Интеграл от модуля х – интеграл от модуля — ПриМат

интеграл от модуля — ПриМат

$\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}$ 1. Линейность интеграла. Если функции $f$ и $g$ интегрируемы на отрезке $\lbrack a, b\rbrack$, а числа $\alpha, \beta \in \mathbb {R}$, то
$$\int\limits_a^b \lbrack\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\rbrack\,dx = \alpha\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx + \beta\int\limits_a^b g\left(x\right)\,dx.$$

Это свойство получено нами ранее при доказательстве интегрируемости линейной комбинации.

2. Аддитивность интеграла. Пусть числа $b < a$. Зададим точки $a = x_{0} > x_{1} > \ldots > x_{n} = b,$ выберем точки $\xi_{i} \in \lbrack x_{i+1}, x_{i}\rbrack$ и составим сумму $\displaystyle\sigma = \sum\limits_{i=0}^{n-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}.$ Заметим, что в этой сумме все $\Delta x_{i} < 0.$ Ясно, что эту сумму можно получить как интегральную сумму на $\lbrack b, a\rbrack,$ только с противоположным знаком. Это приводит к следующему определению.

Определение. Пусть $b < a$ и функция $f$ интегрируема на $\lbrack b, a\rbrack.$ Тогда по определению полагаем
$$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = -\int\limits_b^a f\left(x\right)\,dx.$$
Далее, для каждой функции $f$, определенной в точке $a$, полагаем по определению

$$\int\limits_a^a f\left(x\right)\,dx = 0.$$

Теорема. Пусть $a, b, c$ — произвольные точки на действительной прямой. Если функция $f$ интегрируема на наибольшем из отрезков с концами в двух из этих точек, то она интегрируема также и на двух других отрезках, и справедливо равенство
$$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_a^c f\left(x\right)\,dx + \int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx.$$

Пусть, например, $a < c < b$ и функция $f$ интегрируема на $\lbrack a, b\rbrack.$ Тогда, по доказанному ранее свойству 4, она интегрируема на отрезках $\lbrack a, c\rbrack$ и $\lbrack c, b\rbrack.$ Возьмем произвольное разбиение $a = x_{0} < x_{1} < \ldots < x_{n} = b$, такое, что $c$ является одной из точек деления. Выберем промежуточные точки $\xi_{i}$ и рассмотрим интегральную сумму $\displaystyle\sigma = \sum\limits_{i=0}^{n-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}$. Если $c = x_{j}$, то эту сумму разобьем на две: $\displaystyle\sigma = \sum\limits_{i=0}^{j-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i} + \sum\limits_{i=j}^{n-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}$. При $d(\Pi) \to 0$ первая сумма справа стремится к $\displaystyle\int\limits_a^c f\left(x\right)\,dx$, вторая — к $\displaystyle\int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx$, а сумма $\sigma$ стремится к $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx$. Переходя к пределу при $d(\Pi) \to 0$, получим требуемое равенство.
Пусть теперь $c < a < b$. Тогда, по уже доказанному,
$$\int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_c^a f\left(x\right)\,dx + \int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx.$$
Отсюда следует
$$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx-\int\limits_c^a f\left(x\right)\,dx = \int\limits_a^c f\left(x\right)\,dx + \int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx$$
и теорема доказана полностью.

3. Интеграл от модуля. Пусть функция $f$ интегрируема на отрезке $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$. Тогда
$$\left|\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx\right| \leqslant \int\limits_a^b \left|f\left(x\right)\right| \,dx.$$

Действительно, интегрируемость модуля интегрируемой функции доказана ранее. Докажем неравенство. Для этого выберем произвольное разбиение отрезка $\lbrack a, b\rbrack.$ Тогда для интегральных сумм будем иметь следующее неравенство:
$$\left|\sum\limits_{i=0}^{n-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}\right| \leqslant \sum\limits_{i=0}^{n-1} \left|f\left(\xi_{i}\right)\right|\Delta x_{i}.$$
При стремлении к нулю диаметра разбиения интегральная сумма под знаком модуля в левой части стремится к к $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx$, а сумма справа стремится к $\displaystyle\int\limits_a^b \left|f\left(x\right)\right|\,dx$. Переходя к пределу при $d(\Pi) \to 0$, получаем требуемое неравенство для интегралов.

4. Монотонность интеграла. Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$ и $f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)$ для всех $x \in \lbrack a, b\rbrack.$ Тогда
$$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx \leqslant \int\limits_a^b g\left(x\right)\,dx.$$

Действительно, возьмем произвольное разбиение отрезка $\lbrack a, b\rbrack$ и выберем промежуточные точки $\xi_{i}$. Тогда $f\left(\xi_{i}\right)\leqslant g\left(\xi_{i}\right) \left(i = 0, 1, \ldots, n-1\right)$. Умножая эти неравенства на $\Delta x_{i} > 0$ и складывая, получим
$$\sum\limits_{i=0}^{n-1} f\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}\leqslant\sum\limits_{i=0}^{n-1} g\left(\xi_{i}\right)\Delta x_{i}.$$
Отсюда, устремляя к нулю диаметр разбиения, получаем требуемое неравенство.

