Общего вида функции примеры – (, , , ) —

Показательная функция, ее свойства. Простейшие показательные уравнения

Рассмотрим основное определение.

Определение:

Функцию вида , где  и  называют показательной функцией.

Например:  и т. д.

Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: :

Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы

Основные свойства данного семейства функций:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция возрастает, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции;

Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к нулю, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится также к плюс бесконечности.

Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы :

Например:  и т. д.

Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы

Свойства данного семейства функций:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция убывает, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции;

Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к плюс бесконечности, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится к нулю.

Решение показательных уравнений и неравенств основывается на свойствах показательной функции.

Пример 1 – решить уравнение:

а)

Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.

б)

Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.

Пример 2 – решить неравенство:

а)

Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.

б)

Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2.б

Рассмотрим простейшие уравнения и неравенства.

Пример 3:

а)  (рисунок 4)

б)  , т. к. функция монотонно возрастает на всей области определения (рисунок 4)

Рис. 4. Иллюстрация к примеру 3

Рассмотрим простейшие показательные уравнения в общем виде.

Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью. Это означает, что каждое свое значение функция приобретает при единственном значении аргумента.

Таким образом, получаем методику решения показательных уравнений:

Уравнять основания степеней;

Приравнять показатели степеней;

Например:

Пример 4 – решить уравнения:

а)

б)

Итак, мы рассмотрели показательную функцию, ее график и свойства, научились решать простейшие показательные уравнения и неравенства, рассмотрели простейшие показательные уравнения в общем виде. В следующем уроке мы рассмотрим решение показательных неравенств.

 

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Mathematics-repetition.com (Источник).
  2. Terver.ru (Источник).
  3. Egesdam.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1.      Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 446, 453, 460, 461;

2.      Решить неравенство:

а) ; б) ; в) ; г) ;

3.      Решить уравнение:

а) ; б) ; в) ; г) ;

interneturok.ru

§12. Функции и их общие свойства

1. Отображение. Виды отображений

Пусть X={x}, Y={y}- произвольные множества.

Определение 1. Отображением множества Х во множество Y (или функцией, определенной на Х со значениями в Y) называется соответствие f, которое каждому элементу xX соотносит единственный элемент yY, обозначаемый y=f(x).

Элемент y=f(x) называется образом элемента x при отображении f или значением функции f.

Обозначается f: XY или X Y.

X- множество, где определена функция, называется областью определения функции.

Образом множества АX при отображении f называется множество f(A)={yY:y=f(x), xА}. Множество f(X), т.е. образ множества X называется множеством значений функции (отображения).

Определение 2. Отображение множества X во множество Y называется отображением X в Y, если f(Х)

Y.

Определение 3. Отображение множества X во множество Y называется отображением X на Y (или сюрьективным отображением), если f(Х)=Y т.е. отображение f сюрьективно, если yY xX: f(x)=y.

Возьмём yf(X) xX: f(x)=y. Этих элементов может быть несколько. Множество всех xX, таких что f(x)=y называют полным прообразом элемента y при отображении f и обозначают f

-1(y),

т.е. f -1(y)={xX: f(x)=y}.

Определение 4. Отображение f:XY называется инъективным (обратимым), если yY его полный прообраз f -1(y) состоит не более, чем из одного элемента.

Определение 4. Отображение f:XY называют инъективным, если различным элементам хХ соответствует различные элементы yY, т.е. x1,x2Х: x1 x2 f(x1)f(x2).

Определение 5.

Отображение f:XY называется взаимно-однозначным (или биективным), если оно инъективно и сюрьективно. Таким образом, отображение f:XY взаимно-однозначно, если yY его полный прообраз состоит только из одного элемента.

2. Сужение функций

Пусть функция y=f(x) задана на множестве X.

Пусть АX. Тогда отображение f естественным образом порождает отображение (функцию), определённую на А и ставящую в соответствие xА элемент f(x)=y. Эту новую функцию называют сужением функции f на множестве А

X и обозначают fА. Таким образом, fА: АY, fА(x)=f(x) xА.

Пример. y=f(x)=sinx, x

А=[0;2π]

y=fА(x)=sinx, x[0;2π]- сужение.

3.Действительная функция действительного переменного

Определение. Действительной функцией действительного переменного называется функция f:X, где X. Элемент x называется аргументом функции

f (или независимой переменной), элемент y=f(x)— зависимой переменной.

Такие функции называют числовыми. Название ДФДП связано с тем, что x и y — действительные переменные, принимающие действительные значения.

Множество, на котором определена функция, называется областью определения и обозначается D(f). Множество ее значений обозначается Е(f).

Таким образом, для задания функции f необходимо задать ее область определения и закон f, по которому каждому элементу xD ставится в соответствие определенное число y.

4.Способы задания функции

Существует несколько способов задания функции.

1. Аналитический способ.

При этом соответствие f задано с помощью формулы (аналитического выражения), указывающей, какие действия и в каком порядке надо совершить над аргументом

x, чтобы получить соответствующее значение функции.

Например, y=sin x3 +,x.

Одно и то же аналитическое выражение может, определять различные функции, если они заданы на различных множествах, т.е. имеют разные D(f). Если функция задана формулой и не указана D(f), то считают, что функция задана на множестве тех значений, аргумента x, для которых формула имеет смысл.

Пример 1. y=f(x)= . НайтиD(f)

D(f):

Значит,D(f)=(-∞;-3][3;4).

Функция может быть задана различными формулами, например,

2. Словесное задание функций.

Пример 2. y= π(x)- функция, ставящая каждому значению x в соответствие количество простых чисел, не превосходящих его.

π(7)=4 (2,3,5,7)

π()=5 (2,3,5,7,11)

Пример 3. (signum – знак)

Пример 4. Функция Дирихле

3. Табличный способ.

При этом способе выписываются значения независимой переменной x и соответствующие им значения функции.

х

x1

x2

x3

xn

y

f(x1)

f(x2)

f(x3)

f(xn)

Достоинство: легко найти значение функции в нужной точке.

Недостатки: 1) конечность D(f) (невозможность отыскать промежуточные значения аргумента), 2) малая наглядность.

4. Графический способ.

Координатная плоскость — обычная геометрическая плоскость с выбранной на ней прямоугольной системой координат. Множество всех упорядоченных пар действительных чисел называется числовой плоскостью и обозначается , а отдельные пары чисел — ее точками, {(x,y)}=. Между координатной плоскостью и числовой плоскостью можно установить взаимно-однозначное соответствие: М(x,y) (x,y), где М(x,y)- произвольная точка координатной плоскости, (x,y)- точка числовой плоскости ,х, у— её координаты.

Пусть функция y=f(x) задана на множестве D, т.е. xD. Задание функции равносильно заданию множества пар чисел {(x,y):y=f(x), xD}.

Изобразим его на координатной плоскости. Полученное множество точек называется графиком функции.

Определение. Графиком функции f называется множество точек координатной плоскости {M(x,y):y=f(x), xD}. Часто графиком функции является кривая.

Пример 5. y=[x]=E(x), x (антье от х)- целая часть числа x, (наибольшее целое число, не превосходящее данного действительного числа).

Пример 6. y={x}=x-[x], x-дробная часть числа x.

0x<1 y=x,

1x<2 y=x-1,

2x<3 y=x-2,

-1x<0 y=x+1.

Не всякое множество точек координатной плоскости является графиком функции. Т.к. по определению функции xD соответствует только одно значение y, то любая прямая, параллельная оси Оy, может пересекать график не больше, чем в одной точке.

Данные кривые не могут служить графиками функций.

Заметим, что график функций может состоять из кусков различных кривых, из отдельных точек.

Задание функции с помощью графика называется графическим способом задания функции.

Достоинство: наглядность (по графику можно судить о характере поведения функции).

Недостатки: 1)невозможно применить в должной мере математический аппарат,

2)приближённое построение чертежа.

3)построение чертежа для ограниченного множества точек.

studfiles.net

функция общего вида — это… Что такое функция общего вида?


функция общего вида
мат. general function

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

  • функция обслуживания
  • функция объема

Смотреть что такое «функция общего вида» в других словарях:

  • функция — 2.1 функция (function): Реализация в программе алгоритма, по которому пользователь или программа могут частично или полностью выполнять решаемую задачу. Примечания 1 Пользователю нет необходимости вызывать функцию (например, автоматическое… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Функция Грина — используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородная краевая задача). Функция Грина это обратный оператор к . Поэтому ее нередко символически обозначают как . Функции Грина полезны в… …   Википедия

  • Функция Дирака — δ функция (или дельта функция, δ функция Дирака, дираковская дельта, Единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или… …   Википедия

  • ОБОБЩЕННАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция удовлетворяющая системе с действительными коэффициентами являющимися функциями действительных переменных хи у В обозначениях исходная система записывается в виде Если коэффициенты Аи Всистемы (1) на всей плоскости Екомплексного… …   Математическая энциклопедия

  • АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена степенным рядом. Исключит, важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно ш и р о к: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и ее… …   Математическая энциклопедия

  • Случайная функция —         функция произвольного аргумента t (заданная на множестве Т его значений и сама принимающая или числовые значения или, более общо, значения из какого то векторного пространства) такая, что её значения определяются с помощью некоторого… …   Большая советская энциклопедия

  • ТЕТА-ФУНКЦИЯ — функция, одного комплексного переменного квазидвоякопериодическая целая функция комплексного переменного z, т. е. функция имеющая, кроме периода еще квазипериод при прибавлении к poro к значению аргумента значение функции умножается на нек рый… …   Математическая энциклопедия

  • Нечетная функция — f(x) = x  пример нечётной функции. f(x) = x2  пример чётной функции. f(x) = x3 …   Википедия

  • Нечётная функция — f(x) = x  пример нечётной функции. f(x) = x2  пример чётной функции. f(x) = x3 …   Википедия

  • Четная функция — f(x) = x  пример нечётной функции. f(x) = x2  пример чётной функции. f(x) = x3 …   Википедия

  • Чётная функция — f(x) = x  пример нечётной функции. f(x) = x2  пример чётной функции. f(x) = x3 …   Википедия

Книги

  • Костюм. Стиль, форма, функция, Бруард Кристофер, Что объединяет «молодых старомодников» и конголезских sapeurs, что общего между pijama и баньяном, архитектурой и одеждой? Как связаны парижский щеголь и участники» пятниц без галстуков»?В… Серия: Библиотека журнала»Теория моды» Издатель: Новое литературное обозрение, Подробнее  Купить за 851 руб
  • Костюм. Стиль, форма, функция, Бруард Кристофер, Что объединяет`молодых старомодников`и конголезских sapeurs, что общего между pijama и баньяном, архитектурой и одеждой? Как связаны парижский щеголь и участники`пятниц без галстуков`? В этой… Серия: Библиотека журнала `Теория моды` Издатель: Новое литературное обозрение, Производитель: Новое литературное обозрение, Подробнее  Купить за 794 грн (только Украина)
  • Костюм стиль форма функция, Бруард К., Что объединяет «молодых старомодников» и конголезских sapeurs, что общего между pijama и баньяном, архитектурой и одеждой? Как связаны парижский щеголь и участники» пятниц без галстуков»?В… Подробнее  Купить за 491 руб
Другие книги по запросу «функция общего вида» >>

dic.academic.ru

Функция — общий вид — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Функция — общий вид

Cтраница 1

Функция общего вида, непериодическая.  [1]

Для функций общего вида комбинация метода Коши или метода координатного спуска с методами сопряженных направлений приводит к эффективным алгоритмам, так как получающиеся при этом смешанные алгоритмы используют квадратичную аппроксимацию оптимизируемой функции, избегая вместе с тем трудоемких вычислений вторых частных производных.  [2]

Элементы с функциями общего вида (2.10) были помимо однородного материала успешно использованы и для решения задач о трещине, вершина которой расположена на границе раздела двух материалов с различными упругими свойствами. Аналогичные функции перемещений могут быть построены и для более сложных элементов, имеющих большее число узлов.  [4]

В такой интерпретации функция общего вида принимает вид функции порядковой полезности что не исключает возможности присвоения полезностям товарных наборов числовых значений.  [5]

Фурье, способного аппроксимировать функции весьма общего вида.  [6]

Для алгоритмов безусловной оптимизации функций общего вида построено довольно много тестовых задач, но даже в этом случае возникают некоторые из трудностей, описанных выше. Например, рассматриваются в основном задачи очень малой размерности; кроме того, не ясно, какие свойства алгоритмов проявляются на выбранных тестовых функциях.  [7]

Функция у а является функцией общего вида.  [8]

Функция у х ж2 является функцией общего вида.  [9]

Функция у ахг Ьх с есть функция общего вида. Если Ь 0 то у ахг с есть четная функция.  [10]

Это не означает, что для функций общего вида порядок сходимости равен 2, хотя так и может случиться.  [11]

Рассмотрим числовые примеры на определение ошибок функций общего вида по заданным ошибкам аргументов.  [12]

Функция у ах b, b О есть функция общего вида, т.е. не является четной, нечетной.  [13]

Функция не является четной и не является нечетной, это функция общего вида.  [14]

Функция не является четной, не является нечетной, Это функция общего вида.  [15]

Страницы:      1    2    3

www.ngpedia.ru

На главную /  Математика / Алгеб

На главную /  Математика / Алгеб

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

1. Нули функции

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .

Презентация

2. Промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны

3. Возрастание (убывание) функции

Возрастающая в некотором промежутке функ­ция — функция, у которой большему значению аргу­мента из этого промежутка соответствует большее значение функции

Функция у = f (x) назы­вается возрастающей на ин­тервале (а; b), если для лю­бых x1 и x2 из этого интерва­ла таких, что x1< x2 , спра­ведливо неравенство f(x1)<f(x2)

 

Примеры графиков возрастающих функций:

Убывающая в некотором промежутке функ­ция — функция, у которой большему значению аргу­мента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции

Функция у =f (x) назы­вается убывающей на интер­вале (а; b), если для любых  x1 и x2 из этого интервала таких, что x1< x2, справед­ливо неравенство f(x1)>f(x2)

Примеры графиков убывающих функций:

 

4. Четность (нечетность) функции

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала коор­динат и для любого х из области определения выпол­няется равенство f(-x) = f(x).

 График четной функ­ции симметричен относительно оси ординат

Например, у = х2 —  четная функция, т.к. f(-x) =(– х)2= х2 = f(x)

Нечетная функция — функция, у которой об­ласть определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечет­ной функции симметричен относительно начала координат.

Например: у = х3 — нечетная функция, т.к.  f(-x) =(– х)3= – х3 = – f(x)

 

Функция общего вида не является четной или нечетной (у = х2)

 

 

gimn7matem.narod.ru

функция общего вида — это… Что такое функция общего вида?


функция общего вида

Mathematics: general function

Универсальный русско-английский словарь. Академик.ру. 2011.

  • функция обучения командоаппарата
  • функция общего назначения

Смотреть что такое «функция общего вида» в других словарях:

  • функция — 2.1 функция (function): Реализация в программе алгоритма, по которому пользователь или программа могут частично или полностью выполнять решаемую задачу. Примечания 1 Пользователю нет необходимости вызывать функцию (например, автоматическое… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • Функция Грина — используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородная краевая задача). Функция Грина это обратный оператор к . Поэтому ее нередко символически обозначают как . Функции Грина полезны в… …   Википедия

  • Функция Дирака — δ функция (или дельта функция, δ функция Дирака, дираковская дельта, Единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или… …   Википедия

  • ОБОБЩЕННАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция удовлетворяющая системе с действительными коэффициентами являющимися функциями действительных переменных хи у В обозначениях исходная система записывается в виде Если коэффициенты Аи Всистемы (1) на всей плоскости Екомплексного… …   Математическая энциклопедия

  • АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена степенным рядом. Исключит, важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно ш и р о к: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и ее… …   Математическая энциклопедия

  • Случайная функция —         функция произвольного аргумента t (заданная на множестве Т его значений и сама принимающая или числовые значения или, более общо, значения из какого то векторного пространства) такая, что её значения определяются с помощью некоторого… …   Большая советская энциклопедия

  • ТЕТА-ФУНКЦИЯ — функция, одного комплексного переменного квазидвоякопериодическая целая функция комплексного переменного z, т. е. функция имеющая, кроме периода еще квазипериод при прибавлении к poro к значению аргумента значение функции умножается на нек рый… …   Математическая энциклопедия

  • Нечетная функция — f(x) = x  пример нечётной функции. f(x) = x2  пример чётной функции. f(x) = x3 …   Википедия

  • Нечётная функция — f(x) = x  пример нечётной функции. f(x) = x2  пример чётной функции. f(x) = x3 …   Википедия

  • Четная функция — f(x) = x  пример нечётной функции. f(x) = x2  пример чётной функции. f(x) = x3 …   Википедия

  • Чётная функция — f(x) = x  пример нечётной функции. f(x) = x2  пример чётной функции. f(x) = x3 …   Википедия

Книги

  • Костюм. Стиль, форма, функция, Бруард Кристофер, Что объединяет «молодых старомодников» и конголезских sapeurs, что общего между pijama и баньяном, архитектурой и одеждой? Как связаны парижский щеголь и участники» пятниц без галстуков»?В… Серия: Библиотека журнала»Теория моды» Издатель: Новое литературное обозрение, Подробнее  Купить за 851 руб
  • Костюм. Стиль, форма, функция, Бруард Кристофер, Что объединяет`молодых старомодников`и конголезских sapeurs, что общего между pijama и баньяном, архитектурой и одеждой? Как связаны парижский щеголь и участники`пятниц без галстуков`? В этой… Серия: Библиотека журнала `Теория моды` Издатель: Новое литературное обозрение, Производитель: Новое литературное обозрение, Подробнее  Купить за 794 грн (только Украина)
  • Костюм стиль форма функция, Бруард К., Что объединяет «молодых старомодников» и конголезских sapeurs, что общего между pijama и баньяном, архитектурой и одеждой? Как связаны парижский щеголь и участники» пятниц без галстуков»?В… Подробнее  Купить за 491 руб
Другие книги по запросу «функция общего вида» >>

universal_ru_en.academic.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.