметьте точки, которые вы нашли.
  • 3. Соедините точки, чтобы найти график.

Построение графика y = 0

Метод 1

Теперь давайте продолжим и построим график вашего уравнения y = 0. Мы сделаем это в обоих направлениях, чтобы вы могли увидеть, как работают оба. Узнав оба пути, вы можете выбрать наиболее простой для вас.

Первый способ включает использование формы пересечения наклона y = mx + b. Пошли. Шаг первый — записать уравнение в форме пересечения наклона.

  1. Переписав y = 0 в форме пересечения наклона, вы получите y = 0x + 0.
  2. Обозначьте наклон как 0 и точку пересечения оси Y как 0.
  3. Постройте точку пересечения с Y. Y-точка пересечения равна 0, поэтому вы ставите точку в точке (0, 0).
  4. Найдите следующую точку, используя уклон. Наклон равен 0, поэтому это говорит вам о том, что независимо от того, как далеко вы уйдете влево или вправо, ваше значение y всегда будет равно 0.Таким образом, вы переходите на один пробел вправо для x = 1. Поскольку ваш наклон равен 0, ваше значение y по-прежнему равно 0; он не идет ни вверх, ни вниз. Ваша следующая точка — (1, 0).
  5. Подключение ваших точек. Вы соединяете две точки линией, и вы получаете график y = 0.
y = 0 график

И готово!

Метод 2

Давайте попробуем второй способ, чтобы увидеть, как он работает.

1.Вы подключаете x = -2, x = -1, x = 0, x = 1 и x = 2. Помните, что это линейное уравнение, поэтому в нем есть переменная x. Он просто скрыт, потому что умножается на 0, как вы видели, когда записывали всю форму пересечения наклона предыдущим способом для решения этой проблемы. Этот x — это то место, где вы будете вставлять свои значения. Итак, подключив их, вы получите:

x y
-2 0
-1 0
0 0
1 0
2 0

2.Вы продолжаете и наносите все эти точки на график.

3. Затем вы проводите линию через все эти точки.

y = 0 график

А вот и график!

Ярлык

Существует ярлык для решения этой проблемы, если вы помните, что наклон 0, который есть у этой проблемы, всегда будет давать вам горизонтальную линию. Если вы это знаете, то можете просто провести горизонтальную линию через точку пересечения оси Y, в данном случае 0.Поскольку уравнение y = 0 имеет точку пересечения оси y, равную 0, ваш график по существу представляет собой ось x.

Попробуем на примере.

Эрик изучает девочек и пауков. Он наблюдает, изменилось ли количество пауков в том, как девушки относятся к паукам. Ось Y в его исследовании показывает, насколько девочкам нравятся пауки. Значение y, равное 0, означает, что девочкам не нравятся пауки и никогда не будут. Значение x, равное 1, означает 1 паука, значение x, равное 2, означает 2 паука. Его исследование показало, что, сколько бы пауков ни было, девочки всегда говорили, что пауков им не нравятся.Значение y всегда равно 0. Эрик видит, что его данные соответствуют графику y = 0. Изобразите это уравнение в виде графика.

Вы видите, что эта задача требует от вас построить график уравнения y = 0. Вы хорошо справились, если вспомнили, что это уравнение представляет собой горизонтальную линию, проходящую через ось Y в точке 0.

y = 0 график

Резюме урока

Для обзора, есть два метода, которые вы можете использовать для построения графика y = 0: форма пересечения наклона и вставка значений .Но вы также можете запомнить ярлык, который заключается в том, что наклон нуля всегда будет представлен в виде горизонтальной линии, и поэтому, когда y = 0, график по существу будет показывать линию, проходящую через ось x.

Нахождение x-точек пересечения функции

Для графика любой функции пересечение по оси x — это просто точка или точки, в которых график пересекает ось x. Может быть только одна такая точка, может не быть такой точки или много, что означает, что функция может иметь несколько точек пересечения по оси x.Как вы увидите ниже, мы можем использовать график или простое правило алгебры, чтобы найти точки пересечения по x или x любой функции. Вы также можете прокрутить вниз до примера видео ниже.

Содержание

  1. Использование графика для поиска пересечений по оси x
  2. Использование алгебры для поиска пересечений по оси x
  3. Пример видео (в том числе при отсутствии х-перехватов)
  4. Дополнительная литература

реклама

Нахождение пересечений по оси x или x с помощью графика

Как упоминалось выше, функции могут иметь одно, ноль или даже множество x-точек пересечения.Их можно найти, посмотрев, где график функции пересекает ось x, которая является горизонтальной осью в плоскости координат xy. Вы можете увидеть это на графике ниже. Эта функция имеет единственную точку пересечения по оси x.

На графике ниже функция имеет две точки пересечения по оси x. Обратите внимание, что форма точки всегда \ ((c, 0) \) для некоторого числа \ (c \).

Наконец, на следующем графике показана функция без пересечений по оси x. Вы можете видеть это, потому что он ни в какой точке не пересекает ось абсцисс.

Вы можете увидеть более подробное обсуждение этих идей здесь: Нули многочлена.

Нахождение точки пересечения по оси x или точки пересечения с использованием алгебры

Общее правило для поиска точки пересечения по оси x или точки пересечения любой функции состоит в том, чтобы положить \ (y = 0 \) и решить для \ (x \). Это может быть несколько легко или действительно сложно, в зависимости от функции. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы понять, почему это так.

Пример

Найдите точку пересечения x функции: \ (y = 3x — 9 \)

Решение

Пусть \ (y = 0 \) и решит относительно \ (x \).

\ (\ begin {align} 0 & = 3x — 9 \\ -3x & = -9 \\ x & = 3 \ end {align} \)

Ответ: Следовательно, отрезок x равен 3. Вы также можете записать его как точку: \ ((3,0) \)

Более сложным примером может быть тот, в котором уравнение, представляющее саму функцию, является более сложным. 2 + 2x — 8 \)

Решение

Как и раньше, пусть \ (y = 0 \) и решит относительно \ (x \).2 + 2x — 8 \\ 0 & = (x + 4) (x — 2) \\ x & = -4, 2 \ end {align} \)

Ответ: Эта функция имеет два пересечения по оси x: –4 и 2. Они расположены в \ ((- 4, 0) \) и \ ((2, 0) \).

Для более сложных уравнений часто бывает полезен графический калькулятор, по крайней мере, для оценки местоположения любых точек пересечения.

объявление

Видео примеры

В следующем видео вы можете увидеть, как найти точки пересечения по оси x трех различных функций.Это также включает в себя пример, в котором нет x-перехватов.

Продолжайте изучение графиков

Вы можете продолжить изучение графиков в следующих статьях.

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач. {- (2x + 3y)} & \ quad x, y \ geq 0 \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right.{-5y} dy \\ \ nonumber & = \ frac {3} {5}. \ end {align}


Проблема
Пусть $ X $ — непрерывная случайная величина с PDF \ begin {уравнение} \ nonumber f_X (x) = \ left \ { \ begin {array} {l l} 2x & \ quad 0 \ leq x \ leq 1 \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right. \ end {уравнение} Мы знаем, что при $ X = x $ случайная величина $ Y $ равномерно распределена на $ [- x, ​​x] $.
  1. Найдите совместный PDF-файл $ f_ {XY} (x, y) $.3) $.
  • Решение
      1. Прежде всего отметим, что по предположению \ begin {уравнение} \ nonumber f_ {Y | X} (y | x) = \ left \ { \ begin {array} {l l} \ frac {1} {2x} & \ quad -x \ leq y \ leq x \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right. \ end {уравнение} Таким образом, мы имеем \ begin {уравнение} \ nonumber f_ {XY} (x, y) = f_ {Y | X} (y | x) f_X (x) = \ left \ { \ begin {array} {l l} 1 & \ quad 0 \ leq x \ leq 1, -x \ leq y \ leq x \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right.3} {2x} \ right) 2x dx \ hspace {20pt} \ textrm {поскольку} Y | X = x \ hspace {5pt} \ sim \ hspace {5pt} Uniform (-x, x) \\ \ nonumber & = \ frac {1} {2}. \ end {align}


Проблема
Пусть $ X $ и $ Y $ — две совместно непрерывные случайные величины с совместной PDF \ begin {уравнение} \ nonumber f_ {X, Y} (x, y) = \ left \ { \ begin {array} {l l} 6xy & \ quad 0 \ leq x \ leq 1, 0 \ leq y \ leq \ sqrt {x} \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right.\ end {уравнение}
  1. Показать $ R_ {XY} $ в плоскости $ x-y $.
  2. Найдите $ f_X (x) $ и $ f_Y (y) $.
  3. Независимы ли $ X $ и $ Y $?
  4. Найдите условную PDF $ X $ при $ Y = y $, $ f_ {X | Y} (x | y) $.
  5. Найдите $ E [X | Y = y] $ для $ 0 \ leq y \ leq 1 $.
  6. Найдите $ \ textrm {Var} (X | Y = y) $ для $ 0 \ leq y \ leq 1 $.
  • Решение
      1. Рисунок 5.9 показывает $ R_ {XY} $ в плоскости $ x-y $.

        Рисунок 5.2 \ leq 1 \}. \ end {align} Предположим, что мы выбираем точку $ (X, Y) $ равномерно случайным образом в $ D $. То есть совместная PDF $ X $ и $ Y $ определяется выражением \ begin {уравнение} \ nonumber f_ {XY} (x, y) = \ left \ { \ begin {array} {l l} \ frac {1} {\ pi} & \ quad (x, y) \ in D \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right. \ end {уравнение} Пусть $ (R, \ Theta) $ — соответствующие полярные координаты, как показано на рисунке 5.10. Обратное преобразование дается формулой \ begin {уравнение} \ nonumber \ left \ { \ begin {array} {l} X = R \ cos \ Theta \\ Y = R \ sin \ Theta \ end {array} \ right.\ end {уравнение} где $ R \ geq 0 $ и $ — \ pi

        Рисунок 5.10: Полярные координаты

        • Решение
          • Здесь $ (X, Y) $ совместно непрерывны и связаны с $ (R, \ Theta) $ взаимно однозначным соотношением. Воспользуемся методом преобразований (теорема 5.1). Функция $ h (r, \ theta) $ задается формулой \ begin {уравнение} \ nonumber \ left \ { \ begin {array} {l} х = h_1 (г, \ тета) = г \ соз \ тета \\ у = ч_2 (г, \ тета) = г \ грех \ тета \ end {array} \ right. \ end {уравнение} Таким образом, мы имеем \ begin {align} \ nonumber f_ {R \ Theta} (r, \ theta) & = f_ {XY} (h_1 (r, \ theta), h_2 (r, \ theta)) | J | \\ \ nonumber & = f_ {XY} (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta) | J |.\ end {align} где \ begin {align} \ nonumber J = \ det \ begin {bmatrix} \ frac {\ partial h_1} {\ partial r} & \ frac {\ partial h_1} {\ partial \ theta} \\ & \\ \ frac {\ partial h_2} {\ partial r} & \ frac {\ partial h_2} {\ partial \ theta} \\ \ end {bmatrix} = \ det \ begin {bmatrix} \ cos \ theta & -r \ sin \ theta \\ & \\ \ sin \ theta & r \ cos \ theta \\ \ end {bmatrix} = г \ соз ^ 2 \ тета + г \ грех ^ 2 \ тета = г.\ end {align} Мы делаем вывод, что \ begin {align} \ nonumber f_ {R \ Theta} (r, \ theta) & = f_ {XY} (r \ cos \ theta, r \ sin \ theta) | J | \\ \ nonumber & = \ left \ { \ begin {array} {l l} \ frac {r} {\ pi} & \ quad r \ in [0,1], \ theta \ in (- \ pi, \ pi] \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right. \ end {align} Обратите внимание, что сверху мы можем написать \ begin {align} \ nonumber f_ {R \ Theta} (r, \ theta) = f_R (r) f _ {\ Theta} (\ theta), \ end {align} где \ begin {уравнение} \ nonumber f_R (r) = \ left \ { \ begin {array} {l l} 2r & \ quad r \ in [0,1] \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right.\ end {уравнение} \ begin {уравнение} \ nonumber f_ \ Theta (\ theta) = \ left \ { \ begin {array} {l l} \ frac {1} {2 \ pi} & \ quad \ theta \ in (- \ pi, \ pi] \\ & \ quad \\ 0 & \ quad \ text {в противном случае} \ end {array} \ right.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.