Показательная функция, ее свойства. Простейшие показательные уравнения
Рассмотрим основное определение.
Определение:
Функцию вида , где и называют показательной функцией.
Например: и т. д.
Рассмотрим первый случай, когда основание степени больше единицы: :
Рис. 1. График показательной функции, основание степени больше единицы
Основные свойства данного семейства функций:
Область определения: ;
Область значений: ;
Функция возрастает, т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к нулю, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится также к плюс бесконечности.
Рассмотрим второй случай, когда основание степени меньше единицы :
Например: и т. д.
Рис. 2. График показательной функции, основание степени меньше единицы
Свойства данного семейства функций:
Область определения: ;
Область значений: ;
Функция убывает, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции;
Если аргумент стремится к минус бесконечности, функция стремится к плюс бесконечности, если аргумент стремится к плюс бесконечности функция стремится к нулю.
Решение показательных уравнений и неравенств основывается на свойствах показательной функции.
Пример 1 – решить уравнение:
а)
Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.
б)
Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.
Пример 2 – решить неравенство:
а)
Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.
б)
Ответ: , т. к. показательная функция принимает строго положительные значения.
Рис. 3. Иллюстрация к примеру 2.б
Рассмотрим простейшие уравнения и неравенства.
Пример 3:
а) (рисунок 4)
б) , т. к. функция монотонно возрастает на всей области определения (рисунок 4)
Рис. 4. Иллюстрация к примеру 3
Рассмотрим простейшие показательные уравнения в общем виде.
Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью. Это означает, что каждое свое значение функция приобретает при единственном значении аргумента.
Таким образом, получаем методику решения показательных уравнений:
Уравнять основания степеней;
Приравнять показатели степеней;
Например:
Пример 4 – решить уравнения:
а)
б)
Итак, мы рассмотрели показательную функцию, ее график и свойства, научились решать простейшие показательные уравнения и неравенства, рассмотрели простейшие показательные уравнения в общем виде. В следующем уроке мы рассмотрим решение показательных неравенств.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Mathematics-repetition.com (Источник).
- Terver.ru (Источник).
- Egesdam.ru (Источник).
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 446, 453, 460, 461;
2. Решить неравенство:
а) ; б) ; в) ; г) ;
3. Решить уравнение:
а) ; б) ; в) ; г) ;
interneturok.ru
§12. Функции и их общие свойства
1. Отображение. Виды отображений
Пусть X={x}, Y={y}- произвольные множества.
Определение 1. Отображением множества Х во множество Y (или функцией, определенной на Х со значениями в Y) называется соответствие f, которое каждому элементу xX соотносит единственный элемент yY, обозначаемый y=f(x).
Обозначается
f:
X
Y
или X
Y.
X- множество, где определена функция, называется областью определения функции.
Образом
множества
А
X
при отображении f
называется множество f(A)={yY:y=f(x),
xА}.
Множество f(X),
т.е. образ множества X
называется множеством
значений функции
(отображения).
Определение
2. Отображение
множества X
во множество Y
называется отображением
X
в
Y,
если f(Х)
Определение
3. Отображение
множества X
во множество Y
называется отображением
X
на
Y
(или сюрьективным
отображением),
если f(Х)=Y
т.е. отображение f
сюрьективно, если
yY
xX:
f(x)=y.
Возьмём
yf(X)
xX:
f(x)=y.
Этих элементов может быть несколько.
Множество всех xX,
таких что f(x)=y
называют полным
прообразом
элемента y
при отображении f
и обозначают
f
т.е. f -1(y)={xX: f(x)=y}.
Определение
4. Отображение
f:X
Y
называется инъективным
(обратимым),
если yY
его полный прообраз f
-1(y)
состоит не более, чем из одного элемента.
Определение
4.
Отображение f:X
Y
называют инъективным,
если различным элементам хХ
соответствует различные элементы yY,
т.е.
x1,x2Х:
x1
x2
f(x1)f(x2).
Определение 5.
Отображение f:X
Y
называется взаимно-однозначным
(или биективным),
если оно инъективно и сюрьективно. Таким
образом, отображение f:X
Y
взаимно-однозначно, если
yY
его полный прообраз состоит только из
одного элемента. 2. Сужение функций
Пусть функция y=f(x) задана на множестве X.
Пусть
А
X.
Тогда отображение f
естественным образом порождает
отображение (функцию), определённую на
А и ставящую в соответствие
xА
элемент f(x)=y.
Эту новую функцию называют сужением
функции f
на множестве А
xА.Пример.
y=f(x)=sinx,
x
А=[0;2π]
y=fА(x)=sinx, x[0;2π]- сужение.
3.Действительная функция действительного переменного
Определение.
Действительной
функцией действительного переменного
называется функция f:X
,
где X
.
Элемент x
называется аргументом функции
f
(или независимой переменной), элемент
y=f(x)
—
зависимой переменной.
Такие функции называют числовыми. Название ДФДП связано с тем, что x и y — действительные переменные, принимающие действительные значения.
Множество, на котором определена функция, называется областью определения и обозначается D(f). Множество ее значений обозначается Е(f).
Таким образом, для задания функции f необходимо задать ее область определения и закон f, по которому каждому элементу xD ставится в соответствие определенное число y.
4.Способы задания функции
Существует несколько способов задания функции.
1. Аналитический способ.
При этом соответствие f задано с помощью формулы (аналитического выражения), указывающей, какие действия и в каком порядке надо совершить над аргументом
Например,
y=sin
x3
+
,x
.
Одно
и то же аналитическое выражение может,
определять различные функции, если они
заданы на различных множествах, т.е.
имеют разные D(f).
Если функция задана формулой и не указана
D(f),
то считают, что функция задана на
множестве тех значений, аргумента x
,
для которых формула имеет смысл.
Пример 1. y=f(x)= . НайтиD(f)
D(f):
Значит,D(f)=(-∞;-3][3;4).
Функция
может быть задана различными формулами,
например,
2. Словесное задание функций.
Пример 2. y= π(x)- функция, ставящая каждому значению x в соответствие количество простых чисел, не превосходящих его.
π(7)=4 (2,3,5,7)
π(
)=5 (2,3,5,7,11)
Пример
3.
(signum
– знак)
Пример 4. Функция Дирихле
3. Табличный способ.
При этом способе выписываются значения независимой переменной x и соответствующие им значения функции.
|
х |
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xn |
|
y |
f(x1) |
f(x2) |
f(x3) |
… |
f(xn) |
Достоинство: легко найти значение функции в нужной точке.
Недостатки: 1) конечность D(f) (невозможность отыскать промежуточные значения аргумента), 2) малая наглядность.
4. Графический способ.
Координатная
плоскость —
обычная геометрическая плоскость с
выбранной на ней прямоугольной системой
координат. Множество всех упорядоченных
пар действительных чисел называется
числовой
плоскостью
и обозначается
,
а отдельные пары чисел — ее точками,
{(x,y)}=
.
Между координатной плоскостью и числовой
плоскостью можно установить
взаимно-однозначное соответствие:
М(x,y)
(x,y),
где М(x,y)-
произвольная точка координатной
плоскости, (x,y)-
точка числовой плоскости
,х,
у—
её координаты.
Пусть
функция y=f(x)
задана на множестве D,
т.е. xD.
Задание функции равносильно заданию
множества пар чисел {(x,y):y=f(x),
xD}
.
И
зобразим
его на координатной плоскости. Полученное
множество точек называется графиком
функции.
Определение. Графиком функции f называется множество точек координатной плоскости {M(x,y):y=f(x), xD}. Часто графиком функции является кривая.
Пример
5. y=[x]=E(x),
x
(антье от х)-
целая часть числа x,
(наибольшее целое число, не превосходящее
данного действительного числа).
Пример
6. y={x}=x-[x],
x
-дробная
часть числа x.
0
x<1 y=x,
1
x<2 y=x-1,
2
x<3 y=x-2,
-1
x<0 y=x+1.
Не
всякое множество точек координатной
плоскости является графиком функции.
Т.к. по определению функции
xD
соответствует только одно значение y,
то любая прямая, параллельная оси Оy,
может пересекать график не больше, чем
в одной точке.
Данные кривые не могут служить графиками функций.
Заметим, что график функций может состоять из кусков различных кривых, из отдельных точек.
Задание функции с помощью графика называется графическим способом задания функции.
Достоинство: наглядность (по графику можно судить о характере поведения функции).
Недостатки: 1)невозможно применить в должной мере математический аппарат,
2)приближённое построение чертежа.
3)построение чертежа для ограниченного множества точек.
studfiles.net
функция общего вида — это… Что такое функция общего вида?
- функция общего вида
- мат. general function
Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.
- функция обслуживания
- функция объема
Смотреть что такое «функция общего вида» в других словарях:
функция — 2.1 функция (function): Реализация в программе алгоритма, по которому пользователь или программа могут частично или полностью выполнять решаемую задачу. Примечания 1 Пользователю нет необходимости вызывать функцию (например, автоматическое… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Функция Грина — используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородная краевая задача). Функция Грина это обратный оператор к . Поэтому ее нередко символически обозначают как . Функции Грина полезны в… … Википедия
Функция Дирака — δ функция (или дельта функция, δ функция Дирака, дираковская дельта, Единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или… … Википедия
ОБОБЩЕННАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция удовлетворяющая системе с действительными коэффициентами являющимися функциями действительных переменных хи у В обозначениях исходная система записывается в виде Если коэффициенты Аи Всистемы (1) на всей плоскости Екомплексного… … Математическая энциклопедия
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена степенным рядом. Исключит, важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно ш и р о к: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и ее… … Математическая энциклопедия
Случайная функция — функция произвольного аргумента t (заданная на множестве Т его значений и сама принимающая или числовые значения или, более общо, значения из какого то векторного пространства) такая, что её значения определяются с помощью некоторого… … Большая советская энциклопедия
ТЕТА-ФУНКЦИЯ — функция, одного комплексного переменного квазидвоякопериодическая целая функция комплексного переменного z, т. е. функция имеющая, кроме периода еще квазипериод при прибавлении к poro к значению аргумента значение функции умножается на нек рый… … Математическая энциклопедия
Нечетная функция — f(x) = x пример нечётной функции. f(x) = x2 пример чётной функции. f(x) = x3 … Википедия
Нечётная функция — f(x) = x пример нечётной функции. f(x) = x2 пример чётной функции. f(x) = x3 … Википедия
Четная функция — f(x) = x пример нечётной функции. f(x) = x2 пример чётной функции. f(x) = x3 … Википедия
Чётная функция — f(x) = x пример нечётной функции. f(x) = x2 пример чётной функции. f(x) = x3 … Википедия
Книги
- Костюм. Стиль, форма, функция, Бруард Кристофер, Что объединяет «молодых старомодников» и конголезских sapeurs, что общего между pijama и баньяном, архитектурой и одеждой? Как связаны парижский щеголь и участники» пятниц без галстуков»?В… Серия: Библиотека журнала»Теория моды» Издатель: Новое литературное обозрение, Подробнее Купить за 851 руб
- Костюм. Стиль, форма, функция, Бруард Кристофер, Что объединяет`молодых старомодников`и конголезских sapeurs, что общего между pijama и баньяном, архитектурой и одеждой? Как связаны парижский щеголь и участники`пятниц без галстуков`? В этой… Серия: Библиотека журнала `Теория моды` Издатель: Новое литературное обозрение, Производитель: Новое литературное обозрение, Подробнее Купить за 794 грн (только Украина)
- Костюм стиль форма функция, Бруард К., Что объединяет «молодых старомодников» и конголезских sapeurs, что общего между pijama и баньяном, архитектурой и одеждой? Как связаны парижский щеголь и участники» пятниц без галстуков»?В… Подробнее Купить за 491 руб
dic.academic.ru
Функция — общий вид — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1
Функция — общий вид
Cтраница 1
Функция общего вида, непериодическая. [1]
Для функций общего вида комбинация метода Коши или метода координатного спуска с методами сопряженных направлений приводит к эффективным алгоритмам, так как получающиеся при этом смешанные алгоритмы используют квадратичную аппроксимацию оптимизируемой функции, избегая вместе с тем трудоемких вычислений вторых частных производных. [2]
Элементы с функциями общего вида (2.10) были помимо однородного материала успешно использованы и для решения задач о трещине, вершина которой расположена на границе раздела двух материалов с различными упругими свойствами. Аналогичные функции перемещений могут быть построены и для более сложных элементов, имеющих большее число узлов. [4]
В такой интерпретации функция общего вида принимает вид функции порядковой полезности что не исключает возможности присвоения полезностям товарных наборов числовых значений. [5]
Фурье, способного аппроксимировать функции весьма общего вида. [6]
Для алгоритмов безусловной оптимизации функций общего вида построено довольно много тестовых задач, но даже в этом случае возникают некоторые из трудностей, описанных выше. Например, рассматриваются в основном задачи очень малой размерности; кроме того, не ясно, какие свойства алгоритмов проявляются на выбранных тестовых функциях. [7]
Функция у а является функцией общего вида. [8]
Функция у х ж2 является функцией общего вида. [9]
Функция у ахг Ьх с есть функция общего вида. Если Ь 0 то у ахг с есть четная функция. [10]
Это не означает, что для функций общего вида порядок сходимости равен 2, хотя так и может случиться. [11]
Рассмотрим числовые примеры на определение ошибок функций общего вида по заданным ошибкам аргументов. [12]
Функция у ах b, b О есть функция общего вида, т.е. не является четной, нечетной. [13]
Функция не является четной и не является нечетной, это функция общего вида. [14]
Функция не является четной, не является нечетной, Это функция общего вида. [15]
Страницы: 1 2 3
www.ngpedia.ru
На главную / Математика / Алгеб
На главную / Математика / АлгебОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ
1. Нули функции
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю .
Презентация
2. Промежутки знакопостоянства функции
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны
3. Возрастание (убывание) функции
Возрастающая в некотором промежутке функция — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции
Функция у = f (x) называется возрастающей на интервале (а; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1< x2 , справедливо неравенство f(x1)<f(x2)
Примеры графиков возрастающих функций:
Убывающая в некотором промежутке функция — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции
Функция у =f (x) называется убывающей на интервале (а; b), если для любых x1 и x2 из этого интервала таких, что x1< x2, справедливо неравенство f(x1)>f(x2)
Примеры графиков убывающих функций:
4. Четность (нечетность) функции
Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x).
График четной функции симметричен относительно оси ординат
Например, у = х2 — четная функция, т.к. f(-x) =(– х)2= х2 = f(x)
Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например: у = х3 — нечетная функция, т.к. f(-x) =(– х)3= – х3 = – f(x)
Функция общего вида не является четной или нечетной (у = х2+х)
gimn7matem.narod.ru
функция общего вида — это… Что такое функция общего вида?
- функция общего вида
Mathematics: general function
Универсальный русско-английский словарь. Академик.ру. 2011.
- функция обучения командоаппарата
- функция общего назначения
Смотреть что такое «функция общего вида» в других словарях:
функция — 2.1 функция (function): Реализация в программе алгоритма, по которому пользователь или программа могут частично или полностью выполнять решаемую задачу. Примечания 1 Пользователю нет необходимости вызывать функцию (например, автоматическое… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Функция Грина — используется для решения неоднородных дифференциальных уравнений с граничными условиями (неоднородная краевая задача). Функция Грина это обратный оператор к . Поэтому ее нередко символически обозначают как . Функции Грина полезны в… … Википедия
Функция Дирака — δ функция (или дельта функция, δ функция Дирака, дираковская дельта, Единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или… … Википедия
ОБОБЩЕННАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция удовлетворяющая системе с действительными коэффициентами являющимися функциями действительных переменных хи у В обозначениях исходная система записывается в виде Если коэффициенты Аи Всистемы (1) на всей плоскости Екомплексного… … Математическая энциклопедия
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, к рая может быть представлена степенным рядом. Исключит, важность класса А. ф. определяется следующим. Во первых, этот класс достаточно ш и р о к: он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и ее… … Математическая энциклопедия
Случайная функция — функция произвольного аргумента t (заданная на множестве Т его значений и сама принимающая или числовые значения или, более общо, значения из какого то векторного пространства) такая, что её значения определяются с помощью некоторого… … Большая советская энциклопедия
ТЕТА-ФУНКЦИЯ — функция, одного комплексного переменного квазидвоякопериодическая целая функция комплексного переменного z, т. е. функция имеющая, кроме периода еще квазипериод при прибавлении к poro к значению аргумента значение функции умножается на нек рый… … Математическая энциклопедия
Нечетная функция — f(x) = x пример нечётной функции. f(x) = x2 пример чётной функции. f(x) = x3 … Википедия
Нечётная функция — f(x) = x пример нечётной функции. f(x) = x2 пример чётной функции. f(x) = x3 … Википедия
Четная функция — f(x) = x пример нечётной функции. f(x) = x2 пример чётной функции. f(x) = x3 … Википедия
Чётная функция — f(x) = x пример нечётной функции. f(x) = x2 пример чётной функции. f(x) = x3 … Википедия
Книги
- Костюм. Стиль, форма, функция, Бруард Кристофер, Что объединяет «молодых старомодников» и конголезских sapeurs, что общего между pijama и баньяном, архитектурой и одеждой? Как связаны парижский щеголь и участники» пятниц без галстуков»?В… Серия: Библиотека журнала»Теория моды» Издатель: Новое литературное обозрение, Подробнее Купить за 851 руб
- Костюм. Стиль, форма, функция, Бруард Кристофер, Что объединяет`молодых старомодников`и конголезских sapeurs, что общего между pijama и баньяном, архитектурой и одеждой? Как связаны парижский щеголь и участники`пятниц без галстуков`? В этой… Серия: Библиотека журнала `Теория моды` Издатель: Новое литературное обозрение, Производитель: Новое литературное обозрение, Подробнее Купить за 794 грн (только Украина)
- Костюм стиль форма функция, Бруард К., Что объединяет «молодых старомодников» и конголезских sapeurs, что общего между pijama и баньяном, архитектурой и одеждой? Как связаны парижский щеголь и участники» пятниц без галстуков»?В… Подробнее Купить за 491 руб
universal_ru_en.academic.ru