Чему равен квадратный корень из –1? — Вопрос на засыпку — Джон Фарндон — rutlib5.com
(Математика, Оксфорд)
Это, пожалуй, самый трудный вопрос в математике, над которым на протяжении тысячелетий бились практически все великие ученые. Впрочем, проблема заключается в поиске корня не только из –1, но и из любого отрицательного числа. Квадратный корень числа — это значение, которое при возведении в квадрат дает оригинальное число. Так, квадратный корень из 9 равен 3 (3 × 3 = 9), квадратный корень из 4 равен 2 (2 × 2 = 4), а квадратный корень из 1 равен 1 (1 × 1 = 1). Но это неприменимо к отрицательным числам, поскольку два отрицательных числа при умножении дают положительное: так, –2 × –2 = (+)4, а –1 × –1 = (+)1.
И как же тогда найти корень из отрицательного числа, например из –1? Дело в том, что никак, и математики называют такие значения мнимыми числами. С тем же успехом их можно было бы назвать нереальными, абсурдными или просто дурацкими числами, поскольку они, по-видимому, не существуют. Однако сейчас мы едва ли можем представить нашу жизнь без них. Они необходимы для передовой квантовой физики, они важны для проектирования подвесных мостов и крыльев самолетов. Они мнимые, поскольку не обозначают какое-либо существующее число, но они реальны, поскольку являются частью реального мира. Поэтому, как ни парадоксально, они одновременно воображаемые и настоящие, невозможные и возможные.
Данное противоречие обнаружили еще древние египтяне, а также один из величайших математиков Античности Герон Александрийский, который столкнулся с отрицательными числами около 2000 лет назад, когда пытался вычислить объем усеченной пирамиды. В расчетах ему понадобилось найти квадратный корень из 81–144 (то есть √–63). Поскольку получить корень из отрицательного числа не представлялось возможным, Герон просто поменял его на положительное и извлек корень из 63. Разумеется, античный ученый просто подогнал ответ под желаемый, но что ему оставалось делать? В те времена даже к отрицательным числам относились с крайней осторожностью, что там говорить о квадратных корнях из них!
Средневековые математики порой сталкивались с данной проблемой при решении кубических уравнений, но они просто рассматривали корни из отрицательных чисел как невозможные.
rutlib5.com
1.1.1. Закон извлечения корня из числа.
Алгебра плоского комплексного анализа определила закон извлечения корня из числа в виде формулы , где есть комплексное число такое, что , есть модуль комплекса, argесть аргумент комплекса, есть целое число.
Рассмотрим простейшее уравнение .Определим его корни, путем отыскания его корней по заданной формуле, то есть извлечем квадратный корень из +1.
На плоскости комплексного переменного число равное +1 имеет два аргумента arg и и определено двумя точками : одна точка на верхнем берегу разреза плоскости Z по прямой , другая точка на нижнем берегу разреза. Извлечение квадратного корня из этих точек с разными аргументами дает один и тот же результат
,,
,,
Квадратное уравнение для двух разных точек имеет два одинаковых корня. Две разные точки в плоскости (Z) определяют одно и тоже число +1.При построении комплексного пространства эту особенность необходимо учитывать. Рассмотрим решение квадратного уравнения по следующему варианту:. Так, что необходимо исследовать извлечение квадратного корня из произведения (-1)(-1).
,
получим
Единица была представлена как произведение двух отрицательных единиц, которые на плоскости (z) представляют одну точку с аргументом .Точка находится на верхнем берегу разреза комплексной плоскости (z) по оси . Для получения второго корня в этом случае требуется перемешивание системы отсчета, то есть введение
Тогда
так, что получаем
,
, и если , или то имеем второй корень равный –1
.
Таким образом, показано, что закон извлечения корня из +1 в комплексной плоскости Z дает два корня только в том случае когда системы отсчета перемешаны. В этом случае можно рассмотреть такую систему аргументов в пространстве чисел и их циклическое изменение при которых система отсчета К для обоих аргументов будет одним числом.
Представим
, где ,а мнимая единица J отличается от мнимой единицы I только обозначением, тогда имеем
Таким образом, комплексное число может быть представлено как пространственное с двумя аргументами в виде
с пространственным изменением аргументов и их циклическим приращением равным , где k есть целое число.
Извлечение квадратного корня из +1, кроме тривиального решения , дает пространственное: , и имеем следующую алгебру мнимых единиц ,
| . | (1.1.) |
[Следующий параграф]
Мини оглавление:
[0], [1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, 1.2, 1.2.1, 1.2.2, 1.2.2.a, 1.2.2.b, 1.2.2.c, 1.2.2.d, 1.2.2.e, 1.2.2.f, 1.2.2.g, 1.2.2.h, 1.2.3, 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.4.1, 1.4.2, 1.5, 1.6, 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3.1, 1.7.3.2, 1.7.3.3, 1.7.4.1, 1.7.4.2, 1.8.1], [2.1, 2.2],[3.1, 3.2, 3.3, 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5],[4.1, 4.2, 4.3, 4.4],[5.1, 5.1.Рис.52, 5.2, 5.3, 5.4, 5.4.Т1, 5.4.Т2, 5.4.Т3, 5.5.1, 5.5.2, 5.5.3, 5.5.4],[6.1.1, 6.1.2, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.3, 6.2.4, 6.2.5, 6.3, 6.4.1, 6.4.2, 6.5.1, 6.5.2],[7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7.1, 7.7.2, 7.8.1, 7.8.2, 7.8.3, 7.9],[8.1, 8.2.1, 8.2.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.6.T1, 8.7, 8.8.1, 8.8.2, 8.8.3, 8.9.1, 8.9.2, 8.9.3, 8.10, 8.10.T2, 8.10.T3],[9.1, 9.2, 9.3, Рис.88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100],[10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.10, 10.11, 10.12, 10.13, 10.14, 10.15.1, 10.15.2, 10.16.1, 10.16.2, 10.17, 10.18],[11]
Вы можете скачать книгу целиком на свой компьютер в виде PDF файла (10.3Mb / 541 страниц) (31 Авгутста 2003). Размещенный материал является электронной версией книги: © В.И.Елисеев, «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного», изданной Центром научно-технического творчества молодежи Алгоритм. — М.:, НИАТ. — 1990. Шифр Д7-90/83308. в каталоге Государственной публичной научно-технической библиотеки. Сайт действует с 10 августа 1998.
E-mail: [email protected]
www.maths.ru
корень (1) — это… Что такое корень (1)?
КОРЕНЬ — муж. корешек, шечек, коренек ·умалит. корнишка презрительное, корнища увеличительное, подземная часть всякого растения. У деревьев различают становой и боковые корни, а при них корешки и мелкие мочки. вбирающие влагу. Корень бывает: луковичный,… … Толковый словарь Даля
КОРЕНЬ — КОРЕНЬ, корня, мн. корни, корней, м. 1. Вросшая в землю часть растения, через к рую оно всасывает соки из почвы. Бурей выворотило деревья с корнями. Дуб глубоко пустил корни в землю. || Древесина или вещество этой части растения. Лакричный корень … Толковый словарь Ушакова
КОРЕНЬ — КОРЕНЬ, рн , мн. рни, рней, муж. 1. Подземная часть растения, служащая для укрепления его в почве и всасывания из неё воды и питательных веществ. Главный, боковой, придаточный к. Воздушные корни (у лиан и нек рых других растенийвысоко над землёй … Толковый словарь Ожегова
КОРЕНЬ — (radix), один из основных вегетативных органов листостебельных растений, служащий для прикрепления к субстрату, поглощения из него воды и питат. веществ. Филогенетически К. возник позднее, чем стебель, и, вероятно, произошёл от корнеподобных… … Биологический энциклопедический словарь
корень — См. начало, причина, происхождение вырывать с корнем, пускать корни… Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. корень начало, причина, происхождение; радикал; корешок, стержень,… … Словарь синонимов
корень — КОРЕНЬ, рня, м. 1. Друг, приятель. 2. Мужской половой орган Маленький мужчина растет в корень корень Крепкий корень старый, верный друг. 1. возм. контаминация с кореш … Словарь русского арго
КОРЕНЬ — в математике ..1) корень степени n из числа a всякое число x (обозначаемое , a называется подкоренным выражением), n я степень которого равна a (). Действие нахождения корня называется извлечением корня2)] Корень уравнения число, которое после… … Большой Энциклопедический словарь
Корень — Первичный корень сохраняется у многих хвойных на всю жизнь и развивается в виде мощного стержневого корня, от которого отходят боковые. Реже, как у некоторых сосен, первичный корень недоразвивается и заменяется боковыми. Кроме длинных… … Биологическая энциклопедия
КОРЕНЬ — (математическое), 1) Корень степени n из числа a Число, n я степень которого равна заданному числу a (обозначается ; a называется подкоренным выражением). Действие нахождения корня называется извлечением корня. 2) Решение уравнения значение… … Современная энциклопедия
КОРЕНЬ — в биологии один из основных органов растений, служащий для укрепления в почве, поглощения воды, минеральных веществ, синтеза органических соединений, а также для выделения некоторых продуктов обмена. Корень может быть местом хранения запасных… … Большой Энциклопедический словарь
КОРЕНЬ — в лингвистике непроизводная (простая) основа слова, не включающая никаких аффиксов. Корень лексическое ядро слова, т. е. несет его основное вещественное значение … Большой Энциклопедический словарь
etymological.academic.ru
Ответы@Mail.Ru: квадратный корень из 1,6
4 / (корень из 10)
2/5 квадратного корня из 10
1,6 можно записать в виде дроби: 16/10 квадратный корень из 16 — это 4, из 10 — нацело не извлекается, потому оставляем так: получаем дробь где в числителе 4, в знаменателе квадратный корень из 10touch.otvet.mail.ru