Y 3 корень x график: График функции y = ³√x

Содержание

3 корень из х функция

Вы искали 3 корень из х функция? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и x y под корнем, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «3 корень из х функция».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 3 корень из х функция,x y под корнем,x квадратный корень из y,x корень,x корень 3 степени из x,x корень квадратный из y,y 3 корень x,y 3 корень x график,y 3 корень из x,y x корень,y x корень из 3,y в корне x,y квадратный корень из x,y корень из x y x в квадрате,y корень из х,y корень квадратный из x,y корень х,график x корень y,график y x корень из 3,график корень из 3,график корень из 3 х,график функции x корень y,график функции x корень из 3,график функции корня,квадратный корень из х,корень x,корень из 3 x график,корень из 3 график,корень из x y в квадрате y,корень из x корень из y в квадрате,корень из икс,корень из х,корень х,область определения корня кубического,область определения кубического корня,под корнем функция,у 3 корень из х,у 3 корень х,у корень 3 из х,функции с корнем,функция 3 корень из х,функция корень из 3 х,функция корень из х 1,функция под корнем,функция с корнем,х корень.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 3 корень из х функция. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, x квадратный корень из y).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 3 корень из х функция Онлайн?

Решить задачу 3 корень из х функция вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Степенные функции, кубический корень, урок по алгебре в 9 классе, презентация

Дата публикации: .

3}=\frac{a}{b}$.
Получили, что число $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$ в кубе равно $\frac{a}{b}$ и тогда равно $\sqrt[3]{\frac{a}{b}}$, что и требовалось доказать.

Ребята, давайте построим график нашей функции.
1) Область определения множество действительных чисел.
2) Функция нечетная, так как $\sqrt[3]{(-x)}$=-$\sqrt[3]{x}$. Далее рассмотрим нашу функцию при $х≥0$, после отразим график относительно начала координат.
3) Функция возрастает при $х≥0$. Для нашей функции, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, что и означает возрастание.
4) Функция не ограничена сверху. На самом деле из сколь угодно большого числа можно вычислить корень третьей степени, и мы можем двигаться до бесконечности вверх, находя все большие значения аргумента.
5) При $х≥0$ наименьшее значение равно 0. Это свойство очевидно.
Построим график функции по точкам при х≥0.



Построим наш график функции на всей области определения. Помним, что наша функция нечетная.


Свойства функции:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Нечетная функция.
3) Возрастает на (-∞;+∞).
4) Неограниченна.
5) Наименьшего и наибольшего значения нет.
6) Функция непрерывна на всей числовой прямой.
7) Е(у)= (-∞;+∞).
8) Выпукла вниз на (-∞;0), выпукла вверх на (0;+∞).

Примеры решения степенных функций


Примеры
1. Решить уравнение $\sqrt[3]{x}=x$.
Решение. Построим два графика на одной координатной плоскости $y=\sqrt[3]{x}$ и $y=x$.
Как видим наши графики пересекаются в трех точках.
Ответ: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Построить график функции. $y=\sqrt[3]{(x-2)}-3$.
Решение. График нашей получается из графика функции $y=\sqrt[3]{x}$, параллельным переносом на две единицы вправо и три единицы вниз.
3. Построить график функции и прочитать его. $\begin{cases}y=\sqrt[3]{x}, x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end{cases}$.

Решение. Построим два графика функций на одной координатной плоскости с учетом наших условий. При $х≥-1$ строим график корня кубического, при $х≤-1$ график линейной функции. 3 значит x в кубе, также можно написать xxx или x*x*x. root(x,n) Корень n-ой степени из x. Например: root(x,3) есть корень 3й степени из x. sqrt() Квадратный корень. Эквивалентно root(аргумент,2)
cbrt() Кубический корень. Эквивалентно root(аргумент,3) logn(x,a) Логарифм x пооснованию a ln() Натуральный логарифм (с основанием е) lg() Логарифм по основанию 10 (Десятичный логарифм), то же, что и logn(аргумент,10). аргумент
sin() Синус cos() Косинус tan() Тангенс cot() Котангенс sec() Секанс, определяется как 1/cos() csc() Косеканс, определяется как
1/sin()
asin() Арксинус acos() Арккосинус atan() Арктангенс acot() Арккотангенс asec() Арксеканс, обратный секанс acsc()
Арккосеканс, обратный косеканс sinh() Гиперболический синус, шинус cosh() Гиперболический косинус, чосинус tanh() Гиперболический тангенс coth() Гиперболический котангенс sech() Гиперболический секанс
csch() Гиперболический косеканс asinh() Гиперболический арксинус, функция обратная sinh() acosh() Гиперболический арккосинус, функция обратная cosh() atanh() Гиперболический арктангенс, функция обратная tanh() acoth() Гиперболический арккотангенс, функция обратная
cotanh()
asech() Гиперболический арксеканс, функция обратная sech() acsch() Гиперболический арккосеканс, функция обратная csch() gaussd(x,среднее,сигма) Нормальное распределение (Распределение Гаусса). Например gaussd(x,0,1) есть нормальное стандартное расперделение со средним значением 0 и стандартным отклонением 1. min(число1,число2) Вычисляет наименьшее из 2х значений max(число1,число2) Вычисляет наибольшее из 2х значений round() Округляет аргумент до целого значения floor() Округление вниз ceil() Округление вверх abs() или | | Модуль (абсолютное значение) sgn() Функция сигнум, определяет знак аргумента
sgn(x)  =    1 for x > 0
 0 for x = 0
-1 for x < 0
rand Случайное число от 0 до 1

Урок алгебры по теме»Функция y=√x «

Донецкая общеобразовательная школа-интернат

І-ІІІ ступеней №3

Открытый урок по алгебре в 8 классе.

Тема:

«Функция у=, её свойства и график».

Разработала и провела

учитель I категории

Плахотник Н.С.

Цель урока:

1. Обучающая

— познакомить учащихся с функцией квадратного корня и ее графиком, научить использовать график функции квадратного корня при решении иррациональных уравнений.

2. Развивающие

— развивать логическое мышление, внимание, математическую речь учащихся, самосознание, самооценку

3. Воспитательная

— воспитывать личностные качества: ответственность, добросовестность, самостоятельность, умение слушать друг друга

Ход урока.

Добрый день, ребята! Я рада вас видеть.

«День прожит не зря, если вы узнали что-то новое» — так сказал ученый Дэвид Эддингс.

Вот и сегодня на уроке вы познакомитесь с новой функцией, функцией у=√х; научитесь изображать график этой функции, изучите её свойства. В конце урока мы проверим ваши знания с помощью теста.

Откройте тетради и запишите тему урока:

А сейчас повторим изученный вами ранее материал, который пригодиться вам при изучении новой темы

І. Актуализация опорных знаний.

  1. Сформулируйте определение арифметического квадратного корня.

  2. При каких значениях a выражение √a имеет смысл?
    √100, √81, √0, √-25

  3. Имеет ли уравнение x2 = a корни при а > 0, a = 0, a < 0, и если имеет, то сколько?

  4. Решите уравнения: x2 = 4, x2 =5, x2 =
    = 4, = 5, =

  5. Сократите дробь: , , ,

  6. Найдите площадь фигуры.

  7. Задачи, приводящие к понятию функции y = √x.

а) сторона квадрата а = √S;

б) радиус круга r =

– Что особенного в этих заданиях? (Зависимость задана формулой y = с которой мы еще не встречались).

ІІ. Изложение новой темы.

Для построения графика функции у=√х, дадим как обычно, независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим соответствующие значения переменной у. Как вы думаете, могу ли я взять для вычислений, отрицательные значения х? (нет, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует.)

Мы будем давать переменной х такие значения, для которых известно точное значение квадратного корня.

Итак: если х=0, то у= √0=0

Если х=1, то у= √1=1

Если х=4, то у= √4=2

Если х=6,25 то у= √6,25=2,5

Если х=9, то у= √9=3

Составим таблицу значений функций.

Запишите её.

Построим найденные точки на координатной плоскости. Они располагаются на некоторой линии, начертите её. Мы построили график функции у = √х.
  1. Работа по графику функции:

  2. -найдите значение у, если х = 1,5; 5,5; 7,2; 15.
    — найдите значение х, если у = 1,5; 1,8; 2,5.

  3. Принадлежат ли графику функции точки: А(64; 8), B(100; 10), С(-81; 9), D(25; -5).

  4. С помощью графика сравнить числа: √0,5 и √0,8; √4,2 и √5,7; √7 и √8.

Свойства функции:

  1. область определения: луч [0;+∞) или х≥0;

  2. если х=0, то у=0;

  3. у>0 при х>0;

  4. f(х) возрастает при х принадлежащем [0;+∞);

  5. у наим.=0 (при х=0), у наиб. не существует.

ІІІ. Первичное закрепление. А сейчас вы будете работать с тестом. Задания выполняйте по порядку, выписывая те буквы, под которыми находятся правильные ответы. Если задания будут выполнены верно, то вы получите фамилию математика. (ДЕКАРТ).

Тест

1) Какой из графиков соответствует графику функции у=√х ? (чертежи подготовить учителю)

В) Г) Д) Б)

2) Какая из заданных точек принадлежит графику функции у=√х ?

К) (-1; 1) Л) (0; 5) М) (2; 4) Е) (4; 2).

3) Наименьшее значение функции у=√х равно :

А) 0,001 К) 0 В) 1 Г) не существует.

4) Область определения функции у= √х :

А) х ≥ 0 Н) х > 0 П) х < 0 О) х ≤ 0.

5) Корнем уравнения √х = 2-х является число, равное

П) 4; К) 0; С) 3; Р) 1.

6) Между какими целыми числами заключено число √27

В) 26 и 28; Т) 5 и 6; М) 13 и 14; К) 0 и 7

Что вы знаете об этом математике?

IV. Домашнее задание: §15 прочитать, выучить свойства функции,
решить № 355, 356, 363. Разгадать кроссворд.

V. Подведение итогов, выставление оценок.

VI. Рефлексия. Ребята, выберите смайлик, который больше всего подходит вашему настроению.

Как найти область определения функции?

Понятие области определения функции

Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.

Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.

Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).

Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.

Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох. 

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

  • Например, область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Это можно записать так: Е (у): у ≥ 0.

Чтобы обозначить область определения некоторой функции f, используют запись D(f). При этом нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.

Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) =  [-1, 1].

Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:

 
  1. Через точку с запятой указываем два числа: левую и правую границы промежутка.

  2. Если граница входит в промежуток, ставим возле нее квадратную скобку, если не входит — круглую.

  3. Если у промежутка нет правой границы, записываем так: ∞ или +∞. Если нет левой границы, пишем -∞.

  4. Если нужно описать множество, состоящее из нескольких промежутков, ставим между ними знак объединения: ∪.

Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:

Все положительные числа можно описать так:

Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа. 

Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.

Константная функция — функция, которая для любого элемента из области определения возвращает одно и то же заданное значение. Множество значений такой функции состоит из одного единственного элемента.

Например:

  • Область определения постоянной функции y = -3 — это множество всех действительных чисел: D(f) = (−∞, +∞) или D(f) = R.
     
  • Область определения функции y = 3√9 является множество R.

Область определения функции с корнем

Функцию с корнем можно определить так: y = n√x, где n — натуральное число больше единицы.

Рассмотрим две вариации такой функции.

Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

  • Если n — четное число, то есть, n = 2m, где m ∈ N, то ее область определения есть множество всех неотрицательных действительных чисел:
  • Если показатель корня нечетное число больше единицы, то есть, n = 2m+1, то область определения корня — множество всех действительных чисел:

Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4√x, y = 6√x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3√x, y = 5√x, y = 7√x,… — множество (−∞, +∞).

Пример 

Найти область определения функции:

Как решаем:

Так как подкоренное выражение должно быть положительным, то решим неравенство x2 + 4x + 3 > 0.

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

x2 + 4x + 3 > 0

D = 16 — 12 = 4 > 0

Дискриминант положительный. Ищем корни:


Значит парабола a(x) = x2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x2 + 4x + 3 < 0), а другая часть — выше оси (неравенство x2 + 4x + 3 > 0).

Поскольку коэффициент a = 1 > 0, то ветви параболы смотрят вверх. Можно сделать вывод, что на интервалах (−∞, -3) ∪ (−1, +∞) выполнено неравенство x2 + 4x + 3 > 0 (ветви параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке (-3; -1) ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству x2 + 4x + 3 < 0.


Ответ: область определения: D(f) = (−∞, -3) ∪ (−1, +∞).

Область определения степенной функции

Степенная функция выглядит так: y = xa, то есть, f(x) = xa, где x — переменная в основании степени, a — некоторое число в показателе степени.

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.

Перечислим возможные случаи:

  • Если a — положительное целое число, то область определения функции есть множество действительных чисел: (−∞, +∞).
  • Для нецелых действительных положительных показателей степени: D(f) = [0, +∞).
  • Если a — отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
  • Для остальных действительных отрицательных a область определения степенной функции — числовой промежуток (0, +∞).

При a = 0 степенная функция y = xa определена для всех действительных значений x, кроме x = 0. Это связано с тем, что мы не определяли 00. А любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице. То есть, при a = 0 функция приобретает вид y = x0 = 1 на области определения (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

Рассмотрим несколько примеров.

 
  1. Область определения функций y = x5, y = x12 — множество R, так как показатели степени целые положительные.

  2. Степенные функции определены на интервале [0, +∞), так как их показатели положительные, но не целые.

