Y x 6 производная: Найдите производные функции а) y=x^6 б) у=2 в) у=5/х г) у=3-5х д) у=8√х+0,5cos x

2

Содержание

Задание №7. Производная. Поведение функции. Первообразная

Необходимая теория:

Производная функции

Таблица производных

Первообразная функции

Задание 7 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на геометрический и физический смысл производной. Это задачи о том, как производная связана с поведением функции. И еще (правда, очень редко) в этих задачах встречаются вопросы о первообразной.

Геометрический смысл производной 

Вспомним, что производная — это скорость изменения функции.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная также равна тангенсу угла наклона касательной.

1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной в точке .

Достроив до прямоугольного треугольника АВС, получим:

Ответ: 0,25.

2. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой
Найдите значение производной функции в точке

Начнём с определения знака производной. Мы видим, что в точке функция убывает, следовательно, её производная отрицательна. Касательная в точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поэтому из прямоугольного треугольника мы найдём тангенс угла , смежного с углом .

Мы помним, что тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему: Поскольку , имеем:

Ответ: −0, 25.

Касательная к графику функции

3. Прямая является касательной к графику функции

Найдите абсциссу точки касания.

Запишем условие касания функции и прямой в точке

При значения выражений и равны.

При этом производная функции равна угловому коэффициенту касательной, то есть .

Из второго уравнения находим или Первому уравнению удовлетворяет только .

Физический смысл производной

Мы помним, что производная — это скорость изменения функции.

Мгновенная скорость — это производная от координаты по времени. Но это не единственное применение производной в физике. Например, cила тока — это производная заряда по времени, то есть скорость изменения заряда. Угловая скорость — производная от угла поворота по времени.

Множество процессов в природе, экономике и технике описывается дифференциальными уравнениями — то есть уравнениями, содержащими не только сами функции, но и их производные.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах,

— время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени с.

Мгновенная скорость движущегося тела является производной от его координаты по времени. Это физический смысл производной. В условии дан закон изменения координаты материальной точки, то есть расстояния от точки отсчета:

Найдем скорость материальной точки как производную от координаты по времени:

В момент времени получим:

.

Ответ: 3.

Применение производной к исследованию функций

Каждый год в вариантах ЕГЭ встречаются задачи, в которых старшеклассники делают одни и те же ошибки.

Например, на рисунке изображен график функции — а спрашивают о производной. Кто их перепутал, тот задачу не решил.

Или наоборот. Нарисован график производной — а спрашивают о поведении функции.

И значит, надо просто внимательно читать условие. И знать, как же связана производная с поведением функции.

Если , то функция возрастает.

Если , то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
0 0

 

5. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Производная функции в точках максимума и минимума функции Таких точек на графике 5.

Ответ: 5.

6. На рисунке изображён график — производной функции , определённой на интервале . В какой точке отрезка функция принимает наибольшее значение?

Не спешим. Зададим себе два вопроса: что изображено на рисунке и о чем спрашивается в этой задаче?

Изображен график производной, а спрашивают о поведении функции. График функции не нарисован. Но мы знаем, как производная связана с поведением функции.

На отрезке производная функции положительна.

Значит, функция возрастает на этом отрезке. Большим значениям х соответствует большее значение Наибольшее значение функции достигается в правом конце отрезка, то есть в точке 3.

Ответ: 3.

7. На рисунке изображён график функции ,

определённой на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой

Прямая параллельна оси абсцисс. Найдем на графике функции точки, в которых касательная параллельна оси абсцисс, то есть горизонтальна. Таких точек на графике 7. Это точки максимума и минимума.

Ответ: 7.

8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите количество точек максимума функции на отрезке

Очень внимательно читаем условие задачи. Изображен график производной, а спрашивают о точках максимума функции. В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус». На отрезке такая точка всего одна! Это

Ответ: 1.

9. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале Найдите точку экстремума функции

на отрезке

Точками экстремума называют точки максимума и минимума функции. Если производная функции в некоторой точке равна нулю и при переходе через эту точку меняет знак, то это точка экстремума. На отрезке график производной (а именно он изображен на рисунке) пересекает ось абсцисс в точке В этой точке производная меняет знак с минуса на плюс.

Значит, является точкой экстремума.

Первообразная и формула Ньютона-Лейбница

Функция , для которой является производной, называется первообразной функции Функции вида образуют множество первообразных функции

10. На рисунке изображён график — одной из первообразных некоторой функции , определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке

Функция для которой является производной, называется первообразной

функции

Это значит, что на графике нужно найти такие точки, принадлежащие отрезку , в которых производная функции равна нулю. Это точки максимума и минимума функции На отрезке таких точек 4.

Ответ: 4.

Больше задач на тему «Первообразная. Площадь под графиком функции» — в этой статье

Первообразная функции. Формула Ньютона-Лейбница.

 

§ 1. Производная



§ 1. Производная

 

п. 1. Основные понятия

 Пусть дана функция f(x). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное х0 и новое х. Разности Dх = х-х0 и D = f(x)

-f(x0) = y-y0 называются соответ­ственно приращением аргумента и приращением функции в точке х0. Оче­видно, что х = х0+Dх, у = у0+Dу, Dу = f(x0+Dx)-f(x0).  В дальнейшем будем считать значение х0 фиксированным, а х – переменным. При этом Dх и Dу являются пе­ременными величинами.

Производной функции у f(x) в точке х0 называется  если этот предел существует. Производная обозначается у’(x0) или f’(x0). Таким образом, .

Пусть Х {х}-множество всех таких 

х, для которых существует y(х). Очевидно, что (х) является функцией, определенной на множестве Х.

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Функция, имеющая производную в точке х0, называется дифференци­руемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала (a, b), называется дифференцируемой на интервале (a, b).

Из курса средней школы известен геометрический смысл производной. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, тогда угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в точке (х0, f(х0)) равен у’(х0).

Из курса средней школы известен также физический смысл производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону 

= f(t), где – время, S – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость точки в момент времени t равна: = S’(t).

Теорема (о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть аргумент х получает в точке х0 приращение Dх ¹ 0. Ему соответствует некоторое приращение функции Dу. Вычислим предел:

а это и означает непрерывность функции в точке х0.

Заметим, что обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не дифференцируемы. Примерами могут слу­жить функции у = çх çи  в точке х = 0. В обоих случаях (0) не существует.

Заметим, что график у = çх çв точке х = 0 не имеет касательной, а график  в точке х=0 имеет вертикальную касательную – ось Оу.

 

 

п. 2. Вычисление производной

Формулы вычисления производной некоторых элементарных функций получены в курсе средней школы:

1.      С’ = 0, где С – константа.

2.      (хn) ‘ = n×xn-1, где n – натуральное число

3.      (ax)’= axlna, где а>0, a ¹ 1. В частности, (ех)’ = ех

4.      , где а>0, a ¹ 1. В частности, 

5.      (sinx)’ = cosx

6.      (cosx)’ = -sinx

В курсе средней школы установлены основные правила дифференцирования.

Пусть u = u(x) и v = v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы функции u+v, u×v, . Последнее при условии, что v(x) ¹ 0. Причем

(u+v)’ = u’+v’

(u×v)’ = u’v+uv’

Следствием последних трех соотношений являются следующие два: (сu)’ = cu’, где с – константа, и (u-v)’ = u’-v’

Используя правило нахождения производной частного, легко получаются формулы:  и , которые выполняются для любого х, при котором существует tgx и cosx ¹ 0 или существует ctgx и sinx¹0.

 

п. 3. Производная обратной функции

Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некото­ром интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f’(y), не равную нулю. Тогда в соответствующей точке х обратная функция у f—1(x) имеет производную [f—1(x)], причем

 или 

Доказательство. По условию теоремы функция x = f(y) монотонна и дифференци­руема, следовательно, по теореме о существовании обратной функции функция у = f—1(x) существует, монотонна и непрерывна на соответствующем интервале. Дадим аргументу х приращение Δх¹0. Тогда функция у = f—1(x) получит приращение Δу, которое в силу ее монотонности отлично от нуля. Так как функция у f—1(x) непрерывна, то Δу®0 при Δх®0. Тогда .

Пользуясь доказанной теоремой, вычислим производные обратных триго­нометрических функций. Для функции у = arcsinx обратной является функция = siny, которая является в интервале  монотонной и дифференцируе­мой. Ее производная x’ = cosy в этом интервале в нуль не обращается. Поэтому . Таким образом .

Аналогично получаются формулы

п. 4. Производная сложной функции

Пусть = f(u) и = g(x). Тогда функция = f(g(x)) называется сложной функ­цией от х.

Теорема 1. Если функция u=g(x) имеет производную u’x в точке х, а функ­ция = f(u) имеет производную у’u в соответствующей точке u, то сложная функция = f(g(x)) в точке х имеет производную у’xпричем у’= у’u× u’x.

Доказательство. Дадим х приращение Δх. Тогда u и у получат соответст­венно приращения Δu и Δу. Будем считать, что Δu при Δх®0 не принимает зна­чений, равных нулю. Тогда . Так как функция = g(x) дифференцируема, а следовательно, непрерывна, то Δu®0 при Δх®0. Поэтому . Тогда . Это означает, что у’= у’u× u’x.

Заметим, что теорема верна и в случае, когда при Δх®0 Δu принимает значения, равные нулю.

Примеры. Найти производную функции.

1.      у = lnarctgx

 .

2. y = cos3(x2)

y’ = 3cos2(x2)(-sin(x2))2x = -6xsin(x2)cos2(x2)

3. 

.

 

 

п. 5. Производные гиперболических функций

, поэтому 

Аналогично: (chx)‘ = shx.

Аналогично: 

п. 6. Производная степенной функции с любым действительным показателем

Известно, что (xn)‘ = nxn-1 для натурального n. Пусть теперь n любое дейст­вительное число и х>0. Справедливо тождество x= enlnx. Тогда у = enlnx – сложная функция и ее производная вычисляется следующим образом: y’ = (enlnx)’ = enlnx(nlnx)’ = enlnx =  x= nxn-1. Итак, при любом действитель­ном n и х>0 верна формула (xn)‘ = nxn-1. Можно показать, что эта формула справедлива и при х<0, если при этом функция y = xn определена.

п. 7. Таблица формул дифференцирования

В таблице приняты обозначения: с, n – любые действительные числа; а – любое положительное действительное число, кроме единицы.  u= u(x) – функция, дифференцируемая в точке х, = f (u) – функция, дифференцируемая в соответствующей точке u. Таблица составлена на основании формул дифференцирования основных элементарных функций и теоремы о производной сложной функции.

 

1.(с)‘ = 0

 

 

8. ,

2. (un)‘ = nun-1u’

 

 

9. 

3(au) = aulnau’

10. 

 

3а. (eu= euu’

 

 

11. 

4.  

 

 

4а. 

13. (chu)‘ = shu×u’

5(sinu)‘ = cosu×u’

14. 

6.(cosu)‘ = —sin×u’

15. 

7.  

16. 

 

 

п. 8. Производные высших порядков

Предположим, что функция = f(x) дифференцируема в некотором интер­вале (а, в). Тогда ее производная f’(x) в этом интервале является функцией х. Пусть эта функция также имеет производную в (а, в). Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции f(x)и обозначается  или (x).

Таким образом, (x) = (f’(x)) ‘. При этом f’(x) называется первой произ­водной или производной первого порядка функции f(x).

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и так далее порядков. Вообще, производной n –го порядка функции = f(x) в точке х называ­ется первая производная производной (n-1)-го порядка функции f(x) при ус­ловии, что в точке х существуют все производные от первого до n –го порядков. Обозначение: y(n) или f(n)(x). Таким образом, f(n)(x) = ( f(n-1)(x)) ‘.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

 

Примеры.

1.                 Найти у»’ для функции y = cos2x.

y’ = 2cosx(-sinx) = —sin2x

y» = —2cos2x

y»’ = 4sin2x

2.                 Найти y(n) для функции y = e3x, y’ = 3e3x, y» = 32e3x, y»’ = 33e3x,…, y(n) = 3ne3x

Механический смысл второй производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону = f(t), где t-время, f(t) – путь, пройденный за время t. Из физики известно, что при этом ускорение точки в момент времени t равно производной скорости по t.  Таким образом, ускорение w(t) = v’(t) = S»(t) равно второй производной пути по времени.

п. 9. Дифференцирование функций, заданных параметрически

Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями:

= x(t)= y(t)tÎ(a;b).

Предположим, что функции x(t), y(t), имеют производные на (a;b) и функция x(t) имеет обратную функцию = g(х), которая также имеет производную в соответствующих точках х. Тогда определенную параметрическими уравнениями функцию у от х можно рассматривать как сложную функцию = y(t), t = g(х), – промежуточный аргумент. По правилу дифференцирования сложной функции получаем y’= y’t’= y’gxПо теореме о дифференцировании обратной функции g. Учитывая это, получаем y’=.

Если существует у»х, то рассуждая аналогично, получаем

Вообще,  при условии, что все производные существуют.

Пример. x = cos3ty=sin3t. Вычислить у»хx= – 3cos2t sint, y’t=3sin2tcost, поэтому  . Тогда .

 

 

п. 10. Дифференцирование функций, заданных неявно

Пусть значения переменных х и у связаны уравнением

F(xy) = 0.                                                                                                         (1)

Если функция = f(x), определенная на некотором интервале (а,в), такая, что уравнение (1) при подстановке в него вместо у выражения f(x) обращается в тождество, то говорят, что уравнение (1) задает функцию = f(x) неявно или что функция = f(x) есть неявная функция.

Укажем правило нахождения производной неявной функции, не преобразовывая ее в явную, то есть не представляя в виде = f(x), так как часто это преобразование бывает технически сложным или невозможным.

Для нахождения производной у’х неявной функции, нужно продифференцировать по х обе части равенства (1), учитывая, что у есть функция от х. Затем из полученного равенства выразить у’х.

Пример 1. Вычислить у’х.

У5+ху-х= 0

Продифференцируем обе части по х. Получим 5у4у’+у+ху’-2х=0Выразим у’. y(5у4) = 2х-у, у’ = (2х-у)/(5у4).

Пример 2.                                                                                                              

tg(x+yxy

Продифференцируем обе части по х. Получим  или . Отсюда или . Окончательно .

Заметим, что производная неявной функции выражается через х и у, то есть получается равенство

y‘ = g(xy)                                                                                                       (2)

Для вычисления второй производной неявной функции, нужно продифференцировать обе части равенства (2) по х и затем подставить выражение g(x, y) вместо y’.

Аналогично можно вычислить производные любого порядка неявной функции.

Пример. х221=0. Найти у».

Продифференцируем обе части данного равенства по х, получим 2х+2уу’ = 0, откуда у’ = —. Продифференцируем обе части последнего равенства по х, получим  или . Подставим , вместо у’. .

 

 

п. 11. Логарифмическое дифференцирование

Функция вида = [u(x)]v(x) называется степенно – показательной. Для вычисления ее производной (при условии, что у’ существует), нужно прологарифмировать функцию по любому основанию (обычно по основанию е). Затем нужно вычислить производную полученной неявной функции.

Пример. Найти производную функции = (sinx)x

Логарифмируем функцию по основанию е:ln= x lnsinx. Дифференцируем обе части равенства по х, получаем

,

отсюда  или .

Рассмотренный прием называется логарифмическим дифференцированием. Он применяется не только для вычисления производных степенно-показательных функций, но и в случаях, когда аналитическое выражение функции содержит несколько множителей.

Пример. Найти производную функции . Логарифмируя, получаем . Дифференцируем обе части полученного равенства:

, отсюда  или .

Электронный учебник по математическому анализу

4.1 Производная

4.2 Первый дифференциал

4.1.1 Определение производной

Понятие производной — одно из ключевых в математическом анализе. Пусть $f(x)$ задана на некотором интервале $(a,b) \subset\mathbb{R}$, точка $x_0 \in (a,b)$.

Рассмотрим отношение \[ A(x_0, \vartriangle x)=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x }. \]

Это функция двух переменных — $x_0$ и еще одной переменной, которую обозначают $ \Delta x$. Числитель этой дроби обозначают иногда как $\Delta f=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ и называют приращением функции $f(x)$ в точке $x_0$, соответствующим приращению аргумента $\Delta x$, так что \[ A(x_0, \Delta x)=\frac{\Delta f}{\Delta x }. \]

Определение. Если существует конечный предел \[ \lim _{\Delta \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x }=k, \] то говорят, что функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x=x_0$, имеет там производную, равную $k$, которую обозначают $\frac{df}{dx}(x_0)$ или $f'(x_0)$.

Итак, если $f(x)$ дифференцируема в точке $x=x_0$, то \[ \frac{df}{dx}(x_0)=f'(x_0)=\lim _{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x }. \]

Можно получить определение левой производной, если допускать лишь отрицательные значения $ \Delta x$, и правой производной, допуская лишь положительные значения $ \Delta x$.

Примеры.

1. Рассмотрим случай $f(x)=const =C$. В этом случае $f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=C-C=0$, так что $A(x_0,\Delta x)=0$ и имеем: $C’=0$. 2)’=2x$.

Замечание. В точках разрыва функции $f(x)$ функция не имеет производной.

Контрольный вопрос.

Докажите последнее утверждение.

Первые физические приложения.

1. Путь $S(t)$ — путь, пройденный движущейся по прямой точкой. Тогда мгновенной скоростью точки будет \[ v(t)=\lim _{\Delta t \to 0} \frac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}= \frac {dS}{dt}(t). \]

2. Пусть через данное сечение провода к моменту $t$ протек заряд $Q(t)$, тогда электрический ток \[ I(t)=\lim _{\Delta t \to 0} \frac{Q(t+\Delta t)-Q(t)}{\Delta t}= \frac {dQ}{dt}(t). \]

Обсудим геометрический смысл производной. На рисунке изображен график функции $y=f(x)$, проходящий через (близкие друг другу) точки $A$ и $B$. Проведем через них хорду $AB$. Отношение $(f(x+\Delta x)-f(x))/\Delta x$ соответствует тангенсу угла наклона хорды $AB$. Когда $\Delta x \rightarrow 0$, точка $B$ стремится к точке $A$, при этом хорда превращается в касательную к графику функции, проходящую через точку $(x,f(x))$. {x_0}. \]

3. $f(x)=\sin x$, $f'(x)=\cos x$.

Вычисление. \[ A(x_0, \Delta x)=\frac{\sin (x_0+\Delta x)-\sin (x_0)}{\Delta x}. \]

Используя известное тригонометрическое тождество (разность синусов равна…), имеем: \[ A(x_0, \Delta x)=2\frac{\sin (\Delta x/2)\cos (x_0+\Delta x/2)}{\Delta x}= \] \[ \frac{\sin (\Delta x/2)\cos (x_0+\Delta x/2)}{\Delta x /2}. \]

С помощью тригонометрического предельного соотношения при $\Delta x \rightarrow 0$ получаем: \[ \lim _{\Delta x\rightarrow 0}A(x_0, \Delta x)=\cos (x_0). \]

4. $f(x)=\cos x$, $f'(x)=-\sin x$.

Вычисление. \[ A(x_0, \Delta x)=\frac{\cos (x_0+\Delta x)-\cos (x_0)}{\Delta x}. \]

Используя известное тригонометрическое тождество (разность косинусов равна…), имеем: \[ A(x_0, \Delta x)=-2\frac{\sin (\Delta x/2)\sin (x_0+\Delta x/2)}{\Delta x}= \] \[ -\frac{\sin (\Delta x/2)\sin (x_0+\Delta x/2)}{\Delta x /2} \]

С помощью тригонометрического предельного соотношения при $\Delta x \rightarrow 0$ получаем: \[ \lim _{\Delta x\rightarrow 0}A(x_0, \Delta x)=-\sin (x_0) \]

5. $f(x)=\ln x$, $f'(x)=1/ x$.

Вычисление. \[ A(x_0, \Delta x)=\frac{\ln (x_0+\Delta x)-\ln (x_0)}{\Delta x}= \] \[ \frac{\ln ((x_0+\Delta x)/x_0)}{\Delta x}=\frac{1}{x_0}\frac{\ln (1+\Delta x/x_0)}{\Delta x/x_0} \]

С помощью логарифмического предельного соотношения при $\Delta x \rightarrow 0$ получаем: \[ \lim _{\Delta x\rightarrow 0}A(x_0, \Delta x)=\frac{1}{x_0} \]

4.1.3 Производная от суммы, произведения и частного функций

Производная возникает в результате предельного перехода. Поэтому свойства пределов приводят к соответствующим свойствам производных.

Теорема. Пусть функции $f(x)$, $g(x)$ дифференцируемы в точке $x$. Тогда
1. Функция $f(x)+g(x)$ также дифференцируема, причем $$(f(x)+g(x))’=f'(x)+g'(x),$$
2. Функция $f(x)\cdot g(x)$ дифференцируема, причем справедлива формула Лейбница $$(f(x)\cdot g(x))’=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x),$$
3. Если $g(x) \neq 0$, тогда $f(x)/g(x)$ дифференцируема в точке $x$, причем $$ \left (\frac{f(x)}{g(x)}\right )’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}. $$

Доказательство.

1. \[ A(x_0, \Delta x)=\frac{(\left ( f(x_0+\Delta x) +g(x_0+\Delta x)\right )-\left ( f(x_0) +g(x_0)\right )}{\Delta x}= \] \[ \frac{ f(x_0+\Delta x) — f(x_0) }{\Delta x}+\frac{ g(x_0+\Delta x) — g(x_0) }{\Delta x}. \]

Согласно условиям теоремы, обе дроби в последнем выражении имеют пределы при $\Delta x \rightarrow 0$, так что используя тот факт, что предел суммы равен сумме пределов (конечных!) получаем: \[ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} A(x_0, \Delta x)=f'(x_0)+g'(x_0). \]

2.

\[ A(x_0, \Delta x)= \] \[ \frac{ f(x_0+\Delta x)\cdot g(x_0+\Delta x)- f(x_0) \cdot g(x_0)}{\Delta x}= \] \[ \frac{ f(x_0+\Delta x)\cdot g(x_0+\Delta x)- f(x_0+\Delta x)\cdot g(x_0)}{\Delta x} \] \[ {+f(x_0+\Delta x)\cdot g(x_0)- f(x_0) \cdot g(x_0)}{\Delta x} \] \[ =f(x_0+\Delta x)\frac{g(x_0+\Delta x)- g(x_0)}{\Delta x}+ \] \[ g(x_0)\frac{f(x_0+\Delta x)- f(x_0)}{\Delta x}. \]

Согласно условиям теоремы, при $\Delta x \rightarrow 0$ выражения $$ \frac{g(x_0+\Delta x)- g(x_0)}{\Delta x}, \quad \frac{f(x_0+\Delta x)- f(x_0)}{\Delta x}$$ имеют пределы, равные производным функций $g'(x_0), f'(x_0)$. Так как функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0$, то она непрерывна в этой точке, значит $f(x_0+\Delta x) \rightarrow f(x_0) $ при $\Delta x \rightarrow 0$. В итоге получаем: \[ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} A(x_0, \Delta x)=f'(x_0)\cdot g(x_0)+f(x_0)\cdot g'(x_0). \]

3.

\[ A(x_0, \Delta x)=\frac{\frac{f(x_0+\Delta x)}{g(x_0+\Delta x)}-\frac{f(x_0)}{g(x_0)}}{\Delta x}= \] \[ \frac{f(x_0+\Delta x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0+\Delta x)}{g(x_0+\Delta x)g(x_0)\Delta x}= \] \[ \frac{1}{g(x_0+\Delta x)g(x_0)}\frac{f(x_0+\Delta x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)}{\Delta x}+ \] \[ {f(x_0)g(x_0)-f(x_0)g(x_0+\Delta x)}{\Delta x}= \] \[ \frac{1}{g(x_0+\Delta x)g(x_0)}\frac{f(x_0+\Delta x)g(x_0)-f(x_0)g(x_0)}{\Delta x}- \] \[ \frac{f(x_0)g(x_0+\Delta x)-f(x_0)g(x_0)}{\Delta x} . 2)$.

Предположим, что известны производные $dg/dx$, $dh/dy$. Возникает вопрос: как вычислить производную сложной функции $dz/dx$, где $z=h(g(x))$?

Теорема. Пусть $f(x)$ дифференцируема в точке $x=x_0$, $h(y)$ дифференцируема в точке $y_0=f(x_0)$. Тогда $z=h(g(x))$ дифференцируема в точке $x=x_0$, причем \begin{equation} \left. \frac{dz}{dx} \right|_{x=x_0}=\left. \frac{dh}{dy}\right|_{y=f(x_0)}\cdot \left.\frac{df}{dx}\right|_{x=x_0}. (8) \label{comp} \end{equation}

Доказательство.

Обозначим $y_0=f(x_0)$. В соответствии с нашими предположениями составим выражение \[ A(x_0, \Delta x)=\frac{h(f(x_0+\Delta x))-h(f(x_0))}{\Delta x}= \] \[ \frac{h(f(x_0+\Delta x))-h(f(x_0))}{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}\cdot \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}. \]

При $\Delta x \to 0$ в силу непрерывности $f(x)$ в точке $x_0$ имеем: $y_0+\Delta y=f(x_0+\Delta x) \to f(x_0)=y_0$. В силу условий теоремы первый множитель имеет пределом при $\Delta x \to 0$ величину $\left. h'(y)\right|_{y=f(x_0)}$, второй множитель имеет пределом величину $f'(x_0)$. В итоге получаем: \[ \lim _{\Delta x \to 0}A(x_0, \Delta x)=\left. h'(y)\right|_{y=f(x_0)}\cdot f'(x_0). \]

Замечание. Соотношение (8) содержит в левой части 2 сомножителя — в соответствии с тем, что сложная функция образована композицией двух функций. Если сложная функция образована композицией 3 функций, в левой части имеется 3 сомножителя и т.д.

Напомним, что если задана функция $y=f(x)$, то обратной к ней функцией называется функция $x=h(y)$ со следующими свойствами: $h(f(x))=x$, $f(h(y))=y$. Разумеется, обратная функция существует не всегда.

Теорема. Пусть функция $y=f(x)$ имеет непрерывную производную в некоторой окрестности $V$ точки $x=x_0$, причем $f'(x_0) \neq 0$. Тогда в некоторой окрестности $U \subset V$, $x_0 \in U$, функция $f(x)$ имеет обратную, определенную в некоторой окрестности точки $y_0=f(x_0)$, причем выполняется равенство: \begin{equation} h'(y_0)=\left. 2}. \]

Далее, пусть для некоторых функций $a(t),b(t)$, заданных на интервале $\left[t_1,t_2\right]$, $x=a(t)$, $y=b(t)$ (в этом случае говорят, что переменные $ x $ и $ y $ заданы параметрически). Предположим, что для функции $x=a(t)$ существует обратная функция $t=\phi (x)$. Тогда $y=b(t)=b(\phi(x))$, так что появляется зависимость между $x$ и $y$. В этом случае говорят, что функция $y(x)$ задана параметрически (с помощью параметра $t$). Если известны производные функций $a(t)$, $b(t)$, то можно вычислить производную функции $y'(x)$.

Теорема. Предположим, что функции $a(t),b(t)$ дифференцируемы на интервале $\left[t_1,t_2\right]$, причем существует обратная функция $t=\phi (x)$, дифференцируемая при всех интересующих нас $x$. Тогда производная $y'(x)$ существует, причем \begin{equation} y'(x)=\left.\frac{b'(t)}{a'(t)}\right |_{t=\phi (x)}. (10) \label{par} \end{equation}

Доказательство.

Согласно условиям теоремы, функцию $y(x)$ можно представить как сложную функцию, $y(x)=b( \phi (x))$. 2}.$$

4.2 Первый дифференциал

Найдите производную функции y x 2 sin x в точке x0 п

Обновлено: 17.09.2022

Введите функцию, для которой необходимо вычислить производную

Сервис предоставляет ПОДРОБНОЕ решение производной.

Найдём производную функции f(x) — дифференциал функции.

Примеры

С применением степени
(квадрат и куб) и дроби

С применением синуса и косинуса

Гиберболические синус и косинус

Гиберболические тангенс и котангенс

Гиберболические арксинус и арккосинус

Гиберболические арктангенс и арккотангенс

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке): absolute(x) Абсолютное значение x
(модуль x или |x|) arccos(x) Функция — арккосинус от x arccosh(x) Арккосинус гиперболический от x arcsin(x) Арксинус от x arcsinh(x) Арксинус гиперболический от x arctg(x) Функция — арктангенс от x arctgh(x) Арктангенс гиперболический от x exp(x) Функция — экспонента от x (что и e^x) log(x) or ln(x) Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x), надо ввести log(x)/log(7) (или, например для log10(x)=log(x)/log(10)) sin(x) Функция — Синус от x cos(x) Функция — Косинус от x sinh(x) Функция — Синус гиперболический от x cosh(x) Функция — Косинус гиперболический от x sqrt(x) Функция — квадратный корень из x sqr(x) или x^2 Функция — Квадрат x ctg(x) Функция — Котангенс от x arcctg(x) Функция — Арккотангенс от x arcctgh(x) Функция — Гиперболический арккотангенс от x tg(x) Функция — Тангенс от x tgh(x) Функция — Тангенс гиперболический от x cbrt(x) Функция — кубический корень из x gamma(x) Гамма-функция LambertW(x) Функция Ламберта x! или factorial(x) Факториал от x В выражениях можно применять следующие операции: Действительные числа вводить в виде 7. 2 (2 — 3х).

Читайте также:

      
  • Yakuza like a dragon статуи каппы
  •   
  • Dawn of war 3 пожалуйста подождите вечная загрузка
  •   
  • Aion восстановление ботинок лайзы
  •   
  • Будет ли gta 5 на xbox one
  •   
  • Интересные места в gta liberty city

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1
1 Найти производную — d/dx бревно натуральное х
2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
3 Найти производную — d/dx
21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22 Найти производную — d/dx грех(2x)
23 Найти производную — d/dx
41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) относительно x
42 Найти производную — d/dx 1/(корень квадратный из х)
43 Оценка интеграла 9бесконечность
45 Найти производную — d/dx х/2
46 Найти производную — d/dx -cos(x)
47 Найти производную — d/dx грех(3x)
68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x
69 Найти производную — d/dx угловой синус(х)
70 Оценить предел ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85 Найти производную — d/dx лог х
86 Найти производную — d/dx арктан(х)
87 Найти производную — d/dx бревно натуральное 5х92

Мэтуэй | Популярные задачи

92) 9(3x) по отношению к x 92+1
1 Найти производную — d/dx бревно натуральное х
2 Оценить интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
3
21 Оценить интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1+7x относительно x
22 Найти производную — d/dx грех(2x)
23 Найти производную — d/dx
41 Оценить интеграл интеграл от cos(2x) относительно x
42 Найти производную — d/dx 1/(корень квадратный из х)
43 Оценка интеграла 9бесконечность
45 Найти производную — d/dx х/2
46 Найти производную — d/dx -cos(x)
47 Найти производную — d/dx грех(3x)
68 Оценить интеграл интеграл от sin(x) по x
69 Найти производную — d/dx угловой синус(х)
70 Оценить предел ограничение, когда x приближается к 0 из (sin(x))/x 92 по отношению к х
85 Найти производную — d/dx лог х
86 Найти производную — d/dx арктан(х)
87 Найти производную — d/dx бревно натуральное 5х92

Неявное дифференцирование

Нахождение производной, когда вы не можете найти у

Вы можете сначала прочитать Введение в производные и производные правила.

Неявное и явное

Функция может быть явной или неявной:

Явный : «y = некоторая функция x». Когда мы знаем x, мы можем вычислить y напрямую.

г.

Неявный : «некоторая функция y и x равна чему-то еще». Знание x не ведет непосредственно к y.

Пример: Круг

Явная форма   Неявная форма
y = ± √ (r 2 − x 2 )   x 2 + у 2 = г 2
В этой форме y выражается
как функция x.
  В этой форме функция
выражается через y и x.


График x 2 + y 2 = 3 2

Как выполнить неявное дифференцирование

  • Дифференцировать по x
  • Собери все dy dx с одной стороны
  • Решить для dy dx

Example: x

2 + y 2 = r 2

Differentiate with respect to x:

d dx (x 2 ) + d dx (y 2 ) = d dx (r 2 )

Давайте решим каждый член:

Воспользуемся степенным правилом: d dx (x 2 ) = 2x

Use the Chain Rule (explained below): d dx (y 2 ) = 2y dy dx

r 2 is a constant, so its derivative is 0: d dx (r 2 ) = 0

Which gives us:

2x + 2y dy dx = 0

Collect all the dy dx с одной стороны

y dy dx = −x

Solve for dy dx :

dy dx = −x y

Правило цепи с использованием

DY DX

Давайте посмотрим более близко к тому, как D DX (Y 2 ) становится 2Y DY

  • 3 2 ). дх = дю dy dy dx

    Substitute in u = y 2 :

    d dx (y 2 ) = d dy (y 2 ) dy DX

    , а затем:

    D DX (Y 2 ) = 2Y DY DX DY DX

    DY DX

    DY DX

    . дх

    Другим распространенным обозначением является использование ’ для обозначения d dx

    Цепное правило с использованием ‘

    Цепное правило также можно записать с использованием обозначения ‘:

    f(g(x))’ = f'(g(x))g'(x)

    g(x) is наша функция «y», поэтому:

    f(y)’ = f'(y)y’

    f(y) = y 2 , поэтому f'(y) = 2y:

    f(y) ‘ = 2yy’

    или альтернативно: f(y)’ = 2y dy dx

    Опять же, все, что мы сделали, это продифференцировали по y и умножили на

    г. дх

    Явный

    Давайте также найдем производную, используя явную форму уравнения.

    • Чтобы решить это явно, мы можем решить уравнение для y
    • Затем дифференцировать
    • Затем снова подставьте уравнение для y

    Пример: x

    2 + y 2 = r 2

    Вычесть x 2 с обеих сторон: y 2 = r 2 — x 2

    квадратный корень: y = ± √ (r 2 — x 2 )

    Давайте до только положительный : y = √ (r 2 2 — — — — — — — — — — — — — — — . ) 

    As a power: y = (r 2 − x 2 ) ½

    Derivative (Chain Rule) :y’ =½(r 2 − x 2 ) −½ (−2x)

    Упростить:y’ = −x(r 2 − x 2 ) −½

    Упростить больше:y’ = −x (R 2 — x 2 ) ½

    теперь, потому что Y = (R 2 — X 2 ). y

    Таким образом мы получаем тот же результат!

    Вы можете сами попробовать взять производную от отрицательного члена.

    Снова цепное правило!

    Да, мы снова воспользовались цепным правилом. Вот так (обратите внимание на другие буквы, но то же правило):

    dy dx = dy df df dx

    Substitute in f = (r 2 − x 2 ):

    d dx (f ½ ) = d df (f ½ ) d dx (r 2 − x 2 )

    Derivatives:

    d dx (f ½ ) = ½(f −½ ) (−2x)

    И подставить обратно f = (r 2 — x 2 ):

    D DX (R 2 — x 2 ) ½ = ½ (R 2 3 ½ = ½ (R 2 3 ½ = ½ (R 2 3 ½ = ½ (R 2 3 ½ = ½ (R 2 3 ½ =. −2x)

    Отсюда мы упростили.

    Использование производной

    Итак, зачем находить производную y’ = −x/y ?

    Ну, например, мы можем найти наклон касательной.

    Пример: каков наклон окружности с центром в начале координат и радиусом 5 в точке (3, 4)?

    Нет проблем, просто подставьте это в наше уравнение:

    dy dx = −x/y

    dy dx = −81/4 для бонуса уравнения 1, 81/4 91, касательная:

    y = −3/4 x + 25/4

    Другой пример

    Иногда неявный способ работает там, где явный способ затруднен или невозможен.

    Пример: 10x

    4 − 18xy 2 + 10y 3 = 48

    Как найти у? Мы не должны!

    • Сначала продифференцируем по x (используйте правило произведения для термина xy 2 ).
    • Затем переместите все элементы dy/dx в левую часть.
    • Решить для dy/dx

    Например:

    Начало с: 10x 4 — 18xy 2 + 10y 3 = 48

    . 1898 DX ) + Y 2 ) + 10 (3Y 2 DY DX ) = 0

    (средний термин объясняется
    в «Правило продукта» ниже)

    Упрощенность: 4012 3 4011 2 911 2 911 2 911 2 911 2 911 2 911 2 911 2 9112 3 4011 2 9112 3 4011 2 9112. − 36xy dy dx − 18y 2 + 30y 2 dy dx = 0

    dy dx on left:−36xy dy dx + 30y 2 dy dx = −40x 3 + 18y 2

    Simplify :(30y 2 −36xy) dy dx = 18y 2 − 40x 3

    Simplify :3(5y 2 −6xy) dy dx = 9y 2 − 20x 3

    And we get:

    dy dx = 9y 2 − 20x 3 3(5y 2 − 6xy)

     

    Продукт Правило

    Для среднего члена мы использовали правило произведения: (fg)’ = f g’ + f’ g

    (xy 2 )’ = x(y 2 )’ + (x)’y 2

    = x (2y DY DX ) + Y 2

    Потому что (Y 2 ) ‘= 2y DY DX )’ = 2y DY DX ) ‘= 2Y DY DX )’ = 2Y DY DX ) ‘= 2y DY DX 9999999999 гг. , и dx dx = 1, другими словами, x’ = 1

    Обратные функции

    Неявное дифференцирование может помочь нам решить обратные функции.

    г.

    Общий шаблон:

    • Начните с обратного уравнения в явной форме. Пример: y = sin −1 (x)
    • Перепишите его в неинверсном режиме: Пример: x = sin(y)
    • Продифференцируйте эту функцию по x с обеих сторон.
    • Решить для dy/dx

    В качестве последнего шага мы можем попытаться еще упростить, заменив исходное уравнение.

    Пример поможет:

    Пример: функция обратного синуса y = sin

    −1 (x)

    Начать с:y = sin −1 (x)

    ) = d dx sin(y)

     1 = cos(y) dy dx

    Put dy dx on left: dy dx = 1 cos (y)

    Мы также можем сделать еще один шаг, используя тождество Пифагора:

    sin 2 y + cos 2 y = 1

    cos y = √(1 − sin 2 y )

    И, поскольку sin(y) = x (сверху!), мы получаем:

    cos y = √ (1 — x 2 )

    , что приводит к:

    DY DX = 1 √ (1 — x 9183 2 2 2 2 ) √ (1 — x 9183 2 2 2 2 ) √ (1 — x 9183 2 2 2 2 ).

    Пример: производная квадратного корня √x

    Начните с:y = √x

    Итак:y 2 = x

    Производная : 2y DY DX = 1

    Упрощение: DY DX = 1 2Y

    Потому что y = ■ y = ■ y = ■ y = ■ y = ■ y = ■ y = ■ y a = ■ y a = ■ y = ■ ■ √ a = a = a = a = a = a = √ √ 2Y

    : 2Y

    : 2Y

    .

    Примечание: это тот же ответ, который мы получаем, используя правило степени:

    Начните с:y = √x

    В виде степени:y = x ½

    n = nx n−1 : dy dx = (½)x −½

    Упростить: dy dx = 1 2√x

    Резюме

    • Для неявного получения функции (полезно, когда функция не может быть легко решена для y)
      • Дифференцировать по x
      • Собрать все dy/dx с одной стороны
      • Решить для dy/dx
    • Чтобы вывести обратную функцию, переформулируйте ее без обратной, а затем используйте неявное дифференцирование
    • г.

     

    11312, 11313, 11314, 11315, 11316, 11317, 11318, 11319, 11320, 11321

    Исчисление I — неявное дифференцирование

    Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

    Уведомление для мобильных устройств

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 3-10: Неявное дифференцирование

    К этому моменту мы сделали довольно много производных, но все они были производными функций вида \(y = f\left( x \right)\). К сожалению, не все функции, которые мы собираемся рассмотреть, укладываются в эту форму.

    Давайте рассмотрим пример такой функции.

    Пример 1 Найдите \(y’\) для \(xy = 1\).

    Показать решение

    На самом деле существует два метода решения этой проблемы. 92}}}\]

    Итак, это достаточно просто сделать. Однако есть некоторые функции, для которых это сделать нельзя. Вот тут-то и вступает в игру второй метод решения.

    Решение 2 :

    В этом случае мы собираемся оставить функцию в той форме, которую нам дали, и работать с ней в этой форме. Однако давайте вспомним из первой части этого решения, что если бы мы могли найти \(y\), то мы получили бы \(y\) как функцию \(x\). Другими словами, если бы мы могли найти \(y\) (что мы могли бы сделать в этом случае, но не всегда сможем), мы получили бы \(y = y\left( x \right)\). Давайте перепишем уравнение, чтобы отметить это.

    \[xy = x\,y\влево( x \вправо) = 1\]

    Будьте осторожны и обратите внимание: когда мы пишем \(y\left( x \right)\), мы не имеем в виду \(y\) умноженное на \(x\). Здесь мы отмечаем, что \(y\) есть некоторая (вероятно, неизвестная) функция \(x\). Это важно помнить, выполняя эту технику решения.

    Следующим шагом в этом решении является дифференцирование обеих сторон по \(x\) следующим образом:

    \[\frac{d}{{dx}}\left( {x\,y\left( x \right)} \right) = \frac{d}{{dx}}\left( 1 \right)\ ]

    Правая сторона проста. Это просто производная от константы. Левая сторона тоже проста, но мы должны признать, что здесь у нас действительно есть произведение, \(x\) и \(y\left( x \right)\). Итак, чтобы получить производную от левой части, нам нужно выполнить правило произведения. Выполнение этого дает,

    \[\left( 1 \right)y\left( x \right) + x\frac{d}{{dx}}\left( {y\left( x \right)} \right) = 0\]

    Теперь напомним, что у нас есть следующий способ записи производной.

    \[\frac{d}{{dx}}\left( {y\left( x \right)} \right) = \frac{{dy}}{{dx}} = y’\]

    Используя это, мы получаем следующее,

    \[у + ху’ = 0\]

    Обратите внимание, что мы опустили \(\left( x \right)\) на \(y\), так как это было только для того, чтобы напомнить нам, что \(y\) является функцией \(x\) и теперь, когда мы взяли производную, она больше не нужна. Мы просто хотели, чтобы в уравнении учитывалось правило произведения, когда мы брали производную.

    Итак, давайте теперь вспомним, что мы преследовали. Мы искали производную \(y’\) и заметили, что теперь в уравнении есть \(y’\). Итак, чтобы получить производную, все, что нам нужно сделать, это решить уравнение для \(y’\).

    \[y’ = — \frac{y}{x}\]

    Вот оно. Используя второй метод решения, это наш ответ. Однако это не то, что мы получили из первого решения. Или, по крайней мере, это не похоже на ту же производную, которую мы получили из первого решения. Однако вспомните, что мы действительно знаем, что такое \(y\) в терминах \(x\), и если мы подставим это, мы получим 9{2}}}\]

    , что мы получили из первого решения. Независимо от используемого метода решения мы должны получить одну и ту же производную.

    Процесс, который мы использовали во втором решении предыдущего примера, называется неявным дифференцированием и является предметом данного раздела. В предыдущем примере мы смогли просто найти \(y\) и избежать неявного дифференцирования. Однако в остальных примерах этого раздела мы либо не сможем найти \(y\), либо, как мы увидим в одном из приведенных ниже примеров, ответ будет не в той форме, которую мы может справиться.

    Во втором решении выше мы заменили \(y\) на \(y\left( x \right)\), а затем вычислили производную. Напомним, что мы сделали это, чтобы напомнить себе, что \(y\) на самом деле является функцией \(x\). Мы будем делать это довольно часто в этих задачах, хотя на самом деле мы редко пишем \(y\left( x \right)\). Итак, прежде чем мы на самом деле будем работать над проблемами неявного дифференцирования, давайте сделаем быстрый набор «простых» производных, которые, мы надеемся, помогут нам в вычислении производных функций, которые также содержат \(y\left( x \right)\). 9{у\влево(х\вправо)}}\)

  • Показать все решения Скрыть все решения

    Они написаны немного иначе, чем мы привыкли видеть здесь. Это потому, что мы хотим сопоставить эти проблемы с тем, что мы будем делать в этом разделе. Кроме того, каждая из этих частей имеет несколько функций, которые можно различать, начиная с конкретной функции, за которой следует общая функция. Это снова поможет нам с некоторыми конкретными частями процесса неявной дифференциации, который мы будем выполнять. 92} — 7} \справа)\]

    и это просто правило цепочки. Мы продифференцировали внешнюю функцию (показатель числа 5), а затем умножили ее на производную внутренней функции (элемент в скобках).

    Для второй функции мы собираемся сделать то же самое. Нам нужно будет использовать цепное правило. Внешняя функция по-прежнему является показателем степени 5, а внутренняя функция на этот раз просто \(f\left( x \right)\). У нас здесь нет конкретной функции, но это не значит, что мы не можем хотя бы записать правило цепочки для этой функции. Вот производная этой функции, 94}f’\влево( х \вправо)\]

    На самом деле мы не знаем, что такое \(f\left( x \right)\), поэтому, когда мы вычисляем производную внутренней функции, все, что мы можем сделать, это записать обозначение для производной, , т. е. \(f ‘\влево(х\вправо)\).

    В последней функции здесь мы просто заменили \(f\) во второй функции на \(y\), так как большая часть нашей работы в этом разделе будет включать \(y\) вместо \(f\ ) х. В остальном эта функция идентична второй. Итак, производная равна 9.4}у’\влево( х \вправо)\]

    b \(\sin \left( {3 — 6x} \right)\), \(\sin \left( {y\left( x \right)} \right)\) Показать решение

    Первая функция, которую нужно здесь отличить, — это просто задача быстрого правила цепочки, так что вот ее производная,

    \[\ frac{d}{{dx}}\left[ {\sin\left({3 — 6x} \right)} \right] = — 6\cos \left({3 — 6x} \right)\ ]

    Для второй функции на этот раз мы не стали использовать \(f\left( x \right)\) и сразу перешли к \(y\left( x \right)\) для общей версии. Это всего лишь общая версия того, что мы сделали для первой функции. Внешняя функция по-прежнему является синусом, а внутренняя задается как \(y\left( x \right)\), и хотя у нас нет формулы для \(y\left(x \right)\), поэтому мы на самом деле не может взять его производную, у нас есть обозначение для его производной. Вот производная этой функции, 9{у\влево(х\вправо)}}\]

    Итак, в этом наборе примеров мы просто решали некоторые задачи с цепным правилом, где внутренней функцией была \(y\left( x \right)\), а не конкретная функция. Такого рода производные постоянно появляются при выполнении неявного дифференцирования, поэтому нам нужно убедиться, что мы можем их выполнять. Также обратите внимание, что мы сделали это только для трех типов функций, но здесь мы могли бы использовать гораздо больше функций.

    Итак, пришло время решить нашу первую задачу, где требуется неявное дифференцирование, в отличие от первого примера, где мы могли бы избежать неявного дифференцирования, найдя \(y\). 92}} \]

    Перед тем, как приступить к этой задаче, мы заявили, что здесь нам нужно провести неявное дифференцирование, потому что мы не можем просто найти \(y\), и тем не менее это то, что мы только что сделали. Итак, почему мы не можем использовать здесь «нормальную» дифференциацию? Проблема в «\(\pm\)». 1} у ‘\ влево ( х \ вправо) = 0 \]

    На этом этапе мы можем опустить часть \(\left( x \right)\), так как она была в задаче только для облегчения процесса дифференцирования. Последний шаг — просто решить полученное уравнение относительно \(y’\).

    \[\begin{align*}2x + 2yy’ & = 0\\ y’ & = — \frac{x}{y}\end{align*}\]

    В отличие от первого примера, мы не можем просто подставить \(y\), так как не будем знать, какую из двух функций использовать. Большинство ответов от неявной дифференциации будут включать как \(x\), так и \(y\), так что не радуйтесь этому, когда это произойдет. 92} = 9\]

    в точке \(\left( {2,\,\,\sqrt 5 } \right)\).

    Показать решение

    Во-первых, обратите внимание, что в отличие от всех других задач касательной, которые мы решали в предыдущих разделах, нам нужно задать как \(x\), так и \(y\) значения точки. Обратите также внимание, что эта точка действительно лежит на графике окружности (вы можете проверить, подставив точки в уравнение), и поэтому можно говорить о касательной в этой точке.

    Напомним, что для записи касательной достаточно наклона касательной, а это не что иное, как производная, вычисленная в данной точке. У нас есть производная от предыдущего примера, поэтому все, что нам нужно сделать, это подставить заданную точку.

    \[м = {\ влево. {y’} \right|_{x = 2,\,y = \sqrt 5}} = — \frac{2}{{\sqrt 5}}\]

    Тогда касательная.

    \[y = \sqrt 5 — \frac{2}{{\sqrt 5}}\left( {x — 2} \right)\]

    Теперь давайте поработаем еще над несколькими примерами. В оставшихся примерах мы больше не будем писать \(y\left( x \right)\) вместо \(y\). Это просто то, что мы делали, чтобы напомнить себе, что \(y\) на самом деле является функцией \(x\), чтобы помочь с производными. Вид \(y\left( x \right)\) напомнил нам, что нам нужно выполнить цепное правило для этой части задачи. С этого момента мы будем оставлять \(y\) записанными как \(y\) и в нашей голове нам нужно помнить, что они на самом деле \(y\left( x \right)\ ) и что нам нужно выполнить цепное правило.

    Есть простой способ запомнить, как выполнять цепное правило в этих задачах. Цепное правило действительно говорит нам дифференцировать функцию, как обычно, за исключением того, что нам нужно добавить производную внутренней функции. При неявном дифференцировании это означает, что каждый раз, когда мы дифференцируем терм с \(y\) в нем, внутренней функцией является \(y\), и нам нужно будет добавить \(y’\) к терму, так как это будет быть производной внутренней функции.

    Давайте посмотрим на пару примеров. 93} + 1\) Показать решение

    Сначала продифференцируйте обе части относительно \(x\) и помните, что каждое \(y\) на самом деле \(y\left( x \right)\), просто мы больше не будем писать его так. Это означает, что первый член слева будет правилом произведения.

    Мы продифференцировали эти виды функций, включающих \(y\), в степень с цепным правилом в Примере 2 выше. Также вспомните обсуждение до начала этой задачи. При решении такого рода задачи цепного правила все, что нам нужно сделать, это дифференцировать \(y\) как обычно, а затем добавить \(y’\), который является не чем иным, как производной «внутренней функции». ». 92}у’\]

    Теперь все, что нам нужно сделать, это найти производную \(y’\). Это просто базовая алгебра решений, которую вы способны сделать. Основная проблема в том, что это может оказаться более грязным, чем то, к чему вы привыкли. Все, что нам нужно сделать, это получить все термины с \(y’\) в них с одной стороны и все термины без \(y’\) в них с другой. Затем вынесите \(y’\) из всех членов, содержащих его, и разделите обе части на «коэффициент» при \(y’\). Вот решение для этого, 93}} \right)\) Показать решение

    Нам нужно быть осторожными с этой проблемой. У нас есть пара цепных правил, с которыми нам придется иметь дело, которые немного отличаются от тех, с которыми мы имели дело до этой проблемы.

    Как в экспоненте, так и в логарифме у нас есть «стандартное» цепное правило, заключающееся в том, что внутри экспоненты и логарифма есть нечто иное, чем просто \(x\) или \(y\). Итак, это означает, что здесь мы будем использовать цепное правило, как обычно, а затем, когда мы будем вычислять производную внутренней функции для каждого члена, нам придется иметь дело с дифференцированием \(y\). 9{- 1}}}}\end{выравнивание*}\]

    Обратите внимание: чтобы производная хотя бы выглядела немного лучше, мы преобразовали все дроби в отрицательные степени.

    Хорошо, мы видели одно применение неявного дифференцирования в примере с касательной выше. Однако есть еще одно применение, которое мы увидим в каждой задаче в следующем разделе.

    В некоторых случаях у нас будет две (или более) функции, каждая из которых является функцией третьей переменной. Таким образом, у нас могут быть, например, \(x\left( t \right)\) и \(y\left( t \right)\), и в этих случаях мы будем дифференцировать по \(t\) . Это просто неявное дифференцирование, как мы делали в предыдущих примерах, но, тем не менее, есть разница.

    В предыдущих примерах у нас есть функции, включающие \(x\) и \(y\) и рассматриваемые \(y\) как \(y\left( x \right)\). В этих задачах мы дифференцировались по \(x\), поэтому, сталкиваясь с \(x\) в функции, мы дифференцировались как обычно, а когда сталкивались с \(y\), мы дифференцировались как обычно, за исключением того, что тогда добавил \(y’\) к этому термину, потому что мы действительно использовали цепное правило.

    В новом примере, который мы хотим рассмотреть, мы предполагаем, что \(x = x\left( t \right)\) и что \(y = y\left( t \right)\) и дифференцируем по отношению к \(т\). Это означает, что каждый раз, когда мы сталкиваемся с \(x\) или \(y\), мы будем выполнять цепное правило. Это, в свою очередь, означает, что когда мы дифференцируем \(x\), нам нужно будет добавлять \(x’\), и всякий раз, когда мы дифференцируем \(y\), мы добавляем \(y’\). 9{1 — x}} + 5y’\sin\left( {5y} \right) = 2yy’\]

    На самом деле в этой проблеме нет ничего особенного. Поскольку в задаче две производные, мы не будем утруждать себя решением одной из них. Когда мы решим такую ​​задачу в следующем разделе, она будет подразумевать, какую из них нам нужно решить.

    На данный момент, кажется, нет никакой реальной причины для решения такого рода задач, но, как мы увидим в следующем разделе, каждая задача, которую мы будем решать, будет включать такого рода неявное дифференцирование.

    6.2 Отличие от первых принципов | Дифференциальное исчисление

    6.2 Дифференциация из первых принципов (EMCH6)

    Мы знаем, что градиент касательной к кривой с уравнением \(y = f(x)\) в точке \(x=a\) может быть определить по формуле:

    \[\text{Градиент в точке} = \lim_{h\to 0}\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}\]

    Мы можем использовать эту формулу для определения выражения, описывающего градиент графика (или градиент касательной к графику) в любой точке графика. Это выражение (или градиент функция) называется производной.

    г.
    Производная

    Производная функции \(f\left(x\right)\) записывается как \({f}’\left(x\right)\) и определяется:

    \[{f}’\left(x\right)=\lim_{h\to 0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\]
    Дифференциация

    Процесс определения производной заданной функции.

    Этот метод называется дифференцированием от первых принципов или с использованием определения.

    Рабочий пример 7: Отличие от первых принципов

    Вычислите производную от \(g\left(x\right)=2x-3\) из первых принципов.

    г.

    Запишите формулу для нахождения производной с помощью первой принципы \[{g}’\left(x\right)=\lim_{h\to 0}\frac{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}\]

    Определить \(g\слева(x+h\справа)\)

    \начать{выравнивать*} г(х) &= 2х — 3 \\ & \\ г\влево(х+ч\вправо) &= 2\влево(х+ч\вправо) — 3 \\ &= 2х + 2ч — 3 \end{выравнивание*}

    г.

    Подставить в формулу и упростить

    \начать{выравнивать*} {g}’\left(x\right) & = \lim_{h\to 0}\frac{2x + 2h — 3 -\left(2x — 3\right)}{h} \\ & = \lim_{h\to 0}\frac{2h}{h} \\ & = \lim_{h\to 0} 2 \\ & = 2 \end{выравнивание*}

    Напишите окончательный ответ

    Производная \({g}’\left(x\right) = 2\).

    временный текст

    Нотация

    Для обозначения производных используется несколько различных обозначений. Очень важно, чтобы вы научились определить эти разные способы обозначения производной и что вы последовательны в своих использование их при ответах на вопросы.

    Если мы используем общепринятое обозначение \(y=f\left(x\right)\), где зависимая переменная есть \(y\), а независимой переменной является \ (x \), тогда некоторые альтернативные обозначения для производной, как следует:

    \[{f}’\left(x\right)={y}’=\frac{dy}{dx}=\frac{df}{dx}=\frac{d}{dx}[f\left( х\вправо)]=Df\влево(х\вправо)={D}_{х}у\]

    Символы \(D\) и \(\frac{d}{dx}\) называются дифференциальными операторами, потому что они указывают на операция дифференцирования.

    г.

    \(\frac{dy}{dx}\) означает \(y\), продифференцированное по \(x\). Точно так же \(\frac{dp}{dx}\) означает \(р\), продифференцированную по \(х\).

    Важно: \(\frac{dy}{dx}\) не дробь и не означает \(dy \div дх\).

    Видео: 28W2

    Рабочий пример 8: Отличие от первых принципов 9{3}\) из первых принципов.

  • Определите \({f}’ (\text{0,5})\) и интерпретируйте ответ.
  • Запишите формулу для нахождения производной от первой принципы

    \[{f}’\left(x\right)=\lim_{h\to 0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\]

    9{2} \\ &= 12\влево(\frac{1}{4} \вправо) \\ &= 3 \end{align*}

    • Производная \(f(x)\) в точке \(x = \text{0,5}\) равна \(\text{3}\).
    • Градиент функции \(f\) в точке \(x = \text{0,5}\) равен \(\текст{3}\).
    • Градиент касательной к \(f(x)\) в точке \(x = \text{0,5}\) равен \(\текст{3}\).
    • г.

    Рабочий пример 9: Отличие от первых принципов

    Рассчитать \(\frac{dp}{dx}\) из первых принципов, если \(p\left(x\right)= — \ гидроразрыва {2} {x} \).

    Запишите формулу для нахождения производной с помощью первой принципы

    \[\frac{dp}{dx} =\lim_{h\to 0}\frac{p\left(x+h\right)-p\left(x\right)}{h}\]

    г.

    Подставить в формулу и упростить

    \начать{выравнивать*} \frac{dp}{dx} & = \lim_{h\to 0}\frac{-\frac{2}{x + h} -\left(- \frac{2}{x}\right)}{h} \конец{выравнивание*}

    Иногда проще написать правую часть уравнения как:

    \начать{выравнивать*} \frac{dp}{dx} & = \lim_{h\to 0}\frac{1}{h} \left(\frac{-2}{x + h} + \frac{2}{x} \Правильно) \\ & = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \left(\frac{-2x + 2(x + h)}{x(x + h)} \right) \\ & = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \left(\frac{-2x + 2x + 2h }{x(x + h)} \right) \\ & = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \left(\frac{2h }{x^{2} + xh} \right) \\ & = \lim_{h\to 0} \frac{2}{x^{2} + xh} \\ & = \фракция{2}{х^{2}} \конец{выравнивание*} 9{2}}\]

    Рабочий пример 10: Отличие от первых принципов

    Отличие \(g\left(x\right)= \frac{1}{4}\) от первых принципов и интерпретация ответ.

    Запишите формулу для нахождения производной от первой принципы

    \[{g}’\left(x\right)=\lim_{h\to 0}\frac{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}\]

    г.

    Подставить в формулу и упростить

    \начать{выравнивать*} {g}’\left(x\right) & = \lim_{h\to 0}\frac{ \frac{1}{4} — \frac{1}{4}}{h} \\ & = \lim_{h\to 0}\frac{0}{h} \\ & = \lim_{h\to 0} 0 \\ & = 0 \end{выравнивание*}

    Интерпретируйте ответ

    Градиент \(g(x)\) равен \(\text{0}\) в любой точке графика. производная этой постоянной функции равна \(\text{0}\).

    Отличие от первых принципов

    Учебник Упражнение 6. {2})}{h} \end{выравнивание*} 9{2}}{ч}\\ &=\lim_{h \to 0}\dfrac{h(-2x-h)}{h}\\ &=\lim_{h \to 0}-2x-h\\ &=-2x \end{align*}

    Объясните смысл вашего ответа в (b).

    Производная от \(g(x)\) равна \(g'(x) = -2x\). Градиент функции \(g\) задается выражением \(-2x\). Градиент графика зависит от значения из \(х\). 9{2} + 3ч}{ч}\\ &=\lim_{h \to 0}\dfrac{h(-4x — 2h + 3)}{h}\\ &=\lim_{ч \до 0}(-4x-2ч+3)\\ f'(x)&=-4x+3 \end{align*}

    Определите производную от \(f\left(x\right)=\frac{1}{x-2}\), используя первые принципы.

    \begin{выравнивание*} f(x) & = \frac{1}{x-2}\\ f(x+h) & = \frac{1}{x+h-2}\\ f'(x)&=\lim_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ &=\lim_{h \to 0}\dfrac{\frac{1}{x+h-2} — \frac{1}{x-2}}{h}\\ &=\lim_{ч \к 0}\dfrac{\frac{(x-2)-(x+h-2)}{(x+h-2)(x-2)}}{h}\\ &=\lim_{h \to 0}\dfrac{\frac{x-2-x-h+2}{(x+h-2)(x-2)}}{h}\\ &=\lim_{h \to 0}\left(\dfrac{-h}{(x+h-2)(x-2)}\right) \times \ гидроразрыв {1} {ч} \\ &=\lim_{h \to 0}\dfrac{-1}{(x+h-2)(x-2)}\\ f'(x)&=\frac{-1}{(x-2)^{2}} \end{выравнивание*} 9{2}}{ч}\\ &=\lim_{h \to 0}\dfrac{h(-10x-5h)}{h}\\ &=\lim_{ч \до 0}(-10x-5ч)\\ &=-10x \end{align*}

    Поэтому: \начать{выравнивать*} g'(3) & = -10(3)\\ & = -30 \end{выравнивание*} 9{n}\), используя шаблон коэффициентов, заданный Треугольник Паскаля:

    \[\begin{массив}{ccccccccccccc} х \qquad & & & & & & & & 1& & & & & \\ (x+h) \qquad& & & & & &1& &1& & & & \\ (x+h)^2 \qquad & & & & & 1& & 2& & 1& & & \\ (x+h)^3 \qquad& & & &1& &3& &3& &1& & \\ (x+h)^4 \qquad& & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& \\ . {n}\] 9{н-1} \конец{выравнивание*}

    Это очень ценное общее правило для нахождения производной функция.

    4.6 Направленные производные и градиент – исчисление, том 3

    Цели обучения

    • 4.6.1 Определить производную по заданному направлению для функции двух переменных.
    • г.
    • 4.6.2 Определите вектор градиента данной функции с действительным знаком.
    • 4.6.3 Объясните значение вектора градиента в отношении направления изменения вдоль поверхности.
    • 4.6.4 Используйте градиент, чтобы найти касательную к кривой уровня данной функции.
    • 4.6.5 Рассчитывайте производные по направлению и градиенты в трех измерениях.

    В Частные производные мы ввели частную производную. Функция z=f(x,y)z=f(x,y) имеет две частные производные: ∂z/∂x∂z/∂x и ∂z/∂y. ∂z/∂y. Эти производные соответствуют каждой из независимых переменных и могут быть интерпретированы как мгновенные скорости изменения (то есть как наклоны касательной). Например, ∂z/∂x∂z/∂x представляет собой наклон касательной, проходящей через заданную точку на поверхности, определенной формулой z=f(x,y),z=f(x,y), при условии, что касательная параллельна x -ось. Точно так же ∂z/∂y∂z/∂y представляет наклон касательной, параллельной оси y.ось y. Теперь рассмотрим возможность касательной, параллельной ни одной из осей.

    Направленные производные

    Начнем с графика поверхности, определяемой уравнением z=f(x,y).z=f(x,y). Учитывая точку (a,b)(a,b) в области определения f,f, мы выбираем направление движения из этой точки. Мы измеряем направление, используя угол θ, θ, который измеряется против часовой стрелки в x , y -плоскость, начиная с нуля от положительной оси x (рис. 4.39). Расстояние, которое мы проходим, равно hh, а направление, в котором мы путешествуем, задается единичным вектором u=(cosθ)i+(sinθ)j.u=(cosθ)i+(sinθ)j. Таким образом, координата z второй точки на графике задается как z=f(a+hcosθ,b+hsinθ).z=f(a+hcosθ,b+hsinθ).

    Рисунок 4,39 Нахождение производной по направлению в точке графика z=f(x,y).z=f(x,y). Наклон черной стрелки на графике указывает значение производной по направлению в этой точке.

    г.

    Мы можем рассчитать наклон секущей, разделив разницу z-значений z-значений на длину отрезка, соединяющего две точки в области. Длина отрезка h.h. Следовательно, наклон секущей равен

    .

    мс=f(a+hcosθ,b+hsinθ)−f(a,b)h.msec=f(a+hcosθ,b+hsinθ)−f(a,b)h.

    Чтобы найти наклон касательной в том же направлении, мы берем предел, когда hh приближается к нулю.

    Определение

    Предположим, что z=f(x,y)z=f(x,y) является функцией двух переменных с областью определения D. D. Пусть (a,b)∈D(a,b)∈D и определим u=cosθi+sinθj.u=cosθi+sinθj. Тогда производная по направлению от ff в направлении uu равна

    Duf(a,b)=limh→0f(a+hcosθ,b+hsinθ)−f(a,b)h,Duf(a,b)=limh→0f(a+hcosθ,b+hsinθ)− f(a,b)h,

    (4.36)

    при условии существования предела.

    Уравнение 4.36 дает формальное определение производной по направлению, которое можно использовать во многих случаях для расчета производной по направлению.

    Пример 4.31

    Нахождение производной по направлению из определения

    Пусть θ=arccos(3/5).θ=arccos(3/5). Найдите производную по направлению Duf(x,y)Duf(x,y) функции f(x,y)=x2−xy+3y2f(x,y)=x2−xy+3y2 в направлении u=(cosθ)i+ (sinθ)j.u=(cosθ)i+(sinθ)j. Что такое Duf(−1,2)?Duf(−1,2)?

    г.
    Решение

    Прежде всего, поскольку cosθ=3/5cosθ=3/5 и θθ острое, отсюда следует

    sinθ=1−(35)2=1625=45.sinθ=1−(35)2=1625=45.

    Используя f(x,y)=x2−xy+3y2,f(x,y)=x2−xy+3y2, мы сначала вычисляем f(x+hcosθ,y+hsinθ):f(x+hcosθ,y +hsinθ):

    f(x+hcosθ,y+hsinθ)=(x+hcosθ)2−(x+hcosθ)(y+hsinθ)+3(y+hsinθ)2=x2+2xhcosθ+h3cos2θ−xy −xhsinθ−yhcosθ−h3sinθcosθ+3y2+6yhsinθ+3h3sin2θ=x2+2xh(35)+9h325−xy−4xh5−3yh5−12h325+3y2+6yh(45)+3h3(1625)=x2−xy+3y2+2xh5+ 9h35+21yh5. f(x+hcosθ,y+hsinθ)=(x+hcosθ)2−(x+hcosθ)(y+hsinθ)+3(y+hsinθ)2=x2+2xhcosθ+h3cos2θ−xy−xhsinθ −yhcosθ−h3sinθcosθ+3y2+6yhsinθ+3h3sin2θ=x2+2xh(35)+9h325-xy-4xh5-3yh5-12h325+3y2+6yh(45)+3h3(1625)=x2-xy+3y2+2xh5+9h35+21yh5.

    Подставим это выражение в уравнение 4.36: 2xh5+9h35+21yh5)−(x2−xy+3y2)h=limh→02xh5+9h35+21yh5h=limh→02×5+9h5+21y5=2x+21y5.Duf(a,b)=limh→0f(a+hcosθ ,b+hsinθ)−f(a,b)h=limh→0(x2−xy+3y2+2xh5+9h35+21yh5)−(x2−xy+3y2)h=limh→02xh5+9h35+21yh5h=limh→ 02×5+9h5+21y5=2x+21y5.

    Чтобы вычислить Duf(−1,2),Duf(−1,2), подставим x=−1x=−1 и y=2y=2 в этот ответ:

    Duf(-1,2)=2(-1)+21(2)5=-2+425=8.Duf(-1,2)=2(-1)+21(2)5=- 2+425=8.

    (См. следующий рисунок.)

    Рисунок 4.40 Нахождение производной по заданному направлению uu в заданной точке поверхности. Плоскость касается поверхности в данной точке (−1,2,15).(−1,2,15).

    Другой подход к вычислению производной по направлению включает частные производные, как показано в следующей теореме.

    Теорема 4.

    12
    Производная по направлению функции двух переменных

    Пусть z=f(x,y)z=f(x,y) — функция двух переменных xandy,xandy, и предположим, что fxfx и fyfy существуют, а f(x, y)f(x, y) равно везде дифференцируемый. Тогда производная по направлению от ff в направлении u=cosθi+sinθju=cosθi+sinθj определяется выражением

    Duf(x,y)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ.Duf(x ,y)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ.

    (4.37)

    Доказательство

    Уравнение 4.36 утверждает, что производная по направлению от f в направлении u=cosθi+sinθju=cosθi+sinθj задается как

    Duf(a,b)=limt→0f(a+tcosθ,b+tsinθ)−f(a,b)t. Duf(a,b)=limt→0f(a+tcosθ,b+tsinθ)−f (а,б)т.

    Пусть x=a+tcosθx=a+tcosθ и y=b+tsinθ,y=b+tsinθ, и определить g(t)=f(x,y).g(t)=f(x,y) . Поскольку fxfx и fyfy существуют и, следовательно, ff дифференцируема, мы можем использовать цепное правило для функций двух переменных, чтобы вычислить g′(t):g′(t):

    g′(t)=∂f∂xdxdt+∂f∂ydydt=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ. g′(t)=∂f∂xdxdt+∂f∂ydydt=fx(x ,y)cosθ+fy(x,y)sinθ.

    г.

    Если t=0,t=0, то x=x0(=a)x=x0(=a) и y=y0(=b),y=y0(=b), поэтому

    g′(0)=fx(x0,y0)cosθ+fy(x0,y0)sinθ.g′(0)=fx(x0,y0)cosθ+fy(x0,y0)sinθ.

    По определению g′(t),g′(t) также верно, что

    g′(0)=limt→0g(t)−g(0)t=limt→0f(x0+tcosθ,y0+tsinθ)−f(x0,y0)t.g′(0)=limt→0g(t )−g(0)t=limt→0f(x0+tcosθ,y0+tsinθ)−f(x0,y0)t.

    Следовательно, Duf(x0,y0)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ. Duf(x0,y0)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ.

    Пример 4.32

    Нахождение производной по направлению: альтернативный метод

    Пусть θ=arccos(3/5).θ=arccos(3/5). Найдите производную по направлению Duf(x,y)Duf(x,y) функции f(x,y)=x2−xy+3y2f(x,y)=x2−xy+3y2 в направлении u=(cosθ)i+ (sinθ)j.u=(cosθ)i+(sinθ)j. Что такое Duf(−1,2)?Duf(−1,2)?

    Решение

    Сначала мы должны вычислить частные производные f:f:

    fx=2x−yfy=−x+6y,fx=2x−yfy=−x+6y,

    Затем мы используем уравнение 4. 37 с θ=arccos( 3/5): θ = arccos (3/5):

    Duf(x,y)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ=(2x−y)35+(−x+6y)45=6×5−3y5−4×5+24y5=2x+ 21y5.Duf(x,y)=fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ=(2x−y)35+(−x+6y)45=6×5−3y5−4×5+24y5=2x+ 21у5.

    Чтобы вычислить Duf(−1,2),Duf(−1,2), пусть x=−1x=−1 и y=2:y=2:

    Duf(−1,2)=2(− 1)+21(2)5=-2+425=8.Duf(-1,2)=2(-1)+21(2)5=-2+425=8.

    Это тот же ответ, что и в примере 4.31.

    Контрольно-пропускной пункт 4,28

    Найдите производную по направлению Duf(x,y)Duf(x,y) функции f(x,y)=3x2y−4xy3+3y2−4xf(x,y)=3x2y−4xy3+3y2−4x в направлении u=(cosπ3)i+(sinπ3)ju=(cosπ3)i+(sinπ3)j, используя уравнение 4.37. Что такое Дуф(3,4)? Дуф(3,4)?

    г.

    Если вектор, заданный для направления производной, не является единичным вектором, то делить нужно только на норму вектора. Например, если мы хотим найти производную по направлению функции из примера 4.32 в направлении вектора 〈−5,12〉,〈−5,12〉, мы должны сначала разделить на его величину, чтобы получить u. u. Это дает нам u=〈−(5/13),12/13〉.u=〈−(5/13),12/13〉. Тогда

    Duf(x,y)=∇f(x,y)·u=−513(2x−y)+1213(−x+6y)=−2213x+1713y.Duf(x,y)=∇f(x ,y)·u=−513(2x−y)+1213(−x+6y)=−2213x+1713y.

    г.

    Градиент

    Правая часть уравнения 4.37 равна fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ,fx(x,y)cosθ+fy(x,y)sinθ, что можно записать как скалярное произведение двух векторов. Определим первый вектор как ∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y) j и второй вектор как u=(cosθ)i+(sinθ)j.u=(cosθ)i+(sinθ)j. Тогда правая часть уравнения может быть записана как скалярное произведение этих двух векторов:

    Duf(x,y)=∇f(x,y)·u. Duf(x,y)=∇f(x,y)·u.

    (4,38)

    Первый вектор в уравнении 4.38 имеет специальное название: градиент функции f.f. Символ ∇∇ называется набла , а вектор ∇f∇f читается как «дельф».

    Определение

    Пусть z=f(x,y)z=f(x,y) функция от xandyxandy такая, что fxfx и fyfy существуют. Вектор ∇f(x,y)∇f(x,y) называется градиентом ff и определяется как

    ∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y) j.∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j.

    (4.39)

    Вектор ∇f(x,y)∇f(x,y) также записывается как «gradf». «gradf».

    г.

    Пример 4,33

    Поиск градиентов

    Найдите градиент ∇f(x,y)∇f(x,y) каждой из следующих функций:

    1. f(x,y)=x2−xy+3y2f(x,y) =x2−xy+3y2
    2. f(x,y)=sin3xcos3yf(x,y)=sin3xcos3y
    Решение

    Для обеих частей a. и b., мы сначала вычисляем частные производные fxfx и fy,fy, затем используем уравнение 4.39.


    1. fx(x,y)=2x−yandfy(x,y)=−x+6y, поэтому∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j= (2x−y)i+(−x+6y)j.fx(x,y)=2x−yandfy(x,y)=−x+6y, поэтому∇f(x,y)=fx(x,y) i+fy(x,y)j=(2x−y)i+(−x+6y)j.
    2. г. 91 893 91 812 3sin3xsin3y)j.fx(x,y)=3cos3xcos3yandfy(x,y)=−3sin3xsin3y, поэтому∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j=(3cos3xcos3y)i −(3sin3xsin3y)j.

    Контрольно-пропускной пункт 4.29

    Найдите градиент ∇f(x,y)∇f(x,y) функции f(x,y)=(x2−3y2)/(2x+y).f(x,y)=(x2−3y2 )/(2х+у).

    Градиент имеет несколько важных свойств. Мы уже видели одну формулу, использующую градиент: формулу для производной по направлению. Напомним из скалярного произведения, что если угол между двумя векторами aa и bb равен φ,φ, то a·b=‖a‖‖b‖cosφ.a·b=‖a‖‖b‖cosφ. Следовательно, если угол между ∇f(x0,y0)∇f(x0,y0) и u=(cosθ)i+(sinθ)ju=(cosθ)i+(sinθ)j равен φ,φ, то

    г.

    Duf(x0,y0)=∇f(x0,y0)·u=‖∇f(x0,y0)‖‖u‖cosφ=‖∇f(x0,y0)‖cosφ.Duf(x0,y0)= ∇f(x0,y0)·u=‖∇f(x0,y0)‖‖u‖cosφ=‖∇f(x0,y0)‖cosφ.

    ‖u‖‖u‖ исчезает, потому что uu — единичный вектор. Таким образом, производная по направлению равна величине градиента, оцененной в точке (x0,y0)(x0,y0), умноженной на cosφ.cosφ. Напомним, что cosφcosφ находится в диапазоне от −1−1 до 1,1. Если φ=0,φ=0, то cosφ=1cosφ=1 и ∇f(x0,y0)∇f(x0,y0) и uu указывают в одном направлении. Если φ=π,φ=π, то cosφ=−1cosφ=−1 и ∇f(x0,y0)∇f(x0,y0) и uu указывают в противоположных направлениях. В первом случае значение Duf(x0,y0)Duf(x0,y0) максимально; во втором случае значение Duf(x0,y0)Duf(x0,y0) минимизируется. Если ∇f(x0,y0)=0,∇f(x0,y0)=0, то Duf(x0,y0)=∇f(x0,y0)·u=0Duf(x0,y0)=∇f(x0 ,y0)·u=0 для любого вектора u.u. Эти три случая изложены в следующей теореме.

    г.

    Теорема 4.13

    Свойства градиента

    Предположим, что функция z=f(x,y)z=f(x,y) дифференцируема в точке (x0,y0)(x0,y0) (рис. 4.41).

    1. Если ∇f(x0,y0)=0,∇f(x0,y0)=0, то Duf(x0,y0)=0Duf(x0,y0)=0 для любого единичного вектора u.u.
    2. Если ∇f(x0,y0)≠0,∇f(x0,y0)≠0, то Duf(x0,y0)Duf(x0,y0) максимизируется, когда uu указывает в том же направлении, что и ∇f(x0, у0).∇f(x0,y0). Максимальное значение Duf(x0,y0)Duf(x0,y0) равно ‖∇f(x0,y0)‖.‖∇f(x0,y0)‖.
    3. Если ∇f(x0,y0)≠0,∇f(x0,y0)≠0, то Duf(x0,y0)Duf(x0,y0) минимизируется, когда uu указывает в противоположном направлении от ∇f(x0, у0).∇f(x0,y0). Минимальное значение Duf(x0,y0)Duf(x0,y0) равно −‖∇f(x0,y0)‖. −‖∇f(x0,y0)‖.

    Рисунок 4.41 Градиент указывает максимальное и минимальное значения производной по направлению в точке.

    Пример 4,34

    Нахождение максимальной производной по направлению

    Найдите направление, для которого производная по направлению f(x,y)=3×2−4xy+2y2f(x,y)=3×2−4xy+2y2 в точке (−2,3)(− 2,3) является максимальным. Каково максимальное значение?

    г.
    Решение

    Максимальное значение производной по направлению возникает, когда ∇f∇f и единичный вектор указывают в одном направлении. Поэтому начнем с вычисления ∇f(x,y):∇f(x,y):

    fx(x,y)=6x−4yandfy(x,y)=−4x+4y, поэтому∇f(x ,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j=(6x−4y)i+(−4x+4y)j.fx(x,y)=6x−4yandfy(x,y)= −4x+4y, поэтому∇f(x,y)=fx(x,y)i+fy(x,y)j=(6x−4y)i+(−4x+4y)j.

    Затем мы оцениваем градиент в точке (−2,3):(−2,3):

    ∇f(−2,3)=(6(−2)−4(3))i+(−4 (−2)+4(3))j=−24i+20j.∇f(−2,3)=(6(−2)−4(3))i+(−4(−2)+4(3 ))j=−24i+20j.

    Нам нужно найти единичный вектор, который указывает в том же направлении, что и ∇f(−2,3),∇f(−2,3), поэтому следующим шагом будет деление ∇f(−2,3)∇ f(−2,3) по его величине, которая равна (−24)2+(20)2=976=461.(−24)2+(20)2=976=461. Следовательно,

    ∇f(−2,3)‖∇f(−2,3)‖=−24461i+20461j=−66161i+56161j.∇f(−2,3)‖∇f(−2,3) ‖=−24461i+20461j=−66161i+56161j.

    Это единичный вектор, указывающий в том же направлении, что и ∇f(−2,3).∇f(−2,3). Чтобы найти угол, соответствующий этому единичному вектору, решим уравнения

    cosθ=-66161andsinθ=56161cosθ=-66161andsinθ=56161

    для θ.θ. Поскольку косинус отрицательный, а синус положительный, угол должен лежать во втором квадранте. Следовательно, θ=π−arcsin((561)/61)≈2,45 рад. θ=π−arcsin((561)/61)≈2,45 рад.

    Максимальное значение производной по направлению в точке (−2,3)(−2,3) равно ‖∇f(−2,3)‖=461‖∇f(−2,3)‖=461 (см. следующий рисунок).

    Рисунок 4,42 Максимальное значение производной по направлению при (-2,3)(-2,3) находится в направлении градиента.

    г.

    Контрольно-пропускной пункт 4.30

    Найдите направление, для которого производная по направлению g(x,y)=4x−xy+2y2g(x,y)=4x−xy+2y2 в точке (−2,3)(−2,3) является максимальной . Каково максимальное значение?

    На рис. 4.43 показана часть графика функции f(x,y)=3+sinxsiny.f(x,y)=3+sinxsiny. Учитывая точку (a,b)(a,b) в области определения f,f, максимальное значение градиента в этой точке определяется выражением ‖∇f(a,b)‖.‖∇f(a,b )». Это было бы равно скорости наибольшего подъема, если бы поверхность представляла собой топографическую карту. Если бы мы пошли в противоположном направлении, это была бы скорость наибольшего спуска.

    г.

    Рисунок 4,43 Типичная поверхность в ℝ3.ℝ3. Учитывая точку на поверхности, производную по направлению можно рассчитать с помощью градиента.

    При использовании топографической карты самый крутой уклон всегда находится в том направлении, где горизонтали ближе всего друг к другу (см. Рисунок 4.44). Это аналогично контурной карте функции, если предположить, что кривые уровня получены для равноотстоящих значений во всем диапазоне этой функции.

    Рисунок 4,44 Контурная карта для функции f(x,y)=x2−y2f(x,y)=x2−y2 с использованием значений уровня от −5−5 до 5,5.

    г.

    Градиенты и кривые уровня

    Напомним, что если кривая параметрически задана парой функций (x(t),y(t)),(x(t),y(t)), то вектор x′(t)i+y′( t)jx′(t)i+y′(t)j касается кривой для каждого значения tt в области. Теперь предположим, что z=f(x,y)z=f(x,y) является дифференцируемой функцией xandy,xandy, и (x0,y0)(x0,y0) находится в ее области определения. Предположим далее, что x0=x(t0)x0=x(t0) и y0=y(t0)y0=y(t0) для некоторого значения t,t, и рассмотрим кривую уровня f(x,y)=k.f (х,у)=к. Определить g(t)=f(x(t),y(t))g(t)=f(x(t),y(t)) и вычислить g′(t)g′(t) на уровне изгиб. По правилу цепи,

    г.

    g′(t)=fx(x(t),y(t))x′(t)+fy(x(t),y(t))y′(t).g′(t)=fx (x(t),y(t))x′(t)+fy(x(t),y(t))y′(t).

    Но g′(t)=0g′(t)=0, потому что g(t)=kg(t)=k для всех t.t. Следовательно, с одной стороны,

    fx(x(t),y(t))x′(t)+fy(x(t),y(t))y′(t)=0;fx(x(t),y(t) )x′(t)+fy(x(t),y(t))y′(t)=0;

    с другой стороны,

    fx(x(t),y(t))x′(t)+fy(x(t),y(t))y′(t)=∇f(x,y)·〈x′(t ),y′(t)〉.fx(x(t),y(t))x′(t)+fy(x(t),y(t))y′(t)=∇f(x, у)·〈x′(t),y′(t)〉.

    Следовательно,

    ∇f(x,y)·〈x′(t),y′(t)〉=0.∇f(x,y)·〈x′(t),y′(t)〉=0.

    г.

    Таким образом, скалярное произведение этих векторов равно нулю, что означает, что они ортогональны. Однако второй вектор касается кривой уровня, что означает, что градиент должен быть нормален к кривой уровня, что приводит к следующей теореме.

    Теорема 4.14

    Градиент нормален к кривой уровня

    Предположим, что функция z=f(x,y)z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в открытом круге с центром в точке (x0,y0).(x0,y0). Если ∇f(x0,y0)≠0,∇f(x0,y0)≠0, то ∇f(x0,y0)∇f(x0,y0) нормальна кривой уровня функции ff в точке (x0,y0) . (х0,у0).

    г.

    Мы можем использовать эту теорему, чтобы найти касательные и нормальные векторы к линиям уровня функции.

    Пример 4,35

    Нахождение касательных к кривым уровня

    Для функции f(x,y)=2×2−3xy+8y2+2x−4y+4,f(x,y)=2×2−3xy+8y2+2x−4y+4, найдите касательный вектор к кривой уровня в точке (−2,1).(−2,1). Начертите кривую уровня, соответствующую f(x,y)=18f(x,y)=18, и нарисуйте ∇f(−2,1)∇f(−2,1) и касательный вектор.

    Решение

    Сначала мы должны вычислить ∇f(x,y):∇f(x,y):

    fx(x,y)=4x−3y+2andfy=−3x+16y−4so∇f(x,y)=(4x−3y+2)i+(−3x+16y−4)j.fx(x ,y)=4x−3y+2 и fy=−3x+16y−4so∇f(x,y)=(4x−3y+2)i+(−3x+16y−4)j.

    Затем мы оцениваем ∇f(x,y)∇f(x,y) в точке (−2,1):(−2,1):

    ∇f(−2,1)=(4(− 2)−3(1)+2)i+(−3(−2)+16(1)−4)j=−9i+18j.∇f(−2,1)=(4(−2)−3 (1)+2)i+(−3(−2)+16(1)−4)j=−9i+18j.

    Этот вектор ортогонален кривой в точке (−2,1).(−2,1). Мы можем получить касательный вектор, поменяв местами компоненты и умножив любой из них на −1,−1. Так, например, −18i−9j−18i−9j — касательный вектор (см. следующий график).

    Рисунок 4,45 Повернутый эллипс с уравнением f(x, y) = 18. В точке (–2, 1) эллипса нарисованы две стрелки, один касательный вектор и один нормальный вектор. Вектор нормали отмечен ∇f(–2, 1) и перпендикулярен касательному вектору.

    Контрольно-пропускной пункт 4.31

    Для функции f(x,y)=x2−2xy+5y2+3x−2y+4,f(x,y)=x2−2xy+5y2+3x−2y+4 найдите касательную к кривой уровня в точке (1,1).(1,1). Нарисуйте график кривой уровня, соответствующей f(x,y)=9f(x,y)=9 и нарисуйте ∇f(1,1)∇f(1,1) и касательный вектор.

    Трехмерные градиенты и производные по направлениям

    Определение градиента можно распространить на функции более чем двух переменных.

    Определение

    Пусть w=f(x,y,z)w=f(x,y,z) — функция трех переменных такая, что существуют fx,fy,fzfx,fy,fz. Вектор ∇f(x,y,z)∇f(x,y,z) называется градиентом ff и определяется как

    ∇f(x,y,z)=fx(x,y,z) i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k. ∇f(x,y,z)=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z) j+fz(x,y,z)k.

    (4.40)

    ∇f(x,y,z)∇f(x,y,z) также можно записать как gradf(x,y,z).gradf(x,y,z).

    Вычисление градиента функции с тремя переменными очень похоже на вычисление градиента функции с двумя переменными. Сначала мы вычисляем частные производные fx,fy,fx,fy и fz,fz, а затем используем уравнение 4.40.

    Пример 4,36

    Нахождение градиентов в трех измерениях

    Найдите градиент ∇f(x,y,z)∇f(x,y,z) каждой из следующих функций:

    1. f(x,y,z)=5×2−2xy+y2−4yz+z2+3xzf(x,y,z)=5×2−2xy+y2−4yz+z2+3xz
    2. f(x,y,z)=e−2zsin2xcos2yf(x,y,z)=e−2zsin2xcos2y
    Решение

    Для обеих частей a. и b., мы сначала вычисляем частные производные fx,fy,fx,fy и fz,fz, затем используем уравнение 4.40.


    1. fx(x,y,z)=10x−2y+3z,fy(x,y,z)=−2x+2y−4zandfz(x,y,z)=3x−4y+2z, so∇ f(x,y,z)=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k=(10x−2y+3z)i+(−2x +2y−4z)j+(−4x+3y+2z)k. fx(x,y,z)=10x−2y+3z,fy(x,y,z)=−2x+2y−4zandfz(x,y ,z)=3x−4y+2z, поэтому∇f(x,y,z)=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k =(10x−2y+3z)i+(−2x+2y−4z)j+(−4x+3y+2z)k.
    2. г.

    3. fx(x,y,z)=−2e−2zcos2xcos2y,fy(x,y,z)=−2e−2zsin2xsin2yandfz(x,y,z)=−2e−2zsin2xcos2y,so∇f(x,y, z)=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k=(2e−2zcos2xcos2y)i+(−2e−2z)j+(−2e− 2z)=2e−2z(cos2xcos2yi−sin2xsin2yj−sin2xcos2yk).fx(x,y,z)=−2e−2zcos2xcos2y,fy(x,y,z)=−2e−2zsin2xsin2yandfz(x,y,z)=− 2e−2zsin2xcos2y, поэтому∇f(x,y,z)=fx(x,y,z)i+fy(x,y,z)j+fz(x,y,z)k=(2e−2zcos2xcos2y) i+(-2e-2z)j+(-2e-2z)=2e-2z(cos2xcos2yi-sin2xsin2yj-sin2xcos2yk).

    Контрольно-пропускной пункт 4.32

    Найдите градиент ∇f(x,y,z)∇f(x,y,z) функции f(x,y,z)=x2−3y2+z22x+y−4z.f(x,y,z) )=x2−3y2+z22x+y−4z.

    г.

    Производную по направлению также можно обобщить на функции трех переменных. Чтобы определить направление в трех измерениях, необходим вектор с тремя компонентами. Этот вектор является единичным вектором, и компоненты единичного вектора называются направленными косинусами . Дан трехмерный единичный вектор uu в стандартной форме (т. е. начальная точка находится в начале координат), этот вектор образует три различных угла с положительными осями x−, y−, x−, y− и z- осей. . Назовем эти углы α,β,α,β и γ.γ. Тогда направленные косинусы задаются как cosα,cosβ,cosα,cosβ и cosγ.cosγ. Это компоненты единичного вектора u;u; поскольку uu — единичный вектор, верно, что cos2α+cos2β+cos2γ=1.cos2α+cos2β+cos2γ=1.

    г.

    Определение

    Предположим, что w=f(x,y,z)w=f(x,y,z) является функцией трех переменных с областью определения D.D. Пусть (x0,y0,z0)∈D(x0,y0,z0)∈D и пусть u=cosαi+cosβj+cosγku=cosαi+cosβj+cosγk — единичный вектор. Тогда производная от ff по направлению в направлении uu определяется как )t,Duf(x0,y0,z0)=limt→0f(x0+tcosα,y0+tcosβ,z0+tcosγ)−f(x0,y0,z0)t,

    (4.41)

    , если существует предел .

    Мы можем вычислить производную по направлению функции трех переменных, используя градиент, что приводит к формуле, аналогичной уравнению 4. 38.

    Теорема 4.15

    Производная по направлению функции трех переменных

    Пусть f(x,y,z)f(x,y,z) — дифференцируемая функция трех переменных, и пусть u=cosαi+cosβj+cosγku=cosαi+cosβj+cosγk — единичный вектор. Тогда производная по направлению от ff в направлении uu равна

    Duf(x,y,z)=∇f(x,y,z)·u=fx(x,y,z)cosα+fy(x,y,z)cosβ+fz(x,y,z) cosγ.Duf(x,y,z)=∇f(x,y,z)·u=fx(x,y,z)cosα+fy(x,y,z)cosβ+fz(x,y,z) )cosγ.

    (4.42)

    Три угла α,β и γα,β и γ определяют единичный вектор u.u. На практике мы можем использовать произвольный (неединичный) вектор, а затем разделить его на величину, чтобы получить единичный вектор в нужном направлении.

    Пример 4,37

    Нахождение производной по направлению в трех измерениях

    Вычислить Duf(1,−2,3)Duf(1,−2,3) в направлении v=−i+2j+2kv=−i+2j+2k для функция

    f(x,y,z)=5×2−2xy+y2−4yz+z2+3xz.f(x,y,z)=5×2−2xy+y2−4yz+z2+3xz.

    Решение

    Сначала находим величину v:v:

    ‖v‖=(−1)2+(2)2+(2)2=3.‖v‖=(−1)2+(2)2 +(2)2=3.

    Следовательно, v‖v‖=−i+2j+2k3=−13i+23j+23kv‖v‖=−i+2j+2k3=−13i+23j+23k является единичным вектором в направлении v,v , поэтому cosα=-13,cosβ=23 и cosγ=23.cosα=-13,cosβ=23 иcosγ=23. Далее вычисляем частные производные f:f:

    fx(x,y,z)=10x−2y+3zfy(x,y,z)=−2x+2y−4zfz(x,y,z)= −4y+2z+3x,fx(x,y,z)=10x−2y+3zfy(x,y,z)=−2x+2y−4zfz(x,y,z)=−4y+2z+3x,

    , затем подставьте их в уравнение 4.42:

    Duf(x,y,z)=fx(x,y,z)cosα+fy(x,y,z)cosβ+fz(x,y,z)cosγ= (10x−2y+3z)(−13)+(−2x+2y−4z)(23)+(−4y+2z+3x)(23)=−10×3+2y3−3z3−4×3+4y3−8z3−8y3 +4z3+6×3=−8×3−2y3−7z3.Duf(x,y,z)=fx(x,y,z)cosα+fy(x,y,z)cosβ+fz(x,y,z)cosγ =(10x−2y+3z)(−13)+(−2x+2y−4z)(23)+(−4y+2z+3x)(23)=−10×3+2y3−3z3−4×3+4y3−8z3− 8y3+4z3+6×3=-8×3-2y3-7z3.

    Наконец, чтобы найти Duf(1,−2,3),Duf(1,−2,3), мы подставляем x=1,y=−2,andz=3:x=1,y=−2, andz=3:

    Duf(1,−2,3)=−8(1)3−2(−2)3−7(3)3=−83+43−213=−253. Duf(1, −2,3)=−8(1)3−2(−2)3−7(3)3=−83+43−213=−253.

    г.

    Контрольно-пропускной пункт 4,33

    Вычислить Duf(x,y,z)Duf(x,y,z) и Duf(0,−2,5)Duf(0,−2,5) в направлении v=−3i+12j−4kv =−3i+12j−4k для функции f(x,y,z)=3×2+xy−2y2+4yz−z2+2xz.f(x,y,z)=3×2+xy−2y2+4yz−z2+ 2xz.

    Раздел 4.6 Упражнения

    В следующих упражнениях найдите производную по направлению, используя только определение предела.

    260.

    f(x,y)=5−2×2−12y2f(x,y)=5−2×2−12y2 в точке P(3,4)P(3,4) в направлении u=(cosπ4)i+( sinπ4)ju=(cosπ4)i+(sinπ4)j

    г.

    261.

    f(x,y)=y2cos(2x)f(x,y)=y2cos(2x) в точке P(π3,2)P(π3,2) в направлении u=(cosπ4)i+(sinπ4 )ju=(cosπ4)i+(sinπ4)j

    262.

    Найдите производную по направлению от f(x,y)=y2sin(2x)f(x,y)=y2sin(2x) в точке P(π4,2)P(π4,2) в направлении u=5i +12j.u=5i+12j.

    Для следующих упражнений найдите производную функции по направлению в точке PP в направлении uu или vv, в зависимости от ситуации.

    263.

    f(x,y)=xy,f(x,y)=xy,P(0,−2),P(0,−2),v=12i+32jv=12i+32j

    г.

    264.

    h(x,y)=exsiny,P(1,π2),v=−ih(x,y)=exsiny,P(1,π2),v=−i

    265.

    h(x,y,z)=xyz,P(2,1,1),v=2i+j−kh(x,y,z)=xyz,P(2,1,1),v=2i+ й-к

    266.

    f(x,y)=xy,P(1,1),u=〈22,22〉f(x,y)=xy,P(1,1),u=〈22,22〉

    267.

    f(x,y)=x2−y2,u=〈32,12〉,P(1,0)f(x,y)=x2−y2,u=〈32,12〉,P(1,0)

    268.

    f(x,y)=3x+4y+7,u=〈35,45〉,P(0,π2)f(x,y)=3x+4y+7,u=〈35,45〉,P( 0,π2)

    269.

    f(x,y)=excosy,u=〈0,1〉,P=(0,π2)f(x,y)=excosy,u=〈0,1〉,P=(0,π2)

    270.

    f(x,y)=y10,u=〈0,−1〉,P=(1,−1)f(x,y)=y10,u=〈0,−1〉,P=(1,− 1)

    271.

    f(x,y)=ln(x2+y2),u=〈35,45〉,P(1,2)f(x,y)=ln(x2+y2),u=〈35,45〉, Р(1,2)

    272.

    f(x,y)=x2y,P(−5,5),v=3i−4jf(x,y)=x2y,P(−5,5),v=3i−4j

    273.

    f(x,y,z)=y2+xz,P(1,2,2),v=〈2,−1,2〉f(x,y,z)=y2+xz,P(1,2 ,2),v=〈2,−1,2〉

    В следующих упражнениях найдите производную функции по направлению в направлении единичного вектора u=cosθi+sinθj.u=cosθi+sinθj.

    г.

    274.

    f(x,y)=x2+2y2,θ=π6f(x,y)=x2+2y2,θ=π6

    275.

    f(x,y)=yx+2y,θ=−π4f(x,y)=yx+2y,θ=−π4

    276.

    f(x,y)=cos(3x+y),θ=π4f(x,y)=cos(3x+y),θ=π4

    277.

    w(x,y)=yex,θ=π3w(x,y)=yex,θ=π3

    278.

    f(x,y)=xarctan(y),θ=π2f(x,y)=xarctan(y),θ=π2

    279.

    f(x,y)=ln(x+2y),θ=π3f(x,y)=ln(x+2y),θ=π3

    Для следующих упражнений найдите градиент.

    г.

    280.

    Найдите градиент f(x,y)=14−x2−y23.f(x,y)=14−x2−y23. Затем найдите градиент в точке P(1,2).P(1,2).

    281.

    Найдите градиент f(x,y,z)=xy+yz+xzf(x,y,z)=xy+yz+xz в точке P(1,2,3).P(1,2, 3).

    282.

    Найти градиент f(x,y,z)f(x,y,z) в точке PP и в направлении u:u:f(x,y,z)=ln(x2+2y2+3z2) ,P(2,1,4),u=−313i−413j−1213k.f(x,y,z)=ln(x2+2y2+3z2),P(2,1,4),u=−313i −413j−1213k.

    283.

    f(x,y,z)=4x5y2z3,P(2,−1,1),u=13i+23j−23kf(x,y,z)=4x5y2z3,P(2,−1,1),u= 13i+23j−23k

    г.

    Для следующих упражнений найдите производную функции по направлению в точке PP в направлении Q.Q.

    284.

    f(x,y)=x2+3y2,P(1,1),Q(4,5)f(x,y)=x2+3y2,P(1,1),Q(4,5)

    285.

    f(x,y,z)=yx+z,P(2,1,−1),Q(−1,2,0)f(x,y,z)=yx+z,P(2,1 ,−1),Q(−1,2,0)

    Для следующих упражнений найдите производную функции в точке PP в направлении u. u.

    286.

    f(x,y)=−7x+2y,P(2,−4),u=4i−3jf(x,y)=−7x+2y,P(2,−4),u=4i−3j

    г.

    287.

    f(x,y)=ln(5x+4y),P(3,9),u=6i+8jf(x,y)=ln(5x+4y),P(3,9),u=6i+ 8j

    288.

    [T] Используйте технологию, чтобы нарисовать кривую уровня f(x,y)=4x−2y+3f(x,y)=4x−2y+3, которая проходит через P(1,2)P(1 ,2) и нарисуйте вектор градиента в точке P.P.

    289.

    [T] Используйте технологию, чтобы нарисовать кривую уровня f(x,y)=x2+4y2f(x,y)=x2+4y2, которая проходит через P(−2,0)P(−2,0 ) и нарисуйте вектор градиента в точке P.P.

    918:10 Для следующих упражнений найдите вектор градиента в указанной точке.

    290.

    f(x,y)=xy2−yx2,P(−1,1)f(x,y)=xy2−yx2,P(−1,1)

    291.

    f(x,y)=xey-ln(x),P(-3,0)f(x,y)=xey-ln(x),P(-3,0)

    292.

    f(x,y,z)=xy−ln(z),P(2,−2,2)f(x,y,z)=xy−ln(z),P(2,−2,2)

    293.

    f(x,y,z)=xy2+z2,P(−2,−1,−1)f(x,y,z)=xy2+z2,P(−2,−1,−1)

    Для следующих упражнений найдите производную функции.

    г.

    294.

    f(x,y)=x2+xy+y2f(x,y)=x2+xy+y2 в точке (−5,−4)(−5,−4) в направлении наиболее быстрого возрастания функции

    295.

    f(x,y)=exyf(x,y)=exy в точке (6,7)(6,7) в направлении наиболее быстрого возрастания функции

    296.

    f(x,y)=arctan(yx)f(x,y)=arctan(yx) в точке (−9,9)(−9,9) в направлении наиболее быстрого возрастания функции

    297.

    f(x,y,z)=ln(xy+yz+zx)f(x,y,z)=ln(xy+yz+zx) в точке (−9,−18,−27)(−9,−18,−27) в направлении наиболее быстрого возрастания функции

    298.

    f(x,y,z)=xy+yz+zxf(x,y,z)=xy+yz+zx в точке (5,−5,5)(5,−5,5) в направлении функция возрастает наиболее быстро

    Для следующих упражнений найдите максимальную скорость изменения ff в данной точке и направление, в котором это происходит.

    299.

    f(x,y)=xe−y,f(x,y)=xe−y,(1,0)(1,0)

    300.

    f(x,y)=x2+2y,f(x,y)=x2+2y,(4,10)(4,10)

    г.

    301.

    f(x,y)=cos(3x+2y),(π6,−π8)f(x,y)=cos(3x+2y),(π6,−π8)

    Для следующих упражнений найдите уравнения

    .
    1. касательная плоскость и
    2. нормаль к данной поверхности в данной точке.

    302.

    Поверхность уровня f(x,y,z)=12f(x,y,z)=12 для f(x,y,z)=4×2−2y2+z2f(x,y,z)=4×2−2y2 +z2 в точке (2,2,2).(2,2,2).

    303.

    f(x,y,z)=xy+yz+xz=3f(x,y,z)=xy+yz+xz=3 в точке (1,1,1)(1,1,1)

    г.

    304.

    f(x,y,z)=xyz=6f(x,y,z)=xyz=6 в точке (1,2,3)(1,2,3)

    305.

    f(x,y,z)=xeycosz−z=1f(x,y,z)=xeycosz−z=1 в точке (1,0,0)(1,0,0)

    Для следующих упражнений решите задачу.

    306.

    Температура TT в металлической сфере обратно пропорциональна расстоянию от центра сферы (начало координат: (0,0,0)).(0,0,0)). Температура в точке (1,2,2)(1,2,2) составляет 120°С.120°С.

    1. Найдите скорость изменения температуры в точке (1,2,2)(1,2,2) в направлении точки (2,1,3).(2,1,3).
    2. Покажите, что в любой точке сферы направление наибольшего повышения температуры задается вектором, указывающим на начало координат.

    307.

    Электрический потенциал (напряжение) в определенной области пространства задается функцией V(x,y,z)=5×2−3xy+xyz.V(x,y,z)=5×2−3xy+xyz.

    1. Найти скорость изменения напряжения в точке (3,4,5)(3,4,5) в направлении вектора 〈1,1,−1〉.〈1,1,−1〉 .
    2. г.
    3. В каком направлении быстрее всего изменяется напряжение в точке (3,4,5)?(3,4,5)?
    4. Какова максимальная скорость изменения напряжения в точке (3,4,5)?(3,4,5)?

    308.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.