Следствие 1. Пусть $f$ — неотрицательная интегрируемая функция на $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$. Тогда
$$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx \geqslant 0.$$

Следствие 2. Если интегрируемая функция $f$ строго положительна на $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$, то и $$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx > 0.$$

Действительно, в силу критерия Лебега , найдется точка $x_{0}\in\lbrack a, b\rbrack$, в которой функция непрерывна . Поскольку $f\left(x_0\right) > 0$, то найдется такое $\delta > 0$, что $\displaystyle f\left(x\right) > \frac{1}{2}f\left(x_0\right)$ для всех $x \in \left(x_0-\delta, x_0 + \delta\right) \cap \lbrack a, b\rbrack.$ Выберем отрезок $\lbrack\alpha, \beta\rbrack \subset \left(x_0-\delta, x_0 + \delta\right) \cap \lbrack a, b\rbrack, a\leqslant\alpha < \beta\leqslant b$.Тогда, в силу свойства аддитивности интеграла, получим $$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_a^\alpha f\left(x\right)\,dx + \int\limits_\alpha^\beta f\left(x\right)\,dx + \int\limits_\beta^b f\left(x\right)\,dx.$$ Первый и третий интегралы справа неотрицательны в силу следствия, а для второго интеграла, учитывая неравенство $\displaystyle f\left(x\right) \geqslant \frac{1}{2} f\left(x_0\right)$, из свойства монотонности интеграла получим $$\int\limits_\alpha^\beta f\left(x\right)\,dx \geqslant \int\limits_\alpha^\beta \frac{1}{2}f\left(x_0\right)\,dx = \frac{1}{2}f\left(x_0\right)\left(\beta-\alpha\right) > 0.$$
Таким образом, $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx > 0$.

Следствие 3.Пусть функция $f$ интегрируема на $\lbrack a, b\rbrack$ и $m \leqslant f\left(x\right) \leqslant M$ для всех $x \in \lbrack a, b\rbrack$. Тогда
$$ \begin{equation}\label{prop_of_int_first}m\left(b-a\right) \leqslant \int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx \leqslant M\left(b-a\right)\end{equation}.$$

Это следствие сразу вытекает из свойства монотонности интеграла.

Действительно, положим $\displaystyle\mu = \frac{1}{\left(b-a\right)}\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx$. Тогда, по следствию 3, $m \leqslant \mu \leqslant M$.

Отметим, что при $a > b$ в такой формулировке это замечание остается в силе, в то время как знаки неравенств в $\eqref{prop_of_int_first}$ меняются на противоположные.

Следствие 4. Если функция $f$ непрерывна на $\lbrack a, b\rbrack$, то найдется такая точка $\xi \in \lbrack a, b\rbrack$, что
$$ \int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = f\left(\xi\right)\left(b-a\right).$$

Действительно, пусть $m$ и $M$ соответственно нижняя и верхняя грани функции $f$ на отрезке $\lbrack a, b\rbrack$, они достигаются в силу первой теоремы Вейерштрасса. По уже доказанному, найдется точка $\mu \in \lbrack m, M\rbrack$, такая, что $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \mu \left(b-a\right)$. По теореме Больцано-Коши о промежуточном значении, найдется такая точка $\xi \in \lbrack a, b\rbrack$, что $f\left(\xi\right) = \mu.$

Примеры решения задач

Данные примеры читателю рекомендуется решить самому в качестве тренировки.

1. Оценить интеграл $\displaystyle\int\limits_{0}^{2\pi} \frac{\,dx}{\sqrt{5 + 2\sin{x}}}$.
   Решение

   Оценим подынтегральную функцию:
   $$-1 \leqslant \sin{x} \leqslant 1 \Rightarrow$$
   $$3 \leqslant 5 + 2\sin{x} \leqslant 7 \Rightarrow$$
   $$\sqrt{3} \leqslant \sqrt{5 + 2\sin{x}} \leqslant \sqrt{7} \Rightarrow$$
   $$\frac{1}{\sqrt{7}} \leqslant \frac{1}{\sqrt{5 + 2\sin{x}}} \leqslant \frac{1}{\sqrt{3}}.$$
   Отсюда и из монотонности интеграла следует, что
   $$\int\limits_0^{2\pi} \frac{\,dx}{\sqrt{7}} \leqslant \int\limits_0^{2\pi}\frac{\,dx}{\sqrt{5 + 2\sin{x}}}\leqslant\int\limits_0^{2\pi} \frac{\,dx}{\sqrt{3}}.$$
   Таким образом,
   $$\frac{2\pi}{\sqrt{7}} \leqslant \int\limits_0^{2\pi}\frac{\,dx}{\sqrt{5 + 2\sin{x}}}\leqslant\frac{2\pi}{\sqrt{3}}.$$

2. Найти определенный интеграл $\displaystyle\int\limits_0^2 \left|1-x\right|\,dx$.
   Решение

   
   Из аддитивности интеграла
   $$\int\limits_0^2 \left|1-x\right|\,dx = \int\limits_0^1 \left|1-x\right|\,dx + \int\limits_1^2 \left|1-x\right|\,dx =$$ $$= \int\limits_0^1 \left(1-x\right)\,dx + \int\limits_1^2 \left(x-1\right)\,dx = \int\limits_0^1 \,dx-\int\limits_0^1 x \,dx + \int\limits_1^2 x \,dx-\int\limits_1^2 \,dx =$$ $$= 1-0-\left.\frac{x^2}{2}\right|_0^1 + \left.\frac{x^2}{2}\right|_1^2-(2-1) = 1-\frac{1}{2} + 0 + \frac{2^2}{2}-\frac{1}{2}-1 = 1.$$

3. Найти определенный интеграл $\displaystyle\int\limits_0^3 \frac{x^4}{x^2 + 1}\,dx$
   Решение

   $$\int\limits_0^3 \frac{x^4}{x^2 + 1}\,dx = \int\limits_0^3 \frac{\left(x^4 -1\right) + 1}{x^2 + 1}\,dx =$$ $$= \int\limits_0^3 \frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2 + 1\right) + 1}{x^2 + 1}\,dx = \int\limits_0^3 \left(x^2-1 + \frac{1}{x^2 + 1}\right)\,dx.$$
   Воспользовавшись свойством линейности интеграла, получим
   $$\int\limits_0^3 \left(x^2-1 + \frac{1}{x^2 + 1}\right)\,dx = \int\limits_0^3 x^2 \,dx-\int\limits_0^3 \,dx + \int\limits_0^3 \frac{\,dx}{x^2 + 1} =$$ $$= \left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3-(3-0) + \left.\arctg{x}\right|_0^3 = 9-0-3+ \arctg{3}-\arctg{0} =$$ $$=6 + \arctg{3}.$$

4. Не вычисляя интегралов, определить какой из них больше: $\displaystyle\int\limits_2^3 e^{-x}\sin{x}\,dx$ или $\displaystyle\int\limits_2^3 e^{-x^2}\sin{x}\,dx$.
   Решение

   Сравним подынтегральные функции. Пусть $f\left(x\right) = e^{-x}\sin{x}$, $g\left(x\right) = e^{-x^2}\sin{x}$.
   $$f\left(x\right)-g\left(x\right) = e^{-x}\sin{x}-e^{-x^2}\sin{x} = \sin{x}\left(e^{-x}-e^{-x^2}\right) =$$ $$= e^{-x}\sin{x}\left(1-e^{-x^2 + x}\right).$$
   На промежутке $\lbrack 2, 3\rbrack$ функции $\sin{x}$ и $e^{-x}$ принимают положительные значения (поскольку синус на $\lbrack 0, \pi\rbrack$ положительный). Значит нам достаточно сравнить с нулем выражение $1-e^{-x^2 + x}$. Поскольку на $\lbrack 2, 3\rbrack$ $x^2 > x$, то $-x^2 + x < 0$, а значит $e^{-x^2 + x} < 1$. $1-e^{-x^2 + x} > 0$, из чего следует, что $f\left(x\right) > g\left(x\right)$.
   Ответ:
   $$\int\limits_2^3 e^{-x}\sin{x}\,dx > \int\limits_2^3 e^{-x^2}\sin{x}\,dx.$$

5. Найти среднее значение функции на данном отрезке: $\sin{x}$, $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}$.
   Решение

   Воспользуемся четвертым следствием из свойства монотонности интеграла. Средним значением функции $f\left(x\right)$ на отрезке $\lbrack a, b\rbrack$ называется число $\displaystyle\mu = \frac{1}{\left(b-a\right)}\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx.$
   Из этого следует:
   $$\mu = \frac{1}{\left(\frac{\pi}{2}-0\right)} \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{x}\,dx = \left.-\frac{2}{\pi}\cos{x}\right|_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{2}{\pi}(0-1) = \frac{2}{\pi}.$$
   Ответ: $\displaystyle\frac{2}{\pi}.$

Смотрите также

1. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 672 с. — С. 326-332.
2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 703 с. — С. 570-582.
3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1970.- 800 с. — С. 108-116.

Свойства интеграла

Лимит времени: 0

Информация

Пройдите этот тест, чтобы проверить свои знания по только что прочитанной теме «Свойства интеграла»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 6

Ваше время:

Время вышло

Вы набрали 0 из 0 баллов (0)

Средний результат
Ваш результат

Рубрики

1. Нет рубрики 0%
2. Математический анализ 0%

Ваш результат был записан в таблицу лидеров

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

1. Задание 1 из 6

   Количество баллов: 1

   Сравните с нулем значение интеграла, не вычисляя его $\displaystyle\int\limits_2^3 \frac{4^{-x}\sin{x}}{\left(1-x\right)\ln{\left(x+6\right)}}\,dx$

   Правильно
   

   Неправильно
   

2. Задание 2 из 6

   Количество баллов: 2

   Выберите верные утверждения.

   Правильно 2 / 2Баллы Неправильно / 2 Баллы

3. Задание 3 из 6

   Количество баллов: 1

   Закончите предложение
   Если интегрируемая функция $f$ на $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$ строго отрицательна, то $\displaystyle\int\limits_b^a f\left(x\right)\,dx$…

   Правильно
   

   Неправильно
   

4. Задание 4 из 6

   Количество баллов: 4

   О чем гласит каждое свойство интеграла?

   • Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на отрезке $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$ и $f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)$ для всех $x \in \lbrack a, b\rbrack$. Тогда $$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx \leqslant \int\limits_a^b g\left(x\right)\,dx.$$
   • Пусть $a, b, c$ — произвольные точки на действительной прямой. Если функция $f$ интегрируема на наибольшем из отрезков с концами в двух из этих точек, то она интегрируема также и на двух других отрезках, и справедливо равенство $$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_a^c f\left(x\right)dx + \int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx.$$
   • Пусть функция $f$ интегрируема на отрезке $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$. Тогда $$\left|\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx\right| \leqslant \int\limits_a^b \left|f\left(x\right)\right| \,dx.$$
   • Если функции $f$ и $g$ интегрируемы на отрезке $\lbrack a, b\rbrack$, а числа $\alpha, \beta \in \mathbb {R}$, то $$\int\limits_a^b \lbrack\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\rbrack \,dx =$$ $$= \alpha\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx + \beta\int\limits_a^b g\left(x\right)\,dx.$$

   • Монотонность интеграла

   • Аддитивность интеграла

   • Интеграл от модуля

   • Линейность интеграла

   Правильно 4 / 4Баллы Неправильно / 4 Баллы

5. Задание 5 из 6

   Количество баллов: 1

   Составьте верное утверждение.

   • Если

   • функция $f$ непрерывна на $\lbrack a, b\rbrack$

   • то

   • найдется такая точка $\xi \in \lbrack a, b\rbrack$

   • что

   • $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = f\left(\xi\right)\left(b — a\right)$

   Правильно
   

   Неправильно
   

6. Задание 6 из 6

   Количество баллов: 1

   Найдите определенный интеграл $\displaystyle\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos{\left(3x\right)} + 3\cos{x} + \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cos^2{x}}\,dx.$ (В ответ введите число)

   Правильно
   

   Неправильно
   

Поделиться ссылкой:

ib.mazurok.com

Матан — Стр 2

6. Если функция ƒ (х) сохраняет знак на отрезке [а; b], где а < b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

▼По «теореме о среднем» (свойство 5)

где с є [а; b]. А так как ƒ(х) ≥ 0 для всех х Î [а; b], то и

ƒ(с)≥0, b-а>0.

Поэтому ƒ(с)•(b-а) ≥ 0, т. е.▲

7. Неравенство между непрерывными функциями на отрезке [а; b], (a<b) можно интегрировать. Так, если ƒ₁(x)≤ƒ₂(х) при х є [а;b], то

▼Так как ƒ₂(х)-ƒ₁(x)≥0, то при а < b, согласно свойству 6, имеем

Или, согласно свойству 2,

▲

Отметим,что дифференцировать неравенства нельзя.

8. Оценка интеграла. Если m и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции у = ƒ (х) на отрезке [а; b], (а < b), то

▼Так как для любого х є [а;b] имеем m≤ƒ(х)≤М, то, согласно свойству 7, имеем

Применяяк крайним интегралам свойство 5, получаем

▲

Если ƒ(х)≥0, то свойство 8 иллюстрирует ся геометрически: площадь криволинейной трапеции заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть [a;b], а высоты равны m и М (см. рис. 171).  

9. Модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции:

▼Применяя свойство 7 к очевидным неравенствам -|ƒ(х)|≤ƒ(х)≤|ƒ(х)|, получаем

Отсюда следует, что

▲

10. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т. е.

▼По формуле Ньютона-Лейбница имеем:

Следовательно,

▲

Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть одна из первообразных подынтегральной функции.

Определенный интегралгде промежуток интегрирования [а; b] конечный, а подынтегральная функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], называют ещесобственным интегралом.

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)

Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а;+∞). Если существует конечный пределто его называютнесобственным интегралом первого родаи обозначают

Таким образом, по определению

В этом случае говорят, что несобственный интегралсходится.

Если же указанный предел не существует или он бесконечен,то говорят, что интеграл dxрасходится.

Аналогичноопределяется несобственный интеграл на промежутке (-∞; b]:

Несобственный интеграл с двумя бесконечны ми пределами определяется формулой

 где с — произвольное число.

В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция ƒ (х) ≥ 0 на промежутке [а; +∞) и интегралсходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (см. рис. 172).

 

Пример 40.1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1) 2)3)

Решение:

1)интеграл сходится;

2)интеграл расходится, так как при а →-∞ пределне существует.

3)интеграл расходится.

 

В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.

Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.

 

Теорема 40.1 (признак сравнения). Если на промежутке [а; +∞) непрерывные функции ƒ(х) и φ(х) удовлетворяют условию 0 ≤ ƒ(х) ≤φ(х), то из сходимости

интеграласледует сходимость интегралаа из расходимо-

сти интеграла следует расходимость интеграла

Пример 40.2. Сходится ли интеграл

Решение: При х ≥ 1 имеемНо интегралсходится. Следовательно, интегралтакже сходится (и его значение меньше 1).

 

Теорема 40.2. Если существует предели φ(х) > 0), то интегралыодновременно оба сходятся или оба расходятся (т. е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).

Пример 40.3. Исследовать сходимость интеграла

Решение: Интегралсходится, так как интегралсходится и

 

40.2. Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)

Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а; b) и имеет бесконечный разрыв при х = b. Если существует конечный пределто его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают

Таким образом,поопределению,

Если предел в правой части существует, то несобственный интегралсходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен,то говорят, что интегралрасходится.

Аналогично,если функция ƒ (х) терпит бесконечный разрыв в точке х = а, то полагают

Если функция ƒ(х) терпит разрыв во внутренней точке с отрезка [а; b], то несобственный интеграл второго рода определяется формулой

В этом случае интеграл слева называют сходящимся,  если оба несобственныхинтеграла, стоящих справа, сходятся. В случае, когда ƒ(х) > 0, несобственный интеграл второго рода (разрыв в точке х = b) можно истолковать геометрически как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рис. 173).

 

Пример 40.4. Вычислить

Решение: При х = 0 функция терпит бесконечный разрыв;

интеграл расходится.

 

Сформулируем признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода.

 

Теорема 40.3. Пусть на промежутке [а; b) функции ƒ(х) и φ(х) непрерывны, при х = b терпят бесконечный разрыв и удовлетворяют условию 0 ≤ ƒ(х) ≤ φ(x).

Из сходимости интегралавытекает сходимость интегралаа из расходимости интегралавытекает расходимость интеграла

 

Теорема 40.4. Пусть функции ƒ(х) и φ(х) непрерывны на промежутке [а; b) и в точке х = b терпят разрыв. Если существует пределто интегралыодновременно сходятся или одновременно расходятся.

 

Пример 40.5. Сходится ли интеграл

Решение: Функцияимеет на [0; 1] единственный разрыв в точке х = 0. Рассмотрим функцию, Интеграл

расходится. И так как

то интегралтакже расходится.

Пусть требуется найти определенный интегралот непрерывной функции ƒ(х). Если можно найти первообразнуюF(x) функции ƒ(х), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

Но отыскание первообразной функции иногда весьма сложно; кроме того, как известно, не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции. В этих и других случаях (например, функция у = ƒ(х) задана графически или табличнo) прибегают к приближенным формулам, с помощью которых определенный интеграл находится с любой степенью точности.

Рассмотрим три наиболее употребительные формулы приближенного вычисления определенного интеграла — формулу прямоугольников, формулу трапеций, формулу парабол (Симпсона), основанные на геометрическом смысле определенного интеграла.

42.1. Формула прямоугольников

Пусть на отрезке [а; b], а < b, задана непрерывная функция ƒ(х). Требуется вычислить интегралчисленно равный площади соответствующей криволинейнойтрапеции. Разобьем основание этой трапеции, т. е. отрезок [а; b], на n равных частей (отрезков) длины (шаг разбиения) с помощью точек х₀= а, x₁, х₂,…, х_n = b. Можно записать, что х_i= х₀+h• i, где i = 1,2,…, n (см. рис. 200).

В серединекаждого такого отрезка построим ординату ŷ_i =ƒ(с_i) графика функции у = ƒ(х). Приняв эту ординату за высоту, построим прямоугольник с площадью h • ŷ_i.

Тогда сумма площадей всех n прямо угольников дает площадь ступенчатой фигуры, представляющую собой приближенное значение искомого определенного интеграла

Формула (42.1) называется формулой средних прямоугольников.

Абсолютная погрешность приближенного равенства (42.1) оценивается с помощью следующей формулы:

где М₂ — наибольшее значение |ƒ»(х)| на отрезке [а; b],

Отметим, что для линейной функции (ƒ(х)=kх+b) формула (42.1) дает точный ответ, поскольку в этом случае ƒ»(х)=0.

42.2. Формула трапеций

Формулу трапеций получают аналогично формуле прямоугольников: на каждом частичном отрезке криволинейная трапеция заменяется обычной.

Разобьем отрезок [а; b] на n равных частей длиныАбсциссы точек деления а = х₀, x₁,х₂,…,b = х_n (рис. 201). Пусть у₀,у₁…,у_n —

соответствующие им ординаты графика функции. Тогда расчетные формулыдля этих значений примут вид х_i = a+h*i, у_i=ƒ(x_i), i= 0,1,2,…, n;

Заменим кривую у=ƒ(х) ломаной линией, звенья которой соединяют концы ординат y

i и y_i+1 (i = 0,1,2,.. .,n). Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно равна сумме площадей обычных трапеций с основаниями у_i, y_i+1и высотой

или

Формула (42.2) называется формулой трапеций.

Абсолютная погрешность R_n приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы• М₂, где Снова для линейной функции у=kх +b формула (42.2) — точная.

42.3. Формула парабол (Симпсона)

Если заменить график функции у=ƒ(х) на каждом отрезке [x_i-1;x_i] разбиения не отрезками прямых, как в методах трапеций и прямоугольников, а дугами парабол, то получим более точную формулу приближенного вычисления интеграла

Предварительно найдем площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком параболы у = ах² + bх + с, сбоку — прямыми х = —h, х = h и снизу — Отрезком [-h; h].

Пусть парабола проходит через три точки M₁(-h;у₀), М₂(0; y₁), М₃(h; у₂), где у₀ = ah₂ -bh + c — ордината параболы в точке х = -h; y₁ = с — ордината параболы в точке х = 0; у₂ = аh₂ + bh+c — ордината параболы в точке х = h  (см.рис 202). Площадь S равна

Выразим эту площадь через h, у₀, y₁, у₂. Из равенств для ординат у (находим, что с=y₁,

Подставляя эти значения с и а в равенство (42.3), получаем

Получим теперь формулу парабол для вычисления интеграла

Для этого отрезок [а; b] разобьем на 2n равных частей (отрезков) длинойточками x_i=х₀ + ih (i= 0,1,2,…, 2n). В точках деления а = х₀, x₁, x₂,…, x_2n-2 ,x_2n-1, x_2n = b вычисляем значения подынтегральной функции ƒ(х): у₀, у₁,у₂,…, у_2n-2, у_2n-1, у_2n, где у_i=ƒ(х_i) (см. рис. 203).

Заменяем каждую пару соседних элементарных криволинейных трапеций с основаниями, равными h, одной элементарной параболической трапецией с основанием, равным 2h. На отрезке [х₀;х₂] парабола проходит через три точки (х₀;у₀), (x₁;y₁), (x₂;y₂). Используя формулу (42.4), находим

Аналогично находим

Сложив полученные равенства, имеем

или

Формула (42.5) называется формулой парабол (или Симпсона).

Абсолютная погрешность вычисления по формуле (42.5) оценивается соотношением

Отметим, что формула (42.5) дает точное значение интеграла во всех случаях, когда ƒ(х) — многочлен, степенькоторого меньше или равна трем (тогда f^IV = 0).

 

Пример 42.1. Вычислить, разбив отрезок интегрирования [0; 2] на 4 части.

Решение: Имеем: ƒ(х) = х^3,

(см.рис. 204)

а) по формуле прямоугольников:

б) по формуле трапеции:

в) по формуле парабол:

Точное значение интеграла

Абсолютные погрешности соответствующихформул таковы: а) 0,125; б) 0,25; в) 0.

studfiles.net

Модуль 6. Неопределенный интеграл.

Содержание модуля.

Тема 6. 1. Первообразная. Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных интегралов. Интегрирование заменой переменной и по частям.

Тема 6. 2. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.

Методические указания по его изучению.

После изучения по учебникам теоретического материала разберите реше-

ние примеров 11 — 13.

Для справок приведем следующую таблицу основных неопределенных интегралов.

(I) , где n ≠ — 1.

(II) .

(III) .

(IV) .

(V) .

(VI) .

(VII) .

(VIII) .

(IX) .

(X) .

(XI) .

(XII) .

(XIII) ,

где F(x) – первообразная для f(x).

 

Пример 11.Вычислить неопределенные интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) Чтобы данный интеграл привести к табличному, положим . Тогда и .

Имеем

.

 

б) Для вычисления интеграла введем подстановку sinx = t .

Имеем cosxdx = dt .

Тогда

.

в) Под знаком интеграла имеем неправильную рациональную дробь (числитель – многочлен пятой степени, знаменатель – второй). Разделив многочлен на , в частном получим

и в остатке .

Тогда

.

Правильную рациональную дробь представим в виде сле-

дующей суммы элементарных дробей:

.

После приведения в последнем равенстве к общему знаменателю

получаем тождество

; .

Имеем , отсюда , .

Следовательно,

и

.

Пример 12.Вычислить интегралы:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а)Выделяем в знаменателе дроби полный квадрат и применяем формулу (ХI).

= = =

 

= = = .

 

б) Выделим в числителе дроби производную ее знаменателя,

то есть выражение 4х – 5, преобразуем дробь, применяем формулы (II) и (ХI).

 

= = +

+ = + =

= + .

в) Выделим в числителе дроби производную трехчлена , то есть , преобразуем подынтегральную дробь, применяем формулы (I) и (IX).

= = –

+ С = + С.

 

Пример 13.Вычислить интегралы:

а) ; б) .

Решение. Применяем формулу интегрирования по частям: .

а) Положим . Тогда .

По формуле интегрирования по частям получаем:

= =

=

б) Пусть u =x², dv = sinxdx, тогда du = 2xdx, .

По приведенной выше формуле имеем:

.

Последний интеграл вычислим этим же способом, положив

u = x, dv = cosxdx, откуда du = dx, v = sinx.

Тогда

.

Имеем

.

Вопросы для самоконтроля.

1. Сформулируйте определение первообразной функции.

2. Что называется неопределенным интегралом от данной функции?

3. Каков геометрический смысл неопределенного интеграла?

4. Перечислите свойства неопределенного интеграла.

5. Напишите формулы таблицы основных интегралов.

6. В чем сущность метода замены переменной при вычислении неопределенных интегралов?

7. Напишите формулу интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

8. Укажите типы интегралов, вычисление которых целесообразно производить при помощи метода интегрирования по частям.

9. Изложите правило разложения правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей.

10. Изложите методы интегрирования простейших рациональных дробей.

 

2. 6. 4. Задания для самостоятельной работы

Вычислить неопределенные интегралы.

1. .2. . 3. .

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9.

 



infopedia.su

помогите решить интеграл??? интеграл от 0 до 2 х-1 по модулю dx

можно разбить на два интеграла и снять модули: &int;_0^1 (1-x)dx+&int;_1^2 (x-1)dx= (x-x&sup2;/2)|_0^1+(x&sup2;/2-x)|_1^2=1-1/2-(1/2-1)=1 если не понятно, вышлю на мэйл скан

Равно 1. <a rel=»nofollow» href=»http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+|x-1|+dx+{x,+0,+2}» target=»_blank» >Вольфрам знает всё</a>

это задание можно решить, используя геометрическое приложение определенного интеграла. Строим график функции у=х-1 по модулю. Проводим биссектрисы первого и второго координатных углов, полученную \птичку\сдвигаем на 1 вправо. Тогда данный интеграл равен двум площадям прямоугольных треугольников с катетами, равными 1.Площадь одного тр-ка =о. 5.Интеграл =1.Удачи.

touch.otvet.mail.ru

Помогите решить / разобраться (М)

Есть полином третьей степени , чьи коэффициенты известны (в смысле, даны, но могут быть любые). Нужно предложить точную квадратурную формулу для величины

Как это сделать для обычного многочлена вроде понятно. Но что сделать с модулем? Всё, что пока надумал, это выделить все корни многочлена и разбить на интервалы

А там снова делать линейное преобразование и брать интегралы по отдельности на каждом интервале. Только мне не очевидно, как найти тогда общую квадратурную формулу. Да и обязательно ли знать корни полинома, чтобы получить требуемое?

— 03.12.2016, 00:07 —

Вот ещё надумал: пусть — полином на тех участках, где он больше нуля, а на остальных он равен нулю. Аналогично — полином на тех участках, где он меньше нуля, а на остальных нуль. Обозначим соответствующие интегралы по за и . Тогда есть равенства

Во-первых, можно тогда составить и из отдельных интегральных сумм, описываемых точными квадратурными формулами. Либо взять одну из них и вычислить в качестве второго параметра , из этих формул сложением и преобразованием вычислим нужный интеграл.

Но вопрос не снимается. Именно: это правильно, или я горожу велосипед и чего-то не понял из учебника? (Передо мной лежит Калиткин «Численные методы»). Обязательно ли знать корни?

dxdy.ru

Модуль — интеграл — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Модуль — интеграл

Cтраница 1

Модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля функции.  [1]

Поскольку модуль интеграла не превосходит произведения максимума модуля подинтегральной функции на длину пути интегрирования ( см. теорему 5.1 гл.  [2]

Теорема 5.1. Модуль интеграла не превосходит максимума модуля подынтегральной функции, умноженного на длину пути интегрирования.  [3]

ТЕОРЕМА 5.1. Модуль интеграла не превосходит максимума модуля подинтегральной функции, умноженного на длину пути интегрирования.  [4]

Таким образом, модуль интеграла от непрерывной функции комплексного переменного вдоль кусочно-гладкой дуги не превосходит произведения длины дуги на максимум модуля подынтегральной функции на этой дуге.  [5]

Яб Р 5 — модуль интеграла Лапласа стремится к нулю.  [6]

Весьма часто приходится оценивать сверху модуль интеграла.  [7]

Это свойство называется свойством оценки модуля интеграла.  [8]

В качестве свободного параметра отображающая функция содержит еще величину х — модуль интеграла Лежандра.  [9]

Криволинейные интегралы второго рода обладают свойствами линейности и аддитивности, однако теорема об оценке модуля интеграла и формула среднего значения неверны.  [10]

Криволинейные интегралы первого рода обладают свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла: линейность; аддитивность; модуль интеграла не превосходит интеграла от модуля функции. Справедлива также формула среднего значения.  [11]

Из неравенства ( 4) получим, что при стремлении Res — с к -) — оо модуль интеграла Лапласа стремится к нулю.  [12]

Теперь остается только вычислить интегралы перекрывания между различными структурами. Модуль интеграла перекрывания равен коэффициенту при Q как для диагональных, так и для недиагональных элементов. Введение соответствующих множителей приводит каждый матричный элемент к виду, соответствующему нормированному набору базисных структур.  [13]

Интегралы ( 2) называют эллиптическими интегралами в форме Лежандра, соответственно, первого, второго и третьего рода. Число k называется модулем интеграла.  [14]

Эта формула совпадает с формулой для скорости центра масс системы N частиц. Более того, масса солитона ( 71) пропорциональна модулю интеграла, взятого по всему пространству [ формулы ( 6) и ( 15) ], что отвечает общему размеру солитона.  [15]

Страницы:      1    2

www.ngpedia.ru

Модуль 7. Определенный интеграл.

Содержание модуля.

Тема 7. 1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение для вычисления определенных интегралов. Методы вычисления определенного интеграла по формулам прямоугольников, трапеций, Симпсона. Несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, их основные свойства.

Тема 7. 2. Приложение определенного интеграла.

 

Методические указания по его изучению.

После изучения по учебникам теоретического материала разберите реше-

ние примеров 13 — 16.

Пример 13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения данной параболы и

прямой (рис. 5):

, , , .

 

Рис. 5

 

Пример 14.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной полуволны синусоиды y = sinx.

Решение. Если криволинейная трапеция ,ограниченная сверху кри-

вой , прямыми х = а, x = b и осью Ох, вращается вокруг оси Ох, то объем V тела вращения равен

.

Имеем:

.

Пример15. Найти площадь поверхности эллипсоида, образованного

вращением вокруг оси Ох эллипса .

Решение. Если непрерывная на отрезке кривая вращается вокруг оси Ох, то площадь S поверхности вращения вычисляется по формуле

. (1)

Из уравнения эллипса находим , откуда . По формуле (1) имеем

.

Для вычисления последнего интеграла применим подстановку

, откуда . Если х = 0, то t = 0; при х = 2.

Тогда

.

 

Пример 16. Найти координаты центра тяжести однородной плоской

фигуры, ограниченной линиями , х = 4.

Решение. Координаты центра тяжести однородной криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми х = а,

x = b и осью Ох, определяются по формулам

; (1) (2),

где S – площадь криволинейной трапеции.

Данная фигура (рис. 6) симметрична относительно оси Ох.

Ее центр тяжести находится на этой оси, поэтому . Найдем площадь S фигуры: . По формуле (1) имеем

 

Рис. 6

 

.

Итак, точка − центр тяжести данной фигуры.

 

Вопросы для самоконтроля.

1. Назовите задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

2. Напишите интегральную сумму для функции на отрезке

.

3. Что называется определенным интегралом от функции на отрезке ?

4. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

5. Перечислите свойства определенного интеграла.

6. Чему равна производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования?

7. Напишите формулу Ньютона – Лейбница.

8. Напишите формулу замены переменной в определенном интеграле.

9. Чему равен интеграл , если есть четная функция? нечетная функция?

10. Напишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

11. Сформулируйте определение несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования.

12. Сформулируйте определение несобственного интеграла от разрывной функции.

13. В каком случае несобственный интеграл называется сходящимся? расходящимся?

14. Как вычисляется площадь плоской фигуры в прямоугольной системе координат с помощью определенного интеграла?

15. Напишите формулы для вычисления объемов тел, образованных вращением плоской фигуры вокруг оси Ох ; оси Оу.

 

2. 7. 4. Задания для самостоятельной работы

Вычислить определенные интегралы.

1. . 2.. 3.

4.. 5. .6..

 



infopedia.su