  3. Область определения функции y = x−2, как и функции y = x−5 — это множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞), так как показатели степени целые отрицательные.

  4. Область определения степенных функций y = x-√19, y = x-3e, — открытый числовой луч (0, +∞), так как их показатели не целые и отрицательные.

Область определения показательной функции

Показательную функцию можно задать формулой y = ax, где переменная x — показатель степени, а — больше нуля и не равно единице.

Область определения показательной функции — это множество R.

Примеры показательных функций:

  • y = ex
  • y = (√15)x
  • y = 13x.

Область определения каждой из них (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выглядит так: y = logax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.

Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:

  • D (ln) = (0, +∞) и D (lg) = (0, +∞).

Рассмотрим примеры логарифмических функций: 

  • y = log7x
  • y = lnx

Область определения этих функций есть множество (0, +∞).

Пример

Укажите область определения функции:

Как решаем:

Составим и решим систему:


Графическое решение:


Ответ: область определения: D(f) = (−3, -2) ∪ (−2, +∞).

Область определения тригонометрических функций

Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.

  • Функция, которая задается формулой y = sinx, называется синусом, обозначается sin и определяется на множестве всех действительных чисел. Область определения синуса — это множество всех действительных чисел, то есть, D(sin) = R.
  • Функция, которая задана формулой y = cosx, называется косинусом, обозначается cos и определяется на множестве R. Область определения функции косинус — множество всех действительных чисел: D(cos) = R.
  • Функции, которые заданы формулами y = tgx и y = ctgx, называются тангенсом и котангенсом и обозначаются tg и ctg. Область определения тангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел . Область определения котангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел πk, k ∈ Z.

Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Как решаем:

Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:


Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:


В результате . Отразим графически:


Ответ: область определения: .

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

  • Функция, которая задается формулой y = arcsinx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арксинусом и обозначается arcsin.

    Область определения арксинуса — это множество [−1, 1], то есть, D(arcsin) = [−1, 1].

  • Функция, которая задается формулой y = arccosx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арккосинусом и обозначается arccos.

    Область определения функции арккосинус — отрезок [−1, 1], то есть, D(arccos) = [−1, 1].

  • Функции, которые задаются формулами вида y = arctgx и y = arcctgx и рассматриваются на множестве всех действительных чисел, называются арктангенсом и арккотангенсом и обозначаются arctg и arcctg.

    Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.

Таблица областей определения функций

Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.

И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните. 

Функция

Область определения функции

Постоянная

y = C

 

R

Корень

y = n√x 

 

[0 ; +∞) , если n — четное;

(-∞; +∞) , если n  — нечетное.

Степенная

y = xa 

 

(-∞; +∞) , если a > 0, a ∈ Z;

[0 ; +∞), если a > 0, a ∈ R, a ∉ Z;

(-∞; 0) ∪ (0; +∞) , если a < 0, a ∈ Z;

(0; +∞), если a ∈ R, a ≠ Z;

(-∞; 0) ∪ (0, +∞), если a = 0.

Показательная

y = ax 

 

R

Логарифмическая

y = lognx

 

(0; +∞) 

Тригонометрические

y = sinxy

y = cosxy

y = tgxy

y = ctgx

 

R

R

x ∈ R, x ≠ π/2 + πk, k ∈ Z

x ∈ R, x ≠ πk, k ∈ Z

Обратные тригонометрические

y = arcsinxy 

y = arccosxy 

y = arctgxy 

y = arcctgx

 

[-1; 1]

[-1; 1]

R

R  

Построение графиков элементарных функций.

Теперь рассмотрим схемы графиков многочленов четвёртой степени .
Заметим, что как при больших отрицательных, так и при больших положительных значениях аргумента x значения функции будут большими числами, совпадающими по знаку с коэффициентом a . Пусть коэффициент a >0.

1 случай.

Производная многочлена имеет три различных корня x1 , x2 , x3.

В этом случае функция имеет три точки экстремума и график выглядит следующим образом.
Такого вида графики получаются, когда многочлен четвёртой степени имеет четыре различных действительных корня,
 
или когда два разных корня, а третий корень кратности два,
 
или два корня кратности два.

Пример 5.4.
Построить график функции .

2 случай.

Производная многочлена четвёртой степени имеет два корня, один из которых имеет кратность два, и значит, в этой точке экстремума нет. График в этом случае выглядит так:

Такого вида случай получается, если многочлен четвёртой степени имеет один простой корень, а другой кратности три.

Пример 5.5.
Построить график функции .

Решение.
Отметим корни многочлена на оси абсцисс: x1 = -1 , x2 = 3 .
Первый корень имеет кратность три, а значит, функция, переходя через корень, будет менять свой знак, касаясь оси OX (смотри параграф 1 «Графики элементарных функций » график функции ). График будет выглядеть так:

3 случай.

Производная многочлена четвёртой степени имеет один действительный корень. В этом случае многочлен имеет одну точку минимума и его график схож с графиком функции y=x4.

Например, эта парабола четвёртой степени является графиком функции

Аналогично строятся графики многочленов четвёртой степени с отрицательным старшим коэффициентом. В этом случае ветви параболы четвёртой степени направлены вниз. Получаем следующую сводную таблицу.

страницы:1 2 3

Графики функций. Прямая. Парабола. Функция корня. Тригонометрические функции

Факт 1.
\(\bullet\) Линейная функция – функция вида \(f(x)=kx+b\), где \(k,b\) – некоторые числа.
\(\bullet\) Графиком линейной функции является прямая.
\(\bullet\) Если \(b=0\), то прямая проходит через начало координат.
\(\bullet\) Графиком \(x=a\) является прямая, параллельная оси \(Oy\).
\(\bullet\) Графиком \(y=с\) является прямая, параллельная оси \(Ox\).
\(\bullet\) Для \(f(x)=kx+b\) коэффициент \(k\) равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси \(Ox\).

\(k_1=\mathrm{tg}\alpha\), \(k_2=\mathrm{tg}\beta\).
\(\bullet\) Если две прямые \(y=k_1x+b_1\) и \(y=k_2x+b_2\) параллельны, то \(k_1=k_2\).
\(\bullet\) Если эти прямые взаимно перпендикулярны, то \(k_1\cdot k_2=-1\).2+cx+d\) выглядит, например, как \((3)\).


 

Факт 4.
\(\bullet\) Функция корня – функция \(f(x)=\sqrt x\).
\(\bullet\) График функции \(y=\sqrt x\):

\(\bullet\) Заметим, что \(y=\sqrt x\) определена при \(x\geqslant 0\) и принимает значения \(y\geqslant 0\).  

Факт 5.
\(\bullet\) Графиком функции \(y=\sin x\) является синусоида

\(\bullet\) Графиком функции \(y=\cos x\) также является синусоида, но сдвинутая на \(\frac{\pi}2\) единиц влево по оси \(Ox\)

\(\bullet\) Обе функции \(y=\sin x\) и \(y=\cos x\) периодичны с периодом \(2\pi\). Обе функции могут принимать значения \(y\in [-1;1]\).
\(\bullet\) Функция \(y=\sin x\) – нечетная, функция \(y=\cos x\) – четная.  

Факт 6.
\(\bullet\) График функции \(y=\mathrm{tg} \,x\)

Прямые \(x=k\cdot \frac{\pi}2\), где \(k\) – нечетное число, являются асимптотами графика (то есть график их не пересекает).x\in (0;+\infty)\):

Ее график всегда проходит через точку \((0;1)\).  

Факт 8.
\(\bullet\) Логарифмическая функция \(y=\log_ax\) при \(a>1\) является возрастающей, ее область определения \(x>0\), ее область значений \((-\infty;+\infty)\):

Ее график всегда проходит через точку \((1;0)\).

 

\(\bullet\) Логарифмическая функция \(y=\log_ax\) при \(0<a<1\) является убывающей, ее область определения \(x>0\), ее область значений \((-\infty;+\infty)\):

Ее график всегда проходит через точку \((1;0)\).

 

Графики функций квадратного корня и кубического корня — Видео и стенограмма урока

Преобразования функций

Обратите внимание, что две упомянутые неосновные функции являются алгебраическими функциями основных функций. Эти алгебраические вариации соответствуют перемещению графика функции по-разному, и они называются преобразованиями.

Есть четыре типа преобразований.

По горизонтали

Сдвигает график влево или вправо.Это соответствует сложению или вычитанию числа c из x в функции. Если мы складываем c , мы сдвигаем график c единиц влево, а если мы вычитаем c , то мы смещаем график c единиц вправо.

Пример: 3, добавленные к x в y = 2√ ( x + 3), соответствует смещению графика y = √ ( x ) на 3 единицы влево.

Растяжение / сжатие

Растягивает или сжимает график по вертикали или горизонтали.Это соответствует умножению всей функции на число c или просто x -переменной на число c . Если мы умножаем всю функцию на c , то мы растягиваем график по вертикали в c , если c > 1, и сжимаем график по вертикали в c , если 0 < c <1. Если мы умножим только переменную x на c , то мы растянем график по горизонтали с коэффициентом c , если 0 < c <1, и сожмем график по горизонтали с коэффициентом c , если c > 1.

Пример: 2, умноженные на √ ( x ) в y = 2√ ( x + 3), соответствует растяжению графика y = √ ( x ) по вертикали с коэффициентом 2.

Отражение

Отражает график по осям x или y . Это соответствует умножению на минус. Если мы умножим всю функцию на отрицательное значение, тогда мы отразим график по оси x , а если мы умножим только переменную x на отрицательное значение, то мы отобразим график по оси x . .

Пример: Негатив в y = -3√ ( x ) — 4 соответствует отображению графика y = 3√ ( x ) по оси x .

Вертикально

Сдвигает график вверх или вниз. Это соответствует добавлению или вычитанию числа c из функции. Если добавить к функции c , то мы сдвинем график вверх на c единиц. Если мы вычтем из функции c , то мы сдвинем график вниз на c единиц.

Пример: вычитание 4 из y = -3√ ( x ) — 4 соответствует смещению графика y = 3√ ( x ) вниз на 4 единицы.

Построение графиков с преобразованиями

Для построения графиков неосновных функций квадратного корня и кубического корня мы можем использовать следующие шаги:

  1. Определить алгебраические операции с соответствующими преобразованиями.
  2. Возьмите график основной функции с помощью этих преобразований в порядке горизонтального, отражения, растяжения / сжатия и вертикального.

Давайте воспользуемся этими шагами и преобразованиями для построения графика неосновных функций, о которых мы упоминали ранее. Сначала рассмотрим y = 2√ ( x + 3). Первый шаг — отождествить алгебраические операции с соответствующими им преобразованиями. Как вы помните, мы делали это в примерах горизонтальных преобразований и преобразований растяжения / сжатия.

Теперь мы просто возьмем основной график y = √ ( x ) с помощью этих преобразований.

Не так уж и сложно, не так ли? Давайте посмотрим на пример кубического корня: y = -3√ ( x ) — 4. Сначала мы идентифицируем наши преобразования, которые мы сделали в примере отражения и вертикальном примере.

Теперь мы просто возьмем базовый график y = 3√ ( x ) с помощью этих преобразований.

Та-да! График получился!

Резюме урока

Хорошо, давайте сделаем небольшой обзор того, что мы узнали.Функция квадратного корня — это функция с переменной под квадратным корнем. Аналогично, функция кубического корня — это функция с переменной под корнем куба. Самыми основными из этих функций являются √ ( x ) и 3√ ( x ), соответственно, и мы можем легко построить график этих основных функций, построив несколько точек и соединив точки.

Неосновные функции квадратного корня и кубического корня — это алгебраические манипуляции с основными функциями. Эти алгебраические операции соответствуют графическим преобразованиям, и мы можем использовать эти преобразования для построения графиков этих неосновных функций квадратного и кубического корня.Преобразования включают следующее:

  • По горизонтали , который сдвигает график влево или вправо
  • Растяжение / сжатие , которое растягивает или сжимает график по вертикали или горизонтали
  • Отражение , которое отражает график по осям x или y
  • Вертикальный , сдвигающий график вверх или вниз

Зная эти преобразования, мы можем построить график неосновных функций квадратного корня и кубического корня, выполнив следующие два шага:

  1. Определить алгебраические операции с соответствующими им преобразованиями.
  2. Возьмите график основной функции с помощью этих преобразований в порядке горизонтального, отражения, растяжения / сжатия, вертикального.

Это делает построение графиков неосновных функций квадратного корня и кубического корня почти таким же простым, как построение графиков основных функций, и это здорово, поскольку эти неосновные функции часто встречаются в различных областях математики, а также в реальных приложениях.

1.4.3: Графические функции корня куба

Миссис Гарсия назначает своему ученику функцию кубического корня \ (\ y = — \ sqrt [3] {(x + 1)} \) для построения графика для домашнего задания.На следующий день она спрашивает своих учеников, в каком квадранте (-ах) находится их график.

Алендро говорит, что из-за отрицательного знака все значения y отрицательны. Поэтому его график находится только в третьем и четвертом квадрантах.

Дако говорит, что его график также находится в третьем и четвертом квадрантах, но он также находится во втором квадранте.

Мариша говорит, что они оба ошибаются и что ее график функции представлен во всех четырех квадрантах.

Какой из них правильный?


Функция кубического корня отличается от функции квадратного корня. Их общие формы очень похожи, \ (\ y = a \ sqrt [3] {x-h} + k \), а родительский граф — \ (\ y = \ sqrt [3] {x} \). Однако мы можем взять кубический корень отрицательного числа, поэтому он будет определен для всех значений x. {3} \).Домен и диапазон \ (\ y = \ sqrt [3] {x} \) — все действительные числа. Обратите внимание, что нет «начальной точки», такой как функции извлечения квадратного корня, (h, k) теперь относится к точке изгиба функции, называемой точкой перегиба .

Давайте опишем, как получить график \ (\ y = \ sqrt [3] {x} +5 \) из \ (\ y = \ sqrt [3] {x} \).

[Figure2]

Мы знаем, что +5 означает вертикальный сдвиг на 5 единиц вверх. Следовательно, этот график будет выглядеть точно так же, как и родительский граф, со сдвигом на пять единиц вверх.

Теперь давайте построим график \ (\ f (x) = — \ sqrt [3] {x + 2} -3 \) и найдем домен и диапазон.

[Figure3]

Из предыдущей задачи мы знаем, что из родительского графа эта функция сдвинется на две единицы влево и на три единицы вниз. Отрицательный знак приведет к отражению.

Альтернативный метод: Если вы хотите использовать таблицу, это тоже подойдет. Вот таблица, затем нанесите точки. (h, k) всегда должен быть средней точкой в ​​вашей таблице.

x y
6 -5
-1 -4
-2 -3
-3 -2
-10 –1

Наконец, давайте построим график \ (\ f (x) = \ frac {1} {2} \ sqrt [3] {x-4} \).

-4 говорит нам, что от родительского графика функция переместится на четыре единицы вправо. \ (\ 1 \ over 2 \) влияет на то, как быстро функция будет «расти». Поскольку он меньше единицы, он будет расти медленнее, чем родительский граф.

Использование графического калькулятора: Если вы хотите построить график этой функции с помощью TI-83 или 84, нажмите Y = и удалите все функции. Затем нажмите (1 ÷ 2), MATH и прокрутите вниз до 4 : \ sqrt [3] {} и нажмите ENTER .Затем введите оставшуюся часть функции, чтобы \ (\ Y = \ left (\ frac {1} {2} \ right) \ sqrt [3] {(X-4)} \). Нажмите GRAPH и настройте окно.

Важное примечание: Область и диапазон всех кубических корневых функций являются действительными числами.


Пример 1

Решение

Ранее вас попросили определить, какой ученик был правильным.

Если вы построите график функции \ (\ y = — \ sqrt [3] {(x + 1)} \), вы увидите, что область представляет собой все действительные числа, что делает возможными все квадранты.Однако для всех положительных значений x , y является отрицательным из-за отрицательного знака перед корнем куба. Это исключает первый квадрант. Следовательно, Дако прав.

Пример 2

Вычислить \ (\ y = \ sqrt [3] {x + 4} -11 \), когда \ (\ x = −12 \).

Решение

Вставьте \ (\ x = −12 \) и решите относительно \ (\ y \).

\ (\ y = \ sqrt [3] {- 12 + 4} -11 = \ sqrt [3] {- 8} + 4 = -2 + 4 = 2 \)

Пример 3

Опишите, как получить график \ (\ y = \ sqrt [3] {x + 4} -11 \) из \ (\ y = \ sqrt [3] {x} \).

Решение

Начиная с \ (\ y = \ sqrt [3] {x} \), вы получите \ (\ y = \ sqrt [3] {x + 4} -11 \), сдвинув функцию влево на четыре единицы и вниз на 11 единиц.

Изобразите следующие кубические корневые функции. Проверьте свои графики на графическом калькуляторе.

Пример 4

\ (\ y = \ sqrt [3] {x-2} -4 \)

Решение

Эта функция представляет собой сдвиг по горизонтали на две единицы вправо и на четыре единицы вниз.

[Рисунок 4]

Пример 5

\ (\ f (x) = — 3 \ sqrt {x} -1 \)

Решение

Эта функция является отражением \ (\ y = \ sqrt [3] {x} \) и растянута в три раза.Наконец, он сдвигается на одну единицу вниз.

[Рисунок 5]

Графические радикальные функции | Purplemath

Прежде всего, мне нужно проверить домен этой функции, поэтому я знаю, где , а не , чтобы попытаться построить точки. Я знаю, что не могу изобразить отрицательное значение внутри квадратного корня, поэтому мне нужно определить, какие значения x будут в порядке. Я знаю, например, что x не может быть 5, потому что:

Чтобы найти область определения этой функции, я беру все, что находится внутри радикала (то есть я беру «аргумент» радикала), и устанавливаю его «равным или больше нуля».Затем я решаю это неравенство для допустимых значений x :

.

3 — 90 249 x ≥ 0

3 ≥ x

х ≤ 3

(Последняя строка выше не обязательна, но мне легче работать с переменной в левой части неравенства. Вы делаете то, что лучше всего подходит для вас.)

Теперь я знаю, что мне не следует выбирать любое значение x , которое больше 3 для моей таблицы значений (часто называемой «T-диаграммой»). И я также не должен пытаться рисовать что-либо на моем графике справа от x = 3: если у меня не может быть никаких x -значений, превышающих 3, тогда я не могу хорошо пропустить график. 3.

Многие начинающие студенты ошибочно делают следующее: они выбирают только два или три значения x и выбирают их очень близко друг к другу:

Затем они наносят только эти несколько точек:

…и затем проводят прямую через эти точки:

НЕПРАВИЛЬНЫЙ ГРАФИК!

В отличие от вышесказанного, я собираюсь уделить время тому, чтобы уважать домен функции. Я также найду время, чтобы выбрать не только больше значений x , но и более полезные значения x , которые дадут мне хорошие точки для построения графика.Я также обязательно включу конечную точку графической линии, являющуюся граничной точкой, заданной областью « x ≤ 3».

Собирая все вместе, моя Т-диаграмма выглядит так:

Затем, используя свою линейку для создания хороших осей и шкал, я точно нанесу эти значения:

… и затем я провожу через эти точки изогнутую линию , помня, что не следует продлевать линию вправо от x = 3:

Следует ожидать, что радикальные функции будут отображаться в виде кривых линий.Не пытайтесь провести через эти точки прямую линию. Вы также должны ожидать, что радикальные графы будут намного шире (то есть вытянуты из стороны в сторону), чем они высокие. Убедитесь, что на бумаге достаточно места для хорошего графика.

В приведенном выше примере вы видели, как я осторожно выбирал значения x для моей T-диаграммы, которые давали красивые аккуратные значения y . Этого не требуется, и это даже не всегда разумно осуществимо. Но это может значительно упростить построение графиков, поэтому (особенно если у вас есть графический калькулятор, который может составить для вас таблицу значений), стоит потратить время, чтобы быть уверенным в точках графика.

Графические кубические корни

Тема: кубические корни

Привет. Меня зовут Хизер Джонс. Я учусь в 11 классе. Как выглядят графики кубических корней?

Привет, Хизер,

Есть (по крайней мере) несколько способов «увидеть» это.

  1. Визуальный. Нарисуйте график того, что выглядит y = x 3 (куб) нравиться. Теперь ВАМ нужен график, в котором x и y меняют роли: y 3 = x или y = x 1/3 .(Это, кстати, еще один стандарт обозначение кубического корня. Это обозначение вам понадобится, если вы хотите вычислить кубические корни из определенных чисел на калькуляторе.)

    Вы можете получить этот «перевернутый» график, взяв первый (нарисовано в том же масштабе по осям x и y) и положив вниз зеркало на y = x. Теперь отразите в этом зеркале первый график. Y становится x, x становится y, а первый график y = x 3 становится у 3 = х.

    Другой способ увидеть это — нарисовать график y = x 3 на прозрачной пленке, которую вы использовали бы в диапроекторе. Теперь поменяйте роли x и y, обозначив горизонтальную ось y и вертикальную ось x. Наконец, переверните прозрачность и поверните ее так, чтобы ось y была вертикальной положительной точкой вверх, а ось x была горизонтальной с положительной точкой вправо. Вы видите график y = x 1/3 .
    Харлей

    Это общий метод поворота графика ЛЮБОЙ функции. в график «обратной» функции.Работает для y = x 2 to y 2 = x (или эквивалентно y = x 1/2 — квадратный корень).

    Так же, как график y = x 3 растет намного быстрее, чем y = x 2 или y = x, график y = x 1/3 растет МЕДЛЕЕ, чем график y = x 1/2 что, в свою очередь, медленнее, чем y = x.

  2. Числовой. Возьмите пары точек из y = x 3 . (-2, -8), (-1, -1), (0,0), (1,1), (2,8) и т. Д.Поменяйте местами каждую из пар: (-8, -2), (-1, -1) (0,0) (1,1) (8,2) и т. Д. Эти перевернутые точки (зеркальные изображения в 1.) являются точками на график: кубический корень из -8 равен -2 и т. д. Используйте эти точки (и другие по мере необходимости) для построения графика.

    (3) С помощью калькулятора вы можете получить баллы на графике, просто вставляя точки и зная, что кубический корень из x совпадает с x для показателя степени (1/3). Опять же, достаточно очков предоставит вам информацию для наброска графика.

Ура,
Уолтер Перейти в Центр математики

Как поместить кубический корень в графический калькулятор

Немного потренировавшись, вы можете довольно хорошо определить кубический корень из простых чисел. Например, 3 √8 = 2, 3 √27 = 3 и так далее. Но когда дело доходит до нахождения кубических корней для больших чисел или нахождения точных значений для кубических корней, которые не работают с целым числом, научный калькулятор становится очень полезным инструментом.Если вы используете калькулятор с возможностью построения графиков, вы также можете получить доступ к графику этой функции.

Поиск корня куба на калькуляторе TI-83/84

Калькуляторы серии TI-83/84 — самый популярный графический калькулятор, с которым вы можете столкнуться в академических условиях, и все модели используют один и тот же процесс для доступа к корням куба.

    Нажмите клавишу MATH, расположенную в дальнем левом углу калькулятора, чтобы открыть меню специальных операций.

    Нажмите 4, чтобы выбрать функцию кубического корня, затем введите число, из которого вы хотите найти кубический корень, и нажмите ENTER.Калькулятор вернет значение кубического корня.

Построение графика корня куба на калькуляторе TI-83/84

Опять же, все версии графического калькулятора TI-83/84 используют аналогичный процесс для создания графика функции корня куба.

    Нажмите кнопку y = , расположенную в верхнем левом углу калькулятора, чтобы получить доступ к графическому меню.

    Нажмите MATH, чтобы вызвать меню специальных операций, затем нажмите 4, чтобы выбрать функцию корня куба.Затем нажмите клавишу « X, T, θ, n », расположенную слева от клавиатуры со стрелками, которая генерирует x под функцией корня куба. (Другими словами, вы просите калькулятор построить график 3 x .)

    Нажмите клавишу ГРАФИК, расположенную в правом верхнем углу калькулятора. Это генерирует график функции корня куба.

Поиск корня куба на графическом калькуляторе Casio FX

Другой очень популярный графический калькулятор, серия Casio FX (в которую входят FX-9860GII и FX-9750GII), позволяет получить доступ к функции корня куба прямо из основная клавиатура.

    Нажмите клавишу SHIFT, а затем клавишу (. Это активирует функцию корня куба.

    Введите число, для которого нужно найти корень куба, затем нажмите EXE (выполнить), чтобы вернуть результат.

Графики корень куба на графическом калькуляторе Casio FX

Вы также можете использовать графические возможности серии Casio FX, чтобы показать график функции корня куба.

    Нажмите кнопку МЕНЮ, затем используйте клавиши со стрелками для перехода в режим ГРАФИК .Нажмите EXE, чтобы войти в режим графика.

    Введите функцию корня куба, как только что описано, с одним небольшим отличием: нажмите SHIFT, а затем клавишу (, чтобы создать функцию корня куба. Затем нажмите клавишу « x , θ, T », расположенную на крайняя левая сторона клавиатуры калькулятора, чтобы ввести x под знаком корня куба.

    Нажмите F6, чтобы сгенерировать график функции корня куба.

Когда можно использовать корни куба

Наиболее очевидное место вы будете использовать такого рода вычисления в задачах алгебры.Например, если вам дано уравнение x 3 = 125, вам нужно будет использовать функцию кубического корня, чтобы найти x . В реальном мире кубические корни появляются, когда вы рассматриваете проблемы в трех измерениях или, говоря другими словами, когда вы начинаете вычислять объем.

Например, если вы пытаетесь определить размеры контейнера квадратной формы, объем которого вам уже известен, вы можете использовать функцию кубического корня, чтобы найти длину его сторон.Это потому, что объем квадратного контейнера равен y 3 или y × y × y , где y — длина одной из его сторон. Итак, если вам уже известен объем V , вы вычисляете 3 V и получаете длину каждой стороны.

Калькулятор кубического корня | Определение

Наш калькулятор кубического корня — удобный инструмент, который поможет вам определить кубический корень, также называемый корнем 3 rd , любого положительного числа .Вы можете сразу воспользоваться нашим калькулятором; просто введите число, из которого вы хотите найти кубический корень, и готово! Более того, вы можете делать вычисления наоборот и использовать их для кубических чисел. Для этого просто введите в последнее поле число, которое вы хотите возвести в третью степень! Это может быть чрезвычайно полезно при поиске так называемых идеальных кубов. Подробнее о них вы можете прочитать в следующей статье.

Благодаря нашему калькулятору кубического корня вы также можете вычислить корни из других степеней .Для этого вам нужно изменить число в градусах корневого поля . Если вы хотите узнать больше об определении корня куба, ознакомиться со свойствами функции корня куба и найти список префектных кубов, мы настоятельно рекомендуем вам продолжить чтение этого текста. Там вы также можете найти некоторые уловки, как найти кубический корень на калькуляторе или как вычислить его в уме.

Если вас интересует история символа корня, загляните в калькулятор квадратного корня, где мы ее обсудим.(1/3)

Геометрический пример может помочь вам понять это. Лучший пример, который мы можем привести, — это куб. Итак, кубический корень объема куба — это длина его ребра. Так, например, если куб имеет объем 27 см³, то длина его граней равна кубическому корню из 27 см³, что составляет 3 см. Легкий?

Вы должны помнить, что в большинстве случаев кубический корень не будет рациональным числом . Эти числа могут быть выражены как частное двух натуральных чисел, т.е.е. фракция. Дроби могут вызвать определенные трудности, особенно когда дело касается их сложения. Если у вас возникли проблемы с нахождением общего знаменателя двух дробей, воспользуйтесь нашим калькулятором НОК, который вычисляет наименьшее общее кратное двух заданных чисел.

Что такое кубический корень из …?

С помощью нашего калькулятора кубического корня действительно легко найти кубический корень любого положительного числа! Просто введите любое число, чтобы найти его кубический корень. Например, кубический корень из 216 равен 6. Чтобы просмотреть список идеальных кубиков, перейдите к следующему разделу.

Обратите внимание, что можно найти кубический корень и из отрицательного числа, в конце концов, отрицательное число в третьей степени все еще отрицательное — например, (-6) ³ = -216 .

Однако вы должны помнить, что любое ненулевое число имеет три кубических корня: по крайней мере, один действительный и два мнимых. Этот калькулятор кубического корня работает только с действительными числами, но, если вам интересно, мы рекомендуем вам прочитать больше о мнимых числах!

Наиболее распространенные значения — список perfect cubes

Ниже приведены наиболее распространенные значения кубического корня.Эти числа также очень часто называют идеальных кубов , потому что их кубические корни являются целыми числами. Вот список из десяти первых идеальных кубиков:

  • кубический корень из 1: ∛1 = 1 , так как 1 * 1 * 1 = 1 ;
  • кубический корень из 8: ∛8 = 2 , так как 2 * 2 * 2 = 8 ;
  • кубический корень из 27: ∛27 = 3 , так как 3 * 3 * 3 = 27 ;
  • кубический корень из 64: ∛64 = 4 , так как 4 * 4 * 4 = 64 ;
  • кубический корень из 125: ∛125 = 5 , так как 5 * 5 * 5 = 125 ;
  • кубический корень из 216: ∛216 = 6 , так как 6 * 6 * 6 = 216 ;
  • кубический корень из 343: ∛343 = 7 , так как 7 * 7 * 7 = 343 ;
  • кубический корень из 512: ∛512 = 8 , так как 8 * 8 * 8 = 512 ;
  • кубический корень из 729: ∛729 = 9 , так как 9 * 9 * 9 = 729 ;
  • кубический корень из 1000: ∛1000 = 10 , так как 10 * 10 * 10 = 1000 ;

Как видите, числа очень быстро становятся очень большими, но иногда вам придется иметь дело с еще большими числами, такими как факториалы.В этом случае мы рекомендуем использовать научную нотацию, которая является гораздо более удобным способом записывать действительно большие или очень маленькие числа.

С другой стороны, большинство других чисел не являются идеальными кубиками , но некоторые из них все еще используются часто. Вот список некоторых несовершенных кубов с округлением до сотых:

  • кубический корень из 2: ∛2 ≈ 1,26 ;
  • кубический корень из 3: ∛3 ≈ 1,44 ;
  • кубический корень из 4: ∛4 ≈ 1.59 ;
  • кубический корень из 5: ∛5 ≈ 1,71 ;
  • кубический корень из 10: ∛10 ≈ 2,15 ;

Не сомневайтесь, воспользуйтесь нашим калькулятором кубического корня, если нужного вам числа нет в этом списке!

Функция кубического корня и график

Вы можете построить график функции y = ∛ (x) . В отличие от, например, логарифмическая функция, функция кубического корня является нечетной функцией — это означает, что она симметрична относительно начала координат и удовлетворяет условию - f (x) = f (-x) .Эта функция также проходит через ноль.

Благодаря этой функции вы можете построить график кубического корня, который показан ниже. Мы также рекомендуем вам воспользоваться калькулятором квадратичных формул, чтобы узнать о других функциональных формулах!

Как вычислить кубический корень в своей голове?

Как вы думаете, можно ли решить простые задачи с кубическими корнями без онлайн-калькулятора или даже карандаша или бумаги? Если вы думаете, что это невозможно или не можете сделать это, воспользуйтесь этим методом, это очень просто.Однако работает только для идеальных кубиков . Забудьте обо всех правилах из учебников по арифметике и рассмотрите на мгновение следующий метод, описанный Робертом Келли.

Прежде всего, необходимо запомнить кубики чисел от 1 до 10 и последнюю цифру их кубиков. Он представлен в таблице ниже.

Номер 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Куб 1 8 27 64 126 216 343 512 729 1000
Последняя цифра 1 8 7 4 5 6 3 2 9 0

Если у вас есть число, которое вы хотите найти кубический корень, сначала посмотрите на тысячи (пропустите последние три цифры).Например, для числа 185 193 тысячи равны 185. Куб из 5 равен 125, а из 6 — 216. Следовательно, очевидно, что число, которое вы ищете, находится между 50 и 60. Следующим шагом является игнорирование все остальные цифры, кроме последней цифры. Мы видим, что это 3, так что проверьте свою память или в нашей таблице. Вы обнаружите, что число, которое вы ищете, — 7. Итак, ответ: 57 ! Легкий?

Давайте возьмем другой пример и сделаем это шаг за шагом!

  1. Подумайте о числе, которое вы хотите узнать как кубический корень.Возьмем 17576 .
  2. Пропустить три последние цифры.
  3. Найдите два ближайших известных вам кубических корня. Кубический корень из 8 равен 2, а кубический корень из 27 равен 3. Таким образом, ваше число находится между 20 и 30.
  4. Посмотрите на последнюю цифру. Последняя цифра 17576 — 6.
  5. Проверьте свою память (или по нашей таблице) — последняя цифра 6 соответствует цифре 6. Это последняя цифра вашего числа.
  6. Объедините два: 26 . Это кубический корень из 17576!

Напоминаем, что этот алгоритм работает только для идеальных кубиков! А вероятность того, что случайное число является идеальным кубом, увы, очень мала.У вас есть только 0,0091% шанс найти человека между 1 000 и 1 000 000. Если вы не уверены в своем числе, просто забудьте об этом правиле и воспользуйтесь нашим калькулятором кубического корня 🙂

Как найти кубический корень на обычном калькуляторе?

  1. Сначала нужно набрать число, для которого нужно найти кубический корень
  2. Нажмите (корневой ключ) два раза
  3. Нажмите x (множественный знак)
  4. Нажмите (корневой ключ) четыре раза
  5. Нажмите x (множественный знак)
  6. Нажмите (корневой ключ) восемь раз
  7. Нажмите x (множественный знак)
  8. В последний раз нажмите (корневой ключ) два раза
  9. А теперь можно нажать = (знак равенства)! Вот тебе ответ!

Вы не верите? Проверьте это еще раз на другом примере!

Примеры вопросов с кубическим корнем

Допустим, вам нужно сделать шар объемом 33.5 мл. Для его приготовления нужно знать его радиус. Как вы, наверное, знаете, уравнение для вычисления объема шара выглядит следующим образом:

В = (4/3) * π * r³

Итак, уравнение для радиуса выглядит так:

r = ∛ (3V / 4π)

Вы знаете, что объем 33,5 мл. Сначала вам нужно переключиться на другие единицы громкости. Самый простой перевод в см³: 33,5 мл = 33,5 см³. Теперь вы можете решить радиус:

r = ∛ (100.5 / 12,56)

r = ∛ (8)

г = 2

Чтобы шар имел объем 33,5 мл, его радиус должен составлять 2 сантиметра.

Калькулятор энного корня

С помощью нашего калькулятора корней вы также можете вычислить другие корни. Просто введите число в поле степени корня , и вы получите любой выбранный калькулятор корня n-й степени . Наш калькулятор автоматически сделает все необходимые расчеты, и вы можете свободно использовать его в своих расчетах!

Итак, давайте рассмотрим несколько примеров.Предположим, вам нужно вычислить корень четвертой степени из 1296 . Сначала вам нужно написать соответствующее число, которое вы хотите получить root — 1296. Затем измените степень корня на 4 . И вот результат! Корень четвертой степени из 1296 составляет 6 .

Наш калькулятор корня n-й степени также позволяет вычислять корень иррациональных чисел. Попробуем вычислить π-го корня . Символ π представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру.Его значение постоянно для каждого круга и составляет примерно 3,14. Допустим, вы хотите вычислить корень π-й степени из 450 . Сначала напишите 450 в поле номер . Затем изменим угол корня — округлим и напишем вместо π 3,14 . И теперь вы можете увидеть результат. Это почти 7 .

Три решения кубического корня

В конце этой статьи мы подготовили раздел продвинутой математики для самых настойчивых из вас.Вы, наверное, знаете, что положительные числа всегда имеют два квадратных корня: отрицательный и положительный. Например, √4 = -2 и √4 = 2 . Но знаете ли вы, что подобное правило применяется к кубическим корням? Все действительные числа (кроме нуля) имеют ровно три кубических корня : одно действительное число и пару комплексных. Комплексные числа были введены математиками давным-давно, чтобы объяснить проблемы, с которыми не могут справиться действительные числа. Обычно мы выражаем их в следующей форме:

х = а + Ь * я

, где x — комплексное число с действительной a и мнимой b частями (для действительных чисел b = 0 ).Загадочное воображаемое число i определяется как квадратный корень из -1 :

.

я = √ (-1)

Хорошо, но как это знание влияет на количество решений кубического корня? В качестве примера рассмотрим кубические корни из 8 , которые равны 2 , -1 + i√3 и -1 - i√3 . Если вы нам не верите, давайте проверим это, возведя их в степень 3, помня, что i² = -1 и используя короткую формулу умножения (a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ :

  1. 2³ = 8 — очевидное,
  2. (-1 + i√3) ³ = -1 + 3i√3 + 9 - 3i√3 = 8 ,
  3. (-1 - i√3) ³ = -1 - 3i√3 + 9 + 3i√3 = 8 .

Теперь вы видите? Все они равны 8 !

График функции квадратного корня

Для действительных чисел значение подкоренного выражения не может быть отрицательным. поэтому область определения функции квадратного корня ограничена значениями x, для которых подкоренное выражение больше или равно 0_ Задача 1 Нахождение области определения функции квадратного корня Какова область определения функции y = 2 Советы по построению графика Все функции Семь функциональных «рычагов» y = af (b (x — h)) + k Советы по построению 1) Перемещение вверх / вниз ↕ k (Вертикальное перемещение) «+» Перемещение вверх 2) Перемещение влево / вправо ↔ h (горизонтальное перемещение) «+» Перемещает вправо

Следующий апплет позволяет выбрать одну из 4 родительских функций: Базовая квадратичная функция: f (x) = x ^ 2 Базовая кубическая функция: f (x) = x ^ 3 Базовая абсолютная функция значения: f (x) = | x | Основная функция извлечения квадратного корня: y = sqrt (x) В каждой из этих функций вы исследуете, что параметры «a», «h» и «k» будут делать с графиком… а. Постройте график линейных и квадратичных функций и покажите точки пересечения, максимумы и минимумы. б. Графики квадратного корня, кубического корня и кусочно-определенных функций, включая пошаговые функции и функции абсолютных значений. c. Графические полиномиальные функции, определяющие нули, когда доступны подходящие факторизации, и показывающее поведение конца. d.

Построение радикальных уравнений в виде графиков — это, вероятно, первый раз, когда вы столкнетесь с необходимостью рассмотреть область применения уравнения перед построением графика. Это потому, что вы не можете поместить значение «минус» в квадратный корень.В дополнение к отслеживанию домена вам также потребуется очень аккуратно построить графики, иначе вы можете легко получить большинство своих графиков на … График функции f (x) = √x, состоящий из половины параболы с вертикальной направляющей. Функция главного квадратного корня f (x) = √x (обычно называемая просто «функцией квадратного корня») — это функция, которая отображает набор неотрицательных действительных чисел на себя.

Логарифмические функции являются обратными экспоненциальными функциями, и любая экспоненциальная функция может быть выражена в логарифмической форме.Точно так же все логарифмические функции можно переписать в экспоненциальной форме. Логарифмы действительно полезны, поскольку позволяют нам работать с очень большими числами, манипулируя числами гораздо более управляемого размера. В-третьих, f x равно x в квадрате, функция возведения в квадрат, ее график представляет собой параболу, и это родитель всех квадратичных функций. f x равно x в кубе, кубической функции. Номер пять, функция извлечения квадратного корня. f из x равно квадратному корню x. Типичная экспоненциальная функция f от x равна 2 x.

ПРАКТИКА: построение графиков функций квадратного корня и кубического корня. … Направления: нанесите на график следующие функции. Укажите домен и диапазон. 1. yx = −4. Домен . Диапазон: построение графиков функций квадратного корня и кубического корня и решение радикальных уравнений

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *