Задача по теории вероятности: Сборник задач по теории вероятностей (с решениями) | Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по алгебре (9, 11 класс):

Содержание

Решение задач по теории вероятности

Решение задач по теории вероятности

Методическое пособие по решению задач по вероятности
1.Папа. мама, сын и дочка бросили жребий-кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что посуду будет мыть мама?
Решение: Всего вариантов-4, поэтому 1:4=0,25
Ответ:0,25
2.Конкурс исполнителей проводится в 5 дней.Всего заявлено 50 выступлений-по одному от каждой страны. В первый день 26 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. порядок выступления определяется жребием.Какова вероятность, что выступление представителя из России состоится в третий день?
Решение:На каждый из четырех оставшихся дней заявлено (50-26):4= 6 выступлений. Значит на интересуемый нас третий день придется 6 выступлений из 50 заявленных.

Поэтому вероятность того, что выступление представителя из России состоится в третий день равна 6:50=0,12
ответ:0,12
3.Игральную кость бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 4 очков?
Решение: Всего может быть 6 вариантов (1,2,3,4,5,6) Менее 4 очков- это 1,2,3 , то есть 3 случая. Поэтому вероятность равна 3:6=0,5
Ответ: 0,5
4.На соревновании по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Великобритании, 2 из Испании, 4 из Швеции. Порядок выступления определяется жребием. Найдите вероятность того, что Восьмым будет выступать спортсмен из Испании?
Решение: Всего спортсменов 2+2+4=8. Из Испании 2 спортсмена.Значит вероятность равна 2:8=0,25
Ответ:0,25
5.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет орел?

Решение: Если бросить монету дважды может получиться следующая комбинация РР,РО,ОР,ОО,  то есть всего 4 варианта.Нас интересует ОО. Поэтому вероятность равна 1:4=0,25
Ответ:0,25
6. Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Витязь» по очереди играет  с командами «Атлант» и «Титан». Найдите вероятность того, чтокоманда «Витязь» не выиграет право владеть мячом ни в одном матче?
Решение:»Витязь» играет с двумя командами: В-А, В-Т. В первом матче может быть два исхода для «Витязь»( владеет и не владеет). Тоже самое и во втором матче. Всего 4 варианта. Нас интересует только 1-не владение мячом ни в одном матче. Вероятность равна 1:4=0,25
Ответ:0,25
7. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того. что в сумме выпадет 3 очка. Ответ округлите до сотых.
Решение:3 очка может впасть в следующих случаях: 1+2,2+1. Всего 2 варианта. Всего комбинаций может быть 6*6=36.Вероятность равна 2:36=0,0555…=0,06
Ответ:0,06
8.В сборнике  билетов по физике всего 20 билетов, в 6 из них встречается вопрос по электростатике. Найдите вероятность того,что в случайно выбранном на экзамене билете ученику встретиться вопрос по электростатике.
Решение:Всего билетов 20, нас интересует 6. Вероятность равна 6:20=0,3
 Ответ:0,3
9.Люда дважды бросает кубик. В сумме у нее  выпало 9 очков. Найти вероятность того, что при первом броске выпало 5 очков.
Решение:9 очков может получиться следующим образом:6+3,3+6,5+4,4+5.Всего 4 случая.При первом броске 5 может выпасть только один раз.Поэтому вероятность равна 1:4=0,25
Ответ:0,25

10.На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Италии и 10 прыгунов из Аргентины. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет выступать прыгун из Италии.

Решение:Всего спортсменов 40. Из Италии-4.Вероятность того, что первым (а вообще любым по счету )будет выступать спортсмен из Италии равна 4:40=0,1

Ответ: 0,1

11.В среднем из 500 фонариков, поступивших в продажу, 5 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный фонарик окажется исправным.

Решение:Из 500 фонариков 495 исправных. Поэтому вероятноть того, что попадется исправный фонарик равна495:500=0,99

Ответ: 0,99

12.Наташа и Вика играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что Наташа проиграла.

Решене: В результате иры могут возникнуть следующие комбинации:3+6,6+3,5+4,4+5. всего 4 варианта. Наташа проиграет в двух случаях 6+3 и 5+4. Поэтому вероятность равна 2:4=0,5

Ответ:0,5

13.В чемпионате мира участвует 25 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по пять команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:                                                                                                   1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5.                                                                                                                                            Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Франции окажется в первой  группе.      

Решение: Вего команд 25, групп- 5. В каждой группе-5 команд. 5:25=0,2

Ответ:0,2

ШПАРГАЛКА ПО СТАТИСТИКЕ, ВЕРОЯТНОСТИ, КОМБИНАТОРИКЕ.
СТАТИСТИКА.


Средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.
Модой ряда чисел называется число, которое встречается в данном ряду чаще других.
Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим этих чисел.
Медианой упорядоченного ряда чисел с нечётным числом членов называется число, записанное посередине, а медианой упорядоченного ряда чисел с чётным числом членов называется среднее арифметическое двух чисел, записанных посередине. Медианой произвольного ряда чисел называется медиана соответствующего упорядоченного ряда.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Все события жизни  можно разделить на 3 группы:
— достоверные – обязательно произойдут;
— невозможные;
— случайные.
Изучением случайных событий занимается теория вероятностей. Т. о. с точки зрения теории вероятностей понятие события выглядит следующим образом: «Событие – это явление, о котором можно сказать, что оно происходит или не происходит при определенных условиях.» Любое событие происходит вследствие испытания.
Элементарное событие (элементарные исходы) опыта – простейшие события, которыми может окончится случайный опыт.
Испытания – это условия, в результате которых происходит (или не происходит) событие.
Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти во время проведения определенного испытания. Они могут быть массовыми или единичными.
Массовыми называют однородные события, наблюдающиеся при определенных условиях, которые могут быть повторены (можно наблюдать) неограниченное количество раз.
Единичное случайное событие  происходит единожды, например, падение Тунгусского метеорита.
Теория вероятностей изучает только массовые события.
    Достоверным называется событие, которое вследствие данного испытания обязательно произойдет.

    Невозможным называется событие, которое вследствие данного испытания не может произойти.
    Попарно несовместимые события – это события, два из которых не могут произойти одновременно.
    Равновозможные события – это такие события, каждое из которых не имеет никаких преимуществ в появлении чаще, чем другое, во время многоразовых испытаний, которые проводятся при одинаковых условиях.
    Вероятностью p события А – называется отношение числа благоприятных исходов m к числу всех возможных исходов n:
                                                            .
    Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.
    Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А, и событие В.
    События А и В называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.
    События А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.
    Событие   состоит в том, что событие А не произошло, т. е. событие  является противоположным к событию А.
    Для несовместных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей:
 .
    Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей:
 .
Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события:
 
    Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события:
 .
Вероятность невозможного события равна 0, вероятность достоверного события равна 1.
Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.

КОМБИНАТОРИКА.
Имеется  n различных предметов. Сколько из них можно составить k-расстановок?  При этом две расстановки считаются различными, если они либо отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке. Такие расстановки называются размещениями без повторений, а их число обозначают  .
 
Если брать расстановки , в которые входят все n элементов, то они могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в него элементов. Такие расстановки называются перестановками из n элементов, или, короче, n-перестановками. Число n-перестановок обозначают через  .

 
Формулу для числа размещений без повторений можно записать в виде
 .
k-сочетаниями из n элементов называют всевозможные  k-расстановки, составленные из  этих элементов и отличающиеся друг от друга составом, ноне порядком элементов. Число k-сочетаний, которые можно составить из n элементов, обозначают через  .  Формула для вычисления числа сочетаний:

 .


Решение задач по теории вероятности

Решение задач по теории вероятности
(смотрите также решение задач по программированию)

Среди множества дисциплин, которые преподают в ВУЗах, по теории вероятности вам может попасться и теория вероятности. И чем ближе к точным наукам ваша специальность, тем с большей вероятностью она будет в вашем расписании.

Всем ли она понадобится в реальной жизни? Возможно, вы станете профессиональным математиком, экономистом или игроком в покер. Однако этот путь (по той же теории вероятности) выбирают далеко не все. Если же вы не намерены тратить время и ресурс на освоение практически ненужной информации, вы можете воспользоваться нашей услугой и заказать решение задач по теории вероятности.

Пример оформления контрольной работы по «теории вероятностей» нашими специалистами:

В разных ВУЗах разные программы, но наши специалисты хорошо с ними знакомы. Обратившись к нам, вы непременно укажете свой ВУЗ и будете иметь дело со специалистом, который работает именно по вашему ВУЗу. Это не вопрос вероятности, хе-хе, а вопрос профессионализма. Это значит, что присланная вами задача будет решена и оформлена по правилам именно вашего ВУЗа. А следовательно, ненужных вопросов у преподавателя, принимающего работу, не возникнет.

Решение тервер для студентов профильных факультетов тоже входит в наши услуги. Даже если для вас теория вероятности является профильным предметом (допустим, вы студент-математик), задача высокого уровня сложности для нас не проблема. Это может быть и задача, входящая в контрольную или лабораторную работу, задача как часть курсовой, диплома или даже защита учёной степени.

Вероятность – не 100%, но близко к тому

Интернет сегодня заполнен примерами решения задач по теории вероятности. Однако они обычно типовые, скопированы из одних и тех же источников и не помогают, когда надо действительно решать специфические задачи или комбинированные задачи повышенной сложности. Но выход есть: нужно обратиться к квалифицированным специалистам, к примеру, к нашим.


Решение теории вероятности на заказ предполагает у нас прямое взаимодействие заказчика и автора. Преимущества такого варианта – в том, что вы прямо можете обсудить все вопросы, от оплаты до деталей оформления решения. Кстати, об оплате: прямой контакт заказчика и исполнителя предполагает существенную экономию в затратах, ведь посредники в схеме отсутствуют.

Взаимодействие с авторами построено по простой схеме. Вы отправляете нам не только условия задачи для решения, но и название ВУЗа, в котором вы учитесь, и другие сведения, нужные для решения и правильного оформления задачи. После этого наш специалист приступает к решению задачи. Как только работа выполнена, он связывается с вами. В свою очередь, вы тоже можете связаться со специалистом, чтобы дополнить информацию или сообщить дополнительные сведения или требования. Когда задача решена, вы получаете не только ответ, но и ход решения, а также все необходимые комментарии по вопросу. Вероятность, что это именно то, что вам надо – не 100%, но крайне высока.

Мы решаем задачи по теории вероятности из самых разных её разделов. Обращайтесь к нам, если вам нужны решения по такой тематике, как зависимые и независимые случайные события, законы распределения случайных величин, теория случайных процессов, одномерные и многомерные случайные величины и так далее. Разумеется, мы работаем и с другими разделами теории вероятности.

Гарантия качества нашего решения задач по теории вероятности – это не только уровень наших специалистов, но и серьёзный подход к делу. Мы обеспечиваем прямое взаимодействие заказчика с автором. Мы предлагаем вам по ходу решения убедиться в том, что специалист достаточно компетентен, обсудить время, сроки и условия выполнения работы. Оплата доступна различными способами и в различных вариантах. Мы постараемся (хотя теория вероятности и предполагает различные возможности) сделать работу максимально оперативно.

Заказать нам работу!

Вероятность

Как вероятно что-то должно произойти.

Многие события невозможно предсказать с полной уверенностью. Лучшее, что мы можем сказать, это насколько вероятно они должны произойти, используя идею вероятности.

Подбрасывание монеты

При подбрасывании монеты возможны два исхода:

Головки (H) или хвостовики
(T)

Также:

  • вероятность выпадения монеты H равно ½
  • вероятность выпадения монеты T равна ½

 

Бросание игральных костей

При бросании одной кости возможны шесть исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6 .

Вероятность любого из них равна 1 6

Вероятность

В целом:

Вероятность события = Количество способов, которыми это может произойти Общее количество исходов

 

Пример: вероятность выпадения «4» кубиком

Количество возможных вариантов: 1 (есть только 1 грань с «4»)

Общее количество исходов: 6 (всего 6 граней)

Таким образом, вероятность = 1 6

Пример: в мешке 5 шариков: 4 синих и 1 красный. Какова вероятность того, что будет выбран синий шарик?

Количество возможных вариантов: 4 (есть 4 синих)

Общее количество исходов: 5 (всего 5 шариков)

Таким образом, вероятность = 4 5 = 0,8

Линия вероятности

Мы можем показать вероятность на линии вероятности:

Вероятность всегда между 0 и 1

Вероятность — это всего лишь ориентир

Вероятность не говорит нам точно, что произойдет, это всего лишь ориентир

Пример: подбросьте монету 100 раз, сколько выпадет орла?

Вероятность говорит о том, что орёл имеет ½ шанса, поэтому мы можем ожидать 50 орлов .

Но когда мы на самом деле попробуем, мы можем получить 48 голов, или 55 голов… или вообще что угодно, но в большинстве случаев это будет число около 50.

Узнайте больше в Индексе вероятности.

слов

Некоторые слова имеют особое значение в Вероятности:

Эксперимент : повторяемая процедура с набором возможных результатов.

Пример: Бросание игральных костей

Мы можем бросать кости снова и снова, так что это повторяется.

Набор возможных результатов любого одиночного броска: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Результат: Возможный результат.

Пример: «6» — это один из результатов броска игральной кости.

 

Испытание: Одиночное выполнение эксперимента.

Пример: Я провел эксперимент с подбрасыванием монеты. После 4 попыток я получил следующие результаты:

Результат Испытание Испытание Испытание Пробная
Головка
Хвост


Три испытания имели исход «Голова», а одно испытание — «Хвост».

Sample Space: все возможные результаты эксперимента.

Пример: выбор карты из колоды

В колоде 52 карты (не считая джокеров)

Таким образом, Пространство выборки — это все 52 возможные карты : {Туз червей, 2 червей и т. д. .. }

 

Пространство выборки состоит из точек выборки:

Точка выборки: только один из возможных результатов

Пример: Колода карт

  • 5 треф является точкой отсчета
  • Король Червей является пробной точкой

«Король» не является точкой отбора. Есть 4 короля, то есть 4 различных точек выборки.

Пример: бросание игральных костей

В этой области выборки имеется 6 различных точек выборки.

 

Событие: одно или более результаты эксперимента

Пример событий:

Событие может иметь только один исход:

  • Выпадение решки при подбрасывании монеты
  • Роллинг «5»

Событие может включать более одного исхода:

  • Выбор «Короля» из колоды карт (любого из 4 Королей)
  • Выпадение «четного числа» (2, 4 или 6)

 

Эй, давайте использовать эти слова, чтобы вы привыкли к ним:

Пример: Алекс хочет узнать, сколько раз выпадет «дубль» при бросании двух костей.

Пространство выборки все возможно Результаты (36 точек выборки):

{1,1} {1,2} {1,3} {1,4} …

. .. {6,3} {6,4} {6,5} {6,6}

 

Событие , которое ищет Алекс, — это «двойное число», когда оба кубика имеют одинаковое число. Он состоит из этих 6 точек выборки :

{1,1} {2,2} {3,3} {4,4} {5,5} и {6,6}

 

Эти результаты Алекса:

Пробная версия Это двойник?
{3,4}
{5,1}
{2,2} Да
{6,3}

 

После 100 испытаний у Алекса 19″двойной» События … это близко к тому, что вы ожидаете?

 

700, 701, 702, 1475, 1476, 1477, 2175, 2176, 2177, 2178

Эксперимент с кубиком
Эксперимент с кубиком

Вероятность – примеры задач с решениями

1. Дайте определение и охарактеризуйте вероятность.

Решение:

а) Стандартное определение вероятности

Пусть случайное событие удовлетворяет следующим условиям:

  • количество событий конечно
  • все события имеют одинаковый шанс произойти
  • два события не могут произойти одновременно


Вероятность события A равна , n = # всех возможных событий, m = количество случаев, благоприятных для события A

Стенды: 0 ≤ P(A) ≤ 1
Вероятность невозможного события: P(A) = 0
Вероятность достоверного события: P(A) = 1

b)  Условная вероятность некоторого события A при условии наступления некоторого другого события B:

в) Вероятность двух независимых событий :

П(А∩В) = П(А)П(В)

d) Вероятность двух взаимоисключающих событий :

П(АУБ) = П(А) + П(В)

e) Биномиальное вероятностное выражение :

Пусть событие A произойдет с вероятностью P. Вероятность k появления события A за n попыток равна:

f) Выражение гипергеометрической вероятности:

Пусть V из N элементов обладает свойством p; выведенные из этого, N-V элементов не обладают свойством p.
Вероятность того, что k из n случайно выбранных элементов, обладающих свойством p, равна:


2. Имеется 18 билетов, пронумерованных от 1 до 18. Какова вероятность выбора билета, обладающего следующим свойством:

а) четное число
б) число, кратное 3
в) простое число
г) число, кратное 6

Решение:


3.Определить вероятность следующих результатов при бросании 2-х игровых кубиков (красного и синего):

а) сумма равна 8
б) сумма, кратная 5
c) четная сумма

Решение:


4. Игрок, играющий 3 игральными кубиками, хочет узнать, будет ли он ставить на сумму 11 или 12. Какая из сумм выпадет более вероятно?

Решение:

Игрок должен поставить на 11, так как P(11) > P(12).


5,82 170 из 100 000 детей доживают до 40 лет и 37 930 из 100 000 детей доживают до 70 лет. Определить вероятность того, что 40-летний человек проживет 70 лет.

Решение:

(Условная вероятность)

А – дожить до 70 лет, Р(А) = 0,3793
B – живут 40 лет, P(B) = 0,8217

Вероятность равна 46%.


6.В городе 4 перекрестка со светофором. Каждый светофор открывает или закрывает движение с одинаковой вероятностью 0,5. Определить вероятность:

а) автомобиль, пересекающий первый перекресток без остановки
б) автомобиль, пересекающий первые два перекрестка без остановки
c) автомобиль пересекает все перекрестки (4) без остановки  

Решение:


7. 32 игральные карты включают 4 туза и 12 цифр. Определите вероятность того, что случайно выбранная карта окажется тузом или цифрой.

Решение:

Вероятность двух взаимоисключающих событий

A – выбранный туз
B — выбранная фигура


Вероятность выбора туза или фигуры равна 50%.


8.Определить вероятность того, что 3 из 5 рожденных детей будут сыновьями, если вероятность рождения ребенка мальчиком равна P(A) = 0,51.

Решение:

Биномиальное вероятностное выражение.
n = 5, k = 3, P = 0,51

Вероятность равна 31,8 %.


9. На столе 16 бутылок колы. 10 из них заполнены Coca Cola и 6 из них заполнены Pepsi. Определите вероятность того, что среди 4 случайно выбранных бутылок окажется 2 бутылки кока-колы и 2 бутылки пепси.

Решение:

Выражение гипогеометрической вероятности.

N = 16 (количество всех бутылок)
В = 10 (#Кока-Кола)
N-V = 6 (# Пепси)
n = 4 (количество случайно выбранных бутылок)
k = 2 (# выбрана Coca Cola)
n – k = 2 (# выбрано Pepsi)

Вероятность равна P(A) = 37 %.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *