Методом интервалов решить неравенство онлайн – Решение неравенств · Калькулятор Онлайн · с подробным решением

Решение неравенств методом интервалов

Разделы: Математика, Внеклассная работа


Цели:

  1. Обобщить использование метода интервалов для решения неравенств,
  2. Показать широкие возможности этого метода для решения неравенств, содержащих переменные под знаком log, , и тригонометрические функции.

Мы будем рассматривать неравенства, правая часть которых равна нулю, а левая часть представлена в виде произведения или частного функций.

Идея метода: Знак произведения или частного определяется знаком сомножителей.

Рис.1

Линейная функция с ненулевым угловым коэффициентом меняет знак при переходе через нуль функции, причём справа от нуля знак функции совпадает со знаком углового коэффициента.

Рис.2

Квадратный трёхчлен с D>0 при переходе через каждый нуль функции меняет свой знак, причём правее большего корня знак квадратного трёхчлена совпадает со знаком его старшего коэффициента. [1]

Эти соображения приводят к следующей схеме решения неравенства:

Пример 1:[1]

  1. Найдём нули числителя: , , .
  2. Найдём нули знаменателя: .
  3. Наносим найденные нули на числовую ось. Т.к. неравенство строгое, то все нули изображаем выколотыми точками, которые разбивают числовую ось на интервалы:

Рис. 3

На самом правом из них знак каждого сомножителя совпадает со знаком его старшего коэффициента:

Следовательно, дробь на этом промежутке тоже отрицательна.

  1. При переходе через каждый из отмеченных нулей, один и только один из сомножителей меняет знак, и поэтому каждый раз меняется знак дроби. Учитывая это, расставляем в интервалах знаки (как показано на Рис.3).
  2. Выбираем интервалы, на которых дробь отрицательна.
  3. Записываем ответ: .

В рассмотренном примере 1, знаки в промежутках знакопостоянства функции чередуются. Однако делать обобщение, что так будет происходить всегда, разумеется, не следует.

Пример 2:

  1. нули числителя:

    -2 – нуль второй кратности

  2. нули знаменателя:
  3. наносим найденные нули на числовую ось, т.к. неравенство не строгое, то нули числителя изображаем заштрихованными точками, а нуль знаменателя мы выкалываем, т.к. это число не входит в область определения неравенства:

Рис.4

Обозначим нуль второй кратности галочкой, чтобы не забыть. Т.к. числитель всегда принимает положительные значения, то на правом крайнем промежутке знак будет зависеть от знака старшего коэффициента знаменателя, т.е. «+». Левее «1» знаменатель будет отрицательным, а числитель положительным, поэтому при переходе через число -2 знак не меняется:

Рис.5

Это поможет понять следующая геометрическая картинка (Рис.6):

Рис.6

  1. Для записи ответа выбираем промежуток, где стоит знак «+» и заштрихованную точку , при которой дробь обращается в нуль.
    Ответ:

Вывод: при переходе через нуль чётной кратности, знак не меняется.

Решить по вариантам, с последующим обсуждением у доски.

I вариант

Пример 3:

  1. нули числителя:

    ;
  1. нули знаменателя:

    ;
    — нуль второй кратности

Рис.7

Ответ:

II вариант

Пример 4:

  1. нули числителя:
    — нуль второй кратности
  2. нули знаменателя:

    ;
    — нуль третьей кратности

Рис.8

Ответ:

Применение метода интервалов не ограничивается решением рациональных неравенств.

Универсальность метода основана на достаточно наглядном свойстве непрерывных функций:

«Если на интервале (a;b) функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, то на этом интервале она сохраняет знак».

Пример 5: [1] ,

Будем решать это неравенство по той же схеме, но не на всей оси, а на области определения логарифмической функции, т.е. на промежутке (*):

  1. нули числителя:

    ; — не входит в (*)
  2. нули знаменателя:

    ;

Рис. 9

  1. на самом правом промежутке
    , ,

Следовательно на этом промежутке левая часть неравенства отрицательна

  1. при переходе через каждый корень меняет знак один и только один из сомножителей. Учитывая это, расставляем знаки на остальных промежутках.

Ответ: .

Пример 6:

  1. нули числителя:


    корней нет
  2. нули знаменателя:
  3. решение изображаем на рис. 10:

Рис.10

Квадратный трёхчлен в числителе не имеет корней и не меняет свой знак. Его знак совпадает со знаком старшего коэффициента, т.е. «+».

Ответ:.

Пример 7: ОДЗ:

Приведём неравенство к такому виду, чтобы в правой части был «0»:

  1. нули числителя:

;;;

  1. нули знаменателя:
  2. решение изображаем на рис. 11:

Рис.11

Ответ:.

Пример 8:

ОДЗ:

Рис.12

  1. нули числителя:
  2. нули знаменателя:

, но ОДЗ удовлетворяет только

  1. решение изображаем на рис. 13:

Рис.13

Ответ:.

Задание на дом: (Решение предоставлено в Приложении1)

  1. Ответ:.
  2. Ответ:.
  3. Ответ:.
  4. Ответ: .
  5. Ответ:.

Задания для факультативный занятий предоставлены в Приложении2.

Вывод: Как известно, линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая и тригонометрические функции, а так же их композиции и функции, получаемые из них с помощью арифметических действий, непрерывны в своей области определения. Поэтому метод интервалов можно применять при решении практически всех неравенств школьного курса. Метод интервалов позволяет представить множество решений неравенства в виде объединения промежутков, границы которых либо корни соответствующего уравнения, либо граничные точки области определения.


Список литературы:

[1] «Метод интервалов» //Журнал «Квант» No12, 1985 г.

11.08.2009

Поделиться страницей:

xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

Онлайн-урок №9 «Метод интервалов при решении неравенств. Уравнения и неравенства с модулем.»

Линейные неравенства


Символическая запись, в которой два числа или выражения, содержащие переменные, связаны знаком «больше» (>) или «меньше» (<), называется 

неравенством. Наряду со строгими неравенствами (а>b) рассматривают и нестрогие неравенства: а≥b.
Свойства неравенств:
1. Если a>b и b>с, то a>с
2. Если a>b, то a+с>b+с, с – любое число. 
3. Если a>b и с>d, то a+с>b+d. Неравенства одинакового смысла можно почленно складывать. 
4. Если a,b,с,d — положительные числа и a>b,с>d, то aс >bd. Неравенства одинакового смысла можно почленно умножать (с учетом знаков).
5. Если a>b ,с<d, то a-с>b-d. Неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак первого неравенства.

Решить неравенство с одной переменной – значит найти все его решения, то есть значения переменной, при которых неравенство истинно, или доказать, что их нет.
Правила решения неравенств:
1) Любое слагаемое неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, не изменив при этом знак неравенства.
2) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не изменив при этом знак неравенства.
3) Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный.
Пример: ⇔⇔⇔

Системы и совокупности линейных неравенств


Если неравенства объединены в систему, то решением системы будут те значения переменных, которые удовлетворяют одновременно всем неравенствам. Решение системы соответствует пересечению решений всех неравенств.

Если неравенства объединены в совокупность, то решением ее будут те значения переменных, которые удовлетворяют хотя бы одному из неравенств совокупности. Решение совокупности соответствует объединению решений всех неравенств.

Квадратичные неравенства


Неравенства вида >(<;≥;≤)0 называются квадратичными. Здесь a,b,c – любые действительные числа, a≠0. Есть несколько случаев решения квадратичных неравенств:
1)  ветви параболы направлены вверх, квадратное уравнение имеет два корня. Внутри интервала корней значения квадратного трехчлена отрицательны, вне интервала корней – положительны, в корнях квадратный трехчлен обращается в ноль;

2)  ветви параболы направлены вверх, квадратное уравнение имеет один корень. Значения квадратного трехчлена положительны при всех значениях аргумента, кроме корня – здесь квадратный трехчлен обращается в ноль;

3)  ветви параболы направлены вверх, квадратное уравнение не имеет корней. Значения квадратного трехчлена положительны при всех значениях аргумента;
4)  ветви параболы направлены вниз, квадратное уравнение имеет два корня. Внутри интервала корней значения квадратного трехчлена положительны, вне интервала корней – отрицательны, в корнях квадратный трехчлен обращается в ноль;
5) ветви параболы направлены вниз, квадратное уравнение имеет один корень. Значения квадратного трехчлена отрицательны при всех значениях аргумента, кроме корня – здесь квадратный трехчлен обращается в ноль;
6)  ветви параболы направлены вниз, квадратное уравнение не имеет корней. Значения квадратного трехчлена отрицательны при всех значениях аргумента.

Решение рациональных неравенств методом интервалов


Пример: ≥0
Решение: При решении примера будет сформулирован общий алгоритм решения неравенств методом интервалов. Он относится и к неравенствам с многочленами и к рациональным неравенствам. Чтобы пользоваться указанным алгоритмом, неравенство изначально следует привести к виду, когда по одну сторону некое выражение, а по другую ноль.

1. Найти нули функции: 
2. Определить ОДЗ: 
3. Разбить область значений аргумента на интервалы нулями функции и точками разрыва ОДЗ. Точки, которые будут входить в решение неравенства обозначаются закрашенными, а которые не будут входить – выколотыми.
Точки расставляют по следующему принципу:
– закрашенные точки ставятся для нулей функции, если неравенство нестрогое;
– выколотые точки ставятся для нулей функции, если неравенство было строгое, и для точек разрыва ОДЗ функции.
В нашем случае мы поставим на оси координат выколотые точки для x=-0,4 и x=1, а закрашенные для x=1,5 и x=-3.
4. Определить знак функции на каждом интервале. 
Для определения знаков есть два способа: 
– брать на каждом интервале пробную точку, подставлять ее в функцию и определять знак – такой знак функция будет сохранять на всем интервале; 
– с помощью пробной точки определить знак на крайнем правом интервале, а далее чередовать знаки при переходе через точки нулей функции и разрывов ОДЗ. Такой подход верен только при отсутствии множителей в четных степенях и модулей в неравенстве. Следует знать, что если какой-то множитель имеет четную степень, например, функция содержит множитель , то при переходе через точку x=2 знак функции сохраняется.
Для обозначения знаков промежутков удобно изображать характерную «змейку», которая рисуется над осью координат для положительных значений и под осью для отрицательных значений функции.
В нашем случае проверим, к примеру, знак функции в точке 10 для простоты расчетов: – функция на крайнем правом интервале отрицательна.
Далее на каждом из интервалов просто чередуем знаки функции, т.к. нет множителей в четных степенях и модулей.


5. Выписать в ответ объединение промежутков, которые соответствуют знаку неравенства, т.е. если в неравенстве интересуют значения больше нуля, то выписать промежутки с положительными значениями, и аналогично для других вариантов. Здесь важно помнить о том, что выколотые точки не входят в решение неравенства, а закрашенные точки входят. 
Ответ: x∈[-3; -0,4)∪(1;1,5].

Неравенства с модулем
При решении модульных неравенств необходимо учитывать условия раскрывания модулей, а в остальном они решаются как обычные неравенства.
Пример: решить неравенство:.
Решение:

Ответ: x∈(-∞;1/3).

vneshkoly.com.ua

Решение неравенств методом интервалов

Рассмотрим решение неравенств методов интервалов для случаев, когда один и тот же корень в примере встречается несколько раз.

 

   

Используем алгоритм метода интервалов. Приравниваем к нулю левую часть:

   

Отсюда

   

Корень х=2 встречается 2 раза, то есть четное число раз. Значит, в точке х=2 — «петля». Точки х=2 и х=0 — выколотые, поскольку в них знаменатель обращается в нуль. Так как неравенство нестрогое, точка х=6 — закрашенная.

Для проверки знака берем 1. Подставляя ее в последнее неравенство, получаем отрицательное число. Значит на интервале (0;2), которому принадлежит 1, ставим «-«. Остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Поскольку левая часть меньше либо равна нулю, в ответ записываем промежутки с «-«.

Ответ: х∈(0;2)U(2;6].

   

Приравниваем к нулю левую часть:

   

   

   

Полученные точки отмечаем на числовой прямой. Поскольку неравенство нестрогое, точки закрашенные (кроме точек, в которых знаменатель обращается в нуль). Так как корень х=9 встречается четное число раз (2 раза), в нем — «петля».

Для проверки знака берем 1. Подставив ее в последнее неравенство, получаем положительное число. Остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Нам нужны промежутки с «+». Не забываем включить в ответ отдельно стоящую закрашенную точку.

Ответ:

   

   

Приравниваем к нулю левую часть:

   

   

   

Если квадратное уравнение х²-8х+16=0 решать через дискриминант, получаем D=0, а значит,  корень х=4 — кратный корень второй степени. Но есть еще одно уравнение с корнем х=4. Таким образом, корень х=4 встречается три раза, то есть нечетное количество. Значит, «петли» в нем нет. (Если решать уравнение по теореме Виета, получаем х1=х2=4 и еще один корень х=4. Итого, 3 раза).

Ответ:

   

www.uznateshe.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *