Как решать арифметическую прогрессию – Как решать арифметические прогрессии 🚩 Найти разность арифметической прогрессии 🚩 Математика

Как решать арифметические прогрессии 🚩 Найти разность арифметической прогрессии 🚩 Математика

Автор КакПросто!

Арифметическая прогрессия — это такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом d (шагом или разностью арифметической прогрессии). Чаще всего в задачах с арифметическими прогрессиями ставятся такие вопросы, как нахождение первого члена арифметической прогрессии, n-го члена, нахождение разности арифметической прогрессии, суммы всех членов арифметической прогрессии. Рассмотрим каждый из этих вопросов более подробно.

Статьи по теме:

Вам понадобится

  • Умение выполнять основные математические действия.

Инструкция

Из определения арифметической прогрессии следует следующая связь соседних членов арифметической прогрессии — An+1=An+d, например, A5=6, а d=2, то A6=A5+d=6+2=8. Если известен первый член (A1) и разность (d) арифметической прогрессии, то можно найти любой ее член, использую формулу n-го члена арифметической прогрессии (An): An=A1+d(n-1). Например, пусть A1=2, d=5. Найдем, A5 и A10. A5=A1+d(5-1)=2+5(5-1)=2+5*4=2+20=22, а A10=A1+d(10-1)=2+5(10-1)=2+5*9=2+45=47. Используя предыдущую формулу можно найти первый член арифметической прогрессии. A1 тогда будет находиться по формуле A1=An-d(n-1), то есть если предположить, что A6=27, а d=3, A1=27-3(6-1)=27-3*5=27-15=12.

Чтобы найти разность (шаг) арифметической прогрессии, необходимо знать первый и n-ый член арифметической прогрессии, зная их, разность арифметической прогрессии находится по формуле d=(An-A1)/(n-1). Например, A7=46, A1=4, тогда d=(46-4)/(7-1)=42/6=7. Если d>0, то прогрессия называется возрастающей, если d<0 — убывающей.

Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно найти по следующей формуле. Sn=(A1+An)n/2, где Sn — сумма n членов арифметической прогрессии, A1, An — 1-ый и n-ый член арифметической прогрессии соответственно. Воспользуемся данными из предыдущего примера, тогда Sn=(4+46)7/2=50*7/2=350/2=175.

Если же n-ый член арифметической прогрессии неизвестен, но зато известен шаг арифметической прогрессии и номер n-го члена, то, чтобы найти сумму арифметической прогрессии, можно воспользоваться формулой Sn=(2A1+(n-1)dn)/2. Например, A1=5, n=15, d=3, тогда Sn=(2*5+(15-1)*3*15)/2=(10+14*45)/2=(10+630)/2=640/2=320.

Видео по теме

Обратите внимание

Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии: An=(An-1+An+1)/2.

Источники:

  • как решать задачи арифметической прогрессии

Совет полезен?

Статьи по теме:

Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:

www.kakprosto.ru

Арифметическая прогрессия. Задачи на прогрессии.


Всем привет! Сегодня вспоминаем прогрессии. Задачи на прогрессии встречаются как в блоке текстовых задач ЕГЭ (задачи типа В14), так и среди задач ГИА (В4).

Сначала вспомним арифметическую прогрессию и порешаем задачи, связанные с ней. Кому нужна геометрическая – смотри тут.

В любой последовательности каждый элемент должен иметь “адрес”, по которому можно было бы этот элемент отыскать. Этот “адрес” – это порядковый номер элемента. Например, понятно, что элемент  – первый, а  – “живет” в сотой “квартире”.

Также между номером элемента и его значением есть зависимость. Если последовательность возрастающая, то, чем больше номер “квартиры”, тем “толще” жилец, а если убывающая, то наоборот (все это – непостоянные последовательности). Существуют также последовательности, у которых все члены – одинаковы. Такие последовательности называются постоянными последовательностями (например: 5, 5, 5, …).

Задать последовательность можно по-разному.

Часто встречается такой способ задания: “Дана последовательность 30; 28; 26;…” – по сути, это табличный способ задания. Интуитивно понятно, что 30 здесь – первый член последовательности, и можно сразу “увидеть” разность такой прогрессии – это “расстояние между соседями”.

Также задают последовательности формулой n-ного члена, например: . Чтобы найти элемент такой последовательности, нужно подставить нужное n в формулу.

В случае же, когда член последовательности задан с помощью одного или нескольких предыдущих членов, то, чтобы найти этот член последовательности,  необходимо знать и эти предыдущие члены также, то есть нужно как бы  позвонить им в квартиры и спросить адрес их соседа. Такое задание называется рекуррентным от итальянского слова recurro (спешить обратно).Пример: .

Арифметической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждое последующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину, которая называется разностью прогрессии и обозначается

Разность может быть положительной, отрицательной и нулевой. Так как она постоянна, то между соседями “расстояние” будет , а “расстояние” между членами, которые стоят “через одного” – . Отсюда свойство прогрессии:

Понятно, что это свойство относится и к другим членам, отстоящим от “центра” на одинаковое количество номеров:

Найти n-ный член прогрессии просто, если знаешь первый и разность прогрессии. Ведь если вы знаете, где первая квартира в доме, вы легко отыщете сотую, верно?

Еще нужно знать формулу суммы прогрессии. Когда это может понадобиться? Например, население города увеличивается каждый месяц на 1000 жителей. Сколько новых жителей появится в городе через год или два, сколько строить новых школ или поликлиник?

Сумму прогрессии можно найти по формулам:

Ну вот, теперь мы вооружены, можем и задачи порешать попробовать.

1. Дана арифметическая прогрессия: -30;  -24; -18;… Найти сумму первых десяти членов.

Первый член . Разность прогрессии можно найти, вычтя из  (последующего члена)  (предыдущий). (Или из  – ):

.

Теперь воспользуемся формулой для суммы – берем вторую формулу:

Ответ: -30

2. Дана арифметическая прогрессия: 35; 28;21;… Найти сумму членов с 12 по 18 включительно.

Первый член . Разность прогрессии можно найти, вычтя из  (последующего члена)  (предыдущий). (Или из  – ):

.

Теперь найдем сумму 18 первых членов, и вычтем из нее сумму 11 первых членов – тогда останется то, что нам и надо::

Вторая сумма равна 0, поэтому ответ: -441.

3. Арифметическая прогрессия задана условиями: , . Найти  .

Так как между предыдущим и последующим членами (из условия) – 3, то это и есть разность прогрессии. По формуле для нахождения n-ного члена определяем  :

Ответ: 38

4. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Какая из них – арифметическая прогрессия?

а) 1; 2; 3; 5;…              б) 1; 2; 4; 8;…                 в) 1; 3; 5; 7;…             г).

Надо выбрать такую последовательность, где разность между соседними членами была бы одинаковой. Первая не подойдет: четвертый член выбивается из общего ряда. Вторая тоже, очевидно, не подойдет: здесь соседние члены отличаются не “на”, а “в” – каждый следующий вдвое больше. Третья годится: разность равна 2. Четвертая тоже не подойдет: разность между соседними дробями не одинакова.

Ответ: в)

5. Выписаны несколько членов арифметической прогрессии: 3; 6; 9; 12;… Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?

а) 85              б) 73                 в) 117             г) 254.

Конечно, задан первый член и можно определить разность – она равна 3 – но неужели предстоит просчитать каждое число по формуле n-ного  члена, чтобы определить нужное? НЕТ! Все гораздо проще! Заметим, что все члены прогрессии делятся на 3. И разность прогрессии 3, значит, если число входит в прогрессию, то оно тоже должно делиться на три! Вы помните признак делимости на три? Правильно: если сумма чисел делится на три, то и все число делится. Считаем: 8+5=13 – на три не делится; 7+3=10 – не делится; 1+1+7=9 – число 117 делится на три, и является членом прогрессии. 2+5+4=11 – не подходит.

Ответ: в)

6. Арифметические прогрессии заданы формулами n-ного члена:, , . Укажите те из них, у которых разность равна 3.

Просто подставив в каждую формулу 1 и 2 вместо n, посмотрим, какая разность получится между членами прогрессий:

Первая прогрессия отвечает требованию.

Вторая:

Вторая также подойдет.

Третья:

– очевидно, что такая разность нам не подходит.

Ответ: 

7. Сумма третьего и пятого членов арифметической прогрессии равна 16, а шестой ее член на 12 больше второго. Найдите разность и первый член данной прогрессии.

Составим уравнения по условиям:

Перепишем второе уравнение:

Теперь можем определить разность:

Перепишем первое уравнение:

Ответ:  

8. Вы­пи­са­но не­сколь­ко по­сле­до­ва­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: …; 10; x; –14; –26; … Най­ди­те член про­грес­сии, обо­зна­чен­ный бук­вой x.

По свойству прогрессии неизвестный член равен полусумме своих соседей: . Также можно было найти разность прогрессии и прибавить ее к числу “до” х, или отнять от числа “после”.

9. В пер­вом ряду ки­но­за­ла 50 мест, а в каж­дом сле­ду­ю­щем на 2 боль­ше, чем в преды­ду­щем. Сколь­ко мест в ряду с но­ме­ром n?

Если число мест в каждом ряду выписать в ряд, получим арифметическую прогрессию. Арифметическую – потому что число мест все время увеличивается на одно и то же число. Понятно, что разность этой прогрессии  2. И вот здесь-то и хочется сказать, что в ряду n число мест , но это неверно! Ведь тогда в первом ряду получается 52 места! Поэтому правильно .

10. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия: 35; 27; 19; … . Най­ди­те пер­вый от­ри­ца­тель­ный член этой про­грес­сии.

Можно, конечно, найти, на сколько последующий член меньше предыдущего (прогрессия убывающая), то есть разность прогрессии, и затем вычитать последовательно это число до тех пор, пока результат не станет отрицательным.

11. Дана ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия 13, 8, 3, … Какое число стоит в этой по­сле­до­ва­тель­но­сти на 81-м месте?

Первый член . Разность прогрессии можно найти, вычтя из  (последующего члена)  (предыдущий):

.

Находим 81 член прогрессии:

Ответ: -387

12. Какое наи­боль­шее число по­сле­до­ва­тель­ных на­ту­раль­ных чисел, на­чи­ная с 1, можно сло­жить, чтобы по­лу­чив­ша­я­ся сумма была мень­ше 528?

“Начиная с 1” – значит, . Натуральные числа – ряд последовательных чисел, отличающихся на 1 – значит, .

Формула суммы прогрессии:   – здесь нам неизвестно число членов прогрессии – n.

Подставим 528 и попробуем определить n:

Получили квадратное уравнение:

Второй корень – отрицательный, его можно даже не считать.

Получается, что сумма 32 членов дает 528, а нам нужно, чтобы сумма была бы меньше – тогда берем 31 член прогрессии.

Ответ: 31.

13. Най­ди­те сумму всех от­ри­ца­тель­ных чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии –17; –16; -15; …

Первый член прогрессии . Разность прогрессии .

Формула n-ного члена: . Найдем, сколько таких отрицательных членов у нас получится:

Тогда отрицательных членов 17. Находим их сумму:

Ответ: -153.

14. Руслану надо решить 420 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Руслан решил 13 задач. Определите, сколько задач Руслан решил в последний день, если со всеми задачами он справился за 12 дней.

Сначала разберемся, какие сведения содержит в себе условие. Похоже, фраза “на одно и то же количество задач больше” говорит о том, что мы имеем дело с прогрессией. Общий объем работы, предстоящий Руслану – это сумма прогрессии. 13 задач, решенных в первый день – это первый член нашей прогрессии. Ну и 12 дней, отведенных на это сложное дело – это количество членов прогрессии.

Найти надо количество задач, решенных в последний день – то есть 12 член прогрессии.

– в формуле n-ного члена нам неизвестна разность этой прогрессии. Поэтому воспользуемся суммой:

Находим 12 член прогрессии:

Ответ: 57

15. Улит­ка пол­зет от од­но­го де­ре­ва до дру­го­го. Каж­дый день она про­пол­за­ет на одно и то же рас­сто­я­ние боль­ше, чем в преды­ду­щий день. Из­вест­но, что за пер­вый и по­след­ний дни улит­ка про­полз­ла в общей слож­но­сти 10 мет­ров. Опре­де­ли­те, сколь­ко дней улит­ка по­тра­ти­ла на весь путь, если рас­сто­я­ние между де­ре­вья­ми равно 150 мет­рам.

Сумма прогрессии равна 150. Сумма первого и последнего членов – 10. Зная это, можем найти, какое количество дней улитка затратила на свой путь (количество членов прогрессии):

Откуда 

Ответ: 30

easy-physic.ru

Как решать арифметические прогрессии | Сделай все сам

Арифметическая прогрессия – это такая последовательность, у которой всякий ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом d (шагом либо разностью арифметической прогрессии). Почаще каждого в задачах с арифметическими прогрессиями ставятся такие вопросы, как нахождение первого члена арифметической прогрессии, n-го члена, нахождение разности арифметической прогрессии, суммы всех членов арифметической прогрессии. Разглядим весь из этих вопросов больше детально.

Вам понадобится

  • Умение исполнять основные математические действия.

Инструкция

1. Из определения арифметической прогрессии следует дальнейшая связь соседних членов арифметической прогрессии – An+1=An+d, скажем, A5=6, а d=2, то A6=A5+d=6+2=8.

2. Если вестим 1-й член (A1) и разность (d) арифметической прогрессии, то дозволено обнаружить всякий ее член, использую формулу n-го члена арифметической прогрессии (An): An=A1+d(n-1). Скажем, пускай A1=2, d=5. Обнаружим, A5 и A10. A5=A1+d(5-1)=2+5(5-1)=2+5*4=2+20=22, а A10=A1+d(10-1)=2+5(10-1)=2+5*9=2+45=47.

3. Применяя предыдущую формулу дозволено обнаружить 1-й член арифметической прогрессии. A1 тогда будет находиться по формуле A1=An-d(n-1), то есть если предположить, что A6=27, а d=3, A1=27-3(6-1)=27-3*5=27-15=12.

4. Дабы обнаружить разность (шаг) арифметической прогрессии, нужно знать 1-й и n-ый член арифметической прогрессии, зная их, разность арифметической прогрессии находится по формуле d=(An-A1)/(n-1). Скажем, A7=46, A1=4, тогда d=(46-4)/(7-1)=42/6=7. Если d>0, то прогрессия именуется нарастающей, если d<0 – убывающей.

5. Сумму первых n членов арифметической прогрессии дозволено обнаружить по дальнейшей формуле. Sn=(A1+An)n/2, где Sn – сумма n членов арифметической прогрессии, A1, An – 1-ый и n-ый член арифметической прогрессии соответственно. Воспользуемся данными из предыдущего примера, тогда Sn=(4+46)7/2=50*7/2=350/2=175.

6. Если же n-ый член арифметической прогрессии неведом, но но знаменит шаг арифметической прогрессии и номер n-го члена, то, дабы обнаружить сумму арифметической прогрессии, дозволено воспользоваться формулой Sn=(2A1+(n-1)dn)/2. Скажем, A1=5, n=15, d=3, тогда Sn=(2*5+(15-1)*3*15)/2=(10+14*45)/2=(10+630)/2=640/2=320.

Арифметической последовательностью называют такой упорядоченный комплект чисел, весь член которого, помимо первого, отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Эта непрерывная величина именуется разностью прогрессии либо ее шагом и может быть рассчитана по вестимым членам арифметической прогрессии.

Инструкция

1. Если из условий задачи знамениты значения первого и второго либо всякий иной пары соседних членов арифметической прогрессии, для вычисления разности (d) примитивно отнимите от дальнейшего члена предшествующий. Получившаяся величина может быть как правильным, так и негативным числом – это зависит от того, является ли прогрессия нарастающей либо убывающей. В всеобщей форме решение для произвольно взятой пары (a? и a???) соседних членов прогрессии запишите так: d = a??? – a?.

2. Для пары членов такой прогрессии, один из которых является первым (a?), а иной – любым иным произвольно выбранным, тоже дозволено составить формулу нахождения разности (d). Впрочем в этом случае непременно должен быть знаменит порядковый номер (i) произвольного выбранного члена последовательности. Для вычисления разности сложите оба числа, а полученный итог поделите на уменьшенный на единицу порядковый номер произвольного члена. В всеобщем виде эту формулу запишите так: d = (a?+ a?)/(i-1).

3. Если помимо произвольного члена арифметической прогрессии с порядковым номером i знаменит иной ее член с порядковым номером u, измените формулу из предыдущего шага соответствующим образом. В этом случае разностью (d) прогрессии будет сумма этих 2-х членов, поделенная на разность их порядковых номеров: d = (a?+a?)/(i-v).

4. Формула вычисления разности (d) несколько усложнится, если в условиях задачи дано значение первого ее члена (a?) и сумма (S?) заданного числа (i) первых членов арифметической последовательности. Для приобретения желанного значения поделите сумму на число составивших ее членов, отнимите значение первого числа в последовательности, а итог удвойте. Получившуюся величину поделите на уменьшенное на единицу число членов, составивших сумму. В всеобщем виде формулу вычисления дискриминанта запишите так: d = 2*(S?/i-a?)/(i-1).

Видео по теме

Обратите внимание!
Всякий член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и дальнейшего члена прогрессии: An=(An-1+An+1)/2.

jprosto.ru

Арифметическая прогрессия

Вопросы занятия:

·  повторить определение арифметической прогрессии;

·  вспомнить свойство арифметической прогрессии;

·  вывести формулу для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Материал урока

Давайте вспомним определение арифметической прогрессии.

Определение.

Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Это число называется разностью арифметической прогрессии.

Давайте попробуем среди предложенных последовательностей определить, какие являются арифметической прогрессией, а какие нет.

Пример.

Как и числовые последовательности, арифметические прогрессии бывают возрастающие и убывающие.

Определение.

Возрастающие – это прогрессии, в которых каждый последующий член больше предыдущего.

Например, примерами возрастающих прогрессий будут прогрессии

Определить возрастающую арифметическую прогрессию нетрудно, достаточно определить разность прогрессии. Если разность арифметической прогрессии больше нуля, то, значит, арифметическая прогрессия возрастающая.

Определение.

Убывающие арифметические прогрессии – это прогрессии, в которых каждое последующий член меньше предыдущего.

Примерами убывающих прогрессий будут прогрессии

У убывающих арифметических прогрессийразность арифметической прогрессии меньше нуля.

Рассмотрим пример.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Теперь давайте рассмотрим задачу.

А давайте теперь найдём х, если арифметическая прогрессия такая: 4024; х; 6072?

Вроде тоже ничего сложного, но здесь при вычислении есть шанс сделать вычислительную ошибку.

Давайте решим это задание в общем виде.

Мы с вами сформулировали основное свойство арифметической прогрессии.

Найдём теперь х из предыдущей задачи с помощью только что доказанной формулы.

Теперь давайте выполним задание.

Пример.

Найти сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, состоящей из чётных чисел, записанных в порядке возрастания.

Решение.

Восстановить девять членов этой последовательности нетрудно.

Это будут числа: 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18.

Их сумма равна: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 90.

Ответ: 90.

А если нам надо найти, например, сумму тысячи первых членов? Как быть? Выписывать тысячу членов прогрессии и все их складывать? Это долго и большая вероятность того, что при нахождении всех чисел, мы допустим ошибку, которая повлечёт за собой ошибку при нахождении суммы.

Давайте выведем формулу, которая поможет нам быстро подсчитать сумму сколько угодно членов арифметической прогрессии.

Эта формула, позволяет находить сумму любого количества первых членов арифметической прогрессии, не вычисляя отдельно их значения.

Теперь давайте вернёмся к нашему примеру и посчитаем сумму девяти членов прогрессии по формуле, которую вывели.

Мы получили такой же результат, только нам не пришлось находить все девять членов прогрессии.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Есть второй способ решения такой задачи.

В этом случае, нам не пришлось отдельно вычислять значение тридцать четвёртого члена.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Итоги урока

Сегодня на уроке, мы вспомнили определение арифметической прогрессии, повторили свойство арифметической прогрессии, вывели сумму эн первых членов арифметической прогрессии.

videouroki.net

Как решать арифметические прогрессии — Полезное о компьютерах и программах

Введение

Арифметическая прогрессия — это такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом d (шагом или разностью арифметической прогрессии).

Чаще всего в задачах с арифметическими прогрессиями ставятся такие вопросы, как нахождение первого члена арифметической прогрессии, n-го члена, нахождение разности арифметической прогрессии, суммы всех членов арифметической прогрессии. Рассмотрим каждый из этих вопросов более подробно.

Для этого потребуется умение выполнять основные математические действия.

Инструкция

Из определения арифметической прогрессии следует следующая связь соседних членов арифметической прогрессии:

An+1=An+d, например, A5=6, а d=2, то A6=A5+d=6+2=8.

Если известен первый член (A1) и разность (d) арифметической прогрессии, то можно найти любой ее член, использую формулу n-го члена арифметической прогрессии (An): An=A1+d(n-1).

Например: пусть A1=2, d=5. Найдем, A5 и A10. A5=A1+d(5-1)=2+5(5-1)=2+5*4=2+20=22, а A10=A1+d(10-1)=2+5(10-1)=2+5*9=2+45=47.

Используя предыдущую формулу можно найти первый член арифметической прогрессии. A1 тогда будет находиться по формуле A1=An-d(n-1).

Предположим, что A6=27, а d=3, A1=27-3(6-1)=27-3*5=27-15=12.

Чтобы найти разность (шаг) арифметической прогрессии, необходимо знать первый и n-ый член арифметической прогрессии, зная их, разность арифметической прогрессии находится по формуле d=(An-A1)/(n-1).

Например, A7=46, A1=4, тогда d=(46-4)/(7-1)=42/6=7. Если d>0, то прогрессия называется возрастающей, если d

Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно найти по следующей формуле. Sn=(A1+An)n/2, где Sn — сумма n членов арифметической прогрессии, A1, An — 1-ый и n-ый член арифметической прогрессии соответственно. Воспользуемся данными из предыдущего примера, тогда Sn=(4+46)7/2=50*7/2=350/2=175.

Если же n-ый член арифметической прогрессии неизвестен, но зато известен шаг арифметической прогрессии и номер n-го члена, то, чтобы найти сумму арифметической прогрессии, можно воспользоваться формулой Sn=(2A1+(n-1)dn)/2.

Например, A1=5, n=15, d=3, тогда Sn=(2*5+(15-1)*3*15)/2=(10+14*45)/2=(10+630)/2=640/2=320.

sd-company.su

Решение арифметической прогрессии

Результат вычислений
N-ый элемент арифметической прогрессии
Сумма арифметической прогрессии

Для решения задач на арифметическую прогрессию используют две основные формулы

— формула для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии

— формула для нахождения n элемента арифетической прогрессии

Чаще всего, при решениях задач на арифметическую прогрессию вызывает затруднение расчет разницы прогрессии и значение первого элемента.

И это логично, так как используя стандартные формулы расчета N-элемента прогрессии и суммы N-ых элементов прогресии, при вышеуказанных данных не вызывает абсолютно никаких затруднений.

Интересный факт (вернее сказать легенда) с арифметической прогрессией.  Математик Муавр  (тот, в честь которого назвали формулу корней и степеней комплексных чисел) точно предсказал день собственной смерти. Обнаружив, что продолжительность его сна стала увеличиваться в арифметической прогрессии, он вычислил, когда она достигнет 24 часов, и именно эту дату назначил днем своей смерти. По легенде — он не ошибся, и умер именно в тот день, который был вычислен.

Синтаксис

Для тех кто использует XMPP клиент:  ap  <переменные>

Переменные  — строка, содержащая известные значения разделенные точкой с запятой.

Переменные могут быть следующие

a1 — первый элемент арифметической прогрессии. Например a1=13

a[n] — n-ый элемент прогресии. Например a[32]=67

d — разница арифметической прогресии

S[n] — сумма первых элементов арифметической прогресии.

Если  результаты Вам нужны не в виде длинной дробной части, такой как 7.2408, а в виде правильной дроби, то стоит обратить внимание на конвертер Непрерывные, цепные дроби онлайн

Он Вам поможет рассчитать что

 

Примеры

Дана арифметическая прогрессия  где первый элемент равен 5, а разница прогрессии равна 3. Найти сумму первых 100 элементов арифметической прогрессии

Запрос будет следующим 

ap a1=5;d=3;n=100

и получаем следующее

Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам

Разность арифметической прогресии d=3

Сумма арифметической прогресии c 1 по 100 член S=15350

Первый элемент прогрессии a1=5

Уравнение N-ого элемента прогрессии an=2+3*N

 


Известна сумма 10 элементов прогресии и равна она 100, и сумма первых 23 элементов = 305

Определить первый элемент прогресси и разницу прогресии.

 

Запрос будет таким

ap S[10]=100;S[23]=305

 

Получаем ответ

Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам

Разность арифметической прогресии d=0.5017

Сумма арифметической прогресии c 1 по 10 член S=100

Первый элемент прогрессии a1=7.7425

Уравнение N-ого элемента прогрессии an=7.2408+0.5017*N

 

В арифметической прогрессии второй член равен 4, а двадцать восьмой равен 56. Найдем разность этой прогрессии и сумму 28 первых ее членов.

 

Запрос будет такой

ap a[2]=4;a[28]=56

 

и получаем ответ

Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам

Разность арифметической прогресии d=2.0000

Сумма арифметической прогресии c 1 по 2 член S=6

Первый элемент прогрессии a1=2.0000

Уравнение N-ого элемента прогрессии an=0+2*N

 

Нам надо было определить сумму ?

не вопрос

С учетом полученного ответа ответа  запросим точный ответ на поставленную задачу

 

ap n=28;a1=2;d=2

 

и получаем ответ

Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам

Разность арифметической прогресии d=2

Сумма арифметической прогресии c 1 по 28 член S=812

Первый элемент прогрессии a1=2

Уравнение N-ого элемента прогрессии an=0+2*N


Уважаемый пользователь,  задал вопрос  — а как решать арифметическую прогрессию  когда  задана задача в таком виде:

Сумма первых 20 элементов арифметической прогрессии равна 30, а 8 элемент прогрессии больше в два раза чем значения пятого элемента.

К сожалению бот такие задачи не умеет решать. Вернее так, автор бота не может пока найти универсальное решение,  когда два элемента прогрессии связаны между собой произвольным выражением через неизвестную переменную.

Но не все так плохо. Мы готовы дать методику  как решать подобные задачи. Итак выразим связь пятого и восьмого элемента прогрессии через переменную

Получили следующие исходные данные

S[20]=30;a[8]=2*x;a[5]=x

Запишем формулы для каждой из заданных значений

 

Преобразуем  и перенесем все в одну сторону неизвестные величины, а в другую известные значения.

получаем три уравнения

 

 

 

Пишем этому боту  запрос linur_i 20 190 0 30 1 7 -2 0 1 4 -1 0

 

и получаем ответ

a1=-0.176470588

d=0.176470588

x=0.529411765

 

Откуда мы видим что параметры арифметической прогрессии равны  и 

Проверка подтверждает наши  вычисления


И еще один пример с неизвестными переменными, которые бот не умеет решать. Пусть дана арифметическая прогрессия, что  сумма  11 и 7 элементов прогресии  на 50 меньше чем сумма первых девяносто элементов. А первый элемент равен 2

 

Запишем, что же нам известно

S[90]=x;a[7]+a[11]=x-50

 

 

Преобразуем и получаем

 

 

Так как первый элемент равен двум то  наши уравнения  превращаются в  очень простую систему

 

 

Откуда 

 

  • Решение уравнений методом Ньютона онлайн >>

abakbot.ru

Решение арифметической прогрессии

Результат вычислений
N-ый элемент арифметической прогрессии
Сумма арифметической прогрессии

Для решения задач на арифметическую прогрессию используют две основные формулы

— формула для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии

— формула для нахождения n элемента арифетической прогрессии

Чаще всего, при решениях задач на арифметическую прогрессию вызывает затруднение расчет разницы прогрессии и значение первого элемента.

И это логично, так как используя стандартные формулы расчета N-элемента прогрессии и суммы N-ых элементов прогресии, при вышеуказанных данных не вызывает абсолютно никаких затруднений.

Интересный факт (вернее сказать легенда) с арифметической прогрессией.  Математик Муавр  (тот, в честь которого назвали формулу корней и степеней комплексных чисел) точно предсказал день собственной смерти. Обнаружив, что продолжительность его сна стала увеличиваться в арифметической прогрессии, он вычислил, когда она достигнет 24 часов, и именно эту дату назначил днем своей смерти. По легенде — он не ошибся, и умер именно в тот день, который был вычислен.

Синтаксис

Для тех кто использует XMPP клиент:  ap  <переменные>

Переменные  — строка, содержащая известные значения разделенные точкой с запятой.

Переменные могут быть следующие

a1 — первый элемент арифметической прогрессии. Например a1=13

a[n] — n-ый элемент прогресии. Например a[32]=67

d — разница арифметической прогресии

S[n] — сумма первых элементов арифметической прогресии.

Если  результаты Вам нужны не в виде длинной дробной части, такой как 7.2408, а в виде правильной дроби, то стоит обратить внимание на конвертер Непрерывные, цепные дроби онлайн

Он Вам поможет рассчитать что

 

Примеры

Дана арифметическая прогрессия  где первый элемент равен 5, а разница прогрессии равна 3. Найти сумму первых 100 элементов арифметической прогрессии

Запрос будет следующим 

ap a1=5;d=3;n=100

и получаем следующее

Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам

Разность арифметической прогресии d=3

Сумма арифметической прогресии c 1 по 100 член S=15350

Первый элемент прогрессии a1=5

Уравнение N-ого элемента прогрессии an=2+3*N

 


Известна сумма 10 элементов прогресии и равна она 100, и сумма первых 23 элементов = 305

Определить первый элемент прогресси и разницу прогресии.

 

Запрос будет таким

ap S[10]=100;S[23]=305

 

Получаем ответ

Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам

Разность арифметической прогресии d=0.5017

Сумма арифметической прогресии c 1 по 10 член S=100

Первый элемент прогрессии a1=7.7425

Уравнение N-ого элемента прогрессии an=7.2408+0.5017*N

 

В арифметической прогрессии второй член равен 4, а двадцать восьмой равен 56. Найдем разность этой прогрессии и сумму 28 первых ее членов.

 

Запрос будет такой

ap a[2]=4;a[28]=56

 

и получаем ответ

Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам

Разность арифметической прогресии d=2.0000

Сумма арифметической прогресии c 1 по 2 член S=6

Первый элемент прогрессии a1=2.0000

Уравнение N-ого элемента прогрессии an=0+2*N

 

Нам надо было определить сумму ?

не вопрос

С учетом полученного ответа ответа  запросим точный ответ на поставленную задачу

 

ap n=28;a1=2;d=2

 

и получаем ответ

Параметры арифметической прогресии по заданным параметрам

Разность арифметической прогресии d=2

Сумма арифметической прогресии c 1 по 28 член S=812

Первый элемент прогрессии a1=2

Уравнение N-ого элемента прогрессии an=0+2*N


Уважаемый пользователь,  задал вопрос  — а как решать арифметическую прогрессию  когда  задана задача в таком виде:

Сумма первых 20 элементов арифметической прогрессии равна 30, а 8 элемент прогрессии больше в два раза чем значения пятого элемента.

К сожалению бот такие задачи не умеет решать. Вернее так, автор бота не может пока найти универсальное решение,  когда два элемента прогрессии связаны между собой произвольным выражением через неизвестную переменную.

Но не все так плохо. Мы готовы дать методику  как решать подобные задачи. Итак выразим связь пятого и восьмого элемента прогрессии через переменную

Получили следующие исходные данные

S[20]=30;a[8]=2*x;a[5]=x

Запишем формулы для каждой из заданных значений

 

Преобразуем  и перенесем все в одну сторону неизвестные величины, а в другую известные значения.

получаем три уравнения

 

 

 

Пишем этому боту  запрос linur_i 20 190 0 30 1 7 -2 0 1 4 -1 0

 

и получаем ответ

a1=-0.176470588

d=0.176470588

x=0.529411765

 

Откуда мы видим что параметры арифметической прогрессии равны  и 

Проверка подтверждает наши  вычисления


И еще один пример с неизвестными переменными, которые бот не умеет решать. Пусть дана арифметическая прогрессия, что  сумма  11 и 7 элементов прогресии  на 50 меньше чем сумма первых девяносто элементов. А первый элемент равен 2

 

Запишем, что же нам известно

S[90]=x;a[7]+a[11]=x-50

 

 

Преобразуем и получаем

 

 

Так как первый элемент равен двум то  наши уравнения  превращаются в  очень простую систему

 

 

Откуда 

 

abakbot.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.