Определение объема – Все формулы объемов геометрических тел

Объем* — это… Что такое Объем*?

— вместимость геометрического тела, т. е. части пространства, ограниченной одной или несколькими замкнутыми поверхностями. Вместимость или емкость выражается числом заключающихся в О. кубических единиц. Вычисление величины О. производится с помощью приемов, излагаемых в геометрии и интегральном исчислении. Приводим здесь формулы, выражающие величины объема некоторых геометрических тел:

A. Выражения О. правильных многогранников, в которых a означает длину ребра, R — радиус описанного шара, r — радиус шара вписанного.

B. Величина О. всякой прямой или наклонной к основанию призмы равняется произведению из площади основания на высоту. О. прямоугольного параллелепипеда, длины сторон которого суть a, b, c, равняется abc. Величины О. прямых или наклонных призм высоты h, основания которых суть правильные многоугольники, стороны которых имеют длину a, выражаются формулами: призма с основанием треугольным

, призма с основанием квадратным а 2h, призма с основанием пятиугольным

, призма с основанием шестиугольным

.

С. Величина О. всякой прямой пирамиды высоты h равняется одной трети произведения из площади основания на высоту. Величины О. правильных пирамид, основания которых суть правильные многоугольники, длины сторон которых равны a, выражаются следующими формулами: треугольная пирамида

, четырехугольная пирамида a2h /2, шестиугольная пирамида

. Величина О. пирамиды, отсеченной параллельно основанию, выражается следующей формулой, в которой G означает величину площади основания, a — длину одной из сторон его, b — длину соответствующей стороны верхнего сечения, h — высоту верхнего сечения над основанием: hG/3(1+b/a+b2/a2).

D. Величина О. прямого или наклонного к основанию цилиндра равняется произведению из величины площади основания на высоту h цилиндра. Величины О. цилиндров, основания которых суть: круг радиуса R… π R2h, эллипс, полуоси которого a и b… π abh. Величина О. стены цилиндрической трубки, прямой или наклонной к основанию, если основание стенки трубки есть плоское кольцо, заключающееся между кругами радиусов R и r, выражается: π (R2 — r 2)h. Величина О. кругового прямого цилиндра, отсеченного наклонно к основанию, если длина наибольшей производящей есть H, а наименьшей — h, выражается формулой π R2[(H+h)/2]. Если секущая плоскость проходит через центр круга, служащего основанием и наибольшая производящая имеет длину h, то О. отрезка цилиндра равен 2/3R2h.

Е. Величина О. всякого конуса высоты h выражается одной третью произведения площади основания на высоту. Величина О. прямого кругового конуса: 1/3 π R2h. Величина О. прямого кругового конуса, срезанного параллельно основанию, если r есть радиус крута сечения, а h высота сечения над основанием, выражается формулой: 1/3 π h(R2+Rr+r2).

F. Величина О. шара радиуса R равна: 4/3 π R3. Величина О. шарового сегмента высоты h при радиусе r выражается так: 1/3 π h3(3r-h). Величина О. шарового пояса высоты h, если радиусы кругов сечений суть r1 и r2, выражается так: 1/6 π h(3r12+3r22+h). О. шарового сектора, состоящего из сегмента высоты h и конуса высоты (R—h), равен: 2/3 π R2h. трехосного эллипсоида, главные полуоси которого суть a, b, c, равен: 4/3 π abc. О. кольца с круговым сечением выражается так: 2π 2Rr2, если r есть радиус круга сечения и R — радиус круга, образуемого центрами сечений. О. части параболоида вращения, отсеченной плоскостью, отстоящей на h от вершины, если r радиус круга сечения, выражается так: 1/2 π r2h. О. бочки, глубины h, если диаметр дна равен d, а средний диаметр D, выражается, при параболическом виде меридионального сечения так: 1/15 π h(2D2+Dd+3/4d2), а при круговом меридиональном сечении приблизительно: 1/12 π h(2D2+d2).

G. О. какого-либо тела вращения вычисляется по правилу Гюльдена таким образом: величина О. равняется 2π r0F, где F есть величина площади меридионального сечения тела, r0 — расстояние центра инерции этой площади от оси вращения.

Д. Б.

Определение объемов путем опыта. —

Измерение линейных размеров позволяет точно вычислить О. тела только в том случае, когда его форма геометрически определена и поверхность очень правильно выполнена. Тщательные измерения этого рода производились только для определения веса единицы объема воды при определении системы мер. Для жидкостей и газов измерение объема удобно производить с помощью разного рода мерных сосудов (см. Лаборатория и Объемный анализ), но для твердых тел приходится прибегать к особого рода приемам. Когда тело однородное и плотность, т. е. масса единицы его О., известна, для определения всего его О. достаточно взвешивания, так как вес P всегда равен весу единицы О. вещества D, помноженному на число единиц V, выражающее О. тела, откуда: V = P/D, а 1/D = О. единицы веса тела плотности D. Для получения точных результатов, в этом случае разновес должен быть «нормальным», т. е. представлять действительно граммы, золотники и т. п., а не произвольные единицы массы, близкие к ним; необходимо также исключать двойным взвешиванием (см.) влияние неравенства плеч весов и делать поправку на вес вытесненного воздуха. Если назовем p вес кубического сантиметра воздуха при условиях взвешивания, q вес гирек в граммах, а d их удельный вес, то искомый О. V можно выразить: V=q[1/D+p(1/D—1/d)], где D удельный вес тела при температуре взвешивания. Ту же формулу легко применить и к определению емкости V’ сосуда по весу жидкости плотности D, его наполняющей: надо только определить гири q0, уравновешивающие пустой сосуд:

V’

= (q — q0)[1/D + p(1/D — 1/d)].

Надо заметить, что числа, выражающие плотности разных веществ, изменяются в своих сотых и даже десятых долях от строения вещества и примесей. Это обстоятельство заставляет прибегать к гидростатическому взвешиванию (см.), когда требуется возможно большая точность в определении О. Можно применять и собственно способ Архимеда: взвешивать или непосредственно измерять количество воды, вытекшее из наполненного до краев сосуда, когда в него погрузят измеряемое тело. Чтобы удобнее собирать вытекающую воду, сосуд снабжают боковой трубкой или сифоном с короткой наружной ветвью. Налив избыток воды, дают ему свободно стечь, и потом уже погружают тело; чтобы вода не вылилась из самого сифона, его отверстие должно быть достаточно сужено или закрыто сеткой (Мейер). Этот способ может дать довольно большую процентную точность, если тело не слишком мало. Для тел растворимых или вообще изменяющихся от прикосновения жидкостей можно определять О. основываясь на законе Мариотта, пользуясь «объемомерами» или «волюменометрами». Первоначально такой прибор был изобретен в 1797 г. инженерным капитаном Ce (Say) под именем «стереометра», затем ему придали более удобные формы: Реньо, Копп и др. В наиболее простом виде объемомер Реньо может быть устроен следующим образом. Стеклянный сосуд V своими пришлифованными и смазанными салом краями может быть плотно прижат винтом к пластинке A, снабженной краном B и внутренним каналом, соединяющим V с манометром CDEF, у которого трубка EF может подниматься и опускаться за прозрачной шкалой, нанесенной на стекле.

Фиг. 1.

На CD сделано раздутие g, и О. его v между двумя кольцевыми чертами тщательно измерен посредством взвешивания ртути его наполнявшей. Сначала, при открытом кране B, устанавливают уровень ртути в CD на верхней черте, поднимая трубку FE; тогда запирают B и опускают FE пока уровень ртути придет к нижней черте и воздух, замкнутый в сосуде V займет О. V + v, а в открытом колене ртуть будет стоять на h см. ниже, чем в закрытом. Называя H высоту барометра, получим, на основании закона Мариотта, уравнение:

V

:V + v = H — h:H, откуда V = v[(H — h)/h].

Узнав таким образом О. всего сосуда V, вводят в него измеряемое тело х и повторяют опыт: искомый О. будет разность V и полученного из второго опыта О., оставшегося в сосуде воздуха. Можно поступать и в обратном порядке: замкнуть V+v и сжать до V. Объемомер — прибор не достоверный, так как редко условия опыта не осложняются посторонними влияниями: изменением температуры, изменением количества воздуха в сосуде, вследствие различного сгущения его на поверхности, когда тело пористое, и особенно присутствием переменного количества водяного пара, когда тело гигроскопично. В таких случаях О. того же тела получается иной, если повторять опыт, изменяя степень разрежения и другие условия. Несмотря на эти недостатки, объемомер, основанный на законе Мариотта, незаменим во многих случаях, когда приходится определять вес единицы О. тел, изменяющихся от прикосновения жидкостей, например тканей, почвы, муки, дерева, некоторых растворимых солей и т.п.

В. Л.


Для измерения О. древесины, в обрубках, по О. вытесненной последней воды, служит ксилометр в простейшем виде — это деревянный или металлический сосуд, с прикрепленной к его стенке изнутри шкалой, разделенной на равнообъемные части, по которой и отсчитывается О. погружаемой в наполненный водой до определенного уровня сосуд древесины. Видоизменение ксилометра этого типа представляет собой сосуд с узкой сообщающейся трубкой сбоку, снабженной делениями. Другой тип ксилометров — сосуд с боковым отверстием на некоторой определенной высоте, до которой и наливается вода в начале опыта; опуская в сосуд измеряемую древесину и определяя О. вытекшей при погружении последней через отверстие воды, получают искомую величину. В Лисинском лесничестве для измерения О. дров употребляется ящик из толстых половых досок с поверхностью в 1 кв. сажень и высотой в 0,5 сажени. При измерении вода в него наливается доверху, затем кладется 1/2 сажени дров и затем, когда последние вынуты, отсчитывается высота, до которой упала вода в ящике после вынимания поленьев.

Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона. — С.-Пб.: Брокгауз-Ефрон. 1890—1907.

dic.academic.ru

Определение объема выборки

Ранее мы рассмотрели методы построения доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности. В каждом из рассмотренных случаев мы заранее фиксировали объем выборки, не учитывая ширину доверительного интервала. В реальных задачах определить объем выборки довольно сложно. Это зависит от наличия финансовых ресурсов, времени и легкости создания выборки. [1] Например, если нам необходимо оценить среднюю сумму накладных или долю ошибочных накладных в информационной системе компании, сначала следует выяснить, насколько точной должна быть оценка. Иначе говоря, следует задать ошибку выборочного исследования, допускаемую при оценке каждого из параметров. Кроме того, необходимо заранее определить доверительный уровень оценки истинного параметра генеральной совокупности.

Определение объема выборки для оценки математического ожидания

Чтобы определить объем выборки, необходимый для оценки математического ожидания генеральной совокупности, следует учесть величину ошибки выборочного исследования и доверительный уровень. Кроме того, необходима дополнительная информация о величине стандартного отклонения. Для того чтобы вывести формулу, позволяющую вычислить объем выборки, начнем с формулы (1) (о происхождении этой формулы см. Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности):

где – среднее значение выборки, Z — значение стандартизованной нормально распределенной случайной величины, соответствующее интегральной вероятности, равной 1 – α/2, σ — стандартное отклонение генеральной совокупности, n – объем выборки

Скачать заметку в формате Word или pdf, примеры в формате Excel2013

В этой формуле величина, добавляемая и вычитаемая из равна половине длины интервала. Она определяет меру неточности оценки, возникающей вследствие ошибки выборочного исследования, которая обозначается символом е и вычисляется по формуле

Решив уравнение (2) относительно n, получим:

Таким образом, для определения объема выборки необходимо знать три параметра:

  1. Требуемый доверительный уровень, который влияет на величину Z, являющуюся критическим значением стандартизованного нормального распределения; [2]
  2. Приемлемую ошибку выборочного исследования е;
  3. Стандартное отклонение σ.

На практике вычислить эти величины непросто. Как определить доверительный уровень и ошибку выборочного исследования? Обычно ответить на этот вопрос могут лишь эксперты в предметной области (т.е. люди, понимающие смысл оцениваемых величин). Как правило, доверительный уровень равен 95% (в этом случае Z = 1,96). [3] Если требуется поднять доверительный уровень, обычно выбирают величину, равную 99%. Если можно ограничиться более низким доверительным уровнем, выбирают 90%. Определяя ошибку выборочного исследования, не стоит думать о ее величине (в принципе, любая ошибка нежелательна). Следует задать такую ошибку, чтобы полученные результаты допускали разумную интерпретацию.

Кроме доверительного уровня и ошибки выборочного исследования, необходимо знать стандартное отклонение генеральной совокупности. К сожалению, этот параметр почти никогда не известен. В некоторых случаях стандартное отклонение генеральной совокупности можно оценить на основе предшествующих исследований. В других ситуациях эксперт может учесть размах выборки и распределение случайной переменной. Например, если генеральная совокупность имеет нормальное распределение, ее размах приближенно равен 6σ (т.е. ±3σ в окрестности математического ожидания). Следовательно, стандартное отклонение приближенно равно одной шестой части диапазона. Если величину σ невозможно оценить таким способом, необходимо выполнить пилотный проект и вычислить стандартное отклонение по результатам.

Пример 1. Вернемся к задаче об аудиторской проверке. Предположим, что из информационной системы извлечена выборка, состоящая из 100 накладных, заполненных в течение последнего месяца. Компания желает построить интервал, содержащий математическое ожидание генеральной совокупности, доверительный уровень которого равен 95%. Как был определен объем выборки? Следует ли его уточнить?

Допустим, что после консультаций с экспертами, работающими в компании, статистики установили допустимую ошибку выборочного исследования равной ±5 долл., а доверительный уровень — 95%. Результаты предшествующих исследований свидетельствуют, что стандартное отклонение генеральной совокупности приближенно равно 25 долл. Таким образом, е = 5, σ = 25 и Z = 1,96 (что соответствует 95%-ному доверительному уровню). По формуле (3) получаем:

Следовательно, n = 96. Таким образом, объем выборки, равный 100, был выбран удачно и вполне соответствует требованиям, выдвинутым компанией.

Пример 2. Некая промышленная компания на Среднем Западе производит электрические изоляторы. Если во время работы изолятор выходит из строя, происходит короткое замыкание. Чтобы проверить прочность изолятора, компания проводит испытания, в ходе которых определяется максимальная сила, необходимая для разрушения изолятора. Сила измеряется в фунтах нагрузки, приводящей к разрушению изолятора (рис. 1, столбец А). Предположим, что нам необходимо оценить среднюю силу разрушения изолятора с точностью +25 фунтов при 95%-ном доверительном интервале для этой величины. Данные, полученные в предыдущем исследовании, свидетельствуют, что стандартное отклонение равно 100 фунтов. Определите требуемый объем выборки.

Решение. Итак, е = 25, σ =100, доверительный уровень 95% (т.е. Z = 1,96) (рис. 1).

Рис. 1. Определение объема выборки

Таким образом, n = 62 (дробные результаты, как правило, округляют с избытком до ближайшего целого).

Определение объема выборки для оценки доли признака в генеральной совокупности

Выше мы рассмотрели способ определения объема выборки для оценки математического ожидания генеральной совокупности. Предположим теперь, что нам необходимо определить долю накладных, не соответствующих правилам, принятым компанией (начальные условия см. пример 1 выше). Сколько накладных следует извлечь из информационной системы, чтобы построенный интервал имел заданный доверительный уровень? Для ответа на этот вопрос применим тот же подход, что и при определении объема выборки для оценки математического ожидания.

Ошибка выборочного исследования определяется по формуле (2). При оценке доли признака величину σ следует заменить на величину . Таким образом, формула для ошибки выборочного исследования принимает следующий вид:

Выражая n через остальные величины, получаем следующую формулу:

Таким образом, для определения объема выборки необходимо знать три параметра:

  1. Требуемый доверительный уровень, по которому определяется величина Z.
  2. Допустимую ошибку выборочного исследования е.
  3. Истинную долю успехов р.

На практике вычислить эти величины нелегко. Если известен доверительный уровень, можно вычислить критическое значение стандартизованного нормального распределения Z. Ошибка выборочного исследования е определяет точность, с которой оценивается доля успехов в генеральной совокупности. Третий параметр — доля успехов в генеральной совокупности р — это именно тот параметр, который нам необходимо оценить. Итак, как оценить диапазон изменения величины р по его выборочным значениям?

Существуют два способа. Во-первых, во многих ситуациях для оценки величины р можно использовать результаты предыдущих исследований. Во-вторых, если данные о предыдущих исследованиях недоступны, можно попытаться оценить параметр р так, чтобы исключить недооценку объема выборки. Обратите внимание на то, что в формуле (5) величина р(1 – р) стоит в числителе. Следовательно, необходимо найти максимальное значение этой величины. Очевидно, что оно достигается при р = 0,5.

Таким образом, если доля признака в генеральной совокупности р заранее неизвестна, для определения объема выборки следует задать р = 0,5. В этом случае объем выборки будет переоценен, что приведет к дополнительным затратам на ее создание. Если истинная доля успехов в генеральной совокупности сильно отличается от 0,5, доверительный интервал окажется значительно уже, чем требовалось. Оценка параметра р в этом случае будет весьма точной, однако за это придется заплатить дополнительными временными и финансовыми ресурсами.

Вернемся к задаче об аудиторской проверке. Предположим, аудитор желает построить интервал, содержащий долю ошибочных накладных, доверительный уровень которого равен 95%. Допустимая точность равна ±0,07. Результаты предыдущих проверок свидетельствуют, что доля ошибочных накладных не превышает 0,15. Таким образом, е = 0,07, р = 0,15 и Z = 1,96 (что соответствует 95%-ному доверительному уровню). По формуле (5) получаем:

Таким образом, объем выборки, равный 100, был выбран совершенно правильно и вполне соответствует требованиям, выдвинутым компанией.

Определение объема выборки, извлекаемой из конечной генеральной совокупности

Для определения объема выборки, извлеченной из конечной генеральной совокупности без возвращения, необходимо использовать поправочный коэффициент. Например, при оценке математического ожидания выборочная ошибка вычисляется по следующей формуле:

При оценке доли признака ошибка выборочного исследования равна:

Чтобы вычислить объем выборки для оценки математического ожидания или доли признака, применяются формулы:

где n0 — объем выборки без учета поправочного коэффициента для конечной генеральной совокупности. Применение поправочного коэффициента приводит к следующей формуле:

Предыдущая заметка Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности

Следующая заметка Применение доверительных интервалов в аудиторском деле

К оглавлению Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Excel


[1] Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 471–476

[2] Для определения размера выборки используется величина Z, а не t, поскольку для вычисления критического значения t размер выборки необходимо знать заранее. В большинстве случаев размеры выборки позволяют хорошо аппроксимировать t-распределение стандартизованным нормальным распределением.

[3] Интервал c доверительным уровнем 95% делится на две равные части. Первая часть лежит слева от математического ожидания генеральной совокупности, а вторая — справа. Значение величины Z, соответствующей вероятности 2,5% (площади 0,025), равно –1,96, а значение величины Z, соответствующей суммарной площади 0,975, равно +1,96. Для расчета удобно воспользоваться функцией Excel Z=НОРМ.СТ.ОБР(р), где р – вероятность, подставляя значения р1 = 2,5% и р2 = 97,5%

baguzin.ru

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ

 

Аналитический метод.Этот метод используют в качестве исходных данных площади поверхностей горизонтальных сечений географических объектов, которые могут быть определены в результате картометрических работ.

Если объект изображен на карте в изолиниях, то его объем V можно представить как сумму объемов отдельных слоев Vi, заключенных между плоскостями сечений.

Для вычисления объемов чаще всего используют способы конусов и призм. В их основе лежит замена исходного объекта, независимо от его сложности, совокупностью простых геометрических тел, например усеченного конусов в способе конусов или призм в способе призм (рис.16).

Обозначив высоты (глубины) горизонтальных сечений h0, h1, hn, площади соответствующих им сечений p0, p1, pn, получим объем Vi слоя,

имеющего высоту h1+1 — h1, площадь нижнего основания p1 и площадь верхнего основания p1+1. Найдем объем способом призм:

и способом конусов

.

Объем верхней части объекта Vв вычисляется как объем конуса:

,

где hn+1 – максимальная высота (глубина) объекта.

Таким образом, рассматривая общий объем как сумму объекмов отдельных слоев, по способу призм имеем

,

по способу конусов

Если высота сечения изолиний на карте постоянна и равна h, то объем по способу призм

,

а по способу конусов

где Δh – высота конуса, завершающего объект.

 

 

Рис. 16. Схема определения объемов способом усеченных конусов (а) и способом призм (б)

 

Площади сечений могут быть определены любым из известных в картометрии способом.

Указанные способы были разработаны для вычисления объемов «простых» географических объектов: холмов, гор, коловин и т.д. площади горизонтальных сечений которых определяются по крупномасштабным картм с достаточно частным сечением рельефа. В эти ситуациях подобная аппроксимация естественна и погрешности методов не выходят за предлеы допустимых значений.

Графический метод. Данный метод измерения объемо требует предварительного построения кумулятивной кривой. Для этого на карте тем или иным способом измеряют площади всех высотных ступеней, заключенных между сосоедними изолиниями, подсчитывают накопленные значения площадей. После этого строят график, на котором по оси ординат откладывают интервалы высотных ступеней, а по оси абсцисс – накопленные площади. Соединив точки на графике плавной кривой, получают кумуляту, или интегральную кривую распредления высот (глубин). Известынми примерами кумуляты является гипсографическая (рис.17), батиграфическая и батигипсографическая кривые (рис.18).

 

 

Рис. 17. Гипсогрофическая кривая

 

С помощью гипсографической кривой решается и другая задача картометрии: опредление средней высоты горных массивов, стран, материков и средней глубины морей и океанов. Средняя высота (глубина) объекта определяется из выражения Hср = V/S (где V – объем объекта; S – накопленная площадь).

 

 

Рис. 18. Батигипсографическая кривая

 

Площадь, ограниченная кумулятивной кривой и ординатами ее крайних точек, соответсвтует искомому объему. Ее можно измерить непосредственно на графике и выразить в принятом для графика масштабе.

Например, необходимо измерить запасы воды в снежном покрове по карте Республики Коми (рис.19).

 

 

Рис. 19. Карта запасов воды в снежном покрове на территории Республики Коми (а) и кумулятивная кривая, построенная по карте для определения объема (б)

 

Масштаб рис.19 а: 1 см = 4*10-5км*50*103км2=2 км3.

Площадь фигуры, ограниченная линией графика и осями координат, 33,36 см2. Тогда V = 33,36 *2 км3=66,72 км3.

Вероятностно – статистический метод. Этот метод определения объемов основан на использовании различных типов объемных палеток. Его основная идея заключается в предстиавлении рассматриваемого объекта в виде суммы nго количества косоусеченных призм с основаниями в виде квадратов (рис.20) или других правильных многоугольников, например шестиугольников.

Средняя высота zi каждой призмы определяется по карте в центре осноывания призмы путем линейной интерполяции между значениями изолиний.

Объем всего объекта, вычисляемый по результатам измерений квадратной и гексагональной палетками, соответственно


где p – площадь основания палетки в масштабе карты; R – расстояние между точками.

 

Рис. 20. Фрагмент карты (а) и блок – диаграмма, иллюстрирующая

вероятностно – статистичекий способ определения объемов (б)

 

Данный метод опредления объемов не требует непосредственного измерения площадей по картам. Достаточно разместить на карте сетку равноотстоящих точек, определить zi в каждой точке просуммировать полученные значения и умножить сумму на площадь основания палетки.

Определение объема древесины в одном дереве. Для решения данной задачи необходимо знать формулу нахождения объема конуса: V = 1/3 πr2h, где π — константа, r2 – радиус (толщина дерева), h – высота.

Определение количества произрастающих в лесу деревьев. Для определения общего количества деревьев произрастающих в лесу, необходимо знать площадь леса. Например, пусть площадь леса 1 га, т.е. 100*100 метров, тогда с учетом среднего расстояния между деревьями 5 метров, будет 20 деревьев на одной стороне, а на всей территории 400 деревьев.

Определение общего объема древесины в лесу. Зная объем древесины в одном дереве и общее количество деревьев в лесу, путем умножения находим общий объем древесины в лесу.

 


Похожие статьи:

poznayka.org

Приветик! Пожалуйста скажите физическое определение ОБЪЁМА? Объем-это….

часть пространства, занимаемая телом

Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами. С понятием объёма тесно связано понятие вместимость, то есть объём внутреннего пространства сосуда, упаковочного ящика и т. п. Синонимом вместимости частично является ёмкость, но словом ёмкость обозначают также сосуды. Принятые единицы измерения — в СИ и производных от неё — кубический метр, кубический сантиметр, литр (кубический дециметр) и т. д. Внесистемные — галлон, баррель. Слово «объём» также используют в переносном значении для обозначения общего количества или текущей величины. Например, «объём спроса» , «объём памяти» , «объём работ» . В изобразительном искусстве объёмом называется иллюзорная передача пространственных характеристик изображаемого предмета художественными методами.

Сведения о чем-либо, независимо от формы их представления

touch.otvet.mail.ru

Определение объема тела

Название инструмента

№№

изм.

Линейные размеры мм

Абсолютные ошибки, мм.

V,

E

%

А

в

с

Δа

Δв

Δс

1.

2.

3.

Ср.

1.

2.

3.

Ср.

Таблица 1 дана для параллелепипеда. Для цилиндра вместо а, в, с будет D. и Н и т. д.

Таблица 2

Определение плотности тела

Название инструмента

m, г

Δm, г

Формулы для подсчета относительных ошибок измерений объема тел правильной геометрической формы

Для шара: ,

где D – среднее значение диаметра, ΔD – средняя абсолютная ошибка измерений диаметра.

Для цилиндра: ,

где D и Н среднее значение диаметра и высоты соответственно, ΔD и ΔН – средние абсолютные ошибки измерений диаметра и высоты цилиндра.

Для полого цилиндра: ,

где D и d – средние значения внешнего и внутреннего диаметров соответственно, ΔD и Δd – средние значения абсолютных ошибок измерений внешнего и внутреннего диаметров соответственно, Н – среднее значение высоты цилиндра, ΔН – среднее значение абсолютных ошибок измерений высоты.

Для параллелепипеда:

где а, в, с – средние значения высоты, длины и ширины соответственно, Δа, Δв, Δс – средние значения абсолютных ошибок измерений.

Контрольные вопросы

  1. Какие измерения называются прямыми и косвенными? Приведите примеры.

  2. Какие ошибки называются систематическими и случайными? От чего они зависят?

  3. Какие ошибки измерений называются абсолютными и относительными? Какова размерность этих ошибок?

  4. Дайте понятие веса и массы тела, плотности и удельного веса. Каковы единицы измерения этих величин?

  5. Сформулируйте законы Ньютона и закон всемирного тяготения.

  6. Расскажите устройство штангенциркуля и микрометра.

  7. Как зависит плотность от температуры?

Лабораторная работа №2

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА И ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить законы колебательного движения , определить ускорения силы тяжести.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: математический маятник, секундомер, набор шариков, линейка.

  1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.

Движение, при котором тело или система тел через равные промежутки времени отклоняется от положения равновесия и вновь возвращается к нему, называются периодическими колебаниями.

Колебания, при которых изменение колеблющейся величины со временем происходит по закону синуса или косинуса, называются гармоническими.

Уравнение гармонического колебания записывается в виде:

Гармонические колебания характеризуются следующими параметрами: амплитудой А, периодом Т, частотой υ, фазой φ, круговой частотой ω.

А – амплитуда колебания – это наибольшее смещение от положения равновесия. Амплитуда измеряется в единицах длины ( м, см и т. д.).

Т – период колебания – это время, в течении которого совершается одно полное колебание. Период измеряется в секундах.

υ – Частота колебания – это число колебаний, совершаемых в единицу времени. Измеряется в Герцах.

φ – фаза колебания. Фаза определяет положение колеблющейся точки в данный момент времени. В системе СИ фаза измеряется в радианах.

ω – круговая частота измеряется рад/с

Всякое колебательное движение совершается под действием переменной силы. В случае гармонического колебания эта сила пропорциональна смещения и направлена против смещения:

,

где К – коэффициент пропорциональности, зависящий от массы тела и круговой частоты.

Примером гармонического колебания может служить колебательной движение математического маятника.

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на невесомой и недеформируемой нити.

Небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой нити (нерастяжимой), является хорошей моделью математического маятника.

Рис.1

Пусть математический маятник длиной l(рис. 1) отклонен от положения равновесия ОВ на малый угол φ ≤. На шарик действует сила тяжести, направленная вертикально вниз, и сила упругости нити, направленная вдоль нити. Равнодействующая этих силFбудет направлена по касательной к дуге АВ и равна:

При малых углах φ можно записать:

где Х – дуговое смещение маятника от положения равновесия. Тогда получим:

Знак минус указывает на то, что сила Fнаправлена против смещения Х.

Итак, при малых углах отклонения математический маятник совершает гармонические колебания. Период колебаний математического маятника определяется формулой Гюйгенса:

где — длина маятника, т. е. расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника.

Из последней формулы видно, что период колебания математического маятника зависит лишь от длины маятника и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебания и от массы маятника. Зная период колебания математического маятника и его длину, можно определить ускорение силы тяжести по формуле:

Ускорением силы тяжести называется то ускорение, которое приобретает тело под действием силы притяжения его к земле.

На основании второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения можно записать:

где γ – гравитационная постоянная, равная

М – масса Земли, равна ,

R– расстояние до центра Земли, равное,

Т. к. Земля не имеет форму правильного шара, то на различных широтах имеет разное значение, а, следовательно, и ускорение силы тяжести на разных широтах будет разное: на экваторе ; на полюсе; на средней широте.

  1. Описание экспериментальной установки

Лабораторная установка для изучения колебательного движения математического маятника и определение ускорения силы тяжести представлена на рисунке 2.

Рис.2

Тяжелый шарик подвешен на длинной нити ℓ. Нить перекинута через кольцо О и вторым своим концом закреплена на шкале L. Перемещая конец нити по шкале, можно изменить длину маятника ℓ, значение которой сразу же определяется по шкале. Для определения углового отклонения маятника служит шкалаN. Закрепляя на нити различные шарики, можно изменить массу маятника. Таким образом, в лабораторной установке предусмотрена возможность изменения длины, амплитуды колебания и массы маятника.

  1. Порядок выполнения работы.

  1. Установите длину маятника ℓи с помощью секундомера определите времяt, в течении которого совершаетсяnколебаний. Время измеряется три раза и берется среднее значение.

  2. Опыт повторить для длин ℓи ℓ. (Длина маятника и число колебаний задается преподавателем).

  3. Вычислите среднее значение tи период колебания Т,.

  4. Вычислите ускорение силы тяжести для каждой длины маятника по формуле:

  5. Рассчитайте ошибки измерений. Средняя относительная ошибка измерения ускорения силы тяжести вычисляется по формуле:

,

где Δℓ — средняя абсолютная ошибка измерения длины маятника.

— длина маятника.

Δt– средняя абсолютная ошибка измерения времени.

t– время в течении которого маятник совершаетnколебаний.

  1. Данные эксперимента занесите в таблицы 1 и 2.

  2. Сделайте выводы.

Таблица 1

Определение ускорения силы тяжести

№№ п/п

Число колебаний

Длина маятника

ℓ= (см)

Длина маятника

ℓ= (см)

Длина маятника

ℓ= (см)

n(с)

t,c

Т, с

t, c

T, c

t, c

T, c

1.

2.

3.

Сред

Таблица 2

Расчет ошибок измерений

Длина

ℓ= (см)

ℓ= (см)

ℓ= (см)

Ошибки изм.

Δt,c

Δℓ, см

Eg, %

g, см/с

Δt,c

Δℓ, см

Eg, %

g, см/с

Δt,c

Δℓ, см

Eg, %

g, см/с

1.

2.

3.

Сред.

  1. Контрольные вопросы.

  1. Дайте определение гармонического колебания и его основных характеристик.

  2. Запишите уравнение гармонического колебания.

  3. Что такое физический маятник? Запишите формулу периода колебания физического маятника.

  4. Что такое математический маятник? Запишите формулу периода колебания математического маятника.

studfiles.net

Расчет обЪема и веса детали

На рисунке 1 приведена схема разбивки детали на элементарные объемы. Объем детали будет равен алгебраической сумме элементарных объемов.

Рисунок 1 – Схема разбивки детали на элементарные объемы

Рассмотрим элемент, объем которого мы можем найти по формуле (1)

VΙ = V1-VА-VВ— VС-VД-VЕ-VЖ VЗ , (1)

где объем V1 — объем полого цилиндра:

Vпол. цил. = 0,785 ∙ h ∙ (D2 – d2), (2)

V1=0,785∙ 34 ∙ (192,7762 – 972)=740743,22 мм3

объем VА – объем четверти тора:

VА=2,47r2(D-0,848r), (3)

VА=2,47∙102((97+20)-0,848∙10)=26804,44мм3

объем VВ — объем четверти тора:

VВ=2,47r2(D+0,848r), (4)

VВ=2,47∙102((172-20)+0,848∙10)=39638,56мм3

объем VС – объем полового цилиндра, находим по формуле (2)

VС=0,785∙102(1522-1172)= 73907,75 мм3

объем VД – объем восьми отверстий, имеющих форму цилиндра:

Vцил. = 0,785∙h∙D2, (5)

VД=8∙0,785∙7∙92=3560,76 мм3

объем VЕ – объем восьми отверстий, имеющих форму усеченного конуса:

VЕ= H(D2+Dd+d2), (6)

VЕ = ∙3(152+15∙9+92)=2769,48мм3

объем Vж— объем полового цилиндра, находим по формуле (2)

Vж=0,785∙14(1752+1132) = 6237,44 мм3

объем Vз – объем четверти тора, находится по формуле (4)

Vз = 19596,58 мм3

VΙ = 378228,20 мм3

Рассмотрим второй элемент, объем которого мы можем найти по формуле (6)

VΙΙ = V2-VК-VИ , (7)

где объем V2— объем цилиндра, находим по формуле (5)

V2 = 0,785∙972∙56=413619,64 мм3

объем VК— объем цилиндра, находим по формуле (5)

VК = 0,785∙772∙56=260638,84 мм3

объем VИ— объем двух конических кольца:

VИ = 0,524(3D-2d)dH , (8)

VИ = 2∙0,524(3∙97-2∙3,5)3,5∙11=11458,83 мм3

VΙΙ=141521,97 мм3

Рассмотрим третий элемент объем, которого VΙΙΙ – это объем зубьев колеса, и он равен объему полого цилиндра (формула (2)), умноженному на коэффициент, равный 0,55:

VΙΙΙ =∙0,55 0,785∙34(210,782 – 192,782) = 106655,70мм3, (9)

Складывая объемы трех этих элементов найденные по формулам (1), (7), (9) получим объем всей детали:

VД = VΙ+VΙΙ+VΙΙΙ , (10)

где VД— объем детали;

VΙ ,VΙΙ,VΙΙΙ – объемы, получаемые по формулам (1,7,9).

VД= 626405,87 мм3 = 626,406 см3

Теперь, зная объем детали, найдем массу детали по формуле (11):

МД = VД ∙ ρ, (11)

где ρ — плотность материала, =7,8г/см3.

МД = 626,406 ∙ 7,8 = 4917,29 г

  1. Определение группы металла , группы сложности , группы точности , исходного индекса

Расчет ведем по ГОСТ 7505-89.

Группа стали назначается, исходя из среднего массового содержания углерода или легирующих элементов. Материал – Cталь 20ХН3А ГОСТ 4543-71, суммарная массовая доля легирующих элементов 4%, а значит группа стали М2.

Степень сложности определяется путем вычисления следующего

отношения (11):

Сi = , (12)

где VПОК – объем поковки;

VФ — объем геометрической фигуры, в которую вписывается форма детали (рисунок 2).

Рисунок 2 – Геометрическая фигура, в которую вписывается форма детали

Для данной детали описанной фигурой будет являться цилиндр, размеры которого увеличены на 1,05. Найдем объем этого цилиндра по формуле (2):

VФ = 0,785 ∙ 58,8 ∙ 221,322 = 2260936,19 (мм3).

Объем поковки на данном этапе находится по формуле (13):

VПОК = VД ∙ КР, (13)

где КР – расчетный коэффициент, КР = 1,7.

VПОК =626405,87 ∙ 1,7 = 1064889,97 (мм3).

Сi = = 0,47.

По расчету получаем степень сложности поковки С2.

Класс точности поковки устанавливается в зависимости от технологического процесса и оборудования для ее изготовления, а также исходя из предъявляемых требований к точности размеров поковки. Согласно ГОСТ 7505-89 выбираем 4-й класс точности – Т4.

Массу поковки найдем по формуле, аналогичной формуле (11):

МПОК = 1064,889 ∙ 7,8 = 8306,1 г

Исходный индекс для последующего назначения основных припусков, допусков и допускаемых отклонений определяется в зависимости от массы, марки стали, степени сложности и класса точности поковки по ГОСТ 7505-89. В данном случае исходный индекс 14.

studfiles.net

Измерение объемов тел правильной геометрической формы. Определение объема цилиндра

ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМОВ ТЕЛ ПРАВИЛЬНОЙ геометрической формы

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучить устройство штангенциркуля и микрометра, на примере определения объемов тел провести обработку результатов измерений.

Объем тела можно определить несколькими способами. Если тело имеет правильную форму, то обычно измеряет его линейные размеры и по соответствующей формуле рассчитывают его объем.

Для измерения линейных размеров использует линейки, штангенциркули и микрометры.

ШТАНГЕНЦИРКУЛЬ. Штангенциркуль (рис.1) представляет собой масштабную линейку I, вдоль которой может скользить скрепленная с рейкой 2 обойма 3. У линейки и обоймы имеются выступы, которые на рисунке соответственно обозначены (4-6 и 5-7). Для закрепления обоймы в нужном положении служит зажимной винт 8. В обойме имеется вырез, на нижней скошенной стороне которого нанесена шкала, называемая линейным нониусом.

Линейный нониус представляет собой небольшую линейку с делениями. Длина нониуса представляет выбирается равной длине n-1 делений шкалы масштабной линейки, т.е.

 (1)

где LH, LM – соответственно цена деления нониуса и масштабной линейки.

Разность

 (2)

называется точностью нониуса.

Так как LM=1 мм, то при n=10 из выражений (1) и (2) следует, что LH=0,9 мм, длина нониуса nLH=9,1 мм и точность =0,1 мм. Таким образом, если совместить нулевые штрихи нониуса и масштабной линейки, то последний (десятый) штрих нониуса совпадет с девятым штрихом масштабной линейки.

Рассмотрим пример измерения длины некоторого тела А (рис.2) масштабной линейкой с нониусом, точность которого равна 0,1мм. Из рисунка видно, что длина измеряемого тела больше трех и меньше четырех миллиметров; при этом седьмой штрих нониуса совпадает с десятым штрихом линейки. Следовательно, шестой штрих нониуса отступает от девятого на линейке на 0,1 мм, соответственно пятый от восьмого – на 0,7мм. Таким образом, длина предмета А равна 3,7 мм.

Если обозначить через N число целых миллиметров, а через m – номер штриха нониуса, совпадающего о каким-либо штрихом линейки, то на основе рассмотренного примера длина измеряемого тела

 (3)

С целью облегчения отсчетов применяются также нониусы е укрепленной шкалой. Длина таких нониусов совпадает с длиной 2n-1 делений масштабной линейки, т.е.

где n – число делений нониуса.

Если n=10 и LM=0,1 мм, то

ΔL=2LM-LH=0,1 мм и длина нониуса nLН=19 мм; при пользовании таким нониусом длина измеряемого тела также определяется по формуле (2).

Существующие штангенциркули подразделяются на такие, у которых n=10 (ΔL=0,1 мм), n=20 (ΔL=0,05 мм) и n=50 (ΔL=0,02 мм).

В нерабочем положении выступы штангенциркуля 4-6 и 5-7 сдвинуты, при этом нулевой штрих нониуса совпадает с нулевым штрихом линейки. Для измерения наружных размеров измеряемый предмет размещают между выступами 4-6, которые сдвигают до соприкосновения с предметом. Для измерения внутренних размеров или расстояния между двумя точками пользуются выступами 5-7 и для измерения глубины – рейкой 2.

МИКРОМЕТР.    Измерения линейных размеров с точностью до 0,01 мм производятся микрометрами. Микрометр (рис.3) имеет вид скобы, одна сторона которой связана с неподвижной шкалой Ш. Шкала микрометра разделена на миллиметровые и полумиллиметровые деления. На концах скобы друг против друга расположены неподвижный винт упора У и микрометрический винт В, скрепленный с барабаном Б.

Шаг микрометрического винта обычно равен 1 или 0,5 мм. Пели шаг винта равен 1 мм, то барабан разделен на 100 равных частей, так что при повороте барабана на одно деление винт переместится поступательно на 0,01 мм. Если же шаг винта равен 0,5 мм, то барабан разделен на 50 равных частей, так что при его повороте на одно деление винт опять же переместится на 0,01 мм, Таким образом, точность микрометре равна 0,01 мм.

Если конец микрометрического винта привести в соприкосновение с упором, то нулевые штрихи шкалы барабана и шкалы Ш должны совпадать. Для измерений тело зажимают между упором и микрометрическим винтом и производят отсчет: целые миллиметры или полумиллиметры отсчитывают по шкале Ш до среза барабана, доли миллиметра – по шкале барабана.

Для равномерности нажатия микрометрического винта на поверхность измеряемого тела головка микрометра снабжена трещоткой Т, вращение которой вызывает перемещение винта только до его упора; после этого трещотка свободно прокручивается, издавая своеобразный треск. Поэтому при измерениях необходимо вращать не барабан Б, а трещотку Т; головку можно вращать против часовой стрелки, когда необходимо освободить тело после измерений.

Упражнение 1.    ОПРЕДЖЕЛЕНИЕ ОБЪЕМА ЦИЛИНДРА

          Объем цилиндра

 (4)

где Н – высота цилиндра; D – его диаметр.

Диаметр цилиндра измеряют микрометром, высоту – штангенциркулем.

ЗАДАНИЕ. 1. Изучить устройство микрометра и штангенциркуля. Определить цену деления основных шкал и точность прибора.

2. С помощью микрометра и штангенциркуля провести контрольные измерения диаметра D цилиндра и его высоты Н.

3. Оценить наименьшую возможную погрешность, ожидаемую ори определении объема цилиндра Vц данными инструментами. Для оценки этой погрешности воспользоваться формулой

 (5)

     Здесь индекс «пр.» означает приборную погрешность.

4. Выполнить ряд повторных измерений величин D и H, вычислить их средние значения  и  и случайные погрешности  и . Доверительную вероятность считать равной Р=0,95.

5. По формуле (4) определить наилучше значение объема цилиндра.

6. Определить погрешность измерения объема цилиндра. Для

вычисления использовать формулу

 (6)

7. Оформить отчет и сделать выводи.

8. Объяснить чем отличаются формулы (5) и (б).

Упражнение 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЬЕМА ПАРАЛЛЕПИПЕДА.

Объем параллелепипеда

 (7)

где a, b и h – соответственно длина, ширина и высота параллелепипеда.

Величины a, b и h измерить штангенщтркулем.

ЗАДАНИЕ. 1. С помощью штангенциркуля провести контрольные измерения параметров a, b и h.

2. Оценить возможную наименьшую погрешность ожидаемую при измерении объема параллелепипеда VП. Для оценки воспользоваться формулой

 (8)

Объясните, почему при оценке аналогичной величины в упр.1 использовалось квадратичное суммирование (см. Ф-лу 5), а здесь – арифметическое?

3. Провести повторные измерения величин a, b и h в различных местах данного параллелепипеда. Вычислить их средние значения , ,  и случайные погрешности (P=0,95).

4. По формуле (7) определить наилучше значение объема.

5. Определить погрешность измерения объема параллелепипеда. Подумайте по какой формуле следует ее вычислить!

6. Оформить отчет и сделать выводы.

vunivere.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *